Colţ φ ecuații generale A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, calculate prin formula:
Colţ φ între două rânduri date ecuații canonice(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 și (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, calculate prin formula:
Distanța de la punct la linie
Fiecare plan din spațiu poate fi reprezentat ca ecuație liniară, numit ecuație generală avion
Cazuri speciale.
o Dacă în ecuația (8) , atunci planul trece prin origine.
o Când (,) planul este paralel cu axa (axa, respectiv axa).
o Când (,) planul este paralel cu planul (plan, plan).
Soluție: folosiți (7)
Răspuns: ecuația planului general.
Exemplu.
Un plan din sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz este dat de ecuația generală a planului 
. Notați coordonatele tuturor vectorilor normali ai acestui plan.
Știm că coeficienții variabilelor x, y și z din ecuația generală a unui plan sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului normal al acestui plan. Prin urmare, vectorul normal al unui plan dat 
are coordonate. Mulțimea tuturor vectorilor normali poate fi definită astfel:
Scrieți ecuația planului dacă în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu trece prin punctul 
, A 
este vectorul normal al acestui plan.
Vă prezentăm două soluții la această problemă.
Din starea pe care o avem. Inlocuim aceste date in ecuatia generala a planului care trece prin punctul:
Scrieți ecuația generală a unui plan paralel cu planul de coordonate Oyz și care trece prin punct 
.
Un plan care este paralel cu planul de coordonate Oyz poate fi dat printr-o ecuație generală plană incompletă de forma . De la punctul 
aparține planului prin condiție, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația planului, adică egalitatea trebuie să fie adevărată. De aici găsim. Astfel, ecuația necesară are forma.
Soluţie. Produsul încrucișat, prin definiția 10.26, este ortogonal cu vectorii p și q. În consecință, este ortogonal cu planul dorit și vectorul poate fi luat ca vector normal. Să găsim coordonatele vectorului n:
adică 
. Folosind formula (11.1), obținem
Deschizând parantezele din această ecuație, ajungem la răspunsul final.
Răspuns: 
.
Să rescriem vectorul normal în forma și să îi găsim lungimea:
Conform celor de mai sus:
Răspuns: 
Planurile paralele au același vector normal. 1) Din ecuație găsim vectorul normal al planului:.
2) Să compunem ecuația planului folosind vectorul punct și normal: 
Răspuns:
Ecuația vectorială a unui plan în spațiu
Ecuația parametrică a unui plan în spațiu
Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat
Lasă să intre spatiu tridimensional este dat un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Să formulăm următoarea problemă:
Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct dat M(x 0, y 0, z 0) perpendicular pe vectorul dat n = ( O, B, C} .
Soluţie. Lasă P(x, y, z) este un punct arbitrar în spațiu. Punct P aparține planului dacă și numai dacă vectorul MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ortogonală cu vectorul n = {O, B, C) (Fig. 1).
După ce am scris condiția pentru ortogonalitatea acestor vectori (n, MP) = 0 sub formă de coordonate, obținem:
|
O(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0 |
Ecuația unui plan folosind trei puncte
În formă vectorială
În coordonate
Dispunerea reciprocă a avioanelor în spațiu
– ecuații generale a două plane. Apoi:
1) dacă 
, atunci avioanele coincid;
2) dacă 
, atunci planurile sunt paralele;
3) dacă sau , atunci planele se intersectează și sistemul de ecuații
(6)
sunt ecuațiile dreptei de intersecție a acestor plane.
|
Soluţie: Compunem ecuațiile canonice ale dreptei folosind formula: Răspuns: |
Luăm ecuațiile rezultate și „prindem” mental, de exemplu, piesa din stânga: . Acum să echivalăm această piesă la orice număr |
(amintiți-vă că era deja un zero), de exemplu, la unu: . 
Soluţie Deoarece , atunci și celelalte două „piese” ar trebui să fie egale cu una. În esență, trebuie să rezolvați sistemul:
Compuneți ecuații parametrice ale următoarelor drepte: 
: Liniile sunt date prin ecuații canonice și la prima etapă ar trebui să găsiți un punct aparținând dreptei și vectorului său de direcție.
a) Din ecuații 
se elimina punctul si vectorul directie: . Puteți alege un alt punct (cum să faceți acest lucru este descris mai sus), dar este mai bine să luați cel mai evident. Apropo, pentru a evita greșelile, înlocuiți întotdeauna coordonatele sale în ecuații. 
Să creăm ecuații parametrice pentru această linie: 
. Selectarea unui punct aici nu este dificilă, dar perfidă: (ai grijă să nu încurci coordonatele!!!). Cum să eliminați vectorul de ghidare? Puteți specula cu ce este paralelă această linie sau puteți utiliza o tehnică formală simplă: „Y” și „Z” sunt în proporție, așa că haideți să scriem vectorul direcție și să punem un zero în spațiul rămas: .
Să compunem ecuațiile parametrice ale dreptei: 
c) Să rescriem ecuațiile sub forma , adică „zet” poate fi orice. Și dacă de vreunul, atunci să fie, de exemplu, . Astfel, punctul aparține acestei linii. Pentru a găsi vectorul direcție, folosim următoarea tehnică formală: în ecuațiile originale există „x” și „y”, iar în vectorul direcție în aceste locuri scriem zerouri: . În spațiul rămas îl punem unitate: . În loc de unul, orice număr cu excepția zero va fi potrivit.
Să notăm ecuațiile parametrice ale dreptei: 
Problema 1
Aflați cosinusul unghiului dintre dreptele $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ și $\left\( \begin(array )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right $.
Să fie date două drepte în spațiu: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ și $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Să alegem un punct arbitrar din spațiu și să tragem prin el două linii auxiliare paralele cu datele. Unghiul dintre aceste linii este oricare dintre cele două unghiuri adiacente formate de liniile auxiliare. Cosinusul unuia dintre unghiurile dintre drepte poate fi găsit folosind formula binecunoscută $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Dacă valoarea $\cos \phi >0$, atunci se obține un unghi ascuțit între drepte, dacă $\cos \phi
Ecuații canonice ale primei drepte: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.
Ecuațiile canonice ale celei de-a doua linii pot fi obținute din cele parametrice:
\ \ \
Astfel, ecuațiile canonice ale acestei drepte sunt: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.
Calculam:
\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ stânga(-3\right)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) = \ frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \aproximativ 0,9449.\]
Problema 2
Prima linie trece prin punctele date $A\left(2,-4,-1\right)$ și $B\left(-3,5,6\right)$, a doua linie trece prin punctele date $ C\left (1,-2,8\right)$ și $D\left(6,7,-2\right)$. Găsiți distanța dintre aceste linii.
Fie ca o anumită dreaptă să fie perpendiculară pe dreptele $AB$ și $CD$ și să le intersecteze în punctele $M$ și, respectiv, $N$. În aceste condiții, lungimea segmentului $MN$ este egală cu distanța dintre liniile $AB$ și $CD$.
Construim vectorul $\overline(AB)$:
\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]
Fie segmentul care reprezintă distanța dintre drepte să treacă prin punctul $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ pe dreapta $AB$.
Construim vectorul $\overline(AM)$:
\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ bar(j)+\stanga(z_(M) -\stanga(-1\dreapta)\dreapta)\cdot \bar(k)=\] \[=\stanga(x_(M) -2\dreapta)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]
Vectorii $\overline(AB)$ și $\overline(AM)$ sunt aceiași, prin urmare sunt coliniari.
Se știe că dacă vectorii $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ și $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ sunt coliniare, atunci coordonatele lor sunt proporționale, atunci există $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\ it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.
$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, unde $m $ este rezultatul împărțirii.
De aici obținem: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.
Obținem în sfârșit expresii pentru coordonatele punctului $M$:
Construim vectorul $\overline(CD)$:
\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ stânga(-2-8\right)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]
Să treacă segmentul care reprezintă distanța dintre drepte prin punctul $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ pe linia $CD$.
Construim vectorul $\overline(CN)$:
\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]
Vectorii $\overline(CD)$ și $\overline(CN)$ coincid, prin urmare, sunt coliniari. Aplicam conditia de coliniaritate a vectorilor:
$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, unde $n $ este rezultatul diviziunii.
De aici obținem: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.
Obținem în sfârșit expresii pentru coordonatele punctului $N$:
Construim vectorul $\overline(MN)$:
\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\stânga(z_(N) -z_(M) \dreapta)\cdot \bar(k).\]
Înlocuim expresii pentru coordonatele punctelor $M$ și $N$:
\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\dreapta)\dreapta)\cdot \bar(k).\]
După parcurgerea pașilor, obținem:
\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right) )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]
Deoarece dreptele $AB$ și $MN$ sunt perpendiculare, produsul scalar al vectorilor corespunzători este egal cu zero, adică $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:
\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ stânga(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \
După parcurgerea pașilor, obținem prima ecuație pentru determinarea $m$ și $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.
Deoarece dreptele $CD$ și $MN$ sunt perpendiculare, produsul scalar al vectorilor corespunzători este egal cu zero, adică $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:
\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]
După finalizarea pașilor, obținem a doua ecuație pentru determinarea $m$ și $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.
Găsim $m$ și $n$ rezolvând sistemul de ecuații $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206) \cdot n =77)\end(matrice)\right$.
Aplicam metoda Cramer:
\[\Delta =\left|\begin(array)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(array)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(array)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(array)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(array)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(array)\right|=10731;\ ]\
Găsiți coordonatele punctelor $M$ și $N$:
\ \
In sfarsit:
În cele din urmă, scriem vectorul $\overline(MN)$:
$\overline(MN)=\left(2,691-\left(-0,6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1,0438-0,7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4.618-2.6701\right)\cdot \bar(k)$ sau $\overline(MN)=3.3125\cdot \bar(i)+0.3251\cdot \bar(j)+1.9479\cdot \bar(k)$ .
Distanța dintre liniile $AB$ și $CD$ este lungimea vectorului $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3,3125^(2) +0,3251^(2) +1,9479^( 2) ) \ aproximativ 3,8565$ lin. unitati
Unghiîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.
Să fie date două drepte în spațiu:
Evident, unghiul φ dintre drepte poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , folosind formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem
Condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte sunt echivalente cu condițiile de paralelism și perpendicularitate ale vectorilor lor de direcție și:
Două drepte paralel dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, i.e. l 1 paralelă l 2 dacă și numai dacă sunt paralele 
.
Două drepte perpendicular dacă şi numai dacă suma produselor coeficienţilor corespunzători este egală cu zero: .
U obiectiv între linie și plan
Să fie drept d- nu perpendicular pe planul θ;
d′− proiecția unei linii d la planul θ;
Cel mai mic unghi dintre liniile drepte dŞi d„vom suna unghiul dintre o linie dreaptă și un plan.
Să o notăm ca φ=( d,θ)
Dacă d⊥θ, atunci ( d,θ)=π/2
Oi→j→k→− sistem de coordonate dreptunghiular.
Ecuația plană:
θ: Topor+De+Cz+D=0
Presupunem că linia dreaptă este definită de un punct și un vector de direcție: d[M 0,p→]
Vector n→(O,B,C)⊥θ
Apoi rămâne de aflat unghiul dintre vectori n→ și p→, să-l notăm ca γ=( n→,p→).
Dacă unghiul γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Dacă unghiul este γ>π/2, atunci unghiul dorit este φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Apoi, unghiul dintre linie dreaptă și plan poate fi calculat folosind formula:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √O 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23
Întrebarea 29. Conceptul de formă pătratică. Definitivitatea semnelor formelor pătratice.
Forma pătratică j (x 1, x 2, …, x n) n variabile reale x 1, x 2, …, x n se numește sumă a formei 
, (1)
Unde a ij – unele numere numite coeficienți. Fără a pierde generalitatea, putem presupune că a ij = a ji.
Forma pătratică se numește valabil, Dacă a ij
Î GR. Matrice de formă pătratică se numește matrice formată din coeficienții săi. Forma pătratică (1) corespunde singurei matrice simetrice 
Adică A T = A. Prin urmare, formă pătratică(1) poate fi scris sub forma matriceală j ( X) = x T Ah, Unde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
Și, invers, fiecărei matrice simetrice (2) îi corespunde o formă pătratică unică până la notarea variabilelor.
Rangul formei pătratice se numește rangul matricei sale. Forma pătratică se numește nedegenerat, dacă matricea sa este nesingulară O. (amintim că matricea O se numește nedegenerat dacă determinantul său nu este egal cu zero). În caz contrar, forma pătratică este degenerată.
definit pozitiv(sau strict pozitiv) dacă
j ( X) > 0 , pentru oricine X = (X 1 , X 2 , …, x n), cu excepţia X = (0, 0, …, 0).
Matrice O forma patratică definită pozitivă j ( X) se mai numește și definit pozitiv. Prin urmare, o formă pătratică definită pozitivă corespunde unei matrice definite pozitive unice și invers.
Forma pătratică (1) se numește definit negativ(sau strict negativ) dacă
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), cu excepția X = (0, 0, …, 0).
În mod similar ca mai sus, o matrice de formă pătratică definită negativă se mai numește și definită negativă.
În consecință, forma pătratică definită pozitivă (negativă) j ( X) atinge valoarea minimă (maximă) j ( X*) = 0 la X* = (0, 0, …, 0).
Rețineți că cele mai multe Formele pătratice nu sunt definite de semn, adică nu sunt nici pozitive, nici negative. Astfel de forme pătratice se transformă la 0 nu numai la originea sistemului de coordonate, ci și în alte puncte.
Când n> 2, sunt necesare criterii speciale pentru a verifica semnul unei forme pătratice. Să ne uităm la ele.
Minori majori forma pătratică se numesc minore:
adică sunt minori de ordinul 1, 2, ..., n matrici O, situat în stânga colțul de sus, ultima dintre ele coincide cu determinantul matricei O.
Criteriul de certitudine pozitivă (criteriul Sylvester)
X) = x T Ah a fost pozitiv definitiv, este necesar și suficient ca toți minorii majori ai matricei O au fost pozitive, adică: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Criteriul certitudinii negative Pentru forma pătratică j ( X) = x T Ah a fost negativ definit, este necesar și suficient ca principalii săi minori de ordin par să fie pozitivi și de ordin impar - negativi, adică: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
Să fie date două drepte l și m pe un plan într-un sistem de coordonate carteziene ecuații generale: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
Vectori normali la aceste linii: = (A 1 , B 1) – la linia l,
= (A 2 , B 2) – la linia m.
Fie j unghiul dintre liniile l și m.
Deoarece unghiurile cu sunt reciproce laturile perpendiculare sunt fie egale, fie adună p, atunci 
, adică cos j = .
Deci, am demonstrat următoarea teoremă.
Teorema. Fie j unghiul dintre două drepte pe plan și aceste drepte să fie specificate în sistemul de coordonate carteziene prin ecuațiile generale A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Atunci cos j = 
.
Exerciții.
1) Deduceți o formulă pentru calcularea unghiului dintre liniile drepte dacă:
(1) ambele linii sunt specificate parametric; (2) ambele drepte sunt date prin ecuații canonice; (3) o linie este specificată parametric, cealaltă linie este specificată printr-o ecuație generală; (4) ambele drepte sunt date de o ecuație cu pantă.
2) Fie j unghiul dintre două drepte pe un plan, iar aceste drepte să fie definite într-un sistem de coordonate carteziene prin ecuațiile y = k 1 x + b 1 și y =k 2 x + b 2 .
Atunci tan j = .
3) Explorați poziția relativă a două drepte, dată de ecuații generale în sistemul de coordonate carteziene și completați tabelul:
Distanța de la un punct la o linie dreaptă dintr-un plan.
Fie ca dreapta l pe un plan din sistemul de coordonate carteziene să fie dată de ecuația generală Ax + By + C = 0. Să aflăm distanța de la punctul M(x 0 , y 0) la dreapta l.
Distanța de la punctul M la dreapta l este lungimea perpendicularei HM (H О l, HM ^ l).
Vectorul și vectorul normal la linia l sunt coliniare, deci | | = | | | | și | | = .
Fie coordonatele punctului H (x,y).
Deoarece punctul H aparține dreptei l, atunci Ax + By + C = 0 (*).
Coordonatele vectorilor și: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).
| | = 
= 
= 
(C = -Ax - By, vezi (*))
Teorema. Fie specificată dreapta l în sistemul de coordonate carteziene prin ecuația generală Ax + By + C = 0. Atunci distanța de la punctul M(x 0 , y 0) până la această dreaptă se calculează prin formula: r ( M; l) = .
Exerciții.
1) Deduceți o formulă pentru calcularea distanței de la un punct la o dreaptă dacă: (1) linia este dată parametric; (2) linia este dată ecuațiilor canonice; (3) linia dreaptă este dată de o ecuație cu coeficient unghiular.
2) Scrieți ecuația unui cerc tangent la dreapta 3x – y = 0, cu centrul în punctul Q(-2,4).
3) Scrieți ecuațiile dreptelor care împart unghiurile formate prin intersecția dreptelor 2x + y - 1 = 0 și x + y + 1 = 0, în jumătate.
§ 27. Definirea analitică a unui plan în spațiu
Definiţie. Vectorul normal al planului vom numi un vector diferit de zero, al cărui reprezentant este perpendicular pe un plan dat.
Comentariu. Este clar că dacă cel puțin un reprezentant al vectorului este perpendicular pe plan, atunci toți ceilalți reprezentanți ai vectorului sunt perpendiculari pe acest plan.
Fie dat un sistem de coordonate carteziene în spațiu.
Fie dat un plan, = (A, B, C) – vectorul normal acestui plan, punctul M (x 0 , y 0 , z 0) aparține planului a.
Pentru orice punct N(x, y, z) al planului a, vectorii și sunt ortogonali, adică produsul lor scalar este egal cu zero: = 0. Să scriem ultima egalitate în coordonate: A(x - x 0). ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.
Fie -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, apoi Ax + By + Cz + D = 0.
Să luăm un punct K (x, y) astfel încât Ax + By + Cz + D = 0. Deoarece D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0, atunci A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Deoarece coordonatele segmentului direcționat = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), ultima egalitate înseamnă că ^ și, prin urmare, K О a.
Deci, am demonstrat următoarea teoremă:
Teorema. Orice plan din spațiu într-un sistem de coordonate carteziene poate fi specificat printr-o ecuație de forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), unde (A, B, C) sunt coordonatele vectorului normal la acest plan.
Este adevărat și contrariul.
Teorema. Orice ecuație de forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) în sistemul de coordonate carteziene specifică un anumit plan și (A, B, C) sunt coordonatele normalei vector pentru acest plan.
Dovada.
Luați un punct M (x 0 , y 0 , z 0) astfel încât Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 și vector = (A, B, C) ( ≠ q).
Un plan (și doar unul) trece prin punctul M perpendicular pe vector. Conform teoremei anterioare, acest plan este dat de ecuația Ax + By + Cz + D = 0.
Definiţie. O ecuație de forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) se numește ecuația planului general.
Exemplu.
Să scriem ecuația planului care trece prin punctele M (0,2,4), N (1,-1,0) și K (-1,0,5).
1. Aflați coordonatele vectorului normal în plan (MNK). Deoarece produsul vectorial ´ este ortogonal cu vectorii necoliniari și , atunci vectorul este coliniar ´ .
= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);
´ = 
,
´ = (-11, 3, -5).
Deci, ca vector normal luăm vectorul = (-11, 3, -5).
2. Să folosim acum rezultatele primei teoreme:
ecuația acestui plan A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, unde (A, B, C) sunt coordonatele vectorului normal, (x 0 , y 0 , z 0) – coordonatele unui punct situat în plan (de exemplu, punctul M).
11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0
11x + 3y – 5z + 14 = 0
Răspuns: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.
Exerciții.
1) Scrieți ecuația planului dacă
(1) planul trece prin punctul M (-2,3,0) paralel cu planul 3x + y + z = 0;
(2) planul conține axa (Ox) și este perpendicular pe planul x + 2y – 5z + 7 = 0.
2) Scrieți ecuația planului care trece prin cele trei puncte date.
§ 28. Definiția analitică a semispațiului*
Comentariu*. Să fie reparat un avion. Sub jumătate de spațiu vom înțelege mulțimea de puncte situate pe o parte a unui plan dat, adică două puncte se află în același semi-spațiu dacă segmentul care le leagă nu intersectează planul dat. Acest avion se numește marginea acestui semi-spațiu. Unirea acestui plan și semi-spațiu va fi numită semi-spațiu închis.
Fie fixat în spațiu un sistem de coordonate carteziene.
Teorema. Fie planul a dat de ecuația generală Ax + By + Cz + D = 0. Atunci unul dintre cele două semi-spații în care planul a împarte spațiul este dat de inegalitatea Ax + By + Cz + D > 0 , iar al doilea semi-spațiu este dat de inegalitatea Ax + By + Cz + D< 0.
Dovada.
Să trasăm vectorul normal = (A, B, C) pe planul a din punctul M (x 0 , y 0 , z 0) situat pe acest plan: = , M О a, MN ^ a. Planul împarte spațiul în două semi-spații: b 1 și b 2. Este clar că punctul N aparține unuia dintre aceste semi-spații. Fără pierderea generalității, vom presupune că N О b 1 .
Să demonstrăm că semi-spațiul b 1 este definit de inegalitatea Ax + By + Cz + D > 0.
1) Luați un punct K(x,y,z) în semi-spațiul b 1 . Unghiul Ð NMK este unghiul dintre vectori și - acut, deci produsul scalar al acestor vectori este pozitiv: > 0. Să scriem această inegalitate în coordonate: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, adică Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.
Deoarece M О b 1, atunci Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, deci -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Prin urmare, ultima inegalitate poate fi scrisă astfel: Ax + By + Cz + D > 0.
2) Luați un punct L(x,y) astfel încât Ax + By + Cz + D > 0.
Să rescriem inegalitatea înlocuind D cu (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (deoarece M О b 1, apoi Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.
Un vector cu coordonate (x - x 0,y - y 0, z - z 0) este un vector, deci expresia A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) poate fi înțeles ca produs scalar al vectorilor și . Deoarece produsul scalar al vectorilor și este pozitiv, unghiul dintre ei este ascuțit și punctul L О b 1 .
În mod similar, putem demonstra că semi-spațiul b 2 este dat de inegalitatea Ax + By + Cz + D< 0.
Note.
1) Este clar că demonstrația dată mai sus nu depinde de alegerea punctului M din planul a.
2) Este clar că același semi-spațiu poate fi definit prin inegalități diferite.
Este adevărat și contrariul.
Teorema. Orice inegalitate liniară de forma Ax + By + Cz + D > 0 (sau Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.
Dovada.
Ecuația Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) în spațiu definește un anumit plan a (vezi § ...). După cum sa demonstrat în teorema anterioară, unul dintre cele două semi-spații în care planul împarte spațiul este dat de inegalitatea Ax Ax + By + Cz + D > 0.
Note.
1) Este clar că un semi-spațiu închis poate fi definit printr-o inegalitate liniară nestrictă, iar orice inegalitate liniară nestrict din sistemul de coordonate carteziene definește un semi-spațiu închis.
2) Orice poliedru convex poate fi definit ca intersecția semi-spațiilor închise (ale căror limite sunt plane care conțin fețele poliedrului), adică analitic - printr-un sistem de inegalități liniare nestrictive.
Exerciții.
1) Demonstrați cele două teoreme prezentate pentru un sistem de coordonate afine arbitrar.
2) Este adevărat invers, că orice sistem de non-strict inegalități liniare definește un poligon convex?
Exercita.1) Investigați pozițiile relative a două plane definite prin ecuații generale în sistemul de coordonate carteziene și completați tabelul.
Acest material este dedicat unui astfel de concept precum unghiul dintre două linii care se intersectează. În primul paragraf vom explica ce este și o vom arăta în ilustrații. Apoi ne vom uita la modalitățile în care puteți găsi sinusul, cosinusul acestui unghi și unghiul în sine (vom lua în considerare separat cazurile cu un plan și spațiu tridimensional), vom da formulele necesare și vom arăta cu exemple exact modul în care sunt utilizate în practică.
Pentru a înțelege care este unghiul format atunci când două drepte se intersectează, trebuie să ne amintim însăși definiția unghiului, perpendicularității și punctului de intersecție.
Definiția 1
Numim două drepte care se intersectează dacă au un punct comun. Acest punct se numește punctul de intersecție a două drepte.
Fiecare linie dreaptă este împărțită de un punct de intersecție în raze. Ambele linii drepte formează 4 unghiuri, dintre care două sunt verticale și două sunt adiacente. Dacă știm măsura unuia dintre ele, atunci le putem determina pe cele rămase.
Să presupunem că știm că unul dintre unghiuri este egal cu α. În acest caz, unghiul care este vertical în raport cu acesta va fi, de asemenea, egal cu α. Pentru a găsi unghiurile rămase, trebuie să calculăm diferența 180 ° - α. Dacă α este egal cu 90 de grade, atunci toate unghiurile vor fi unghiuri drepte. Liniile care se intersectează în unghi drept sunt numite perpendiculare (un articol separat este dedicat conceptului de perpendicularitate).
Aruncă o privire la poză:
Să trecem la formularea definiției principale.
Definiția 2
Unghiul format din două drepte care se intersectează este măsura celui mai mic dintre cele 4 unghiuri care formează aceste două drepte.
Din definiție trebuie trasă o concluzie importantă: dimensiunea unghiului în acest caz va fi exprimată de oricare număr realîn intervalul (0, 90). Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci unghiul dintre ele va fi în orice caz egal cu 90 de grade.
Capacitatea de a găsi măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează este utilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Metoda de rezolvare poate fi aleasă din mai multe opțiuni.
Pentru început, putem lua metode geometrice. Dacă știm ceva despre unghiurile suplimentare, atunci le putem raporta la unghiul de care avem nevoie folosind proprietățile figurilor egale sau similare. De exemplu, dacă cunoaștem laturile unui triunghi și trebuie să calculăm unghiul dintre liniile pe care sunt situate aceste laturi, atunci teorema cosinusului este potrivită pentru soluția noastră. Dacă avem condiția triunghi dreptunghic, atunci pentru calcule vom avea nevoie și de cunoștințe despre sinus, cosinus și tangenta unui unghi.
Metoda coordonatelor este, de asemenea, foarte convenabilă pentru rezolvarea problemelor de acest tip. Să explicăm cum să-l folosim corect.
Avem un sistem de coordonate dreptunghiular (cartezian) O x y, în care sunt date două drepte. Să le notăm cu literele a și b. Liniile drepte pot fi descrise folosind unele ecuații. Liniile originale au un punct de intersecție M. Cum se determină unghiul necesar (să-l notăm α) între aceste drepte?
Să începem prin a formula principiul de bază al găsirii unui unghi în condiții date.
Știm că conceptul de linie dreaptă este strâns legat de concepte precum un vector de direcție și un vector normal. Dacă avem o ecuație a unei anumite drepte, putem lua din ea coordonatele acestor vectori. Putem face acest lucru pentru două linii care se intersectează simultan.
Unghiul subtins de două drepte care se intersectează poate fi găsit folosind:
- unghiul dintre vectorii de direcție;
- unghiul dintre vectorii normali;
- unghiul dintre vectorul normal al unei linii și vectorul direcție al celeilalte.
Acum să ne uităm la fiecare metodă separat.
1. Să presupunem că avem o dreaptă a cu un vector de direcție a → = (a x, a y) și o dreaptă b cu un vector de direcție b → (b x, b y). Acum să reprezentăm doi vectori a → și b → din punctul de intersecție. După aceasta vom vedea că fiecare va fi situat pe propria linie dreaptă. Apoi avem patru opțiuni pentru aranjarea lor relativă. Vezi ilustrația:
Dacă unghiul dintre doi vectori nu este obtuz, atunci va fi unghiul de care avem nevoie între liniile care se intersectează a și b. Dacă este obtuz, atunci unghiul dorit va fi egal cu unghiul adiacent unghiului a →, b → ^. Astfel, α = a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° , și α = 180 ° - a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .
Pe baza faptului că cosinusurile unghiuri egale sunt egale, putem rescrie egalitățile rezultate astfel: cos α = cos a → , b → ^ , dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, dacă a →, b → ^ > 90 °.
În al doilea caz s-au folosit formule de reducere. Astfel,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Să scriem ultima formulă în cuvinte:
Definiția 3
Cosinusul unghiului format din două drepte care se intersectează va fi egal cu modulul cosinusul unghiului dintre vectorii săi de direcție.
Forma generală a formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) arată astfel:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Din aceasta putem deriva formula pentru cosinusul unghiului dintre două drepte date:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Apoi unghiul în sine poate fi găsit folosind următoarea formulă:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Aici a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor date.
Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.
Exemplul 1
Într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan, sunt date două drepte care se intersectează a și b. Ele pot fi descrise prin ecuațiile parametrice x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R și x 5 = y - 6 - 3. Calculați unghiul dintre aceste drepte.
Soluţie
Avem o ecuație parametrică în starea noastră, ceea ce înseamnă că pentru această linie putem nota imediat coordonatele vectorului său de direcție. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm valorile coeficienților pentru parametru, adică. dreapta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R va avea un vector de direcție a → = (4, 1).
A doua linie dreaptă este descrisă folosind ecuație canonică x 5 = y - 6 - 3 . Aici putem lua coordonatele de la numitori. Astfel, această dreaptă are un vector de direcție b → = (5 , - 3) .
Apoi, trecem direct la găsirea unghiului. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înlocuiți coordonatele existente ale celor doi vectori în formula de mai sus α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Obținem următoarele:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Răspuns: Aceste linii drepte formează un unghi de 45 de grade.
Putem rezolva o problemă similară găsind unghiul dintre vectorii normali. Dacă avem o dreaptă a cu un vector normal n a → = (n a x , n a y) și o dreaptă b cu un vector normal n b → = (n b x , n b y), atunci unghiul dintre ele va fi egal cu unghiul dintre n a → și n b → sau unghiul care va fi adiacent lui n a →, n b → ^. Această metodă este prezentată în imagine:
Formulele pentru calcularea cosinusului unghiului dintre liniile care se intersectează și acest unghi în sine folosind coordonatele vectorilor normali arată astfel:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n de y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Aici n a → și n b → denotă vectorii normali ai două drepte date.
Exemplul 2
Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, două linii drepte sunt date folosind ecuațiile 3 x + 5 y - 30 = 0 și x + 4 y - 17 = 0. Găsiți sinusul și cosinusul unghiului dintre ele și mărimea acestui unghi în sine.
Soluţie
Liniile originale sunt specificate folosind ecuații normale linie dreaptă de forma A x + B y + C = 0. Notăm vectorul normal ca n → = (A, B). Să găsim coordonatele primului vector normal pentru o linie și să le scriem: n a → = (3, 5) . Pentru a doua linie x + 4 y - 17 = 0, vectorul normal va avea coordonatele n b → = (1, 4). Acum să adăugăm valorile obținute la formulă și să calculăm totalul:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Dacă cunoaștem cosinusul unui unghi, atunci putem calcula sinusul acestuia folosind identitatea trigonometrică de bază. Deoarece unghiul α format din drepte nu este obtuz, atunci sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
În acest caz, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Răspuns: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Să analizăm ultimul caz - găsirea unghiului dintre drepte dacă cunoaștem coordonatele vectorului de direcție al unei drepte și vectorul normal al celeilalte.
Să presupunem că dreapta a are un vector de direcție a → = (a x , a y) , iar dreapta b are un vector normal n b → = (n b x , n b y) . Trebuie să setăm acești vectori deoparte de punctul de intersecție și să luăm în considerare toate opțiunile pentru pozițiile lor relative. Vezi in poza:
Dacă unghiul dintre vectorii dați nu este mai mare de 90 de grade, se dovedește că va completa unghiul dintre a și b la un unghi drept.
a → , n b → ^ = 90 ° - α dacă a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Dacă este mai mică de 90 de grade, atunci obținem următoarele:
a → , n b → ^ > 90 ° , apoi a → , n b → ^ = 90 ° + α
Folosind regula egalității cosinusurilor de unghiuri egale, scriem:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pentru a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pentru a → , n b → ^ > 90 ° .
Astfel,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Să formulăm o concluzie.
Definiția 4
Pentru a găsi sinusul unghiului dintre două drepte care se intersectează pe un plan, trebuie să calculați modulul cosinusului unghiului dintre vectorul de direcție al primei linii și vectorul normal al celei de-a doua.
Să notăm formulele necesare. Aflarea sinusului unui unghi:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Găsirea unghiului în sine:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Aici a → este vectorul de direcție al primei linii, iar n b → este vectorul normal al celei de-a doua.
Exemplul 3
Două drepte care se intersectează sunt date de ecuațiile x - 5 = y - 6 3 și x + 4 y - 17 = 0. Aflați unghiul de intersecție.
Soluţie
Luăm coordonatele ghidului și ale vectorului normal din ecuațiile date. Rezultă a → = (- 5, 3) și n → b = (1, 4). Luăm formula α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 și calculăm:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Vă rugăm să rețineți că am luat ecuațiile din problema anterioară și am obținut exact același rezultat, dar într-un mod diferit.
Răspuns:α = a r c sin 7 2 34
Să prezentăm o altă modalitate de a găsi unghiul dorit folosind coeficienții unghiulari ai liniilor drepte date.
Avem o linie a, care este definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuația y = k 1 x + b 1, și o linie b, definită ca y = k 2 x + b 2. Acestea sunt ecuații ale dreptelor cu pante. Pentru a găsi unghiul de intersecție, folosim formula:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, unde k 1 și k 2 sunt pantele dreptelor date. Pentru a obține această înregistrare s-au folosit formule pentru determinarea unghiului prin coordonatele vectorilor normali.
Exemplul 4
Există două drepte care se intersectează într-un plan, dat de ecuaţii y = - 3 5 x + 6 și y = - 1 4 x + 17 4 . Calculați valoarea unghiului de intersecție.
Soluţie
Coeficienții unghiulari ai dreptelor noastre sunt egali cu k 1 = - 3 5 și k 2 = - 1 4. Să le adăugăm la formula α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 și să calculăm:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Răspuns:α = a r c cos 23 2 34
În concluziile acestui paragraf, trebuie menționat că formulele pentru găsirea unghiului prezentate aici nu trebuie învățate pe de rost. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți coordonatele ghidajelor și/sau ale vectorilor normali ai liniilor date și să le puteți determina folosind diferite tipuri de ecuații. Dar este mai bine să vă amintiți sau să scrieți formulele pentru calcularea cosinusului unui unghi.
Cum se calculează unghiul dintre liniile care se intersectează în spațiu
Calculul unui astfel de unghi poate fi redus la calcularea coordonatelor vectorilor de direcție și determinarea mărimii unghiului format de acești vectori. Pentru astfel de exemple se folosește același raționament pe care l-am dat mai înainte.
Să presupunem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular situat în spațiul tridimensional. Conține două drepte a și b cu un punct de intersecție M. Pentru a calcula coordonatele vectorilor de direcție, trebuie să cunoaștem ecuațiile acestor drepte. Să notăm vectorii de direcție a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) . Pentru a calcula cosinusul unghiului dintre ele, folosim formula:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Pentru a găsi unghiul în sine, avem nevoie de această formulă:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Exemplul 5
Avem o linie definită în spațiul tridimensional folosind ecuația x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Se știe că se intersectează cu axa O z. Calculați unghiul de interceptare și cosinusul acelui unghi.
Soluţie
Să notăm unghiul care trebuie calculat cu litera α. Să notăm coordonatele vectorului direcție pentru prima dreaptă – a → = (1, - 3, - 2) . Pentru axa aplicată, putem lua ca ghid vectorul de coordonate k → = (0, 0, 1). Am primit datele necesare și le putem adăuga la formula dorită:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Ca rezultat, am constatat că unghiul de care avem nevoie va fi egal cu a r c cos 1 2 = 45 °.
Răspuns: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter