Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.
Obiectivele lecției:
- extinderea și aprofundarea înțelegerii de către elevi a problemelor rezolvate folosind progresie aritmetică; organizare activitate de căutare elevii la derivarea formulei pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice;
- dezvoltarea capacității de a dobândi în mod independent noi cunoștințe și de a utiliza cunoștințele deja dobândite pentru a îndeplini o anumită sarcină;
- dezvoltarea dorintei si nevoii de generalizare a faptelor obtinute, dezvoltand independenta.
Sarcini:
- rezuma și sistematiza cunoștințele existente pe tema „Progresia aritmetică”;
- deduceți formule pentru calcularea sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice;
- învață cum să aplici formulele obținute la rezolvarea diferitelor probleme;
- atrage atenţia elevilor asupra procedeului de aflare a valorii unei expresii numerice.
Echipament:
- fișe cu sarcini pentru lucrul în grupuri și perechi;
- fișa de punctaj;
- prezentare„Progresie aritmetică”.
I. Actualizarea cunoștințelor de bază.
1. Munca independentăîn perechi.
prima varianta:
Definiți progresia aritmetică. Scrieți o formulă de recurență care definește o progresie aritmetică. Vă rugăm să oferiți un exemplu de progresie aritmetică și să indicați diferența acesteia.
a 2-a varianta:
Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Găsiți al 100-lea termen al progresiei aritmetice ( un n}: 2, 5, 8 …
În acest moment, doi elevi din spatele tablei pregătesc răspunsuri la aceleași întrebări.
Elevii evaluează munca partenerului lor verificându-le pe tablă. (Se predau foile cu răspunsuri.)
2. Momentul jocului.
Sarcina 1.
Profesor. M-am gândit la o progresie aritmetică. Pune-mi doar două întrebări pentru ca după răspunsuri să poți numi rapid al 7-lea termen al acestei progresii. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Întrebări de la studenți.
- Care este al șaselea termen al progresiei și care este diferența?
- Care este al optulea termen al progresiei și care este diferența?
Dacă nu mai există întrebări, atunci profesorul le poate stimula - o „interdicție” pe d (diferență), adică nu este permis să întrebați cu ce este egală diferența. Puteți pune întrebări: cu ce este egal al 6-lea termen al progresiei și cu ce este al 8-lea termen al progresiei?
Sarcina 2.
Pe tablă sunt scrise 20 de numere: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Profesorul stă cu spatele la tablă. Elevii sună numărul, iar profesorul sună imediat numărul în sine. Explicați cum pot face asta?
Profesorul își amintește formula pentru al n-lea trimestru a n = 3n – 2și, înlocuind valorile specificate n, găsește valorile corespunzătoare un n.
II. Stabilirea unei sarcini de învățare.
Îmi propun să rezolv o problemă străveche care datează din mileniul II î.Hr., găsită în papirusurile egiptene.
Sarcină:„Să vi se spună: împărțiți 10 măsuri de orz la 10 persoane, diferența dintre fiecare persoană și vecinul său este de 1/8 din măsură.”
- Cum este această problemă legată de progresia aritmetică a subiectului? (Fiecare persoană următoare primește 1/8 din măsură în plus, ceea ce înseamnă că diferența este d=1/8, 10 persoane, ceea ce înseamnă n=10.)
- Ce crezi că înseamnă numărul 10 măsuri? (Suma tuturor termenilor progresiei.)
- Ce altceva trebuie să știți pentru a face ușor și simplu împărțirea orzului în funcție de condițiile problemei? (Primul termen de progresie.)
Obiectivul lecției– obținerea dependenței sumei termenilor progresiei de numărul lor, primul termen și diferența și verificarea dacă problema a fost rezolvată corect în antichitate.
Înainte de a deduce formula, să ne uităm la modul în care egiptenii antici au rezolvat problema.
Și au rezolvat-o astfel:
1) 10 măsuri: 10 = 1 măsură – cotă medie;
2) 1 măsură ∙ = 2 măsuri – dublată medieîmpărtășește.
Dublat medie cota este suma acțiunilor persoanei a 5-a și a 6-a.
3) 2 masuri – 1/8 masuri = 1 7/8 masuri – dublu fata de persoana a cincea.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – fracțiune de cincime; și așa mai departe, puteți găsi cota fiecărei persoane anterioare și ulterioare.
Obținem secvența:
III. Rezolvarea problemei.
1. Lucrați în grupuri
Grupa I: Aflați suma a 20 consecutiv numere naturale: S 20 =(20+1)∙10 =210.
grupa II: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 100 (Legenda lui Micul Gauss).
S 100 = (1+100)∙50 = 5050
Concluzie: 
grupa III: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 21.
Rezolvare: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Concluzie:
grupa IV: Aflați suma numerelor naturale de la 1 la 101.
Concluzie:
Această metodă de rezolvare a problemelor luate în considerare se numește „Metoda Gauss”.
2. Fiecare grupă prezintă pe tablă soluția problemei.
3. Generalizarea soluțiilor propuse pentru o progresie aritmetică arbitrară:
a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Să găsim această sumă folosind un raționament similar:
4. Am rezolvat problema?(Da.)
IV. Înțelegerea și aplicarea primară a formulelor obținute la rezolvarea problemelor.
1. Verificarea soluției unei probleme vechi folosind formula.
2. Aplicarea formulei în rezolvarea diverselor probleme.
3. Exerciții de dezvoltare a capacității de a aplica formule la rezolvarea problemelor.
A) Nr. 613
Dat: ( a n) - progresie aritmetică;
(a n): 1, 2, 3, …, 1500
Găsi: S 1500
Soluţie: , a 1 = 1 și 1500 = 1500,
B) Având în vedere: ( a n) - progresie aritmetică;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210
Găsi: n
Soluţie:
V. Munca independentă cu verificare reciprocă.
Denis a început să lucreze ca curier. În prima lună, salariul său a fost de 200 de ruble, în fiecare lună următoare a crescut cu 30 de ruble. Cât a câștigat în total într-un an?
Dat: ( a n) - progresie aritmetică;
a 1 = 200, d=30, n=12
Găsi: S 12
Soluţie:
Răspuns: Denis a primit 4380 de ruble pe an.
VI. Instruirea temelor pentru acasă.
- Secțiunea 4.3 – învață derivarea formulei.
- №№ 585, 623 .
- Creați o problemă care poate fi rezolvată folosind formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.
VII. Rezumând lecția.
1. Fișa de punctaj
2. Continuați propozițiile
- Astăzi la clasă am învățat...
- Formule invatate...
- Eu cred că...
3. Puteți găsi suma numerelor de la 1 la 500? Ce metodă veți folosi pentru a rezolva această problemă?
Referințe.
1. Algebră, clasa a IX-a. Tutorial pentru institutii de invatamant. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: „Iluminismul”, 2009.
Când studiezi algebra în școală gimnazială(clasa a IX-a) unul dintre subiecte importante este studiul șirurilor de numere, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol vom analiza o progresie aritmetică și exemple cu soluții.
Ce este o progresie aritmetică?
Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se definească progresia în cauză, precum și să se furnizeze formulele de bază care vor fi folosite ulterior în rezolvarea problemelor.
O progresie aritmetică sau algebrică este un set de numere raționale ordonate, fiecare termen diferit de cel anterior printr-o valoare constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al unei serii ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.
Să dăm un exemplu. Următoarea succesiune de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar setul de numere 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuit tipului de progresie luat în considerare, deoarece diferența pentru aceasta nu este valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Formule importante
Să prezentăm acum formulele de bază care vor fi necesare pentru a rezolva probleme folosind progresia aritmetică. Să notăm cu simbolul a n al n-lea termen secvențe în care n este un număr întreg. Notăm diferența prin litera latină d. Atunci sunt valabile următoarele expresii:
- Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen este potrivită următoarea formulă: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n +a 1)*n/2.
Pentru a înțelege orice exemple de progresie aritmetică cu soluții în clasa a IX-a, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice probleme de tipul luat în considerare se bazează pe utilizarea lor. De asemenea, trebuie să vă amintiți că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1.
Exemplul #1: găsirea unui termen necunoscut
Să dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formulele care trebuie folosite pentru a o rezolva.
Să fie dată șirul 10, 8, 6, 4, ..., trebuie să găsiți cinci termeni în ea.
Din condițiile problemei rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:
- Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. În mod similar, puteți lua oricare alți doi membri stând unul lângă celălalt. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d = a n - a n-1, atunci d = a 5 - a 4, din care obținem: a 5 = a 4 + d. Inlocuim valorile cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei în cauză, așa că mai întâi trebuie să o determinați așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru numărul n al șirului. Avem: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
După cum puteți vedea, ambele soluții au dus la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu diferența de progresie d este o valoare negativă. Astfel de secvențe se numesc descrescătoare, deoarece fiecare termen următor este mai mic decât cel anterior.
Exemplul #2: diferența de progresie
Acum să complicăm puțin sarcina, să dăm un exemplu despre cum
Se știe că la unii primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să găsim diferența și să restabilim această secvență la al 7-lea termen.
Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1 . Să substituim datele cunoscute din condiție în ea, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 = 6 + 6 * d. Din această expresie puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) /6 = 2. Astfel, am răspuns la prima parte a problemei.
Pentru a restabili secvența la al 7-lea termen, ar trebui să utilizați definiția unei progresii algebrice, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Exemplul nr. 3: întocmirea unei progresii
Să complicăm și mai mult problema. Acum trebuie să răspundem la întrebarea cum să găsim o progresie aritmetică. Se poate da următorul exemplu: sunt date două numere, de exemplu - 4 și 5. Este necesar să se creeze o progresie algebrică, astfel încât să mai fie plasați trei termeni între aceștia.
Înainte de a începe să rezolvați această problemă, trebuie să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Întrucât vor mai fi trei termeni între ei, atunci a 1 = -4 și a 5 = 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la problema, care este similară cu cea anterioară. Din nou, pentru al n-lea termen folosim formula, obținem: a 5 = a 1 + 4 * d. Din: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ceea ce am obținut aici nu este o valoare întreagă a diferenței, ci este un număr rațional, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.
Acum să adăugăm diferența găsită la un 1 și să restabilim termenii lipsă ai progresiei. Se obține: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, care coincid cu condiţiile problemei.
Exemplul nr. 4: primul termen de progresie
Să continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu soluții. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum să luăm în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să găsim cu ce număr începe această secvență.
Formulele folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. În enunțul problemei, nu se știe nimic despre aceste numere. Cu toate acestea, vom nota expresii pentru fiecare termen despre care sunt disponibile informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Am primit două ecuații în care există 2 mărimi necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.
Cel mai simplu mod de a rezolva acest sistem este de a exprima un 1 în fiecare ecuație și apoi de a compara expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, de unde diferența d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (se dau doar 3 zecimale).
Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru un 1. De exemplu, mai întâi: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultatul obținut, îl puteți verifica, de exemplu, determinați al 43-lea termen al progresiei, care este specificat în condiție. Se obține: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mica eroare se datorează faptului că în calcule a fost folosită rotunjirea la miimi.
Exemplul nr. 5: suma
Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.
Să se dea o progresie numerică de următoarea formă: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum se calculează suma a 100 dintre aceste numere?
Datorită dezvoltării tehnologiei informatice, este posibil să se rezolve această problemă, adică să se adauge toate numerele succesiv, care calculator va face imediat ce persoana va apăsa tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată mental dacă acordați atenție faptului că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este egală cu 1. Aplicând formula pentru sumă, obținem: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Este interesant de observat că această problemă se numește „gaussian” deoarece la începutul secolului al XVIII-lea celebrul german, încă în vârstă de doar 10 ani, a reușit să o rezolve în cap în câteva secunde. Băiatul nu știa formula pentru suma unei progresii algebrice, dar a observat că dacă aduni numerele de la sfârșitul șirului în perechi, obții întotdeauna același rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., și deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100 / 2), atunci pentru a obține răspunsul corect este suficient să înmulțiți 50 cu 101.
Exemplul nr. 6: suma termenilor de la n la m
Un alt exemplu tipic al sumei unei progresii aritmetice este următorul: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați cu ce va fi suma termenilor săi de la 8 la 14. .
Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea de termeni necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvențială. Întrucât există puțini termeni, această metodă nu este destul de intensivă în muncă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme folosind o a doua metodă, care este mai universală.
Ideea este de a obține o formulă pentru suma progresiei algebrice dintre termenii m și n, unde n > m sunt numere întregi. Pentru ambele cazuri, scriem două expresii pentru suma:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Deoarece n > m, este evident că a doua sumă o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și îi adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței se scade din suma S n), vom obține răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Este necesar să se înlocuiască formule pentru a n și a m în această expresie. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Formula rezultată este oarecum greoaie, totuși, suma S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.
După cum se poate observa din soluțiile de mai sus, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a începe să rezolvați oricare dintre aceste probleme, este recomandat să citiți cu atenție starea, să înțelegeți clar ce trebuie să găsiți și abia apoi să continuați cu soluția.
Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la o întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția nr. 6, s-ar putea opri la formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m și împărțiți problema generală în subsarcini separate (în acest caz, găsiți mai întâi termenii a n și a m).
Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultatul obținut, este recomandat să îl verificați, așa cum s-a făcut în unele dintre exemplele date. Am aflat cum să găsim o progresie aritmetică. Dacă îți dai seama, nu este atât de greu.
Ce punctul principal formule?
Această formulă vă permite să găsiți orice CU NUMĂRUL LUI " n" .
Desigur, trebuie să cunoști și primul termen a 1 si diferenta de progresie d, ei bine, fără acești parametri nu puteți nota o anumită progresie.
Memorarea (sau cribing) acestei formule nu este suficientă. Trebuie să-i înțelegeți esența și să aplicați formula în diverse probleme. Și de asemenea să nu uite la momentul potrivit, da...) Cum nu uita- Nu știu. Dar cum să-ți amintești Dacă este necesar, cu siguranță te voi sfătui. Pentru cei care finalizează lecția până la sfârșit.)
Deci, să ne uităm la formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.
Ce este o formulă în general? Apropo, aruncați o privire dacă nu l-ați citit. Totul este simplu acolo. Rămâne să ne dăm seama ce este al n-lea termen.
Progresia în general poate fi scrisă ca o serie de numere:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....
a 1- denotă primul termen al unei progresii aritmetice, a 3- al treilea membru, a 4- al patrulea și așa mai departe. Dacă suntem interesați de al cincilea mandat, să presupunem că lucrăm cu un 5, dacă o sută douăzecea - s un 120.
Cum îl putem defini în termeni generali? orice termenul unei progresii aritmetice, cu orice număr? Foarte simplu! Ca aceasta:
un n
Asta este al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Litera n ascunde toate numerele de membru simultan: 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.
Și ce ne oferă un astfel de record? Gândește-te, în loc de un număr, au notat o scrisoare...
Această notație ne oferă un instrument puternic pentru a lucra cu progresia aritmetică. Folosind notația un n, putem găsi rapid orice membru orice progresie aritmetică. Și rezolvă o grămadă de alte probleme de progres. Vei vedea singur mai departe.
În formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- primul termen al unei progresii aritmetice;
n- numărul de membru.
Formula conectează parametrii cheie ai oricărei progresii: un n; a 1; dŞi n. Toate problemele de progresie gravitează în jurul acestor parametri.
Formula al n-lea termen poate fi folosită și pentru a scrie o anumită progresie. De exemplu, problema poate spune că progresia este specificată de condiția:
a n = 5 + (n-1) 2.
O astfel de problemă poate fi o fundătură... Nu există nici o serie, nici o diferență... Dar, comparând condiția cu formula, este ușor de înțeles că în această progresie a 1 =5 și d=2.
Și poate fi și mai rău!) Dacă luăm aceeași condiție: a n = 5 + (n-1) 2, Da, deschideți parantezele și dați altele asemănătoare? Obținem o nouă formulă:
a n = 3 + 2n.
Acest Doar nu general, ci pentru o evoluție specifică. Aici se ascunde capcana. Unii oameni cred că primul termen este un trei. Deși în realitate primul termen este cinci... Puțin mai jos vom lucra cu o astfel de formulă modificată.
În problemele de progresie există o altă notație - un n+1. Acesta este, după cum ați ghicit, termenul „n plus primul” al progresiei. Sensul său este simplu și inofensiv.) Acesta este un membru al progresiei al cărui număr este mai mare decât numărul n cu unul. De exemplu, dacă într-o problemă luăm un n al cincilea termen atunci un n+1 va fi al șaselea membru. Și altele asemenea.
Cel mai adesea desemnarea un n+1 găsite în formulele de recurenţă. Nu vă fie frică de acest cuvânt înfricoșător!) Acesta este doar o modalitate de a exprima un membru al unei progresii aritmetice prin cea precedentă. Să presupunem că ni se oferă o progresie aritmetică în această formă, folosind o formulă recurentă:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Al patrulea - prin al treilea, al cincilea - prin al patrulea și așa mai departe. Cum putem număra imediat, să zicem, al douăzecilea termen? un 20? Dar nu există nicio cale!) Până nu aflăm al 19-lea termen, nu îl putem număra pe al 20-lea. Aceasta este diferența fundamentală dintre formula recurentă și formula celui de-al n-lea termen. Funcționează recurent numai prin anterior termen, iar formula celui de-al n-lea termen este prin primul si permite pe loc găsiți orice membru după numărul său. Fără a calcula întreaga serie de numere în ordine.
Într-o progresie aritmetică, este ușor să transformi o formulă recurentă într-una obișnuită. Numărați o pereche de termeni consecutivi, calculați diferența d, găsiți, dacă este necesar, primul termen a 1, scrieți formula în forma ei obișnuită și lucrați cu ea. Astfel de sarcini sunt adesea întâlnite în Academia de Științe de Stat.
Aplicarea formulei pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.
Mai întâi, să ne uităm la aplicarea directă a formulei. La sfârșitul lecției anterioare a apărut o problemă:
Este dată o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.
Această problemă poate fi rezolvată fără formule, pur și simplu pe baza semnificației unei progresii aritmetice. Adăugați și adăugați... O oră sau două.)
Și conform formulei, soluția va dura mai puțin de un minut. Puteți să-l cronometrați.) Să decidem.
Condițiile oferă toate datele pentru utilizarea formulei: a 1 =3, d=1/6. Rămâne să ne dăm seama ce este egal n. Nicio întrebare! Trebuie să găsim un 121. Deci scriem:
Vă rugăm să fiți atenți! În loc de index n a apărut un anumit număr: 121. Ceea ce este destul de logic.) Ne interesează membrul progresiei aritmetice. numărul o sută douăzeci şi unu. Acesta va fi al nostru n. Acesta este sensul n= 121 vom înlocui în continuare în formulă, între paranteze. Înlocuim toate numerele în formulă și calculăm:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Asta este. La fel de repede se putea găsi termenul cinci sute al zecelea, iar o mie și al treilea, oricare. punem in schimb n numărul dorit în indexul literei " o"și între paranteze, și numărăm.
Permiteți-mi să vă reamintesc ideea: această formulă vă permite să găsiți orice termen de progresie aritmetică CU NUMĂRUL LUI " n" .
Să rezolvăm problema într-un mod mai viclean. Să întâlnim următoarea problemă:
Aflați primul termen al progresiei aritmetice (a n), dacă a 17 =-2; d=-0,5.
Dacă aveți dificultăți, vă voi spune primul pas. Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Da, da. Scrieți cu mâinile, chiar în caiet:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Și acum, privind literele formulei, înțelegem ce date avem și ce lipsește? Disponibil d=-0,5, există un al șaptesprezecelea membru... Asta e? Dacă crezi că asta este, atunci nu vei rezolva problema, da...
Mai avem un număr n! In stare a 17 =-2 ascuns doi parametri. Aceasta este atât valoarea celui de-al șaptesprezecelea termen (-2), cât și numărul său (17). Aceste. n=17. Acest „fleeac” alunecă adesea pe lângă cap și fără el, (fără „fleeac”, nu cap!) problema nu poate fi rezolvată. Deși... și fără cap.)
Acum putem pur și simplu să substituim datele noastre în formula:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Oh da, un 17știm că este -2. Bine, hai să înlocuim:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Asta e practic tot. Rămâne să exprimăm primul termen al progresiei aritmetice din formulă și să-l calculăm. Raspunsul va fi: a 1 = 6.
Această tehnică - scrierea unei formule și pur și simplu înlocuirea datelor cunoscute - este de mare ajutor în sarcini simple. Ei bine, desigur, trebuie să poți exprima o variabilă dintr-o formulă, dar ce să faci!? Fără această abilitate, matematica nu poate fi studiată deloc...
Un alt puzzle popular:
Aflați diferența progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 =2; a 15 =12.
ce facem? Vei fi surprins, noi scriem formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Să luăm în considerare ceea ce știm: a 1 =2; a 15 =12; și (voi evidenția în special!) n=15. Simțiți-vă liber să înlocuiți acest lucru în formula:
12=2 + (15-1)d
Facem aritmetica.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Acesta este răspunsul corect.
Deci, sarcinile pentru un n, un 1Şi d hotărât. Tot ce rămâne este să înveți cum să găsești numărul:
Numărul 99 este un membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 =12; d=3. Găsiți numărul acestui membru.
Înlocuim cantitățile cunoscute de noi în formula celui de-al n-lea termen:
a n = 12 + (n-1) 3
La prima vedere, există două cantități necunoscute aici: un n și n. Dar un n- acesta este un membru al progresiei cu un număr n...Și îl cunoaștem pe acest membru al progresiei! Este 99. Nu-i știm numărul. n, Deci, acest număr este ceea ce trebuie să găsiți. Inlocuim termenul progresiei 99 in formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Exprimăm din formulă n, credem noi. Primim raspunsul: n=30.
Și acum o problemă pe același subiect, dar mai creativ):
Determinați dacă numărul 117 este membru al progresiei aritmetice (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Să scriem din nou formula. Ce, nu există parametri? Hm... De ce ni se dau ochi?) Vedem primul termen al progresiei? Vedem noi. Acesta este -3,6. Puteți scrie în siguranță: a 1 = -3,6. Diferenţă d Poți spune din serial? Este ușor dacă știi care este diferența unei progresii aritmetice:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Deci, am făcut cel mai simplu lucru. Tot ce rămâne este să ne ocupăm de numărul necunoscut n iar numărul de neînțeles 117. În problema anterioară, cel puțin se știa că era dat termenul progresiei. Dar aici nici nu știm... Ce să facem!? Ei bine, ce să faci, ce să faci... Pornește creativitatea!)
Noi presupune că 117 este, până la urmă, un membru al progresiei noastre. Cu un număr necunoscut n. Și, la fel ca în problema anterioară, să încercăm să găsim acest număr. Aceste. scriem formula (da, da!)) și înlocuim numerele noastre:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Din nou exprimăm din formulăn, numărăm și obținem:
Hopa! Numărul s-a dovedit fracționat! O sută și jumătate. Și numere fracționale în progresii nu se intampla. Ce concluzie putem trage? Da! Numărul 117 nu este membru al progresiei noastre. Este undeva între termenii o sută și primul și o sută și al doilea. Dacă numărul s-a dovedit natural, adică este un întreg pozitiv, atunci numărul ar fi un membru al progresiei cu numărul găsit. Și în cazul nostru, răspunsul la problemă va fi: Nu.
O sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:
O progresie aritmetică este dată de condiția:
a n = -4 + 6,8n
Găsiți primul și al zecelea termen al progresiei.
Aici progresia este stabilită într-un mod neobișnuit. Un fel de formulă... Se întâmplă.) Cu toate acestea, această formulă (cum am scris mai sus) - de asemenea formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Ea permite, de asemenea găsiți orice membru al progresiei după numărul său.
Căutăm primul membru. Cel care gândește. că primul termen este minus patru este fatal greșit!) Deoarece formula din problemă este modificată. Primul termen al progresiei aritmetice în el ascuns. Este în regulă, îl vom găsi acum.)
La fel ca în problemele anterioare, înlocuim n=1în această formulă:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Aici! Primul termen este 2,8, nu -4!
Căutăm al zecelea termen în același mod:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Asta este.
Și acum, pentru cei care au citit aceste rânduri, bonusul promis.)
Să presupunem că, într-o situație dificilă de luptă, Examinarea de stat sau Examinarea de stat unificată, ai uitat formula utila al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Îmi amintesc ceva, dar cumva nesigur... Or n acolo, sau n+1 sau n-1... Cum sa fii!?
Calm! Această formulă este ușor de obținut. Nu este foarte strict, dar cu siguranță este suficient pentru încredere și pentru decizia corectă!) Pentru a trage o concluzie, este suficient să vă amintiți semnificația elementară a unei progresii aritmetice și să aveți câteva minute de timp. Trebuie doar să desenezi o imagine. Pentru claritate.
Desenați o linie numerică și marcați-o pe prima. al doilea, al treilea etc. membrii. Și notăm diferența dîntre membri. Ca aceasta:
Ne uităm la imagine și ne gândim: ce înseamnă al doilea termen? Doilea unul d:
o 2 =a 1 + 1 d
Care este al treilea termen? Treilea termenul este egal cu primul termen plus două d.
o 3 =a 1 + 2 d
Înțelegi? Nu degeaba evidențiez câteva cuvinte cu caractere aldine. Bine, încă un pas).
Care este al patrulea termen? Patrulea termenul este egal cu primul termen plus trei d.
o 4 =a 1 + 3 d
Este timpul să ne dăm seama că numărul de lacune, adică. d, Întotdeauna cu unul mai puțin decât numărul membrului pe care îl căutați n. Adică la număr n, numărul de spații voinţă n-1. Prin urmare, formula va fi (fără variații!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
În general, imaginile vizuale sunt de mare ajutor în rezolvarea multor probleme de matematică. Nu neglija pozele. Dar dacă este dificil să desenezi o imagine, atunci... doar o formulă!) În plus, formula celui de-al n-lea termen vă permite să conectați întregul arsenal puternic al matematicii la soluție - ecuații, inegalități, sisteme etc. Nu poți introduce o imagine în ecuație...
Sarcini pentru soluție independentă.
Pentru a se încălzi:
1. În progresia aritmetică (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Găsiți un 3.
Sugestie: conform imaginii, problema poate fi rezolvată în 20 de secunde... Conform formulei, se dovedește mai dificil. Dar pentru stăpânirea formulei, este mai util.) În Secțiunea 555, această problemă este rezolvată folosind atât imaginea, cât și formula. Simțiți diferența!)
Și aceasta nu mai este o încălzire.)
2. În progresia aritmetică (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Aflați un 3 .
Ce, nu vrei să faci o imagine?) Desigur! Mai bine dupa formula, da...
3. Progresia aritmetică este dată de condiția:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Găsiți termenul o sută douăzeci și cinci al acestei progresii.
În această sarcină, progresia este specificată în mod recurent. Dar numărând până la al o sută douăzeci și cinci de termen... Nu toată lumea este capabilă de o asemenea ispravă.) Dar formula celui de-al n-lea termen este în puterea tuturor!
4. Având în vedere o progresie aritmetică (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Aflați numărul celui mai mic termen pozitiv al progresiei.
5. Conform condițiilor sarcinii 4, găsiți suma celor mai mici termeni pozitivi și cei mai mari negativi ai progresiei.
6. Produsul termenilor al cincilea și al doisprezecelea al unei progresii aritmetice crescătoare este -2,5, iar suma celor trei și al unsprezecelea termeni este zero. Găsiți un 14.
Nu este cea mai ușoară sarcină, da...) Metoda „degetului” nu va funcționa aici. Va trebui să scrieți formule și să rezolvați ecuații.
Răspunsuri (în dezordine):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
A funcționat? E frumos!)
Nu merge totul? Se întâmplă. Apropo, există un punct subtil în ultima sarcină. Va fi necesară atenție când citiți problema. Și logica.
Soluția tuturor acestor probleme este discutată în detaliu în Secțiunea 555. Și elementul de fantezie pentru al patrulea și punctul subtil pentru al șaselea și abordări generale pentru rezolvarea oricăror probleme care implică formula celui de-al n-lea termen - totul este descris. Il recomand.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Matematica are propria ei frumusețe, la fel ca pictura și poezia.
Om de știință rus, mecanic N.E. Jukovski
Sarcini foarte frecvente în examenele de admitere la matematică sunt probleme legate de conceptul de progresie aritmetică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să aveți o bună cunoaștere a proprietăților progresiei aritmetice și să aveți anumite abilități în aplicarea lor.
Să ne amintim mai întâi proprietățile de bază ale unei progresii aritmetice și să prezentăm cele mai importante formule, asociat cu acest concept.
Definiţie. Secvență de numere, în care fiecare termen ulterior diferă de cel precedent prin acelaşi număr, numită progresie aritmetică. În acest caz numărulnumită diferență de progresie.
Pentru o progresie aritmetică sunt valabile următoarele formule:
, (1)
Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii aritmetice, iar formula (2) reprezintă proprietatea principală a unei progresii aritmetice: fiecare termen al progresiei coincide cu media aritmetică a termenilor săi învecinați și .
Rețineți că tocmai din cauza acestei proprietăți progresia luată în considerare este numită „aritmetică”.
Formulele (1) și (2) de mai sus sunt generalizate după cum urmează:
(3)
Pentru a calcula suma primul termenii unei progresii aritmeticese folosește de obicei formula
(5) unde și .
Dacă luăm în considerare formula (1), apoi din formula (5) rezultă
Dacă notăm , atunci
Unde . Deoarece , formulele (7) și (8) sunt o generalizare a formulelor corespunzătoare (5) și (6).
În special , din formula (5) rezultă, Ce
Puțin cunoscută de majoritatea studenților este proprietatea progresiei aritmetice, formulată prin următoarea teoremă.
Teorema. Dacă, atunci
Dovada. Dacă, atunci
Teorema a fost demonstrată.
De exemplu, folosind teorema, se poate arăta că
Să trecem la considerarea exemplelor tipice de rezolvare a problemelor pe tema „Progresie aritmetică”.
Exemplul 1. Lăsați-l să fie. Găsiți .
Soluţie. Aplicând formula (6), obținem . Din moment ce și , apoi sau .
Exemplul 2. Fie de trei ori mai mare, iar când se împarte la cât, rezultatul este 2, iar restul este 8. Să se determine și .
Soluţie. Din condițiile exemplului urmează sistemul de ecuații
Deoarece , , și , atunci din sistemul de ecuații (10) obținem
Soluția acestui sistem de ecuații este și .
Exemplul 3. Găsiți dacă și .
Soluţie. Conform formulei (5) avem sau . Cu toate acestea, folosind proprietatea (9), obținem .
Din moment ce și , apoi din egalitate urmează ecuația sau .
Exemplul 4. Găsiți dacă .
Soluţie.Conform formulei (5) avem
Cu toate acestea, folosind teorema, putem scrie
De aici și din formula (11) obținem .
Exemplul 5. Având în vedere: . Găsiți .
Soluţie. De atunci. Cu toate acestea, prin urmare.
Exemplul 6. Să , și . Găsiți .
Soluţie. Folosind formula (9), obținem . Prin urmare, dacă , atunci sau .
Din moment ce şi atunci aici avem un sistem de ecuații
Rezolvând care, obținem și .
Rădăcina naturală a ecuației este .
Exemplul 7. Găsiți dacă și .
Soluţie. Deoarece conform formulei (3) avem că , atunci sistemul de ecuații rezultă din condițiile problemei
Dacă înlocuim expresiaîn a doua ecuație a sistemului, atunci obținem sau .
Rădăcini ecuație pătratică suntȘi .
Să luăm în considerare două cazuri.
1. Fie , atunci . De când și , atunci .
În acest caz, conform formulei (6), avem
2. Dacă , atunci , și
Raspuns: si.
Exemplul 8. Se știe că și. Găsiți .
Soluţie.Ținând cont de formula (5) și de condiția exemplului, scriem și .
Aceasta implică sistemul de ecuații
Dacă înmulțim prima ecuație a sistemului cu 2 și apoi o adăugăm la a doua ecuație, obținem
Conform formulei (9) avem. În acest sens, rezultă din (12) sau .
De când și , atunci .
Raspuns: .
Exemplul 9. Găsiți dacă și .
Soluţie. Din moment ce , și după condiție , atunci sau .
Din formula (5) se știe, Ce . De atunci.
Prin urmare, aici avem un sistem de ecuații liniare
De aici obținem și . Ținând cont de formula (8), scriem .
Exemplul 10. Rezolvați ecuația.
Soluţie. Din ecuația dată rezultă că . Să presupunem că , , și . În acest caz.
Conform formulei (1), putem scrie sau .
Deoarece , atunci ecuația (13) are singura rădăcină adecvată .
Exemplul 11. Găsiți valoarea maximă cu condiția ca și .
Soluţie. Din moment ce , atunci progresia aritmetică luată în considerare este în scădere. În acest sens, expresia capătă valoarea maximă atunci când este numărul termenului minim pozitiv al progresiei.
Să folosim formula (1) și faptul, că și . Apoi obținem asta sau .
De când, atunci sau . Cu toate acestea, în această inegalitatecel mai mare număr natural, De aceea .
Dacă valorile lui și sunt înlocuite în formula (6), obținem .
Raspuns: .
Exemplul 12. Determinați suma tuturor numerelor naturale din două cifre care, atunci când sunt împărțite la numărul 6, lasă un rest de 5.
Soluţie. Să notăm prin mulțimea tuturor numerelor naturale de două cifre, adică. . În continuare, vom construi o submulțime formată din acele elemente (numere) ale mulțimii care, împărțite la numărul 6, dau un rest de 5.
Usor de instalat, Ce . Evident, că elementele ansambluluiformează o progresie aritmetică, în care și .
Pentru a stabili cardinalitatea (numărul de elemente) mulțimii, presupunem că . Deoarece și , rezultă din formula (1) sau . Ținând cont de formula (5), obținem .
Exemplele de mai sus de rezolvare a problemelor nu pot pretinde în niciun caz a fi exhaustive. Acest articol este scris pe baza analizei metode moderne solutii sarcini tipice pe o anumită temă. Pentru un studiu mai aprofundat al metodelor de rezolvare a problemelor legate de progresia aritmetică, este indicat să consultați lista de literatură recomandată.
1. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Pace și educație, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.
3. Medynsky M.M. Curs complet matematica elementara in probleme si exercitii. Cartea 2: Secvențe de numere si progresie. – M.: Editus, 2015. – 208 p.
Mai ai întrebări?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.