Suma parțială a unei progresii geometrice.

Biologia dezvoltării

Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere: Secvență de numere

este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.

Numărul cu numărul este numit al n-lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

In cazul nostru: Cele mai comune tipuri de progresie sunt aritmetice și geometrice. În acest subiect vom vorbi despre al doilea tip -.

progresie geometrică

De ce este necesară progresia geometrică și istoria ei? Chiar și în cele mai vechi timpuri, călugărul matematician italian Leonardo de Pisa (mai bine cunoscut sub numele de Fibonacci) s-a ocupat de nevoile practice ale comerțului. Călugărul s-a confruntat cu sarcina de a determina care este cel mai mic număr de greutăți care poate fi folosit pentru a cântări un produs? În lucrările sale, Fibonacci demonstrează că un astfel de sistem de greutăți este optim: Aceasta este una dintre primele situații în care oamenii au fost nevoiți să se confrunte cu o progresie geometrică, despre care probabil ați auzit deja și despre care aveți cel puțin concept general

. Odată ce ați înțeles pe deplin subiectul, gândiți-vă de ce un astfel de sistem este optim? Situație similară descrise în probleme pentru calcularea așa-numitului dobândă compusă– procentul se ia de fiecare data din suma care se afla in cont, tinand cont de dobanda anterioara. Vom vorbi despre aceste sarcini puțin mai târziu.

Există multe mai multe cazuri simple în care se aplică progresia geometrică. De exemplu, răspândirea gripei: o persoană a infectat o altă persoană, ea, la rândul său, a infectat o altă persoană și, astfel, al doilea val de infecție este o persoană, iar ei, la rândul lor, au infectat-o pe alta... și așa mai departe.. .

Apropo, o piramidă financiară, același MMM, este un calcul simplu și uscat bazat pe proprietățile unei progresii geometrice. Interesant? Să ne dăm seama.

Progresie geometrică.

Să presupunem că avem o secvență de numere:

Veți răspunde imediat că acest lucru este ușor și numele unei astfel de secvențe este cu diferența dintre membrii ei. Ce zici de asta:

Dacă scadeți numărul anterior din numărul următor, veți vedea că de fiecare dată când obțineți o nouă diferență (și așa mai departe), dar succesiunea există cu siguranță și este ușor de observat - fiecare număr ulterior este de ori mai mare decât cel anterior!

Acest tip de secvență de numere este numit progresie geometrică si este desemnat.

Progresie geometrică( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.

Restricțiile conform cărora primul termen ( ) nu este egal și nu sunt aleatorii. Să presupunem că nu există, iar primul termen este încă egal, iar q este egal cu, hmm.. lasă-l să fie, atunci rezultă:

Sunteți de acord că aceasta nu mai este o progresie.

După cum înțelegeți, vom obține aceleași rezultate dacă există alt număr decât zero, a. În aceste cazuri, pur și simplu nu va exista nicio progresie, deoarece întregul serie de numere vor fi fie toate zerourile, fie un număr și toate restul zerouri.

Acum să vorbim mai detaliat despre numitorul progresiei geometrice, adică o.

Să repetăm: - acesta este numărul de câte ori se schimbă fiecare termen următor? progresie geometrică.

Ce crezi că ar putea fi? Așa e, pozitiv și negativ, dar nu zero (am vorbit despre asta puțin mai sus).

Să presupunem că a noastră este pozitivă. Să fie în cazul nostru, a. Care este valoarea celui de-al doilea termen și? Puteți răspunde cu ușurință:

Asta e corect. În consecință, dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - ei sunt pozitive.

Dacă este negativ? De exemplu, a. Care este valoarea celui de-al doilea termen și?

Aceasta este o cu totul altă poveste

Încercați să numărați termenii acestei progresii. Cât ai primit? am. Astfel, dacă, atunci alternează semnele termenilor progresiei geometrice. Adică, dacă vedeți o progresie cu semne alternative pentru membrii săi, atunci numitorul său este negativ. Aceste cunoștințe vă pot ajuta să vă testați atunci când rezolvați probleme pe această temă.

Acum să exersăm puțin: încercați să determinați ce secvențe de numere sunt o progresie geometrică și care sunt o progresie aritmetică:

Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:

Progresie geometrică – 3, 6.
Progresie aritmetică – 2, 4.
Nu este nici o progresie aritmetică, nici geometrică - 1, 5, 7.

Să revenim la ultima noastră progresie și să încercăm să-i găsim termenul, la fel ca în aritmetică. După cum probabil ați ghicit, există două moduri de a-l găsi.

Înmulțim succesiv fiecare termen cu.

Deci, al treilea termen al progresiei geometrice descrise este egal cu.

După cum ați ghicit deja, acum voi înșivă veți obține o formulă care vă va ajuta să găsiți orice membru al progresiei geometrice. Sau l-ai dezvoltat deja pentru tine, descriind cum să găsești al treilea membru pas cu pas? Dacă da, atunci verificați corectitudinea raționamentului dvs.

Să ilustrăm acest lucru cu exemplul găsirii celui de-al treilea termen al acestei progresii:

Cu alte cuvinte:

Găsiți singur valoarea termenului progresiei geometrice date.

A funcționat? Să comparăm răspunsurile noastre:

Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am înmulțit secvențial cu fiecare termen anterior al progresiei geometrice.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - să o punem în formă generală și să obținem:

Formula derivată este valabilă pentru toate valorile - atât pozitive, cât și negative. Verificați singur acest lucru calculând termenii progresiei geometrice cu urmatoarele conditii: , A.

ai numarat? Să comparăm rezultatele:

De acord că ar fi posibil să găsiți un termen de progresie în același mod ca un termen, totuși, există posibilitatea de a calcula incorect. Și dacă am găsit deja al treilea termen al progresiei geometrice, atunci ce ar putea fi mai simplu decât să folosim partea „trunchiată” a formulei.

Progresie geometrică în scădere infinită.

Mai recent, am vorbit despre faptul că poate fi fie mai mare, fie mai mic decât zero, cu toate acestea, există valori speciale pentru care se numește progresia geometrică în scădere infinit.

De ce crezi că este dat acest nume?
Mai întâi, să scriem o progresie geometrică constând din termeni.
Sa zicem, atunci:

Vedem că fiecare termen ulterior este mai mic decât cel anterior cu un factor, dar va exista vreun număr? Veți răspunde imediat „nu”. De aceea este în scădere infinit - scade și scade, dar nu devine niciodată zero.

Pentru a înțelege clar cum arată acest lucru vizual, să încercăm să desenăm un grafic al progresiei noastre. Deci, pentru cazul nostru, formula ia următoarea formă:

Pe grafice suntem obișnuiți să trasăm dependența de, prin urmare:

Esența expresiei nu s-a schimbat: în prima intrare am arătat dependența valorii unui membru al unei progresii geometrice de numărul său ordinal, iar în a doua intrare am luat pur și simplu valoarea unui membru al unei progresii geometrice ca , și a desemnat numărul ordinal nu ca, ci ca. Tot ce rămâne de făcut este să construim un grafic.
Să vedem ce ai. Iată graficul cu care am venit:

vezi? Funcția scade, tinde spre zero, dar nu o traversează niciodată, deci este în scădere infinit. Să ne marchem punctele pe grafic și, în același timp, ce înseamnă și coordonatele:

Încercați să descrieți schematic un grafic al unei progresii geometrice dacă primul său termen este, de asemenea, egal. Analizați care este diferența cu graficul nostru anterior?

Te-ai descurcat? Iată graficul cu care am venit:

Acum că ai înțeles pe deplin elementele de bază ale subiectului progresiei geometrice: știi ce este, știi cum să-i găsești termenul și știi, de asemenea, ce este o progresie geometrică infinit descrescătoare, să trecem la proprietatea sa principală.

Proprietatea progresiei geometrice.

Vă amintiți de proprietatea membrilor progresie aritmetică? Da, da, cum să găsiți valoarea unui anumit număr al unei progresii atunci când există valori anterioare și ulterioare ale termenilor acestei progresii. Vă amintiți? Iată-l:

Acum ne confruntăm cu exact aceeași întrebare pentru termenii progresiei geometrice. Pentru a obține o astfel de formulă, să începem să desenăm și să raționăm. O să vezi, este foarte ușor, iar dacă uiți, îl poți scoate singur.

Să luăm o altă progresie geometrică simplă, în care știm și. Cum să găsești? Cu progresia aritmetică este ușor și simplu, dar ce zici de aici? De fapt, nici în geometrie nu este nimic complicat - trebuie doar să notezi fiecare valoare dată nouă conform formulei.

Vă puteți întreba, ce ar trebui să facem acum? Da, foarte simplu. Mai întâi, să descriem aceste formule într-o imagine și să încercăm să facem diverse manipulări cu ele pentru a ajunge la o valoare.

Să facem abstracție de la numerele care ne sunt date, să ne concentrăm doar pe exprimarea lor prin formulă. Trebuie să găsim valoarea evidențiată în portocaliu, cunoscând termenii adiacente acesteia. Să încercăm să efectuăm diverse acțiuni cu ei, în urma cărora putem obține.

Plus.
Să încercăm să adăugăm două expresii și obținem:

Din această expresie, după cum puteți vedea, nu o putem exprima în niciun fel, prin urmare, vom încerca o altă opțiune - scăderea.

Scădere.

După cum puteți vedea, nici nu putem exprima acest lucru, prin urmare, să încercăm să înmulțim aceste expresii unele cu altele.

Multiplicare.

Acum priviți cu atenție ceea ce avem prin înmulțirea termenilor progresiei geometrice date nouă în comparație cu ceea ce trebuie găsit:

Ghici despre ce vorbesc? Așa e, pentru a descoperi că trebuie să luăm rădăcină pătrată din numerele de progresie geometrică adiacente celei dorite înmulțite între ele:

Poftim. Tu însuți ai derivat proprietatea progresiei geometrice. Încercați să scrieți această formulă în vedere generală. A funcționat?

Ați uitat condiția pentru? Gândiți-vă de ce este important, de exemplu, încercați să îl calculați singur. Ce se va întâmpla în acest caz? Așa e, prostie completă pentru că formula arată așa:

Prin urmare, nu uitați de această limitare.

Acum să calculăm cu ce este egal

Răspunsul corect este! Dacă nu ai uitat a doua valoare posibilă în timpul calculului, atunci ești grozav și poți trece imediat la antrenament, iar dacă ai uitat, citește ceea ce se discută mai jos și fii atent la motivul pentru care ambele rădăcini trebuie notate în răspuns.

Să desenăm ambele progresii geometrice - una cu o valoare și cealaltă cu o valoare și să verificăm dacă ambele au dreptul de a exista:

Pentru a verifica dacă o astfel de progresie geometrică există sau nu, este necesar să vedem dacă toți termenii ei dați sunt la fel? Calculați q pentru primul și al doilea caz.

Vezi de ce trebuie să scriem două răspunsuri? Pentru că semnul termenului pe care îl cauți depinde dacă este pozitiv sau negativ! Și din moment ce nu știm ce este, trebuie să scriem ambele răspunsuri cu un plus și un minus.

Acum că ați stăpânit punctele principale și ați derivat formula proprietății progresiei geometrice, găsiți, cunoașteți și

Comparați răspunsurile dvs. cu cele corecte:

Ce credeți, dacă ni s-ar da nu valorile termenilor progresiei geometrice adiacente numărului dorit, ci echidistante de acesta. De exemplu, trebuie să găsim, și dat și. Putem folosi formula pe care am derivat-o în acest caz? Încercați să confirmați sau să infirmați această posibilitate în același mod, descriind în ce constă fiecare valoare, așa cum ați făcut atunci când ați derivat inițial formula, la.
Ce ai primit?

Acum uită-te din nou cu atenție.
si, in consecinta:

De aici putem concluziona că formula funcționează nu numai cu vecinii cu termenii doriti ai progresiei geometrice, dar si cu echidistant din ceea ce caută membrii.

Astfel, formula noastră inițială ia forma:

Adică dacă în primul caz am spus asta, acum spunem că poate fi egal cu oricare număr natural, care este mai mic. Principalul lucru este că este același pentru ambele numere date.

Exersează cu exemple specifice, doar fii extrem de atent!

, . Găsi.
, . Găsi.
, . Găsi.

Hotărât? Sper că ați fost extrem de atenți și ați observat o mică captură.

Să comparăm rezultatele.

În primele două cazuri, aplicăm cu calm formula de mai sus și obținem următoarele valori:

În al treilea caz, la o examinare atentă a numerelor de serie ale numerelor care ni s-au dat, înțelegem că acestea nu sunt echidistante față de numărul pe care îl căutăm: este numărul anterior, dar este eliminat la o poziție, deci este nu se poate aplica formula.

Cum să o rezolv? De fapt, nu este atât de dificil pe cât pare! Să scriem în ce constă fiecare număr dat și numărul pe care îl căutăm.

Deci avem și. Să vedem ce putem face cu ei? Sugerez împărțirea la. Primim:

Înlocuim datele noastre în formula:

Următorul pas pe care îl putem găsi este - pentru aceasta trebuie să luăm rădăcina cubă a numărului rezultat.

Acum să ne uităm din nou la ce avem. Îl avem, dar trebuie să îl găsim și, la rândul său, este egal cu:

Am găsit toate datele necesare pentru calcul. Înlocuiți în formula:

Raspunsul nostru: .

Încercați să rezolvați singur o altă problemă similară:
Având în vedere: ,
Găsi:

Cât ai primit? am - .

După cum puteți vedea, în esență aveți nevoie amintiți-vă doar o formulă- . Toate restul le puteți retrage singur, fără nicio dificultate, în orice moment. Pentru a face acest lucru, pur și simplu scrieți cea mai simplă progresie geometrică pe o bucată de hârtie și notați cu ce este egal fiecare dintre numerele sale, conform formulei descrise mai sus.

Suma termenilor unei progresii geometrice.

Acum să ne uităm la formule care ne permit să calculăm rapid suma termenilor unei progresii geometrice într-un interval dat:

Pentru a obține formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice finite, înmulțim toate părțile ecuației de mai sus cu. Primim:

Privește cu atenție: ce au în comun ultimele două formule? Așa este, membri comuni, de exemplu, și așa mai departe, cu excepția primului și ultimului membru. Să încercăm să scădem prima ecuație din a doua ecuație. Ce ai primit?

Acum exprimați termenul progresiei geometrice prin formulă și înlocuiți expresia rezultată în ultima noastră formulă:

Grupați expresia. Ar trebui să obțineți:

Tot ce rămâne de făcut este să exprim:

În consecință, în acest caz.

Și dacă? Ce formulă funcționează atunci? Imaginați-vă o progresie geometrică la. Cum este ea? Rând corect numere identice, în consecință, formula va arăta astfel:

Există multe legende despre progresia aritmetică și geometrică. Una dintre ele este legenda lui Set, creatorul șahului.

Mulți oameni știu că jocul de șah a fost inventat în India. Când regele hindus a întâlnit-o, a fost încântat de inteligența ei și de varietatea de poziții posibile în ea. Aflând că a fost inventat de unul dintre supușii săi, regele a decis să-l recompenseze personal. L-a chemat pe inventator la sine și i-a ordonat să-i ceară tot ce își dorește, promițându-i că-și va îndeplini și cea mai pricepută dorință.

Seta a cerut timp să se gândească, iar când a doua zi Seta a apărut în fața regelui, l-a surprins pe rege cu modestia fără precedent a cererii sale. A cerut să o treacă drept prima celulă tablă de şah un bob de grâu, pentru un al doilea bob de grâu, pentru al treilea, pentru al patrulea etc.

Regele s-a supărat și l-a alungat pe Set, spunând că cererea slujitorului este nedemnă de generozitatea regelui, dar a promis că slujitorul își va primi boabele pentru toate pătratele tablei.

Și acum întrebarea: folosind formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice, calculați câte boabe ar trebui să primească Seth?

Să începem să raționăm. Întrucât, conform condiției, Seth a cerut un bob de grâu pentru primul pătrat al tablei de șah, pentru al doilea, pentru al treilea, pentru al patrulea etc., atunci vedem că problema este despre o progresie geometrică. Cu ce este egal în acest caz?
Corect.

Total pătrate ale tablei de șah. Respectiv, . Avem toate datele, tot ce rămâne este să le introducem în formulă și să calculăm.

Pentru a ne imagina cel puțin aproximativ „scara” unui număr dat, transformăm folosind proprietățile gradului:

Desigur, dacă doriți, puteți lua un calculator și calcula cu ce număr ajungeți, iar dacă nu, va trebui să mă credeți pe cuvânt: valoarea finală a expresiei va fi.
Adică:

quintilioane cvadrilioane trilioane miliarde de milioane de mii.

Uf) Dacă doriți să vă imaginați enormitatea acestui număr, atunci estimați cât de mare ar fi necesar un hambar pentru a găzdui întreaga cantitate de cereale.
Dacă hambarul are m înălțime și m lățime, lungimea lui ar trebui să se extindă pe km, adică. de două ori mai departe decât de la Pământ la Soare.

Dacă regele ar fi fost puternic în matematică, l-ar fi putut invita pe omul de știință însuși să numere boabele, pentru că pentru a număra un milion de boabe, ar fi nevoie de cel puțin o zi de numărare neobosită și, având în vedere că este necesar să numere chintilioane, boabele ar trebui să fie numărate pe tot parcursul vieții.

Acum să rezolvăm o problemă simplă care implică suma termenilor unei progresii geometrice.
Un elev din clasa 5A Vasya s-a îmbolnăvit de gripă, dar continuă să meargă la școală. În fiecare zi, Vasya infectează două persoane, care, la rândul lor, infectează încă două persoane și așa mai departe. Sunt doar oameni în clasă. În câte zile toată clasa se va îmbolnăvi de gripă?

Deci, primul termen al progresiei geometrice este Vasya, adică o persoană. Al treilea termen al progresiei geometrice sunt cele două persoane pe care le-a infectat în prima zi a sosirii. Suma totală a termenilor de progres este egală cu numărul de studenți 5A. În consecință, vorbim despre o progresie în care:

Să substituim datele noastre în formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice:

Întreaga clasă se va îmbolnăvi în câteva zile. Nu crezi formule și numere? Încercați să prezentați singur „infecția” studenților. A funcționat? Uite cum mi se pare:

Calculați singur câte zile ar fi nevoie pentru ca elevii să se îmbolnăvească de gripă dacă fiecare ar infecta o persoană și ar fi o singură persoană în clasă.

Ce valoare ai primit? S-a dovedit că toată lumea a început să se îmbolnăvească după o zi.

După cum puteți vedea, o astfel de sarcină și desenul pentru ea seamănă cu o piramidă, în care fiecare ulterior „aduce” oameni noi. Totuși, mai devreme sau mai târziu vine un moment în care acesta din urmă nu poate atrage pe nimeni. În cazul nostru, dacă ne imaginăm că clasa este izolată, persoana din închide lanțul (). Astfel, dacă o persoană ar fi implicată într-o piramidă financiară în care s-au dat bani dacă ați aduce alți doi participanți, atunci persoana respectivă (sau în general) nu ar aduce pe nimeni, în consecință, ar pierde tot ceea ce a investit în această înșelătorie financiară.

Tot ceea ce s-a spus mai sus se referă la o progresie geometrică în scădere sau în creștere, dar, după cum vă amintiți, avem un tip special - o progresie geometrică în scădere infinit. Cum se calculează suma membrilor săi? Și de ce acest tip de progresie are anumite caracteristici? Să ne dăm seama împreună.

Deci, mai întâi, să ne uităm din nou la acest desen al unei progresii geometrice în scădere infinită din exemplul nostru:

Acum să ne uităm la formula pentru suma unei progresii geometrice, derivată puțin mai devreme:
sau

Pentru ce ne străduim? Așa este, graficul arată că tinde spre zero. Adică at, va fi aproape egal, respectiv, atunci când calculăm expresia vom obține aproape. În acest sens, credem că atunci când se calculează suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, această paranteză poate fi neglijată, deoarece va fi egală.

- formula este suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma infinit numarul de membri.

Dacă este specificat un anumit număr n, atunci folosim formula pentru suma n termeni, chiar dacă sau.

Acum haideți să exersăm.

Aflați suma primilor termeni ai progresiei geometrice cu și.
Aflați suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu și.

Sper că ai fost extrem de atent. Să comparăm răspunsurile noastre:

Acum știți totul despre progresia geometrică și este timpul să treceți de la teorie la practică. Cele mai frecvente probleme de progresie geometrică întâlnite la examen sunt problemele de calcul al dobânzii compuse. Acestea sunt cele despre care vom vorbi.

Probleme la calcularea dobânzii compuse.

Probabil ați auzit de așa-numita formulă a dobânzii compuse. Înțelegi ce înseamnă? Dacă nu, să ne dăm seama, pentru că odată ce înțelegeți procesul în sine, veți înțelege imediat ce legătură are progresia geometrică cu el.

Mergem cu toții la bancă și știm că există conditii diferite pentru depozite: aceasta include un termen, întreținere suplimentară și dobândă cu două metode diferite de calcul - simplă și complexă.

CU dobândă simplă totul este mai mult sau mai puțin clar: dobânda se acumulează o singură dată la sfârșitul termenului de depozit. Adică, dacă spunem că depunem 100 de ruble pentru un an, atunci acestea vor fi creditate abia la sfârșitul anului. În consecință, până la sfârșitul depozitului vom primi ruble.

Dobânda compusă- aceasta este o opțiune în care se întâmplă capitalizarea dobânzii, adică adăugarea acestora la suma depozitului și calculul ulterior al veniturilor nu din suma inițială, ci din suma depozitului acumulat. Capitalizarea nu are loc constant, ci cu o oarecare frecvență. De regulă, astfel de perioade sunt egale și cel mai adesea băncile folosesc o lună, un trimestru sau un an.

Să presupunem că depunem aceleași ruble anual, dar cu capitalizarea lunară a depozitului. ce facem?

Înțelegi totul aici? Dacă nu, hai să ne dăm seama pas cu pas.

Am adus ruble la bancă. Până la sfârșitul lunii, ar trebui să avem o sumă în cont constând din rublele noastre plus dobânda pentru ele, adică:

De acord?

O putem scoate din paranteze și apoi obținem:

De acord, această formulă este deja mai asemănătoare cu ceea ce am scris la început. Mai rămâne doar să ne dai seama de procente

În enunțul problemei ni se spune despre ratele anuale. După cum știți, nu înmulțim cu - convertim procentele în zecimale, adică:

Corect? Acum vă puteți întreba, de unde a venit numărul? Foarte simplu!
Repet: enunțul problemei spune despre ANUAL dobânda care se acumulează LUNAR. După cum știți, într-un an de luni, în consecință, banca ne va percepe o parte din dobânda anuală pe lună:

Ti-ai dat seama? Acum încercați să scrieți cum ar arăta această parte a formulei dacă aș spune că dobânda se calculează zilnic.
Te-ai descurcat? Să comparăm rezultatele:

Bine făcut! Să revenim la sarcina noastră: scrieți cât va fi creditat în contul nostru în a doua lună, ținând cont că se acumulează dobândă la suma acumulată a depozitului.
Iată ce am primit:

Sau, cu alte cuvinte:

Cred că ați observat deja un model și ați văzut o progresie geometrică în toate acestea. Scrieți cu ce va fi membrul acestuia sau, cu alte cuvinte, ce sumă de bani vom primi la sfârșitul lunii.
A făcut-o? Să verificăm!

După cum puteți vedea, dacă puneți bani în bancă timp de un an la o dobândă simplă, veți primi ruble, iar dacă la o dobândă compusă, veți primi ruble. Beneficiul este mic, dar acest lucru se întâmplă doar în timpul celui de-al treilea an, dar pentru o perioadă mai lungă capitalizarea este mult mai profitabilă:

Să ne uităm la un alt tip de problemă care implică dobânda compusă. După ce ți-ai dat seama, va fi elementar pentru tine. Deci, sarcina:

Compania Zvezda a început să investească în industrie în 2000, cu capital în dolari. În fiecare an, din 2001, a primit un profit egal cu capitalul din anul precedent. Cât profit va primi compania Zvezda la sfârșitul anului 2003 dacă profiturile nu ar fi retrase din circulație?

Capitalul companiei Zvezda în 2000.
- capitalul companiei Zvezda în 2001.
- capitalul companiei Zvezda în 2002.
- capitalul companiei Zvezda în 2003.

Sau putem scrie pe scurt:

Pentru cazul nostru:

2000, 2001, 2002 și 2003.

Respectiv:
ruble
Vă rugăm să rețineți că în această problemă nu avem o împărțire nici după, nici după, deoarece procentul este dat ANUAL și se calculează ANUAL. Adică, atunci când citiți o problemă privind dobânda compusă, acordați atenție la ce procent este dat și în ce perioadă este calculat și abia apoi treceți la calcule.
Acum știi totul despre progresia geometrică.

Antrenamentul.

Aflați termenul progresiei geometrice dacă se știe că și
Aflați suma primilor termeni ai progresiei geometrice dacă se știe că și
Compania MDM Capital a început să investească în industrie în 2003, cu capital în dolari. În fiecare an, din 2004, a primit un profit egal cu capitalul din anul precedent. Compania MSK Fluxuri de numerar„a început să investească în industrie în 2005 în valoare de 10.000 de dolari, începând să facă profit în 2006 în valoare de. Cu câți dolari este capitalul unei companii mai mare decât a celeilalte la sfârșitul anului 2007, dacă profiturile nu au fost retrase din circulație?

Raspunsuri:

Deoarece enunțul problemei nu spune că progresia este infinită și este necesar să se găsească suma unui anumit număr al termenilor săi, calculul se efectuează conform formulei:
Compania MDM Capital:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- crește cu 100%, adică de 2 ori.
Respectiv:
ruble
Compania MSK Cash Flows:
2005, 2006, 2007.
- crește cu, adică cu ori.
Respectiv:
ruble
ruble

Să rezumam.

1) Progresia geometrică ( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu precedentul, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.

2) Ecuația termenilor progresiei geometrice este .

3) poate lua orice valoare, cu excepția și.

dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - ei sunt pozitive;
dacă, atunci toți termenii ulterioare ai progresiei semne alternative;
când – progresia se numește infinit descrescătoare.

4) , când – proprietatea progresiei geometrice (termeni adiacenți)

sau
, la (termeni echidistanti)

Când îl găsiți, nu uitați asta ar trebui să existe două răspunsuri.

De exemplu,

5) Suma termenilor progresiei geometrice se calculează prin formula:
sau

IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma unui număr infinit de termeni.

6) Problemele privind dobânda compusă se calculează și folosind formula celui de-al treilea termen al unei progresii geometrice, cu condiția ca fondurile să nu fi fost retrase din circulație:

PROGRESIA GEOMETRICA. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Numitorul progresiei geometrice poate lua orice valoare cu excepția și.

Dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - sunt pozitivi;
dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei semnează alternativ;
când – progresia se numește infinit descrescătoare.

Ecuația termenilor de progresie geometrică - .

Suma termenilor unei progresii geometrice calculat prin formula:
sau

Dacă progresia este în scădere infinită, atunci:

RĂMĂSUL 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!

Deveniți student YouClever,

Pregătiți-vă pentru examenul de stat unificat sau examenul de stat unificat la matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,

De asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, programul de pregătire „100gia” (cartea de rezolvare), o probă nelimitată Unified State Exam și Unified State Exam, 6000 de probleme cu analiza soluțiilor și alte servicii YouClever și 100gia.

Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice, adică fiecare termen diferă de cel anterior de q ori. (Vom presupune că q ≠ 1, altfel totul este prea banal). Este ușor de observat că formula generală pentru al n-lea termen al progresiei geometrice este b n = b 1 q n – 1 ; termenii cu numere b n și b m diferă de q n – m ori.

Deja în Egiptul antic cunoștea nu numai aritmetica, ci și progresia geometrică. Iată, de exemplu, o problemă din papirusul Rhind: „Șapte fețe au șapte pisici; Fiecare pisică mănâncă șapte șoareci, fiecare șoarece mănâncă șapte spice de porumb și fiecare spic de orz poate crește șapte măsuri de orz. Cât de mari sunt numerele din această serie și suma lor?

Orez. 1. Problema de progresie geometrică a Egiptului antic

Această sarcină s-a repetat de multe ori cu diferite variații între alte popoare în alte momente. De exemplu, în scris în secolul al XIII-lea. „Cartea Abacului” de Leonardo din Pisa (Fibonacci) are o problemă în care 7 bătrâne apar în drum spre Roma (evident pelerini), fiecare având câte 7 catâri, fiecare având câte 7 pungi, fiecare dintre ele. conține 7 pâini, fiecare având 7 cuțite, fiecare având 7 teci. Problema se întreabă câte obiecte sunt.

Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Această formulă poate fi demonstrată, de exemplu, astfel: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Adăugați numărul b 1 q n la S n și obțineți:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

De aici S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), și obținem formula necesară.

Deja pe una dintre tăblițele de lut ale Babilonului antic, datând din secolul al VI-lea. î.Hr e., conține suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Adevărat, ca și într-o serie de alte cazuri, nu știm cum a fost cunoscut acest fapt babilonienilor. .

Creșterea rapidă a progresiei geometrice într-un număr de culturi, în special în cea indiană, este folosită în mod repetat ca simbol vizual al vastității universului. În celebra legendă despre apariția șahului, domnitorul îi oferă inventatorului său posibilitatea de a alege singur recompensa și el cere numărul de boabe de grâu care vor fi obținute dacă unul este plasat pe primul pătrat al tablei de șah, două pe al doilea, patru pe al treilea, opt pe al patrulea și etc., de fiecare dată când numărul se dublează. Vladyka a crezut că cel mult vorbim despre câteva genți, dar a greșit. Este ușor de observat că pentru toate cele 64 de pătrate ale tablei de șah inventatorul ar trebui să primească (2 64 – 1) granule, care se exprimă ca un număr de 20 de cifre; chiar dacă s-ar semăna întreaga suprafață a Pământului, ar dura cel puțin 8 ani pentru a colecta cantitatea necesară de cereale. Această legendă este uneori interpretată ca indicând posibilitățile practic nelimitate ascunse în jocul de șah.

Este ușor de observat că acest număr are într-adevăr 20 de cifre:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (un calcul mai precis dă 1,84∙10 19). Dar mă întreb dacă poți afla cu ce cifră se termină acest număr?

O progresie geometrică poate fi crescătoare dacă numitorul este mai mare de 1, sau descrescătoare dacă este mai mică de unu. În acest din urmă caz, numărul q n pentru n suficient de mare poate deveni arbitrar mic. În timp ce progresia geometrică în creștere crește în mod neașteptat de repede, progresia geometrică în scădere scade la fel de repede.

Cu cât n este mai mare, cu atât numărul q n diferă de zero mai slab și cu atât suma n termeni ai progresiei geometrice S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) este mai apropiată de numărul S = b 1 / ( 1 – q). (De exemplu, F. Viet a argumentat astfel). Numărul S se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Cu toate acestea, timp de multe secole, întrebarea care este sensul însumării întregii progresii geometrice, cu numărul său infinit de termeni, nu a fost suficient de clară pentru matematicieni.

O progresie geometrică în scădere poate fi observată, de exemplu, în aporia lui Zeno „Jumătate de divizie” și „Achilles și broasca țestoasă”. În primul caz, se arată clar că întreg drumul (presupunând lungimea 1) este suma unui număr infinit de segmente 1/2, 1/4, 1/8 etc. Acesta este, desigur, cazul de la punctul de vedere al ideilor despre o sumă finită progresie geometrică infinită. Și totuși - cum poate fi asta?

Orez. 2. Progresie cu un coeficient de 1/2

În aporia despre Ahile, situația este puțin mai complicată, pentru că aici numitorul progresiei nu este 1/2, ci un alt număr. Să fie, de exemplu, Ahile să alerge cu viteza v, broasca țestoasă se mișcă cu viteza u, iar distanța inițială dintre ele este l. Ahile va parcurge această distanță în timp l/v, iar în acest timp țestoasa se va deplasa cu o distanță lu/v. Când Ahile parcurge acest segment, distanța dintre el și țestoasă va deveni egală cu l (u /v) 2 etc. Se dovedește că a ajunge din urmă cu țestoasa înseamnă a găsi suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu primul termen. l și numitorul u /v. Această sumă - segmentul pe care Ahile îl va alerga în cele din urmă la locul de întâlnire cu țestoasa - este egală cu l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Dar, din nou, cum ar trebui interpretat acest rezultat și de ce are vreun sens? pentru o lungă perioadă de timp nu era foarte clar.

Orez. 3. Progresie geometrică cu coeficient de 2/3

Arhimede a folosit suma unei progresii geometrice pentru a determina aria unui segment de parabolă. Lasă acest segment a parabolei este delimitată de coarda AB și fie tangenta din punctul D al parabolei paralelă cu AB. Fie C mijlocul lui AB, E mijlocul lui AC, F mijlocul lui CB. Să trasăm drepte paralele cu DC prin punctele A, E, F, B; Fie tangenta trasată în punctul D să intersecteze aceste drepte în punctele K, L, M, N. Să desenăm și segmentele AD și DB. Fie ca dreapta EL să intersecteze dreapta AD în punctul G și parabola în punctul H; linia FM intersectează linia DB în punctul Q și parabola în punctul R. Conform teorie generală secțiuni conice, DC – diametrul parabolei (adică un segment paralel cu axa acesteia); ea și tangenta din punctul D pot servi drept axe de coordonate x și y, în care ecuația parabolei este scrisă ca y 2 = 2px (x este distanța de la D la orice punct cu un diametru dat, y este lungimea lui un segment paralel cu o tangentă dată de la acest punct de diametru până la un punct de pe parabolă în sine).

În virtutea ecuației parabolei, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, iar din moment ce DK = 2DL, atunci KA = 4LH. Deoarece KA = 2LG, LH = HG. Aria segmentului ADB al unei parabole este egală cu aria triunghiului ΔADB și ariile segmentelor AHD și DRB combinate. La rândul său, aria segmentului AHD este egală cu aria triunghiului AHD și a segmentelor rămase AH și HD, cu fiecare dintre ele puteți efectua aceeași operație - împărțită într-un triunghi (Δ) și cele două segmente rămase (), etc.:

Aria triunghiului ΔAHD este egală cu jumătate din aria triunghiului ΔALD (au o bază comună AD, iar înălțimile diferă de 2 ori), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria lui triunghiul ΔAKD și, prin urmare, jumătate din aria triunghiului ΔACD. Astfel, aria triunghiului ΔAHD este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔACD. De asemenea, aria triunghiului ΔDRB este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔDFB. Deci, ariile triunghiurilor ΔAHD și ΔDRB, luate împreună, sunt egale cu un sfert din aria triunghiului ΔADB. Repetarea acestei operații atunci când este aplicată segmentelor AH, HD, DR și RB va selecta triunghiuri dintre ele, a căror zonă, luate împreună, va fi de 4 ori mai mică decât aria triunghiurilor ΔAHD și ΔDRB, luate împreună și prin urmare, de 16 ori mai puțin decât aria triunghiului ΔADB. Și așa mai departe:

Astfel, Arhimede a demonstrat că „fiecare segment cuprins între o linie dreaptă și o parabolă constituie patru treimi dintr-un triunghi având aceeași bază și înălțime egală”.

Lecție și prezentare pe tema: „Secvențe de numere. Progresie geometrică”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a 9-a
Puteri și rădăcini Funcții și grafice

Băieți, astăzi ne vom familiariza cu un alt tip de progresie.
Tema lecției de astăzi este progresia geometrică.

Progresie geometrică

Definiţie. O succesiune numerică în care fiecare membru, începând cu al doilea, egal cu produsul numărul anterior și un număr fix se numește progresie geometrică.
Să definim secvența noastră recursiv: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
unde b și q sunt anumite numere date. Numărul q se numește numitorul progresiei.

Exemplu. 1,2,4,8,16... Progresie geometrică în care primul termen egal cu unuși $q=2$.

Exemplu. 8,8,8,8... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu opt,
și $q=1$.

Exemplu. 3,-3,3,-3,3... Progresie geometrică în care primul termen este egal cu trei,
și $q=-1$.

Progresia geometrică are proprietățile monotoniei.
Dacă $b_(1)>0$, $q>1$,
atunci secvența crește.
Dacă $b_(1)>0$, $0 Secvența se notează de obicei sub forma: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

La fel ca într-o progresie aritmetică, dacă într-o progresie geometrică numărul de elemente este finit, atunci progresia se numește progresie geometrică finită.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Rețineți că, dacă o secvență este o progresie geometrică, atunci șirul de pătrate de termeni este, de asemenea, o progresie geometrică. În a doua secvență, primul termen este egal cu $b_(1)^2$, iar numitorul este egal cu $q^2$.

Formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice

Progresia geometrică poate fi specificată și sub formă analitică. Să vedem cum să facem asta:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Observăm cu ușurință modelul: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formula noastră se numește „formula celui de-al n-lea termen al unei progresii geometrice”.

Să revenim la exemplele noastre.

Exemplu. 1,2,4,8,16... Progresie geometrică în care primul termen este egal cu unu,
și $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Exemplu. 16,8,4,2,1,1/2... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu șaisprezece și $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Exemplu. 8,8,8,8... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu opt și $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Exemplu. 3,-3,3,-3,3... O progresie geometrică în care primul termen este egal cu trei și $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Exemplu. Având în vedere o progresie geometrică $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Se știe că $b_(1)=6, q=3$. Găsiți $b_(5)$.
b) Se știe că $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Găsiți n.
c) Se știe că $q=-2, b_(6)=96$. Găsiți $b_(1)$.
d) Se știe că $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Găsiți q.

Soluţie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, deoarece $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Exemplu. Diferența dintre termenii al șaptelea și al cincilea al progresiei geometrice este 192, suma celor cinci și al șaselea termeni ale progresiei este 192. Aflați al zecelea termen al acestei progresii.

Soluţie.
Știm că: $b_(7)-b_(5)=192$ și $b_(5)+b_(6)=192$.
Mai știm: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Apoi:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Am primit un sistem de ecuații:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Echivalând ecuațiile noastre obținem:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Avem două soluții q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Înlocuiți secvențial în a doua ecuație:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nicio soluție.
Am obținut că: $b_(1)=4, q=2$.
Să găsim al zecelea termen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Suma unei progresii geometrice finite

Să avem o progresie geometrică finită. Să calculăm, la fel ca pentru o progresie aritmetică, suma termenilor săi.

Să fie dată o progresie geometrică finită: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Să introducem denumirea pentru suma termenilor săi: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
În cazul în care $q=1$. Toți termenii progresiei geometrice sunt egali cu primul termen, atunci este evident că $S_(n)=n*b_(1)$.
Să luăm acum în considerare cazul $q≠1$.
Să înmulțim suma de mai sus cu q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Nota:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Am obținut formula pentru suma unei progresii geometrice finite.

Exemplu.
Aflați suma primilor șapte termeni ai unei progresii geometrice al cărei prim termen este 4 și numitorul este 3.

Soluţie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Exemplu.
Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice care este cunoscută: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Soluţie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$ q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Proprietatea caracteristică a progresiei geometrice

Băieți, se dă o progresie geometrică. Să ne uităm la cei trei membri consecutivi ai săi: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Stim ca:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Apoi:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Dacă progresia este finită, atunci această egalitate este valabilă pentru toți termenii, cu excepția primului și ultimului.
Dacă nu se știe dinainte ce formă are șirul, dar se știe că: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Apoi putem spune cu siguranță că aceasta este o progresie geometrică.

O secvență de numere este o progresie geometrică numai atunci când pătratul fiecărui membru este egal cu produsul celor două elemente adiacente ale progresiei. Nu uitați că pentru o progresie finită această condiție nu este îndeplinită pentru primul și ultimul termen.

Să ne uităm la această identitate: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ se numește media geometrică a numerelor a și b.

Modulul oricărui termen al unei progresii geometrice este egal cu media geometrică a celor doi termeni adiacenți ai săi.

Exemplu.
Găsiți x astfel încât $x+2; 2x+2; 3x+3$ au fost trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Soluţie.
Să folosim proprietatea caracteristică:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ și $x_(2)=-1$.
Să substituim succesiv soluțiile noastre în expresia originală:
Cu $x=2$ am obtinut sirul: 4;6;9 – o progresie geometrica cu $q=1.5$.
Pentru $x=-1$, obținem succesiunea: 1;0;0.
Răspuns: $x=2.$

Probleme de rezolvat independent

1. Aflați al optulea prim termen al progresiei geometrice 16;-8;4;-2….
2. Aflați al zecelea termen al progresiei geometrice 11,22,44….
3. Se știe că $b_(1)=5, q=3$. Găsiți $b_(7)$.
4. Se știe că $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Găsiți n.
5. Aflați suma primilor 11 termeni ai progresiei geometrice 3;12;48….
6. Găsiți x astfel încât $3x+4; 2x+4; x+5$ sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Anna Malkova

Progresie geometrică este o succesiune, al cărei termen, începând cu al doilea, este egal cu produsul termenului anterior și un număr fix q:

Număr fix q numit numitorul unei progresii geometrice.

Formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice:

Formula pentru suma primei membrii progresiei geometrice se calculează prin formula:

Pătratul fiecărui termen al progresiei geometrice, începând cu al doilea, este egal cu produsul celor vecini:

1. Algele cresc pe suprafața lacului. În decurs de o zi, fiecare algă este împărțită în jumătate și, în loc de o algă, apar două. După încă o zi, fiecare dintre algele rezultate este împărțită în jumătate și așa mai departe. După 30 de zile, lacul a fost complet acoperit cu alge. Cât a durat până când lacul a fost plin pe jumătate?

Răspunsul este paradoxal: după 29 de zile.

Această problemă este cel mai bine rezolvată „de la sfârșit”. Aici în fața ta este un lac plin de alge. Ce sa întâmplat cu o zi în urmă? Evident, erau jumătate din câte alge, adică lacul era pe jumătate acoperit cu ele.

În fiecare zi erau de două ori mai multe alge în lac, adică numărul lor creștea în progresie geometrică.

2. Examinarea de stat unificată) Omul de afaceri Bublikov a primit un profit de 5.000 de ruble în 2000. În fiecare an următor, profiturile sale au crescut cu 300% față de anul precedent. Câte ruble a câștigat Bublikov în 2003?

Profitul lui Bublikov în 2000 a fost mic. Dar în fiecare an profitul a crescut cu 300%, adică de 4 ori față de anul precedent. Progresie geometrică! Căutăm al patrulea membru al ei:

3. (Sarcina de examinare de stat unificată) Compania Alpha a început să investească în industria promițătoare în 2001, cu un capital de 3.000 USD. În fiecare an, din 2002, a realizat un profit care a reprezentat 100% din capitalul anului precedent. Iar Compania Beta a început să investească într-o altă industrie în 2003, cu un capital de 6.000 USD și, din 2004, a realizat un profit anual de 200% din capitalul anului precedent. Cu câți dolari era capitalul unei companii mai mare decât capitalul celeilalte la sfârșitul anului 2006, dacă profiturile nu erau retrase din circulație?

Să definim conceptele de bază ale problemei.

Capitalul companiei– totalitatea tuturor fondurilor disponibile companiei.

Profit– diferența dintre venituri și cheltuieli (costuri).

Dacă în 2002 profitul companiei Alpha este de 100% din capitalul anului precedent, înseamnă că capitalul companiei Alpha s-a dublat pe parcursul anului. La fel, capitalul Alpha se dublează în 2003, 2004, 2005 și 2006, adică a fost de mii de dolari în 2006.

Capitalul companiei Beta crește de 3 ori anual. În 2006, a crescut de câteva ori față de 2003 și s-a ridicat la dolari.

Acesta este cu 66 de mii de dolari mai mult decât capitalul companiei Alpha.

Progresie geometrică în scădere infinită

O progresie geometrică al cărei numitor este |q|<1, называется бесконечно убывающей.

Un exemplu de progresie geometrică infinit descrescătoare.

Care este suma sa?

Să desenăm un dreptunghi cu aria 1. Adăugăm la el zone cu aria

La ce tinde aria figurii rezultate cu o creștere infinită în n, adică cu adăugarea unor suprafețe din ce în ce mai mici? Evident, cu doi.

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este un număr care se găsește prin formula:

Există o glumă matematică și acum o vei înțelege.

Un număr infinit de matematicieni intră într-un bar. Primul spune: „Voi bea un pahar de bere!” Al doilea: „Voi bea o jumătate de pahar de bere!” Al treilea: „Voi bea un sfert de pahar de bere!” Al patrulea: „Voi bea un pahar de bere!” Barman: „Stai puțin... Îți cunosc trucurile - ai două pahare de bere pentru toată lumea!”

Probleme de examen de stat unificat pentru soluții independente

1. Omul de afaceri Korovin a primit un profit în valoare de 1.400.000 de ruble în 2000. În fiecare an următor, profiturile sale au crescut cu 20% față de anul precedent. Câte ruble a câștigat Korovin în 2004?

2. Compania Alpha a început să investească într-o industrie promițătoare în 2001, cu un capital de 4.000 USD. În fiecare an, din 2002, a realizat un profit care a reprezentat 100% din capitalul anului precedent. Și Beta Company a început să investească într-o altă industrie în 2004, cu un capital de 4.500 USD și, din 2005, a realizat un profit anual de 200% din capitalul anului precedent. Cu câți dolari era capitalul unei companii mai mare decât capitalul celeilalte la sfârșitul anului 2007, dacă profiturile nu erau retrase din circulație?

Raspuns: 2 903 040
Răspuns: 134500

Lecție pe tema „Progresie geometrică în scădere infinită”

Obiectivul lecției: introducerea elevilor într-un nou tip de succesiune – o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Sarcini:

formularea unei idei inițiale a limitei unei secvențe numerice; cunoașterea unui alt mod de a converti fracții periodice infinite în fracții obișnuite folosind formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare;

dezvoltarea calităților intelectuale ale personalității școlarilor, cum ar fi gândirea logică, capacitatea de a face acțiuni evaluative și generalizarea;

stimularea activității, asistența reciprocă, colectivismul și interesul pentru subiect.

Echipament: clasa de calculatoare, proiector, ecran.

Tip de lecție: lecție - învățarea unui subiect nou.

Progresul lecției

eu . Org. moment. Prezentați subiectul și scopul lecției.

II . Actualizarea cunoștințelor elevilor.1. Verificarea temelor.

1) Verificarea formulelor de bază referitoare la progresiile aritmetice și geometrice. Doi elevi pregătesc note despre formule la tablă.

2) Restul elevilor o fac dictare matematică pe tema „Formulele sumei”.

Misiuni:

№1. Aflați suma primilor cinci termeni ai unei progresii aritmetice dacă primul său termen este 6 (prima opțiune), -20 (a doua opțiune), iar al cincilea termen este -6 (prima opțiune), 20 (a doua opțiune).

№2. Aflați suma primilor cinci termeni ai unei progresii aritmetice dacă primul său termen este -20 (prima opțiune), 6 (a doua opțiune), iar diferența este 10 (prima opțiune), -3 (a doua opțiune).

№3. Aflați suma primilor cinci termeni ai unei progresii geometrice dacă primul său termen este egal cu 1 (prima opțiune), -1 (a doua opțiune), iar numitorul este -2 (prima opțiune), 2 (a doua opțiune).

La sfârșitul dictatului, munca a doi elevi este verificată selectiv pentru evaluare, ceilalți efectuează un autotest folosind soluții gata făcute scrise pe clapele tablei.

Solutii:

Misiuni

1. Progresia aritmetică este dată de formula o n = 7 – 4 n. Găsi o 10 . (-33)

2. În progresie aritmetică o 3 = 7 Şi o 5 = 1 . Găsi o 4 . (4)

3. În progresie aritmetică o 3 = 7 Şi o 5 = 1 . Găsi o 17 . (-35)

4. În progresie aritmetică o 3 = 7 Şi o 5 = 1 . Găsi S 17 . (-187)

5. Pentru progresie geometrică
găsiți al cincilea termen.

6. Pentru progresie geometrică
găsi n al-lea membru.

7. Exponenţial b 3 = 8 Şi b 5 = 2 . Găsi b 4 . (4)

8. Exponenţial b 3 = 8 Şi b 5 = 2 . Găsi b 1 Şi q .

9. Exponenţial b 3 = 8 Şi b 5 = 2 . Găsi S 5 . (62)

III . Învățarea unui subiect nou(demonstrație de prezentare).

Să considerăm un pătrat cu latura egală cu 1. Să desenăm un alt pătrat a cărui latură este jumătate din dimensiunea primului pătrat, apoi altul a cărui latură este jumătate din a doua, apoi următorul etc. De fiecare dată când latura noului pătrat este egală cu jumătate din cea precedentă.

Ca rezultat, am primit o succesiune de laturi de pătrate formând o progresie geometrică cu numitorul .

Și, ceea ce este foarte important, cu cât construim mai multe astfel de pătrate, cu atât latura pătratului va fi mai mică. De exemplu,

Aceste. Pe măsură ce numărul n crește, termenii progresiei se apropie de zero.

Folosind această figură, puteți lua în considerare o altă secvență.

De exemplu, succesiunea ariilor pătratelor:

. Și, din nou, dacă n crește la nesfârșit, apoi zona se apropie de zero cât de aproape doriți.

Să ne uităm la un alt exemplu. Un triunghi echilateral cu laturile egale cu 1 cm. Să construim următorul triunghi cu vârfurile în mijlocul laturilor primului triunghi, conform teoremei despre linia mediană a triunghiului - latura celui de-al doilea este egală cu jumătatea laturii primului, latura celui de-al treilea este egal cu jumătate din latura celui de-al 2-lea etc. Din nou obținem o succesiune de lungimi ale laturilor triunghiurilor.

la
.

Dacă luăm în considerare o progresie geometrică cu numitor negativ.

Apoi, din nou, cu un număr tot mai mare n termenii progresiei se apropie de zero.

Să fim atenți la numitorii acestor secvențe. Peste tot numitorii erau mai mici de 1 în valoare absolută.

Putem concluziona: o progresie geometrică va fi infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de 1.

Lucru frontal.

Definiţie:

Se spune că o progresie geometrică este infinit descrescătoare dacă modulul numitorului său este mai mic de unu.
.

Folosind definiția, puteți decide dacă o progresie geometrică este în scădere infinit sau nu.

Sarcină

Este succesiunea o progresie geometrică infinit descrescătoare dacă este dată de formula:

;
.

Soluţie:

. Vom găsi q .

;
;
;
.

această progresie geometrică este infinit în scădere.

b) această succesiune nu este o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Să considerăm un pătrat cu latura egală cu 1. Împărțiți-l în jumătate, una dintre jumătăți în jumătate etc. Aricele tuturor dreptunghiurilor rezultate formează o progresie geometrică infinit descrescătoare:

Suma ariilor tuturor dreptunghiurilor obținute în acest fel va fi egală cu aria primului pătrat și egală cu 1.

Dar în partea stângă a acestei egalități se află suma unui număr infinit de termeni.

Să considerăm suma primilor n termeni.

Conform formulei pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice, este egal cu .

Dacă n crește fără limită, atunci

sau
. De aceea
, adică
.

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare există o limită de secvență S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

De exemplu, pentru progresie
,

Deoarece

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare poate fi găsit folosind formula
.

III . Înțelegerea și consolidarea(finalizarea sarcinilor).

Sarcina nr. 2. Aflați suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, primul termen fiind 3 și al doilea termen fiind 0,3.

Soluţie:

Sarcina nr. 3. manual, p. 160, nr. 433(1)

Aflați suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare:

Soluţie:

Sarcina nr. 4. Scrieți fracția zecimală periodică infinită 0,(5) ca o fracție comună.

1a metoda. Fie x=0,(5)= 0,555... / 10 Metoda a 2-a. 0,(5)=0,555…=

Sarcina nr. 5. manual, p. 162, nr. 445(3) (soluție independentă)

Scrieți fracția zecimală periodică infinită 0,(12) ca o fracție comună.

Răspuns: 0,(12)= 4/33.

IV . Rezumând.

Cu ce secvență v-ați familiarizat astăzi?

Definiți o progresie geometrică infinit descrescătoare.

Cum se demonstrează că o progresie geometrică este în scădere infinită?

Dați formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

V . Teme pentru acasă.