§ 1 Cerc. Concepte de bază
În matematică, există propoziții care explică semnificația unui anumit nume sau expresie. Astfel de propoziții se numesc definiții.
Să definim conceptul de cerc. Un cerc este o figură geometrică formată din toate punctele unui plan situate la o distanță dată de un punct dat.
Acest punct, să-l numim punctul O, se numește centrul cercului.
Segmentul care leagă centrul cu orice punct al cercului se numește raza cercului. Există multe astfel de segmente care pot fi desenate, de exemplu, OA, OB, OS. Toate vor avea aceeași lungime.
Un segment care leagă două puncte dintr-un cerc se numește coardă. MN este coarda cercului.
Coarda care trece prin centrul cercului se numește diametru. AB este diametrul cercului. Diametrul este format din două raze, ceea ce înseamnă că lungimea diametrului este de două ori mai mare decât raza. Centrul unui cerc este punctul de mijloc al oricărui diametru.
Oricare două puncte dintr-un cerc îl împart în două părți. Aceste părți sunt numite arce de cerc.
ANB și AMB sunt arce de cerc.
Partea planului care este delimitată de un cerc se numește cerc.
Pentru a reprezenta un cerc într-un desen, se folosește o busolă. Cercul poate fi desenat și pe pământ. Pentru a face acest lucru, utilizați doar o frânghie. Fixați un capăt al frânghiei de un cuier înfipt în pământ și trageți un cerc cu celălalt capăt.
§ 2 Construcţii cu busole şi riglă
În geometrie, multe construcții pot fi realizate folosind doar o busolă și o riglă fără diviziuni de scară.
Folosind doar o riglă, puteți desena o linie dreaptă arbitrară, precum și o linie dreaptă arbitrară care trece printr-un punct dat sau o linie dreaptă care trece prin două puncte date.
O busolă vă permite să desenați un cerc de rază arbitrară, precum și un cerc cu un centru într-un punct dat și o rază egală cu un anumit segment.
Separat, fiecare dintre aceste instrumente face posibilă realizarea celor mai simple construcții, dar cu ajutorul acestor două instrumente puteți efectua deja operații mai complexe, de exemplu,
rezolva probleme de constructie precum
Construiți un unghi egal cu cel dat,
Construiți un triunghi cu laturile date,
Împărțiți segmentul în jumătate
Printr-un punct dat trageți o dreaptă perpendiculară pe dreapta dată etc.
Să luăm în considerare problema.
Sarcină: Pe o rază dată, de la începutul ei, trasează un segment egal cu cel dat.
Având în vedere o rază OS și un segment AB. Este necesar să se construiască un segment OD egal cu segmentul AB.
Folosind o busolă, construim un cerc de rază, egal cu lungimea segment AB, cu centrul în punctul O. Acest cerc va intersecta raza dată OS într-un punct D. Segmentul OD este segmentul necesar.
Lista literaturii folosite:
- Geometrie. Clasele 7-9: manual. pentru învăţământul general organizatii / L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev și colab. - M.: Educație, 2013. - 383 p.: ill.
- Gavrilova N.F. Dezvoltarea lecției de geometrie clasa a VII-a. - M.: „VAKO”, 2004. - 288 p. - (Pentru a-l ajuta pe profesorul școlii).
- Belitskaya O.V. Geometrie. clasa a VII-a. Partea 1. Teste. – Saratov: Liceu, 2014. – 64 p.
Un cerc este o linie curbă închisă, fiecare punct al cărei punct este situat la aceeași distanță de un punct O, numit centru.
Se numesc linii drepte care leagă orice punct dintr-un cerc de centrul său razele R.
Linia dreaptă AB care leagă două puncte ale unui cerc și care trece prin centrul său O se numește diametru D.
Părțile cercurilor se numesc arcuri.
Linia dreaptă CD care leagă două puncte dintr-un cerc se numește coardă.
MN direct, care are doar unul punct comun cu un cerc se numește tangentă.
Se numește partea cercului delimitată de coarda CD și arc segment.
Se numește partea de cerc mărginită de două raze și un arc sector.
Se numesc două linii orizontale și verticale reciproc perpendiculare care se intersectează în centrul unui cerc axele cercului.
Unghiul format din două raze KOA se numește unghiul central.
Două rază reciproc perpendiculară faceți un unghi de 90 0 și limitați 1/4 din cerc.
Desenăm un cerc cu axe orizontale și verticale, care îl împart în 4 părți egale. Desenând cu o busolă sau un pătrat la 45 0, două linii reciproc perpendiculare împart cercul în 8 părți egale.
Împărțirea unui cerc în 3 și 6 părți egale (multiplii de la 3 la trei)
Pentru a împărți un cerc în 3, 6 și un multiplu al acestora, desenați un cerc cu o rază dată și axele corespunzătoare. Împărțirea poate începe din punctul de intersecție a axei orizontale sau verticale cu cercul. Raza dată a cercului este trasată de 6 ori succesiv. Apoi punctele rezultate de pe cerc sunt conectate succesiv prin linii drepte și formează un hexagon regulat înscris. Conectarea punctelor printr-unul dă un triunghi echilateral și împărțirea cerculului în trei părți egale.
Construcția unui pentagon obișnuit se realizează după cum urmează. Desenăm două axe cercului reciproc perpendiculare egale cu diametrul cercului. Ne împărțim jumătatea dreaptă diametru orizontal în jumătate folosind arcul R1. Din punctul rezultat „a” din mijlocul acestui segment cu raza R2, trasați un arc de cerc până când acesta se intersectează cu diametrul orizontal în punctul „b”. Cu raza R3, din punctul „1”, trageți un arc de cerc până când se intersectează cu un cerc dat (punctul 5) și obțineți latura unui pentagon regulat. Distanța „b-O” dă latura unui decagon obișnuit.
Împărțirea unui cerc în N număr de părți identice (construirea unui poligon regulat cu N laturi)
Acest lucru se face după cum urmează. Desenăm axa orizontală și verticală reciproc perpendiculară a cercului. Din punctul de sus „1” al cercului, trageți o linie dreaptă la un unghi arbitrar față de axa verticală. Așezăm pe el segmente egale de lungime arbitrară, al căror număr este egal cu numărul de părți în care împărțim cercul dat, de exemplu 9. Conectăm capătul ultimului segment la punctul inferior al diametrului vertical. . Desenăm linii paralele cu cea rezultată de la capetele segmentelor puse deoparte până când acestea se intersectează cu diametrul vertical, împărțind astfel diametrul vertical al unui cerc dat într-un număr dat de părți. Cu o rază egală cu diametrul cercului, desenați un arc MN din punctul de jos al axei verticale până când se intersectează cu continuarea axei orizontale a cercului. Din punctele M și N trasăm raze prin puncte de diviziune pare (sau impare) ale diametrului vertical până când se intersectează cu cercul. Segmentele rezultate ale cercului vor fi cele necesare, deoarece punctele 1, 2, …. 9 împarte cercul în 9 (N) părți egale.
În problemele de construcție, o busolă și o riglă sunt considerate instrumente ideale, în special, o riglă nu are diviziuni și are o singură latură de lungime infinită, iar o busolă poate avea o deschidere arbitrar mare sau arbitrar mică.
Construcții acceptabile.În lucrările de construcție sunt permise următoarele operațiuni:
1. Marcați un punct:
- punctul arbitrar al planului;
- un punct arbitrar pe o dreaptă dată;
- un punct arbitrar pe un cerc dat;
- punctul de intersecție a două drepte date;
- punctele de intersecție/tangență ale unei drepte date și ale unui cerc dat;
- puncte de intersecție/tangență a două cercuri date.
2. Folosind o riglă puteți trage o linie dreaptă:
- o linie dreaptă arbitrară pe un plan;
- o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct dat;
- o linie dreaptă care trece prin două puncte date.
3. Folosind o busolă puteți construi un cerc:
- un cerc arbitrar pe un plan;
- un cerc arbitrar cu un centru într-un punct dat;
- un cerc arbitrar cu o rază egală cu distanța dintre două puncte date;
- un cerc cu un centru într-un punct dat și o rază egală cu distanța dintre două puncte date.
Rezolvarea problemelor de construcție. Soluția la problema construcției conține trei părți esențiale:
- Descrierea metodei de construire a obiectului solicitat.
- Dovada că obiectul construit în modul descris este într-adevăr cel dorit.
- Analiza metodei de construcție descrisă pentru aplicabilitatea acesteia la diferite versiuni ale condițiilor inițiale, precum și pentru unicitatea sau neunicitatea soluției obținute prin metoda descrisă.
Construirea unui segment egal cu cel dat. Să fie dată o rază cu început în punctul $O$ și un segment $AB$. Pentru a construi un segment $OP = AB$ pe o rază, trebuie să construiți un cerc cu un centru în punctul $O$ de rază $AB$. Punctul de intersecție al razei cu cercul va fi punctul necesar $P$.
Construirea unui unghi egal cu unul dat. Să fie dată o rază cu originea în punctul $O$ și unghiul $ABC$. Cu centrul în punctul $B$ construim un cerc cu o rază arbitrară $r$. Să notăm punctele de intersecție ale cercului cu razele $BA$ și $BC$ ca $A"$ și, respectiv, $C"$.
Să construim un cerc cu un centru în punctul $O$ de rază $r$. Să notăm punctul de intersecție al cercului cu raza ca $P$. Să construim un cerc cu un centru în punctul $P$ de rază $A"B"$. Punctul de intersecție al cercurilor îl notăm cu $Q$. Să desenăm raza $OQ$.
Obținem unghiul $POQ$, egal cu unghiul$ABC$, deoarece triunghiurile $POQ$ și $ABC$ sunt egale pe trei laturi.
Construirea bisectoarei perpendiculare pe un segment. Să construim două cercuri care se intersectează cu rază arbitrară cu centre la capetele segmentului. Conectând două puncte ale intersecției lor, obținem o bisectoare perpendiculară.
Construirea bisectoarei unui unghi. Să desenăm un cerc de rază arbitrară cu centrul la vârful colțului. Să construim două cercuri care se intersectează de rază arbitrară cu centre în punctele de intersecție ale primului cerc cu laturile unghiului. Conectând vârful unghiului cu oricare dintre punctele de intersecție ale acestor două cercuri, obținem bisectoarea unghiului.
Construirea sumei a două segmente. Pentru a construi pe o rază dată un segment egal cu suma a două segmente date, trebuie să aplicați metoda de construire a unui segment egal cu unul dat de două ori.
Construirea sumei a două unghiuri. Pentru a reprezenta un unghi dintr-o rază dată egal cu suma a două unghiuri date, trebuie să aplicați metoda de construire a unui unghi egal cu cel dat de două ori.
Găsirea punctului de mijloc al unui segment. Pentru a marca mijlocul unui segment dat, trebuie să construiți o bisectoare perpendiculară pe segment și să marcați punctul de intersecție al perpendicularei cu segmentul însuși.
Construirea unei drepte perpendiculare printr-un punct dat. Să fie necesar să se construiască o dreaptă perpendiculară pe un punct dat și care trece printr-un punct dat. Desenăm un cerc de rază arbitrară cu un centru într-un punct dat (indiferent dacă se află sau nu pe o dreaptă), intersectând linia în două puncte. Construim o bisectoare perpendiculară pe un segment cu capete în punctele de intersecție ale cercului și ale dreptei. Aceasta va fi linia perpendiculară dorită.
Construirea unei drepte paralele printr-un punct dat. Să fie necesar să se construiască o dreaptă paralelă cu un punct dat și care trece printr-un punct dat în afara dreptei. Construim o dreaptă care trece printr-un punct dat și perpendiculară pe o dreaptă dată. Apoi construim o dreaptă care trece prin acest punct, perpendiculară pe perpendiculara construită. Linia dreaptă rezultată va fi cea necesară.
Obiective:
consolidarea conceptelor de „cerc” și „cerc” în rândul elevilor; deriva conceptul de „raza unui cerc”; învață să construiești cercuri cu o rază dată; dezvoltarea capacităţii de a raţiona şi de a analiza.
UUD personal:
formă atitudine pozitivă la lecțiile de matematică;
interes pentru activitățile de cercetare tematică;
Sarcini meta-subiect
UUD de reglementare:
acceptă și salvează sarcina de învățare;
în colaborare cu profesorul și clasa, găsiți mai multe soluții;
UUD cognitiv:
formularea si rezolvarea problemelor:
identifică și formulează în mod independent problema;
educatie generala:
găsiți informațiile necesare în manual;
construiți un cerc cu o rază dată folosind o busolă;
logic:
formează conceptul de „rază”;
efectuează clasificarea, compararea;
formula independent concluziile;
Comunicare UUD:
să participe activ la munca în echipă, folosind mijloace verbale;
argumentează-ți punctul de vedere;
Abilități de subiect:
identificați trăsăturile esențiale ale conceptelor „raza unui cerc”;
construiți cercuri cu raze diferite;
recunoaște razele într-un desen.
Progresul lecției
Motivația pentru activități de învățare
- Să verificăm dacă toată lumea este pregătită pentru lecție?
„Intrare emoțională în lecție”:
Zâmbește ca soarele.
Încruntă ca norii
Plange ca ploaia
Fii surprins de parcă ai vedea un curcubeu
Acum repetă după mine
Jocul „Ecou prietenos”
2.Actualizarea cunoștințelor
Numărarea orală
a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13
Descurcă modelul. Continuați rândul.
Raspuns: 20, 48,30,46,40,44 50,42
b) Rezolvați problema:
1. În prima zi, magazinul a vândut 42 kg de fructe, iar în a doua, cu 2 kg în plus. Câte kilograme s-au vândut în a doua zi?
Ce trebuie schimbat pentru ca problema să poată fi rezolvată în 2 pași.
Mingi - 16 buc.
Corzi de sărit – 28 buc.
Găsiți o soluție la această problemă.
28-16 28+16
Schimbați întrebarea astfel încât problema să fie rezolvată prin scădere.
3. Înscenare sarcina educațională
1. Nume forme geometrice
Circumferința cercului minge ovală
Care cifră este cea ciudată?
Ce au în comun cifrele? (Cercul, cercul, mingea au aceeași formă)
Cum sunt ele diferite?
2. B
Care puncte aparțin cercului? Ce puncte sunt în afara cercului?
Ce înseamnă punctul O? (centrul cercului)
Care este numele segmentului OB?
Câte raze pot fi desenate într-un cerc?
Care segment nu este o rază? De ce?
Ce se poate concluziona?
Concluzie: toate razele au aceeași lungime .
3. Câte cercuri sunt în imagine?
Cum sunt diferite cercurile? (dimensiune)
Ce determină dimensiunea unui cerc?
Ce se poate concluziona?
Concluzie: cu cât cercul este mai mare, cu atât raza lui este mai mare.
Determinați subiectul lecției.
Subiect: Construirea unui cerc cu o rază dată folosind o busolă.
Ce sarcini ne putem stabili pentru această lecție?
4. Lucrul la subiect
a) Construirea unui cerc.
Ce trebuie să știi pentru a desena un cerc de o anumită dimensiune?
Desenați un cerc cu o rază de 3 cm.
b) Pregătirea pentru activitati ale proiectului
1) Privește desenul 
Din ce forme constă un fluture? Cercuri cu aceeași rază?
2) Lucrați în perechi.
Restabiliți ordinea etapelor proiectului.
Prezentarea sau demonstrația proiectului
Concept (faceți o schiță)
Construiți cifre pentru a implementa planul
Luați în considerare ce rază ar trebui să aibă formele
c) Lucrul la proiect.
Lucrați în grupuri conform algoritmului compilat