În lecțiile anterioare, am analizat două moduri de factorizare a unui polinom: scoaterea din paranteze a factorului comun și metoda grupării.
În această lecție ne vom uita la un alt mod de a factoriza un polinom folosind formule de înmulțire prescurtate.
Vă recomandăm să scrieți fiecare formulă de cel puțin 12 ori. Pentru o memorare mai bună, notați toate formulele de înmulțire abreviate pe o mică foaie de cheat.
Să ne amintim cum arată diferența dintre formula cuburilor.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Diferența dintre formula cuburilor nu este foarte ușor de reținut, așa că vă recomandăm să folosiți o metodă specială pentru a o aminti.
Este important să înțelegeți că orice formulă de înmulțire prescurtată funcționează și în reversul.
(a - b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Să ne uităm la un exemplu. Este necesar să se factorizeze diferența de cuburi.
Vă rugăm să rețineți că „27a 3” este „(3a) 3”, ceea ce înseamnă că pentru formula diferenței cuburilor, în loc de „a” folosim „3a”.
Folosim formula diferenței cuburilor. În locul „a 3” avem „27a 3”, iar în locul „b 3”, ca în formulă, există „b 3”.
Aplicând diferența de cuburi în direcția opusă
Să ne uităm la un alt exemplu. Trebuie să convertiți produsul polinoamelor în diferența de cuburi folosind formula de înmulțire abreviată.
Vă rugăm să rețineți că produsul polinoamelor „(x − 1)(x 2 + x + 1)” seamănă cu partea dreaptă a diferenței cuburilor formulei „”, numai că în loc de „a” există „x”, iar pe loc din „b” există „1” .
Pentru „(x − 1)(x 2 + x + 1)” folosim formula diferenței de cuburi în direcția opusă.
Să ne uităm la un exemplu mai complicat. Este necesar să se simplifice produsul polinoamelor.
Dacă comparăm „(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)” cu partea dreaptă a formulei diferenței cuburilor
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, atunci puteți înțelege că în locul lui „a” din prima paranteză există „y 2”, iar în locul lui „b” există „1”.
Formule de înmulțire prescurtate.
Studierea formulelor de înmulțire prescurtate: pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii; diferența de pătrate a două expresii; cubul sumei și cubul diferenței a două expresii; sume și diferențe de cuburi a două expresii.
Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.
Pentru a simplifica expresiile, factorizați polinoamele, reduceți polinoamele la vedere standard se folosesc formule de multiplicare abreviate. Formulele de multiplicare abreviate trebuie cunoscute pe de rost.
Fie a, b R. Atunci:
1. Pătratul sumei a două expresii este egal cu pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Pătratul diferenței a două expresii este egal cu pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Diferența de pătrate două expresii este egală cu produsul diferenței acestor expresii și suma lor.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Cubul sumei două expresii este egal cu cubul primei expresii plus triplul produsului pătratului primei expresii și al doilea plus triplul produsului primei expresii și pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresii.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Cub de diferență două expresii este egală cu cubul primei expresii minus triplul produsului pătratului primei expresii și al doilea plus triplul produsului primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul celei de-a doua expresii.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Suma de cuburi două expresii este egal cu produsul dintre suma primei și a doua expresii și pătratul incomplet al diferenței acestor expresii.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Diferența de cuburi două expresii este egal cu produsul diferenței primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al sumei acestor expresii.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.
Exemplul 1.
Calcula
a) Folosind formula pentru pătratul sumei a două expresii, avem
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Folosind formula pentru pătratul diferenței a două expresii, obținem
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Exemplul 2.
Calcula
Folosind formula pentru diferența pătratelor a două expresii, obținem
Exemplul 3.
Simplificați o expresie
(x - y) 2 + (x + y) 2
Să folosim formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Formule de înmulțire prescurtate într-un singur tabel:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Formulele sau regulile de înmulțire prescurtate sunt folosite în aritmetică, mai precis algebră, pentru a accelera procesul de evaluare a expresiilor algebrice mari. Formulele în sine sunt derivate din regulile existente în algebră pentru înmulțirea mai multor polinoame.
Utilizarea acestor formule oferă o soluție destul de rapidă la diverse probleme matematice, și ajută, de asemenea, la simplificarea expresiilor. Regulile transformărilor algebrice vă permit să efectuați niște manipulări cu expresii, în urma cărora puteți obține în partea stângă a egalității expresia din partea dreaptă, sau transforma partea dreaptă a egalității (pentru a obține expresia în partea stângă). după semnul egal).
Este convenabil să cunoașteți din memorie formulele folosite pentru înmulțirea prescurtată, deoarece acestea sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor și ecuațiilor. Mai jos sunt principalele formule incluse în această listă și numele acestora.
Patratul sumei
Pentru a calcula pătratul sumei, trebuie să găsiți suma constând din pătratul primului termen, de două ori produsul primului termen și al doilea și pătratul celui de-al doilea. Sub forma unei expresii, această regulă se scrie după cum urmează: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Diferența pătrată
Pentru a calcula pătratul diferenței, trebuie să calculați suma constând din pătratul primului număr, de două ori produsul primului număr și al doilea (luat cu semnul opus) și pătratul celui de-al doilea număr. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Diferența de pătrate
Formula pentru diferența a două numere la pătrat este egală cu produsul dintre suma acestor numere și diferența lor. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Cubul sumei
Pentru a calcula cubul sumei a doi termeni, trebuie să calculați suma constând din cubul primului termen, triplu produsul pătratului primului termen și al doilea, triplu produsul primului termen și al doilea. pătrat, iar cubul celui de-al doilea termen. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Suma de cuburi
Conform formulei, este egal cu produsul dintre suma acestor termeni și pătratul lor incomplet al diferenței. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul unei figuri formate prin adăugarea a două cuburi. Se cunosc doar dimensiunile laturilor lor.
Dacă valorile laterale sunt mici, atunci calculele sunt simple.
Dacă lungimile laturilor sunt exprimate în numere greoaie, atunci în acest caz este mai ușor să utilizați formula „Suma cuburilor”, care va simplifica foarte mult calculele.
Cub de diferență
Expresia pentru diferența cubică sună astfel: ca sumă a treia puteri a primului termen, se triplează produsul negativ al pătratului primului termen cu al doilea, se triplă produsul primului termen cu pătratul celui de-al doilea. iar cubul negativ al celui de-al doilea termen. In forma expresie matematică cubul diferenței arată astfel: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Diferența de cuburi
Formula diferenței cuburilor diferă de suma cuburilor printr-un singur semn. Astfel, diferența de cuburi este o formulă egală cu produsul dintre diferența acestor numere și pătratul lor incomplet al sumei. În formă, diferența de cuburi arată astfel: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul cifrei care va rămâne după scăderea din volumul cubului albastru figură volumetrică galben, care este și un cub. Se cunoaște doar dimensiunea laterală a cubului mic și mare.
Dacă valorile laterale sunt mici, atunci calculele sunt destul de simple. Și dacă lungimile laturilor sunt exprimate în numere semnificative, atunci merită să aplicați formula intitulată „Diferența cuburilor” (sau „Cubul diferenței”), care va simplifica foarte mult calculele.
Diferența de pătrate
Să derivăm formula pentru diferența de pătrate $a^2-b^2$.
Pentru a face acest lucru, amintiți-vă următoarea regulă:
Dacă adăugăm orice monom la expresie și scădem același monom, obținem identitatea corectă.
Să adăugăm la expresia noastră și să scădem din ea monomiul $ab$:
În total, obținem:
Adică, diferența dintre pătratele a două monomii este egală cu produsul dintre diferența lor și suma lor.
Exemplul 1
Prezentați ca produs $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]
Suma cuburilor
Să derivăm formula pentru suma cuburilor $a^3+b^3$.
Să luăm factorii comuni din paranteze:
Să scoatem $\left(a+b\right)$ din paranteze:
În total, obținem:
Adică, suma cuburilor a două monomii este egală cu produsul dintre suma lor și pătratul incomplet al diferenței lor.
Exemplul 2
Prezentați ca produs $(8x)^3+y^3$
Această expresie poate fi rescrisă după cum urmează:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Folosind formula diferenței pătratelor, obținem:
\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]
Diferența de cuburi
Să derivăm formula pentru diferența de cuburi $a^3-b^3$.
Pentru a face acest lucru, vom folosi aceeași regulă ca mai sus.
Să adăugăm la expresia noastră și să scădem din ea monomiile $a^2b\ și\ (ab)^2$:
Să luăm factorii comuni din paranteze:
Să scoatem $\left(a-b\right)$ din paranteze:
În total, obținem:
Adică, diferența cuburilor a două monomii este egală cu produsul diferenței lor cu pătratul incomplet al sumei lor.
Exemplul 3
Prezentați ca produs $(8x)^3-y^3$
Această expresie poate fi rescrisă după cum urmează:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Folosind formula diferenței pătratelor, obținem:
\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]
Exemplu de probleme folosind formule pentru diferența de pătrate și suma și diferența de cuburi
Exemplul 4
Luați în considerare.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Soluţie:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Aplicând formula diferenței pătratelor, obținem:
\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]
Să scriem această expresie sub forma:
Să aplicăm formula cuburilor:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Să scriem această expresie sub forma:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
Să aplicăm formula cuburilor:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\dreapta)\]