Sau aritmetică - acesta este un tip de ordonat succesiune de numere, ale căror proprietăți sunt studiate într-un curs de algebră școlară. Acest articol discută în detaliu întrebarea cum să găsiți suma unei progresii aritmetice.
Ce fel de progres este aceasta?
Înainte de a trece la întrebarea (cum să găsiți suma unei progresii aritmetice), merită să înțelegeți despre ce vorbim.
Orice succesiune de numere reale care se obține prin adăugarea (scăderea) unei valori din fiecare număr anterior se numește progresie algebrică (aritmetică). Această definiție, atunci când este tradusă în limbaj matematic, ia forma:
Aici i este numărul de serie al elementului din rândul a i. Astfel, cunoscând un singur număr de început, puteți restabili cu ușurință întreaga serie. Parametrul d din formulă se numește diferență de progresie.
Se poate demonstra cu ușurință că pentru seria de numere luate în considerare este valabilă următoarea egalitate:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Adică, pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea element în ordine, ar trebui să adăugați diferența d la primul element a de 1 n-1 ori.
Care este suma unei progresii aritmetice: formula
Înainte de a da formula pentru suma indicată, merită să luați în considerare un simplu caz special. Având în vedere o progresie a numerelor naturale de la 1 la 10, trebuie să găsiți suma lor. Deoarece există puțini termeni în progresia (10), este posibil să se rezolve problema direct, adică să însumăm toate elementele în ordine.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Un lucru care merită luat în considerare lucru interesant: deoarece fiecare termen diferă de următorul prin aceeași valoare d = 1, atunci însumarea în perechi a primului cu al zecelea, a al doilea cu al nouălea și așa mai departe va da același rezultat. Serios:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
După cum puteți vedea, există doar 5 dintre aceste sume, adică exact de două ori mai puțin decât numărul de elemente ale seriei. Apoi înmulțind numărul de sume (5) cu rezultatul fiecărei sume (11), veți ajunge la rezultatul obținut în primul exemplu.
Dacă generalizăm aceste argumente, putem scrie următoarea expresie:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Această expresie arată că nu este deloc necesară însumarea tuturor elementelor pe rând este suficient să cunoaștem valoarea primului a 1 și a ultimului a n , precum și numărul total n termeni.
Se crede că Gauss s-a gândit pentru prima dată la această egalitate când a căutat o soluție la o problemă dată de profesorul său: însumați primele 100 de numere întregi.
Suma elementelor de la m la n: formula
Formula dată în paragraful anterior răspunde la întrebarea cum se găsește suma unei progresii aritmetice (primele elemente), dar adesea în probleme este necesară însumarea unei serii de numere la mijlocul progresiei. Cum să faci asta?
Cel mai simplu mod de a răspunde la această întrebare este luând în considerare următorul exemplu: să fie necesar să se găsească suma termenilor de la al mi-lea la al-lea. Pentru a rezolva problema, ar trebui să reprezentați segmentul dat de la m la n al progresiei ca un nou serie de numere. In aceasta m-a reprezentare termenul a m va fi primul, iar un n va fi numerotat n-(m-1). În acest caz, aplicând formula standard pentru sumă, se va obține următoarea expresie:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Exemplu de utilizare a formulelor
Știind cum să găsiți suma unei progresii aritmetice, merită să luați în considerare un exemplu simplu de utilizare a formulelor de mai sus.
Mai jos este o secvență numerică, ar trebui să găsiți suma termenilor săi, începând cu a 5-a și terminând cu a 12-lea:
Numerele date indică faptul că diferența d este egală cu 3. Folosind expresia pentru al n-lea element, puteți găsi valorile termenilor al 5-lea și al 12-lea al progresiei. Se dovedește:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Cunoscând valorile numerelor de la capetele progresiei algebrice luate în considerare, precum și știind ce numere din seria ocupă acestea, puteți folosi formula pentru suma obținută în paragraful anterior. Se va dovedi:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Este de remarcat faptul că această valoare ar putea fi obținută diferit: mai întâi găsiți suma primelor 12 elemente folosind formula standard, apoi calculați suma primelor 4 elemente folosind aceeași formulă, apoi scădeți pe al doilea din prima sumă.
Când studiezi algebra în școală gimnazială(clasa a IX-a) unul dintre subiecte importante este studiul șirurilor de numere, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol vom analiza o progresie aritmetică și exemple cu soluții.
Ce este o progresie aritmetică?
Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se definească progresia în cauză, precum și să se furnizeze formulele de bază care vor fi folosite ulterior în rezolvarea problemelor.
O progresie aritmetică sau algebrică este un set de numere raționale ordonate, fiecare termen diferit de cel anterior printr-o valoare constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al unei serii ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.
Să dăm un exemplu. Următoarea succesiune de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar setul de numere 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuit tipului de progresie luat în considerare, deoarece diferența pentru aceasta nu este valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Formule importante
Să prezentăm acum formulele de bază care vor fi necesare pentru a rezolva probleme folosind progresia aritmetică. Să notăm cu simbolul a n al n-lea termen secvențe în care n este un număr întreg. Notăm diferența prin litera latină d. Atunci sunt valabile următoarele expresii:
- Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen este potrivită următoarea formulă: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n +a 1)*n/2.
Pentru a înțelege orice exemple de progresie aritmetică cu soluții în clasa a IX-a, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice probleme de tipul luat în considerare se bazează pe utilizarea lor. De asemenea, trebuie să vă amintiți că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1.
Exemplul #1: găsirea unui termen necunoscut
Să dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formulele care trebuie folosite pentru a o rezolva.
Să fie dată șirul 10, 8, 6, 4, ..., trebuie să găsiți cinci termeni în ea.
Din condițiile problemei rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:
- Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. În mod similar, puteți lua oricare alți doi membri stând unul lângă celălalt. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d = a n - a n-1, atunci d = a 5 - a 4, din care obținem: a 5 = a 4 + d. Inlocuim valorile cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei în cauză, așa că mai întâi trebuie să o determinați așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru numărul n al șirului. Avem: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
După cum puteți vedea, ambele soluții au dus la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu diferența de progresie d este o valoare negativă. Astfel de secvențe se numesc descrescătoare, deoarece fiecare termen următor este mai mic decât cel anterior.
Exemplul #2: diferența de progresie
Acum să complicăm puțin sarcina, să dăm un exemplu despre cum
Se știe că la unii primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să găsim diferența și să restabilim această secvență la al 7-lea termen.
Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1 . Să substituim datele cunoscute din condiție în ea, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 = 6 + 6 * d. Din această expresie puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) /6 = 2. Astfel, am răspuns la prima parte a problemei.
Pentru a restabili secvența la al 7-lea termen, ar trebui să utilizați definiția unei progresii algebrice, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Exemplul nr. 3: întocmirea unei progresii
Să complicăm și mai mult problema. Acum trebuie să răspundem la întrebarea cum să găsim o progresie aritmetică. Se poate da următorul exemplu: sunt date două numere, de exemplu - 4 și 5. Este necesar să se creeze o progresie algebrică, astfel încât să mai fie plasați trei termeni între aceștia.
Înainte de a începe să rezolvați această problemă, trebuie să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Întrucât vor mai fi trei termeni între ei, atunci a 1 = -4 și a 5 = 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la problema, care este similară cu cea anterioară. Din nou, pentru al n-lea termen folosim formula, obținem: a 5 = a 1 + 4 * d. Din: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ceea ce am obținut aici nu este o valoare întreagă a diferenței, dar este număr rațional, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.
Acum să adăugăm diferența găsită la un 1 și să restabilim termenii lipsă ai progresiei. Se obține: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, care coincid cu condiţiile problemei.
Exemplul nr. 4: primul termen de progresie
Să continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu soluții. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum să luăm în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să găsim cu ce număr începe această secvență.
Formulele folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. În enunțul problemei, nu se știe nimic despre aceste numere. Cu toate acestea, vom nota expresii pentru fiecare termen despre care sunt disponibile informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Am primit două ecuații în care există 2 mărimi necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.
Cel mai simplu mod de a rezolva acest sistem este de a exprima un 1 în fiecare ecuație și apoi de a compara expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, de unde diferența d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (se dau doar 3 zecimale).
Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru un 1. De exemplu, mai întâi: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultatul obținut, îl puteți verifica, de exemplu, determinați al 43-lea termen al progresiei, care este specificat în condiție. Se obține: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mica eroare se datorează faptului că în calcule a fost folosită rotunjirea la miimi.
Exemplul nr. 5: suma
Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.
Să se dea o progresie numerică de următoarea formă: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum se calculează suma a 100 dintre aceste numere?
Datorită dezvoltării tehnologiei informatice, este posibil să se rezolve această problemă, adică să se adauge toate numerele succesiv, care calculator va face imediat ce persoana va apăsa tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată mental dacă acordați atenție faptului că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este egală cu 1. Aplicând formula pentru sumă, obținem: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Este interesant de observat că această problemă se numește „gaussian” deoarece la începutul secolului al XVIII-lea celebrul german, încă în vârstă de doar 10 ani, a reușit să o rezolve în cap în câteva secunde. Băiatul nu știa formula pentru suma unei progresii algebrice, dar a observat că dacă aduni numerele de la sfârșitul șirului în perechi, obții întotdeauna același rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., și deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100 / 2), atunci pentru a obține răspunsul corect este suficient să înmulțiți 50 cu 101.
Exemplul nr. 6: suma termenilor de la n la m
Un alt exemplu tipic al sumei unei progresii aritmetice este următorul: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați cu ce va fi suma termenilor săi de la 8 la 14. .
Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea de termeni necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvențială. Întrucât există puțini termeni, această metodă nu este destul de intensivă în muncă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme folosind o a doua metodă, care este mai universală.
Ideea este de a obține o formulă pentru suma progresiei algebrice dintre termenii m și n, unde n > m sunt numere întregi. Pentru ambele cazuri, scriem două expresii pentru suma:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Deoarece n > m, este evident că a doua sumă o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și îi adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței se scade din suma S n), vom obține răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Este necesar să se înlocuiască formule pentru a n și a m în această expresie. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Formula rezultată este oarecum greoaie, totuși, suma S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.
După cum se poate observa din soluțiile de mai sus, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a începe să rezolvați oricare dintre aceste probleme, este recomandat să citiți cu atenție starea, să înțelegeți clar ce trebuie să găsiți și abia apoi să continuați cu soluția.
Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la o întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția nr. 6, s-ar putea opri la formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m și împărțiți problema generală în subsarcini separate (în acest caz, găsiți mai întâi termenii a n și a m).
Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultatul obținut, este recomandat să îl verificați, așa cum s-a făcut în unele dintre exemplele date. Am aflat cum să găsim o progresie aritmetică. Dacă îți dai seama, nu este atât de greu.
Unii oameni tratează cuvântul „progresie” cu prudență, ca pe un termen foarte complex din secțiuni matematică superioară. Și totuși cel mai simplu progresie aritmetică- lucrarea taximetrului (unde mai raman). Și înțelegerea esenței (și în matematică nu este nimic mai important decât „obținerea esenței”) a unei secvențe aritmetice nu este atât de dificilă, având în vedere câteva concepte elementare.
Succesiunea de numere matematice
O secvență numerică este de obicei numită o serie de numere, fiecare dintre ele având propriul său număr.
a 1 este primul membru al secvenței;
și 2 este al doilea termen al secvenței;
și 7 este al șaptelea membru al secvenței;
şi n este al n-lea membru al secvenţei;
Cu toate acestea, nu ne interesează niciun set arbitrar de numere și numere. Ne vom concentra atenția asupra unei secvențe numerice în care valoarea celui de-al n-lea termen este legată de numărul său ordinal printr-o relație care poate fi formulată clar matematic. Cu alte cuvinte: valoarea numerică a numărului al n-lea este o funcție a lui n.
a este valoarea unui membru al unei secvențe numerice;
n este numărul său de serie;
f(n) este o funcție, unde numărul ordinal din șirul numeric n este argumentul.
Definiţie
O progresie aritmetică se numește de obicei o succesiune numerică în care fiecare termen ulterior este mai mare (mai mic) decât cel anterior cu același număr. Formula pentru al n-lea termen al unei secvențe aritmetice este următoarea:
a n - valoarea membrului curent al progresiei aritmetice;
a n+1 - formula următorului număr;
d - diferenta (numar anumit).
Este ușor de determinat că dacă diferența este pozitivă (d>0), atunci fiecare membru ulterior al seriei luate în considerare va fi mai mare decât precedentul și o astfel de progresie aritmetică va crește.
În graficul de mai jos este ușor de văzut de ce succesiunea de numere se numește „creștere”.
În cazurile în care diferența este negativă (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Valoarea specificată pentru membru
Uneori este necesar să se determine valoarea oricărui termen arbitrar a n al unei progresii aritmetice. Acest lucru se poate face prin calcularea succesivă a valorilor tuturor membrilor progresiei aritmetice, începând de la primul până la cel dorit. Cu toate acestea, această cale nu este întotdeauna acceptabilă dacă, de exemplu, este necesar să se găsească valoarea celui de cinci mii sau opt milioane. Calculele tradiționale vor dura mult timp. Cu toate acestea, o anumită progresie aritmetică poate fi studiată folosind anumite formule. Există și o formulă pentru al n-lea termen: valoarea oricărui termen al unei progresii aritmetice poate fi determinată ca suma primului termen al progresiei cu diferența progresiei, înmulțită cu numărul termenului dorit, redusă cu unul.
Formula este universală pentru creșterea și scăderea progresiei.
Un exemplu de calcul al valorii unui termen dat
Să rezolvăm următoarea problemă de găsire a valorii celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice.
Condiție: există o progresie aritmetică cu parametrii:
Primul termen al secvenței este 3;
Diferența în seria de numere este 1,2.
Sarcină: trebuie să găsiți valoarea a 214 termeni
Soluție: pentru a determina valoarea unui termen dat, folosim formula:
a(n) = a1 + d(n-1)
Înlocuind datele din enunțul problemei în expresie, avem:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Răspuns: Al 214-lea termen al secvenței este egal cu 258,6.
Avantajele acestei metode de calcul sunt evidente - întreaga soluție nu necesită mai mult de 2 linii.
Suma unui număr dat de termeni
Foarte des, într-o serie aritmetică dată, este necesar să se determine suma valorilor unora dintre segmentele sale. Pentru a face acest lucru, nu este nevoie să calculați valorile fiecărui termen și apoi să le adăugați. Această metodă este aplicabilă dacă numărul de termeni a căror sumă trebuie găsită este mic. În alte cazuri, este mai convenabil să folosiți următoarea formulă.
Suma termenilor unei progresii aritmetice de la 1 la n este egală cu suma primului și al n-lea termen, înmulțită cu numărul termenului n și împărțită la doi. Dacă în formulă valoarea celui de-al n-lea termen este înlocuită cu expresia din paragraful anterior al articolului, obținem:
Exemplu de calcul
De exemplu, să rezolvăm o problemă cu următoarele condiții:
Primul termen al secvenței este zero;
Diferența este de 0,5.
Problema necesită determinarea sumei termenilor seriei de la 56 la 101.
Soluţie. Să folosim formula pentru a determina cantitatea de progresie:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
În primul rând, determinăm suma valorilor a 101 termeni ai progresiei prin înlocuirea condițiilor date ale problemei noastre în formula:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525
Evident, pentru a afla suma termenilor progresiei de la 56 la 101, este necesar să scădem S 55 din S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Astfel, suma progresiei aritmetice pentru acest exemplu este:
s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5
Exemplu de aplicare practică a progresiei aritmetice
La sfârșitul articolului, să revenim la exemplul unei secvențe aritmetice prezentate în primul paragraf - un taximetru (contor de mașină de taxi). Să luăm în considerare acest exemplu.
Urcarea într-un taxi (care include 3 km de călătorie) costă 50 de ruble. Fiecare kilometru următor este plătit la rata de 22 de ruble/km. Distanta de parcurs este de 30 km. Calculați costul călătoriei.
1. Să renunțăm la primii 3 km, al căror preț este inclus în costul aterizării.
30 - 3 = 27 km.
2. Calculul suplimentar nu este altceva decât analizarea unei serii de numere aritmetice.
Număr membru - numărul de kilometri parcurși (minus primii trei).
Valoarea membrului este suma.
Primul termen din această problemă va fi egal cu 1 = 50 de ruble.
Diferența de progresie d = 22 r.
numărul care ne interesează este valoarea termenului (27+1) al progresiei aritmetice - citirea contorului la sfârșitul celui de-al 27-lea kilometru este 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Calculele datelor din calendar pentru o perioadă arbitrar de lungă se bazează pe formule care descriu anumite secvențe numerice. În astronomie, lungimea orbitei depinde geometric de distanța dintre corpul ceresc și stea. În plus, diverse serii de numere sunt utilizate cu succes în statistică și în alte domenii aplicate ale matematicii.
Un alt tip de succesiune de numere este geometric
Progresia geometrică este caracterizată de rate mai mari de schimbare în comparație cu progresia aritmetică. Nu întâmplător, în politică, sociologie și medicină, pentru a arăta viteza mare de răspândire a unui anumit fenomen, de exemplu, o boală în timpul unei epidemii, ei spun că procesul se dezvoltă în progresie geometrică.
Al N-lea termen al seriei de numere geometrice diferă de cel precedent prin faptul că este înmulțit cu un număr constant - numitorul, de exemplu, primul termen este 1, numitorul este în mod corespunzător egal cu 2, apoi:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - valoarea termenului curent al progresiei geometrice;
b n+1 - formula următorului termen al progresiei geometrice;
q este numitorul progresiei geometrice (un număr constant).
Dacă graficul unei progresii aritmetice este o linie dreaptă, atunci o progresie geometrică pictează o imagine ușor diferită:
Ca și în cazul aritmeticii, progresia geometrică are o formulă pentru valoarea unui termen arbitrar. Orice al n-lea termen al unei progresii geometrice egal cu produsul primul termen prin numitorul progresiei la puterea lui n redus cu unu:
Exemplu. Avem o progresie geometrică cu primul termen egal cu 3 și numitorul progresiei egal cu 1,5. Să găsim al 5-lea termen al progresiei
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Suma unui număr dat de termeni este de asemenea calculată folosind o formulă specială. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este egală cu diferența dintre produsul celui de-al n-lea termen al progresiei și numitorul său și primul termen al progresiei, împărțit la numitorul redus cu unu:
Dacă b n este înlocuit folosind formula discutată mai sus, valoarea sumei primilor n termeni ai seriei de numere luate în considerare va lua forma:
Exemplu. Progresia geometrică începe cu primul termen egal cu 1. Numitorul este setat la 3. Să aflăm suma primilor opt termeni.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
De exemplu, secvența \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... este o progresie aritmetică, deoarece fiecare element ulterior diferă de cel anterior cu trei (se poate obține de la precedentul prin adăugarea a trei):
În această progresie, diferența \(d\) este pozitivă (egală cu \(3\)) și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel anterior. Se numesc astfel de progresii crescând.
Totuși, \(d\) poate fi și un număr negativ. De exemplu, în progresie aritmetică \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... diferența de progresie \(d\) este egală cu minus șase.
Și în acest caz, fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. Aceste progresii sunt numite în scădere.
Notarea progresiei aritmetice
Progresul este indicat de o literă latină mică.
Se numesc numerele care formează o progresie membrii(sau elemente).
Ele sunt notate cu aceeași literă ca o progresie aritmetică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.
De exemplu, progresia aritmetică \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) este formată din elementele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) și așa mai departe.
Cu alte cuvinte, pentru progresia \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Rezolvarea problemelor de progresie aritmetică
În principiu, informațiile prezentate mai sus sunt deja suficiente pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică (inclusiv cele oferite la OGE).
Exemplu (OGE).
Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(b_1=7; d=4\). Găsiți \(b_5\).
Soluţie:
Răspuns: \(b_5=23\)
Exemplu (OGE).
Primii trei termeni ai unei progresii aritmetice sunt dați: \(62; 49; 36…\) Aflați valoarea primului termen negativ al acestei progresii..
Soluţie:
|
Ni se dau primele elemente ale secvenței și știm că este o progresie aritmetică. Adică, fiecare element diferă de vecinul său prin același număr. Să aflăm care dintre ele scăzând pe cel precedent din următorul element: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Acum ne putem restabili progresul la (primul element negativ) de care avem nevoie. |
|
|
Gata. Puteți scrie un răspuns. |
Răspuns: \(-3\)
Exemplu (OGE).
Având în vedere mai multe elemente consecutive ale unei progresii aritmetice: \(…5; x; 10; 12,5...\) Aflați valoarea elementului desemnat de litera \(x\).
Soluţie:
|
|
Pentru a găsi \(x\), trebuie să știm cât de mult diferă următorul element față de cel anterior, cu alte cuvinte, diferența de progresie. Să o găsim din două elemente învecinate cunoscute: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
Și acum putem găsi cu ușurință ceea ce căutăm: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Gata. Puteți scrie un răspuns. |
Răspuns: \(7,5\).
Exemplu (OGE).
Progresia aritmetica este definita de urmatoarele conditii: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Soluţie:
|
Trebuie să găsim suma primilor șase termeni ai progresiei. Dar nu le cunoaștem semnificațiile; ni se dă doar primul element. Prin urmare, mai întâi calculăm valorile unul câte unul, folosind ceea ce ni se oferă: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
S-a găsit suma necesară. |
Răspuns: \(S_6=9\).
Exemplu (OGE).
În progresie aritmetică \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Găsiți diferența acestei progresii.
Soluţie:
Răspuns: \(d=7\).
Formule importante pentru progresia aritmetică
După cum puteți vedea, multe probleme privind progresia aritmetică pot fi rezolvate pur și simplu prin înțelegerea principalului lucru - că o progresie aritmetică este un lanț de numere și fiecare element ulterior din acest lanț se obține prin adăugarea aceluiași număr la cel precedent ( diferența de progresie).
Cu toate acestea, uneori există situații în care decizia „front-on” este foarte incomod. De exemplu, imaginați-vă că în primul exemplu trebuie să găsim nu al cincilea element \(b_5\), ci al trei sute optzeci și șase \(b_(386)\). Ar trebui să adăugăm de patru \(385\) ori? Sau imaginați-vă că în penultimul exemplu trebuie să găsiți suma primelor șaptezeci și trei de elemente. Te vei sătura să numeri...
Prin urmare, în astfel de cazuri ei nu rezolvă lucrurile „direct”, ci folosesc formule speciale derivate pentru progresia aritmetică. Iar cele principale sunt formula pentru al n-lea termen al progresiei și formula pentru suma \(n\) primilor termeni.
Formula celui de-al \(n\)-lea termen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), unde \(a_1\) este primul termen al progresiei;
\(n\) – numărul elementului solicitat;
\(a_n\) – termen al progresiei cu număr \(n\).
Această formulă ne permite să găsim rapid chiar și al trei sutele sau milionul de element, cunoscând doar primul și diferența progresiei.
Exemplu.
Progresia aritmetica este specificata de conditiile: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Găsiți \(b_(246)\).
Soluţie:
Răspuns: \(b_(246)=1850\).
Formula pentru suma primilor n termeni: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), unde
\(a_n\) – ultimul termen însumat;
Exemplu (OGE).
Progresia aritmetică este specificată de condițiile \(a_n=3.4n-0.6\). Aflați suma primilor \(25\) termeni ai acestei progresii.
Soluţie:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Pentru a calcula suma primilor douăzeci și cinci de termeni, trebuie să cunoaștem valoarea primului și a douăzeci și cinci de termeni. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Acum să găsim al douăzeci și cincilea termen înlocuind douăzeci și cinci în loc de \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Ei bine, acum putem calcula cu ușurință suma necesară. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Răspunsul este gata. |
Răspuns: \(S_(25)=1090\).
Pentru suma \(n\) primilor termeni, puteți obține o altă formulă: trebuie doar să \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) în loc de \(a_n\) înlocuiți formula pentru aceasta \(a_n=a_1+(n-1)d\). Primim:
Formula pentru suma primilor n termeni: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), unde
\(S_n\) – suma necesară a \(n\) primele elemente;
\(a_1\) – primul termen însumat;
\(d\) – diferență de progresie;
\(n\) – numărul de elemente în total.
Exemplu.
Aflați suma primilor \(33\)-ex termeni ai progresiei aritmetice: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Soluţie:
Răspuns: \(S_(33)=-231\).
Probleme de progresie aritmetică mai complexe
Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică. Să încheiem subiectul luând în considerare probleme în care nu trebuie doar să aplicați formule, ci și să vă gândiți puțin (la matematică acest lucru poate fi util ☺)
Exemplu (OGE).
Aflați suma tuturor termenilor negativi ai progresiei: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Soluţie:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Sarcina este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Începem să rezolvăm același lucru: mai întâi găsim \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Acum aș dori să înlocuiesc \(d\) în formula pentru sumă... și aici apare o mică nuanță - nu știm \(n\). Cu alte cuvinte, nu știm câți termeni vor trebui adăugați. Cum să aflu? Să ne gândim. Vom opri adăugarea de elemente când ajungem la primul element pozitiv. Adică, trebuie să aflați numărul acestui element. Cum? Să notăm formula pentru calcularea oricărui element al unei progresii aritmetice: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pentru cazul nostru. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Avem nevoie ca \(a_n\) să devină mai mare decât zero. Să aflăm la ce \(n\) se va întâmpla asta. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Împărțim ambele părți ale inegalității la \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Transferăm minus unu, fără a uita să schimbăm semnele |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Hai sa calculam... |
|
|
\(n>65.333…\) |
...și rezultă că primul element pozitiv va avea numărul \(66\). În consecință, ultimul negativ are \(n=65\). Pentru orice eventualitate, hai să verificăm asta. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Deci trebuie să adăugăm primele \(65\) elemente. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Răspunsul este gata. |
Răspuns: \(S_(65)=-630,5\).
Exemplu (OGE).
Progresia aritmetica este specificata de conditiile: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Găsiți suma de la \(26\)-lea până la elementul \(42\) inclusiv.
Soluţie:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
În această problemă trebuie să găsiți și suma elementelor, dar începând nu de la primul, ci de la \(26\)-lea. Pentru un astfel de caz nu avem o formulă. Cum să decizi? |
|
|
Pentru progresia noastră \(a_1=-33\), și diferența \(d=4\) (la urma urmei, adăugăm cele patru la elementul anterior pentru a găsi următorul). Știind acest lucru, găsim suma primelor elemente \(42\)-y. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Acum suma primelor \(25\) elemente. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Și în sfârșit, calculăm răspunsul. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Răspuns: \(S=1683\).
Pentru progresia aritmetică, există mai multe formule pe care nu le-am luat în considerare în acest articol din cauza utilității lor practice scăzute. Cu toate acestea, le puteți găsi cu ușurință.
Dacă pentru fiecare număr natural n meci număr real un n , atunci ei spun că este dat succesiune de numere :
o 1 , o 2 , o 3 , . . . , un n , . . . .
Deci, secvența de numere este o funcție a argumentului natural.
Număr o 1 numit primul termen al secvenței , număr o 2 — al doilea termen al secvenței , număr o 3 — treilea și așa mai departe. Număr un n numit al n-lea termen secvente , și un număr natural n — numărul lui .
Din doi membri alăturați un n Şi un n +1 membru al secvenței un n +1 numit ulterior (față de un n ), A un n — anterior (față de un n +1 ).
Pentru a defini o secvență, trebuie să specificați o metodă care vă permite să găsiți un membru al secvenței cu orice număr.
Adesea secvența este specificată folosind formule al n-lea termen , adică o formulă care vă permite să determinați un membru al unei secvențe după numărul acesteia.
De exemplu,
succesiune de pozitive numere impare poate fi dat prin formula
un n= 2n- 1,
iar succesiunea alternării 1 Şi -1 - formula
b n = (-1)n +1 . ◄
Secvența poate fi determinată formulă recurentă, adică o formulă care exprimă orice membru al secvenței, începând cu unii, prin membrii anteriori (unul sau mai mulți).
De exemplu,
Dacă o 1 = 1 , A un n +1 = un n + 5
o 1 = 1,
o 2 = o 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
o 3 = o 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
o 4 = o 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
o 5 = o 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Dacă a 1= 1, a 2 = 1, un n +2 = un n + un n +1 , atunci primii șapte termeni ai șirului numeric se stabilesc după cum urmează:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
un 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
o 6 = o 4 + o 5 = 3 + 5 = 8,
o 7 = o 5 + o 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Secvențele pot fi final Şi fără sfârşit .
Secvența este numită final , dacă are un număr finit de membri. Secvența este numită fără sfârşit , dacă are infinit de membri.
De exemplu,
succesiune de numere naturale din două cifre:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Succesiunea numerelor prime:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
fără sfârşit. ◄
Secvența este numită crescând , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mare decât precedentul.
Secvența este numită în scădere , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mic decât precedentul.
De exemplu,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — succesiune crescătoare;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — secvență descrescătoare. ◄
O succesiune ale cărei elemente nu scad pe măsură ce numărul crește sau, dimpotrivă, nu cresc, se numește succesiune monotonă .
Secvențele monotone, în special, sunt secvențe crescătoare și secvențe descrescătoare.
Progresie aritmetică
Progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul, la care se adaugă același număr.
o 1 , o 2 , o 3 , . . . , un n, . . .
este o progresie aritmetică dacă există număr natural n conditia este indeplinita:
un n +1 = un n + d,
Unde d - un anumit număr.
Astfel, diferența dintre termenii următori și anteriori ai unei progresii aritmetice date este întotdeauna constantă:
a 2 - o 1 = a 3 - o 2 = . . . = un n +1 - un n = d.
Număr d numit diferența de progresie aritmetică.
Pentru a defini o progresie aritmetică, este suficient să indicați primul său termen și diferența.
De exemplu,
Dacă o 1 = 3, d = 4 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
o 5 = o 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Pentru o progresie aritmetică cu primul termen o 1 si diferenta d ei n
un n = a 1 + (n- 1)d.
De exemplu,
găsiți al treizecilea termen al progresiei aritmetice
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
un 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
un n-1 = a 1 + (n- 2)d,
un n= a 1 + (n- 1)d,
un n +1 = o 1 + nd,
atunci evident
| un n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
Fiecare membru al unei progresii aritmetice, pornind de la al doilea, este egal cu media aritmetica a membrilor precedenti si urmatori.
numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă unul dintre ei este egal cu media aritmetică a celorlalte două.
De exemplu,
un n = 2n- 7 , este o progresie aritmetică.
Să folosim afirmația de mai sus. Avem:
un n = 2n- 7,
un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Prin urmare,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = un n,
|
| 2
| 2
|
◄
Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii aritmetice poate fi găsit nu numai prin o 1 , dar și orice anterioară un k
un n = un k + (n- k)d.
De exemplu,
Pentru o 5 poate fi notat
un 5 = a 1 + 4d,
un 5 = a 2 + 3d,
un 5 = a 3 + 2d,
un 5 = a 4 + d. ◄
un n = un n-k + kd,
un n = un n+k - kd,
atunci evident
| un n=
| o n-k
+ a n+k
|
| 2
|
orice membru al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu jumătate din suma membrilor acestei progresii aritmetice distanțate egal de acesta.
În plus, pentru orice progresie aritmetică este valabilă următoarea egalitate:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
De exemplu,
în progresie aritmetică
1) o 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (o 9 + o 11 )/2;
2) 28 = un 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, deoarece
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ un n,
primul n termenii unei progresii aritmetice este egal cu produsul dintre jumătate din suma termenilor extremi și numărul de termeni:
De aici, în special, rezultă că dacă trebuie să însumați termenii
un k, un k +1 , . . . , un n,
atunci formula anterioară își păstrează structura:
De exemplu,
în progresie aritmetică 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Dacă este dată o progresie aritmetică, atunci cantitățile o 1 , un n, d, nŞiS n legate prin două formule:
Prin urmare, dacă sunt date valorile a trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.
O progresie aritmetică este o succesiune monotonă. În acest caz:
- Dacă d > 0 , atunci este în creștere;
- Dacă d < 0 , atunci este în scădere;
- Dacă d = 0 , atunci secvența va fi staționară.
Progresie geometrică
Progresie geometrică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul înmulțit cu același număr.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
este o progresie geometrică dacă pentru orice număr natural n conditia este indeplinita:
b n +1 = b n · q,
Unde q ≠ 0 - un anumit număr.
Astfel, raportul dintre termenul următor al unei progresii geometrice date și cel precedent este un număr constant:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Număr q numit numitorul progresiei geometrice.
Pentru a defini o progresie geometrică, este suficient să indicați primul său termen și numitorul.
De exemplu,
Dacă b 1 = 1, q = -3 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 și numitorul q ei n Al treilea termen poate fi găsit folosind formula:
b n = b 1 · qn -1 .
De exemplu,
găsiți al șaptelea termen al progresiei geometrice 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = b 1 · qn -2 ,
b n = b 1 · qn -1 ,
b n +1 = b 1 · qn,
atunci evident
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
fiecare membru al progresiei geometrice, incepand de la al doilea, este egal cu media geometrica (proportionala) a membrelor precedente si urmatoare.
Întrucât este și inversul adevărat, următoarea afirmație este valabilă:
numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă pătratul unuia dintre ele este egal cu produsul celorlalte două, adică unul dintre numere este media geometrică a celorlalte două.
De exemplu,
Să demonstrăm că șirul dat de formulă b n= -3 · 2 n , este o progresie geometrică. Să folosim afirmația de mai sus. Avem:
b n= -3 · 2 n,
b n -1 = -3 · 2 n -1 ,
b n +1 = -3 · 2 n +1 .
Prin urmare,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
care dovedeşte afirmaţia dorită. ◄
Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii geometrice poate fi găsit nu numai prin b 1 , dar și orice membru anterior b k , pentru care este suficient să folosiți formula
b n = b k · qn - k.
De exemplu,
Pentru b 5 poate fi notat
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q 2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · qn - k,
b n = b n - k · q k,
atunci evident
b n 2 = b n - k· b n + k
pătratul oricărui termen al unei progresii geometrice, începând cu al doilea, este egal cu produsul termenilor egal distanțați ai acestei progresii.
În plus, pentru orice progresie geometrică egalitatea este adevărată:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
De exemplu,
în progresie geometrică
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , deoarece
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
primul n membrii unei progresii geometrice cu numitor q ≠ 0 calculat prin formula:
Și când q = 1 - conform formulei
S n= nb 1
Rețineți că, dacă trebuie să însumați termenii
b k, b k +1 , . . . , b n,
atunci se folosește formula:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - qn -
k +1
| . |
| 1 - q
|
De exemplu,
în progresie geometrică 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Dacă este dată o progresie geometrică, atunci mărimile b 1 , b n, q, nŞi S n legate prin două formule:
Prin urmare, dacă sunt date valorile oricărei trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.
Pentru o progresie geometrică cu primul termen b 1 și numitorul q au loc următoarele proprietățile monotonității :
- progresia crește dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
b 1 > 0 Şi q> 1;
b 1 < 0 Şi 0 < q< 1;
- Progresia este în scădere dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
b 1 > 0 Şi 0 < q< 1;
b 1 < 0 Şi q> 1.
Dacă q< 0 , atunci progresia geometrică este alternativă: termenii săi cu numere impare au același semn ca primul său termen, iar termenii cu numere pare au semnul opus. Este clar că o progresie geometrică alternativă nu este monotonă.
Produsul primului n termenii unei progresii geometrice pot fi calculati folosind formula:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
De exemplu,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progresie geometrică în scădere infinită
Progresie geometrică în scădere infinită numită progresie geometrică infinită al cărei modul numitor este mai mic 1 , adică
|q| < 1 .
Rețineți că o progresie geometrică infinit descrescătoare poate să nu fie o succesiune descrescătoare. Se potrivește ocaziei
1 < q< 0 .
Cu un astfel de numitor, succesiunea este alternativă. De exemplu,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare numiți numărul de care se apropie fără limită suma primelor n membrii unei progresii cu o creștere nelimitată a numărului n . Acest număr este întotdeauna finit și este exprimat prin formula
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
De exemplu,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Relația dintre progresiile aritmetice și geometrice
Aritmetică și progresie geometrică sunt strâns legate între ele. Să ne uităm la doar două exemple.
o 1 , o 2 , o 3 , . . . d , Asta
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
De exemplu,
1, 3, 5, . . . - progresie aritmetica cu diferenta 2 Şi
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progresie geometrică cu numitor 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progresie geometrică cu numitor q , Asta
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - progresie aritmetica cu diferenta log aq .
De exemplu,
2, 12, 72, . . . - progresie geometrică cu numitor 6 Şi
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progresie aritmetica cu diferenta lg 6 . ◄