Asigurați-vă că triunghiul care vi se oferă este un triunghi dreptunghic, deoarece teorema lui Pitagora se aplică doar triunghiurilor dreptunghiulare.

În triunghiuri dreptunghiulare, unul dintre cele trei unghiuri are întotdeauna 90 de grade.

Un unghi drept într-un triunghi dreptunghic este indicat printr-un simbol pătrat, mai degrabă decât prin simbolul curbei care reprezintă unghiurile oblice. Etichetați laturile triunghiului. Etichetați catetele ca „a” și „b” (picioarele sunt laturi care se intersectează în unghi drept), iar ipotenuza ca „c” (ipotenuza este cea mai mare latură triunghi dreptunghic , situat vizavi).

unghi drept Stabiliți ce parte a triunghiului doriți să găsiți.

Teorema lui Pitagora vă permite să găsiți orice latură a unui triunghi dreptunghic (dacă celelalte două laturi sunt cunoscute). Stabiliți ce parte (a, b, c) trebuie să găsiți.
De exemplu, având în vedere o ipotenuză egală cu 5 și având un catet egal cu 3. În acest caz, este necesar să găsiți al doilea catet. Vom reveni la acest exemplu mai târziu. Dacă celelalte două laturi sunt necunoscute, trebuie să găsiți lungimea uneia dintre laturile necunoscute pentru a putea aplica teorema lui Pitagora. Pentru a face acest lucru, utilizați elementul de bază funcții trigonometrice

(dacă vi se dă valoarea unuia dintre unghiurile oblice).Înlocuiți valorile date (sau valorile pe care le-ați găsit) în formula a 2 + b 2 = c 2.

Amintiți-vă că a și b sunt catetele, iar c este ipotenuza. În exemplul nostru scrieți:.

3² + b² = 5² Patratează fiecare latură cunoscută.

Sau lăsați puterile - puteți pătra numerele mai târziu.

În exemplul nostru, scrieți: 9 + b² = 25. Izolați partea necunoscută pe o parte a ecuației.

Pentru a face acest lucru, transferați valorile cunoscute în cealaltă parte a ecuației. Dacă găsiți ipotenuza, atunci în teorema lui Pitagora este deja izolată pe o parte a ecuației (deci nu trebuie să faceți nimic).

În exemplul nostru, mutați 9 în partea dreaptă a ecuației pentru a izola b² necunoscut. Veți obține b² = 16. Elimina rădăcină pătrată din ambele părți ale ecuației.

În exemplul nostru, b² = 16. Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației și obțineți b = 4. Deci, al doilea catet este egal cu 4 .

Utilizați teorema lui Pitagora în viata de zi cu zi, deoarece poate fi folosit în număr mare situatii practice.

Pentru a face acest lucru, învață să recunoști triunghiuri dreptunghiulare în viața de zi cu zi - în orice situație în care două obiecte (sau linii) se intersectează în unghi drept, iar un al treilea obiect (sau linie) conectează (în diagonală) vârfurile primelor două obiecte (sau linii), puteți folosi teorema lui Pitagora pentru a găsi latura necunoscută (dacă celelalte două laturi sunt cunoscute).
- Exemplu: dat fiind o scară sprijinită de o clădire. Partea de jos a scărilor este la 5 metri de baza peretelui. Partea de sus a scărilor este la 20 de metri de sol (în sus pe perete). Care este lungimea scărilor?
  - „5 metri de la baza zidului” înseamnă că a = 5; „situat la 20 de metri de sol” înseamnă că b = 20 (adică vi se oferă două catete ale unui triunghi dreptunghic, deoarece peretele clădirii și suprafața Pământului se intersectează în unghi drept). Lungimea scării este lungimea ipotenuzei, care este necunoscută.
  - a² + b² = c²
  - (5)² + (20)² = c²
  - 25 + 400 = c²
  - 425 = c²
  - c = √425 c = 20,6. Deci lungimea aproximativă a scării este.

20,6 metri Teorema lui Pitagora

- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia

între laturile unui triunghi dreptunghic.

Se crede că a fost dovedit de matematicianul grec Pitagora, după care a primit numele.

Formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.

Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:

Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor,

construit pe picioare.

Formularea algebrică a teoremei lui Pitagora.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor. Adică notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu c , iar lungimile picioarelor prin o Şi:

b Ambele formulări Teorema lui Pitagora

sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu

necesită conceptul de zonă. Adică a doua afirmație poate fi verificată fără să știe nimic despre zonă și

măsurând numai lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Conversați teorema lui Pitagora.

Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci

triunghi dreptunghic.

Sau, cu alte cuvinte: , iar lungimile picioarelor prin, Şi o Adică notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu Pentru fiecare triplu de numere pozitive

, astfel încât , iar lungimile picioarelor prin o Şi există un triunghi dreptunghic cu catete Adică notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu.

Teorema lui Pitagora pentru un triunghi isoscel.

Teorema lui Pitagora pentru un triunghi echilateral.

Demonstrații ale teoremei lui Pitagora.

În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil teorema

Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. O asemenea diversitate

poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.

Desigur, conceptual toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai faimoase dintre ele:

dovada metoda zonei, axiomatic o dovezi exotice(De exemplu,

prin folosire ecuații diferențiale).

1. Demonstrarea teoremei lui Pitagora folosind triunghiuri similare.

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite

direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.

Lasă ABC există un triunghi dreptunghic cu un unghi drept C. Să tragem înălțimea de la C si denota

întemeierea ei prin H.

Triunghi ACH asemănător cu un triunghi AB C la două colțuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC.

Prin introducerea notației:

obținem:

care corespunde cu -

Îndoit , iar lungimile picioarelor prin 2 și Şi 2, obținem:

sau , care este ceea ce trebuia dovedit.

2. Demonstrarea teoremei lui Pitagora folosind metoda ariei.

Dovezile de mai jos, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toate

folosiți proprietățile ariei, ale căror demonstrații sunt mai complexe decât demonstrația teoremei lui Pitagora în sine.

Dovada prin echicomplementaritate.

Să aranjam patru dreptunghiulare egale

triunghi așa cum se arată în figură

corect.

Patraunghi cu laturi Adică notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu- pătrat,

întrucât suma a două unghiuri ascuțite este de 90° și

unghi desfășurat - 180°.

Aria întregii figuri este egală, pe de o parte,

aria unui pătrat cu latura ( a+b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și

Q.E.D.

3. Demonstrarea teoremei lui Pitagora prin metoda infinitezimală.

Privind desenul prezentat în figură și

privind schimbarea laterală, iar lungimile picioarelor prin, Putem

scrie următoarea relație pentru infinit

mic incremente lateraleCuŞi , iar lungimile picioarelor prin(folosind asemănarea

triunghiuri):

Folosind metoda separării variabilelor, găsim:

Mai mult expresie generală pentru a schimba ipotenuza în cazul creșterii ambelor catete:

Integrând această ecuație și utilizând condițiile inițiale, obținem:

Astfel ajungem la răspunsul dorit:

După cum este ușor de văzut, dependența pătratică în formula finală apare datorită liniarului

proporționalitatea dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma este raportată la independent

contribuții din creșterea diferitelor picioare.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere

(în acest caz piciorul Şi). Atunci pentru constanta de integrare obținem:

Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse

Municipal instituție de învățământ

Leboterskaya principal școală gimnazială

Districtul Chainsky, regiunea Tomsk

ABSTRACT

pe subiect: Pitagora și teorema sa

Finalizat:

elevi de clasa a VIII-a

Pchelkina Irina

Makarova Nadezhda

supraveghetor:

Stasenko V.K.,

profesor de matematică

Introducere…………………………………………………………………………………………….. 3

1. Din biografia lui Pitagora………………………………………………………………………………..3

2. Pitagora și pitagoreenii………………………………………………………………………………. …4

3. Din istoria creării teoremei…………………………………………………….. ..5

4. Şase dovezi ale teoremei……………………………………………………….6

4.1. Dovezi chineze antice…………………………………………… 6

4.2. Dovada lui J. Gardfield …………………………………… 7.

4.3 Cea mai veche dovadă…………………………………………………….. 8.

4.4. Cea mai simplă dovadă…………………………………………………… 9

4.5 Dovada anticilor…………………………………………10

4.6. Dovada lui Euclid……………………………………………………..11.

5. Aplicarea teoremei lui Pitagora ……………………………………………………… 12

5.1. Probleme teoretice……………………………………………………..13

5.2. Probleme practice (vechi) ………………………………………… 14

Concluzie……………………………………………………………………………………15

Referințe………………………………………………………………… 16

INTRODUCERE

In aceasta an universitar ne-am familiarizat cu o teoremă interesantă, cunoscută, după cum sa dovedit, din cele mai vechi timpuri:

„Un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catete.”

Descoperirea acestei afirmații este de obicei atribuită filozofului și matematicianului grec antic Pitagora (secolul al VI-lea î.Hr.). Dar studiul manuscriselor antice a arătat că această afirmație era cunoscută cu mult înainte de nașterea lui Pitagora.

Ne-am întrebat de ce, în acest caz, este asociat cu numele lui Pitagora.

Scopul cercetării noastre a fost să aflăm cine a fost Pitagora și cum se raportează el la această teoremă. Studiind istoria teoremei, am decis să aflăm:

o Există și alte dovezi ale acestei teoreme?

o Care este semnificația acestei teoreme în viața oamenilor?

o Ce rol a jucat Pitagora în dezvoltarea matematicii?

1. Din biografia lui Pitagora

Pitagora din Samos este un mare om de știință grec. Numele lui este familiar oricărui școlar. Dacă vi se cere să numiți un matematician antic, marea majoritate îl va numi pe Pitagora. Faima lui este asociată cu numele teoremei lui Pitagora. Deși știm acum că această teoremă era cunoscută în Babilonul antic cu 1200 de ani înainte de Pitagora, iar în Egipt, cu 2000 de ani înainte de el, era cunoscut un triunghi dreptunghic cu laturile 3, 4, 5, o numim încă cu numele acestui om de știință antic.

Aproape nimic nu se știe cu încredere despre viața lui Pitagora, dar numele lui este asociat număr mare legende.

Pitagora s-a născut în anul 570 î.Hr. e pe insula Samos. Tatăl lui Pitagora a fost Mnesarchus, un tăietor de pietre prețioase. Mnesarchus, potrivit lui Apuleius, „era faimos printre meșteri pentru arta sa de a tăia pietre prețioase”, dar a dobândit faimă mai degrabă decât bogăție. Numele mamei lui Pitagora nu a fost păstrat.

Pitagora avea un aspect frumos, purta o barbă lungă și o diademă de aur pe cap. Pitagora nu este un nume, ci o poreclă pe care a primit-o filosoful pentru că a vorbit întotdeauna corect și convingător, ca un oracol grec. (Pitagora - „persuasiv prin vorbire”)

Printre învățătorii tinerilor Pitagora s-au numărat Hermodamantus și Pherecydes mai în vârstă din Syros (deși nu există o certitudine fermă că Hermodamantus și Pherecydes au fost primii profesori ai lui Pitagora). Tânărul Pitagora a petrecut zile întregi la picioarele bătrânului Hermodamantus, ascultând melodia citrei și hexametrele lui Homer. Pitagora și-a păstrat pasiunea pentru muzica și poezia marelui Homer de-a lungul vieții. Și, fiind un înțelept recunoscut, înconjurat de o mulțime de discipoli, Pitagora și-a început ziua cântând unul dintre cântecele lui Homer.

Pherecydes a fost un filosof și a fost considerat fondatorul școlii italiene de filosofie. Astfel, dacă Hermodamant l-a introdus pe tânărul Pitagora în cercul muzelor, atunci Pherecydes și-a îndreptat mintea către logos. Pherecydes a îndreptat privirea lui Pitagora către natură și l-a sfătuit să-și vadă singur în ea primul și principalul său profesor.

Dar oricum ar fi, imaginația neliniștită a tânărului Pitagora s-a înghesuit foarte curând în micul Samos și s-a dus la Milet, unde a întâlnit un alt om de știință - Thales. Thales l-a sfătuit să meargă în Egipt pentru cunoaștere, ceea ce a făcut și Pitagora.

În 550 î.Hr. Pitagora ia o decizie și pleacă în Egipt. Așadar, înaintea lui Pitagora se deschid o țară necunoscută și o cultură necunoscută. Mult uimit și surprins pe Pitagora în această țară, iar după câteva observații asupra vieții egiptenilor, Pitagora și-a dat seama că calea către cunoaștere, protejată de casta preoțească, era prin religie.

Împreună cu băieții egipteni, el, o Ellin matură, cu o barbă neagră și ondulată, s-a așezat la plăcile de calcar. Dar, spre deosebire de tovarășii săi mai mici, urechile bărbosului Ellin nu erau pe spate, iar capul lui stătea nemișcat. Foarte curând Pitagora și-a depășit cu mult colegii de clasă. Dar școala cărturarilor a fost doar primul pas pe calea către cunoașterea secretă.

După unsprezece ani de studii în Egipt, Pitagora pleacă în patria sa, unde pe parcurs ajunge în captivitatea babiloniană. Acolo face cunoștință cu știința babiloniană, care era mai dezvoltată decât egipteana. Babilonienii au fost capabili să rezolve ecuații liniare, pătratice și unele tipuri de ecuații cubice. Ei au aplicat cu succes teorema lui Pitagora cu mai mult de 1000 de ani înainte de Pitagora. După ce a scăpat din captivitate, nu a putut rămâne mult timp în patria sa din cauza atmosferei de violență și tiranie care domnea acolo. A decis să se mute la Croton (o colonie greacă din nordul Italiei).

În Croton a început cea mai glorioasă perioadă din viața lui Pitagora. Acolo a stabilit ceva de genul o frăție sau un secret religios-etic ordin monahal, ai cărui membri erau obligați să ducă așa-numitul stil de viață pitagoreic.

2. Pitagora și pitagoreicii

Pitagora a organizat în colonia greacă din sudul Peninsulei Apenine o frăție religioasă și etică, precum un ordin monahal, care mai târziu avea să se numească Uniunea Pitagoreică. Membrii uniunii trebuiau să adere la anumite principii: în primul rând, să se străduiască pentru frumos și glorios, în al doilea rând, să fie folositori și, în al treilea rând, să se străduiască pentru o mare plăcere.

Sistemul de reguli morale și etice, lăsat moștenire de Pitagora studenților săi, a fost adunat într-un cod moral deosebit al pitagoreenilor „Aur

poezii”, care au fost foarte populare în epoca Antichității, Evul Mediu și Renaștere. Sistemul pitagoreic de ocupații a constat în trei secțiuni:

· predare despre numere – aritmetică,

· predare despre figuri - geometrie,

· doctrine despre structura Universului – astronomie.

Sistemul de învățământ fondat de Pitagora a durat multe secole.

Pitagoreii au învățat că Dumnezeu a pus numerele la baza ordinii mondiale. Dumnezeu este unitate, iar lumea este pluralitate și constă din contrarii. Ceea ce aduce contrarii la unitate și leagă totul în cosmos este armonia. Armonia este divină și se află în expresii numerice. Cine studiază armonia până la capăt va deveni el însuși divin și nemuritor.

Muzica, armonia și numerele erau indisolubil legate în învățăturile pitagoreenilor. Matematica și misticismul numeric se amestecau fantastic în el. Pitagora credea că numărul este esența tuturor lucrurilor și că Universul este sistem armonic numerele și relațiile lor.

Școala pitagoreică a făcut multe pentru a da geometriei caracterul unei științe. Principala caracteristică a metodei pitagoreice a fost combinarea geometriei cu aritmetica.

Pitagora s-a ocupat mult de proporții și progresii și, probabil, de asemănarea cifrelor, întrucât i se atribuie rezolvarea problemei: „Dând două cifre, construiește o a treia, egală ca mărime cu una dintre date și similară celei de-a doua. ”

Pitagora și studenții săi au introdus conceptul de numere poligonale, prietenoase, perfecte și le-au studiat proprietățile. Pitagora nu era interesat de aritmetică ca practică de calcul și a declarat cu mândrie că „pune aritmetica mai presus de interesele comerciantului”.

Pitagora a fost unul dintre primii care au crezut că Pământul are forma unei mingi și este centrul Universului, că Soarele, Luna și planetele au propria lor mișcare, diferită de mișcarea zilnică a stelelor fixe.

Nicolaus Copernic a perceput învățătura pitagoreenilor despre mișcarea Pământului ca preistoria învățăturii sale heliocentrice. Nu e de mirare că biserica a declarat sistemul copernican o „doctrină pitagoreică falsă”.

În școala lui Pitagora, descoperirile elevilor au fost atribuite profesorului, așa că este aproape imposibil să se determine ce a făcut Pitagora însuși și ce au făcut elevii săi.

În al treilea mileniu au loc dispute în jurul Uniunii Pitagore, dar încă nu există un consens general. Pitagorei aveau multe simboluri și semne care erau un fel de porunci: de exemplu, „nu trece prin cântar”, adică. nu încălcați justiția; „Nu aprindeți focul cu un cuțit”, adică nu răniți oamenii supărați cu cuvinte jignitoare.

Dar principalul simbol pitagoreic este

simbol al sănătăţii şi marca de identificare –

a fost o pentagramă sau o stea pitagoreică -

pentagon stelar format din diagonale

pentagon obișnuit.

Membrii Uniunii Pitagoreene erau rezidenți ai multor orașe din Grecia.

Pitagoreii au acceptat și femeile în societatea lor. Uniunea a înflorit timp de mai bine de douăzeci de ani, apoi a început persecuția membrilor săi, mulți dintre studenți au fost uciși.

Au existat multe legende despre moartea lui Pitagora însuși. Dar învățăturile lui Pitagora și ale studenților săi au continuat să trăiască.

3. Din istoria teoremei lui Pitagora

Acum se știe că această teoremă nu a fost descoperită de Pitagora. Cu toate acestea, unii cred că Pitagora a fost primul care a dat dovada completă, în timp ce alții îi neagă acest merit. Unii îi atribuie lui Pitagora dovada pe care Euclid o dă în prima carte a lui Elementele. Pe de altă parte, Proclu susține că demonstrația din Elemente îi aparține lui Euclid însuși.

După cum vedem, istoria matematicii nu a păstrat aproape deloc date specifice de încredere despre viața lui Pitagora și activitățile sale matematice. Dar legenda ne spune chiar circumstanțele imediate care au însoțit descoperirea teoremei. Mulți oameni cunosc sonetul romancierului german Chamisso:

Începem revizuirea noastră istorică a teoremei lui Pitagora cu China antică. Aici atenție deosebită Sunt atrasă de cartea de matematică a lui Chu-Pei. Această lucrare vorbește despre triunghiul lui Pitagora cu laturile 3, 4 și 5:

„Dacă un unghi drept este descompus în părțile sale componente, atunci linia care leagă capetele laturilor sale va fi 5, când baza este 3 și înălțimea este 4.” .

Este foarte ușor să reproduci metoda lor de construcție. Să luăm o frânghie de 12 m lungime și să legăm de ea o bandă colorată la o distanță de 3 m. de la un capăt și la 4 metri de celălalt.

Unghiul drept va fi închis între laturile de 3 și 4 metri lungime. În aceeași carte este propus un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Bashara.

Cantor(cel mai mare istoric german al matematicii) crede că egalitatea 3² + 4² = 5² era deja cunoscută egiptenilor în jurul anului 2300 î.Hr. e., pe vremea regelui Amenemhet I (conform papirusului 6619 al Muzeului din Berlin).

Potrivit lui Cantor, harpedonapții, sau „trăgătorii de frânghii”, construiau unghiuri drepte folosind triunghiuri dreptunghiulare cu laturile de 3, 4 și 5.

Babilonienii știau ceva mai multe despre teorema lui Pitagora. Într-un text datând din vremea lui Hammurabi, i.e. până în 2000 î.Hr. se dă un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic; de aici putem concluziona că în Mesopotamia au fost capabili să efectueze calcule cu triunghiuri dreptunghiulare, cel puțin în unele cazuri.

Geometria hindusă a fost strâns asociat cu cultul. Este foarte probabil ca pătratul teoremei ipotenuzei să fi fost deja cunoscut în India în jurul secolului al VIII-lea î.Hr. Alături de prescripțiile pur ritualice, există și lucrări de natură teologică geometrică, numite Sulvasutras. În aceste scrieri datând din secolul al IV-lea sau al V-lea î.Hr., întâlnim construcția unui unghi drept folosind un triunghi cu laturile 15, 36, 39.

În Evul Mediu Teorema lui Pitagora a definit limita, dacă nu cea mai mare posibilă, atunci cel puțin a bunelor cunoștințe matematice. Desenul caracteristic al teoremei lui Pitagora, care astăzi este transformat uneori de școlari, de exemplu, într-un profesor îmbrăcat în halat sau într-un bărbat cu o pălărie de cilindru, a fost adesea folosit în acele vremuri ca simbol al matematicii.

În concluzie, prezentăm diverse formulări ale teoremei lui Pitagora traduse din greacă, latină și germană.

Euclid Această teoremă spune (traducere literală):

„Într-un triunghi dreptunghic, pătratul laturii care se întinde pe unghiul drept este egal cu pătratele laturilor care înconjoară unghiul drept.”

Traducere latină text arab Annaricia(circa 900 î.Hr.), realizat de Gerhard Cremona(secolul al XII-lea) spune (tradus):

„În fiecare triunghi dreptunghic, pătratul format pe latura care întinde unghiul drept este egal cu suma celor două pătrate formate pe cele două laturi care înconjoară unghiul drept.”

În Geometry Culmonensis (circa 1400) teorema se citește astfel (în traducere):

“Deci, aria unui pătrat, măsurată pe lungimea sa, este la fel de mare ca cea a două pătrate, care sunt măsurate de-a lungul celor două laturi adiacente unui unghi drept.”

În traducerea rusă a „Principiilor” euclidiene, teorema lui Pitagora este prezentată după cum urmează:

„Într-un triunghi dreptunghic, pătratul laturii opuse unghiului drept este egal cu suma pătratelor laturilor care conțin unghiul drept.”

După cum vedem, în diferite țări o diferite limbi Există diferite versiuni ale formulării teoremei familiare. Creat în timpuri diferiteși în diferite limbi, ele reflectă esența unei singure legi matematice, a cărei demonstrație are și mai multe opțiuni.

4. Șase moduri de a demonstra teorema lui Pitagora

4.1. Dovezi chineze antice

Un desen chinez antic arată patru triunghiuri dreptunghiulare egale cu picioare , iar lungimile picioarelor prin , Şi si ipotenuza Cu așezate astfel încât conturul lor exterior să formeze un pătrat cu latura , iar lungimile picioarelor prin + Şi, iar cel interior este un pătrat cu latura Cu, construit pe ipotenuză

a 2 + 2ab +b 2 = c 2 + 2ab

a 2 + b 2 = c 2

4.2. Dovada de J. Hardfield (1882)

Să aranjam două triunghiuri dreptunghiulare egale, astfel încât piciorul unuia dintre ele să fie o continuare a celuilalt.

Aria trapezului luată în considerare se găsește ca produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea

Pe de altă parte, aria unui trapez este egală cu suma ariilor triunghiurilor rezultate:

Echivalând aceste expresii, obținem:

sau cu 2 = , iar lungimile picioarelor prin 2 + Şi 2

4.3. Cea mai veche dovadă

(conținut într-una dintre lucrările lui Bhaskara).

Fie ABCD un pătrat a cărui latură este egală cu ipotenuza triunghiului dreptunghic ABE (AB = c, BE = a,

Fie CK BE = a, DL CK, AM DL

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

înseamnă KL = LM = ME = EK = a-b.

4.4. Dovada este simplă

4.5. Dovada vechilor hinduși [ 2]

Un pătrat cu latura (a+b) poate fi împărțit în părți fie ca în figura a), fie ca în figura b). Este clar că piese 1,2,3,4 sunt aceleasi in ambele poze. Și dacă egali sunt scăzuți din egal (ariile), atunci egali vor rămâne, i.e. c 2 = a 2 + Şi 2 .

Cu toate acestea, vechii hinduși, cărora le aparține acest raționament, de obicei nu îl notau, ci îl însoțeau doar cu un singur cuvânt:

Uite!

4.6. Dovada lui Euclid

Timp de două milenii, cea mai folosită demonstrație a teoremei lui Pitagora a fost cea a lui Euclid. Este plasat în celebra sa carte „Principii”.

Euclid a coborât înălțimea BN de la vârful unghiului drept la ipotenuză și a demonstrat că continuarea ei împarte pătratul terminat pe ipotenuză în două dreptunghiuri, ale căror arii sunt egale cu ariile pătratelor corespunzătoare construite pe laturi.

Desenul folosit pentru a demonstra această teoremă se numește în glumă „pantaloni pitagoreici”. Multă vreme a fost considerat unul dintre simbolurile științei matematice.

Studenții din Evul Mediu au considerat foarte dificilă demonstrarea teoremei lui Pitagora și au numit-o Dons asinorum - podul măgarului sau elefuga - zborul „săracilor”, deoarece unii elevi „săraci” care nu aveau o pregătire serioasă la matematică au fugit de geometrie. Studenții slabi care au memorat teoremele fără să le înțeleagă și, prin urmare, au fost supranumiți „măgari”, nu au putut depăși teorema lui Pitagora, care a servit ca o punte de netrecut pentru ei. Datorită desenelor care însoțesc teorema lui Pitagora, studenții au numit-o și „moară de vânt”, au compus poezii precum „Pantalonii lui Pitagora sunt egali din toate părțile” și au desenat desene animate.

5. Aplicarea teoremei lui Pitagora.

5.1. Probleme teoretice și moderne

1. Perimetrul unui romb este de 68 cm, iar una dintre diagonalele sale este de 30 cm. Aflați lungimea celeilalte diagonale a rombului.

2. Ipotenuza KR a triunghiului dreptunghic KMR este egală cu cm, iar cateta MR este egală cu 4 cm.

3. Pătratele sunt construite pe laturile unui triunghi dreptunghic și

S1-S2 = 112 cm2 şi S3 =400 cm2. Aflați perimetrul triunghiului.

4. Triunghiul dat ABC, unghiul C=90 0, CD AB, AC=15 cm, AD=9 cm.

Găsiți AB.

5.2. Probleme practice vechi

5. Pentru a asigura catargul trebuie instalat

4 cabluri. Un capăt al fiecărui cablu trebuie fixat la o înălțime de 12 m, celălalt pe sol la o distanță de 5 m de catarg. Este suficient 50 m de cablu pentru a asigura catargul?

6. Problema matematicianului indian din secolul al XII-lea Bhaskara

„Pe malul râului a crescut un plop singuratic.

Deodată o rafală de vânt i-a rupt trunchiul.

Bietul plop a căzut. Și unghiul este corect

Odată cu curgerea râului i s-a format trunchiul.

Amintește-ți acum că există un râu în acel loc

Avea doar patru picioare lățime.

Vârful se apleca pe marginea râului.

Mai sunt doar trei picioare din portbagaj,

Va rog sa-mi spuneti in curand:

Cât de înalt este plopul?”

7. Problemă din manualul „Aritmetică” de Leonty Magnitsky [ 19]

„Dacă o anumită persoană se întâmplă să construiască o scară până la un perete, înălțimea peretelui este de 117 picioare și vei găsi o scară de 125 de picioare.

Și vrea să știe câte opriri a semănat scările pentru a apăra capătul inferior de zid”.

8. Problemă din chineza „Matematică în nouă cărți”

„Există un rezervor cu o latură de 1 zhang = 10 chi în centrul acestuia, care iese deasupra apei cu 1 chi, dacă trageți trestia spre țărm.

Întrebarea este: care este adâncimea apei și care este lungimea stufului?

Concluzie

Teorema lui Pitagora este atât de faimoasă încât este dificil să-ți imaginezi o persoană care nu a auzit de ea. Am studiat o serie de surse istorice și matematice, inclusiv informații de pe Internet, și am văzut că teorema lui Pitagora este interesantă nu numai pentru istoria sa, ci și pentru că ocupă un loc important în viață și știință. Acest lucru este dovedit de diferitele interpretări ale textului acestei teoreme și modalitățile de demonstrare a acesteia date în această lucrare.

Deci, teorema lui Pitagora este una dintre principalele și, s-ar putea spune, cea mai importantă teoremă de geometrie. Semnificația sa constă în faptul că majoritatea teoremelor de geometrie pot fi deduse din ea sau cu ajutorul ei. Teorema lui Pitagora este de asemenea remarcabilă pentru că în sine nu este deloc evidentă. De exemplu, proprietățile unui triunghi isoscel pot fi văzute direct în desen. Dar indiferent cât de mult te uiți la un triunghi dreptunghic, nu vei vedea niciodată că există o relație simplă între laturile lui: c 2 =a 2 +b 2. Prin urmare, vizualizarea este adesea folosită pentru a dovedi acest lucru.

Meritul lui Pitagora a fost că a dat o demonstrație științifică completă a acestei teoreme.

Personalitatea omului de știință însuși, a cărui memorie nu este păstrată întâmplător de această teoremă, este interesantă. Pitagora este un orator minunat, profesor și educator, organizator al școlii sale, concentrat pe armonia muzicii și a numerelor, bunătatea și dreptatea, cunoașterea și imagine sănătoasă viaţă. El poate servi drept exemplu pentru noi, descendenții îndepărtați.

Literatură și resurse de internet:

1. G.I. Glazer Istoria matematicii în clasele școlare VII - VIII, manual pentru profesori, - M: Prosveshchenie 1982.

2. I.Da. Dempan, N.Ya. Vilenkin „În spatele paginilor unui manual de matematică” Un manual pentru elevii din clasele 5-6, Moscova, Educație 1989.

3. I.G. Zenkevich „Estetica unei lecții de matematică”, M.: Educație 1981.

4. Voitikova N.V. „Teorema lui Pitagora” munca de curs, Anzhero-Sudzhensk, 1999

5. V. Litzman Teorema lui Pitagora, M. 1960.

6. A.V. Voloșinov „Pythagoras” M. 1993.

7. L. F. Pichurin „În spatele paginilor unui manual de algebră” M. 1990.

8. A. N. Zemlyakov „Geometrie în clasa a X-a” M. 1986.

9. V. V. Afanasyev „Formarea activitate creativă elevii în proces de rezolvare probleme matematice» Iaroslavl 1996.

10. P. I. Altynov „Teste. Geometrie clasele 7 – 9.” M. 1998.

11. Ziarul „Matematică” 17/1996.

12. Ziarul „Matematică” 3/1997.

13. N. P. Antonov, M. Ya Vygodsky, V. V Nikitin, A. I. Sankin „Colecție de probleme în matematică elementară”. M. 1963.

14. G. V. Dorofeev, M. K. Potapov, N. Kh. „Manual de matematică”. M. 1973

15. A.I. Shchetnikov „Doctrina pitagoreică a numărului și mărimii”. Novosibirsk 1997.

16." Numerele reale. Expresii iraționale” clasa a VIII-a. Editura Universitatea din Tomsk. Tomsk - 1997.

17. M.S. Atanasyan „Geometrie” clase 7-9. M: Iluminismul, 1991

18. www.moy pifagor.narod.ru/

19. http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html

20. http://ru.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_Theorem

21. http://th-pif.narod.ru/history.htm

Istoria teoremei lui Pitagora datează de câteva mii de ani. O afirmație care afirmă că era cunoscută cu mult înainte de nașterea matematicianului grec. Cu toate acestea, teorema lui Pitagora, istoria creării și demonstrația ei sunt asociate pentru majoritatea cu acest om de știință. Potrivit unor surse, motivul pentru aceasta a fost prima demonstrație a teoremei, care a fost dată de Pitagora. Cu toate acestea, unii cercetători neagă acest fapt.

Muzică și logică

Înainte de a spune cum s-a dezvoltat istoria teoremei lui Pitagora, să ne uităm pe scurt la biografia matematicianului. A trăit în secolul al VI-lea î.Hr. Data nașterii lui Pitagora este considerată a fi 570 î.Hr. e., locul este insula Samos. Se cunosc puține lucruri sigure despre viața omului de știință. Datele biografice din sursele grecești antice sunt împletite cu ficțiunea evidentă. Pe paginile tratatelor, el apare ca un mare înțelept cu o excelentă stăpânire a cuvintelor și abilitatea de a convinge. Apropo, acesta este motivul pentru care matematicianul grec a fost supranumit Pitagora, adică „vorbire persuasivă”. Potrivit unei alte versiuni, nașterea viitorului înțelept a fost prezisă de Pythia. Tatăl l-a numit pe băiat Pitagora în cinstea ei.

Înțeleptul a învățat de la marile minți ale vremii. Printre profesorii tânărului Pitagora se numără Hermodamantus și Pherecydes din Syros. Primul i-a insuflat dragostea pentru muzica, al doilea l-a invatat filozofia. Ambele științe vor rămâne în centrul atenției omului de știință de-a lungul vieții sale.

30 de ani de pregătire

Potrivit unei versiuni, fiind un tânăr curios, Pitagora și-a părăsit patria. S-a dus să caute cunoștințe în Egipt, unde a rămas, potrivit surse diferite, de la 11 la 22 de ani, apoi a fost capturat și trimis în Babilon. Pitagora a putut beneficia de pe urma poziției sale. Timp de 12 ani a studiat matematica, geometria și magia în stat antic. Pitagora s-a întors la Samos abia la vârsta de 56 de ani. Tiranul Policrate domnea aici pe vremea aceea. Pitagora nu putea accepta așa ceva sistem politicși în curând a mers în sudul Italiei, unde se afla colonia greacă Croton.

Astăzi este imposibil de spus cu siguranță dacă Pitagora a fost în Egipt și Babilon. Poate că a părăsit Samos mai târziu și s-a dus direct la Croton.

pitagoreici

Istoria teoremei lui Pitagora este legată de dezvoltarea școlii create de filozoful grec. Această frăție religioasă și etică a predicat respectarea unui mod special de viață, a studiat aritmetica, geometria și astronomia și s-a angajat în studiul laturii filozofice și mistice a numerelor.

Lui i-au fost atribuite toate descoperirile studenților matematicianului grec. Cu toate acestea, istoria apariției teoremei lui Pitagora este asociată de către biografii antici doar cu filozoful însuși. Se presupune că el a transmis grecilor cunoștințele dobândite în Babilon și Egipt. Există și o versiune că a descoperit de fapt teorema privind relația dintre catete și ipotenuză, fără să știe despre realizările altor popoare.

Teorema lui Pitagora: istoria descoperirilor

Unele surse grecești antice descriu bucuria lui Pitagora când a reușit să demonstreze teorema. În cinstea acestui eveniment, el a ordonat un sacrificiu către zei sub formă de sute de tauri și a ținut un ospăț. Unii oameni de știință, totuși, subliniază imposibilitatea unui astfel de act din cauza particularităților opiniilor pitagoreenilor.

Se crede că în tratatul „Elemente”, creat de Euclid, autorul oferă o dovadă a teoremei, al cărei autor a fost marele matematician grec. Cu toate acestea, nu toată lumea a susținut acest punct de vedere. Astfel, chiar și vechiul filosof neoplatonist Proclu a subliniat că autorul dovezii date în Elemente a fost însuși Euclid.

Oricum ar fi, prima persoană care a formulat teorema nu a fost Pitagora.

Egiptul antic și Babilonul

Teorema lui Pitagora, a cărei istorie este discutată în articol, conform matematicianului german Cantor, era cunoscută încă din anul 2300 î.Hr. e. în Egipt. Vechii locuitori ai Văii Nilului în timpul domniei faraonului Amenemhat I cunoșteau egalitatea 3 2 + 4 ² = 5 ². Se presupune că, cu ajutorul triunghiurilor cu laturile 3, 4 și 5, „tragetorii de frânghii” egipteni au construit unghiuri drepte.

Ei cunoșteau și teorema lui Pitagora din Babilon. Pe tăblițe de lut datând din anul 2000 î.Hr. și datând din vremea domniei, a fost descoperit un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic.

India și China

Istoria teoremei lui Pitagora este, de asemenea, legată de civilizațiile antice din India și China. Tratatul „Zhou-bi suan jin” conține indicii că (laturile sale sunt legate ca 3:4:5) a fost cunoscut în China încă din secolul al XII-lea. î.Hr e., iar prin secolul al VI-lea. î.Hr e. matematicienii acestui stat știau vedere generală teoreme.

Construcția unui unghi drept folosind triunghiul egiptean a fost conturată și în tratatul indian „Sulva Sutra”, datând din secolele VII-V. î.Hr e.

Astfel, istoria teoremei lui Pitagora la momentul nașterii matematicianului și filosofului grec avea deja câteva sute de ani.

Dovada

În timpul existenței sale, teorema a devenit una dintre cele fundamentale în geometrie. Istoria demonstrației teoremei lui Pitagora a început probabil cu luarea în considerare a unui pătrat echilateral Pătratele sunt construite pe ipotenuza și catetele sale. Cel care a „crescut” pe ipotenuză va fi format din patru triunghiuri egale cu primul. Pătratele de pe laturi sunt formate din două astfel de triunghiuri. Simplu imagine grafică demonstrează clar validitatea enunţului formulat sub forma celebrei teoreme.

O altă demonstrație simplă combină geometria cu algebra. Se desenează patru triunghiuri dreptunghiulare identice cu laturile a, b, c astfel încât să formeze două pătrate: cel exterior cu latura (a + b) și cel interior cu latura c. În acest caz, aria pătratului mai mic va fi egală cu c 2. Aria unuia mare se calculează din suma suprafețelor pătrat micși toate triunghiurile (aria unui triunghi dreptunghic, reamintim, este calculată prin formula (a * b) / 2), adică c 2 + 4 * ((a * b) / 2), care este egală la c 2 + 2ab. Aria unui pătrat mare poate fi calculată într-un alt mod - ca produs a două laturi, adică (a + b) 2, care este egal cu a 2 + 2ab + b 2. Se dovedește:

a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab,

a 2 + b 2 = c 2.

Există multe versiuni ale demonstrației acestei teoreme. Euclid, oameni de știință indieni și Leonardo da Vinci au lucrat la ele. Adesea, înțelepții antici au citat desene, exemple ale cărora sunt situate mai sus și nu le-au însoțit cu alte explicații decât nota „Uite!” Simplitatea dovezii geometrice, cu condiția ca unele cunoștințe să fie disponibile, nu a necesitat comentarii.

Istoria teoremei lui Pitagora, prezentată pe scurt în articol, dezmintă mitul despre originea ei. Cu toate acestea, este greu de imaginat că numele marelui matematician și filozof grec va înceta vreodată să-i fie asociat.

Soarta altor teoreme și probleme este ciudată... Cum să explic, de exemplu, o asemenea atenție excepțională din partea matematicienilor și iubitorilor de matematică față de teorema lui Pitagora? De ce mulți dintre ei nu erau deja mulțumiți? dovezi cunoscute, dar și-au găsit-o pe a lor, aducând cantitatea de dovezi la câteva sute peste douăzeci și cinci de secole relativ previzibile?
Când vine vorba de teorema lui Pitagora, neobișnuitul începe cu numele său. Se crede că nu Pitagora a fost cel care l-a formulat primul. De asemenea, se consideră îndoielnic faptul că a dat dovadă. Dacă Pitagora este o persoană reală (unii chiar se îndoiesc de acest lucru!), atunci cel mai probabil a trăit în secolele VI-V. î.Hr e. El însuși nu a scris nimic, s-a numit filozof, ceea ce însemna, în înțelegerea lui, „luptând pentru înțelepciune” și a fondat Uniunea Pitagora, ai cărei membri au studiat muzica, gimnastica, matematica, fizica și astronomia. Aparent, el a fost și un excelent orator, dovadă fiind următoarea legendă referitoare la șederea sa în orașul Croton: „Prima apariție a lui Pitagora în fața oamenilor din Croton a început cu un discurs adresat tinerilor, în care a fost atât de mare. stricte, dar în același timp atât de fascinante au conturat îndatoririle tinerilor, iar bătrânii din oraș au cerut să nu-i lase fără instrucțiuni. În acest al doilea discurs, el a arătat legalitatea și puritatea moravurilor ca temelii ale familiei; în următoarele două s-a adresat copiilor și femeilor. Consecința ultimului discurs, în care a condamnat în mod special luxul, a fost că mii de rochii prețioase au fost livrate la templul Herei, căci nici o singură femeie nu a mai îndrăznit să apară în ele pe stradă...” Totuși, chiar și în secolul al II-lea d.Hr., adică după 700 de ani, au trăit și au lucrat complet oameni reali, oameni de știință extraordinari care au fost în mod clar influențați de alianța lui Pitagora și care au avut un mare respect pentru ceea ce, conform legendei, a creat Pitagora.
De asemenea, nu există nicio îndoială că interesul pentru teoremă este cauzat atât de faptul că aceasta ocupă unul dintre locurile centrale în matematică, cât și de satisfacția autorilor demonstrațiilor, care au depășit dificultățile pe care poetul roman Quintus Horace Flaccus, care a trăit înaintea erei noastre, a spus bine: „Este dificil să exprim bine faptele cunoscute”.
Inițial, teorema a stabilit relația dintre ariile pătratelor construite pe ipotenuză și catetele unui triunghi dreptunghic:
.
Formulare algebrică:
Formularea algebrică a teoremei lui Pitagora.
Adică, notând lungimea ipotenuzei triunghiului cu c, iar lungimile catetelor cu a și b: a 2 + b 2 =c 2. Ambele formulări ale teoremei sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și măsurând doar lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.
Teorema inversă Pitagora. Pentru orice triplu de numere pozitive a, b și c astfel încât
a 2 + b 2 = c 2, există un triunghi dreptunghic cu catetele a și b și ipotenuza c.

Dovada

În prezent, 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil, teorema lui Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de demonstrații. O astfel de diversitate poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.
Desigur, conceptual toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai cunoscute dintre ele: dovezi prin metoda ariilor, dovezi axiomatice și exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri asemănătoare

Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezi, construită direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.
Fie ABC un triunghi dreptunghic cu unghi drept C. Desenați altitudinea din C și notați baza sa cu H. Triunghiul ACH este similar cu triunghiul ABC la două unghiuri.
În mod similar, triunghiul CBH este similar cu ABC. Prin introducerea notaţiei

primim

Ce este echivalent

Adunând totul, obținem

sau

Dovezi folosind metoda zonei

Dovezile de mai jos, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toate folosesc proprietăți ale ariei, a căror demonstrație este mai complexă decât demonstrarea teoremei lui Pitagora în sine.

Dovada prin echicomplementare

1. Așezați patru triunghiuri dreptunghiulare egale așa cum se arată în figură.
2. Un patrulater cu laturile c este un pătrat, deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90°, iar unghiul drept este de 180°.
3. Aria întregii figuri este egală, pe de o parte, cu aria unui pătrat cu latura (a + b), iar pe de altă parte, cu suma ariilor a patru triunghiuri și pătratul interior.

Q.E.D.

Dovezi prin echivalență

Un exemplu de astfel de demonstrație este prezentat în desenul din dreapta, unde un pătrat construit pe ipotenuză este rearanjat în două pătrate construite pe catete.

Dovada lui Euclid

Ideea demonstrației lui Euclid este următoarea: să încercăm să demonstrăm că jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma jumătăților ariilor pătratelor construite pe catete și apoi ariile lui pătratele mari și cele două pătrate mici sunt egale. Să ne uităm la desenul din stânga. Pe el am construit pătrate pe laturile unui triunghi dreptunghic și am desenat o rază s de la vârful unghiului drept C perpendicular pe ipotenuza AB, ea taie pătratul ABIK, construit pe ipotenuză, în două dreptunghiuri - BHJI și HAKJ, respectiv. Se pare că ariile acestor dreptunghiuri sunt exact egale cu ariile pătratelor construite pe picioarele corespunzătoare. Să încercăm să demonstrăm că aria pătratului DECA este egală cu aria dreptunghiului AHJK. Pentru a face acest lucru, vom folosi o observație auxiliară: aria unui triunghi cu aceeași înălțime și bază dreptunghiul dat este egal cu jumătate din aria dreptunghiului dat. Aceasta este o consecință a definirii ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțimii. Din această observație rezultă că aria triunghiului ACK este egală cu aria triunghiului AHK (neprezentată în figură), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria dreptunghiului AHJK. Să demonstrăm acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să demonstrați egalitatea triunghiurilor ACK și BDA (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din aria pătratului conform proprietății de mai sus). Această egalitate este evidentă, triunghiurile sunt egale pe ambele părți și unghiul dintre ele. Și anume - AB=AK,AD=AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: rotim triunghiul CAK cu 90° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri din întrebarea va coincide (datorită faptului că unghiul la vârful pătratului este de 90°). Raționamentul pentru egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet similar. Astfel, am demonstrat că aria unui pătrat construit pe ipotenuză este compusă din ariile pătratelor construite pe catete.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Elementele principale ale demonstrației sunt simetria și mișcarea.

Să luăm în considerare desenul, după cum se poate vedea din simetrie, segmentul CI taie pătratul ABHJ în două părți identice (deoarece triunghiurile ABC și JHI sunt egale în construcție). Folosind o rotație de 90 de grade în sens invers acelor de ceasornic, vedem egalitatea cifrelor umbrite CAJI și GDAB. Acum este clar că aria figurii pe care am umbrit-o este egală cu suma a jumătate din suprafețele pătratelor construite pe picioare și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egal cu jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză, plus aria triunghiului original. Ultimul pas în demonstrație este lăsat cititorului.