În geometrie, conceptul de „vârf al unui triunghi” este adesea luat în considerare. Acesta este punctul de intersecție a două laturi ale unei figuri date. Acest concept apare în aproape fiecare problemă, așa că este logic să îl luăm în considerare mai detaliat.
Determinarea vârfului unui triunghi
Într-un triunghi, există trei puncte în care laturile se intersectează, formând trei unghiuri. Se numesc vârfuri, iar laturile pe care se sprijină se numesc laturile triunghiului.
Orez. 1. Vârful într-un triunghi.
Vârfurile din triunghiuri sunt indicate cu majuscule. Prin urmare, cel mai adesea în matematică, laturile sunt notate cu două litere mari latine, după numele vârfurilor care intră în laturi. De exemplu, latura AB este latura unui triunghi care leagă vârfurile A și B.
Orez. 2. Desemnarea vârfurilor într-un triunghi.
Caracteristicile conceptului
Dacă luăm un triunghi orientat în mod arbitrar într-un plan, atunci în practică este foarte convenabil să-l exprimăm caracteristici geometrice prin coordonatele vârfurilor acestei figuri. Astfel, vârful A al unui triunghi poate fi exprimat ca punct cu anumiți parametri numerici A(x; y).
Cunoscând coordonatele vârfurilor triunghiului, puteți găsi punctele de intersecție ale medianelor, lungimea înălțimii coborâtă la una dintre laturile figurii și aria triunghiului.
Pentru a face acest lucru, sunt utilizate proprietățile vectorilor reprezentați în sistemul de coordonate carteziene, deoarece lungimea laturii unui triunghi este determinată prin lungimea vectorului cu punctele în care sunt situate vârfurile corespunzătoare acestei figuri.
Folosind vârful unui triunghi
Pentru orice vârf al unui triunghi, puteți găsi un unghi care va fi adiacent unghiului intern al figurii în cauză. Pentru a face acest lucru, va trebui să extindeți una dintre laturile triunghiului. Deoarece există două laturi la fiecare vârf, există două unghiuri externe la fiecare vârf. Un unghi exterior este egal cu suma a două unghiuri interioare ale unui triunghi care nu sunt adiacente acestuia.
Orez. 3. Proprietatea unghiului extern al unui triunghi.
Dacă construiți două unghiuri externe la un vârf, acestea vor fi egale, ca și cele verticale.
Ce am învățat?
Unul dintre conceptele importante de geometrie atunci când ne uităm la diferite tipuri de triunghiuri este vârful. Acesta este punctul în care cele două laturi ale unghiului unei figuri geometrice date se intersectează. Este desemnat ca unul dintre majuscule alfabet latin. Vârful unui triunghi poate fi exprimat în termeni de coordonate x și y, acest lucru ajută la definirea lungimii laturii triunghiului ca lungime a unui vector.
Test pe tema
Evaluarea articolului
Evaluare medie: 4.2. Evaluări totale primite: 153.
CapitolV. GEOMETRIA ANALITICA PE AVION
ȘI ÎN SPAȚIU
Secțiunea include sarcini care sunt discutate în subiectul „Geometrie analitică în plan și în spațiu”: elaborarea diverselor ecuații de drepte în plan și în spațiu; determinarea poziției relative a liniilor pe un plan, drepte, o dreaptă și un plan, planuri în spațiu; imaginea curbelor de ordinul doi. De remarcat faptul că această secțiune prezintă probleme de conținut economic, a căror rezolvare utilizează informații de la geometrie analiticăîntr-un avion.
La rezolvarea problemelor de geometrie analitică este indicat să se folosească manuale de la următorii autori: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremer, D.T. Scris de V.I. Malykhina, pentru că Această literatură acoperă o gamă mai largă de sarcini care pot fi folosite pentru auto-studiu pe această temă. Aplicarea geometriei analitice la rezolvarea problemelor economice este prezentată în publicațiile educaționale ale M.S. Krass și V.I. Ermakova.
Problema 5.1. Având în vedere coordonatele vârfurilor triunghiuluiABC . Necesar
a) scrieți ecuațiile laturilor triunghiului;
b) scrieți ecuația înălțimii unui triunghi desenat din vârfCU în lateralAB și găsiți-i lungimea;
c) scrieți ecuația medianei unui triunghi desenat din vârfÎN în lateralAC ;
d) găsiți unghiurile triunghiului și stabiliți tipul acestuia (dreptunghiular, acut, obtuz);
e) aflați lungimile laturilor triunghiului și determinați tipul acestuia (scalen, isoscel, echilateral);
e) găsiți coordonatele centrului de greutate (punctul de intersecție al medianelor) triunghiuluiABC ;
g) găsiți coordonatele ortocentrului (punctul de intersecție al altitudinilor) triunghiuluiABC .
Pentru fiecare dintre punctele a) – c) ale soluției, faceți desene într-un sistem de coordonate. În imagini, marcați liniile și punctele corespunzătoare punctelor sarcinii.
Exemplul 5.1
Având în vedere coordonatele vârfurilor triunghiuluiABC : . Este necesar să a) scrieți ecuațiile laturilor triunghiului; b) scrieți ecuația înălțimii unui triunghi desenat din vârf CU în lateralAB și găsiți-i lungimea; c) scrieți ecuația medianei unui triunghi desenat din vârfÎN în lateralAC ; d) aflați lungimile laturilor triunghiului și determinați tipul acestuia (scalen, isoscel, echilateral); e) găsiți unghiurile triunghiului și stabiliți tipul acestuia (dreptunghiular, acut, obtuz); e) găsiți coordonatele centrului de greutate (punctul de intersecție al medianelor) triunghiului ABC ; g) găsiți coordonatele ortocentrului (punctul de intersecție al altitudinilor) triunghiuluiABC .
Soluţie
O) Pentru fiecare latură a triunghiului sunt cunoscute coordonatele a două puncte care se află pe liniile cerute, ceea ce înseamnă că ecuațiile laturilor triunghiului sunt ecuațiile dreptelor care trec prin două puncte date.
|
|
,Unde 
Şi 
coordonatele corespunzătoare ale punctelor.
Astfel, substituind coordonatele punctelor corespunzatoare dreptelor in formula (5.1), obtinem
,
,
,
de unde, după transformări, notăm ecuațiile laturilor
În fig. 7 descriem laturile corespunzătoare ale triunghiului 
Drept.
Răspuns:
|
|
b) Lasă 
– înălțimea trasă de la vârf 
în lateral 
. Deoarece 
trece printr-un punct 
perpendicular pe vector 
, apoi vom compune ecuația dreptei folosind următoarea formulă
Unde 
– coordonatele vectorului perpendicular pe dreapta dorită, 
– coordonatele unui punct aparținând acestei drepte. Aflați coordonatele vectorului perpendicular pe dreapta 
, și înlocuiți în formula (5.2)
,
,
.
Aflați lungimea înălțimii CH ca distanta fata de punct 
la o linie dreaptă 
|
|
,Unde 
– ecuația unei drepte 
,
– coordonatele punctului 
.
În paragraful precedent s-a găsit
Înlocuind datele în formula (5.3), obținem
,
În fig. 8 desenați un triunghi și înălțimea găsită CH.
Răspuns: .
|
R |
este.8 V) 
median 
triunghi 
desparte partea 
în două părți egale, adică punct 
este punctul de mijloc al segmentului 
. Pe baza acestui lucru, puteți găsi coordonatele 
|
|
,
,Unde 
Şi 
Şi 
puncte
;
.
, înlocuind care în formulele (5.4), obținem 
median 
Ecuația mediană 
Şi 
Să o scriem ca o ecuație a unei drepte care trece prin puncte
,
.
Răspuns: conform formulei (5.1)
|
R |
(Fig. 9).este. 9
,
,
.
G) 
Şi 
median 
Găsim lungimile laturilor triunghiului ca lungimile vectorilor corespunzători, i.e. 
.
Răspuns: petreceri 
sunt egale, ceea ce înseamnă că triunghiul este isoscel cu baza 
;
,
.
triunghi isoscel cu baza 
d)
,
,
.
Unghiurile unui triunghi 
să găsim unghiurile dintre vectorii care emană de la vârfurile corespunzătoare ale unui triunghi dat, i.e.
,
Deoarece triunghiul este isoscel cu o bază 
,
.
, Asta
,
;
,
,
.
Calculăm unghiurile dintre vectori folosind formula (4.4), care necesită produse scalare ale vectorilor
,
Să găsim coordonatele și mărimile vectorilor necesari pentru a calcula unghiurile 
Înlocuind datele găsite în formula (4.4), obținem
Răspuns: petreceri 
Deoarece cosinusurile tuturor unghiurilor găsite sunt pozitive, atunci triunghiul
,
,
.
este unghiular acut. Lasă 
unghi ascuțit; 
. Pe baza acestui lucru, puteți găsi coordonatele 
e)
|
|
,
,Unde 
,
Şi 
, apoi coordonatele 
,
Şi 
poate fi găsit folosind formulele (5.5)
,
.
Răspuns:
– centrul de greutate al triunghiului 
.
şi) Lasă 
– ortocentrul triunghiului 
. Găsiți coordonatele punctului 
ca coordonatele punctului de intersecție al altitudinilor triunghiului. Ecuația înălțimii 
a fost găsit la b). Să găsim ecuația înălțimii 
:
,
,
.
Deoarece 
, apoi soluția sistemului
este coordonatele punctului 
, unde găsim 
.
Răspuns:
– ortocentrul triunghiului 
.
Problema 5.2. Costurile fixe la o întreprindere la producerea unor produse suntF V 0 freca. pe unitate de producție, cu venituri în valoare deR 0 freca. per unitate de produs fabricat. Creați o funcție de profitP (q ) (q
Date pentru starea problemei corespunzătoare opțiunilor:
Exemplul 5.2
Costurile fixe la o întreprindere la producerea unor produse sunt
freca. pe lună, costuri variabile –
freca. pe unitate de producție, cu venituri în valoare de
freca. per unitate de produs fabricat. Creați o funcție de profitP
(q
)
(q
– cantitatea de produse produse); construiți graficul acestuia și determinați pragul de rentabilitate.
Soluţie
Să calculăm costurile totale de producție la lansare q unități ale unor produse
Dacă vândut q unități de producție, atunci venitul total va fi
Pe baza funcțiilor obținute de venit total și costuri totale, găsim funcția profit
,
.
Pragul de rentabilitate – punctul în care profitul este zero sau punctul în care costurile totale sunt egale cu veniturile totale
,
,
de unde il gasim?
- pragul de rentabilitate.
Pentru a reprezenta un grafic (Fig. 10) al funcției de profit, vom găsi încă un punct
Răspuns: functia profitului 
, pragul de rentabilitate 
.
Problema 5.3. Legile cererii și ofertei pentru un anumit produs sunt, respectiv, determinate de ecuațiip = p D (q ), p = p S (q ), Undep – prețul produsului,q – cantitatea de mărfuri. Se presupune că cererea este determinată doar de prețul produsului de pe piațăp CU , iar oferta este doar la prețp S primite de furnizori. Necesar
a) determina punctul de echilibru al pietei;
b) punctul de echilibru după introducerea unui impozit egal cut . Determinați creșterea prețului și scăderea volumului vânzărilor de echilibru;
c) găsirea unei subvențiis , ceea ce va duce la o creștere a vânzărilor cuq 0 unitati raportat la original (definit la paragraful a));
d) găsiți un nou punct de echilibru și venitul guvernului la introducerea unui impozit proporțional cu prețul și egalN %;
e) să determine câți bani va cheltui guvernul pentru cumpărarea excedentului atunci când stabilește un preț minim egal cu p 0 .
Pentru fiecare punct de soluție, faceți un desen în sistemul de coordonate. În figură, marcați liniile și punctele corespunzătoare articolului de sarcină.
Date pentru starea problemei corespunzătoare opțiunilor:
Cum să înveți să rezolvi probleme de geometrie analitică?
Problemă tipică cu un triunghi pe un plan
Această lecție este creată despre abordarea ecuatorului dintre geometria planului și geometria spațiului. În acest moment, este nevoie de sistematizare a informațiilor acumulate și de a răspunde la o întrebare foarte importantă: cum să înveți să rezolvi probleme de geometrie analitică? Dificultatea este că poți veni cu un număr infinit de probleme de geometrie și niciun manual nu va conține toată multitudinea și varietatea de exemple. Acest lucru nu este derivata unei functii cu cinci reguli de diferențiere, un tabel și mai multe tehnici...
Există o soluție! Nu voi vorbi cu voce tare despre faptul că am dezvoltat un fel de tehnică grandioasă, cu toate acestea, în opinia mea, există o abordare eficientă a problemei luate în considerare, care permite chiar și unui manechin complet să obțină rezultate bune și excelente. Cel puțin algoritmul de soluție generală probleme geometrice formată foarte clar în capul meu.
CE TREBUIE SĂ ȘTIȚI ȘI SĂ POȚI FACE
pentru rezolvarea cu succes a problemelor de geometrie?
Nu există nicio scăpare din asta - pentru a nu împinge la întâmplare butoanele cu nasul, trebuie să stăpânești elementele de bază ale geometriei analitice. Prin urmare, dacă tocmai ați început să studiați geometria sau ați uitat-o complet, vă rugăm să începeți cu lecția Vectori pentru manechine . Pe lângă vectori și acțiuni cu ei, trebuie să știți concepte de bază geometria plană, în special, ecuația unei drepte într-un plan Și . Geometria spațiului este prezentată în articole Ecuația plană , Ecuațiile unei drepte în spațiu , Probleme de bază pe linii drepte și planeși alte câteva lecții. Liniile curbe și suprafețele spațiale de ordinul doi stau oarecum depărtate și nu există atât de multe probleme specifice cu ele.
Să presupunem că elevul are deja cunoștințe și abilități de bază în rezolvarea celor mai simple probleme de geometrie analitică. Dar se întâmplă așa: citești enunțul problemei și... vrei să închizi totul cu totul, să o arunci într-un colț îndepărtat și să uiți de ea, ca un vis urât. Mai mult, acest lucru nu depinde în mod fundamental de nivelul calificărilor tale, din când în când întâlnesc sarcini pentru care soluția nu este evidentă. Ce să faci în astfel de cazuri? Nu trebuie să-ți fie frică de o sarcină pe care nu o înțelegi!
În primul rând, ar trebui instalat - Este aceasta o problemă „plată” sau spațială? De exemplu, dacă condiția include vectori cu două coordonate, atunci, desigur, aceasta este geometria unui plan. Și dacă profesorul l-a încărcat pe ascultătorul recunoscător cu o piramidă, atunci există în mod clar geometria spațiului. Rezultatele primului pas sunt deja destul de bune, pentru că am reușit să tăiem o cantitate imensă de informații inutile pentru această sarcină!
Doilea. Condiția vă va preocupa de obicei cu o figură geometrică. Într-adevăr, mergi pe coridoarele universității tale natale și vei vedea o mulțime de fețe îngrijorate.
În problemele „plate”, ca să nu mai vorbim de punctele și liniile evidente, cea mai populară figură este un triunghi. O vom analiza în detaliu. Urmează paralelogramul și mult mai puțin frecvente sunt dreptunghiul, pătratul, rombul, cercul și alte forme.
În sarcinile spațiale aceiași pot zbura figuri plate+ planurile în sine și piramidele triunghiulare comune cu paralelipipedi.
Intrebarea a doua - Știi totul despre această figură? Să presupunem că condiția vorbește despre un triunghi isoscel și vă amintiți foarte vag ce fel de triunghi este acesta. Deschidem un manual școlar și citim despre un triunghi isoscel. Ce să faci... doctorul a spus un romb, asta înseamnă un romb. Geometria analitică este geometrie analitică, dar va ajuta la rezolvarea problemei proprietăți geometrice figurile în sine, cunoscut la noi din programa școlară. Dacă nu știi care este suma unghiurilor unui triunghi, poți suferi mult timp.
Treilea. ÎNTOTDEAUNA încercați să urmați desenul(pe o schiță/copie finală/mental), chiar dacă acest lucru nu este cerut de condiție. În problemele „plate”, Euclid însuși a ordonat să ridice o riglă și un creion - și nu numai pentru a înțelege starea, ci și în scopul autotestării. În acest caz, scara cea mai convenabilă este 1 unitate = 1 cm (2 celule de notebook). Să nu vorbim despre studenți și matematicieni neglijenți care se învârt în mormintele lor - este aproape imposibil să greșești în astfel de probleme. Pentru sarcini spațiale pe care le executăm desen schematic, care va ajuta și la analiza stării.
Un desen sau un desen schematic vă permite adesea să vedeți imediat modul de rezolvare a unei probleme. Desigur, pentru aceasta trebuie să cunoașteți geometria de bază și să piratați proprietățile forme geometrice(vezi paragraful anterior).
Patrulea. Dezvoltarea unui algoritm de soluție. Multe probleme de geometrie sunt în mai multe etape, astfel încât soluția și designul său sunt foarte convenabile de descompus în puncte. Adesea, algoritmul vine imediat în minte după ce citiți condiția sau finalizați desenul. În caz de dificultăți, începem cu ÎNTREBAREA sarcinii. De exemplu, conform condiției „trebuie să construiți o linie dreaptă...”. Aici cea mai logică întrebare este: „Ce este suficient să știi pentru a construi această linie dreaptă?” Să presupunem că „știm ideea, trebuie să cunoaștem vectorul de direcție”. Adresăm următoarea întrebare: „Cum să găsim acest vector de direcție? Unde?" etc.
Uneori există o „bucă” - problema nu este rezolvată și gata. Motivele opririi pot fi următoarele:
– Decalaj serios în cunoștințele de bază. Cu alte cuvinte, nu știi și/sau nu vezi ceva foarte simplu.
– Necunoașterea proprietăților figurilor geometrice.
– Sarcina a fost dificilă. Da, se întâmplă. Nu are rost să aburi ore întregi și să strângi lacrimi într-o batistă. Cereți sfaturi de la profesorul dvs., colegii studenți sau adresați o întrebare pe forum. Mai mult, este mai bine să-și concretizezi afirmația - despre acea parte a soluției pe care nu o înțelegi. Un strigăt sub forma „Cum se rezolvă problema?” nu arată prea bine... și, mai ales, pentru propria ta reputație.
Etapa cinci. Noi decidem-verificam, decidem-verificam, decidem-verificam-da un raspuns. Este benefic să verificați fiecare punct al sarcinii imediat după ce este finalizat. Acest lucru vă va ajuta să identificați imediat eroarea. Desigur, nimeni nu interzice rezolvarea rapidă a întregii probleme, dar există riscul de a rescrie totul din nou (de multe ori mai multe pagini).
Acestea sunt, poate, toate considerentele principale care ar trebui urmate la rezolvarea problemelor.
Partea practică a lecției este prezentată în geometria plană. Vor fi doar două exemple, dar nu vor părea suficiente =)
Să trecem prin firul algoritmului pe care tocmai m-am uitat în mica mea lucrare științifică:
Exemplul 1
Sunt date trei vârfuri ale unui paralelogram. Găsiți partea de sus.
Să începem să înțelegem:
Pasul unu: Este evident că vorbim despre o problemă „plată”.
Pasul doi: Problema tratează un paralelogram. Toată lumea își amintește această cifră paralelogramă? Nu este nevoie să zâmbești, mulți oameni își primesc educația la 30-40-50 de ani sau mai mult, așa că chiar și fapte simple poate fi sters din memorie. Definiția paralelogramului se găsește în Exemplul nr. 3 al lecției Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor .
Pasul trei: Să facem un desen pe care să marchem trei vârfuri cunoscute. Este amuzant că nu este dificil să construiți imediat punctul dorit: 
Construirea lui este, desigur, bună, dar soluția trebuie formulată analitic.
Pasul patru: Dezvoltarea unui algoritm de soluție. Primul lucru care îmi vine în minte este că un punct poate fi găsit ca intersecția dreptelor. Nu le cunoaștem ecuațiile, așa că va trebui să ne ocupăm de această problemă:
1) Laturile opuse sunt paralele. Pe puncte 
Să găsim vectorul direcție al acestor laturi. Acest cea mai simplă sarcină despre care s-a discutat în clasă Vectori pentru manechine
.
Nota: ar fi mai corect să spunem „ecuația unei drepte care conține o latură”, dar aici și mai departe, pentru concizie, voi folosi expresiile „ecuația unei laturi”, „vector de direcție al unei laturi” etc.
3) Laturile opuse sunt paralele. Folosind punctele, găsim vectorul direcție al acestor laturi.
4) Să creăm o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție
În paragrafele 1-2 și 3-4, am rezolvat de fapt aceeași problemă de două ori, a fost discutată în exemplul nr. 3 al lecției; Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan . A fost posibil să luați o rută mai lungă - mai întâi găsiți ecuațiile liniilor și abia apoi „trageți” vectorii de direcție din ele.
5) Acum se cunosc ecuațiile dreptelor. Rămâne de construit și rezolvat sistemul corespunzător ecuații liniare(vezi exemplele nr. 4, 5 din aceeași lecție Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan ).
Ideea a fost găsită.
Sarcina este destul de simplă și soluția ei este evidentă, dar există o cale mai scurtă!
A doua soluție:
Diagonalele unui paralelogram sunt tăiate în două de punctul lor de intersecție. Am marcat punctul, dar pentru a nu aglomera desenul, nu am desenat diagonalele în sine.
Să creăm o ecuație pentru partea laterală punct cu punct: 
Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți mental sau pe o schiță coordonatele fiecărui punct în ecuația rezultată. Acum să găsim panta. Pentru a face acest lucru, rescriem ecuația generală sub forma unei ecuații cu un coeficient de pantă:
Astfel, panta este:
În mod similar, găsim ecuațiile laturilor. Nu văd prea mult rost să descriu același lucru, așa că voi da imediat rezultatul final: 
2) Aflați lungimea laturii. Aceasta este cea mai simplă problemă abordată în clasă. Vectori pentru manechine
. Pentru puncte 
folosim formula:
Folosind aceeași formulă, este ușor să găsiți lungimile altor laturi. Verificarea se poate face foarte repede cu o riglă obișnuită.
Folosim formula 
.
Să găsim vectorii:
Astfel:
Apropo, pe parcurs am găsit lungimile laturilor.
Ca urmare:
Ei bine, pare a fi adevărat, pentru a fi convingător, poți atașa un raportor la colț.
Atenţie! Nu confundați unghiul unui triunghi cu unghiul dintre liniile drepte. Unghiul unui triunghi poate fi obtuz, dar unghiul dintre liniile drepte nu poate (vezi ultimul paragraf al articolului Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan ). Cu toate acestea, pentru a găsi unghiul unui triunghi, puteți folosi și formulele din lecția de mai sus, dar rugozitatea este că acele formule dau întotdeauna un unghi ascuțit. Cu ajutorul lor, am rezolvat această problemă în schiță și am obținut rezultatul. Și pe exemplarul final ar trebui să notez scuze suplimentare, că .
4) Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta.
Sarcină standard, discutată în detaliu în exemplul nr. 2 al lecției Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan
. Din ecuație generală direct 
Să scoatem vectorul ghid. Să creăm o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție: 
Cum să afli înălțimea unui triunghi?
5) Să creăm o ecuație pentru înălțime și să găsim lungimea acesteia.
Nu există nicio scăpare de la definițiile stricte, așa că va trebui să furi dintr-un manual școlar:
Înălțimea triunghiului se numește perpendiculară trasată de la vârful triunghiului la dreapta care conține latura opusă.
Adică, este necesar să se creeze o ecuație pentru o perpendiculară trasată de la vârf la latură. Această sarcină discutat în exemplele nr. 6, 7 ale lecției Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan
. Din Eq. 
elimina vectorul normal. Să compunem ecuația înălțimii folosind un punct și un vector de direcție: 
Vă rugăm să rețineți că nu cunoaștem coordonatele punctului.
Uneori ecuația înălțimii se găsește din raportul coeficienților unghiulari ai dreptelor perpendiculare: . În acest caz, atunci: . Să compunem ecuația înălțimii folosind un punct și un coeficient unghiular (vezi începutul lecției Ecuația unei drepte pe un plan
):
Lungimea înălțimii poate fi găsită în două moduri.
Există o cale giratorie:
a) găsiți – punctul de intersecție al înălțimii și al laturii;
b) aflați lungimea segmentului folosind două puncte cunoscute.
Dar în clasă Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan
a fost luată în considerare o formulă convenabilă pentru distanța de la un punct la o linie. Se cunoaște punctul: , se cunoaște și ecuația dreptei: 
, Astfel:
6) Calculați aria triunghiului. În spațiu, aria unui triunghi este calculată în mod tradițional folosind produs vectorial al vectorilor
, dar aici ni se dă un triunghi pe un plan. Folosim formula școlară:
– Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei sale și înălțimea acestuia.
În acest caz:
Cum să găsiți mediana unui triunghi?
7) Să creăm o ecuație pentru mediană.
Mediana unui triunghi numit segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.
a) Aflați punctul - mijlocul laturii. Noi folosim formule pentru coordonatele punctului mijlociu al unui segment
. Coordonatele capetelor segmentului sunt cunoscute: 
, apoi coordonatele mijlocului: 
Astfel: 
Să compunem punct cu punct ecuația mediană 
:
Pentru a verifica ecuația, trebuie să înlocuiți coordonatele punctelor în ea.
8) Aflați punctul de intersecție al înălțimii și medianei. Cred că toată lumea a învățat deja cum să efectueze acest element de patinaj artistic fără să cadă: 
