1. Pentru a împărți prima fracție la a doua, trebuie să înmulțiți dividendul cu numărul care este inversul divizorului.
Pentru fracțiile proprii și improprii, regula împărțirii este următoarea:
Pentru a împărți o fracție comună, trebuie să înmulțiți numărătorul dividendului cu numitorul divizorului și să înmulțiți numitorul dividendului cu numărătorul divizorului. Luăm primul produs ca numărător, iar al doilea ca numitor.
Împărțirea unei fracții la o fracție.
Pentru a împărți prima fracție comună la a doua, nu faceți egal cu zero, necesar:
- înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul în numărătorul fracției rezultate;
- înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul în numitorul fracției rezultate.
Cu alte cuvinte, împărțirea fracțiilor duce la înmulțire.
Pentru a împărți prima fracție la a doua, trebuie să înmulțiți dividendul (prima fracție) cu fracția reciprocă a divizorului.
Împărțirea unei fracții la un număr.
Împărțirea schematică a unei fracții la număr natural arata asa:
Pentru a împărți o fracție la un număr natural, utilizați următoarea metodă:
Exprimăm un număr natural ca o fracție improprie cu un numărător care este egal cu numărul însuși și un numitor care este egal cu 1.
Înmulțirea zecimalelor
Notația zecimală vă permite să înmulțiți fracții folosind aproape aceleași reguli pe care le folosiți pentru a înmulți numerele naturale. Diferența este că este necesar să se determine locul virgulei în produsul rezultat.
Să explicăm acest lucru cu un exemplu; Să calculăm produsul 2,5 1,02.
Să mutăm virgula din primul factor cu o cifră la dreapta, iar în al doilea factor două cifre la dreapta. Astfel, primul factor va crește de 10 ori, al doilea de 10 2 = 100 de ori, iar produsul de 10 100 = 1000 de ori.
Să definim produsul numerelor naturale 25 și 102:
25 102 = 2550.
Acest număr este de 1000 de ori mai mare decât produsul necesar. Prin urmare, este necesar să reduceți numărul 2550 cu 1000 = 10 de 3 ori, adică mutați virgula din acest număr la stânga cu 3 cifre. Astfel,
2,5 1,02 = 2,550 = 2,55.
Puteți gândi diferit:
Astfel, pentru a înmulți două fracții zecimale9 este suficient, fără a fi atent la virgule, să le înmulțim ca numere naturale9 și apoi în produsul rezultat din dreapta, să separă cu virgulă atâtea cifre câte au fost după virgule din ambii factori împreună.
De exemplu,
Împărțire zecimală
Să ne uităm la exemplul de împărțire a unei fracții zecimale la un număr natural.
Exemplu. Calculați 46,8:2.
Soluţie. Împărțiți 4 zeci la 2 - obținem câtul numărul 2 (2 zeci).
Împărțim 6 unități la 2 - obținem coeficientul numărul 3 (3 unități).
Împărțirea părții întregi este completă, separăm întreaga parte din coeficient cu o virgulă.
Împărțim 8 zecimi la 2 - obținem coeficientul numărul 4 (4 zecimi). Restul este 0—diviziunea este completă.
Împărțirea unei zecimale cu o zecimală se reduce la împărțirea la un număr natural prin mutarea virgulelor în dividend și divizor atât de multe cifre la dreapta încât divizorul devine un număr natural.
Exemplu. Calculați 4,42:0,2.
Soluţie. Deoarece divizorul are o cifră după virgulă zecimală, este suficient să mutați virgulele în dividend și divizorul cu o cifră la dreapta. Astfel, dividendul și divizorul cresc de 10 ori, deci coeficientul nu se va modifica. În acest caz, divizorul va fi un număr natural.
Puteți raționa astfel:
Dar rezultatul exact la împărțire nu este întotdeauna obținut zecimale. Mai des trebuie să te mulțumești cu un privat aproximativ.
Exemplu. Găsiți coeficientul 1.723:0.03.
Soluţie. Să scăpăm de virgula din divizor: 1.723:0.03= 172.3:3. Să facem împărțirea.
Pornind de la locul sutimilor, numărul 3 din coeficient se repetă la nesfârșit, deoarece restul, începând din a treia etapă a procesului de împărțire, este întotdeauna egal cu același număr 1.
Dacă lăsați primele două cifre după punctul zecimal pentru cât, obțineți o egalitate aproximativă: 172,3:3 ≈ 57,43.
clasa a VI-a
SUBIECT: „Diviziunea fracțiilor ordinare”, clasa a VI-a.
OBIECTIVUL LECȚIEI: Rezumați și sistematizați teoretic și practic
cunoștințele, aptitudinile și abilitățile elevilor. Organizați lucrul pe
eliminarea golurilor în cunoștințele elevilor. Îmbunătățiți, extindeți
și aprofundarea cunoștințelor studenților asupra subiectului.
TIP DE LECȚIE: Lecție de generalizare și sistematizare a cunoștințelor, aptitudinilor și abilităților.
Echipamente: Pe tablă se află tema, scopul, planul lecției.
PROGRESUL LECȚIEI.
Fiecare elev are o „Foaie de verificare” pe birou.
1. Teme pentru acasă –
2. întrebări de revizuire –
3. numărare orală –
4. munca la clasa –
5. munca independenta –
1. Verificarea temelor:
a) lucrați în perechi la următoarele întrebări:
1) Adunarea, scăderea fracțiilor ordinare;
2) Cum se înmulțește o fracție cu o fracție;
3) Înmulțirea a două fracții;
4) Înmulțirea fracțiilor mixte;
5) Regula de împărțire a fracțiilor;
6) Împărțirea fracțiilor mixte;
7) Ce se numește. fracții reducătoare.
b) verifica teme pentru acasă De soluție gata făcută pe tabla:
Nr. 620 (a), 624, 619 (d).
Scop: identificarea gradului de stăpânire a temelor. Identificați deficiențele tipice.
Pune-ți notele pe foaia de control
Anunțați scopul lecției: Rezumă și sistematizează cunoștințele, abilitățile și abilitățile în
subiect: „Diviziunea fracțiilor ordinare”.
Am repetat teoria, haideți să ne testăm cunoștințele în practică.
2. Numărarea orală.
a) Folosind cărți: 1) Reduceți fracția: ; ; ; ...
2) Convertiți într-o fracție improprie: ; ; ...
3) Selectați întreaga parte: ; ; ...
b) Scara numerelor. Cine ajunge mai repede la etajul 6 va afla:
construcția geometriei (Euclid)
Opțiunea 2 - o persoană care dorea să fie avocat, ofițer și filozof, dar
a devenit matematician (Descartes)
l 0,1: ½ 0,4: 0,1 a
și d e l k k a v r e t
Marcaje pe foaia de control, pentru: 2" - "5", 3" - "4", 4" - "3".
Cine a completat „scara” face nr. 606 în caiete Primul dintre elevi de pe aripa tablei face nr. 606. Apoi verifică clasa.
3.
O) Nr. 581 (b,d), 587 (cu comentarii), 591 (l,m,k), 600, 602, 593 (g,k,d,i)
Sarcina este finalizată în caiete și pe tablă.
b) rezolvați problema: pentru un kg de dulciuri s-au plătit mii de ruble. Cât costă
Kg din aceste dulciuri?
4.
№ 1 . Urmați acești pași:
: răspunsuri: 1) 2) 3) 4) .
№ 2 . Reprezentați fracția ca fracție comunăși urmați acești pași:
0,375: răspunsuri: 1) 2) 3) 4)
№ 3 . Rezolvați ecuația: răspunsuri: 1) 2) 3) 4) 2
№ 4 . În prima zi, turistul a parcurs întregul traseu, iar în a doua, restul. În
de câte ori mai multă parte drumuri parcurse de un turist în prima zi decât pe
doilea? Răspunsuri: 1) 2) 5 3) 4)
№ 5. Prezentă ca fracție:
: raspuns: 1) 2) 3) 4)
Verificați soluția folosind șablonul: Nr. 1 -4; Nr. 2 – 1; Nr. 3 – 4; nr. 4 – 4; Nr. 5 – 3.
Pune-ți notele pe foaia de control.
Colectați foile de control. Rezuma. Anunțați notele pentru lecție.
5. Rezumatul lecției:
Ce reguli de bază am repetat astăzi?
6. Teme pentru acasă:
Nr. 619 (c), 620 (b), 627, sarcina individuală Nr. 617 (a, d, g).
Descărcați:
Previzualizare:
Instituția de învățământ municipal „Gimnaziul nr. 7”
Torzhok, regiunea Tver.
LECȚIE DESCHISĂ PE TEMA:
„DIVIȚIA FRACȚIUNILOR ORDINARE”
clasa a VI-a
Lecție deschisă la districtul municipal Torzhok
(certificare, 2001)
Profesor de matematică: Ufimtseva N.A.
2001
TEMA: " Împărțirea fracțiilor ordinare”, clasa a VI-a.
OBIECTIVUL LECȚIEI : Rezumați și sistematizați teoretic și practic
Cunoștințele, abilitățile și aptitudinile elevilor. Organizați lucrul pe
Reducerea lacunelor în cunoștințele elevilor. Îmbunătățiți, extindeți
Și aprofundați cunoștințele elevilor pe această temă.
TIP DE LECȚIE : Lecție de generalizare și sistematizare a cunoștințelor, aptitudinilor și abilităților.
Echipamente : Pe tablă se află tema, scopul, planul lecției.
PROGRESUL LECȚIEI.
Fiecare elev are o „Foaie de verificare” pe birou.
- Teme pentru acasă -
- intrebari de revizuire -
- numărare orală -
- munca la clasa -
- munca independenta -
- Verificarea temelor:
A) lucrați în perechi la următoarele întrebări:
1) Adunarea, scăderea fracțiilor ordinare;
2) Cum se înmulțește o fracție cu o fracție;
3) Înmulțirea a două fracții;
4) Înmulțirea fracțiilor mixte;
5) Regula de împărțire a fracțiilor;
6) Împărțirea fracțiilor mixte;
7) Ce se numește. fracții reducătoare.
B) verificarea temelor folosind o soluție gata făcută pe tablă:
Nr. 620 (a), 624, 619 (d).
Ţintă : identificați gradul de stăpânire a temelor. Identificați deficiențele tipice.
Pune-ți notele pe foaia de control
Anunțați scopul lecției: Rezumă și sistematizează cunoștințele, abilitățile și abilitățile în
Subiect: „Diviziunea fracțiilor ordinare”.
Am repetat teoria, haideți să ne testăm cunoștințele în practică.
- Numărarea orală.
A) Folosind cărți: 1) Reduceți fracția: ; ; ; ...
2) Convertiți într-o fracție improprie: ; ; ...
3) Selectați întreaga parte: ; ; ...
B) Scara numerelor. Cine ajunge mai repede la etajul 6 va afla:
Construcții geometrice (Euclid)
Opțiunea 2 - o persoană care dorea să fie avocat, ofițer și filozof, dar
A devenit matematician (Descartes)
D t
Și r
L 0,1: ½ 0,4: 0,1 a
K k
V e
E d
3 2 4 5
I d e l k a v e r t
Marcaje pe foaia de control, pentru: 2" - "5", 3" - "4", 4" - "3".
Cine a completat „scara” face nr. 606 în caiete Primul dintre elevi de pe aripa tablei face nr. 606. Apoi verifică clasa.
- Repetarea și sistematizarea principalelor principii teoretice:
O) Nr. 581 (b,d), 587 (cu comentarii), 591 (l,m,k), 600, 602, 593 (g,k,d,i)
Sarcina este finalizată în caiete și pe tablă.
B) rezolvați problema: pentru un kg de dulciuri s-au plătit mii de ruble. Cât costă
Kg din aceste dulciuri?
- Munca independentă. Scop: pentru a verifica înțelegerea dumneavoastră a acestui subiect.
№ 1 . Urmați acești pași:
: răspunsuri: 1) 2) 3) 4) .
№ 2 . Reprezentați fracția ca o fracție și faceți următoarele:
0,375: răspunsuri: 1) 2) 3) 4)
№ 3 . Rezolvați ecuația: răspunsuri: 1) 2) 3) 4) 2
№ 4 . În prima zi, turistul a parcurs întregul traseu, iar în a doua, restul. În
De câte ori este mai multă porțiunea de drum parcursă de un turist în prima zi decât pe
Doilea? Răspunsuri: 1) 2) 5 3) 4)
№ 5. Prezentă ca fracție:
: raspuns: 1) 2) 3) 4)
Verificați soluția folosind șablonul: Nr. 1 -4; Nr. 2 – 1; Nr. 3 – 4; nr. 4 – 4; Nr. 5 – 3.
Pune-ți notele pe foaia de control.
Colectați foile de control. Rezuma. Anunțați notele pentru lecție.
- Rezumatul lecției:
Ce reguli de bază am repetat astăzi?
- Teme pentru acasă:
Nr. 619 (c), 620 (b), 627, sarcina individuală Nr. 617 (a, e, g)
LUCRARE DE CURS
DESPRE ALGEBRĂ ŞI PRINCIPII DE ANALIZĂ
PE TEMA
"FUNCTII TRIGONOMETRICE"
Grupul de creație al Departamentului de Matematică
„Gimnaziul nr. 3” Udomlya.
Lecția nr. 3-4 dezvoltată de un profesor de matematică
Ufimtseva N.A.
2000
Instituția de învățământ municipal „Gimnaziul nr. 7”
Torzhok, regiunea Tver.
LECȚIE DESCHISĂ
ÎN ultima dată Am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cea mai dificilă parte a acestor acțiuni a fost aducerea fracțiilor la un numitor comun.
Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai simple decât adunarea și scăderea. În primul rând, să luăm în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă separată.
Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.
Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua fracție „inversată”.
Desemnare:
Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a „întoarce” o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, pe parcursul lecției vom lua în considerare în principal înmulțirea.
Ca rezultat al înmulțirii, poate apărea (și adesea apare) o fracție reductibilă -, desigur, trebuie redusă. Dacă după toate reducerile fracțiunea se dovedește a fi incorectă, întreaga parte ar trebui evidențiată. Dar ceea ce cu siguranță nu se va întâmpla cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, cei mai mari factori și cei mai puțini multipli comuni.
Prin definiție avem:
Înmulțirea fracțiilor cu părți întregi și fracții negative
Dacă este prezent în fracții întreaga parte, acestea trebuie convertite în altele incorecte - și abia apoi multiplicate conform schemelor prezentate mai sus.
Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din înmulțire sau îndepărtat cu totul conform următoarelor reguli:
- Plus cu minus dă minus;
- Două negative fac o afirmație.
Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru o lucrare, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe dezavantaje simultan:
- Trimitem negativele în perechi până când dispar complet. În cazuri extreme, poate supraviețui un minus - cel pentru care nu a existat pereche;
- Dacă nu mai sunt minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat pentru că nu a existat o pereche pentru el, îl scoatem în afara limitelor înmulțirii. Rezultatul este o fracție negativă.
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din înmulțire. Înmulțim ceea ce rămâne după regulile obișnuite. Primim:
Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care apare în fața unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la întreaga sa parte (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).
De asemenea, rețineți numere negative: La înmulțire, acestea sunt incluse în paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.
Reducerea fracțiilor din mers
Înmulțirea este o operație care necesită multă muncă. Numerele de aici se dovedesc a fi destul de mari și, pentru a simplifica problema, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția. înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Prin definiție avem:
În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ceea ce rămâne din ele sunt marcate cu roșu.
Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. În locul lor rămân unități care, în general, nu trebuie scrise. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.
Cu toate acestea, nu utilizați niciodată această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Aici, uite:
Nu poți face asta!
Eroarea apare din cauza faptului că atunci când se adună numărătorul unei fracții, apare suma și nu produsul numerelor. În consecință, este imposibil să se aplice proprietatea de bază a unei fracții, deoarece această proprietate se ocupă în mod specific de înmulțirea numerelor.
Pur și simplu nu există alte motive pentru reducerea fracțiilor, așa că soluția corectă la problema anterioară arată astfel:
Solutia corecta:
După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.
Conținutul lecțieiAdunarea fracțiilor cu numitori similari
Există două tipuri de adunări de fracții:
- Adunarea fracțiilor cu numitori similari;
- Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.
Mai întâi, să studiem adunarea fracțiilor cu numitori similari. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat.
De exemplu, să adăugăm fracțiile și . Adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:
Exemplul 2. Adăugați fracții și .
Răspunsul s-a dovedit a fi fracție improprie. Când vine sfârșitul sarcinii, se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte a acesteia. În cazul nostru, întreaga parte este ușor izolată - doi împărțiți la doi vor fi unul:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim despre o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multă pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:
Exemplul 3. Adăugați fracții și .
Din nou, adunăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multă pizza la pizza, obțineți pizza:
Exemplul 4. Găsiți valoarea unei expresii 
Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:
- Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;
Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți
Acum să învățăm cum să adunăm fracții cu numitori diferiți. Când se adună fracții, numitorii fracțiilor trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.
De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.
Dar fracțiile nu pot fi adăugate imediat, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).
Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi ne vom uita doar la una dintre ele, deoarece celelalte metode pot părea complicate pentru un începător.
Esența acestei metode este că mai întâi este căutat LCM-ul numitorilor ambelor fracții. LCM este apoi împărțit la numitorul primei fracții pentru a obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar.
Numătorii și numitorii fracțiilor sunt apoi înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.
Exemplul 1. Să adăugăm fracțiile și
În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6
LCM (2 și 3) = 6
Acum să revenim la fracții și . Mai întâi, împărțiți LCM la numitorul primei fracții și obțineți primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.
Numărul rezultat 2 este primul multiplicator suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, faceți o linie oblică mică peste fracție și notați factorul suplimentar găsit deasupra ei:
Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.
Numărul 3 rezultat este al doilea multiplicator suplimentar. O scriem la a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică peste a doua fracție și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:
Acum avem totul pregătit pentru adăugare. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:
Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să luăm acest exemplu până la capăt:
Acest lucru completează exemplul. Se dovedește a adăuga.
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:
Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi, de asemenea, descrisă folosind o imagine. Reducând fracțiile și la un numitor comun, am obținut fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași bucăți de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).
Primul desen reprezintă o fracție (patru piese din șase), iar al doilea desen reprezintă o fracție (trei piese din șase). Adăugând aceste piese obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este improprie, așa că am evidențiat întreaga parte a ei. Drept urmare, am primit (o pizza întreagă și o altă pizza a șasea).
Vă rugăm să rețineți că am descris acest exemplu prea detaliat. ÎN institutii de invatamant Nu este obișnuit să scrieți atât de detaliat. Trebuie să puteți găsi rapid LCM a ambilor numitori și factori suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți cu numărătorii și numitorii dvs. Dacă am fi la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:
Dar există și o altă față a monedei. Dacă nu luați note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci încep să apară întrebări de acest fel. „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.
Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:
- Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
- Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un factor suplimentar pentru fiecare fracție;
- Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
- Adaugă fracții care au aceiași numitori;
- Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii 
.
Să folosim instrucțiunile de mai sus.
Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor
Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4
Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un factor suplimentar pentru fiecare fracție
Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem deasupra primei fracții:
Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Obținem al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:
Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Obținem al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem deasupra celei de-a treia fracții:
Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora
Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii lor suplimentari:
Pasul 4. Adaugă fracții cu aceiași numitori
Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori (comuni). Tot ce rămâne este să adunăm aceste fracții. Adaugă:
Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe linia următoare. Acest lucru este permis la matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, este mutată pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul noii linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.
Pasul 5. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci evidențiați întreaga parte a acestuia
Răspunsul nostru s-a dovedit a fi o fracție improprie. Trebuie să evidențiem o întreagă parte din ea. Subliniem:
Am primit un răspuns
Scăderea fracțiilor cu numitori similari
Există două tipuri de scădere de fracții:
- Scăderea fracțiilor cu numitori similari
- Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți
În primul rând, să învățăm cum să scădem fracții cu numitori similari. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții, dar numitorul rămâne același.
De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să facem asta:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:
Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei.
Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne amintim de pizza, care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:
Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii 
Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:
- Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
- Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să evidențiați întreaga parte a acestuia.
Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți
De exemplu, puteți scădea o fracție dintr-o fracție deoarece fracțiile au aceiași numitori. Dar nu puteți scădea o fracție dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).
Numitorul comun se găsește folosind același principiu pe care l-am folosit atunci când adunăm fracții cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie deasupra primei fracții. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care este scris deasupra celei de-a doua fracții.
Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. Ca rezultat al acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți sunt convertite în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.
Exemplul 1. Găsiți sensul expresiei:
Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le reduceți la același numitor (comun).
Mai întâi găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12
LCM (3 și 4) = 12
Acum să revenim la fracții și
Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțiți 12 la 3, obținem 4. Scrieți un patru deasupra primei fracții:
Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un trei peste a doua fracție:
Acum suntem pregătiți pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:
Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să luăm acest exemplu până la capăt:
Am primit un răspuns
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind un desen. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza
Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Dacă am fi la școală, ar trebui să rezolvăm mai scurt acest exemplu. O astfel de soluție ar arăta astfel:
Reducerea fracțiilor la un numitor comun poate fi reprezentată și folosind o imagine. Reducând aceste fracții la un numitor comun, am obținut fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor):
Prima imagine arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracțiune (trei bucăți din douăsprezece). Tăiind trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii 
Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le reduceți la același numitor (comun).
Să găsim LCM al numitorilor acestor fracții.
Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții.
Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțim 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem deasupra primei fracții:
Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem deasupra celei de-a doua fracții:
Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem deasupra celei de-a treia fracții:
Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:
Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.
Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:
Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune obișnuită și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o simplificăm. Ce se poate face? Puteți scurta această fracție.
Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (GCD) numerelor 20 și 30.
Deci, găsim mcd-ul numerelor 20 și 30:
Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la mcd găsit, adică la 10
Am primit un răspuns
Înmulțirea unei fracții cu un număr
Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției cu acel număr și să lăsați numitorul neschimbat.
Exemplul 1. Înmulțiți o fracție cu numărul 1.
Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1
Înregistrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza o dată, primești pizza
Din legile înmulțirii știm că dacă multiplicandul și factorul sunt schimbate, produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui număr întreg și a unei fracții funcționează:
Această notație poate fi înțeleasă ca luând jumătate din unu. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numărătorul fracției cu 4
Răspunsul a fost o fracție improprie. Să evidențiem întreaga parte a acesteia:
Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei 4 pizza, vei primi două pizza întregi
Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul, obținem expresia . De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luarea a două pizza din patru pizza întregi:
Numărul care este înmulțit cu fracția și numitorul fracției sunt rezolvate dacă au divizor comun, mai mare de unu.
De exemplu, o expresie poate fi evaluată în două moduri.
Prima cale. Înmulțiți numărul 4 cu numărătorul fracției și lăsați numitorul fracției neschimbat:
A doua cale. Cele patru fiind înmulțite și cele patru din numitorul fracției pot fi reduse. Acești patru pot fi reduse cu 4, deoarece cel mai mare divizor comun pentru doi patru este patru însuși:
Am obținut același rezultat 3. După reducerea celor patru, în locul lor se formează numere noi: două. Dar înmulțirea unuia cu trei și apoi împărțirea la unu nu schimbă nimic. Prin urmare, soluția poate fi scrisă pe scurt:
Reducerea poate fi efectuată chiar și atunci când am decis să folosim prima metodă, dar la etapa înmulțirii numărului 4 și numărătorului 3 am decis să folosim reducerea:
Dar, de exemplu, expresia poate fi calculată numai în primul mod - înmulțiți 7 cu numitorul fracției și lăsați numitorul neschimbat:
Acest lucru se datorează faptului că numărul 7 și numitorul fracției nu au un divizor comun mai mare de unu și, în consecință, nu se anulează.
Unii elevi scurtează din greșeală numărul înmulțit și numărătorul fracției. Nu poți face asta. De exemplu, următoarea intrare nu este corectă:
Reducerea unei fracții înseamnă că atât numărătorul cât și numitorul va fi împărțit la același număr. În situația cu expresia, împărțirea se efectuează numai la numărător, deoarece scrierea aceasta este la fel cu scrierea . Vedem că împărțirea se efectuează numai la numărător și nu are loc nicio împărțire la numitor.
Înmulțirea fracțiilor
Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul se dovedește a fi o fracție necorespunzătoare, trebuie să evidențiați întreaga parte a acestuia.
Exemplul 1. Găsiți valoarea expresiei.
Am primit un răspuns. Este recomandabil să reduceți această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:
Expresia poate fi înțeleasă ca luarea unei pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:
Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:
Și ia două din aceste trei bucăți:
Vom face pizza. Amintiți-vă cum arată pizza când este împărțită în trei părți:
O bucată din această pizza și cele două bucăți pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:
Cu alte cuvinte, vorbim de pizza de aceeași dimensiune. Prin urmare, valoarea expresiei este
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:
Răspunsul a fost o fracție improprie. Să evidențiem întreaga parte a acesteia:
Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:
Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție obișnuită, dar ar fi bine dacă ar fi scurtat. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 105 și 450.
Deci, să găsim mcd-ul numerelor 105 și 450:
Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la mcd-ul pe care l-am găsit acum, adică la 15
Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție
Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Acest lucru nu va schimba sensul lui cinci, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știm, este egal cu cinci:
Numerele reciproce
Acum ne vom familiariza cu foarte subiect interesantîn matematică. Se numește „numere inverse”.
Definiţie. Inversa la număro este un număr care, atunci când este înmulțit cuo dă unul.
Să înlocuim în această definiție în locul variabilei o numărul 5 și încercați să citiți definiția:
Inversa la număr 5 este un număr care, atunci când este înmulțit cu 5 dă unul.
Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că este posibil. Să ne imaginăm cinci ca o fracție:
Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar cu capul în jos:
Ce se va întâmpla ca urmare a acestui fapt? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:
Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul , deoarece atunci când înmulțiți 5 cu obțineți unul.
Reciproca unui număr poate fi găsită și pentru orice alt întreg.
Puteți găsi, de asemenea, reciproca oricărei alte fracții. Pentru a face acest lucru, doar întoarceți-l.
Împărțirea unei fracții la un număr
Să presupunem că avem jumătate de pizza:
Să o împărțim în mod egal între doi. Câtă pizza va primi fiecare persoană?
Se poate observa că după împărțirea jumătății de pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare dintre acestea constituind o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.