Cifrele volumetrice geometrice sunt solide, care ocupă un volum diferit de zero în spațiul euclidian (tridimensional). Aceste figuri sunt studiate de o ramură a matematicii numită „geometrie spațială”. Cunoștințele despre proprietățile figurilor tridimensionale sunt folosite în inginerie și științele naturii. În articol vom lua în considerare problema figurilor geometrice tridimensionale și a numelor acestora.

Solide geometrice

Deoarece aceste corpuri au o dimensiune finită în trei direcții spațiale, un sistem de trei axe de coordonate este folosit pentru a le descrie în geometrie. Aceste axe au următoarele proprietăți:

1. Sunt ortogonale între ele, adică perpendiculare.
2. Aceste axe sunt normalizate, ceea ce înseamnă că vectorii de bază ai fiecărei axe au aceeași lungime.
3. Oricare dintre axele de coordonate este rezultatul produsului vectorial al celorlalte două.

Apropo de geometric cifrele volumetriceși numele lor, trebuie remarcat faptul că toți aparțin uneia dintre cele 2 clase mari:

1. Clasa de poliedre. Aceste figuri, bazate pe numele clasei, au margini drepte și fețe plate. O față este un plan care limitează o formă. Punctul în care două fețe se unesc se numește muchie, iar punctul în care se unesc trei fețe se numește vârf. Poliedrele includ figura geometrică a unui cub, tetraedre, prisme și piramide. Pentru aceste cifre este valabilă teorema lui Euler, care stabilește o legătură între numărul de laturi (C), muchii (P) și vârfuri (B) pentru fiecare poliedru. Matematic, această teoremă se scrie după cum urmează: C + B = P + 2.
2. Clasa de corpuri rotunde sau corpuri de revoluție. Aceste figuri au cel puțin o suprafață curbată care le formează. De exemplu, o minge, un con, un cilindru, un torus.

În ceea ce privește proprietățile figurilor volumetrice, trebuie evidențiate cele două cele mai importante dintre ele:

1. Prezența unui anumit volum pe care o figură îl ocupă în spațiu.
2. Prezența unei suprafețe pentru fiecare figură volumetrică.

Ambele proprietăți pentru fiecare figură sunt descrise prin formule matematice specifice.

Să luăm în considerare mai jos cele mai simple figuri geometrice volumetrice și numele lor: cub, piramidă, prismă, tetraedru și bilă.

Figura cub: descriere

Cubul figurii geometrice este un corp tridimensional format din 6 planuri sau suprafete patrate. Această figură se mai numește și hexaedru regulat, deoarece are 6 laturi, sau un paralelipiped dreptunghiular, deoarece este alcătuită din 3 perechi de laturi paralele care sunt reciproc perpendiculare între ele. Se numește un cub a cărui bază este un pătrat și a cărui înălțime este egală cu latura bazei.

Deoarece un cub este un poliedru sau poliedru, i se poate aplica teorema lui Euler pentru a determina numărul muchiilor sale. Știind că numărul laturilor este 6, iar cubul are 8 vârfuri, numărul muchiilor este: P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12.

Dacă notăm lungimea laturii unui cub cu litera „a”, atunci formulele pentru volumul și suprafața acestuia vor arăta astfel: V = a 3 și, respectiv, S = 6*a 2.

Figura piramidală

O piramidă este un poliedru care constă dintr-un poliedru simplu (baza piramidei) și triunghiuri care se conectează la bază și au un vârf comun (vârful piramidei). Triunghiurile se numesc fețele laterale ale piramidei.

Caracteristicile geometrice ale unei piramide depind de poligonul care se află la baza ei, precum și de dacă piramida este dreaptă sau oblică. O piramidă dreaptă este înțeleasă ca fiind o piramidă pentru care o linie dreaptă perpendiculară pe bază, trasată prin vârful piramidei, intersectează baza în centrul ei geometric.

Una dintre piramidele simple este o piramidă dreptunghiulară, la baza căreia se află un pătrat cu latura „a”, înălțimea acestei piramide este „h”. Pentru această figură piramidală, volumul și aria suprafeței vor fi egale: V = a 2 *h/3 și respectiv S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2. Aplicând pentru aceasta teorema lui Euler, ținând cont de faptul că numărul de fețe este 5 și numărul de vârfuri este 5, obținem numărul de muchii: P = 5 + 5 - 2 = 8.

Figura de tetraedru: descriere

Figura geometrică tetraedrul este înțeles ca un corp tridimensional format din 4 fețe. Pe baza proprietăților spațiului, astfel de fețe pot reprezenta doar triunghiuri. Astfel, un tetraedru este un caz special al unei piramide, care are la bază un triunghi.

Dacă toate cele 4 triunghiuri care formează fețele unui tetraedru sunt echilaterale și egale între ele, atunci un astfel de tetraedru se numește regulat. Acest tetraedru are 4 fețe și 4 vârfuri, numărul muchiilor este 4 + 4 - 2 = 6. Aplicând formule standard din geometria plană pentru figura în cauză, obținem: V = a 3 * √2/12 și S = √ 3*a 2, unde a este lungimea laturii unui triunghi echilateral.

Este interesant de observat că în natură unele molecule au forma tetraedru regulat. De exemplu, o moleculă de metan CH 4, în care atomii de hidrogen sunt localizați la vârfurile tetraedrului și sunt legați de atomul de carbon prin covalent legături chimice. Atomul de carbon este situat în centrul geometric al tetraedrului.

Forma tetraedrului, care este ușor de fabricat, este folosită și în inginerie. De exemplu, forma tetraedrică este utilizată la fabricarea ancorelor pentru nave. Rețineți că sonda spațială Mars Pathfinder a NASA, care a aterizat pe suprafața lui Marte pe 4 iulie 1997, avea și forma unui tetraedru.

Figura cu prismă

Această figură geometrică poate fi obținută prin luarea a două poliedre, plasându-le paralele între ele în planuri diferite ale spațiului și conectându-le vârfurile în consecință. Rezultatul va fi o prismă, două poliedre se numesc bazele sale, iar suprafețele care leagă aceste poliedre vor avea forma de paralelograme. O prismă se numește dreptă dacă laturile ei (paralelograme) sunt dreptunghiuri.

O prismă este un poliedru, deci este adevărat pentru el. De exemplu, dacă baza prismei este un hexagon, atunci numărul de laturi ale prismei este 8, iar numărul de vârfuri este 12. Numărul de muchii va fi. fie egal cu: P = 8 + 12 - 2 = 18. Pentru o prismă dreaptă de înălțime h, la baza căreia se află hexagon obișnuit cu latura a volumul este egal cu: V = a 2 *h*√3/4, aria suprafeței este egală cu: S = 3*a*(a*√3 + 2*h).

Vorbind despre figuri geometrice volumetrice simple și despre numele lor, ar trebui să menționăm mingea. Un corp volumetric numit bilă este înțeles ca un corp limitat la o sferă. La rândul său, o sferă este o colecție de puncte din spațiu echidistante de un punct, care se numește centrul sferei.

Deoarece mingea aparține clasei corpurilor rotunde, nu există conceptul de laturi, margini și vârfuri pentru ea. sfera care delimitează mingea se găsește cu formula: S = 4*pi*r 2, iar volumul bilei poate fi calculat cu formula: V = 4*pi*r 3 /3, unde pi este numărul pi (3.14), r - raza sferei (mingei).

În această lecție veți afla ce este forme geometrice. Vom vorbi despre figurile reprezentate pe un avion și despre proprietățile lor. Veți afla despre cele mai simple forme de forme geometrice, cum ar fi punctele și liniile. Luați în considerare modul în care se formează un segment și o rază. Cunoașteți definiția și diverse tipuri colțuri Următoarea formă a cărei definiție și proprietăți sunt discutate în această lecție este un cerc. În cele ce urmează, se discută definiția triunghiului și poligonului și varietățile acestora.

Orez. 10. Cercul și circumferința

Gândiți-vă ce puncte aparțin unui cerc și ce cercuri (vezi Fig. 11).

Orez. 11. Dispunerea reciprocă a punctelor și cercului, punctelor și cercului

Răspuns corect: punctele, aparțin cercului, și numai punctele și aparțin cercului.

Un punct este centrul unui cerc sau cerc. Segmentele sunt razele unui cerc sau cerc, adică segmente care leagă centrul și orice punct situat pe cerc. Un segment este diametrul unui cerc sau cerc, adică este un segment care leagă două puncte situate pe cerc și care trece prin centru. Raza este jumătate din diametru (vezi Fig. 12).

Orez. 12. Raza și diametrul

Să ne amintim acum ce fel de figură se numește triunghi. Un triunghi este o figură geometrică formată din trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi. Un triunghi are trei unghiuri.

Luați în considerare un triunghi (vezi Fig. 13).

Orez. 13. Triunghi

Are trei unghiuri - colț, colț și colț. Punctele , , se numesc vârfurile triunghiului. Trei segmente - segment , , - sunt laturile triunghiului.

Să repetăm ​​ce tipuri de triunghiuri se disting (vezi Fig. 14).

Orez. 14. Tipuri de triunghiuri

Pe baza tipurilor de unghiuri, triunghiurile pot fi împărțite în acute, dreptunghiulare și obtuze. Într-un triunghi, toate unghiurile sunt acute; un astfel de triunghi se numește acut. Un triunghi are un unghi drept, un astfel de triunghi se numește triunghi dreptunghic. Un triunghi are un unghi obtuz, un astfel de dreptunghi se numește triunghi obtuz.

Triunghiurile se disting în funcție de dacă lungimile laturilor sunt egale:

Scalene - astfel de triunghiuri au lungimi diferite de toate laturile;

Echilateral - aceste triunghiuri au lungimi egale ale tuturor laturilor;

Isoscel - cele două laturi ale lor au aceeași lungime. Două laturi de lungime egală se numesc laturile laterale ale triunghiului, iar a treia latură este baza triunghiului (vezi Fig. 15).

Orez. 15. Tipuri de triunghiuri

Ce forme se numesc poligoane? Dacă conectați mai multe puncte în serie astfel încât legătura lor să dea un închis linie întreruptă, apoi se creează o imagine a unui poligon, patrulater, pentagon sau hexagon etc.

Poligoanele sunt denumite după numărul de unghiuri. Fiecare poligon are atâtea vârfuri și laturi câte unghiuri există (vezi Fig. 16).

Orez. 16. Poligoane

Toate figurile descrise (vezi Fig. 17) se numesc patrulatere. De ce?

Orez. 17. Cadrilatere

Probabil ați observat că toate figurinele au patru colțuri, dar toate pot fi împărțite în două grupuri. Cum ai face-o?

Probabil ați separat patrulaterele în care toate unghiurile sunt unghiuri drepte într-un grup separat, iar astfel de patrulatere au fost numite patrulatere dreptunghiulare. Laturile opuse ale dreptunghiurilor sunt egale (vezi Fig. 18).

Orez. 18. Patrulatere dreptunghiulare

Într-un dreptunghi și sunt laturi opuse și sunt egale, și sunt, de asemenea, laturi opuse și sunt egale (vezi Fig. 19).

Geometria este o știință matematică exactă care se ocupă cu studiul relațiilor și formelor spațiale și a altor relații similare. Dar este adesea numit „uscat”, deoarece nu este capabil să descrie forma multor obiecte naturale, deoarece norii nu sunt sfere, munții nu sunt conuri și fulgerul nu călătorește în linii drepte. Multe obiecte din natură au forme complexe în comparație cu geometria standard.

Cu toate acestea, există o serie de figuri uimitoare care nu sunt de obicei studiate în lecțiile de geometrie ale școlii, dar înconjoară o persoană în lumea reală: în natură și arhitectură, puzzle-uri, jocuri pe calculator etc.

Principala proprietate a acestei figuri geometrice complexe este auto-asemănarea, adică constă din mai multe părți, fiecare dintre ele similară cu întregul obiect. Această proprietate este cea care distinge fractalii de obiectele de geometrie clasică (sau, după cum se spune, euclidiană).

Mai mult, termenul „fractal” în sine nu este matematic și nu are o definiție clară, prin urmare poate fi aplicat obiectelor care sunt auto-similare sau aproximativ auto-similare. A fost inventat în 1975 de Benoit Mandelbrot, împrumutând cuvântul latin „fractus” (rupt, zdrobit).

Formele fractale sunt cel mai bun mod de a descrie lumea realăși se găsesc adesea printre obiectele naturale: fulgi de zăpadă, frunze de plante, sisteme vasele de sânge oameni si animale.

Aceasta este una dintre cele mai extraordinare forme tridimensionale din geometrie, care este ușor de realizat acasă. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați o bandă de hârtie, a cărei lățime este de 5-6 ori mai mică decât lungimea sa și, răsucind unul dintre capete la 180 °, lipiți-le împreună.

Dacă totul este făcut corect, puteți verifica singur proprietățile sale uimitoare:

• Prezența unei singure părți (fără împărțire în interior și extern). Acest lucru poate fi verificat cu ușurință dacă încercați să pictați peste una dintre laturile sale cu un creion. Indiferent de unde și în ce direcție începi să pictezi, întreaga bandă va ajunge să fie vopsită cu aceeași culoare.
• Continuitate: Dacă trasați o linie de-a lungul întregii suprafețe cu un stilou, capătul acesteia se va conecta la punctul de plecare fără a depăși limitele suprafeței.
• Bidimensionalitate (conexiune): atunci când tăiați o bandă Möbius pe lungime, aceasta rămâne intactă, pur și simplu se obțin forme noi (de exemplu, atunci când tăiați în jumătate, se obține un inel mai mare).
• Lipsa de orientare. O călătorie de-a lungul unei astfel de fâșii Mobius va fi întotdeauna nesfârșită, va duce la punct de plecare căi, doar în imagine în oglindă.

Benzile Mobius sunt utilizate pe scară largă în industrie și știință (în benzi transportoare, imprimante matriciale, mecanisme de ascuțire etc.). În plus, există o ipoteză științifică conform căreia Universul însuși este și o bandă Mobius de dimensiuni incredibile.

Polyomino

Acestea sunt forme geometrice plate care se formează prin conectarea mai multor pătrate de dimensiuni egale de-a lungul laturilor lor.

Numele poliominoelor depind de numărul de pătrate din care sunt formate:

• monomino – 1;
• domino – 2;
• trimino – 3;
• tetromino – 4 etc.

Mai mult, pentru fiecare varietate există un număr diferit de tipuri de figuri: domino-urile au 1 tip, trimino-urile au 3 tipuri, hexamino-urile (din 6 pătrate) au 35 de tipuri. Numărul de variații diferite depinde de numărul de pătrate folosite, dar niciun om de știință nu a reușit încă să găsească o formulă uimitoare care să exprime această dependență. Din părțile poliomino puteți aranja atât forme geometrice, cât și imagini cu oameni, animale și obiecte. În ciuda faptului că acestea vor fi siluete schițate, principalele trăsături și forme ale obiectelor le fac destul de recunoscute.

Poliamond

Alături de poliominouri, există o altă figură geometrică uimitoare folosită pentru a compune alte forme - polyamong. Este un poligon format din mai multe triunghiuri echilaterale de dimensiuni egale.

Numele a fost inventat de matematicianul T. O'Beirne pe baza unuia dintre numele rombului din engleză– un diamant care poate fi făcut din 2 triunghiuri echilaterale. Prin analogie, O’Beirne a numit o figură cu 3 triunghiuri echilaterale un triamond, o figură cu 4 - un tetriamond etc.

Principala întrebare a existenței lor rămâne întrebarea a cantitate posibilă poliamide, care pot fi realizate dintr-un anumit număr de triunghiuri. Utilizarea poliamundelor în viata reala de asemenea, similar cu utilizarea poliominoelor. Ar putea fi diverse feluri puzzle-uri și probleme de logică.

Triunghiul Reuleaux

Oricât de surprinzător sună, puteți găuri o gaură pătrată cu un burghiu, iar triunghiul Reuleaux ajută la acest lucru. Reprezintă aria formată prin intersecția lui 3 cercuri egale, ale cărui centre sunt vârfurile unui triunghi regulat, iar razele sunt egale cu latura acestuia.

Triunghiul Reuleaux în sine poartă numele savantului-inginer german, care a fost primul care a studiat caracteristicile sale mai detaliat și l-a folosit pentru mecanismele sale la începutul secolelor XIX-XX. secolului, deși proprietățile sale uimitoare erau deja cunoscute de Leonardo da Vinci. Oricine i-a fost descoperitorul, lumea modernă Această cifră este utilizată pe scară largă sub forma:

• Burghiu Watts, care vă permite să forați găuri de formă pătrată aproape perfectă, doar cu marginile ușor rotunjite;
• un mediator necesar pentru a cânta instrumente muzicale ciupite;
• mecanisme cu came folosite pentru a crea cusături în zig-zag în mașinile de cusut, precum și ceasurile germane;
• arcade ascuțite, caracteristice stilului gotic în arhitectură.

Cifre imposibile

Așa-numitele figuri imposibile merită o atenție specială - iluzii optice uimitoare care la prima vedere par a fi o proiecție a unui obiect tridimensional, dar la o examinare mai atentă, combinații neobișnuite de elemente devin vizibile. Cele mai populare dintre ele sunt:

Tribar, creat de tatăl și fiul Lionel și Roger Penrose, care este o imagine a unui triunghi echilateral, dar are modele ciudate. Laturile care formează partea superioară a triunghiului apar perpendiculare, dar laturile dreaptă și stânga din partea de jos apar și ele perpendiculare. Dacă luăm în considerare fiecare parte a acestui triunghi separat, le putem recunoaște în continuare existența, dar în realitate o astfel de figură nu poate exista, deoarece elementele corecte nu au fost conectate corect atunci când a fost creată.

Scara Nesfârșită, a cărei autoritate aparține și tatălui și fiului Penroses, este, prin urmare, adesea numită prin numele lor - „Scara Penrose”, precum și „Scara eternă”. La prima vedere, arată ca o scară obișnuită care duce în sus sau în jos, dar o persoană care merge de-a lungul ei va urca continuu (în sens invers acelor de ceasornic) sau va coborî (în sensul acelor de ceasornic). Dacă călătorești vizual de-a lungul unei astfel de scări, atunci la sfârșitul „călătorii” privirea ta se oprește la punctul de plecare al căii. Dacă o astfel de scară ar exista în realitate, ar trebui urcat și coborât de un număr infinit de ori, ceea ce poate fi comparat cu o sarcină nesfârșită a lui Sisif.

Tridentul imposibil este un obiect uimitor, privindu-l pe care este imposibil să se determine unde începe grila din mijloc. De asemenea, se bazează pe principiul conexiunilor neregulate, care pot exista doar în spațiul bidimensional, dar nu și în spațiul tridimensional. Privind părțile tridentului separat, sunt vizibili 3 dinți rotunzi pe o parte și 2 dreptunghiulari pe cealaltă parte.

Astfel, părțile figurii intră într-un fel de conflict: în primul rând, primul plan și fundalul se schimbă, iar în al doilea rând, dinții rotunzi din partea inferioară sunt transformați în cei plati în partea superioară.

Copiii mici sunt gata să învețe oriunde și întotdeauna. Creierul lor tânăr este capabil să capteze, să analizeze și să-și amintească atât de multe informații care sunt dificile chiar și pentru un adult. Ceea ce ar trebui să-i învețe părinții pe copiii lor are limite de vârstă în general acceptate.

Copiii ar trebui să învețe formele geometrice de bază și numele lor între 3 și 5 ani.

Deoarece toți copiii învață diferit, aceste limite sunt acceptate doar condiționat în țara noastră.

Geometria este știința formelor, dimensiunilor și aranjamentului figurilor în spațiu. Poate părea că este dificil pentru copii. Cu toate acestea, obiectele de studiu ale acestei științe sunt peste tot în jurul nostru. Acesta este motivul pentru care este important să ai cunoștințe de bază în acest domeniu atât pentru copii, cât și pentru bătrâni.

Pentru a-i face pe copii interesați de învățarea geometriei, puteți folosi imagini amuzante. În plus, ar fi bine să aveți ajutoare pe care copilul le poate atinge, simți, urmări, colora și recunoaște cu ochii închiși. Principiul principal al oricăror activități cu copiii este de a le menține atenția și de a dezvolta o poftă de utilizare a subiectului tehnici de jocși o atmosferă relaxată, distractivă.

Combinația mai multor mijloace de percepție își va face treaba foarte repede. Utilizați mini-tutorialul nostru pentru a învăța copilul să distingă formele geometrice și să le cunoască numele.

Cercul este prima dintre toate formele. În natură, multe lucruri din jurul nostru sunt rotunde: planeta noastră, soarele, luna, miezul unei flori, multe fructe și legume, pupilele ochilor. Un cerc volumetric este o minge (minge, minge)

Este mai bine să începeți să studiați forma unui cerc cu copilul uitându-vă la desene și apoi să întăriți teoria cu practică, lăsând copilul să țină ceva rotund în mâini.

Un pătrat este o formă în care toate laturile au aceeași înălțime și lățime. Obiecte pătrate - cuburi, cutii, casă, fereastră, pernă, scaun etc.

Este foarte ușor să construiești tot felul de case din cuburi pătrate. Este mai ușor să desenezi un pătrat pe o bucată de hârtie în carouri.

Un dreptunghi este o rudă a unui pătrat, care diferă prin faptul că are laturile opuse egale. La fel ca un pătrat, unghiurile unui dreptunghi sunt toate de 90 de grade.

Puteți găsi multe obiecte în formă de dreptunghi: dulapuri, electrocasnice, uși, mobilier.

În natură, munții și unii copaci au formă de triunghi. Din mediul imediat al copiilor, putem cita ca exemplu acoperișul triunghiular al unei case și diverse indicatoare rutiere.

Unele structuri antice, cum ar fi templele și piramidele, au fost construite în formă de triunghi.

Un oval este un cerc alungit pe ambele părți. De exemplu, ouăle, nucile, multe legume și fructe, o față umană, galaxiile etc. au formă ovală.

Un oval în volum se numește elipsă. Chiar și Pământul este turtit la poli - eliptică.

Romb

Un romb este același pătrat, doar alungit, adică are două unghiuri obtuze și o pereche de acute.

Puteți studia un romb cu ajutorul unor ajutoare vizuale - o imagine desenată sau un obiect tridimensional.

Tehnici de memorare

Formele geometrice sunt ușor de reținut după nume. Puteți transforma studiul lor într-un joc pentru copii, aplicând următoarele idei:

• Cumpărați o carte ilustrată pentru copii care conține desene distractive și colorate ale formelor și analogiile lor din lumea din jurul lor.

• Tăiați o mulțime de figuri diferite din carton multicolor, laminați-le cu bandă și folosiți-le ca seturi de construcție - puteți crea o mulțime de combinații interesante combinând diferite figuri.

• Cumpărați o riglă cu găuri în formă de cerc, pătrat, triunghi și altele - pentru copiii care sunt deja familiarizați cu creioanele, desenul cu o astfel de riglă este o activitate foarte interesantă.

Vă puteți gândi la multe moduri de a-i învăța pe copii să cunoască numele formelor geometrice. Toate metodele sunt bune: desene, jucării, observații ale obiectelor din jur. Începeți mic, crescând treptat complexitatea informațiilor și sarcinilor. Nu vei simți cum trece timpul, iar bebelușul te va mulțumi cu succes în viitorul apropiat.

Cele mai simple figuri geometrice includ un punct, o linie dreaptă, un segment, o rază, un semiplan și un unghi.

Chiar și printre cele mai simple figuri, cea mai simplă iese în evidență - aceasta punct. Toate celelalte cifre constau din mai multe puncte.În geometrie, se obișnuiește să se desemneze punctele cu litere latine majuscule. De exemplu, punctul A, punctul L.

Drept- aceasta este o linie infinită pe care dacă luați oricare două puncte, atunci cea mai scurtă distanță dintre ele va trece de-a lungul acestei linii drepte. Liniile directe sunt cel mai adesea notate cu o literă latină mică (mică). De exemplu, linia dreaptă a, linia dreaptă b. Cu toate acestea, în unele cazuri există două mari. De exemplu, drept AB, drept CD.

Segment- aceasta este o parte a unei linii drepte împreună cu punctele care limitează această parte. Adică, un segment este format din două puncte situate pe o linie și o secțiune a acestei linii între aceste două puncte. Se numesc punctele segmentului capetele segmentului. Este clar că două puncte nu trebuie să coincidă, adică să se afle în același loc pe o linie dreaptă. În caz contrar, segmentul va avea lungime zero și va fi în esență un punct. Segmentele sunt desemnate cu două cu majuscule, care indică capetele segmentului. De exemplu, dacă capetele unui segment sunt punctele A și B, atunci segmentul va fi desemnat AB.

Dacă o linie dreaptă este împărțită în două părți cu un punct, atunci două fascicul. Unul vine dintr-un punct într-o direcție, iar celălalt în cealaltă. Astfel, dacă un segment este limitat la ambele capete, atunci raza are o singură latură, iar cealaltă parte a razei este infinită, ca o linie dreaptă. Razele sunt desemnate în același mod ca liniile drepte: fie cu o literă mică, fie cu două mari.

Semi-avion- aceasta este o parte a avionului situată pe o parte sau alta a liniei drepte. Rezultă că linia dreaptă împarte planul în două semiplane și ea însăși este limita lor.

Colţ, este format dintr-un punct și două raze care se extind din acesta. Acest concept de unghi este apropiat de modul în care conceptul de rază a fost introdus mai sus: un punct împarte o linie dreaptă în două raze. Dar în acest caz vorbeam despre faptul că ambele raze se află pe aceeași linie dreaptă. Dar aici acest lucru este departe de a fi necesar. Două raze pot aparține unor linii drepte diferite, principalul lucru este că punctul din care emană le este comun. Acest punct se numește vârful colțului, în timp ce razele sunt numite laturile unghiului.

Unghiurile sunt desemnate diferit - cu o literă, două, trei. Dar ele sunt întotdeauna precedate de semnul ∠ (unghi). De exemplu ∠ABC, ∠B, ∠ac.