linia UMK A. G. Merzlyak. Matematică (5-6)

Matematică

De ce nu poți împărți la zero?

Informațiile pe care nu le putem împărți la zero ne sunt cunoscute încă de la școală. Învățăm această regulă odată pentru totdeauna. Cu toate acestea, doar câțiva dintre noi se întreabă de ce nu putem face acest lucru. Dar este important să cunoaștem și să înțelegem motivele imposibilității acestei acțiuni, deoarece dezvăluie principiile „muncă” și alte operații matematice.

Toate operațiile matematice sunt egale, dar unele sunt mai egale decât altele.

Să începem cu faptul că cele patru operații aritmetice - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea - nu sunt egale. Și conversația nu este despre ordinea acțiunilor atunci când rezolvăm un exemplu sau o ecuație. Nu, ne referim la însuși conceptul de număr. Și după el, cele mai importante sunt adunarea și înmulțirea. Și scăderea și împărțirea „urmează” de la ele într-un fel sau altul.

Adunarea și scăderea

De exemplu, să ne uităm la o operație simplă: „3 - 1”. Ce înseamnă acest lucru? Elevul poate explica cu ușurință această problemă: asta înseamnă că au fost trei obiecte (de exemplu, trei portocale), unul a fost scăzut, numărul de obiecte rămas este răspunsul corect. Este descris corect? Corect. Noi înșine l-am explica exact în același mod. Dar matematicienii văd procesul de scădere diferit.

Operația „3 - 1” este considerată nu din punctul de vedere al scăderii, ci doar din punctul de vedere al adunării. Potrivit acestuia, nu există „trei minus unu”, există „un număr necunoscut care, adăugat la unu, dă trei”. Astfel, simplul „trei minus unu” devine o ecuație cu o necunoscută: „x + 1 = 3”. Mai mult, aspectul ecuației și-a schimbat semnul - scăderea s-a schimbat în adunare. Mai rămâne o singură sarcină - să găsești un număr potrivit.

Manualul de referință conține toate formulele de bază ale cursului de matematică școlară: algebră, geometrie și principii de analiză. Pentru ușurința utilizării cărții de referință, a fost întocmit un index al subiectelor. Manualul este destinat școlarilor din clasele 5-11 și solicitanților.

Înmulțirea și împărțirea

Metamorfoze similare apar cu o acțiune precum diviziunea. Matematicienii refuză să perceapă problema „6:3” ca un fel de șase obiecte împărțite în trei părți. „Șase împărțit la trei” nu este altceva decât „un număr necunoscut înmulțit cu trei, rezultând șase”: „x · 3”.

Împărțiți la zero

După ce am clarificat principiul operațiilor matematice în legătură cu problemele cu scăderea și împărțirea, să luăm în considerare împărțirea noastră la zero.

Problema „4:0” devine „x · 0”. Se dovedește că trebuie să găsim un număr a cărui înmulțire ne va da 4. Se știe că înmulțirea cu zero dă întotdeauna zero. Acest proprietate unică zero și, de fapt, esența lui. Nu există un număr înmulțit cu zero care să producă alt număr decât zero. Am ajuns la o contradicție, ceea ce înseamnă că problema nu are soluție. În consecință, intrarea „4:0” nu corespunde niciunui număr specific și, prin urmare, urmează lipsa de sens. Prin urmare, pentru a sublinia pe scurt neproductivitatea unui astfel de proces precum împărțirea la zero, ei spun că „nu puteți împărți la zero”.

Mai multe materiale interesante:

• Greșelile tipice pe care le fac profesorii când predau lecții de matematică în școala elementară
• Activități extracurriculare la matematică în școala primară
• Formarea alfabetizării matematice în școala primară

Ce se întâmplă dacă împărțiți zero la zero?

Să ne imaginăm următoarea ecuație: „0 x = 0”. Pe de o parte, pare destul de corect. Ne imaginăm zero în loc de un număr necunoscut și obținem soluție gata făcută: „0 0 = 0”. Din aceasta este destul de logic să deducem că „0: 0 = 0”.

Totuși, acum să înlocuim orice alt număr, de exemplu „x = 7”, în aceeași ecuație cu o necunoscută în loc de „x = 0”. Expresia rezultată arată acum ca „0 · 7 = 0”. Se pare că totul este corect. Facem operația inversă și obținem „0: 0 = 7”. Dar apoi, se dovedește că puteți lua absolut orice număr și puteți scoate 0: 0 = 1, 0: 0 = 2... 0: 0 = 145... - și așa mai departe la infinit.

Dacă ecuația este valabilă pentru orice număr x, atunci nu avem dreptul să alegem doar unul, excluzând restul. Aceasta înseamnă că încă nu putem răspunde la ce număr îi corespunde expresia „0:0”. Aflându-ne din nou într-o fundătură, admitem că și această operațiune este inutilă. Se pare că zero nu poate fi împărțit nici măcar singur.

Să fim de acord că în analiză matematică uneori există conditii speciale sarcini - așa-numita „dezvăluire a incertitudinii”. În astfel de cazuri, este permis să se acorde preferință unuia dintre solutii posibile ecuația „0 x = 0”. Cu toate acestea, în aritmetică astfel de „toleranțe” nu apar.

Numărul 0 poate fi imaginat ca un fel de graniță care separă lumea numerelor reale de cele imaginare sau negative. Din cauza poziției ambigue, multe operații cu această valoare numerică nu se supun logicii matematice. Imposibilitatea împărțirii la zero - strălucitor că exemplu. Și operațiile aritmetice permise cu zero pot fi efectuate folosind definiții general acceptate.

Istoria lui zero

Zero este punctul de referință în toate sistemele de numere standard. Europenii au început să folosească acest număr relativ recent, dar înțelepții India antică foloseau zero cu o mie de ani înainte ca numărul gol să fie utilizat în mod regulat de către matematicienii europeni. Chiar înainte de indieni, zero era o valoare obligatorie în sistem numeric Mayan. Acești americani au folosit sistemul numeric duozecimal, iar prima zi a fiecărei luni începea cu zero. Este interesant că printre mayași semnul care denotă „zero” a coincis complet cu semnul care denotă „infinitul”. Astfel, vechii mayași au ajuns la concluzia că aceste cantități sunt identice și de necunoscut.

Operații matematice cu zero

Operațiile matematice standard cu zero pot fi reduse la câteva reguli.

Adunare: dacă adăugați zero la un număr arbitrar, acesta nu își va schimba valoarea (0+x=x).

Scădere: Când scădeți zero din orice număr, valoarea scăderii rămâne neschimbată (x-0=x).

Înmulțire: Orice număr înmulțit cu 0 produce 0 (a*0=0).

Diviziunea: zero poate fi împărțit la orice număr, nu egal cu zero. În acest caz, valoarea unei astfel de fracții va fi 0. Și împărțirea la zero este interzisă.

Exponentiație. Această acțiune poate fi efectuată cu orice număr. Un număr arbitrar ridicat la puterea zero va da 1 (x 0 =1).

Zero la orice putere este egal cu 0 (0 a = 0).

În acest caz, apare imediat o contradicție: expresia 0 0 nu are sens.

Paradoxurile matematicii

Mulți oameni știu de la școală că împărțirea la zero este imposibilă. Dar din anumite motive este imposibil de explicat motivul unei astfel de interdicții. De fapt, de ce nu există formula de împărțire la zero, dar alte acțiuni cu acest număr sunt destul de rezonabile și posibile? Răspunsul la această întrebare este dat de matematicieni.

Chestia este că operațiile aritmetice obișnuite în care învață școlarii școală primară, de fapt, nu sunt nici pe departe la fel de egali pe cât credem. Toate operațiile simple cu numere pot fi reduse la două: adunare și înmulțire. Aceste acțiuni constituie esența conceptului însuși de număr, iar alte operațiuni sunt construite pe utilizarea acestor două.

Adunarea și înmulțirea

Să luăm exemplu standard pentru scădere: 10-2=8. La școală o consideră simplu: dacă scazi două din zece materii, rămân opt. Dar matematicienii privesc aceasta operatie cu totul diferit. La urma urmei, o astfel de operație precum scăderea nu există pentru ei. Acest exemplu poate fi scris în alt mod: x+2=10. Pentru matematicieni, diferența necunoscută este pur și simplu numărul care trebuie adăugat la doi pentru a face opt. Și nu este necesară nicio scădere aici, trebuie doar să găsiți valoarea numerică adecvată.

Înmulțirea și împărțirea sunt tratate la fel. În exemplul 12:4=3 puteți înțelege că vorbim despre împărțirea a opt obiecte în două grămezi egale. Dar, în realitate, aceasta este doar o formulă inversată pentru a scrie 3x4 = 12. Astfel de exemple de împărțire pot fi date la nesfârșit.

Exemple de împărțire la 0

Aici devine puțin clar de ce nu puteți împărți la zero. Înmulțirea și împărțirea cu zero urmează propriile reguli. Toate exemplele de împărțire a acestei cantități pot fi formulate ca 6:0 = x. Dar aceasta este o notație inversată a expresiei 6 * x=0. Dar, după cum știți, orice număr înmulțit cu 0 dă doar 0 în produs. Această proprietate este inerentă însuși conceptului de valoare zero.

Se dovedește că nu există un astfel de număr care, înmulțit cu 0, să dea vreo valoare tangibilă, adică această sarcină nu are solutie. Nu ar trebui să vă fie frică de acest răspuns; este un răspuns firesc pentru probleme de acest tip. Doar că înregistrarea 6:0 nu are niciun sens și nu poate explica nimic. Pe scurt, această expresie poate fi explicată prin nemuritoarea „diviziunea la zero este imposibilă”.

Există o operație 0:0? Într-adevăr, dacă operația de înmulțire cu 0 este legală, poate fi împărțit zero la zero? La urma urmei, o ecuație de forma 0x 5=0 este destul de legală. În loc de numărul 5 poți pune 0, produsul nu se va schimba.

Într-adevăr, 0x0=0. Dar tot nu poți împărți la 0. După cum am spus, împărțirea este pur și simplu inversul înmulțirii. Astfel, dacă în exemplul 0x5=0, trebuie să determinați al doilea factor, obținem 0x0=5. Sau 10. Sau infinit. Împărțirea infinitului la zero - cum vă place?

Dar dacă orice număr se încadrează în expresie, atunci nu are sens; nu putem alege doar unul dintr-un număr infinit de numere. Și dacă da, asta înseamnă că expresia 0:0 nu are sens. Se dovedește că chiar și zero în sine nu poate fi împărțit la zero.

Matematică superioară

Împărțirea cu zero este o bătaie de cap pentru matematica școlară. Analiza matematică studiată în universitățile tehnice extinde ușor conceptul de probleme care nu au soluție. De exemplu, deja expresie celebră Se adaugă altele noi 0:0 care nu au soluții la cursurile de matematică din școală:

• infinitul împărțit la infinit: ?:?;
• infinit minus infinit: ???;
• unitate ridicată la o putere infinită: 1 ? ;
• infinitul înmulțit cu 0: ?*0;
• unele altele.

Este imposibil să rezolvi astfel de expresii folosind metode elementare. Dar matematică superioară mulțumesc caracteristici suplimentare pentru un număr de exemple similare oferă soluții finite. Acest lucru este evident mai ales în considerarea problemelor din teoria limitelor.

Deblocarea incertitudinii

În teoria limitelor, valoarea 0 este înlocuită cu o variabilă infinitezimală condiționată. Iar expresiile în care, la înlocuirea valorii dorite, se obține împărțirea la zero, se transformă. Mai jos este un exemplu standard de extindere a unei limite folosind transformări algebrice obișnuite:

După cum puteți vedea în exemplu, simpla reducere a unei fracții duce valoarea acesteia la un răspuns complet rațional.

Când se iau în considerare limitele funcții trigonometrice expresiile lor tind să fie reduse la prima limita minunata. Când se iau în considerare limite în care numitorul devine 0 atunci când limita este înlocuită, se folosește o a doua limită remarcabilă.

Metoda L'Hopital

În unele cazuri, limitele expresiilor pot fi înlocuite cu limitele derivatelor lor. Guillaume L'Hopital este un matematician francez, fondatorul școlii franceze de analiză matematică. El a demonstrat că limitele expresiilor sunt egale cu limitele derivatelor acestor expresii. În notație matematică, regula lui arată așa.

În prezent, metoda lui L'Hopital este utilizată cu succes pentru a rezolva incertitudinile de tip 0:0 sau?:?

Cum se împarte și se înmulțește cu 0,1; 0,01; 0,001 etc.?

Scrieți regulile de împărțire și înmulțire.

Pentru a înmulți un număr cu 0,1, trebuie doar să mutați punctul zecimal.

De exemplu a fost 56 , a devenit 5,6 .

Pentru a împărți la același număr, trebuie să mutați virgula în direcția opusă:

De exemplu a fost 56 , a devenit 560 .

Cu numărul 0,01 totul este la fel, dar trebuie să îl mutați la 2 cifre, nu una.

În general, transferați câte zerouri aveți nevoie.

De exemplu, există un număr 123456789.

Trebuie să o înmulțiți cu 0,000000001

Există nouă zerouri în numărul 0,000000001 (numărăm și zeroul la stânga punctului zecimal), ceea ce înseamnă că deplasăm numărul 123456789 cu 9 cifre:

Era 123456789 și acum este 0,123456789.

Pentru a nu înmulți, ci pentru a împărți la același număr, ne deplasăm în cealaltă direcție:

Era 123456789 și acum este 123456789000000000.

Pentru a deplasa un număr întreg în acest fel, pur și simplu îi adăugăm un zero. Și în fracționar mutam virgula.

Împărțirea unui număr la 0,1 corespunde înmulțirii acelui număr cu 10

Împărțirea unui număr la 0,01 corespunde înmulțirii acelui număr cu 100

Împărțirea cu 0,001 înseamnă înmulțire cu 1000.

Pentru a ne aminti mai ușor, citim numărul cu care trebuie să împărțim de la dreapta la stânga, fără să acordăm atenție virgulei, și să înmulțim cu numărul rezultat.

Exemplu: 50: 0,0001. Este același cu 50 înmulțit cu (citește de la dreapta la stânga fără virgulă - 10000) 10000. Se dovedește 500000.

Același lucru cu înmulțirea, doar invers:

400 x 0,01 este același cu împărțirea a 400 la (se citește de la dreapta la stânga fără virgulă - 100) 100: 400: 100 = 4.

Pentru cei cărora li se pare mai convenabil să mute virgulele la dreapta la împărțire și la stânga la înmulțire la înmulțirea și împărțirea cu astfel de numere, puteți face acest lucru.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Împărțirea după zecimală

eu. Pentru a împărți un număr cu o fracție zecimală, trebuie să mutați zecimale în dividend și divizor câte cifre sunt la dreapta după punctul zecimal din divizor și apoi împărțiți la numărul natural.

Primary.

Efectuați împărțirea: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Soluţie.

Exemplu 1) 16,38: 0,7.

În separator 0,7 există o cifră după virgulă zecimală, așa că să mutăm virgulele în dividend și divizor cu o cifră la dreapta.

Atunci va trebui să ne împărțim 163,8 pe 7 .

Să facem împărțirea după regula împărțirii unei fracții zecimale la un număr natural.

Împărțim așa cum ei se împart numere naturale. Cum să eliminați numărul 8 - prima cifră după virgulă zecimală (adică cifra de pe locul zecimii), deci imediat pune virgulă în coeficientși continuați împărțirea.

Răspuns: 23.4.

Exemplu 2) 15,6: 0,15.

Mutăm virgulele în dividend ( 15,6 ) și divizor ( 0,15 ) două cifre la dreapta, deoarece în divizor 0,15 sunt două cifre după virgulă zecimală.

Ne amintim că puteți adăuga câte zerouri doriți la fracția zecimală din dreapta, iar fracția zecimală nu se va modifica.

15,6:0,15=1560:15.

Efectuăm împărțirea numerelor naturale.

Raspuns: 104.

Exemplu 3) 3,114: 4,5.

Mutați virgulele din dividend și divizor cu o cifră la dreapta și împărțiți 31,14 pe 45 după regula împărțirii unei fracții zecimale la un număr natural.

3,114:4,5=31,14:45.

În coeficient punem o virgulă imediat ce eliminăm numărul 1 pe locul zece. Apoi continuăm împărțirea.

Pentru a finaliza diviziunea a trebuit să o atribuim zero la număr 9 - diferențe între numere 414 Şi 405 . (știm că zerourile pot fi adăugate în partea dreaptă a unei fracții zecimale)

Răspuns: 0,692.

Exemplu 4) 53,84: 0,1.

Mutați virgulele din dividend și divizor la 1 număr la dreapta.

Primim: 538,4:1=538,4.

Să analizăm egalitatea: 53,84:0,1=538,4. Fiți atenți la virgulă din dividendul din acest exemplu și la virgulă din coeficientul rezultat. Observăm că virgula din dividend a fost mutată în 1 număr la dreapta, de parcă am fi înmulțit 53,84 pe 10. (Vezi videoclipul „Înmulțirea unei zecimale cu 10, 100, 1000 etc.”) De aici rezultă regula împărțirii unei zecimale la 0,1; 0,01; 0,001 etc.

II. Pentru a împărți o zecimală la 0,1; 0,01; 0,001 etc., trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu 1, 2, 3, etc. cifre. (Împărțirea unei zecimale la 0,1, 0,01, 0,001 etc. este aceeași cu înmulțirea acelei zecimale cu 10, 100, 1000 etc.)

Exemple.

Efectuați împărțirea: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Soluţie.

Exemplu 1) 617,35: 0,1.

Conform regulii II împărțire prin 0,1 este echivalent cu înmulțirea cu 10 , și mutați virgula în dividend 1 cifră la dreapta:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Exemplu 2) 0,235: 0,01.

Împărțirea după 0,01 este echivalent cu înmulțirea cu 100 , ceea ce înseamnă că mutăm virgula în dividend pe 2 cifre la dreapta:

2) 0,235:0,01=23,5.

Exemplu 3) 2,7845: 0,001.

Deoarece împărțire prin 0,001 este echivalent cu înmulțirea cu 1000 , apoi mutați virgula 3 cifre la dreapta:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Exemplu 4) 26,397: 0,0001.

Împărțiți o zecimală cu 0,0001 - este la fel cu înmulțirea cu 10000 (mută virgula cu 4 cifre corect). Primim:

www.mathematics-repetition.com

Înmulțirea și împărțirea cu numere de forma 10, 100, 0,1, 0,01

Acest tutorial video este disponibil prin abonament

Aveți deja un abonament? Log in

Această lecție va acoperi cum să înmulțiți și să împărțiți cu numere de forma 10, 100, 0,1, 0,001. Se va decide si diverse exemple pe acest subiect.

Înmulțirea numerelor cu 10, 100

Exercita. Cum se înmulțește numărul 25,78 cu 10?

Notația zecimală a unui număr dat este o notație scurtă pentru suma. Este necesar să o descriem mai detaliat:

Astfel, trebuie să înmulțiți suma. Pentru a face acest lucru, puteți pur și simplu înmulți fiecare termen:

Se dovedește că...

Putem concluziona că înmulțirea unei fracții zecimale cu 10 este foarte simplă: trebuie să mutați punctul zecimal în poziția din dreapta.

Exercita.Înmulțiți 25,486 cu 100.

Înmulțirea cu 100 este aceeași cu înmulțirea cu 10 de două ori. Cu alte cuvinte, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta de două ori:

Împărțirea numerelor la 10, 100

Exercita.Împărțiți 25,78 la 10.

Ca și în cazul precedent, trebuie să prezentați numărul 25,78 ca o sumă:

Deoarece trebuie să împărțiți suma, aceasta este echivalentă cu împărțirea fiecărui termen:

Se pare că pentru a împărți la 10, trebuie să mutați punctul zecimal în poziția din stânga. De exemplu:

Exercita.Împărțiți 124,478 la 100.

Împărțirea la 100 este la fel cu împărțirea la 10 de două ori, astfel încât punctul zecimal este mutat la stânga cu 2 locuri:

Regula înmulțirii și împărțirii cu 10, 100, 1000

Dacă o fracție zecimală trebuie înmulțită cu 10, 100, 1000 și așa mai departe, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu atâtea poziții câte zerouri există în multiplicator.

În schimb, dacă o fracție zecimală trebuie împărțită la 10, 100, 1000 și așa mai departe, trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu atâtea poziții câte zerouri există în multiplicator.

Exemple când este necesar să mutați o virgulă, dar nu mai au rămas numere

Înmulțirea cu 100 înseamnă mutarea zecimalei cu două locuri la dreapta.

După schimbare, puteți constata că nu mai există cifre după virgulă zecimală, ceea ce înseamnă că partea fracțională lipsește. Atunci nu este nevoie de virgulă, numărul este un întreg.

Trebuie să mutați 4 poziții spre dreapta. Dar sunt doar două cifre după virgulă zecimală. Merită să ne amintim că există o notație echivalentă pentru fracția 56,14.

Acum, înmulțirea cu 10.000 este ușor:

Dacă nu este foarte clar de ce puteți adăuga două zerouri la fracția din exemplul anterior, atunci videoclipul suplimentar de la link vă poate ajuta în acest sens.

Notații zecimale echivalente

Intrarea 52 înseamnă următoarele:

Dacă punem 0 în față, obținem intrarea 052. Aceste intrări sunt echivalente.

Este posibil să pun două zerouri în față? Da, aceste intrări sunt echivalente.

Acum să ne uităm la fracția zecimală:

Dacă atribui zero, obțineți:

Aceste intrări sunt echivalente. În mod similar, puteți atribui mai multe zerouri.

Astfel, orice număr poate avea mai multe zerouri după partea fracțională și mai multe zerouri înaintea părții întregi. Acestea vor fi intrări echivalente de același număr.

Deoarece are loc împărțirea cu 100, este necesar să mutați punctul zecimal cu 2 poziții la stânga. Nu există numere rămase în stânga punctului zecimal. Toată parte absent. Această notație este adesea folosită de programatori. La matematică, dacă nu există o parte întreagă, atunci ei pun un zero în locul ei.

Trebuie să-l mutați la stânga cu trei poziții, dar există doar două poziții. Dacă scrieți mai multe zerouri în fața unui număr, acesta va fi o notație echivalentă.

Adică, atunci când vă deplasați la stânga, dacă numerele se epuizează, trebuie să le completați cu zerouri.

În acest caz, merită să ne amintim că o virgulă vine întotdeauna după întreaga parte. Apoi:

Înmulțirea și împărțirea cu 0,1, 0,01, 0,001

Înmulțirea și împărțirea cu numerele 10, 100, 1000 este o procedură foarte simplă. Situația este exact aceeași cu numerele 0,1, 0,01, 0,001.

Exemplu. Înmulțiți 25,34 cu 0,1.

Să scriem fracția zecimală 0,1 ca o fracție obișnuită. Dar înmulțirea cu este la fel cu împărțirea la 10. Prin urmare, trebuie să mutați punctul zecimal 1 poziție la stânga:

În mod similar, înmulțirea cu 0,01 înseamnă împărțirea la 100:

Exemplu. 5,235 împărțit la 0,1.

Soluția acestui exemplu este construită într-un mod similar: 0,1 este exprimat ca fracție comună, iar împărțirea cu este aceeași cu înmulțirea cu 10:

Adică, pentru a împărți la 0,1, trebuie să mutați punctul zecimal în poziția dreaptă, ceea ce este echivalent cu înmulțirea cu 10.

Regula înmulțirii și împărțirii cu 0,1, 0,01, 0,001

Înmulțirea cu 10 și împărțirea cu 0,1 este același lucru. Virgula trebuie mutată la dreapta cu 1 poziție.

Împărțirea cu 10 și înmulțirea cu 0,1 sunt același lucru. Virgula trebuie mutată la dreapta cu 1 poziție:

Rezolvarea exemplelor

Concluzie

În această lecție au fost studiate regulile de împărțire și înmulțire cu 10, 100 și 1000 În plus, au fost examinate regulile de înmulțire și împărțire cu 0,1, 0,01, 0,001.

Au fost revizuite și rezolvate exemple de aplicare a acestor reguli.

Referințe

1. Vilenkin N.Ya. Matematică: manual. pentru clasa a 5-a. educatie generala uchr. a 17-a ed. – M.: Mnemosyne, 2005.

2. Shevkin A.V. Probleme cu cuvinte matematice: 5–6. – M.: Ilexa, 2011.

3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Toată matematica școlară în independent și teste. Matematică 5–6. – M.: Ilexa, 2006.

4. Khlevnyuk N.N., Ivanova M.V. Formarea abilităților de calcul în lecțiile de matematică. Clasele 5-9. – M.: Ilexa, 2011 .

1. Portalul de internet „Festival” idei pedagogice" (Sursa)

2. Portalul de internet „Matematika-na.ru” (Sursa)

3. Portalul de internet „School.xvatit.com” (Sursa)

Teme pentru acasă

3. Comparați semnificațiile expresiilor:

Acțiuni cu zero

Numărul în matematică zero ocupa un loc aparte. Faptul este că, în esență, înseamnă „nimic”, „gol”, dar semnificația sa este cu adevărat greu de supraestimat. Pentru a face acest lucru, este suficient să vă amintiți cel puțin cu ce anume marca zeroși începe numărarea coordonatelor poziției punctului în orice sistem de coordonate.

Zero utilizat pe scară largă în fracțiile zecimale pentru a determina valorile locurilor „vide”, atât înainte, cât și după virgulă. În plus, i se asociază una dintre regulile fundamentale ale aritmeticii, care afirmă că zero nu poate fi divizat. Logica sa, strict vorbind, provine din însăși esența acestui număr: într-adevăr, este imposibil să ne imaginăm că o valoare diferită de el (și de asemenea) ar fi împărțită în „nimic”.

CU zero se efectuează toate operaţiile aritmetice, iar numerele întregi, obişnuite şi zecimale, și toate pot avea atât semnificații pozitive, cât și negative. Să dăm exemple de implementare a acestora și câteva explicații pentru ele.

Când adăugați zero la un anumit număr (atât întreg, cât și fracționar, atât pozitiv, cât și negativ), valoarea acestuia rămâne absolut neschimbată.

douăzeci și patru în plus zero este egal cu douăzeci și patru.

Şaptesprezece virgulă trei optimi plus zero este egal cu șaptesprezece virgulă trei optimi.

• Formulare de declarație fiscală Vă aducem la cunoștință formulare de declarație pentru toate tipurile de impozite și taxe: 1. Impozit pe venit. Atentie, incepand cu data de 10 februarie 2014, rapoartele privind impozitul pe venit se depun utilizand noi modele de declaratii aprobate prin Ordinul Ministerului Venitului nr. 872 din 30 decembrie 2013.1. 1. Declarație fiscală pentru […]
• Sumă pătrată Reguli de diferență cu pătrat Scop: Deduceți formule pentru punerea la pătrat a sumei și diferențelor expresiilor. Rezultate planificate: învață să folosești formulele pătratului sumei și pătratului diferenței. Tip lecție: lecție de prezentare a problemelor. I. Comunicarea temei și a scopului lecției II. Lucrați pe tema lecției La înmulțirea [...]
• Care este diferența dintre privatizarea unui apartament cu copii minori și privatizarea fără copii? Particularități ale participării lor, documente Orice tranzacție imobiliară necesită o atenție deosebită a participanților. Mai ales dacă intenționați să privatizați un apartament cu copii minori. Pentru ca acesta să fie recunoscut ca valabil și [...]
• Valoarea taxei de stat pentru un pașaport internațional de stil vechi pentru un copil sub 14 ani și unde să o plătească Contact organisme guvernamentale Primirea oricărui serviciu este întotdeauna însoțită de plata unei taxe de stat. Pentru a obține un pașaport străin, trebuie să plătiți și o taxă federală. Cât este dimensiunea [...]
• Cum se completează un formular de cerere pentru înlocuirea pașaportului la 45 de ani Pașapoartele rușilor trebuie înlocuite la împlinirea vârstei - 20 sau 45 de ani. Pentru a primi un serviciu public, trebuie să depuneți o cerere în forma stabilită, atașați documentele necesareși plătiți guvernului […]
• Cum și unde să oficializezi un act de cadou pentru o cotă într-un apartament Mulți cetățeni se confruntă cu o procedură legală precum donarea de bunuri imobiliare care se află în proprietate comună. Există destul de multe informații despre cum să întocmești corect un act de cadou pentru o cotă într-un apartament și nu este întotdeauna de încredere. Înainte de a începe, [...]

În matematică, împărțirea la zero este imposibilă! O modalitate de a explica această regulă este analizarea procesului, care arată ce se întâmplă atunci când un număr este împărțit la altul.

Eroare de împărțire cu zero în Excel

În realitate, împărțirea este în esență aceeași cu scăderea. De exemplu, împărțirea numărului 10 la 2 înseamnă scăderea în mod repetat a 2 din 10. Repetarea se repetă până când rezultatul este egal cu 0. Astfel, este necesar să se scadă numărul 2 din zece exact de 5 ori:

1. 10-2=8
2. 8-2=6
3. 6-2=4
4. 4-2=2
5. 2-2=0

Dacă încercăm să împărțim numărul 10 la 0, nu vom obține niciodată rezultatul egal cu 0, deoarece la scăderea 10-0 va fi întotdeauna 10. De un număr infinit de ori scăderea zero din zece nu ne va conduce la rezultatul = 0. Va exista întotdeauna același rezultat după operația de scădere =10:

• 10-0=10
• 10-0=10
• 10-0=10
• ∞ infinit.

Pe marginea matematicienilor, ei spun că rezultatul împărțirii oricărui număr la zero este „nelimitat”. Orice program de calculator care încearcă să împartă la 0 pur și simplu returnează o eroare. În Excel, această eroare este indicată de valoarea din celula #DIV/0!.

Dar, dacă este necesar, puteți rezolva eroarea de împărțire cu 0 în Excel. Ar trebui să omiteți pur și simplu operația de împărțire dacă numitorul conține numărul 0. Soluția este implementată prin plasarea operanzilor în argumentele funcției =IF():

Astfel, formula Excel ne permite să „împărțim” un număr la 0 fără erori. Când împărțim orice număr la 0, formula va returna valoarea 0. Adică obținem următorul rezultat după împărțire: 10/0=0.



Cum funcționează formula pentru eliminarea erorii de împărțire la zero?

Pentru a funcționa corect, funcția IF necesită completarea a 3 dintre argumentele sale:

1. Condiție logică.
2. Acțiuni sau valori care vor fi efectuate dacă condiția booleană returnează TRUE.
3. Acțiuni sau valori care vor fi efectuate atunci când o condiție booleană returnează FALSE.

În acest caz, argumentul condiționat conține o verificare a valorii. Valorile celulelor din coloana Vânzări sunt egale cu 0? Primul argument al funcției IF trebuie să aibă întotdeauna operatori de comparație între două valori pentru a produce rezultatul condiției ca TRUE sau FALSE. În cele mai multe cazuri, semnul egal este folosit ca operator de comparație, dar pot fi utilizați alții, cum ar fi mai mare decât > sau mai mic decât >. Sau combinațiile lor – mai mari sau egale cu >=, nu egale!=.

Dacă condiția din primul argument returnează TRUE, atunci formula va umple celula cu valoarea din al doilea argument al funcției IF. În acest exemplu, al doilea argument conține numărul 0 ca valoare. Aceasta înseamnă că celula din coloana „Execuție” va fi pur și simplu completată cu numărul 0 dacă există 0 vânzări în celula opusă coloanei „Vânzări”.

Dacă condiția din primul argument returnează FALSE, atunci este utilizată valoarea din al treilea argument al funcției IF. În acest caz, această valoare se formează după împărțirea indicatorului din coloana „Vânzări” la indicatorul din coloana „Plan”.

Formula pentru împărțirea la zero sau zero la un număr

Să ne complicăm formula cu funcția =OR(). Să adăugăm un alt agent de vânzări cu vânzări zero. Acum formula ar trebui schimbată în:

Copiați această formulă în toate celulele din coloana Progres:

Acum, indiferent unde este zero în numitor sau în numărător, formula va funcționa conform nevoilor utilizatorului.

Iată o altă declarație interesantă. „Nu poți împărți la zero!” - Majoritatea școlarilor învață această regulă pe de rost, fără să pună întrebări. Toți copiii știu ce este „nu poți” și ce se va întâmpla dacă vei întreba ca răspuns: „De ce?” Asta se va întâmpla dacă

Dar, de fapt, este foarte interesant și important să știm de ce nu este posibil.

Chestia este că cele patru operații de aritmetică - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea - sunt de fapt inegale. Matematicienii recunosc doar două dintre ele ca fiind valide - adunarea și înmulțirea. Aceste operații și proprietățile lor sunt incluse în însăși definiția conceptului de număr. Toate celelalte acțiuni sunt construite într-un fel sau altul din aceste două.

Luați în considerare, de exemplu, scăderea. Ce înseamnă 5 – 3? Elevul va răspunde simplu: trebuie să luați cinci obiecte, să scădeți (eliminați) trei dintre ele și să vedeți câte au rămas. Dar matematicienii privesc această problemă cu totul diferit. Nu există scădere, există doar adunare. Prin urmare, notația 5 – 3 înseamnă un număr care, adăugat la numărul 3, va da numărul 5. Adică, 5 – 3 este pur și simplu o notație prescurtată a ecuației: x + 3 = 5. Nu există nicio scădere. în această ecuație. Există doar o sarcină - să găsești un număr potrivit.

Același lucru este valabil și cu înmulțirea și împărțirea. Intrarea 8:4 poate fi înțeleasă ca rezultat al împărțirii a opt articole în patru grămezi egale. Dar este de fapt doar o formă scurtă a ecuației 4 x = 8.

Aici devine clar de ce este imposibil (sau mai degrabă imposibil) să se împartă la zero. Înregistrarea 5: 0 este o abreviere pentru 0 x = 5. Adică, această sarcină este de a găsi un număr care, atunci când este înmulțit cu 0, va da 5. Dar știm că atunci când este înmulțit cu 0, rezultatul este întotdeauna 0. Acest lucru este o proprietate inerentă a lui zero, strict vorbind, parte a definiției sale.

Nu există un astfel de număr care, atunci când este înmulțit cu 0, să dea altceva decât zero. Adică problema noastră nu are soluție. (Da, acest lucru se întâmplă; nu orice problemă are o soluție.) Aceasta înseamnă că intrarea 5:0 nu corespunde niciunui număr specific și pur și simplu nu înseamnă nimic și, prin urmare, nu are sens. Lipsa de sens a acestei intrări este exprimată pe scurt spunând că nu puteți împărți la zero.

Cei mai atenți cititori din acest loc se vor întreba cu siguranță: este posibil să împărțim zero la zero? Într-adevăr, ecuația 0 x = 0 poate fi rezolvată în siguranță. De exemplu, putem lua x = 0, iar apoi obținem 0 · 0 = 0. Deci, 0: 0=0? Dar să nu ne grăbim. Să încercăm să luăm x = 1. Obținem 0 · 1 = 0. Corect? Deci 0:0 = 1? Dar în acest fel puteți lua orice număr și obțineți 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 etc.

Dar dacă orice număr este potrivit, atunci nu avem niciun motiv să alegem unul dintre ele. Adică, nu putem spune cărui număr îi corespunde intrarea 0:0 Și dacă da, atunci suntem forțați să admitem că nici această intrare nu are sens. Se pare că nici măcar zero nu poate fi împărțit la zero. (În analiza matematică există cazuri când, din cauza unor condiții suplimentare ale problemei, se poate da preferință uneia dintre opțiuni posibile soluții la ecuația 0 x = 0; În astfel de cazuri, matematicienii vorbesc despre „dezvoltarea incertitudinii”, dar astfel de cazuri nu apar în aritmetică.)

Aceasta este particularitatea operațiunii de divizare. Mai exact, operația de înmulțire și numărul asociat acesteia au zero.

Ei bine, cei mai meticuloși, citind până aici, se pot întreba: de ce se întâmplă să nu poți împărți la zero, dar să poți scădea zero? Într-un fel, aici începe matematica adevărată. Puteți răspunde numai prin familiarizarea cu definițiile matematice formale ale mulțimilor numerice și cu operațiile asupra acestora.

Toată lumea își amintește de la școală că nu poți împărți la zero. Elevilor din clasele primare nu li se explică niciodată de ce nu ar trebui făcut acest lucru. Pur și simplu se oferă să ia asta ca un dat, împreună cu alte interdicții precum „nu poți să-ți bagi degetele în prize” sau „nu ar trebui să pui întrebări stupide adulților”. AiF.ru a decis să afle dacă profesorii din școală au avut dreptate.

Explicația algebrică a imposibilității împărțirii la zero

Din punct de vedere algebric, nu poți împărți la zero, deoarece nu are sens. Să luăm două numere arbitrare, a și b, și să le înmulțim cu zero. a × 0 este egal cu zero și b × 0 este egal cu zero. Se dovedește că a × 0 și b × 0 sunt egale, deoarece produsul în ambele cazuri este egal cu zero. Astfel, putem crea ecuația: 0 × a = 0 × b. Acum să presupunem că putem împărți la zero: împărțim ambele părți ale ecuației cu ea și obținem că a = b. Se pare că dacă permitem operația de împărțire la zero, atunci toate numerele coincid. Dar 5 nu este egal cu 6, iar 10 nu este egal cu ½. Apare incertitudinea, pe care profesorii preferă să nu le spună elevilor de liceu iscoditori.

Explicarea imposibilității împărțirii la zero din punctul de vedere al analizei matematice

În liceu se studiază teoria limitelor, care vorbește și despre imposibilitatea împărțirii la zero. Acest număr este interpretat acolo ca o „cantitate infinitezimală nedefinită”. Deci, dacă luăm în considerare ecuația 0 × X = 0 în cadrul acestei teorii, vom descoperi că X nu poate fi găsit deoarece pentru a face acest lucru ar trebui să împărțim zero la zero. Și acest lucru nu are nici un sens, deoarece atât dividendul, cât și divizorul în acest caz sunt cantități nedefinite, prin urmare, este imposibil să tragem o concluzie despre egalitatea sau inegalitatea lor.

Când poți împărți la zero?

Spre deosebire de școlari, studenți universități tehnice Puteți împărți la zero. O operație imposibilă în algebră poate fi efectuată în alte domenii ale cunoștințelor matematice. În ele apar noi condiții suplimentare ale problemei care permit această acțiune. Împărțirea la zero va fi posibilă pentru cei care ascultă un curs de prelegeri despre analiză non-standard, studiază funcția delta Dirac și se familiarizează cu planul complex extins.