Cum să găsiți cea mai mare sau cea mai mică înălțime a unui triunghi? Cu cât este mai mică înălțimea triunghiului, cu atât este mai mare înălțimea atrasă de el. Adică, cea mai mare dintre altitudinile unui triunghi este cea trasă de latura sa cea mai mică. - cel trasat de cea mai mare latură a triunghiului.
Pentru a găsi cea mai mare înălțime triunghi , aria triunghiului poate fi împărțită la lungimea laturii pe care este trasă această înălțime (adică la lungimea celei mai mici laturi a triunghiului).
În consecință, d Pentru a afla cea mai mică înălțime a unui triunghi Puteți împărți aria unui triunghi la lungimea laturii sale celei mai lungi.
Sarcina 1.
Aflați cea mai mică înălțime a unui triunghi ale cărui laturi sunt de 7 cm, 8 cm și 9 cm.
Dat:
AC=7 cm, AB=8 cm, BC=9 cm.
Aflați: cea mai mică înălțime a triunghiului.
Soluţie:
Cea mai mică altitudine a unui triunghi este cea trasată de latura sa cea mai lungă. Aceasta înseamnă că trebuie să găsim înălțimea AF trasată pe latura BC.
Pentru comoditatea notării, introducem notația
BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.
Înălțimea unui triunghi este egală cu câtul de două ori aria triunghiului împărțit la latura pe care este trasă această înălțime. poate fi găsit folosind formula lui Heron. De aceea
Noi calculăm:
Răspuns:
Sarcina 2.
Aflați cea mai lungă latură a unui triunghi cu laturile de 1 cm, 25 cm și 30 cm.
Dat:
AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.
Găsi:
cea mai mare altitudine a triunghiului ABC.
Soluţie:
Cea mai mare înălțime a unui triunghi este trasă de latura sa cea mai scurtă.
Aceasta înseamnă că trebuie să găsim înălțimea CD trasată pe latura AB.
Pentru comoditate, să denotăm
Altitudinea unui triunghi este perpendiculara coborâtă de la orice vârf al triunghiului spre latura opusă, sau până la prelungirea acestuia (latura spre care coboară perpendiculara se numește în acest caz baza triunghiului).
Într-un triunghi obtuz, două altitudini cad pe prelungirea laturilor și se află în afara triunghiului. Al treilea este în interiorul triunghiului.
Într-un triunghi ascuțit, toate cele trei altitudini se află în interiorul triunghiului.
Într-un triunghi dreptunghic, picioarele servesc drept altitudini.
Cum să găsiți înălțimea de la bază și zonă
Să ne amintim formula pentru calcularea ariei unui triunghi. Aria unui triunghi se calculează folosind formula: A = 1/2 bh.
- A este aria triunghiului
- b este latura triunghiului pe care este coborâtă înălțimea.
- h - înălțimea triunghiului
Privește triunghiul și gândește-te ce cantități știi deja. Dacă vi se oferă o zonă, etichetați-o cu „A” sau „S”. Ar trebui să vi se dea și semnificația părții, etichetați-o cu „b”. Daca nu ti se da zona si nu ti se da laterala, foloseste o alta metoda.
Rețineți că baza unui triunghi poate fi orice parte a triunghiului la care este coborâtă înălțimea (indiferent de modul în care este poziționat triunghiul). Pentru a înțelege mai bine acest lucru, imaginați-vă că puteți roti acest triunghi. Rotiți-l astfel încât partea pe care o cunoașteți să fie orientată în jos.
De exemplu, aria unui triunghi este 20, iar una dintre laturile sale este 4. În acest caz, „‘A = 20″‘, ‘‘b = 4′”.
Înlocuiți valorile date în formula pentru a calcula suprafața (A = 1/2bh) și găsiți înălțimea. Mai întâi, înmulțiți latura (b) cu 1/2 și apoi împărțiți aria (A) la valoarea rezultată. Astfel vei afla inaltimea triunghiului.
În exemplul nostru: 20 = 1/2(4)h
20 = 2h
10 = h
Amintiți-vă proprietățile unui triunghi echilateral. Într-un triunghi echilateral, toate laturile și toate unghiurile sunt egale (fiecare unghi are 60˚). Dacă desenați înălțimea într-un astfel de triunghi, veți obține două triunghiuri dreptunghiulare egale.
De exemplu, luați în considerare un triunghi echilateral cu latura 8.
Amintiți-vă de teorema lui Pitagora. Teorema lui Pitagora afirmă că în orice triunghi dreptunghic cu catetele „a” și „b” ipotenuza „c” este egală cu: a2+b2=c2. Această teoremă poate fi folosită pentru a afla înălțimea unui triunghi echilateral!
Împărțiți triunghiul echilateral în două triunghiuri dreptunghiulare (pentru a face acest lucru, desenați înălțimea). Apoi etichetați laturile unuia dintre triunghiuri dreptunghiulare. Latura laterală a unui triunghi echilateral este ipotenuza „c” triunghi dreptunghic. Piciorul „a” este egal cu 1/2 din latura triunghiului echilateral, iar piciorul „b” este înălțimea dorită a triunghiului echilateral.
Deci, în exemplul nostru de triunghi echilateral cu o latură cunoscută de 8: c = 8 și a = 4.
Introduceți aceste valori în teorema lui Pitagora și calculați b2. În primul rând, pătrați „c” și „a” (înmulțiți fiecare valoare de la sine). Apoi scade a2 din c2.
42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48
Elimina rădăcină pătrată din b2 pentru a afla înălțimea triunghiului. Pentru a face acest lucru, utilizați un calculator. Valoarea rezultată va fi înălțimea triunghiului tău echilateral!
b = √48 = 6,93
Cum să găsiți înălțimea folosind unghiuri și laturi
Gândiți-vă ce semnificații cunoașteți. Puteți găsi înălțimea unui triunghi dacă cunoașteți valorile laturilor și unghiurilor. De exemplu, dacă unghiul dintre bază și latură este cunoscut. Sau dacă sunt cunoscute valorile tuturor celor trei părți. Deci, să notăm laturile triunghiului: „a”, „b”, „c”, unghiurile triunghiului: „A”, „B”, „C”, iar zona - litera „S”.
Dacă cunoști toate cele trei laturi, vei avea nevoie de aria triunghiului și de formula lui Heron.
Dacă cunoașteți cele două laturi și unghiul dintre ele, puteți utiliza următoarea formulă pentru a găsi aria: S=1/2ab(sinC).
Dacă vi se dau valorile tuturor celor trei părți, utilizați formula lui Heron. Folosind această formulă, va trebui să efectuați mai mulți pași. Mai întâi trebuie să găsiți variabila „s” (notăm jumătate din perimetrul triunghiului cu această literă). Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile cunoscute în această formulă: s = (a+b+c)/2.
Pentru un triunghi cu laturile a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Rezultatul este: s=12/2, unde s=6.
Apoi, ca un al doilea pas, găsim zona (a doua parte a formulei lui Heron). Aria = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). În loc de cuvântul „zonă”, introduceți formula echivalentă pentru a găsi zona: 1/2bh (sau 1/2ah, sau 1/2ch).
Acum găsiți o expresie echivalentă pentru înălțime (h). Pentru triunghiul nostru va fi valabilă următoarea ecuație: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Unde 3/2h=√(6(2(3(1))). Se dovedește că 3/2h = √(36). Folosind un calculator, calculați rădăcina pătrată. În exemplul nostru: 3/2h = 6. Se dovedește că înălțimea (h) este egală cu 4, latura b este baza.
Dacă, în funcție de condițiile problemei, se cunosc două laturi și un unghi, puteți utiliza o formulă diferită. Înlocuiți aria din formulă cu expresia echivalentă: 1/2bh. Astfel, veți obține următoarea formulă: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Poate fi simplificată la următoarea formă: h = a(sin C) pentru a elimina o variabilă necunoscută.
Acum nu mai rămâne decât să rezolvăm ecuația rezultată. De exemplu, fie „a” = 3, „C” = 40 de grade. Atunci ecuația va arăta astfel: „h” = 3 (sin 40). Folosind un calculator și un tabel de sinusuri, calculați valoarea lui „h”. În exemplul nostru, h = 1,928.
Pentru a rezolva multe probleme geometrice trebuie să găsiți înălțimea cifra dată. Aceste sarcini au o semnificație practică. Atunci când se efectuează lucrări de construcție, determinarea înălțimii ajută la calcularea cantității necesare de materiale, precum și la determinarea cu exactitate a pantelor și a deschiderilor. Adesea, pentru a crea modele, trebuie să aveți o idee despre proprietăți
Pentru mulți oameni, în ciuda note bune La școală, atunci când construiești figuri geometrice obișnuite, se pune întrebarea cum să găsești înălțimea unui triunghi sau paralelogram. Și este cel mai dificil. Acest lucru se datorează faptului că un triunghi poate fi acut, obtuz, isoscel sau drept. Fiecare dintre ele are propriile reguli de construcție și calcul.
Cum să găsiți înălțimea unui triunghi în care toate unghiurile sunt acute, grafic
Dacă toate unghiurile unui triunghi sunt acute (fiecare unghi din triunghi este mai mic de 90 de grade), atunci pentru a găsi înălțimea trebuie să faceți următoarele.
- Folosind parametrii dați, construim un triunghi.
- Să introducem o notație. A, B și C vor fi vârfurile figurii. Unghiurile corespunzătoare fiecărui vârf sunt α, β, γ. Laturile opuse acestor unghiuri sunt a, b, c.
- Altitudinea este perpendiculara trasată de la vârful unghiului spre partea opusă a triunghiului. Pentru a găsi înălțimile unui triunghi, construim perpendiculare: de la vârful unghiului α la latura a, de la vârful unghiului β la latura b și așa mai departe.
- Să notăm punctul de intersecție al înălțimii și al laturii a ca H1, iar înălțimea însăși ca h1. Punctul de intersecție al înălțimii și al laturii b va fi H2, respectiv înălțimea, h2. Pentru latura c, înălțimea va fi h3 și punctul de intersecție va fi H3.
Înălțimea într-un triunghi cu un unghi obtuz
Acum să ne uităm la cum să găsim înălțimea unui triunghi dacă există unul (mai mult de 90 de grade). În acest caz, altitudinea trasată din unghiul obtuz va fi în interiorul triunghiului. Cele două înălțimi rămase vor fi în afara triunghiului.
Fie unghiurile α și β din triunghiul nostru să fie acute, iar unghiul γ obtuz. Apoi, pentru a construi înălțimile care provin de la unghiurile α și β, este necesar să se continue laturile triunghiului opus acestora pentru a desena perpendiculare.
Cum se află înălțimea unui triunghi isoscel
O astfel de figură are două laturi egale și o bază, în timp ce unghiurile de la bază sunt, de asemenea, egale între ele. Această egalitate a laturilor și unghiurilor face mai ușor să construiți înălțimi și să le calculați.
Mai întâi, să desenăm triunghiul în sine. Fie laturile b și c, precum și unghiurile β, γ, să fie egale, respectiv.
Acum să desenăm înălțimea de la vârful unghiului α, notând-o h1. Pentru această înălțime va fi atât o bisectoare, cât și o mediană.
Pentru fundație se poate face o singură construcție. De exemplu, trageți o mediană - un segment care leagă vârful unui triunghi isoscel și latura opusă, baza, pentru a găsi înălțimea și bisectoarea. Și pentru a calcula lungimea înălțimii pentru celelalte două laturi, puteți construi o singură înălțime. Astfel, pentru a determina grafic cum se calculează înălțimea unui triunghi isoscel, este suficient să găsim două din cele trei înălțimi.
Cum se află înălțimea unui triunghi dreptunghic
Pentru un triunghi dreptunghic, determinarea înălțimilor este mult mai ușoară decât pentru alții. Acest lucru se întâmplă deoarece picioarele în sine formează un unghi drept și, prin urmare, sunt înălțimi.
Pentru a construi a treia înălțime, ca de obicei, trageți o perpendiculară care leagă vârful unghi drept iar partea opusă. Ca urmare, pentru a crea un triunghi în acest caz, este necesară o singură construcție.
Aproape niciodată nu este posibil să determinați toți parametrii unui triunghi fără construcții suplimentare. Aceste construcții sunt caracteristici grafice unice ale unui triunghi, care ajută la determinarea dimensiunii laturilor și unghiurilor.
Definiţie
Una dintre aceste caracteristici este înălțimea triunghiului. Altitudinea este o perpendiculară trasată de la vârful unui triunghi spre latura sa opusă. Un vârf este unul dintre cele trei puncte care, împreună cu cele trei laturi, formează un triunghi.
Definiția înălțimii unui triunghi poate suna astfel: înălțimea este perpendiculara trasată de la vârful triunghiului la linia dreaptă care conține latura opusă.
Această definiție sună mai complicată, dar reflectă mai exact situația. Faptul este că într-un triunghi obtuz nu este posibil să se deseneze înălțimea în interiorul triunghiului. După cum se poate observa în figura 1, înălțimea în acest caz este exterioară. În plus, nu este o situație standard să construiești înălțimea într-un triunghi dreptunghic. În acest caz, două din cele trei altitudini ale triunghiului vor trece prin catete, iar a treia de la vârf la ipotenuză.
Orez. 1. Înălțimea unui triunghi obtuz.
De obicei, înălțimea unui triunghi este desemnată prin litera h. Înălțimea este indicată și în alte figuri.
Cum să afli înălțimea unui triunghi?
Există trei moduri standard de a găsi înălțimea unui triunghi:
Prin teorema lui Pitagora
Această metodă este utilizată pentru triunghiuri echilaterale și isoscele. Să analizăm soluția pentru un triunghi isoscel și apoi să spunem de ce aceeași soluție este valabilă pentru un triunghi echilateral.
Dat: triunghi isoscel ABC cu baza AC. AB=5, AC=8. Aflați înălțimea triunghiului.
Orez. 2. Desen pentru problema.
Pentru un triunghi isoscel, este important să știți care latură este baza. Aceasta determină laturile care trebuie să fie egale, precum și înălțimea la care acționează anumite proprietăți.
Proprietăți ale altitudinii unui triunghi isoscel desenat la bază:
- Înălțimea coincide cu mediana și bisectoarea
- Împarte baza în două părți egale.
Notăm înălțimea ca ВD. Vom găsi DC ca jumătate din bază, deoarece înălțimea punctului D împarte baza la jumătate. DC=4
Înălțimea este o perpendiculară, ceea ce înseamnă că BDC este un triunghi dreptunghic, iar înălțimea BH este o catenă a acestui triunghi.
Să găsim înălțimea folosind teorema lui Pitagora: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$
Orice triunghi echilateral este isoscel, doar baza lui este egală cu laturile sale. Adică, puteți utiliza aceeași procedură.
Prin aria unui triunghi
Această metodă poate fi folosită pentru orice triunghi. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți aria triunghiului și latura în care este trasă înălțimea.
Înălțimile dintr-un triunghi nu sunt egale, așa că pentru latura corespunzătoare va fi posibil să se calculeze înălțimea corespunzătoare.
Formula ariei triunghiulare: $$S=(1\over2)*bh$$, unde b este latura triunghiului, a h este înălțimea trasă în această parte. Să exprimăm înălțimea din formula:
$$h=2*(S\peste b)$$
Dacă aria este 15, latura este 5, atunci înălțimea este $$h=2*(15\over5)=6$$
Prin funcţia trigonometrică
A treia metodă este potrivită dacă se cunosc latura și unghiul de la bază. Pentru a face acest lucru va trebui să utilizați funcția trigonometrică.
Orez. 3. Desen pentru problema.
Unghiul ВСН=300, iar latura BC=8. Mai avem același triunghi dreptunghic BCH. Să folosim sine. Sinusul este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, ceea ce înseamnă: BH/BC=cos BCH.
Unghiul este cunoscut, la fel ca și latura. Să exprimăm înălțimea triunghiului:
$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$
Valoarea cosinusului este luată în general din tabelele Bradis, dar valorile funcții trigonometrice pentru 30,45 și 60 de grade - numere tabelare.
Ce am învățat?
Am aflat care este înălțimea unui triunghi, ce înălțimi există și cum sunt desemnate. Ne-am dat seama de probleme tipice și am notat trei formule pentru înălțimea unui triunghi.
Test pe tema
Evaluarea articolului
Evaluare medie: 4.6. Evaluări totale primite: 137.
În primul rând, un triunghi este figură geometrică, care este format din trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și sunt legate prin trei segmente. Pentru a afla înălțimea unui triunghi, trebuie mai întâi să determinați tipul acestuia. Triunghiurile diferă în dimensiunea unghiurilor și a numărului unghiuri egale. În funcție de dimensiunea unghiurilor, un triunghi poate fi acut, obtuz și dreptunghiular. Pe baza numărului de laturi egale, triunghiurile se disting ca isoscel, echilateral și scalen. Altitudinea este perpendiculara care este coborâtă pe partea opusă a triunghiului față de vârful său. Cum să afli înălțimea unui triunghi?
Cum se află înălțimea unui triunghi isoscel
Un triunghi isoscel este caracterizat de egalitatea laturilor și a unghiurilor la baza sa, prin urmare înălțimile unui triunghi isoscel desenat pe laturile laterale sunt întotdeauna egale între ele. De asemenea, înălțimea triunghi dat este atât o mediană, cât și o bisectoare. În consecință, înălțimea împarte baza în jumătate. Considerăm triunghiul dreptunghic rezultat și găsim latura, adică înălțimea triunghiului isoscel, folosind teorema lui Pitagora. Folosind următoarea formulă, calculăm înălțimea: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, unde: a este latura laterală a acestui triunghi isoscel, b este baza acestui triunghi isoscel.
Cum se află înălțimea unui triunghi echilateral
Un triunghi cu laturile egale se numeste echilateral. Înălțimea unui astfel de triunghi este derivată din formula pentru înălțimea unui triunghi isoscel. Rezultă: H = √3/2*a, unde a este latura acestui triunghi echilateral.
Cum se află înălțimea unui triunghi scalen
Un scalen este un triunghi în care oricare două laturi nu sunt egale între ele. Într-un astfel de triunghi, toate cele trei înălțimi vor fi diferite. Puteți calcula lungimile înălțimilor folosind formula: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, unde a este latura triunghiului sau mai întâi calculați aria unui anumit triunghi folosind formula lui Heron, care arată astfel: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, unde a, b, c sunt laturile unui triunghi scalen, iar p este semiperimetrul acestuia. Fiecare inaltime = 2*zona/latura
Cum se află înălțimea unui triunghi dreptunghic
Un triunghi dreptunghic are un unghi drept. Înălțimea care merge la unul dintre picioare este în același timp și al doilea picior. Prin urmare, pentru a găsi înălțimile care se află pe picioare, trebuie să utilizați formula pitagoreică modificată: a = √(c 2 − b 2), unde a, b sunt picioarele (a este piciorul care trebuie găsit), c este lungimea ipotenuzei. Pentru a găsi a doua înălțime, trebuie să puneți valoarea rezultată a în locul lui b. Pentru a găsi a treia înălțime aflată în interiorul triunghiului, se folosește următoarea formulă: h = 2s/a, unde h este înălțimea triunghiului dreptunghic, s este aria acestuia, a este lungimea laturii la care va fi înălțimea. perpendicular.
Un triunghi se numește acut dacă toate unghiurile sale sunt acute. În acest caz, toate cele trei înălțimi sunt situate în interiorul unui triunghi ascuțit. Un triunghi se numește obtuz dacă are un unghi obtuz. Două altitudini ale unui triunghi obtuz sunt în afara triunghiului și cad pe continuarea laturilor. A treia latură este în interiorul triunghiului. Înălțimea este determinată folosind aceeași teoremă a lui Pitagora.
Formule generale pentru calcularea înălțimii unui triunghi
- Formula pentru determinarea înălțimii unui triunghi prin laturi: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), unde h este înălțimea care trebuie găsită, a, b și c sunt laturile lui un triunghi dat, p este semiperimetrul său, .
- Formula pentru aflarea înălțimii unui triunghi folosind un unghi și o latură: H=b sin y = c sin ß
- Formula pentru găsirea înălțimii unui triunghi prin zonă și latură: h = 2S/a, unde a este latura triunghiului și h este înălțimea construită pentru latura a.
- Formula pentru aflarea înălțimii unui triunghi folosind raza și laturile: H= bc/2R.