Fie specificată o variabilă aleatoare continuă X de către funcția de distribuție F(X) . Să presupunem că toate valorile posibile variabilă aleatoare aparțin segmentului [ O, B].
Definiţie. Așteptări matematice o variabilă aleatoare continuă X, ale cărei valori posibile aparțin segmentului, se numește integrală definită
Dacă valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt luate în considerare pe întreaga axă numerică, atunci așteptarea matematică se găsește prin formula:
În acest caz, desigur, se presupune că integrală improprie converge.
Definiţie. Varianta a unei variabile aleatoare continue este așteptarea matematică a pătratului abaterii acesteia.
Prin analogie cu varianța unei variabile aleatoare discrete, pentru a calcula practic varianța, se utilizează formula:
Definiţie. Abaterea standard Chemat rădăcină pătrată din dispersie.
Definiţie. Modă M0 al unei variabile aleatoare discrete se numește valoarea sa cea mai probabilă. Pentru o variabilă aleatoare continuă, modul este valoarea variabilei aleatoare la care densitatea de distribuție are un maxim.
Dacă poligonul de distribuție pentru o variabilă aleatoare discretă sau curba de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă are două sau mai multe maxime, atunci o astfel de distribuție se numește Bimodal sau Multimodal.
Dacă o distribuție are un minim, dar nu un maxim, atunci este numită Antimodal.
Definiţie. Median MD al unei variabile aleatoare X este valoarea acesteia în raport cu care este la fel de probabil să se obțină o valoare mai mare sau mai mică a variabilei aleatoare.
Geometric, mediana este abscisa punctului în care aria limitată de curba de distribuție este împărțită la jumătate.
Rețineți că, dacă distribuția este unimodală, atunci modul și mediana coincid cu așteptări matematice.
Definiţie. Momentul de pornire Despre K O variabilă aleatoare X este așteptarea matematică a valorii X K.
Pentru o variabilă aleatoare discretă: .
.
Momentul inițial de ordinul întâi este egal cu așteptarea matematică.
Definiţie. Moment central Despre K variabila aleatoare X este așteptarea matematică a valorii
Pentru o variabilă aleatoare discretă: 
.
Pentru o variabilă aleatoare continuă: 
.
Momentul central de prim ordin este întotdeauna egal cu zero, iar momentul central de ordinul doi este egal cu dispersia. Momentul central de ordinul trei caracterizează asimetria distribuției.
Definiţie. Se numește raportul dintre momentul central de ordinul al treilea și deviația standard și a treia putere Coeficient de asimetrie.
Definiţie. Pentru a caracteriza vârful și planeitatea distribuției, o cantitate numită Exces.
Pe lângă cantitățile luate în considerare, se mai folosesc așa-numitele momente absolute:
Moment de pornire absolut: .
Moment central absolut: 
.
Momentul central absolut de ordinul întâi se numește Abaterea medie aritmetică.
Exemplu. Pentru exemplul discutat mai sus, determinați așteptarea matematică și varianța variabilei aleatoare X.
Exemplu.Într-o urnă sunt 6 bile albe și 4 negre. O minge este scoasă din ea de cinci ori la rând și de fiecare dată bila îndepărtată este returnată înapoi și bilele sunt amestecate. Luând numărul de bile albe extrase ca variabilă aleatoare X, se întocmește o lege de distribuție pentru această valoare, se determină așteptarea matematică și dispersia acesteia.
Deoarece bilele din fiecare experiment revin și sunt amestecate, testele pot fi considerate independente (rezultatul experimentului anterior nu afectează probabilitatea apariției sau neapariției unui eveniment într-un alt experiment).
Astfel, probabilitatea ca o minge albă să apară în fiecare experiment este constantă și egală cu
Astfel, în urma a cinci încercări consecutive, mingea albă poate să nu apară deloc, sau să apară o dată, de două ori, de trei, de patru sau de cinci ori.
Pentru a elabora o lege de distribuție, trebuie să găsiți probabilitățile fiecăruia dintre aceste evenimente.
1) Bila albă nu a apărut deloc:
2) Bila albă a apărut o dată:
3) Bila albă va apărea de două ori: 
.
4) Bila albă va apărea de trei ori: 
Variabila aleatoare ca un concept fundamental al teoriei probabilităţilor are mare valoareîn aplicaţiile sale. Acest concept este o expresie abstractă a unui eveniment aleatoriu. Mai mult, uneori este mai convenabil să se opereze cu variabile aleatoare decât cu evenimente aleatoare.
Aleatoriu este o cantitate care, în urma experimentului, poate lua una sau alta (dar doar una) valoare (înainte de experiment nu se știe care dintre ele).
Evenimentele sunt de obicei desemnate cu majuscule Alfabetul latin, probabilitatea literelor R, De exemplu, R(A). Realizările unui eveniment (variabile aleatoare) sunt indicate cu litere mici: o 1 , o 2 , …, o n.
Deoarece în teoria probabilităţilor şi statistici matematice sunt luate în considerare fenomene de masă, atunci variabila aleatoare este de obicei caracterizată valorile posibile și probabilitățile acestora.
Dintre variabilele aleatoare întâlnite în practică, se pot distinge cele discrete și continue.
Variabile aleatoare discretese numesc cele care iau doar valori separate unele de altele și pot fi enumerate în prealabil. De exemplu, numărul de mașini pe o anumită secțiune de kilometri de drum la un anumit moment în timp; numărul de componente defecte ale pieselor auto într-un lot de n lucruri.
Pentru variabile aleatoare discrete Este caracteristic că ei acceptă separat, valori izolate, care pot fi enumerate în prealabil. De exemplu, numărul de mașini pe o anumită secțiune de drum poate lua numai valori întregi 0, 1,2, ..., nși depinde de ora din zi și de intensitatea traficului.
Există și alte tipuri de variabile aleatorii care sunt mai comune și au o mare semnificație practică.
Variabilă aleatoare continuăse numește acela ale cărui posibile valori umplu continuu un anumit interval(intervalul axei numerice). Intervalul dreptei numerice poate fi finit sau infinit. Exemple de variabile aleatoare continue sunt timpul de funcționare al unei mașini în condiții de drum date, viteza unei mașini pe un drum dat și eroarea de măsurare.
Spre deosebire de discret valorile posibile ale variabilelor aleatoare continue nu pot fi enumerate în prealabil, deoarece umplu continuu un anumit gol.
Variabilele aleatoare sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin - X, Y, Z, T, iar valorile lor posibile sunt în mod corespunzător mici x i, y i, z i, ti, Unde i = 1, 2, .... p.
Luați în considerare o variabilă aleatoare discretă X cu valori posibile x 1 , x 2 , …, xn. Ca rezultat al experimentelor repetate, valoarea T poate lua fiecare dintre valori x i, adică:
X = x 1; X = x 2 ; ...; X = xn.
Să notăm probabilitățile acestor evenimente cu literă r cu indicii corespunzători:
P(X = x 1)= p1; P(X = x 2)= p2; ...; P(X = x n)= p n .
Pe baza faptului că evenimentele x i formează un grup complet de evenimente incompatibile, adică nu pot avea loc alte evenimente, suma probabilităților tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare T este egală cu unu.
Această probabilitate totală este cumva distribuită între valorile individuale ale variabilei aleatoare
Variabilă aleatorie discretă poate fi descris pe deplin din punct de vedere probabilistic dacă indicați cu exactitate probabilitatea fiecărui eveniment, adică specificați această distribuție. Aceasta va stabili legea distribuției variabilei aleatoare.
Legea distribuției unei variabile aleatoareeste orice relație care stabilește o legătură între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare acestora. Cunoscând-o, se poate judeca înainte de experiment care valori ale unei variabile aleatoare vor apărea mai des și care mai rar. Metodele sau formele de reprezentare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare sunt diferite.
Cea mai simplă formă a sarcinii legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete T este o serie de distribuție sau un tabel care enumeră valorile posibile ale acestei mărimi și probabilitățile corespunzătoare acestora.
Cea mai simplă formă de specificare a acestei legi este un tabel care listează valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare.
Un astfel de tabel se numește o serie de distribuție a variabilei aleatoare X.
0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
Funcția de distribuție
Legea distribuției este o caracteristică completă și exhaustivă a unei variabile aleatoare discrete. Cu toate acestea, nu este universal, deoarece nu poate fi aplicat variabilelor aleatoare continue. O variabilă aleatoare continuă ia un număr infinit de valori, umplând un anumit interval. Este aproape imposibil să creezi un tabel care să includă toate valorile unei variabile aleatoare continue. În consecință, pentru o variabilă aleatoare continuă nu există nicio lege de distribuție, în același sens în care există pentru o variabilă aleatoare discretă.
Cum se descrie o variabilă aleatoare continuă?
Pentru a face acest lucru, nu probabilitatea evenimentului X = x este folosită, ci probabilitatea evenimentului X<х, где х - некоторая переменная. Вероятность этого события зависит от х и является функцией х.
Această funcție este numită functie de distributie variabila aleatoare X si se noteaza F(x):
F(x)=P(X
Funcția de distribuție este o caracteristică universală a unei variabile aleatoare. Există pentru orice variabile aleatoare: discrete și continue.
Proprietățile funcției de distribuție:
1. Când x 1 >x 2 F(x 1)> F(x 2)
2. F(- ∞)=0
3. F(+ ∞)=1
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este o funcție de pas discontinuă; Suma acestor sărituri este egală cu unu.
1 F(x)
 |
Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare.
Principalele caracteristici ale variabilelor aleatoare discrete sunt:
· funcţia de distribuţie;
· raza de distributie;
pentru o variabilă aleatoare continuă:
· funcţia de distribuţie;
· densitatea distribuţiei.
Orice lege reprezintă o anumită funcție, iar specificarea acestei funcții descrie complet variabila aleatoare.
Cu toate acestea, atunci când se rezolvă o serie de probleme practice, nu este întotdeauna necesar să se caracterizeze integral o variabilă aleatoare. Este suficient să indicați doar câțiva parametri numerici care caracterizează variabila aleatoare.
Asemenea caracteristici, al căror scop este de a reprezenta într-o formă concentrată cele mai semnificative trăsături ale distribuției, se numesc caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii.
Caracteristicile poziției
(MOJ,mod,median)
Dintre toate cele folosite caracteristici numerice variabile aleatoare, sunt mai des folosite caracteristici care descriu poziția variabilei aleatoare pe axa numerică și anume indică o valoare medie în jurul căreia sunt grupate valorile posibile ale variabilei aleatoare.
În acest scop sunt folosite următoarele caracteristici:
· așteptări matematice;
· mediană.
Așteptările matematice (valoarea medie) se calculează după cum urmează:
X 1 r 1 +x 2 r 2 +….+x n r n ∑ x i р i
р 1 + р 2 + …..+р n n
Având în vedere că ∑ p i , MOZ este egal cu M[X] = ∑ x i p i
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestor valori.
Formularea de mai sus este valabilă numai pentru variabile aleatoare discrete.
Pentru cantități continue
M[X] = ∫ x f(x)dx, Unde f(x) - densitatea de distribuție X.
Există diferite moduri de a calcula media. Cele mai comune forme de reprezentare a mediilor sunt medie aritmetică, mediană și mod.
Media aritmetică se obține prin împărțirea valorii totale a unei caracteristici date pentru întreaga populație statistică omogenă la numărul de unități din această populație. Pentru a calcula media aritmetică, se utilizează formula:
Хср = (Х1+Х2+... +Хn):n,
unde Xi este valoarea caracteristicii unității i-a a populației, n este numărul de unități ale populației.
Modă o variabilă aleatoare se numește valoarea ei cea mai probabilă.
 |
M
 |
Median este valoarea care se află la mijlocul seriei ordonate. Pentru un număr impar de unități dintr-o serie, mediana este unică și este situată exact în mijlocul seriei pentru un număr par, este definită ca valoarea medie a două unități adiacente ale populației care ocupă poziția de mijloc;
Statistici este o ramură a științei care studiază latura cantitativă a fenomenelor de masă viata publica, formată din elemente individuale, unități. Combinația de elemente constituie o populație statistică. Scopul studiului este de a stabili modele cantitative de dezvoltare a acestui fenomen. Se bazează pe aplicarea teoriei probabilităților și a legii numere mari. Esența acestei legi este că, în ciuda fluctuațiilor aleatorii individuale ale elementelor individuale ale agregatului, un anumit model se manifestă în masa totală, caracteristică agregatului dat ca întreg. Cu cât este mai mare numărul de elemente individuale care caracterizează fenomenul studiat, cu atât mai clar este dezvăluit modelul inerent acestui fenomen.
Criminalitatea este un fenomen social, de masă, este un agregat statistic al numeroaselor fapte ale manifestărilor criminale individuale. Acest lucru oferă motive pentru a utiliza metode de teorie statistică pentru a-l studia.
În studiile statistice ale fenomenelor sociale se pot distinge trei etape:
1) observarea statistică, i.e. colectarea de material statistic primar;
2) prelucrarea sumară a datelor culese, în cadrul căreia se calculează rezultatele, se calculează indicatorii de sinteză (rezumativ) iar rezultatele sunt prezentate sub formă de tabele și grafice;
3) analiza, în cadrul căreia se identifică modelele populației statistice studiate, relațiile dintre diferitele sale componente și se realizează o interpretare semnificativă a indicatorilor generalizatori.
Prima etapă a cercetării statistice este observarea statistică. Ea joacă un rol deosebit, deoarece erorile făcute în timpul procesului de colectare a datelor sunt aproape imposibil de corectat în etapele ulterioare de lucru, ceea ce implică în cele din urmă concluzii incorecte despre proprietățile fenomenului studiat și interpretarea lor incorectă.
Conform metodei de înregistrare a faptelor, observația statistică se împarte în continuă și discontinuă. Prin continuă, sau curentă, înțelegem o astfel de observație în care stabilirea și identificarea faptelor se realizează pe măsură ce acestea apar. Cu observarea continuă, faptele sunt înregistrate fie în mod regulat la anumite intervale, fie după cum este necesar.
Pe baza acoperirii unităților populației chestionate, se disting observația continuă și necontinuă. Observația continuă este o observație în care toate unitățile populației studiate sunt supuse înregistrării. De exemplu, înregistrarea infracțiunilor reprezintă teoretic observație continuă. Cu toate acestea, în practică o anumită parte infracțiunile, numite latente, rămân în afara populației statistice studiate și de aceea, de fapt, o astfel de observație este incompletă. Observația incompletă este o observație în care nu toate unitățile populației studiate sunt supuse înregistrării. Este împărțit în mai multe tipuri: observarea matricei principale, observarea selectivă și altele.
Observarea matricei principale (numită uneori metoda continuă imperfectă) este un tip de observație necontinuă în care, din întregul set de unități ale unui obiect, se observă o astfel de parte a acestora care constituie ponderea covârșitoare, predominantă a întregul set. Efectuarea observațiilor prin această metodă se practică în cazurile în care acoperirea completă a tuturor unităților populației este asociată cu dificultăți deosebite și, în același timp, excluderea unui anumit număr de unități de la observare nu are un impact semnificativ asupra concluziilor despre proprietățile intreaga populatie. Prin urmare, înregistrarea infracțiunilor poate fi atribuită, cel mai probabil, în mod specific acestui tip de observație.
Cele mai multe aspect perfect Observarea necontinuă este eșantionarea, în care, pentru a caracteriza întreaga populație, se examinează doar o anumită parte a acesteia, dar eșantionată după anumite reguli. Condiția principală pentru corectitudinea efectuării observării eșantionului este o astfel de selecție, în urma căreia partea selectată a unităților pentru toate caracteristicile care urmează să fie studiate ar caracteriza suficient de precis întreaga populație în ansamblu. Cel mai adesea, observarea eșantionului este utilizată în timpul cercetare sociologică. În viitor, vom lua în considerare regulile și metodele de selectare a unităților în timpul observației selective.
După ce materialul primar a fost colectat și verificat, se realizează a doua etapă a cercetării statistice. Observația statistică oferă material care caracterizează unitățile individuale ale obiectului de studiu. Scopul rezumatului este de a rezuma, sistematiza și generaliza rezultatele observației astfel încât să devină posibilă identificarea trăsături caracteristiceși proprietăți esențiale, pentru a descoperi modele ale fenomenelor și proceselor studiate.
Cel mai simplu exemplu de rezumat este însumarea tuturor infracțiunilor raportate. Cu toate acestea, o astfel de generalizare nu oferă o imagine completă a tuturor proprietăților situației criminalității. Pentru a caracteriza infracțiunile în profunzime și în mod cuprinzător, este necesar să se cunoască modul în care numărul total de infracțiuni este distribuit pe tip, timp, loc și modalitate de săvârșire etc.
Distribuția unităților obiectului studiat în grupuri omogene în funcție de caracteristicile lor esențiale se numește grupare statistică. Obiectele studiate prin statistică sunt de obicei caracterizate de multe proprietăți și relații, exprimate prin diferite caracteristici. Prin urmare, gruparea obiectelor studiate se poate face în funcție de obiectivele studiului statistic în funcție de una sau mai multe dintre aceste caracteristici. Astfel, personalul corpului poate fi grupat pe funcții, grade speciale, vârstă, vechime, stare civilă etc.
Ca urmare a prelucrării și sistematizării primare materiale statistice se obţin o serie de indicatori digitali care caracterizează aspecte individuale ale fenomenelor sau proceselor studiate sau modificările acestora. Aceste rânduri sunt numite statistic.În funcție de conținutul lor, seriile statistice sunt împărțite în două tipuri: seria de distribuție și seria dinamică. Seriile de distribuție sunt serii care caracterizează distribuția unităților populației inițiale în funcție de oricare caracteristică, ale căror varietăți sunt aranjate într-o anumită ordine. De exemplu, repartizarea numărului total de infracțiuni după specii individuale, numerele întregului personal pe post sunt rânduri de distribuție.
Seriile dinamice sunt serii care caracterizează modificări ale dimensiunii fenomenelor sociale în timp. O analiză detaliată a unor astfel de serii și utilizarea lor în analiza și prognoza situației criminalității este subiectul unei prelegeri separate.
Rezultatele observației statistice și rezumatele materialelor sale sunt exprimate în primul rând în valori absolute (indicatori). Valorile absolute arată dimensiunile fenomen socialîn condiții date de loc și timp, de exemplu, numărul infracțiunilor săvârșite sau numărul persoanelor care le-au săvârșit, numărul efectiv de personal sau numărul de vehicule. Valorile absolute sunt împărțite în individuale și totale (adică total). Individuale sunt valori absolute care exprimă dimensiunea caracteristicilor cantitative ale unităților individuale ale unui anumit set de obiecte (de exemplu, numărul de victime sau daune materiale într-un caz penal specific, vârsta sau vechimea unui anumit angajat, salariul lui etc.). Ele se obțin direct în procesul de observare statistică și se înregistrează în documentele contabile primare. Valorile absolute individuale servesc drept bază pentru orice studiu statistic.
Spre deosebire de cele individuale, valorile absolute totale caracterizează valoarea finală a unei caracteristici pentru un anumit set de obiecte acoperite observatie statistica. Ele sunt obținute fie prin numărarea directă a numărului de unități de observare (de exemplu, numărul infracțiunilor de un anumit tip), fie ca urmare a însumării valorilor atributelor unităților individuale ale populației (de exemplu, prejudiciul cauzat). prin toate crimele).
Cu toate acestea, valorile absolute luate de la sine nu oferă întotdeauna o idee corectă a fenomenelor și proceselor studiate. Prin urmare, alături de valorile absolute, valorile relative sunt de mare importanță în statistică.
Comparația este tehnica principală de evaluare a datelor statistice și o parte integrantă a tuturor metodelor de analiză a acestora. Cu toate acestea, o simplă comparație a două cantități nu este suficientă pentru a evalua cu exactitate relația lor. Acest raport trebuie, de asemenea, măsurat. Rolul măsurării unei astfel de relații este îndeplinit de mărimile relative.
Spre deosebire de valorile absolute, valorile relative sunt indicatori derivați. Ele sunt obținute nu ca rezultat al unei simple însumări, ci prin compararea relativă (multiple) a valorilor absolute între ele.
În funcție de natura fenomenului studiat și de obiectivele specifice ale studiului, valorile relative pot avea formă diferită (aspect) expresii. Cea mai simplă formă de exprimare dimensiune relativă este un număr (întreg sau fracție) care arată de câte ori o cantitate este mai mare decât alta, luată ca bază de comparație, sau ce parte o formează.
Cel mai adesea, în activitățile analitice ale organelor de afaceri interne, se utilizează o altă formă de reprezentare a numerelor relative, un raport procentual, în care valoarea principală este luată ca 100. Pentru a determina raportul procentual, rezultatul împărțirii unuia valoare absolută cu o alta (baza) inmultiti cu 100.
Un rol important în prelucrarea sumară a datelor statistice îi revine valorii medii. Întrucât fiecare unitate individuală a populaţiei statistice are caracteristici individuale, diferită de orice altă valoare cantitativă, este utilizată pentru a caracteriza proprietățile întregii populații statistice în ansamblu. valoare medie . În statistică, valoarea medie este înțeleasă ca un indicator care reflectă nivelul unei variabile variabile în valoare pe unitatea de populație omogenă.
Pentru a caracteriza omogenitatea unei populații statistice
În conformitate cu criteriile relevante, sunt utilizați diverși indicatori: variație, dispersie, abatere standard. Acești indicatori fac posibilă evaluarea în ce măsură valoarea medie corespunzătoare reflectă proprietățile întregii populații în ansamblu și dacă poate fi chiar utilizată ca o caracteristică generalizantă a unei anumite populații statistice. O analiză detaliată a indicatorilor enumerați este o problemă separată.
Variabilă aleatoare discretă și legea distribuției sale
Alături de conceptul de eveniment aleatoriu, teoria probabilității folosește și conceptul mai convenabil variabilă aleatoare.
Definiţie. Variabila aleatoare este o mărime care, ca urmare a experimentului, capătă una dintre valorile sale posibile și nu se știe dinainte care dintre ele.
Vom desemna variabile aleatoare cu majuscule alfabet latin ( X, Y, Z,…), iar semnificațiile lor posibile sunt indicate cu litere mici corespunzătoare ( x i , y i ,…).
Exemple: numărul de puncte obținute la aruncarea unui zar; numărul de apariții ale stemei în 10 aruncări de monede; numărul de lovituri până la prima lovitură pe țintă; distanța de la centrul țintei până la gaură la impact.
Se poate observa că setul de valori posibile pentru variabilele aleatoare enumerate are tip diferit: pentru primele două cantități este finit (6 și respectiv 11 valori), pentru a treia cantitate setul de valori este infinit și reprezintă o mulțime numere naturale, A pentru al patrulea– toate punctele unui segment a cărui lungime este egală cu raza țintei. Astfel, pentru primele trei mărimi obținem un set de valori din valori individuale (discrete) izolate unele de altele, iar pentru a patra reprezintă o zonă continuă. Conform acestui indicator, variabilele aleatoare sunt împărțite în două grupe: discrete și continue.
Definiţie. discret, dacă ia valori posibile separate, izolate, cu anumite probabilități. Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit.
Definiţie. Se numește variabila aleatoare continuu, dacă setul de valori posibile umple complet un interval finit sau infinit. Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit.
Pentru a specifica o variabilă aleatorie discretă, trebuie să cunoașteți valorile posibile ale acesteia și probabilitățile cu care aceste valori sunt acceptate. Corespondența dintre ei se numește legea distributiei variabilă aleatoare. Poate fi sub forma unui tabel, formulă sau grafic.
Se numește un tabel care listează valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete și probabilitățile lor corespunzătoare aproape de distribuție:
| x i | x 1 | x 2 | … | x n | … | valori posibile |
| p i | p 1 | p 2 | … | p n | … | probabilitatea unor valori posibile |
Rețineți că evenimentul în care o variabilă aleatorie ia una dintre valorile sale posibile este de încredere, prin urmare, sau
Sarcină. Moneda este aruncată de 5 ori. Variabila aleatoare X– scade numărul stemei. Creați o serie de distribuții ale unei variabile aleatorii X.
Soluţie. Este evident că X poate lua 5 valori: 0, 1, 2, 3, 4, 5, adică X= 0, 1, 2, 3, 4, 5. După condiție, . Să calculăm probabilitatea fiecărei valori folosind formula lui Bernoulli: .
Stema nu va apărea nici măcar o dată (k = 0): .
Sau .
Stema va apărea o dată (k = 1):
.
Stema va apărea de două ori (k = 2):
Stema va apărea de trei ori (k = 3):
Stema va apărea de patru ori (k = 4):
Stema va apărea de cinci ori (k = 5):
Prin urmare, seria de distribuție arată astfel:
| probabilități binomiale |
În acest caz, suma probabilităților este egală cu unu:
Grafic, legea distribuției unei variabile aleatoare discrete poate fi reprezentată ca poligon de distribuție– o linie întreruptă care leagă punctele planului cu coordonatele ( x i, p i). Adică, valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt reprezentate de-a lungul axei absciselor, iar probabilitățile acestor valori sunt reprezentate de-a lungul axei ordonatelor. Pentru claritate, punctele rezultate sunt conectate prin segmente drepte. Poligonul de distribuție, ca și seria de distribuție, caracterizează complet variabila aleatoare și este una dintre formele legii distribuției.
Instituția de învățământ „Statul Belarus
Academia Agricolă”
Catedra de Matematică Superioară
Orientări
să studieze tema „Variabile aleatoare” de către studenții Facultății de Contabilitate pentru Educație prin Corespondență (NISPO)
Gorki, 2013
Variabile aleatorii
Variabile aleatoare discrete și continue
Unul dintre conceptele principale din teoria probabilității este conceptul variabilă aleatoare . Variabila aleatoare este o cantitate care, în urma testării, ia doar una dintre numeroasele sale valori posibile și nu se știe dinainte care dintre ele.
Există variabile aleatorii discretă și continuă . Variabilă aleatorie discretă (DRV) este o variabilă aleatorie care poate lua un număr finit de valori izolate unele de altele, adică dacă valorile posibile ale acestei cantități pot fi recalculate. Variabilă aleatoare continuă (CNV) este o variabilă aleatorie, toate valorile posibile ale cărora umplu complet un anumit interval al liniei numerice.
Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin X, Y, Z etc. Valorile posibile ale variabilelor aleatoare sunt indicate prin litere mici corespunzătoare.
Înregistra 
înseamnă „probabilitatea ca o variabilă aleatorie X va lua o valoare de 5, egală cu 0,28.”
Exemplul 1 . X Zarurile se aruncă o dată. În acest caz, pot apărea numere de la 1 la 6, indicând numărul de puncte. Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de puncte aruncate). Această variabilă aleatoare ca rezultat al testului poate lua doar una dintre cele șase valori: 1, 2, 3, 4, 5 sau 6. Prin urmare, variabila aleatoare
există DSV. Exemplul 2 X. Când o piatră este aruncată, ea parcurge o anumită distanță. Să notăm variabila aleatoare X=(distanta de zbor de piatra). Această variabilă aleatoare poate lua orice valoare dintr-un anumit interval, dar numai una. Prin urmare, variabila aleatoare
există NSV.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete O variabilă aleatorie discretă este caracterizată de valorile pe care le poate lua și de probabilitățile cu care sunt luate aceste valori. Se numește corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete și probabilitățile lor corespunzătoare .
legea distribuției unei variabile aleatoare discrete 
Dacă sunt cunoscute toate valorile posibile X variabilă aleatoare 
și probabilități X apariția acestor valori, atunci se crede că legea de distribuție a DSV
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
este cunoscut și poate fi scris sub formă de tabel: 
,
,
…,
Legea distribuției DSV poate fi reprezentată grafic dacă punctele sunt reprezentate într-un sistem de coordonate dreptunghiular
și leagă-le cu segmente de linie dreaptă. Figura rezultată se numește poligon de distribuție. Exemplul 3 X. Cerealele destinate curățării conțin 10% buruieni. 4 boabe au fost selectate la întâmplare. Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de buruieni dintre cele patru selectate). Construiți legea distribuției DSV
și poligonul de distribuție. Soluţie
. Conform condițiilor exemplu. Apoi:
|
|
Să notăm legea de distribuție a DSV X sub forma unui tabel și să construim un poligon de distribuție:
Așteptarea unei variabile aleatoare discrete Cele mai importante proprietăți ale unei variabile aleatoare discrete sunt descrise de caracteristicile sale. Una dintre aceste caracteristici este așteptări matematice
variabilă aleatoare. X:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Să fie cunoscută legea distribuției DSV
Așteptări matematice X DSV 
.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt aproximativ egale cu media aritmetică a tuturor valorilor sale. Prin urmare, în problemele practice, valoarea medie a acestei variabile aleatoare este adesea luată ca așteptare matematică.
Exemplu 8 . Trăgătorul marchează 4, 8, 9 și 10 puncte cu probabilități de 0,1, 0,45, 0,3 și 0,15. Găsiți așteptarea matematică a numărului de puncte cu o singură lovitură.
și poligonul de distribuție. . Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de puncte înscrise). Apoi . Astfel, numărul mediu așteptat de puncte marcate cu o singură lovitură este de 8,2, iar cu 10 lovituri - 82.
Proprietăți principale așteptările matematice sunt:
.
.
, Unde 
,
.
.
, Unde XŞi Y
Diferenţă 
numit abatere
Dacă sunt cunoscute toate valorile posibile X din așteptările sale matematice. Această diferență este o variabilă aleatorie și așteptarea sa matematică este zero, adică. 
.
Varianta unei variabile aleatoare discrete
Pentru a caracteriza o variabilă aleatoare, pe lângă așteptarea matematică, folosim și dispersie , ceea ce face posibilă estimarea dispersiei (împrăștierii) valorilor unei variabile aleatorii în jurul așteptării sale matematice. Când se compară două variabile aleatoare omogene cu așteptări matematice egale, valoarea „cea mai bună” este considerată a fi cea care are mai puțin răspândire, adică. mai puțină dispersie.
Varianta Dacă sunt cunoscute toate valorile posibile X se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică: .
În problemele practice, se utilizează o formulă echivalentă pentru a calcula varianța.
Principalele proprietăți ale dispersiei sunt:
.
.
, Unde XŞi Y sunt variabile aleatoare independente.
Dispersia caracterizează răspândirea unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice și, după cum se poate vedea din formulă, este măsurată în unități pătrate în comparație cu unitățile variabilei aleatoare în sine. Prin urmare, pentru a armoniza unitățile de măsură ale răspândirii unei variabile aleatoare cu unitățile de măsură ale valorii în sine, introducem abaterea standard
.
Exemplu 9 . X Găsiți dispersia și deviația standard a DSV
|
|
și poligonul de distribuție. , dat de legea distribuirii: X. Varianta DSV
calculate prin formula 
:
|
|
||||
|
|
,
.
Să găsim așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare: . Să notăm legea distribuției pentru o variabilă aleatoare
Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor
Ce este o variabilă aleatoare?
Care variabilă aleatoare se numește discretă și care se numește continuă?
Cum se numește legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete?
Care este așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete și care sunt principalele sale proprietăți?
Cum se numește varianța unei variabile aleatoare discrete și care sunt principalele sale proprietăți?
De ce este introdusă abaterea standard și cum se calculează?
Sarcini pentru munca independenta
