Cum să găsiți cea mai mare sau cea mai mică înălțime a unui triunghi? Cu cât este mai mică înălțimea triunghiului, cu atât este mai mare înălțimea atrasă de el. Adică, cea mai mare dintre altitudinile unui triunghi este cea trasă de latura sa cea mai scurtă. - cel trasat de cea mai mare latură a triunghiului.
Pentru a afla cea mai mare înălțime a unui triunghi , putem împărți aria triunghiului la lungimea laturii pe care este trasă această înălțime (adică la lungimea celei mai mici laturi a triunghiului).
În consecință, d Pentru a afla cea mai mică înălțime a unui triunghi Puteți împărți aria unui triunghi la lungimea laturii sale celei mai lungi.
Sarcina 1.
Aflați cea mai mică înălțime a unui triunghi ale cărui laturi sunt de 7 cm, 8 cm și 9 cm.
Dat:
AC=7 cm, AB=8 cm, BC=9 cm.
Aflați: cea mai mică înălțime a triunghiului.
Soluţie:
Cea mai mică altitudine a unui triunghi este cea trasă de latura sa cea mai lungă. Aceasta înseamnă că trebuie să găsim înălțimea AF trasată pe latura BC.
Pentru comoditatea notării, introducem notația
BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.
Înălțimea unui triunghi este egală cu câtul de două ori aria triunghiului împărțit la latura pe care este trasă această înălțime. poate fi găsit folosind formula lui Heron. De aceea
Calculam:
Răspuns:
Sarcina 2.
Aflați cea mai lungă latură a unui triunghi cu laturile de 1 cm, 25 cm și 30 cm.
Dat:
AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.
Găsi:
cea mai mare altitudine a triunghiului ABC.
Soluţie:
Cea mai mare înălțime a unui triunghi este trasă de latura sa cea mai scurtă.
Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți înălțimea CD trasată pe latura AB.
Pentru comoditate, să denotăm
Pentru a rezolva multe probleme geometrice trebuie să găsiți înălțimea cifra dată. Aceste sarcini au o semnificație practică. Atunci când se efectuează lucrări de construcție, determinarea înălțimii ajută la calcularea cantității necesare de materiale, precum și la determinarea cu exactitate a pantelor și deschiderilor. Adesea, pentru a crea modele, trebuie să aveți o idee despre proprietăți
Pentru mulți oameni, în ciuda note bune La școală, atunci când construiești figuri geometrice obișnuite, se pune întrebarea cum să găsești înălțimea unui triunghi sau paralelogram. Și este cel mai dificil. Acest lucru se datorează faptului că un triunghi poate fi acut, obtuz, isoscel sau drept. Fiecare dintre ele are propriile reguli de construcție și calcul.
Cum să găsiți înălțimea unui triunghi în care toate unghiurile sunt acute, grafic
Dacă toate unghiurile unui triunghi sunt acute (fiecare unghi din triunghi este mai mic de 90 de grade), atunci pentru a găsi înălțimea trebuie să faceți următoarele.
- Folosind parametrii dați, construim un triunghi.
- Să introducem o notație. A, B și C vor fi vârfurile figurii. Unghiurile corespunzătoare fiecărui vârf sunt α, β, γ. Laturile opuse acestor unghiuri sunt a, b, c.
- Altitudinea este perpendiculara trasată de la vârful unghiului spre partea opusă a triunghiului. Pentru a găsi înălțimile unui triunghi, construim perpendiculare: de la vârful unghiului α la latura a, de la vârful unghiului β la latura b și așa mai departe.
- Să notăm punctul de intersecție al înălțimii și al laturii a ca H1, iar înălțimea însăși ca h1. Punctul de intersecție al înălțimii și al laturii b va fi H2, respectiv înălțimea, h2. Pentru latura c, înălțimea va fi h3 și punctul de intersecție va fi H3.
Înălțimea într-un triunghi cu un unghi obtuz
Acum să ne uităm la cum să găsim înălțimea unui triunghi dacă există unul (mai mult de 90 de grade). În acest caz, altitudinea trasată din unghiul obtuz va fi în interiorul triunghiului. Cele două înălțimi rămase vor fi în afara triunghiului.
Fie unghiurile α și β din triunghiul nostru să fie acute, iar unghiul γ obtuz. Apoi, pentru a construi înălțimile care provin de la unghiurile α și β, este necesar să se continue laturile triunghiului opus acestora pentru a desena perpendiculare.
Cum se află înălțimea unui triunghi isoscel
O astfel de figură are două laturi egale și o bază, în timp ce unghiurile de la bază sunt, de asemenea, egale între ele. Această egalitate a laturilor și unghiurilor face mai ușor să construiți înălțimi și să le calculați.
Mai întâi, să desenăm triunghiul în sine. Fie laturile b și c, precum și unghiurile β, γ, să fie egale, respectiv.
Acum să desenăm înălțimea de la vârful unghiului α, notând-o h1. Pentru această înălțime va fi atât o bisectoare, cât și o mediană.
Pentru fundație se poate face o singură construcție. De exemplu, trageți o mediană - un segment care leagă vârful unui triunghi isoscel și latura opusă, baza, pentru a găsi înălțimea și bisectoarea. Și pentru a calcula lungimea înălțimii pentru celelalte două laturi, puteți construi o singură înălțime. Astfel, pentru a determina grafic cum se calculează înălțimea unui triunghi isoscel, este suficient să găsim două din cele trei înălțimi.
Cum se află înălțimea unui triunghi dreptunghic
Pentru un triunghi dreptunghic, determinarea înălțimilor este mult mai ușoară decât pentru alții. Acest lucru se întâmplă deoarece picioarele în sine formează un unghi drept și, prin urmare, sunt înălțimi.
Pentru a construi a treia înălțime, ca de obicei, trageți o perpendiculară care leagă vârful unghi drept iar partea opusă. Ca urmare, pentru a crea un triunghi în acest caz, este necesară o singură construcție.
Aproape niciodată nu este posibil să determinați toți parametrii unui triunghi fără construcții suplimentare. Aceste construcții sunt caracteristici grafice unice ale unui triunghi, care ajută la determinarea dimensiunii laturilor și unghiurilor.
Definiţie
Una dintre aceste caracteristici este înălțimea triunghiului. Altitudinea este o perpendiculară trasată de la vârful unui triunghi spre latura sa opusă. Un vârf este unul dintre cele trei puncte care, împreună cu cele trei laturi, formează un triunghi.
Definiția înălțimii unui triunghi poate suna astfel: înălțimea este perpendiculara trasată de la vârful triunghiului la linia dreaptă care conține latura opusă.
Această definiție sună mai complicată, dar reflectă mai exact situația. Faptul este că într-un triunghi obtuz nu este posibil să se deseneze înălțimea în interiorul triunghiului. După cum se poate observa în figura 1, înălțimea în acest caz este exterioară. În plus, nu este o situație standard să construiești înălțimea într-un triunghi dreptunghic. În acest caz, două din cele trei altitudini ale triunghiului vor trece prin catete, iar a treia de la vârf la ipotenuză.
Orez. 1. Înălțimea unui triunghi obtuz.
De obicei, înălțimea unui triunghi este desemnată prin litera h. Înălțimea este indicată și în alte figuri.
Cum să afli înălțimea unui triunghi?
Există trei moduri standard de a găsi înălțimea unui triunghi:
Prin teorema lui Pitagora
Această metodă este utilizată pentru triunghiuri echilaterale și isoscele. Să analizăm soluția pentru un triunghi isoscel și apoi să spunem de ce aceeași soluție este valabilă pentru un triunghi echilateral.
Dat: triunghi isoscel ABC cu baza AC. AB=5, AC=8. Aflați înălțimea triunghiului.
Orez. 2. Desen pentru problema.
Pentru un triunghi isoscel, este important să știți care latură este baza. Aceasta determină laturile care trebuie să fie egale, precum și înălțimea la care acționează anumite proprietăți.
Proprietăți ale altitudinii unui triunghi isoscel desenat la bază:
- Înălțimea coincide cu mediana și bisectoarea
- Împarte baza în două părți egale.
Notăm înălțimea ca ВD. Vom găsi DC ca jumătate din bază, deoarece înălțimea punctului D împarte baza la jumătate. DC=4
Înălțimea este perpendiculară, deci BDC este triunghi dreptunghic, iar înălțimea lui VN este catetul acestui triunghi.
Să găsim înălțimea folosind teorema lui Pitagora: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$
Orice triunghi echilateral este isoscel, doar baza lui este egală cu laturile sale. Adică, puteți utiliza aceeași procedură.
Prin aria unui triunghi
Această metodă poate fi folosită pentru orice triunghi. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți aria triunghiului și latura în care este trasă înălțimea.
Înălțimile dintr-un triunghi nu sunt egale, așa că pentru latura corespunzătoare va fi posibil să se calculeze înălțimea corespunzătoare.
Formula ariei triunghiulare: $$S=(1\over2)*bh$$, unde b este latura triunghiului, a h este înălțimea trasă în această parte. Să exprimăm înălțimea din formula:
$$h=2*(S\peste b)$$
Dacă aria este 15, latura este 5, atunci înălțimea este $$h=2*(15\over5)=6$$
Prin funcţia trigonometrică
A treia metodă este potrivită dacă se cunosc latura și unghiul de la bază. Pentru a face acest lucru va trebui să utilizați funcția trigonometrică.
Orez. 3. Desen pentru problema.
Unghiul ВСН=300, iar latura BC=8. Mai avem același triunghi dreptunghic BCH. Să folosim sine. Sinusul este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, ceea ce înseamnă: BH/BC=cos BCH.
Unghiul este cunoscut, la fel ca și latura. Să exprimăm înălțimea triunghiului:
$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$
Valoarea cosinusului este luată în general din tabelele Bradis, dar valorile funcții trigonometrice pentru 30,45 și 60 de grade - numere tabelare.
Ce am învățat?
Am aflat care este înălțimea unui triunghi, ce înălțimi există și cum sunt desemnate. Mi-am dat seama sarcini tipiceși a notat trei formule pentru înălțimea unui triunghi.
Test pe tema
Evaluarea articolului
Evaluare medie: 4.6. Evaluări totale primite: 152.
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dumneavoastră e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
La rezolvarea diferitelor tipuri de probleme, atât de natură pur matematică, cât și aplicată (în special în construcții), este adesea necesară determinarea valorii înălțimii unei anumite figuri geometrice. Cum se calculează această valoare (înălțime) într-un triunghi?
Dacă combinăm 3 puncte în perechi care nu sunt situate pe o singură linie dreaptă, atunci figura rezultată va fi un triunghi. Înălțimea este partea unei linii drepte de la orice vârf al unei figuri care, atunci când se intersectează cu latura opusă, formează un unghi de 90°.
Aflați înălțimea unui triunghi scalen
Să determinăm valoarea înălțimii unui triunghi în cazul în care figura are unghiuri și laturi arbitrare.
Formula lui Heron
h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, unde
p – jumătate din perimetrul figurii, h(a) – un segment pe latura a, desenat în unghi drept față de acesta,
p=(a+b+c)/2 – calculul semiperimetrului.
Dacă există o zonă a figurii, puteți utiliza relația h(a)=2S/a pentru a determina înălțimea acesteia.
Funcții trigonometrice
Pentru a determina lungimea unui segment care formează un unghi drept atunci când se intersectează cu latura a, puteți folosi următoarele relații: dacă sunt cunoscute latura b și unghiul γ sau latura c și unghiul β, atunci h(a)=b*sinγ sau h(a)=c *sinβ.
Unde:
γ – unghiul dintre latura b și a,
β este unghiul dintre latura c și a.
Relația cu raza
Dacă triunghiul original este înscris într-un cerc, puteți utiliza raza unui astfel de cerc pentru a determina înălțimea. Centrul său este situat în punctul în care se intersectează toate cele 3 înălțimi (de la fiecare vârf) - ortocentrul, iar distanța de la acesta până la vârf (oricare) este raza.
Atunci h(a)=bc/2R, unde:
b, c – alte 2 laturi ale triunghiului,
R este raza cercului care circumscrie triunghiul.
Găsiți înălțimea într-un triunghi dreptunghic
În acest tip de figură geometrică, 2 laturi, atunci când se intersectează, formează un unghi drept - 90°. Prin urmare, dacă doriți să determinați valoarea înălțimii în ea, atunci trebuie să calculați fie dimensiunea unuia dintre picioare, fie dimensiunea segmentului care formează 90° cu ipotenuza. La desemnarea:
a, b – picioare,
c – ipotenuza,
h(c) – perpendicular pe ipotenuză.
Legume şi fructe calculele necesare se poate realiza folosind următoarele relații:
- Teorema lui Pitagora:
a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, deoarece S=ab/2, apoi h(c)=ab/c.
- Funcții trigonometrice:
a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.
Aflați înălțimea unui triunghi isoscel
Acest figură geometrică Se distinge prin prezența a două laturi de dimensiuni egale și a treia - baza. Pentru a determina înălțimea trasă pe a treia latură, distinctă, teorema lui Pitagora vine în ajutor. Cu notații
a - partea,
c – baza,
h(c) este un segment la c la un unghi de 90°, atunci h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).
