O ecuație pătratică este o ecuație care arată ca ax 2 + dx + c = 0. Are sens a,cŞi Cu orice numere și O nu este egal cu zero.
Toate ecuațiile pătratice sunt împărțite în mai multe tipuri, și anume:
Ecuații cu o singură rădăcină.
-Ecuații cu două rădăcini diferite.
-Ecuații în care nu există rădăcini deloc.
Aceasta distinge ecuațiile liniare în care rădăcina este întotdeauna aceeași, de cele pătrate. Pentru a înțelege câte rădăcini sunt în expresie, aveți nevoie Discriminant al unei ecuații pătratice.
Să presupunem că ecuația noastră ax 2 + dx + c =0. Mijloace discriminant al unei ecuații pătratice -
D = b 2 - 4 ac
Și acest lucru trebuie amintit pentru totdeauna. Folosind această ecuație determinăm numărul de rădăcini din ecuația pătratică. Și o facem astfel:
Când D este mai mic decât zero, nu există rădăcini în ecuație.
- Când D este zero, există o singură rădăcină.
- Când D este mai mare decât zero, ecuația are două rădăcini.
Amintiți-vă că discriminantul arată câte rădăcini sunt în ecuație fără a schimba semnele.
Să luăm în considerare pentru claritate:
Trebuie să aflăm câte rădăcini sunt în această ecuație pătratică.
1) x 2 - 8x + 12 = 0
2)5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0
Introducem valorile în prima ecuație și găsim discriminantul.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Discriminantul are un semn plus, ceea ce înseamnă că există două rădăcini în această egalitate.
Facem același lucru cu a doua ecuație
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Valoarea este negativă, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini în această egalitate.
Să extindem următoarea ecuație prin analogie.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
ca o consecință, avem o singură rădăcină în ecuație.
Este important ca în fiecare ecuație să scriem coeficienții. Desigur, acesta nu este un proces foarte lung, dar ne-a ajutat să nu ne confuzăm și a prevenit apariția erorilor. Dacă rezolvi foarte des ecuații similare, vei putea efectua calculele mental și vei ști dinainte câte rădăcini are ecuația.
Să ne uităm la un alt exemplu:
1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0
Să-l așezăm pe primul
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, care este mai mare decât zero, ceea ce înseamnă două rădăcini, să le derivăm
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
Îl întindem pe al doilea
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, care este mai mare decât zero și are, de asemenea, două rădăcini. Să le scoatem:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
Îl așezăm pe al treilea
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, care este egal cu zero și are o rădăcină
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Rezolvarea acestor ecuații nu este dificilă.
Dacă ni se oferă o ecuație pătratică incompletă. Ca
1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0
Aceste ecuații diferă de cele de mai sus, deoarece nu este completă, nu are o a treia valoare. Dar, în ciuda acestui fapt, este mai simplă decât o ecuație pătratică completă și nu este nevoie să căutați un discriminant în ea.
Ce să faci când ai nevoie urgentă teza sau un eseu, dar nu ai timp să-l scrii? Toate acestea și multe altele pot fi comandate pe site-ul Deepom.by (http://deeplom.by/) și obțineți cel mai mare scor.
Dintre tot cursul programa școlarăÎn algebră, unul dintre cele mai extinse subiecte este tema ecuațiilor pătratice. În acest caz, o ecuație pătratică este înțeleasă ca o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0 (se citește: a înmulțit cu x pătrat plus be x plus ce este egal cu zero, unde a nu este egal cu zero). În acest caz, locul principal este ocupat de formulele pentru găsirea discriminantului unei ecuații pătratice de tipul specificat, care este înțeleasă ca o expresie care permite determinarea prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice, precum și a acestora. număr (dacă există).
Formula (ecuația) discriminantului unei ecuații pătratice
Formula general acceptată pentru discriminantul unei ecuații pătratice este următoarea: D = b 2 – 4ac. Prin calcularea discriminantului folosind formula specificată, puteți nu numai să determinați prezența și numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice, ci și să alegeți o metodă pentru găsirea acestor rădăcini, dintre care există mai multe în funcție de tipul de ecuație pătratică.
Ce înseamnă dacă discriminantul este zero \ Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice dacă discriminantul este zero
Discriminantul, după cum reiese din formulă, este notat cu litera latină D. În cazul în care discriminantul egal cu zero, trebuie concluzionat că o ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, are o singură rădăcină, care se calculează folosind o formulă simplificată. Această formulă se aplică numai atunci când discriminantul este zero și arată astfel: x = –b/2a, unde x este rădăcina ecuației pătratice, b și a sunt variabilele corespunzătoare ale ecuației pătratice. Pentru a găsi rădăcina unei ecuații pătratice, trebuie să împărțiți valoarea negativă a variabilei b la de două ori valoarea variabilei a. Expresia rezultată va fi soluția unei ecuații pătratice.
Rezolvarea unei ecuații pătratice folosind un discriminant
Dacă la calcularea discriminantului folosind formula de mai sus, se obține o valoare pozitivă (D este mai mare decât zero), atunci ecuația pătratică are două rădăcini, care se calculează folosind următoarele formule: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Cel mai adesea, discriminantul nu este calculat separat, dar expresia radicală sub forma formulei discriminante este pur și simplu substituită în valoarea D din care este extrasă rădăcina. Dacă variabila b are o valoare pară, atunci pentru a calcula rădăcinile unei ecuații pătratice de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, puteți utiliza și următoarele formule: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, unde k = b/2.
În unele cazuri, pentru o soluție practică ecuații pătratice se poate folosi Teorema lui Vieta, care afirmă că pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice de forma x 2 + px + q = 0, valoarea x 1 + x 2 = –p va fi valabilă, iar pentru produsul lui rădăcinile ecuației specificate, expresia x 1 x x 2 = q.
Poate discriminantul să fie mai mic decât zero?
La calcularea valorii discriminantei, puteți întâlni o situație care nu se încadrează în niciunul dintre cazurile descrise - când discriminantul are o valoare negativă (adică mai mică de zero). În acest caz, se acceptă în general că o ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, nu are rădăcini reale, prin urmare, soluția ei se va limita la calcularea discriminantului, iar formulele de mai sus pentru că rădăcinile unei ecuații pătratice nu se vor aplica în acest caz vor exista. În același timp, în răspunsul la ecuația pătratică este scris că „ecuația nu are rădăcini reale”.
Video explicativ:
Am venit cu o teoremă atât de grozavă pentru ei,
si decid prin discriminant:-(((
(c) Francois Viet „Declarații inexistente”
Formula rădăcină, sau calea lungă
Toți cei care au urmat chiar și cea mai mică lecții de matematică în clasa a VIII-a cunosc formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Soluția care utilizează formula rădăcină este adesea numită în limbajul comun „soluția prin discriminant”. Să ne amintim pe scurt formula pentru rădăcini.
[Puteți vizualiza și conținutul acestui articol la format video ]
Ecuația pătratică are forma topor 2 +bx+c= 0, unde o, b, c- unele numere. De exemplu, în Eq. 2x 2 + 3x – 5 = 0 aceste numere sunt egale: o = 2, b = 3. c= -5. Înainte de a rezolva orice ecuație pătratică, trebuie să „vedeți” aceste numere și să înțelegeți cu ce sunt egale.
Apoi, așa-numitul discriminant este calculat folosind formula D=b^2-4ac. În cazul nostru D = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49. Apoi rădăcina este extrasă din discriminant: \sqrt(D) = \sqrt(49) = 7 .
După ce discriminantul a fost calculat, se utilizează formula rădăcină: x_1=\frac(-b-\sqrt(D))(2a); x_2=\frac(-b+\sqrt(D))(2a):
x_1=\frac(-3-7)(2 \cdot 2)=\frac(-10)(4)=-2,5x_2= \frac(-3+7)(2 \cdot 2)=\frac(4)(4)=1
Și astfel, ecuația este rezolvată. Are două rădăcini: 1 și -2,5.
Dar această ecuație, ca multe altele propuse în manualele/problemele școlare, ar putea fi rezolvată mult mai mult într-un mod rapid, dacă știi câteva trucuri de viață. Și nu vorbim doar despre teorema lui Vieta, deși este un instrument util.
Life hack mai întâi. Dacă o + b + c= 0, atunci x_1=1, x_2=\frac(c)(a) .
Se aplică numai dacă toți cei trei coeficienți dintr-o ecuație pătratică sunt o, b, c când sunt adăugate, dau 0. De exemplu, am avut ecuația 2x 2 + 3x – 5 = 0 . Adunând toți cei trei coeficienți, obținem 2 + 3 – 5, care este egal cu 0. În acest caz, nu puteți număra discriminantul și nu puteți aplica formula rădăcinii. În schimb, puteți scrie asta imediat
x_1=1,
x_2=\frac(c)(a)=\frac(-5)(2)=-2,5
(rețineți că am obținut același rezultat în formula rădăcinilor).
Oamenii se întreabă adesea dacă x_1=1 va funcționa întotdeauna? Da, oricând o + b + c = 0.
Life hack al doilea. Dacă o + c = b, atunci x_1=-1, x_2=-\frac(c)(a) .
Să fie dată ecuația 5x 2 + 6x + 1 = 0 . În ea o = 5, b = 6, c= 1. Dacă adunăm coeficienții „extremi”. oŞi c, obținem 5+1 = 6, care este exact egal cu coeficientul „mediu”. b. Asta înseamnă că ne putem descurca fără un discriminant! Notăm imediat:
x_1=-1,
x_2=-\frac(c)(a)=\frac(-1)(5)=-0,2
Life hack al treilea(teorema inversă cu teorema lui Vieta). Dacă o= 1, atunci
Luați în considerare ecuația x 2 – 12x+ 35 = 0. Conține a = 1, b = -12, c = 35. Nu se potrivește nici primului, nici celui de-al doilea life hack - condițiile nu sunt îndeplinite. Dacă se potrivește cu primul sau al doilea, atunci ne-am descurca fără teorema lui Vieta.
Însăși utilizarea teoremei lui Vieta implică înțelegerea unor tehnici utile.
Prima numire. Nu vă sfiați să scrieți sistemul de vizualizare în sine \begin(cases) x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end(cases), care se obține folosind teorema lui Vieta. Nu este nevoie să încerci cu orice preț să rezolvi ecuația absolut oral, fără note scrise, așa cum fac „utilizatorii avansați”.
Pentru ecuația noastră x 2 – 12x+ 35 = 0 acest sistem are forma
\begin(cases) x_1+x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end(cases)
Acum trebuie să selectăm verbal numerele x_1 și x_2 care satisfac sistemul nostru, adică. totalul este 12, iar atunci când este înmulțit este 35.
Aşa, a doua numire este că trebuie să începeți selecția nu cu suma, ci cu produsul. Să ne uităm la a doua ecuație a sistemului și să ne întrebăm: ce numere, înmulțite, dau 35? Dacă totul este în ordine cu tabla înmulțirii, atunci răspunsul vine imediat în minte: 7 și 5. Și abia acum să înlocuim aceste numere în prima ecuație: vom avea 7 + 5 = 12, care este adevărata egalitate. Deci, numerele 7 și 5 satisfac ambele ecuații, așa că scriem imediat:
x_1 = 7, x_2 = 5
A treia recepție este că, dacă numerele nu pot fi găsite rapid (în 15-20 de secunde), atunci, indiferent de motiv, trebuie să calculați discriminantul și să utilizați formula rădăcină. De ce? Pentru că rădăcinile pot să nu fie găsite dacă ecuația nu le are deloc (discriminantul este negativ), sau rădăcinile sunt numere care nu sunt întregi.
Exercitii de instruire pentru rezolvarea ecuatiilor patratice
Practica! Încercați să rezolvați următoarele ecuații. Priviți fiecare ecuație în următoarea ordine:
- dacă ecuația se potrivește cu primul life hack (când a + b + c = 0), atunci o rezolvăm cu ajutorul ei;
- dacă ecuația se potrivește celui de-al doilea life hack (când a + c = b), atunci o rezolvăm cu ajutorul ei;
- dacă ecuația se potrivește celui de-al treilea life hack (teorema lui Viete), o rezolvăm cu ajutorul ei;
- și numai în cazul cel mai extrem - dacă nimic nu se potrivește și/sau nu a fost posibil să se rezolve folosind teorema lui Vieta - se calculează discriminantul. Din nou: discriminant – nu în ultimul rând!
- Rezolvați ecuația x 2 + 3x + 2 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVezi lifehack doi
În această ecuație, a = 1, b = 3, c = 2. Astfel, a + c = b, de unde x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(2)(1)=-2.
Răspuns: -1, -2. - Rezolvați ecuația x 2 + 8x – 9 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți mai întâi hack-ul de viață
În această ecuație, a = 1, b = 8, c = -9. Astfel, a + b + c = 0, de unde x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(-9)(1)=-9.
Răspuns: 1, -9. - Rezolvați ecuația 15x 2 – 11x + 2 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulAceastă ecuație (singura din întreaga listă) nu se încadrează în niciunul dintre hack-urile de viață, așa că o vom rezolva folosind formula rădăcină:
D=b^2-4ac = (-11)^2 – 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 – 120 = 1.x_1=\frac(11-1)(2 \cdot 15)=\frac(10)(30)=\frac(1)(3)x_2= \frac(11+1)(2 \cdot 15)=\frac(12)(30)=\frac(2)(5) Răspuns: \frac(1)(3), \frac(2)(5). - Rezolvați ecuația x 2 + 9x + 20 = 0
Vizualizați soluția și răspunsul
\begin(cases) x_1+x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end(cases)
Prin selecție stabilim că x_1 = -4, x_2 = -5.
Răspuns: -4, -5. - Rezolvați ecuația x 2 – 7x – 30 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți hack-ul trei (teorema lui Vieta)
În această ecuație a = 1, deci putem scrie asta \begin(cases) x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end(cases)
Prin selecție stabilim că x_1 = 10, x_2 = -3.
Răspuns: 10, -3. - Rezolvați ecuația x 2 – 19x + 18 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți mai întâi hack-ul de viață
În această ecuație, a = 1, b = -19, c = 18. Astfel, a + b + c = 0, de unde x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(18)(1)=18.
Răspuns: 1, 18. - Rezolvați ecuația x 2 + 7x + 6 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVezi lifehack doi
În această ecuație, a = 1, b = 7, c = 6. Astfel, a + c = b, de unde x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(6)(1)=-6.
Răspuns: -1, -6. - Rezolvați ecuația x 2 – 8x + 12 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți hack-ul trei (teorema lui Vieta)
În această ecuație a = 1, deci putem scrie asta \begin(cases) x_1+x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 12 \end(cases)
Prin selecție stabilim că x_1 = 6, x_2 = 2.
Răspuns: 6, 2. - Rezolvați ecuația x 2 – x – 6 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți hack-ul trei (teorema lui Vieta)
În această ecuație a = 1, deci putem scrie asta \begin(cases) x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end(cases)
Prin selecție stabilim că x_1 = 3, x_2 = -2.
Răspuns: 3, -2. - Rezolvați ecuația x 2 – 15x – 16 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVezi lifehack doi
În această ecuație, a = 1, b = -15, c = -16. Astfel, a + c = b, de unde x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(-16)(1)=16.
Răspuns: -1, 16. - Rezolvați ecuația x 2 + 11x – 12 = 0
Vizualizați soluția și răspunsulVedeți mai întâi hack-ul de viață
În această ecuație, a = 1, b = 11, c = -12. Astfel, a + b + c = 0, de unde x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(-12)(1)=-12.
Răspuns: 1, -12.
Sper că, după ce ați studiat acest articol, veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.
Folosind discriminantul, se rezolvă doar ecuații pătratice complete pentru a rezolva ecuații pătratice incomplete, se folosesc alte metode, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.
Ce ecuații pătratice se numesc complete? Acest ecuații de forma ax 2 + b x + c = 0, unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică completă, trebuie să calculăm discriminantul D.
D = b 2 – 4ac.
În funcție de valoarea discriminantului, vom nota răspunsul.
Dacă discriminantul este un număr negativ (D< 0),то корней нет.
Dacă discriminantul este zero, atunci x = (-b)/2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D > 0),
atunci x 1 = (-b - √D)/2a și x 2 = (-b + √D)/2a.
De exemplu. Rezolvați ecuația x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Raspuns: 2.
Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Răspuns: fără rădăcini.
Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Răspuns: – 3,5; 1.
Deci, să ne imaginăm soluția ecuațiilor pătratice complete folosind diagrama din figura 1.
Folosind aceste formule puteți rezolva orice ecuație pătratică completă. Trebuie doar să fii atent ecuația a fost scrisă ca un polinom al formei standard
O x 2 + bx + c, altfel poți să faci o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 = 0, puteți decide în mod eronat că
a = 1, b = 3 și c = 2. Atunci
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (Vezi soluția la exemplul 2 de mai sus).
Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca un polinom al formei standard, mai întâi trebuie scrisă ecuația pătratică completă ca un polinom al formei standard (monomul cu cel mai mare exponent ar trebui să fie primul, adică O x 2 , apoi cu mai putin – bxși apoi membru gratuit Cu.
Când rezolvați ecuația pătratică redusă și o ecuație pătratică cu un coeficient par în al doilea termen, puteți utiliza alte formule. Să facem cunoștință cu aceste formule. Dacă într-o ecuație pătratică completă, al doilea termen are un coeficient par (b = 2k), atunci puteți rezolva ecuația folosind formulele prezentate în diagrama din figura 2.
O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 egal cu unu iar ecuația va lua forma x 2 + px + q = 0. O astfel de ecuație poate fi dată pentru rezolvare sau poate fi obținută prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficient O, stând la x 2 .
Figura 3 prezintă o diagramă pentru rezolvarea pătratului redus 
ecuații. Să ne uităm la un exemplu de aplicare a formulelor discutate în acest articol.
Exemplu. Rezolvați ecuația
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în diagrama din figura 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Răspuns: –1 – √3; –1 + √3
Puteți observa că coeficientul lui x din această ecuație număr par, adică b = 6 sau b = 2k, de unde k = 3. Atunci să încercăm să rezolvăm ecuația folosind formulele date în diagrama figurii D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Răspuns: –1 – √3; –1 + √3. Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt divizibili cu 3 și efectuând împărțirea, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x – 2 = 0 Rezolvați această ecuație folosind formulele pentru ecuația pătratică redusă. 
ecuații figura 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Răspuns: –1 – √3; –1 + √3.
După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind formule diferite, am primit același răspuns. Prin urmare, stăpânind temeinic formulele prezentate în diagrama din figura 1, veți putea întotdeauna să rezolvați orice ecuație pătratică completă.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Acest subiect poate părea complicat la început din cauza multor formule nu atât de simple. Nu numai că ecuațiile pătratice în sine au notații lungi, dar rădăcinile se găsesc și prin discriminant. În total, se obțin trei formule noi. Nu foarte ușor de reținut. Acest lucru este posibil numai după rezolvarea frecventă a unor astfel de ecuații. Atunci toate formulele vor fi reținute de la sine.
Vedere generală a unei ecuații pătratice
Aici propunem notarea lor explicită, când se scrie mai întâi gradul cel mai mare, apoi în ordine descrescătoare. Există adesea situații în care termenii sunt inconsecvenți. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.
Să introducem o notație. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.
Dacă acceptăm aceste notații, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea notație.
Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Fie ca această formulă să fie desemnată numărul unu.
Când este dată o ecuație, nu este clar câte rădăcini vor fi în răspuns. Pentru că una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:
- soluția va avea două rădăcini;
- răspunsul va fi un număr;
- ecuația nu va avea deloc rădăcini.
Și până la finalizarea deciziei, este greu de înțeles care opțiune va apărea într-un anumit caz.
Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice
Pot exista diferite intrări în sarcini. Ele nu vor arăta întotdeauna ca formula ecuației pătratice generale. Uneori îi vor lipsi niște termeni. Ce s-a scris mai sus este ecuație completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din el, obțineți altceva. Aceste înregistrări sunt numite și ecuații pătratice, doar incomplete.
Mai mult, numai termenii cu coeficienții „b” și „c” pot dispărea. Numărul „a” nu poate fi egal cu zero în nicio circumstanță. Pentru că în acest caz formula se transformă într-o ecuație liniară. Formulele pentru forma incompletă a ecuațiilor vor fi următoarele:
Deci, există doar două tipuri, pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Prima formulă să fie numărul doi, iar a doua - trei.
Discriminarea și dependența numărului de rădăcini de valoarea acestuia
Trebuie să cunoașteți acest număr pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculată, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să folosiți egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.
După înlocuirea valorilor coeficientului în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. Dacă numărul este negativ, nu vor exista rădăcini ale ecuației pătratice. Dacă este egal cu zero, va exista un singur răspuns.
Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?
De fapt, luarea în considerare a acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești un discriminant. După ce se stabilește că există rădăcini ale ecuației pătratice și numărul acestora este cunoscut, trebuie să utilizați formule pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați următoarea formulă.
Deoarece conține un semn „±”, vor exista două valori. Expresia de sub semnul rădăcinii pătrate este discriminantul. Prin urmare, formula poate fi rescrisă diferit.
Formula numărul cinci. Din aceeași înregistrare este clar că dacă discriminantul este egal cu zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.
Dacă rezolvarea ecuațiilor pătratice nu a fost încă elaborată, atunci este mai bine să notați valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu, acest moment nu va crea dificultăți. Dar la început există confuzie.
Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?
Totul este mult mai simplu aici. Nici măcar nu este nevoie de formule suplimentare. Iar cele care au fost deja notate pentru discriminant și necunoscut nu vor fi necesare.
Să luăm în considerare mai întâi ecuație incompletă la numărul doi. În această egalitate, este necesar să scoateți cantitatea necunoscută din paranteze și să rezolvați ecuația liniară, care va rămâne între paranteze. Răspunsul va avea două rădăcini. Prima este neapărat egală cu zero, deoarece există un multiplicator format din variabila însăși. Al doilea se va obține prin rezolvarea unei ecuații liniare.
Ecuația incompletă numărul trei este rezolvată prin mutarea numărului din partea stângă a egalității la dreapta. Apoi, trebuie să împărțiți cu coeficientul în fața necunoscutului. Tot ce rămâne este să extragi rădăcina pătrată și să nu uiți să o notezi de două ori cu semne opuse.
Mai jos sunt câteva acțiuni care vă vor ajuta să învățați cum să rezolvați tot felul de egalități care se transformă în ecuații pătratice. Ele vor ajuta elevul să evite greșelile din cauza neatenției. Aceste neajunsuri pot cauza note slabe atunci când studiezi subiectul extins „Ecuații cadrate (clasa a VIII-a).” Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui efectuate în mod constant. Pentru că va apărea o abilitate stabilă.
- Mai întâi trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică, mai întâi termenul cu cel mai mare grad al variabilei, apoi - fără un grad, și ultimul - doar un număr.
- Dacă înaintea coeficientului „a apare un minus”, poate complica munca unui începător care studiază ecuațiile pătratice. Este mai bine să scapi de el. În acest scop, toată egalitatea trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii vor schimba semnul invers.
- Se recomandă să scăpați de fracții în același mod. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul corespunzător, astfel încât numitorii să se anuleze.
Exemple
Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Prima ecuație: x 2 − 7x = 0. Este incompletă, deci se rezolvă așa cum este descris pentru formula numărul doi.
După ce o scoateți din paranteze, rezultă: x (x - 7) = 0.
Prima rădăcină ia valoarea: x 1 = 0. A doua se va găsi din ecuație liniară: x - 7 = 0. Este ușor de observat că x 2 = 7.
A doua ecuație: 5x 2 + 30 = 0. Din nou incompletă. Doar că se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.
După ce mutați 30 în partea dreaptă a ecuației: 5x 2 = 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Rezultă: x 2 = 6. Răspunsurile vor fi numerele: x 1 = √6, x 2 = - √6.
A treia ecuație: 15 − 2х − x 2 = 0. Aici și mai departe, rezolvarea ecuațiilor pătratice va începe cu rescrierea lor în vedere standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Acum este timpul să folosiți al doilea sfaturi utileși înmulțiți totul cu minus unu. Se dovedește x 2 + 2x - 15 = 0. Folosind a patra formulă, trebuie să calculați discriminantul: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Este un număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, reiese că ecuația are două rădăcini. Ele trebuie calculate folosind a cincea formulă. Rezultă că x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Atunci x 1 = 3, x 2 = - 5.
A patra ecuație x 2 + 8 + 3x = 0 se transformă în aceasta: x 2 + 3x + 8 = 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.
A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 = 0 ar trebui rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 = 0. După aplicarea formulei discriminantului, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o singură rădăcină, și anume: x = -12/ (2 * 1) = -6.
A șasea ecuație (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) necesită transformări, care constau în faptul că trebuie să aduci termeni similari, deschizând mai întâi parantezele. În locul primei va exista următoarea expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această intrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără termeni similari, ecuația va lua forma: x 2 - x = 0. A devenit incomplet . Ceva similar cu asta a fost deja discutat puțin mai sus. Rădăcinile acestuia vor fi numerele 0 și 1.