Corespunzător acestui număr: .
Modulul unui număr complex z este de obicei notat | z|
sau r.
Fie și să fie numere reale astfel încât un număr complex (notație obișnuită). Apoi
Fundația Wikimedia.
2010. Vedeți ce este „Modulul unui număr complex” în alte dicționare:
modulul unui număr complex - kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. modulul numărului complex vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. modulul unui număr complex, m pranc. module du nombre complex, m … Fizikos terminų žodynas
- (modul) Mărimea unui număr în termeni de distanță de la 0. Modulul, sau valoarea absolută a unui număr real x (notat cu |x|), este diferența dintre x și 0, indiferent de semn. Prin urmare, dacă x0, atunci |x|=x și dacă x 0, atunci |x|=–x... Dicționar economic
Pentru un număr complex, consultați Valoare absolută. Modulul de tranziție de la un sistem de logaritmi cu baza a la un sistem cu baza b este numărul 1/logab...
Dicţionar enciclopedic mare
Valoarea absolută sau modulul unui număr real sau complex x este distanța de la x la origine. Mai precis: Valoarea absolută a unui număr real x este un număr nenegativ, notat cu |x| și definit după cum urmează: ... ... Wikipedia Modul de matematică, 1) M. (sau valoarea absolută) a unui număr complex z = x + iy este numărul ═ (rădăcina este luată cu semnul plus). Când se reprezintă un număr complex z în formă trigonometrică z = r(cos j + i sin j), numărul real r este egal cu... ...
- (la matematică) o măsură de comparare a mărimilor omogene și de exprimare a uneia dintre ele folosind alta; m. se exprimă ca număr. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) un număr care se înmulțește... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse
I Modul (din latină modulus measure) în arhitectură, o unitate convențională adoptată pentru a coordona dimensiunile părților unei clădiri sau complex. În arhitectura diferitelor națiuni, în funcție de caracteristicile tehnologiei de construcție și de compoziția clădirilor din spatele M.... ... Marea Enciclopedie Sovietică
eu; m. [din lat. măsura modulului] 1. de ce. Specialist. O cantitate care o caracterizează l. proprietatea unui solid. M. compresie. M. elasticitate. 2. Matematică. Număr real, valoarea absolută a unui număr negativ sau pozitiv. M. număr complex. M... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse
Caracteristicile numerice ale oricărui matematic obiect. De obicei, valoarea lui M este un număr real nenegativ, un element care are anumite caracteristici. proprietăţi determinate de proprietăţile mulţimii de obiecte luate în considerare. Conceptul de M.... ... Enciclopedie matematică
Care reprezintă un număr complex dat $z=a+bi$ se numește modulul numărului complex dat.
Modulul unui număr complex dat se calculează folosind următoarea formulă:
Exemplul 1
Calculați modulul numerelor complexe date $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.
Calculăm modulul unui număr complex $z=a+bi$ folosind formula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.
Pentru numărul complex original $z_(1) =13$ obținem $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$
Pentru numărul complex original $\, z_(2) =4i$ obținem $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$
Pentru numărul complex original $\, z_(3) =4+3i$ obținem $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$
Definiția 2
Unghiul $\varphi $ format din direcția pozitivă a axei reale și vectorul rază $\overrightarrow(OM) $, care corespunde unui număr complex dat $z=a+bi$, se numește argumentul acestui număr și se notează cu $\arg z$.
Nota 1
Modulul și argumentul unui număr complex dat sunt utilizate în mod explicit atunci când se reprezintă un număr complex în formă trigonometrică sau exponențială:
- $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - formă trigonometrică;
- $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - formă exponențială.
Exemplul 2
Scrieţi un număr complex în forme trigonometrice şi exponenţiale, dat de următoarele date: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.
1) Înlocuiți datele $r=3;\varphi =\pi $ în formulele corespunzătoare și obțineți:
$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - formă trigonometrică
$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - formă exponențială.
2) Înlocuiți datele $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ în formulele corespunzătoare și obțineți:
$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - formă trigonometrică
$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - formă exponențială.
Exemplul 3
Determinați modulul și argumentul numerelor complexe date:
1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.
Vom găsi modulul și argumentul folosind formule pentru scrierea unui număr complex dat în forme trigonometrice și, respectiv, exponențiale
\ \
1) Pentru numărul complex original $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ obținem $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .
2) Pentru numărul complex inițial $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ avem obţine $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.
3) Pentru numărul complex inițial $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ obținem $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.
4) Pentru numărul complex original $z=13\cdot e^(i\pi ) $ obținem $r=13;\varphi =\pi $.
Argumentul $\varphi $ al unui număr complex dat $z=a+bi$ poate fi calculat folosind următoarele formule:
\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]
În practică, pentru a calcula valoarea argumentului unui număr complex dat $z=a+bi$, se utilizează de obicei formula:
$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a
sau rezolvarea unui sistem de ecuații
$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(array)\right $.
Exemplul 4
Calculați argumentul numerelor complexe date: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.
Deoarece $z=3$, atunci $a=3,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]
Deoarece $z=4i$, atunci $a=0,b=4$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]
Deoarece $z=1+i$, atunci $a=1,b=1$. Să calculăm argumentul numărului complex original prin rezolvarea sistemului (**):
\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) \end(matrice)\right .\]
Din cursul de trigonometrie se știe că $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ pentru unghiul corespunzător primului sfert de coordonate și egal cu $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.
Deoarece $z=-5$, atunci $a=-5,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]
Deoarece $z=-2i$, atunci $a=0,b=-2$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]
Nota 2
Numărul $z_(3)$ este reprezentat de punctul $(0;1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(2) $ conform Notei 3.
Numărul $z_(4)$ este reprezentat de punctul $(0;-1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ conform Notei 3.
Numărul $z_(5) $ este reprezentat de punctul $(2;2)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, adică. $r=2\sqrt(2) $, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(4) $ prin proprietatea unui triunghi dreptunghic.
Definiția 8.3 (1).
Lungimea |z| vectorul z = (x,y) se numește modulul numărului complex z = x + yi
Deoarece lungimea fiecărei laturi a triunghiului nu depășește suma lungimilor celorlalte două laturi ale sale, iar valoarea absolută a diferenței dintre lungimile celor două laturi ale triunghiului nu este mai mică decât lungimea celei de-a treia laturi. , atunci pentru oricare două numere complexe z 1 și z 2 inegalitățile sunt valabile
Definiția 8.3 (2).
Argumentul numărului complex. Dacă φ este unghiul format dintr-un vector z diferit de zero cu axa reală, atunci orice unghi de forma (φ + 2πn, unde n este un număr întreg, și numai un unghi de acest fel, va fi de asemenea un unghi format din vectorul z cu axa reală.
Mulțimea tuturor unghiurilor formată de vectorul diferit de zero z = = (x, y) cu axa reală se numește argumentul numărului complex z = x + yi și se notează cu arg z. Fiecare element al acestei mulțimi se numește valoarea argumentului numărului z (Fig. 8.3(1)).
Orez. 8.3(1).
Deoarece un vector diferit de zero al unui plan este determinat în mod unic de lungimea sa și de unghiul pe care îl formează cu axa x, atunci două numere complexe diferite de zero sunt egale dacă și numai dacă valorile lor absolute și argumentele sunt egale.
Dacă, de exemplu, condiția 0≤φ este impusă valorilor argumentului φ al numărului z<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.
Definiția 8.3.(3)
Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex. Părțile reale și imaginare ale unui număr complex z = x + уi ≠ 0 sunt exprimate prin modulul său r= |z| iar argumentul φ după cum urmează (din definiția sinusului și cosinusului):
Partea dreaptă a acestei egalități se numește forma trigonometrică de scriere a numărului complex z. O vom folosi și pentru z = 0; în acest caz, r = 0, iar φ poate lua orice valoare - argumentul numărului 0 este nedefinit. Deci, fiecare număr complex poate fi scris în formă trigonometrică.
De asemenea, este clar că dacă numărul complex z este scris sub forma
atunci numărul r este modulul său, deoarece
Și φ este una dintre valorile argumentului său
Forma trigonometrică de scriere a numerelor complexe poate fi convenabilă de utilizat atunci când înmulțiți numere complexe, vă permite să aflați semnificația geometrică a produsului numerelor complexe;
Să găsim formule pentru înmulțirea și împărțirea numerelor complexe în formă trigonometrică. Dacă
apoi conform regulii înmulțirii numerelor complexe (folosind formulele pentru sinus și cosinus ale sumei)
Astfel, la înmulțirea numerelor complexe, valorile lor absolute sunt înmulțite, iar argumentele sunt adăugate:
Aplicând această formulă succesiv la n numere complexe, obținem
Dacă toate n numere sunt egale, obținem
Unde pentru
funcţionare
Prin urmare, pentru un număr complex a cărui valoare absolută este 1 (prin urmare, are forma
Această egalitate se numește formulele lui Moivre
Cu alte cuvinte, la împărțirea numerelor complexe, modulele lor sunt împărțite,
iar argumentele se scad.
Exemplele 8.3 (1).
Desenați pe planul complex C o mulțime de puncte care îndeplinesc următoarele condiții:
