Aceste proprietăți sunt folosite pentru a transforma integrala pentru a o reduce la una dintre integralele elementare și pentru a efectua un calcul suplimentar.
1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:
2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:
3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:
4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
În plus, a ≠ 0
5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:
6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:
Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:
Dacă, atunci
8. Proprietate:
Dacă, atunci
De fapt, această proprietate este caz special integrarea folosind metoda schimbării variabile, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.
Să ne uităm la un exemplu:
Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul de antiderivate și am obținut rezultatul.
Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și le poate găsi cu ușurință solutie detaliata pentru integrala ta.
Aceste proprietăți sunt folosite pentru a transforma integrala pentru a o reduce la una dintre integralele elementare și pentru a efectua un calcul suplimentar.
1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:
2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:
3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:
4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
În plus, a ≠ 0
5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:
6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:
Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:
Dacă, atunci
8. Proprietate:
Dacă, atunci
De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.
Să ne uităm la un exemplu:
Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul de antiderivate și am obținut rezultatul.
Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și va găsi cu ușurință o soluție detaliată pentru integrala dvs.
Acest articol vorbește în detaliu despre principalele proprietăți ale integralei definite. Ele sunt dovedite folosind conceptul de integrală Riemann și Darboux. Calculul unei integrale definite are loc datorită a 5 proprietăți. Cele rămase sunt folosite pentru a evalua diverse expresii.
Înainte de a trece la principalele proprietăți ale integralei definite, este necesar să ne asigurăm că a nu depășește b.
Proprietățile de bază ale integralei definite
Definiția 1Funcția y = f (x) definită la x = a este similară cu egalitatea justă ∫ a a f (x) d x = 0.
Dovada 1
Din aceasta vedem că valoarea integralei cu limite coincidente este egală cu zero. Aceasta este o consecință a integralei Riemann, deoarece fiecare sumă integrală σ pentru orice partiție pe intervalul [ a ; a ] și orice alegere de puncte ζ i este egală cu zero, deoarece x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , ceea ce înseamnă că găsim că limita funcțiilor integrale este zero.
Definiția 2
Pentru o funcţie care este integrabilă pe intervalul [ a ; b ] , condiția ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x este îndeplinită.
Dovada 2
Cu alte cuvinte, dacă schimbați limitele superioare și inferioare de integrare, valoarea integralei se va schimba la valoarea opusă. Această proprietate este preluată din integrala Riemann. Cu toate acestea, numerotarea partiției segmentului începe de la punctul x = b.
Definiția 3
∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x se aplică funcțiilor integrabile de tip y = f (x) și y = g (x) definite pe intervalul [ a ; b ] .
Dovada 3
Scrieți suma integrală a funcției y = f (x) ± g (x) pentru împărțirea în segmente cu o alegere dată de puncte ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g
unde σ f și σ g sunt sumele integrale ale funcțiilor y = f (x) și y = g (x) pentru împărțirea segmentului. După trecerea la limita la λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 obținem că lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .
Din definiția lui Riemann, această expresie este echivalentă.
Definiția 4
Extinderea factorului constant dincolo de semnul integralei definite. Funcție integrată din intervalul [a; b ] cu o valoare arbitrară k are o inegalitate justă de forma ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .
Dovada 4
Dovada proprietății integrale definite este similară cu cea anterioară:
σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x
Definiția 5
Dacă o funcție de forma y = f (x) este integrabilă pe un interval x cu a ∈ x, b ∈ x, obținem că ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x.
Dovada 5
Proprietatea este considerată valabilă pentru c ∈ a; b, pentru c ≤ a și c ≥ b. Dovada este similară cu proprietățile anterioare.
Definiția 6
Când o funcție poate fi integrabilă din segmentul [a; b ], atunci acest lucru este fezabil pentru orice segment intern c; d ∈ a; b.
Dovada 6
Dovada se bazează pe proprietatea Darboux: dacă sunt adăugate puncte la o partiție existentă a unui segment, atunci suma inferioară a Darboux nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.
Definiția 7
Când o funcție este integrabilă pe [a; b ] din f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pentru orice valoare x ∈ a ; b , atunci obținem că ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .
Proprietatea poate fi demonstrată folosind definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere de puncte de partiție a segmentului și puncte ζ i cu condiția ca f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 este nenegativă .
Dovada 7
Dacă funcţiile y = f (x) şi y = g (x) sunt integrabile pe intervalul [ a ; b ], atunci următoarele inegalități sunt considerate valide:
∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b
Datorită declarației, știm că integrarea este permisă. Acest corolar va fi folosit în demonstrarea altor proprietăți.
Definiția 8
Pentru o funcție integrabilă y = f (x) din intervalul [ a ; b ] avem o inegalitate justă de forma ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .
Dovada 8
Avem că - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Din proprietatea anterioară am constatat că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen și corespunde unei inegalități de forma - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Această dublă inegalitate poate fi scrisă sub altă formă: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .
Definiția 9
Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrate din intervalul [ a ; b ] pentru g (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ a ; b , obținem o inegalitate de forma m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , unde m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x).
Dovada 9
Dovada se face într-un mod similar. M și m sunt considerate a fi cele mai mari și cea mai mică valoare funcția y = f (x) definită din segmentul [ a ; b ] , atunci m ≤ f (x) ≤ M . Este necesar să se înmulțească inegalitatea dublă cu funcția y = g (x), care va da valoarea inegalității duble de forma m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Este necesar să-l integrăm pe intervalul [a; b ] , atunci obținem enunțul de demonstrat.
Consecinţă: Pentru g (x) = 1, inegalitatea ia forma m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .
Prima formulă medie
Definiția 10Pentru y = f (x) integrabil pe intervalul [ a ; b ] cu m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x) există un număr μ ∈ m; M, care se potrivește cu ∫ a b f (x) d x = μ · b - a.
Consecinţă: Când funcţia y = f (x) este continuă din intervalul [ a ; b ], atunci există un număr c ∈ a; b, care satisface egalitatea ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.
Prima formulă medie în formă generalizată
Definiția 11Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrabile din intervalul [ a ; b ] cu m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x) și g (x) > 0 pentru orice valoare x ∈ a ; b. De aici avem că există un număr μ ∈ m; M , care satisface egalitatea ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .
A doua formulă medie
Definiția 12Când funcţia y = f (x) este integrabilă din intervalul [ a ; b ], iar y = g (x) este monoton, atunci există un număr care c ∈ a; b , unde obținem o egalitate justă de forma ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?
Dacă singura utilizare pe care o știi pentru o integrală este să folosești o croșetată în formă de pictogramă integrală pentru a obține ceva util din locurile greu accesibile, atunci bine ai venit! Aflați cum să rezolvați cele mai simple și alte integrale și de ce nu vă puteți descurca fără ea la matematică.
Studiem conceptul « integrală »
Integrarea era cunoscută în trecut Egiptul antic. Bineînțeles că nu în formă modernă, dar totusi. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. S-au distins mai ales Newton Şi Leibniz , dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.
Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de o înțelegere de bază a elementelor de bază. analiză matematică. Avem deja informații despre , necesare înțelegerii integralelor, pe blogul nostru.
Integrală nedefinită
Să avem o funcție f(x) .
Funcție integrală nedefinită f(x) această funcție este numită F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .
Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți despre cum în articolul nostru.
Un antiderivat există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.
Exemplu simplu:
Pentru a nu calcula constant antiderivate functii elementare, este convenabil să le rezumați într-un tabel și să folosiți valori gata făcute.
Tabel complet de integrale pentru elevi
Integrală definită
Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei figurii, a masei corpului neomogen, a distanței parcurse la mișcare neuniformă cale și multe altele. Trebuie amintit că o integrală este o sumă infinită cantitate mare termeni infinitezimali.
Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții.
Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de graficul unei funcții? Folosind o integrală! Să împărțim trapezul curbiliniu, limitat de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinitezimale. În acest fel figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:
Punctele a și b se numesc limite de integrare.
« Integral »
Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la
Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechine
Proprietățile integralei nedefinite
Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile atunci când rezolvăm exemple.
- Derivata integralei este egala cu integrandul:
- Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:
- Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Acest lucru este valabil și pentru diferența:
Proprietățile unei integrale definite
- Linearitate:
- Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt schimbate:
- La orice puncte o, bŞi Cu:
Am aflat deja că o integrală definită este limita unei sume. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta există formula Newton-Leibniz:
Exemple de rezolvare a integralelor
Mai jos vom lua în considerare integrala nedefinită și exemple cu soluții. Vă sugerăm să vă dați seama de complexitatea soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.
Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesional pentru studenți și orice triplu sau integrală de linie pe o suprafață închisă o vei putea face.
Lasă funcția y = f(x) este definită pe intervalul [ o, b ], o < b. Să efectuăm următoarele operații:
1) hai sa ne despartim [ o, b] puncte o = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b pe n segmente parțiale [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];
2) în fiecare dintre segmentele parțiale [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, alegeți un punct arbitrar și calculați valoarea funcției în acest punct: f(z i ) ;
3) găsiți lucrările f(z i ) · Δ x i , unde este lungimea segmentului parțial [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;
4) hai sa ne impacam suma integrală funcții y = f(x) pe segmentul [ o, b ]:
CU punct geometric Din punct de vedere vizual, această sumă σ este suma ariilor dreptunghiurilor ale căror baze sunt segmente parțiale [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], iar înălțimile sunt egale f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) în consecință (Fig. 1). Să notăm prin λ lungimea celui mai lung segment parțial:
5) găsiți limita sumei integrale când λ → 0.
Definiţie. Dacă există o limită finită a sumei integrale (1) și aceasta nu depinde de metoda de împărțire a segmentului [ o, b] la segmente parțiale, nici din selecția punctelor z iîn ele, atunci această limită se numește integrală definită din functie y = f(x) pe segmentul [ o, b] și este notat
Astfel,
În acest caz, funcția f(x) se numește integrabil pe [ o, b]. Numerele oŞi b sunt numite, respectiv, mai mici și limite superioare integrare, f(x) – funcția integrand, f(x ) dx– expresie integrantă, x– variabila de integrare; segment [ o, b] se numește interval de integrare.
Teorema 1. Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b], atunci este integrabil pe acest interval.
Integrala definită cu aceleași limite de integrare este egală cu zero:
Dacă o > b, atunci, prin definiție, presupunem
2. Sensul geometric al integralei definite
Lasă pe segmentul [ o, b] este specificată o funcție continuă nenegativă y = f(x ) . Trapez curbiliniu este o figură mărginită mai sus de graficul unei funcții y = f(x), de jos - de-a lungul axei Ox, la stânga și la dreapta - linii drepte x = aŞi x = b(Fig. 2).
Integrală definită a unei funcții nenegative y = f(x) din punct de vedere geometric este egal cu aria unui trapez curbiliniu delimitat mai sus de graficul funcției y = f(x), stânga și dreapta – segmente de linie x = aŞi x = b, de jos - un segment al axei Ox.
3. Proprietăţile de bază ale integralei definite
1. Valoarea integralei definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare:
2. Factorul constant poate fi scos din semnul integralei definite:
3. Integrala definită a sumei algebrice a două funcții este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcții:
4.Dacă funcția y = f(x) este integrabil pe [ o, b] Și o < b < c, Asta
5. (teorema valorii medii). Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b], atunci pe acest segment există un punct astfel încât
4. Formula Newton–Leibniz
Teorema 2. Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b] Și F(x) este oricare dintre antiderivatele sale pe acest segment, atunci următoarea formulă este valabilă:
care se numeste Formula Newton-Leibniz. Diferenţă F(b) - F(o) se scrie de obicei după cum urmează:
unde simbolul se numește wildcard dublu.
Astfel, formula (2) poate fi scrisă astfel:
Exemplul 1. Calculați integrala
Soluţie. Pentru integrand f(x ) = x 2 o antiderivată arbitrară are forma
Deoarece orice antiderivată poate fi utilizată în formula Newton-Leibniz, pentru a calcula integrala luăm antiderivată care are cea mai simplă formă:
5. Schimbarea variabilei într-o integrală definită
Teorema 3. Lasă funcția y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b]. Dacă:
1) funcția x = φ ( t) și derivata sa φ "( t) sunt continue pentru ;
2) un set de valori ale funcției x = φ ( t) pentru este segmentul [ o, b ];
3) φ ( o) = o, φ ( b) = b, atunci formula este valabilă
care se numeste formula pentru schimbarea unei variabile într-o integrală definită .
Spre deosebire de integrala nedefinită, în acest caz nu este nevoie pentru a reveni la variabila de integrare originală - este suficient să găsiți noi limite de integrare α și β (pentru aceasta trebuie să rezolvați variabila t ecuații φ ( t) = oși φ ( t) = b).
În loc de înlocuire x = φ ( t) puteți folosi înlocuirea t = g(x). În acest caz, găsirea de noi limite de integrare asupra unei variabile t simplifică: α = g(o) , β = g(b) .
Exemplul 2. Calculați integrala
Soluţie. Să introducem o nouă variabilă folosind formula. Punând la pătrat ambele părți ale egalității, obținem 1 + x = t 2 , unde x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Găsim noi limite ale integrării. Pentru a face acest lucru, să înlocuim vechile limite în formulă x = 3 și x = 8. Obtinem: , de unde t= 2 și α = 2; , unde t= 3 și β = 3. Deci,
Exemplul 3. Calcula
Soluţie. Lasă u= jurnal x, Atunci , v = x. Conform formulei (4)