Sistemele de ecuații au fost utilizate pe scară largă în industria economică cu modelare matematică diverse procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rute logistice (problema de transport) sau amplasarea echipamentelor.
Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în matematică, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.
Sistem ecuații liniare numiți două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să găsiți o soluție comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.
Ecuație liniară
Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea unei ecuații prin reprezentarea ei va arăta ca o dreaptă, toate punctele care sunt soluții ale polinomului.
Tipuri de sisteme de ecuații liniare
Cele mai simple exemple sunt considerate a fi sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.
F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.
Rezolvarea sistemului de ecuații - aceasta înseamnă găsirea valorilor (x, y) la care se transformă sistemul adevărata egalitate sau determinați că nu există valori adecvate pentru x și y.
O pereche de valori (x, y), scrisă ca coordonatele unui punct, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.
Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, ele se numesc echivalente.
Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme a căror latură dreaptă este egală cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul egal are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem este eterogen.
Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.
Când se confruntă cu sisteme, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de necunoscute, dar nu este cazul. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile;
Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații
Nu există o metodă analitică generală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme; toate metodele se bazează pe soluții numerice. Cursul de matematică a școlii descrie în detaliu metode precum permutarea, adunarea algebrică, substituția, precum și cele grafice și metoda matricei, rezolvare prin metoda Gauss.
Sarcina principală atunci când predați metode de soluție este de a învăța cum să analizați corect sistemul și să găsiți algoritmul optim de soluție pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorezi un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegi principiile utilizării unei anumite metode.
Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare ale programului de clasa a VII-a școală gimnazială destul de simplu și explicat în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primii ani de învățământ superior.
Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției
Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile în termenii celei de-a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o formă cu o variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem
Să dăm o soluție unui exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa 7 folosind metoda substituției:
După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în a doua ecuație. . Rezolvarea acestui exemplu este ușoară și vă permite să obțineți valoarea Y Ultimul pas este să verificați valorile obținute.
Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și exprimarea variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, rezolvarea prin înlocuire este, de asemenea, inadecvată.
Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:
Rezolvare folosind adunarea algebrică
Când se caută soluții pentru sisteme folosind metoda adunării, ecuațiile sunt adăugate termen cu termen și înmulțite cu diverse numere. Scopul final al operațiilor matematice este o ecuație într-o variabilă.
Pentru Aplicații această metodă sunt necesare practică și observație. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării atunci când există 3 sau mai multe variabile nu este ușoară. Adunarea algebrică este convenabilă de utilizat atunci când ecuațiile conțin fracții și zecimale.
Algoritm de rezolvare:
- Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un anumit număr. Ca rezultat al operației aritmetice, unul dintre coeficienții variabilei ar trebui să devină egal cu 1.
- Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
- Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.
Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile
O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul necesită găsirea unei soluții pentru nu mai mult de două ecuații, de asemenea, numărul de necunoscute nu trebuie să fie mai mare de două.
Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată pentru necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este folosită pentru a determina variabila inițială.
Exemplul arată că prin introducerea unei noi variabile t, a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la un trinom pătratic standard. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.
Este necesar să se afle valoarea discriminantului folosind formula binecunoscută: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt factorii polinomului. În exemplul dat, a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci există o soluție: x = -b / 2*a.
Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.
Metoda vizuală de rezolvare a sistemelor
Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda constă în construirea graficelor fiecărei ecuații incluse în sistem pe axa de coordonate. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor și vor fi decizie generală sisteme.
Metoda grafică are o serie de nuanțe. Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare într-un mod vizual.
După cum se poate observa din exemplu, pentru fiecare linie s-au construit două puncte, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.
Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.
Următorul exemplu necesită găsirea unei soluții grafice pentru un sistem de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.
După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.
Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie amintit că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă un sistem are o soluție sau nu este întotdeauna necesar să construim un grafic.
Matricea și varietățile sale
Matricele sunt folosite pentru a scrie concis un sistem de ecuații liniare. O matrice este un tabel tip special plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.
O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice de o coloană cu infinit număr posibil linii. O matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și alte elemente zero se numește identitate.
O matrice inversă este o matrice, atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-o matrice unitară, o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală;
Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice
În raport cu sistemele de ecuații, coeficienții și termenii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere de matrice, o ecuație este un rând al matricei.
Se spune că un rând al unei matrice este diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este egal cu zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.
Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.
La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite secvenţial cu un număr.
Opțiuni pentru găsirea matricei inverse
Formula pentru găsirea matricei inverse este destul de simplă: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 - matrice inversă, și |K| este determinantul matricei. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.
Determinantul este ușor de calculat pentru o matrice de două câte două, trebuie doar să înmulțiți elementele diagonale între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numărul de coloane și rânduri de elemente să nu se repete în lucrare.
Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda matricei
Metoda matriceală de găsire a unei soluții vă permite să reduceți intrările greoaie atunci când rezolvați sisteme cu un număr mare de variabile și ecuații.
În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabile, iar b n sunt termeni liberi.
Rezolvarea sistemelor folosind metoda Gauss
ÎN matematica superioara Metoda Gaussiană este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a soluțiilor sistemelor se numește metoda soluției Gauss-Cramer. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi sisteme variabile cu un număr mare de ecuaţii liniare.
Metoda Gauss este foarte asemănătoare cu soluțiile prin substituție și adunare algebrică, dar este mai sistematică. În cursul școlar, soluția prin metoda Gauss este utilizată pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a reduce sistemul la forma unui trapez inversat. Prin intermediul transformărilor și substituțiilor algebrice, valoarea unei variabile se găsește într-una din ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute, în timp ce 3 și 4 sunt, respectiv, cu 3 și 4 variabile.
După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.
În manualele școlare pentru clasa a 7-a, un exemplu de soluție prin metoda Gauss este descris după cum urmează:
După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații: 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.
Teorema 5, care este menționată în text, afirmă că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.
Metoda gaussiană este greu de înțeles de către elevi liceu, dar este una dintre cele mai multe moduri interesante pentru a dezvolta ingeniozitatea copiilor care studiază în cadrul programului studiu aprofundat la orele de matematică și fizică.
Pentru ușurința înregistrării, calculele se fac de obicei după cum urmează:
Coeficienții ecuațiilor și termenii liberi se scriu sub formă de matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă a ecuației de dreapta. Numerele romane indică numerele de ecuații din sistem.
Mai întâi notează matricea cu care se lucrează, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată se scrie după semnul „săgeată” și se continuă operațiile algebrice necesare până la obținerea rezultatului.
Rezultatul ar trebui să fie o matrice în care una dintre diagonale este egală cu 1 și toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o formă unitară. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numere de ambele părți ale ecuației.
Această metodă de înregistrare este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea numeroaselor necunoscute.
Utilizarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și ceva experiență. Nu toate metodele sunt de natură aplicată. Unele metode de găsire a soluțiilor sunt mai de preferat într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopuri educaționale.
Ecuația liniară este ecuație algebrică, gradul total al cărui polinoame este egal cu unu. Rezolvarea ecuațiilor liniare - parte programa școlară, și nu cel mai dificil. Cu toate acestea, unii întâmpină dificultăți în completarea acestui subiect. Sperăm după citire acest material, toate dificultățile pentru tine vor fi de domeniul trecutului. Deci, hai să ne dăm seama. cum se rezolvă ecuații liniare.
Vedere generală
Ecuația liniară este reprezentată astfel:
- ax + b = 0, unde a și b sunt orice numere.
Deși a și b pot fi orice număr, valorile lor afectează numărul de soluții ale ecuației. Există mai multe cazuri speciale de soluție:
- Dacă a=b=0, ecuația are un număr infinit de soluții;
- Dacă a=0, b≠0, ecuația nu are soluție;
- Dacă a≠0, b=0, ecuația are o soluție: x = 0.
În cazul în care ambele numere au valori diferite de zero, ecuația trebuie rezolvată pentru a obține expresia finală a variabilei.
Cum să decizi?
Rezolvarea unei ecuații liniare înseamnă a afla cu ce este egală variabila. Cum să faci asta? Da, este foarte simplu - folosind operații algebrice simple și respectând regulile de transfer. Dacă ecuația vă apare în fața dvs. în formă generală, aveți noroc tot ce trebuie să faceți este:
- Mutați b în partea dreaptă a ecuației, fără a uita să schimbați semnul (regula de transfer!), așa că dintr-o expresie de forma ax + b = 0 ar trebui să obțineți o expresie de forma: ax = -b.
- Aplicați regula: pentru a găsi unul dintre factori (x - în cazul nostru), trebuie să împărțiți produsul (-b în cazul nostru) cu un alt factor (a - în cazul nostru). Astfel, ar trebui să obțineți o expresie de forma: x = -b/a.
Asta e - s-a găsit o soluție!
Acum să ne uităm la un exemplu specific:
- 2x + 4 = 0 - mutați b, egal cu 4 în acest caz, în partea dreaptă
- 2x = -4 - împărțiți b la a (nu uitați de semnul minus)
- x = -4/2 = -2
Asta este! Soluția noastră: x = -2.
După cum puteți vedea, soluția unei ecuații liniare cu o variabilă este destul de simplu de găsit, dar totul este atât de simplu dacă avem norocul să găsim ecuația în forma ei generală. În cele mai multe cazuri, înainte de a rezolva ecuația în cei doi pași descriși mai sus, trebuie de asemenea să reduceți expresia existentă la aspectul general. Cu toate acestea, nici aceasta nu este o sarcină extrem de dificilă. Să ne uităm la câteva cazuri speciale folosind exemple.
Rezolvarea cazurilor speciale
Mai întâi, să ne uităm la cazurile pe care le-am descris la începutul articolului și să explicăm ce înseamnă să ai un număr infinit de soluții și nicio soluție.
- Dacă a=b=0, ecuația va arăta astfel: 0x + 0 = 0. Efectuând primul pas, obținem: 0x = 0. Ce înseamnă această prostie, exclami tu! La urma urmei, indiferent de ce număr înmulți cu zero, obții întotdeauna zero! Corect! De aceea se spune că ecuația are un număr infinit de soluții - indiferent de numărul pe care îl luați, egalitatea va fi adevărată, 0x = 0 sau 0=0.
- Dacă a=0, b≠0, ecuația va arăta astfel: 0x + 3 = 0. Efectuați primul pas, obținem 0x = -3. Din nou prostii! Este evident că această egalitate nu va fi niciodată adevărată! De aceea se spune că ecuația nu are soluții.
- Dacă a≠0, b=0, ecuația va arăta astfel: 3x + 0 = 0. Efectuând primul pas, obținem: 3x = 0. Care este soluția? Este ușor, x = 0.
Pierdut în traducere
Cazurile speciale descrise nu sunt tot ceea ce ne pot surprinde ecuațiile liniare. Uneori, ecuația este dificil de identificat la prima vedere. Să ne uităm la un exemplu:
- 12x - 14 = 2x + 6
Este aceasta o ecuație liniară? Dar zeroul din partea dreaptă? Să nu ne grăbim să ajungem la concluzii, să acționăm - să mutăm toate componentele ecuației noastre spre stânga. Primim:
- 12x - 2x - 14 - 6 = 0
Acum scădem like din like, obținem:
- 10x - 20 = 0
Ai aflat? Cea mai liniară ecuație vreodată! Soluția la care este: x = 20/10 = 2.
Dacă avem acest exemplu:
- 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)
Da, aceasta este și o ecuație liniară, trebuie efectuate doar mai multe transformări. Mai întâi, să deschidem parantezele:
- (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
- 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
- 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - acum efectuăm transferul:
- 25x - 4 = 0 - rămâne de găsit o soluție folosind schema deja cunoscută:
- 25x = 4,
- x = 4/25 = 0,16
După cum puteți vedea, totul poate fi rezolvat, principalul lucru nu este să vă faceți griji, ci să acționați. Amintiți-vă, dacă ecuația dvs. conține doar variabile și numere de gradul întâi, aveți o ecuație liniară care, indiferent de cum arată inițial, poate fi redusă la o formă generală și rezolvată. Sperăm că totul merge bine pentru tine! Noroc!
În acest videoclip vom analiza un întreg set de ecuații liniare care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.
Mai întâi, să definim: ce este o ecuație liniară și care se numește cea mai simplă?
O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai la primul grad.
Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:
Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:
- Extindeți parantezele, dacă există;
- Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
- Dați termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
- Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $x$.
Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori după toate aceste mașinațiuni coeficientul variabilei $x$ se dovedește a fi egal cu zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:
- Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când se dovedește ceva de genul $0\cdot x=8$, de exemplu. în stânga este zero, iar în dreapta este un alt număr decât zero. În videoclipul de mai jos vom analiza mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
- Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil este atunci când ecuația a fost redusă la construcția $0\cdot x=0$. Este destul de logic că, indiferent de ce $x$ înlocuim, se va dovedi totuși „zero este egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.
Acum să vedem cum funcționează toate acestea folosind exemple din viața reală.
Exemple de rezolvare a ecuațiilor
Astăzi avem de-a face cu ecuații liniare și doar cu cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.
Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:
- În primul rând, trebuie să extindeți parantezele, dacă există (ca în ultimul nostru exemplu);
- Apoi combinați similar
- În cele din urmă, izolați variabila, adică mutați tot ceea ce este legat de variabilă - termenii în care este conținut - într-o parte și mutați tot ce rămâne fără ea în cealaltă parte.
Apoi, de regulă, trebuie să aduceți altele similare de fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea tot ce rămâne este să împărțiți cu coeficientul lui „x”, iar vom obține răspunsul final.
În teorie, acest lucru pare frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, erorile sunt făcute fie la deschiderea parantezelor, fie la calcularea „plusurilor” și „minusurilor”.
În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții sau ca soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Ne vom uita la aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, așa cum ați înțeles deja, cu chiar sarcini simple.
Schema de rezolvare a ecuatiilor liniare simple
Mai întâi, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:
- Extindeți parantezele, dacă există.
- Izolăm variabilele, adică Mutăm tot ce conține „X” într-o parte și tot ce nu conține „X” în cealaltă.
- Prezentăm termeni similari.
- Împărțim totul cu coeficientul lui „x”.
Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, există anumite subtilități și trucuri în ea, iar acum le vom cunoaște.
Rezolvarea exemplelor reale de ecuații liniare simple
Sarcina nr. 1
Primul pas ne cere să deschidem parantezele. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste acest pas. În a doua etapă trebuie să izolam variabilele. Vă rugăm să rețineți: vorbim doar despre termeni individuali. Hai sa o scriem:
Prezentăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru s-a făcut deja aici. Prin urmare, trecem la pasul al patrulea: împărțim la coeficient:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Deci am primit răspunsul.
Sarcina nr. 2
Putem vedea parantezele din această problemă, așa că haideți să le extindem:
Atat in stanga cat si in dreapta vedem aproximativ acelasi design, dar sa actionam conform algoritmului, i.e. separarea variabilelor:
Iată câteva asemănătoare:
La ce rădăcini funcționează asta? Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $x$ este orice număr.
Sarcina nr. 3
A treia ecuație liniară este mai interesantă:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Aici sunt mai multe paranteze, dar nu sunt înmulțite cu nimic, pur și simplu sunt precedate de semne diferite. Să le defalcăm:
Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Hai să facem calculul:
Efectuăm ultimul pas - împărțim totul la coeficientul lui „x”:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare
Dacă ignorăm sarcinile prea simple, aș dori să spun următoarele:
- După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
- Chiar dacă există rădăcini, ar putea fi zero printre ele - nu este nimic în neregulă cu asta.
Zero este același număr ca și ceilalți;
O altă caracteristică este legată de deschiderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus. Și apoi îl putem deschide folosind algoritmi standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.
Înțelegând asta simplu fapt vă va permite să evitați să faceți greșeli stupide și jignitoare în liceu, când a face astfel de acțiuni este de la sine înțeles.
Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe
Să trecem la ecuații mai complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complexe și la efectuarea diferitelor transformări va apărea o funcție pătratică. Cu toate acestea, nu ar trebui să ne fie frică de acest lucru, deoarece dacă, conform planului autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în timpul procesului de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică se vor anula cu siguranță.
Exemplul nr. 1
Evident, primul pas este deschiderea parantezelor. Să facem asta cu mare atenție:
Acum să aruncăm o privire asupra confidențialității:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Iată câteva asemănătoare:
Evident, această ecuație nu are soluții, așa că vom scrie asta în răspuns:
\[\varnothing\]
sau nu există rădăcini.
Exemplul nr. 2
Efectuăm aceleași acțiuni. Primul pas:
Să mutăm totul cu o variabilă la stânga și fără ea - la dreapta:
Iată câteva asemănătoare:
Evident, această ecuație liniară nu are soluție, așa că o vom scrie astfel:
\[\varnothing\],
sau nu există rădăcini.
Nuanțe ale soluției
Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Folosind aceste două expresii ca exemplu, ne-am convins încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate exista fie una, fie niciuna, fie infinit de multe rădăcini. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, ambele pur și simplu nu au rădăcini.
Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu parantezele și cum să le deschideți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:
Înainte de deschidere, trebuie să înmulțiți totul cu „X”. Vă rugăm să rețineți: se înmulțește fiecare termen individual. În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și înmulțiți.
Și numai după ce aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase au fost finalizate, puteți deschide paranteza din punctul de vedere al faptului că există un semn minus după el. Da, da: abia acum, când transformările sunt finalizate, ne amintim că în fața parantezelor este un semn minus, ceea ce înseamnă că tot ce este dedesubt pur și simplu schimbă semnele. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minus” din față.
Facem același lucru cu a doua ecuație:
Nu întâmplător sunt atent la aceste fapte mărunte, aparent nesemnificative. Pentru că rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune transformări elementare, unde incapacitatea de a efectua clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.
Desigur, va veni și ziua în care vei perfecționa aceste abilități până la automatism. Nu va mai trebui să efectuați atât de multe transformări de fiecare dată, veți scrie totul pe o singură linie. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.
Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe
Ceea ce vom rezolva acum cu greu poate fi numit cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.
Sarcina nr. 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Să înmulțim toate elementele din prima parte:
Să facem puțină confidențialitate:
Iată câteva asemănătoare:
Să parcurgem ultimul pas:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu o funcție pătratică, aceștia s-au anulat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie liniară și nu pătratică.
Sarcina nr. 2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Să facem cu atenție primul pas: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. Ar trebui să existe un total de patru termeni noi după transformări:
Acum să efectuăm cu atenție înmulțirea în fiecare termen:
Să mutăm termenii cu „X” la stânga și cei fără - la dreapta:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Iată termeni similari:
Încă o dată am primit răspunsul final.
Nuanțe ale soluției
Cea mai importantă notă despre aceste două ecuații este următoarea: de îndată ce începem să înmulțim paranteze care conțin mai mult de un termen, acest lucru se face după următoarea regulă: luăm primul termen din primul și înmulțim cu fiecare element din al doilea; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca urmare, vom avea patru mandate.
Despre suma algebrică
Cu acest ultim exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin $1-7$ înțelegem o construcție simplă: scădeți șapte din unu. În algebră, înțelegem următoarele prin aceasta: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Acesta este modul în care o sumă algebrică diferă de o sumă aritmetică obișnuită.
De îndată ce, atunci când efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare celor descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.
În cele din urmă, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și pentru a le rezolva va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.
Rezolvarea ecuațiilor cu fracții
Pentru a rezolva astfel de sarcini, va trebui să mai adăugăm un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, permiteți-mi să vă reamintesc algoritmul nostru:
- Deschideți parantezele.
- Variabile separate.
- Aduceți altele asemănătoare.
- Împărțiți la raport.
Din păcate, acest algoritm minunat, cu toată eficacitatea sa, se dovedește a nu fi pe deplin potrivit atunci când avem fracții în fața noastră. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție atât în stânga cât și în dreapta în ambele ecuații.
Cum se lucrează în acest caz? Da, este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi făcut atât înainte, cât și după prima acțiune, și anume, scăparea de fracții. Deci algoritmul va fi după cum urmează:
- Scapă de fracții.
- Deschideți parantezele.
- Variabile separate.
- Aduceți altele asemănătoare.
- Împărțiți la raport.
Ce înseamnă „să scapi de fracții”? Și de ce se poate face acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice la numitorul lor, adică. Peste tot numitorul este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, vom scăpa de fracții.
Exemplul nr. 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Vă rugăm să rețineți: totul este înmulțit cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să le înmulți pe fiecare cu „patru”. Hai sa scriem:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Acum să extindem:
Izolam variabila:
Efectuăm reducerea termenilor similari:
\[-4x=-1\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Am primit soluția finală, să trecem la a doua ecuație.
Exemplul nr. 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problema este rezolvată.
Asta, de fapt, este tot ce am vrut să vă spun astăzi.
Puncte cheie
Constatările cheie sunt:
- Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
- Abilitatea de a deschide paranteze.
- Nu-ți face griji dacă vezi funcții pătratice, cel mai probabil, în procesul de transformări ulterioare vor scădea.
- Există trei tipuri de rădăcini în ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină și nicio rădăcină.
Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site și rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, vă așteaptă multe alte lucruri interesante!
Mai întâi trebuie să înțelegeți ce este.
Există o definiție simplă ecuație liniară, care este dat într-o școală obișnuită: „o ecuație în care variabila apare doar la prima putere.” Dar nu este în întregime corectă: ecuația nu este liniară, nici măcar nu se reduce la asta, se reduce la pătratică.
O definiție mai precisă este: ecuație liniară este o ecuație care, folosind transformări echivalente poate fi redusă la forma , unde title="a,b în bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}
De fapt, pentru a înțelege dacă o ecuație este liniară sau nu, trebuie mai întâi simplificată, adică adusă la o formă în care clasificarea ei să fie lipsită de ambiguitate. Amintiți-vă, puteți face orice doriți cu o ecuație, atâta timp cât nu își schimbă rădăcinile - asta este. conversie echivalentă. Cele mai simple transformări echivalente includ:
- parantezele de deschidere
- aducând similare
- înmulțirea și/sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații cu un număr diferit de zero
- adunarea și/sau scăderea din ambele părți ale aceluiași număr sau expresie*
*O interpretare particulară a ultimei transformări este „transferul” de termeni dintr-o parte în alta cu schimbare de semn.
Exemplul 1:
(să deschidem parantezele)
(adăugați ambele părți și scădeți/transferați cu schimbarea semnului numărului la stânga și a variabilelor la dreapta)
(sa dam altele asemanatoare)
(împărțiți ambele părți ale ecuației la 3)
Deci obținem o ecuație care are aceleași rădăcini ca și cea originală. Să reamintim cititorului că "rezolvați ecuația"- înseamnă a-i găsi toate rădăcinile și a dovedi că nu există altele, și „rădăcina ecuației”- acesta este un număr care, atunci când este înlocuit cu necunoscutul, va transforma ecuația într-o egalitate adevărată. Ei bine, în ultima ecuație, găsirea unui număr care transformă ecuația într-o egalitate adevărată este foarte simplă - acesta este numărul. Niciun alt număr nu va face o identitate din această ecuație. Răspuns:
Exemplul 2:
(înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 
, după ce ne-am asigurat că nu înmulțim cu : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(să deschidem parantezele)
(să mutam termenii)
(sa dam altele asemanatoare)
(împărțim ambele părți la )
Cam așa sunt rezolvate toate ecuațiile liniare. Pentru cititorii mai tineri, cel mai probabil, această explicație părea complicată, așa că oferim o versiune „ecuații liniare pentru clasa a 5-a”
Învățarea rezolvării ecuațiilor este una dintre sarcinile principale pe care algebra le pune elevilor. Începând cu cele mai simple, când constă dintr-o necunoscută, și trecând la altele din ce în ce mai complexe. Dacă nu ați stăpânit acțiunile care trebuie efectuate cu ecuații din primul grup, va fi greu să le înțelegeți pe celelalte.
Pentru a continua conversația, trebuie să fiți de acord asupra notării.
Forma generală a unei ecuații liniare cu o necunoscută și principiul soluției acesteia
Orice ecuație care poate fi scrisă astfel:
a * x = b,
numit liniar. Aceasta este formula generală. Dar adesea în atribuiri ecuațiile liniare sunt scrise în formă implicită. Apoi este necesar să se efectueze transformări identice pentru a obține o notație general acceptată. Aceste acțiuni includ:
- paranteze de deschidere;
- mutarea tuturor termenilor cu o valoare variabilă în partea stângă a egalității, iar restul la dreapta;
- reducerea termenilor similari.
În cazul în care o cantitate necunoscută se află în numitorul unei fracții, este necesar să se determine valorile acesteia la care expresia nu va avea sens. Cu alte cuvinte, trebuie să cunoașteți domeniul de definire al ecuației.
Principiul prin care sunt rezolvate toate ecuațiile liniare se rezumă la împărțirea valorii din partea dreaptă a ecuației la coeficientul din fața variabilei. Adică, „x” va fi egal cu b/a.
Cazuri speciale de ecuații liniare și soluțiile acestora
În timpul raționamentului, pot apărea momente când ecuațiile liniare iau una dintre formele speciale. Fiecare dintre ele are o soluție specifică.
In prima situatie:
a * x = 0, și a ≠ 0.
Soluția unei astfel de ecuații va fi întotdeauna x = 0.
În al doilea caz, „a” ia valoarea egală cu zero:
0 * x = 0.
Răspunsul la o astfel de ecuație va fi orice număr. Adică are un număr infinit de rădăcini.
A treia situație arată astfel:
0 * x = in, unde în ≠ 0.
Această ecuație nu are sens. Pentru că nu există rădăcini care să-l satisfacă.
Vedere generală a unei ecuații liniare cu două variabile
Din numele său devine clar că există deja două cantități necunoscute în el. Ecuații liniare în două variabile arata asa:
a * x + b * y = c.
Deoarece există două necunoscute în înregistrare, răspunsul va arăta ca o pereche de numere. Adică nu este suficient să specificați o singură valoare. Acesta va fi un răspuns incomplet. O pereche de mărimi pentru care ecuația devine o identitate este o soluție a ecuației. Mai mult, în răspuns, variabila care vine prima în alfabet este întotdeauna scrisă prima. Uneori se spune că aceste cifre îl mulțumesc. Mai mult, poate exista un număr infinit de astfel de perechi.
Cum se rezolvă o ecuație liniară cu două necunoscute?
Pentru a face acest lucru, trebuie doar să selectați orice pereche de numere care se dovedește a fi corectă. Pentru simplitate, puteți lua una dintre necunoscutele egală cu un număr prim și apoi găsiți al doilea.
Când rezolvați, de multe ori trebuie să efectuați pași pentru a simplifica ecuația. Ele se numesc transformări identitare. În plus, următoarele proprietăți sunt întotdeauna adevărate pentru ecuații:
- fiecare termen poate fi mutat în partea opusă a egalității prin înlocuirea semnului său cu cel opus;
- Laturile stânga și dreapta ale oricărei ecuații pot fi împărțite la același număr, atâta timp cât acesta nu este egal cu zero.
Exemple de sarcini cu ecuații liniare
Prima sarcină. Rezolvați ecuații liniare: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.
În ecuația care vine prima pe această listă, împărțiți pur și simplu 20 la 4. Rezultatul va fi 5. Acesta este răspunsul: x = 5.
A treia ecuație necesită efectuarea unei transformări de identitate. Acesta va consta în deschiderea parantezelor și aducerea unor termeni similari. După primul pas, ecuația va lua forma: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Apoi trebuie să mutați toate necunoscutele în partea stângă a ecuației, iar restul în dreapta. Ecuația va arăta astfel: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. După adăugarea unor termeni similari: 14x = 16. Acum arată la fel ca prima, iar soluția ei este ușor de găsit. Răspunsul va fi x=8/7. Dar în matematică ar trebui să izolați întreaga parte dintr-o fracție improprie. Apoi rezultatul va fi transformat, iar „x” va fi egal cu un întreg și o șapte.
În exemplele rămase, variabilele sunt la numitor. Aceasta înseamnă că mai întâi trebuie să aflați la ce valori sunt definite ecuațiile. Pentru a face acest lucru, trebuie să excludeți numerele la care numitorii merg la zero. În primul exemplu este „-4”, în al doilea este „-3”. Adică, aceste valori trebuie excluse din răspuns. După aceasta, trebuie să înmulțiți ambele părți ale egalității cu expresiile din numitor.
Deschizând parantezele și aducând termeni similari, în prima dintre aceste ecuații obținem: 5x + 15 = 4x + 16, iar în a doua 5x + 15 = 4x + 12. După transformări, soluția primei ecuații va fi x = -1. Al doilea se dovedește a fi egal cu „-3”, ceea ce înseamnă că acesta din urmă nu are soluții.
A doua sarcină. Rezolvați ecuația: -7x + 2y = 5.
Să presupunem că prima necunoscută x = 1, apoi ecuația va lua forma -7 * 1 + 2y = 5. Mutând factorul „-7” în partea dreaptă a egalității și schimbându-i semnul în plus, rezultă că 2y = 12. Aceasta înseamnă y =6. Răspuns: una dintre soluțiile ecuației x = 1, y = 6.
Forma generală a inegalității cu o variabilă
Toate situațiile posibile pentru inegalități sunt prezentate aici:
- a * x > b;
- a * x< в;
- a * x ≥b;
- a * x ≤в.
În general, arată ca o ecuație liniară simplă, doar semnul egal este înlocuit cu o inegalitate.
Reguli pentru transformările identitare ale inegalității
La fel ca ecuațiile liniare, inegalitățile pot fi modificate conform anumitor legi. Ele se rezumă la următoarele:
- orice expresie alfabetică sau numerică poate fi adăugată la partea stângă și dreaptă a inegalității, iar semnul inegalității rămâne același;
- de asemenea, puteți înmulți sau împărți cu același număr pozitiv, iar acest lucru nu schimbă semnul;
- la înmulțirea sau împărțirea la același lucru număr negativ egalitatea va rămâne adevărată cu condiția ca semnul inegalității să fie inversat.
Vedere generală a inegalităților duble
Următoarele inegalități pot fi prezentate în probleme:
- V< а * х < с;
- c ≤ a * x< с;
- V< а * х ≤ с;
- c ≤ a * x ≤ c.
Se numește dublu deoarece este limitat de semne de inegalitate de ambele părți. Se rezolvă folosind aceleași reguli ca și inegalitățile obișnuite. Și găsirea răspunsului se rezumă la o serie transformări identitare. Până se obține cel mai simplu.
Caracteristici ale rezolvării inegalităților duble
Prima dintre ele este imaginea sa pe axa de coordonate. Nu este nevoie să folosiți această metodă pentru inegalități simple. Dar în cazuri dificile poate fi pur și simplu necesar.
Pentru a reprezenta o inegalitate, trebuie să marcați pe axă toate punctele care au fost obținute în timpul raționamentului. Acestea sunt valori nevalide, care sunt indicate prin puncte perforate, și valori din inegalitățile obținute în urma transformărilor. Și aici este important să desenați corect punctele. Dacă inegalitatea este strictă, adică< или >, atunci aceste valori sunt eliminate. În inegalitățile nestricte, punctele trebuie să fie umbrite.
Apoi este necesar să se indice sensul inegalităților. Acest lucru se poate face folosind umbrirea sau arce. Intersecția lor va indica răspunsul.
A doua caracteristică este legată de înregistrarea acesteia. Există două opțiuni oferite aici. Prima este inegalitatea finală. Al doilea este sub formă de intervale. Cu el se întâmplă să apară dificultăți. Răspunsul în spații arată întotdeauna ca o variabilă cu semn de apartenență și paranteze cu numere. Uneori există mai multe spații, atunci trebuie să scrieți simbolul „și” între paranteze. Aceste semne arată astfel: ∈ și ∩. Parantezele de spațiere joacă, de asemenea, un rol. Cel rotund este plasat atunci când punctul este exclus din răspuns, iar cel dreptunghiular include această valoare. Semnul infinitului este întotdeauna între paranteze.
Exemple de rezolvare a inegalităților
1. Rezolvați inegalitatea 7 - 5x ≥ 37.
După transformări simple, obținem: -5x ≥ 30. Împărțind la „-5” se obține următoarea expresie: x ≤ -6. Acesta este deja răspunsul, dar se poate scrie în alt mod: x ∈ (-∞; -6].
2. Rezolvați inegalitatea dublă -4< 2x + 6 ≤ 8.
Mai întâi trebuie să scazi 6 peste tot. Obții: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].