Integrarea fracțiilor simple. Integrarea fracțiilor raționale Integrarea fracțiilor simple exemple de soluții

Sunt luate în considerare exemple de integrare a funcțiilor raționale (fracții) cu soluții detaliate.

Conţinut

Vezi și: Rădăcinile unei ecuații pătratice

Aici oferim soluții detaliate la trei exemple de integrare a următoarelor fracții raționale:
, , .

Exemplul 1

Calculați integrala:
.

Aici, sub semnul integral există o funcție rațională, deoarece integrandul este o fracție de polinoame. Gradul polinom al numitorului ( 3 ) este mai mică decât gradul polinomului numărătorului ( 4 ). Prin urmare, mai întâi trebuie să selectați întreaga parte a fracției.

1. Să selectăm întreaga parte a fracției. Împărțiți x 4 prin x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

De aici
.

2. Să factorizăm numitorul fracției. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația cubică:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Să înlocuim x = 1 :
.

1 . 1 :

De aici
.
Împărțire cu x -
.
Rezolvarea unei ecuații pătratice.
Rădăcinile ecuației sunt: , .
.

3. Apoi

.

Să descompunem fracția în cea mai simplă formă.
.
Așa că am găsit:

Să ne integrăm.

Calculați integrala:
.

Exemplul 2 Aici numărătorul fracției este un polinom de grad zero ( 1 = x 0 0 < 3 ). Numitorul este un polinom de gradul trei. Din moment ce

1. , atunci fracția este corectă. Să-l împărțim în fracții simple.
.
Să factorizăm numitorul fracției. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația de gradul trei: 3 Să presupunem că are cel puțin o rădăcină întreagă. Atunci este un divizor al numărului
1, 3, -1, -3 .
Să înlocuim x = 1 :
.

(membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele: 1 Deci, am găsit o rădăcină x = .Împărțiți x 1 :

3 + 2 x - 3
.

pe x -
Aşa, Rezolvarea ecuației pătratice:.
x 2 + x + 3 = 0 Găsiți discriminantul: D =< 0 1 2 - 4 3 = -11
.

2.
.
.:
(2.1) .
Să înlocuim x = 1 Din moment ce D 1 = 0 ,
.

, atunci ecuația nu are rădăcini reale. Astfel, am obținut factorizarea numitorului: (2.1) (x - 1)(x 2 + x + 3) 0 :
.;
.

Atunci x - (2.1) Să înlocuim 2 :
;
x =;
.

3. Așa că am găsit:
(2.2) .
1 = 3 A - C

;
;
.

Să echivalăm cu 2 .

.
coeficienți pentru x Rezolvarea ecuației pătratice: 0 = A + B Pentru a calcula a doua integrală, izolăm derivata numitorului în numărător și reducem numitorul la suma pătratelor. Calculați I

Deoarece ecuația x (2.2) :
.

nu are rădăcini reale, atunci x

Calculați integrala:
.

2 + x + 3 > 0 3 . 4 Prin urmare, semnul modulului poate fi omis. 3 < 4 , atunci fracția este corectă. Prin urmare, poate fi descompus în fracții simple. Dar pentru a face acest lucru trebuie să factorizați numitorul.

1. Să factorizăm numitorul fracției. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația gradului al patrulea:
.
Să factorizăm numitorul fracției. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația de gradul trei: 2 Să presupunem că are cel puțin o rădăcină întreagă. Atunci este un divizor al numărului
1, 2, -1, -2 .
Să înlocuim x = -1 :
.

(membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele: -1 . (-1) = x + 1:

3 + 2 x - 3
.

Acum trebuie să rezolvăm ecuația de gradul trei:
.
Dacă presupunem că această ecuație are o rădăcină întreagă, atunci este un divizor al numărului 2 Să presupunem că are cel puțin o rădăcină întreagă. Atunci este un divizor al numărului
1, 2, -1, -2 .
Să înlocuim x = -1 :
.

Deci, am găsit o altă rădăcină x = -1 .
.

Ar fi posibil, ca și în cazul precedent, să împărțim polinomul la , dar vom grupa termenii: 2 + 2 = 0 Deoarece ecuația x
.

2. nu are rădăcini reale, atunci obținem factorizarea numitorului:
.
Să descompunem fracția în cea mai simplă formă. Cautam o extindere sub forma: Scăpăm de numitorul fracției, înmulțim cu:
(3.1) .
Să înlocuim x = -1 (x + 1) 2 (x 2 + 2) 1 = 0 ,
.

. (3.1) :

;

.
Să înlocuim x = -1 Apoi x + 1 = 0 :
;
; .

, atunci ecuația nu are rădăcini reale. Astfel, am obținut factorizarea numitorului: (3.1) (x - 1)(x 2 + x + 3) 0 :
Sa facem diferenta;
.

Atunci x - (3.1) Să înlocuim 3 :
;
și luați în considerare că x +;
.

0 = 2 A + 2 B + D
.

3. Așa că am găsit:

.

1 = B + C

Deci, am găsit descompunerea în fracții simple:

Conţinut

Vezi și: Vezi și:
Derivarea formulelor pentru calcularea integralelor celor mai simple, elementare, fracții de patru tipuri este dată. Integrale mai complexe, din fracții de al patrulea tip, sunt calculate folosind formula de reducere. Este luat în considerare un exemplu de integrare a unei fracțiuni de al patrulea tip.

Tabelul integralelor nedefinite
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Metode de calcul a integralelor nedefinite După cum se știe, orice funcție rațională a unei variabile x poate fi descompusă într-un polinom și cele mai simple fracții elementare. Există patru tipuri de fracții simple: Aici a, A, B, b, c - numere reale. Ecuația x

2 + bx + c = 0

nu are rădăcini reale.
,
Integrarea fracțiilor din primele două tipuri - 1 .

Integrarea primelor două fracții se face folosind următoarele formule din tabelul de integrale:

, n ≠
.

1. Integrarea fracțiilor de primul tip

Fracția din primul tip este redusă la o integrală de tabel prin substituția t = x - a:

.

2. Integrarea fracțiilor de al doilea tip

Fracția celui de-al doilea tip este redusă la o integrală de tabel prin aceeași substituție t = x - a:
.
3. Integrarea fracțiilor de al treilea tip

Să luăm în considerare integrala unei fracții de al treilea tip:

O vom calcula în doi pași. 3.1. Pasul 1. Selectați derivata numitorului din numărător Să izolăm derivata numitorului în numărătorul fracției. Să notăm: u = x 2 + bx + c.
;
.
Să diferențiem: u′ =
.
2 x + b

.
,
Apoi
.

Dar

Am omis semnul modulului deoarece .
.

Apoi:
,
Unde
3.2. Pasul 2. Calculați integrala cu A = 0, B=1 numere reale Acum calculăm integrala rămasă:

Aducem numitorul fracției la suma pătratelor:
,
.
.

Unde .
.

Considerăm că ecuația x

,
Unde

4. Integrarea fracțiilor de al patrulea tip

Și, în sfârșit, luați în considerare integrala unei fracții de al patrulea tip:
.
O calculăm în trei pași.

4.1) Selectați derivata numitorului în numărător:
.

4.2) Calculați integrala
.

4.3) Calculați integrale
,
folosind formula de reducere:
.

4.1. Pasul 1. Izolarea derivatei numitorului în numărător

Să izolăm derivata numitorului în numărător, așa cum am făcut în . Să notăm u = x 3.1. Pasul 1. Selectați derivata numitorului din numărător Să izolăm derivata numitorului în numărătorul fracției. Să notăm: u = x 2 + bx + c.
.

.
Să diferențiem: u′ =
.

În sfârșit avem:
.

4.2. Pasul 2. Calculați integrala cu n = 1

Calculați integrala
.
Calculul său este conturat în .

4.3. Pasul 3. Derivarea formulei de reducere

Acum luați în considerare integrala
.

Reducem trinomul pătratic la suma pătratelor:
.
Aici .
Să facem o înlocuire.
.
.

Efectuăm transformări și integrăm pe părți.

.

Înmulțiți cu 2(n - 1):
.
Să revenim la x și I n.
,
;
;
.

Deci, pentru I n avem formula de reducere:
.
Aplicând în mod consecvent această formulă, reducem integrala I n la I 1 .

Exemplu

Calculați integrala

1. Să izolăm derivata numitorului în numărător.
;
;

.
Aici
.

2. Calculăm integrala celei mai simple fracții.

.

3. Aplicam formula de reducere:

pentru integrală.
În cazul nostru b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. 2 Scriem această formulă pentru n = 3 :
;
.
De aici

.

În sfârșit avem:

.
și n =
.

1 = B + C

Aflați coeficientul pentru . Fracția se numește corecta

, dacă gradul cel mai înalt al numărătorului este mai mic decât gradul cel mai înalt al numitorului. Integrala unei fracții raționale propriu-zise are forma:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Formula de integrare a fracțiilor raționale depinde de rădăcinile polinomului din numitor. Dacă polinomul $ ax^2+bx+c $ are: Numai rădăcini complexe
, atunci este necesar să selectați un pătrat complet din acesta: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^2 \pm a^2) $$
Diferite rădăcini reale $ x_1 $ și $ x_2 $, atunci trebuie să extindeți integrala și să găsiți coeficienții nedeterminați $ A $ și $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$

O rădăcină multiplă $ x_1 $, apoi extindem integrala și găsim coeficienții nedeterminați $ A $ și $ B $ pentru următoarea formulă: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$ Dacă fracția este greşit , adică gradul cel mai înalt în numărător este mai mare sau egal cu gradul cel mai înalt al numitorului, apoi mai întâi trebuie redus la corecta

se formează împărțind polinomul de la numărător la polinomul de la numitor. În acest caz, formula pentru integrarea unei fracții raționale are forma:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Exemple de soluții
Aflați integrala fracției raționale: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$
Soluţie
Fracția este proprie și polinomul are doar rădăcini complexe. Prin urmare, selectăm un pătrat complet: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Îndoim un pătrat complet și îl plasăm sub semnul diferențial $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Folosind tabelul de integrale obtinem: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg \| \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg \| + C = \frac(1)(6) \ln \bigg \|\frac(x-8)(x-2) \bigg \| +C$$ Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom asigura soluție detaliată. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!
Răspuns
$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg \|\frac(x-8)(x-2) \bigg \| +C$$

Exemplul 2
Efectuați integrarea fracțiilor raționale: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$
Soluţie
Să rezolvăm ecuația pătratică: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Scriem rădăcinile: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Ținând cont de rădăcinile obținute, transformăm integrala: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Efectuăm expansiunea unei fracții raționale: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Echivalăm numărătorii și găsim coeficienții $ A $ și $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(cases) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Înlocuim coeficienții găsiți în integrală și o rezolvăm: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln \|x-1\| + \frac(4)(7) \ln \|x+6\| +C$$
Răspuns
$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln \|x-1\| + \frac(4)(7) \ln \|x+6\| +C$$

Materialul prezentat în această temă se bazează pe informațiile prezentate la tema „Fracțiuni raționale. Descompunerea fracțiilor raționale în fracții elementare (simple)”. Vă recomand cu căldură să treceți măcar peste acest subiect înainte de a trece la citire. a acestui material. În plus, vom avea nevoie de un tabel de integrale nedefinite.

Permiteți-mi să vă reamintesc câțiva termeni. Au fost discutate în subiectul corespunzător, așa că aici mă voi limita la o scurtă formulare.

Raportul a două polinoame $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ se numește funcție rațională sau fracție rațională. Fracția rațională se numește Fracția se numește, dacă $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется Dacă fracția este.

Fracțiile raționale elementare (simple) sunt fracții raționale de patru tipuri:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q)< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Notă (de dorit pentru o înțelegere mai completă a textului): show\hide

De ce este necesară condiția $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

De exemplu, pentru expresia $x^2+5x+10$ obținem: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Deoarece $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Apropo, pentru această verificare nu este deloc necesar ca coeficientul lui $x^2$ să fie egal cu 1. De exemplu, pentru $5x^2+7x-3=0$ obținem: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 $. Deoarece $D > 0$, expresia $5x^2+7x-3$ este factorizabilă.

Pot fi găsite exemple de fracții raționale (proprie și improprie), precum și exemple de descompunere a unei fracții raționale în fracții elementare. Aici ne vor interesa doar chestiunile legate de integrarea lor. Să începem cu integrarea fracțiilor elementare. Deci, fiecare dintre cele patru tipuri de fracții elementare de mai sus este ușor de integrat folosind formulele de mai jos. Permiteți-mi să vă reamintesc că la integrarea fracțiilor de tipurile (2) și (4), se presupune că $n=2,3,4,\ldots$. Formulele (3) și (4) necesită îndeplinirea condiției $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ecuație)

Pentru $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ se face înlocuirea $t=x+\frac(p)(2)$, după care intervalul rezultat este împărțit în două. Primul va fi calculat prin introducerea sub semnul diferenţial, iar al doilea va avea forma $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Această integrală este luată folosind relația de recurență

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\în N\end(ecuație)

Calculul unei astfel de integrale este discutat în exemplul nr. 7 (a se vedea partea a treia).

Schema de calcul a integralelor funcțiilor raționale (fracții raționale):

Dacă integrandul este elementar, atunci se aplică formulele (1)-(4).
Dacă integrandul nu este elementar, atunci reprezentați-l ca o sumă de fracții elementare și apoi integrați folosind formulele (1)-(4).

Algoritmul de mai sus pentru integrarea fracțiilor raționale are un avantaj incontestabil - este universal. Aceste. folosind acest algoritm puteți integra orice fracție rațională. De aceea aproape toate modificările variabilelor într-o integrală nedefinită (Euler, Cebyshev, substituție trigonometrică universală) se fac în așa fel încât după această modificare să obținem o fracție rațională sub interval. Și apoi aplicați algoritmul. Vom analiza aplicarea directă a acestui algoritm folosind exemple, după ce facem o mică notă.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

În principiu, această integrală este ușor de obținut fără aplicarea mecanică a formulei. Dacă scoatem constanta $7$ din semnul integral și luăm în considerare că $dx=d(x+9)$, obținem:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Pentru informații detaliate, vă recomand să vă uitați la subiect. Acesta explică în detaliu cum se rezolvă astfel de integrale. Apropo, formula este dovedită prin aceleași transformări care au fost aplicate în acest paragraf la rezolvarea ei „manual”.

2) Din nou, există două moduri: folosiți formula gata preparată sau faceți fără ea. Dacă aplicați formula, atunci ar trebui să țineți cont de faptul că va trebui eliminat coeficientul din fața lui $x$ (numărul 4). Pentru a face acest lucru, să scoatem pur și simplu aceste patru dintre paranteze:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Acum este timpul să aplicați formula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Puteți face fără a utiliza formula. Și chiar și fără a scoate constanta $4$ din paranteze. Dacă luăm în considerare că $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, obținem:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Explicații detaliate pentru găsirea unor astfel de integrale sunt date în subiectul „Integrare prin substituție (substituție sub semnul diferențial)”.

3) Trebuie să integrăm fracția $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Această fracție are structura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, unde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Cu toate acestea, pentru a vă asigura că aceasta este într-adevăr o fracțiune elementară a celui de-al treilea tip, trebuie să verificați dacă este îndeplinită condiția $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Să rezolvăm același exemplu, dar fără a folosi o formulă gata făcută. Să încercăm să izolăm derivata numitorului în numărător. Ce înseamnă acest lucru? Știm că $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Este expresia $2x+10$ pe care trebuie să o izolăm în numărător. Până acum numărătorul conține doar $4x+7$, dar aceasta nu va dura mult. Să aplicăm următoarea transformare la numărător:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Acum în numărător apare expresia necesară $2x+10$. Și integrala noastră poate fi rescrisă după cum urmează:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Să împărțim integrandu-ul în două. Ei bine, și, în consecință, integrala în sine este, de asemenea, „bifurcată”:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Să vorbim mai întâi despre prima integrală, adică. aproximativ $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Deoarece $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, atunci numărătorul integrandului conține diferența numitorului. Pe scurt, în schimb din expresia $( 2x+10)dx$ scriem $d(x^2+10x+34)$.

Acum să spunem câteva cuvinte despre a doua integrală. Să selectăm un pătrat complet la numitor: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. În plus, luăm în considerare $dx=d(x+5)$. Acum, suma integralelor pe care am obținut-o mai devreme poate fi rescrisă într-o formă ușor diferită:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Dacă facem înlocuirea $u=x^2+10x+34$ în prima integrală, atunci va lua forma $\int\frac(du)(u)$ și va lua usor de folosit a doua formulă din . În ceea ce privește integrala a doua, modificarea $u=x+5$ este fezabilă pentru aceasta, după care va lua forma $\int\frac(du)(u^2+9)$. Aceasta este cea mai pură a unsprezecea formulă din tabelul integralelor nedefinite. Deci, revenind la suma integralelor, avem:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Am primit același răspuns ca la aplicarea formulei, ceea ce, strict vorbind, nu este surprinzător. În general, formula este dovedită prin aceleași metode pe care le-am folosit pentru a găsi această integrală. Cred că cititorul atent poate avea o întrebare aici, așa că o voi formula:

Întrebarea nr. 1

Dacă aplicăm a doua formulă din tabelul de integrale nedefinite la integrala $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, atunci obținem următoarele:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

De ce nu a existat niciun modul în soluție?

Răspuns la întrebarea #1

Întrebarea este complet firească. Modulul lipsea doar pentru că expresia $x^2+10x+34$ pentru orice $x\în R$ este mai mare decât zero. Acest lucru este destul de ușor de arătat în mai multe moduri. De exemplu, deoarece $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ și $(x+5)^2 ≥ 0$, atunci $(x+5)^2+9 > 0$ . Puteți gândi diferit, fără a utiliza selecția unui pătrat complet. Deoarece $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ pentru orice $x\în R$ (dacă acest lanț logic este surprinzător, vă sfătuiesc să căutați metoda grafica solutii inegalități pătratice). În orice caz, deoarece $x^2+10x+34 > 0$, atunci $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, adică. În loc de un modul, puteți folosi paranteze obișnuite.

Toate punctele exemplului nr. 1 au fost rezolvate, nu mai rămâne decât să notăm răspunsul.

Răspuns:

$\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
$\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
$\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Exemplul nr. 2

Aflați integrala $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

La prima vedere, fracția integrandă $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ este foarte asemănătoare cu o fracție elementară de al treilea tip, adică. prin $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Se pare că singura diferență este coeficientul de $3$ în fața $x^2$, dar nu durează mult să eliminați coeficientul (să-l scoateți din paranteze). Cu toate acestea, această asemănare este evidentă. Pentru fracția $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ condiția $p^2-4q este obligatorie< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Coeficientul nostru înainte de $x^2$ nu este egal cu unu, prin urmare verificați condiția $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант ecuație pătratică$x^2+px+q=0$. Dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci expresia $x^2+px+q$ nu poate fi factorizată. Să calculăm discriminantul polinomului $3x^2-5x-2$ situat în numitorul fracției noastre: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Deci, $D > 0$, prin urmare expresia $3x^2-5x-2$ poate fi factorizată. Aceasta înseamnă că fracția $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nu este o fracție elementară de al treilea tip și se aplică $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) la formula integrală 5x-2)dx$ nu este posibilă.

Ei bine, dacă fracția rațională dată nu este o fracție elementară, atunci trebuie reprezentată ca o sumă de fracții elementare și apoi integrată. Pe scurt, profitați de traseu. Cum se descompune o fracție rațională în fracțiuni elementare este scris în detaliu. Să începem prin factorizarea numitorului:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(aliniat)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Prezentăm fracția subintercală sub această formă:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Acum să descompunăm fracția $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ în fracțiuni elementare:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\ dreapta). $$

Pentru a afla coeficienții $A$ și $B$ există două modalități standard: metoda coeficienților nedeterminați și metoda substituției valorilor parțiale. Să aplicăm metoda de substituție a valorii parțiale, înlocuind $x=2$ și apoi $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\dreapta); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Deoarece au fost găsiți coeficienții, tot ce rămâne este să notăm expansiunea finală:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

În principiu, puteți lăsa această intrare, dar îmi place o opțiune mai precisă:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Revenind la integrala originală, înlocuim expansiunea rezultată în ea. Apoi împărțim integrala în două și aplicăm formula fiecăruia. Prefer să plasez imediat constantele în afara semnului integral:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Răspuns: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Exemplul nr. 3

Aflați integrala $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Trebuie să integrăm fracția $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Numătorul conține un polinom de gradul doi, iar numitorul conține un polinom de gradul trei. Deoarece gradul polinomului din numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor, i.e. 2 dolari< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Tot ce trebuie să facem este să împărțim integrala dată în trei și să aplicăm formula fiecăruia. Prefer să plasez imediat constantele în afara semnului integral:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Răspuns: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Continuarea analizei exemplelor din acest subiect se află în partea a doua.

Problema găsirii integrale nedefinite fracționat funcţie raţională se reduce la integrarea fracţiilor simple. Prin urmare, vă recomandăm să vă familiarizați mai întâi cu secțiunea teoriei de descompunere a fracțiilor în cele mai simple.

Exemplu.

Găsi integrală nedefinită.

Soluţie.

Deoarece gradul numărătorului integrandului este egal cu gradul numitorului, mai întâi selectăm întreaga parte împărțind polinomul la polinomul cu o coloană:

De aceea, .

Descompunerea fracției raționale proprii rezultate în fracții mai simple are forma . Prin urmare,

Integrala rezultată este integrala celei mai simple fracții a celui de-al treilea tip. Privind puțin înainte, observăm că o puteți lua subsumându-l sub semnul diferențial.

Deoarece , Asta . De aceea

Prin urmare,

Acum să trecem la descrierea metodelor de integrare a fracțiilor simple din fiecare dintre cele patru tipuri.

Integrarea fracțiilor simple de primul tip

Metoda de integrare directă este ideală pentru rezolvarea acestei probleme:

Exemplu.

Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Soluţie.

Să găsim integrala nedefinită folosind proprietățile antiderivatei, tabelul de antiderivate și regula de integrare.

Începutul paginii

Integrarea fracțiilor simple de al doilea tip

Metoda de integrare directă este, de asemenea, potrivită pentru rezolvarea acestei probleme:

Exemplu.

Soluţie.

Începutul paginii

Integrarea fracțiilor simple de al treilea tip

Mai întâi prezentăm integrala nedefinită ca suma:

Luăm prima integrală subsumând-o sub semnul diferențial:

De aceea,

Să transformăm numitorul integralei rezultate:

Prin urmare,

Formula pentru integrarea fracțiilor simple de al treilea tip ia forma:

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită .

Soluţie.

Folosim formula rezultată:

Dacă nu am avea această formulă, ce am face:

Începutul paginii

Integrarea fracțiilor simple de al patrulea tip

Primul pas este să-l puneți sub semnul diferențial:

Al doilea pas este găsirea unei integrale a formei . Integrale de acest tip se găsesc folosind formule de recurență. (Consultați secțiunea privind integrarea folosind formule de recurență.) Următoarea formulă recurentă este potrivită pentru cazul nostru:

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită

Soluţie.

Pentru acest tip de integrand folosim metoda substituției. Să introducem o nouă variabilă (vezi secțiunea despre integrarea funcțiilor iraționale):

După înlocuire avem:

Am ajuns să găsim integrala unei fracții de al patrulea tip. În cazul nostru avem coeficienți M = 0, p = 0, q = 1, N = 1Şi n=3. Aplicam formula recurentei:

După înlocuirea inversă obținem rezultatul:

Integrare funcții trigonometrice

1.Integrale ale formei

sunt calculate prin transformarea produsului funcțiilor trigonometrice într-o sumă folosind formulele:

De exemplu, 2. Integrale ale formei

, Unde m sau n– un număr impar pozitiv, calculat subsumându-l sub semnul diferențial.

De exemplu,

, Unde mŞi n 3.Integrale ale formei

– chiar și numerele pozitive sunt calculate folosind formule pentru reducerea gradului: De exemplu,

4.Integrale

unde sunt calculate prin schimbarea variabilei: sau De exemplu,

5. Integralele formei sunt reduse la integrale ale fracțiilor raționale folosind o substituție trigonometrică universală atunci (deoarece

=[după împărțirea numărătorului și numitorului la ]= ;

Trebuie remarcat faptul că utilizarea substituției universale duce adesea la calcule greoaie.

§5. Integrarea celor mai simple iraționalități

Să luăm în considerare metode de integrare a celor mai simple tipuri de iraționalitate.

1. Funcțiile de acest tip sunt integrate în același mod ca și cele mai simple fracții raționale de al 3-lea tip: în numitorul de trinom pătratic

se selectează un pătrat complet și se introduce o nouă variabilă. Exemplu.:

2. (sub semnul integral – funcție rațională a argumentelor). Integrale de acest tip sunt calculate folosind substituție. În special, în integralele formei notăm . Dacă integrandul conţine rădăcini n grade diferite , apoi notează unde– cel mai mic multiplu comun al numerelor

m,k

–

Exemplul 1. Exemplul 2.

-fracție rațională improprie, selectați întreaga parte:

3.Integrale ale formei sunt calculate folosind substituții trigonometrice:

45 Integrală definită

Integrală definită , ,

- un funcțional aditiv normalizat monoton definit pe un set de perechi, a cărui primă componentă este o funcție integrabilă sau funcțională, iar a doua este un domeniu în setul de specificare a acestei funcții (funcțională).

Definiţie

Să fie definit pe . Să-l împărțim în părți cu mai multe puncte arbitrare. Apoi ei spun că segmentul a fost împărțit. Apoi, alegeți un punct arbitrar

O integrală definită a unei funcții pe un interval este limita sumelor integrale, deoarece rangul partiției tinde spre zero, dacă există independent de partiția și alegerea punctelor, adică

Dacă există limita specificată, atunci se spune că funcția este integrabilă Riemann.

Denumiri

· - limita inferioară.

· - limita superioara.

· · - funcţia integrand.

· - lungimea segmentului parțial.

· - suma integrală a funcției pe partiția corespunzătoare.

- lungimea maximă a unui segment parțial.

Proprietăți

Dacă o funcție este Riemann integrabilă pe , atunci este mărginită pe ea.

Sensul geometric

Integrală definită ca aria unei figuri

Integrala definită este numeric egală cu aria figurii limitată de axa absciselor, linii drepte și graficul funcției.

Teorema Newton-Leibniz sau [edita](redirecționat de la „Formula Newton-Leibniz”)

formula Newton-Leibniz

teorema principală de analiză

dă o relație între două operații: luarea unei integrale definite și calcularea antiderivatei.

Dovada . Este definit pentru toate valorile lui , pentru că știm că dacă există o integrală a lui on , atunci există și o integrală a lui on , unde . Să ne amintim că luăm în considerare prin definiție

(1)

Rețineți că

Să arătăm că este continuă pe intervalul . De fapt, să fie ; Apoi

iar dacă, atunci

Astfel, este continuă indiferent dacă are sau nu discontinuități; este important ca acesta să fie integrabil pe .

Figura prezintă un grafic. Aria figurii variabile este . Creșterea sa este egală cu aria figurii , care, datorită mărginirii sale, tinde în mod evident la zero la, indiferent dacă este un punct de continuitate sau discontinuitate, de exemplu un punct.

Să fie acum funcția nu numai integrabilă pe , ci continuă la punctul . Să demonstrăm că atunci derivata în acest punct este egală cu

(2)

De fapt, pentru punctul indicat

(1) , (3)

Punem , și deoarece este constantă în raport cu ,TO . În plus, datorită continuității într-un punct, oricine poate specifica astfel încât pentru .

ceea ce demonstrează că partea stângă a acestei inegalități este o(1) pentru .

Trecerea la limita din (3) la arată existența derivatei lui la punctul și valabilitatea egalității (2). Când vorbim aici despre derivatele din dreapta și, respectiv, din stânga.

Dacă o funcție este continuă pe , atunci, pe baza celor dovedite mai sus, funcția corespunzătoare

(4)

are o derivată egală cu . Prin urmare, funcția este o antiderivată pentru .

Această concluzie este uneori numită teorema integrală a limitei superioare variabile sau teorema lui Barrow.

Am demonstrat că o funcție arbitrară continuă pe un interval are o antiderivată pe acest interval definită prin egalitate (4). Aceasta dovedește existența unei antiderivate pentru orice funcție continuă pe un interval.

Să existe acum o antiderivată arbitrară a unei funcții pe . Știm că, unde este o constantă. Presupunând în această egalitate și ținând cont de faptul că obținem .

Astfel, . Dar

Integrală necorespunzătoare

Integrală definită ca aria unei figuri

Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă

3.Integrale ale formei numit nu a ta, dacă cel puțin unul dintre urmatoarele conditii:

· Limita a sau b (sau ambele limite) sunt infinite;

· Funcția f(x) are unul sau mai multe puncte de întrerupere în interiorul segmentului.

[edit]Integrale improprii de primul fel

. Apoi:

1. Dacă iar integrala se numeste . În acest caz se numeste convergent.

, sau pur și simplu divergente.

Să fie definit și continuu pe setul de la și . Apoi:

1. Dacă , atunci se folosește notația iar integrala se numeste integrală Riemann improprie de primul fel. În acest caz se numeste convergent.

2. Dacă nu există finit ( sau ), atunci se spune că integrala diverge către , sau pur și simplu divergente.

Dacă o funcție este definită și continuă pe întreaga linie numerică, atunci poate exista o integrală improprie a acestei funcții cu două limite infinite integrare, definită prin formula:

, unde c este un număr arbitrar.

Integrală definită ca aria unei figuri Sensul geometric al unei integrale improprie de primul fel

Integrala improprie exprimă aria unui trapez curbat infinit de lung.

Integrală definită ca aria unei figuri Exemple

[edit]Integrale improprii de al doilea fel

Fie definit pe , suferă o discontinuitate infinită în punctul x=a și . Apoi:

1. Dacă , atunci se folosește notația iar integrala se numeste

numite divergente la , sau pur și simplu divergente.

Să fie definit pe , suferă o discontinuitate infinită la x=b și . Apoi:

1. Dacă , atunci se folosește notația iar integrala se numeste integrala Riemann improprie de al doilea fel. În acest caz, integrala se numește convergentă.

2. Dacă sau , atunci denumirea rămâne aceeași și numite divergente la , sau pur și simplu divergente.

Dacă funcția suferă o discontinuitate într-un punct interior al segmentului , atunci integrala improprie de al doilea fel este determinată de formula:

Integrală definită ca aria unei figuri Semnificația geometrică a integralelor improprie de al doilea fel

Integrala improprie exprimă aria unui trapez curbat infinit de înalt

Integrală definită ca aria unei figuri Exemplu

[edit]Cas izolat

Fie ca funcția să fie definită pe întreaga dreaptă numerică și să aibă o discontinuitate în puncte.

Apoi putem găsi integrala improprie

[editează] Criteriul Cauchy

1. Să fie definită pe un set de la și .

Apoi converge

2. Să fie definit pe și .

Apoi converge

[edit]Convergență absolută

Integral numit absolut convergente, Dacă converge.
Dacă integrala converge absolut, atunci converge.

[editează]Convergență condiționată

Se numește integrala convergent condiționat, dacă converge, dar diverge.

48 12. Integrale improprii.

Când luăm în considerare integralele definite, am presupus că domeniul de integrare este limitat (mai precis, este segmentul [ o ,b ]); Pentru existența unei integrale definite, integrandul trebuie să fie mărginit de [ o ,b ]. Vom suna integrale definite, pentru care ambele condiții sunt îndeplinite (limitarea atât a domeniului de integrare, cât și a funcției integrand) proprii; integrale pentru care aceste cerințe sunt încălcate (adică fie integrandul, fie domeniul integrării este nelimitat, fie ambele împreună) nu a ta. În această secțiune vom studia integralele improprii.

12.1. Integrale improprie pe un interval nemărginit (integrale improprie de primul fel).

12.1.1. Definiția unei integrale improprie pe un interval infinit. Exemple.
12.1.2. Formula Newton-Leibniz pentru o integrală improprie.
12.1.3. Criterii de comparare pentru funcțiile nenegative.

12.1.3.1. Semn de comparație.
12.1.3.2. Un semn de comparație în forma sa extremă.

12.1.4. Convergența absolută a integralelor improprie pe un interval infinit.
12.1.5. Teste pentru convergența lui Abel și Dirichlet.

12.2. Integrale improprie ale funcțiilor nemărginite (integrale improprie de al doilea fel).

12.2.1. Definiția unei integrale improprie a unei funcții nemărginite.

12.2.1.1. Singularitatea se află la capătul din stânga intervalului de integrare.
12.2.1.2. Aplicarea formulei Newton-Leibniz.
12.2.1.3. Singularitatea la capătul drept al intervalului de integrare.
12.2.1.4. Singularitatea în punctul interior al intervalului de integrare.
12.2.1.5. Mai multe caracteristici ale intervalului de integrare.

12.2.2. Criterii de comparare pentru funcțiile nenegative.

12.2.2.1. Semn de comparație.
12.2.2.2. Un semn de comparație în forma sa extremă.

12.2.3. Convergența absolută și condiționată a integralelor improprie ale funcțiilor discontinue.
12.2.4. Teste pentru convergența lui Abel și Dirichlet.

12.1. Integrale improprii pe un interval nemărginit

(integrale improprii de primul fel).

12.1.1. Definiția unei integrale improprie pe un interval infinit. Lasă funcția f (x ) este definită pe semiaxă și este integrabilă pe orice interval [ din, implicând în fiecare dintre aceste cazuri existența și finitudinea limitelor corespunzătoare. Acum soluțiile la exemple par mai simple: .

12.1.3. Criterii de comparare pentru funcțiile nenegative. În această secțiune vom presupune că toți integranții sunt nenegativi pe întregul domeniu de definiție. Până acum, am determinat convergența integralei prin calculul acesteia: dacă există o limită finită a antiderivatei cu tendința corespunzătoare ( sau ), atunci integrala converge, în caz contrar ea diverge. La rezolvarea problemelor practice, totuși, este important în primul rând să se stabilească însuși faptul convergenței și abia apoi să se calculeze integrala (în plus, antiderivată nu este adesea exprimată în termeni de functii elementare). Să formulăm și să demonstrăm un număr de teoreme care ne permit să stabilim convergența și divergența integralelor improprii ale funcțiilor nenegative fără a le calcula.
12.1.3.1. Semn de comparație. Lasă funcțiile f (x ) Și g (x ) integrală