Formulele unghiului dublu sunt folosite pentru a exprima sinusurile, cosinusurile, tangentele, cotangentele unui unghi cu valoarea 2 α folosind funcțiile trigonometrice ale unghiului α. Acest articol va introduce toate formulele cu unghi dublu cu dovezi. Vor fi luate în considerare exemple de aplicare a formulelor. În partea finală vor fi prezentate formulele pentru unghiurile triple și cvadruple.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Lista formulelor cu unghi dublu
Pentru a converti formulele cu unghi dublu, ar trebui să rețineți că unghiurile din trigonometrie au forma n α notație, unde n este un număr natural, valoarea expresiei este scrisă fără paranteze. Astfel, notația sin n α este considerată a avea același sens ca sin (n α) . Când notăm sin n α, avem o notație similară (sin α) n. Utilizarea notației este aplicabilă tuturor funcțiilor trigonometrice cu puteri n.
Mai jos sunt formulele unghiului dublu:
sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α
Rețineți că aceste formule sin și cos sunt aplicabile cu orice valoare a unghiului α. Formula tangentei cu unghi dublu este valabilă pentru orice valoare a lui α, unde t g 2 α are sens, adică α ≠ π 4 + π 2 · z, z este orice număr întreg. Cotangenta unghiului dublu există pentru orice α, unde c t g 2 α este definită la α ≠ π 2 z.
Cosinusul unui unghi dublu are notația triplă a unui unghi dublu. Toate sunt aplicabile.
Dovada formulelor cu unghi dublu
Dovada formulelor pleacă de la formulele de adunare. Să aplicăm formulele pentru sinusul sumei:
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β și cosinusul sumei cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β. Să presupunem că β = α, atunci obținem asta
sin (α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α și cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - sin 2 α
Astfel, sunt dovedite formulele pentru sinusul și cosinusul unghiului dublu sin 2 α = 2 · sin α · cos α și cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α.
Formulele rămase cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α și cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 conduc la forma cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, la înlocuirea lui 1 cu suma pătratelor cu identitatea principală sin 2 α + cos 2 α = 1 . Obținem că sin 2 α + cos 2 α = 1. Deci 1 - 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α și 2 cos 2 α - 1 = 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - sin 2 α.
Pentru a demonstra formulele pentru unghiul dublu de tangentă și cotangente, aplicăm egalitățile t g 2 α = sin 2 α cos 2 α și c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α. După transformare, obținem că t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α și c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Împărțiți expresia la cos 2 α, unde cos 2 α ≠ 0 cu orice valoare a lui α când este definită t g α. Împărțim o altă expresie cu sin 2 α, unde sin 2 α ≠ 0 cu orice valoare a lui α, când c t g 2 α are sens. Pentru a demonstra formula unghiului dublu pentru tangentă și cotangentă, înlocuim și obținem:
Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!
Formulele cu unghi dublu fac posibilă exprimarea funcțiilor trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă, cotangentă) ale unghiului `2\alpha` prin chiar aceste funcții ale unghiului `\alpha`.
Lista de mai jos este formulele de bază ale unghiului dublu cel mai frecvent utilizate în trigonometrie. Pentru cosinus sunt trei dintre ele, toate sunt echivalente și la fel de importante.
`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)`
Următoarele identități exprimă toate funcțiile trigonometrice ale unghiului `2\alpha` prin funcțiile tangentă și cotangentă ale unghiului `\alpha`.
`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha)(ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
Formulele pentru cosinus și sinus ale unui unghi dublu funcționează pentru orice unghi `\alpha`. Formulele pentru tangentei unui unghi dublu sunt valabile pentru acele `\alpha` pentru care este definit `tg\2\alpha`, adică pentru ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \n \în Z`. În mod similar, pentru cotangentă ele apar pentru acele `\alpha` pentru care este definit `ctg \2\alpha`, adică pentru ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \n \in Z`.
Dovada formulelor cu unghi dublu
Toate formulele unghiului dublu sunt derivate din formulele pentru suma și diferența de unghiuri ale funcțiilor trigonometrice.
Să luăm două formule pentru suma unghiurilor sinusului și cosinusului:
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` și `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Luați `\beta=\alpha`, apoi `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha`, similar cu `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, care și demonstrează formule cu unghi dublu pentru sinus și cosinus.
Alte două egalități pentru cosinusul ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha ` și ` cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` sunt reduse la ceea ce a fost deja dovedit dacă înlocuim 1 în ele cu `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Deci `1-2 \sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` și ` 2 \cos^2 \alpha-1=` `2 \cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.
Pentru a demonstra formulele pentru tangentei unui unghi dublu și cotangentei, vom folosi definiția acestor funcții. Să scriem `tg \ 2\alpha` și `ctg \ 2\alpha` ca `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` și `ctg \ 2\alpha= \frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`. Aplicând formulele deja dovedite de unghi dublu pentru sinus și cosinus, obținem `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` și `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)`.
În cazul tangentei, împărțim numărătorul și numitorul fracției finale la `cos^2 \alpha`, pentru cotangente, la rândul său, la `sin^2 \alpha`.
`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` \frac (\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac ( 2\tg\\alpha)(1-tg^2 \alpha)`.
`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha ))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)`.
De asemenea, vă recomandăm să vizionați videoclipul pentru a consolida mai bine materialul teoretic:
Exemple de utilizare a formulelor pentru rezolvarea problemelor
Formulele cu unghi dublu sunt cel mai adesea folosite pentru a converti expresii trigonometrice. Să ne uităm la câteva dintre cazuri și la modul în care acestea pot fi aplicate în practică atunci când rezolvăm probleme specifice.
Exemplul 1. Verificați validitatea identităților unghiului dublu pentru `\alpha=30^\circ`.
Soluţie. Formulele noastre folosesc două unghiuri `\alpha` și `2\alpha`. Valoarea primului unghi este specificată în condiție, al doilea în consecință va fi `2\alpha=60^\circ`. De asemenea, cunoaștem valorile numerice pentru toate funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri. Să le scriem:
`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` și
`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.
Atunci vom avea
`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,
`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,
`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,
`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3)=\frac (\sqrt 3)3`.
Ceea ce demonstrează validitatea egalităților pentru unghiul specificat în condiție.
Exemplul 2. Exprimați `sin \frac (2\alpha)3` în termeni de funcții trigonometrice ale unghiului `\frac (\alpha)6`.
Soluţie. Să scriem unghiul sinusoidal după cum urmează ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. Apoi, aplicând formula unghiului dublu de două ori, ne putem rezolva problema.
În primul rând, vom folosi egalitatea sinusului unghiului dublu: ` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 `, acum vom aplica din nou formulele noastre pentru sinus și, respectiv, cosinus. Ca rezultat obținem:
` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
Răspuns. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
Formule cu unghi triplu
Aceste formule, similare celor anterioare, fac posibilă exprimarea funcțiilor unghiului `3\alpha` prin aceleași funcții ale unghiului `\alpha`.
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Ele pot fi dovedite folosind egalitățile de sumă și diferențele de unghi, precum și formulele unghiului dublu care ne sunt bine cunoscute.
`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.
În formula rezultată, înlocuiți `sin\3\alpha=3 sin\alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` cu `1-sin^2\alpha` și obțineți `sin \3 \alpha=3 \sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`.
De asemenea, pentru cosinusul unui unghi triplu:
`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.
Înlocuind `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` în egalitatea finală cu `1-cos^2\alpha`, obținem `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos \ \alpha`.
Folosind identitățile dovedite pentru sinus și cosinus, putem demonstra pentru tangentă și cotangentă:
`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \ alfa)(1-3tg^2 \alpha)`;
`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha) cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha )(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha) -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.
Pentru a demonstra formulele pentru unghiul ` 4\alpha`, îl puteți reprezenta ca ` 2 \cdot 2\alpha` și încercați formulele unghiului dublu de două ori.
Pentru a obține egalități similare pentru unghiul `5\alpha`, îl puteți scrie ca `3\alpha + 2\alpha` și aplicați identitățile sumei și diferenței unghiurilor și unghiurilor duble și triple.
Toate formulele pentru alte unghiuri multiple sunt derivate în mod similar, dar sunt rareori necesare în practică.
În trigonometrie, multe formule sunt mai ușor de obținut decât de memorat. Cosinusul unghiului dublu este o formulă minunată! Vă permite să obțineți formule pentru reducerea grade și formule pentru jumătate de unghiuri.
Deci, avem nevoie de cosinusul unghiului dublu și unitatea trigonometrică:
Ele sunt chiar asemănătoare: în formula cosinusului cu unghi dublu este diferența dintre pătratele cosinusului și sinusului, iar în unitatea trigonometrică este suma lor. Dacă exprimăm cosinusul din unitatea trigonometrică:
și înlocuiți-l în cosinusul unghiului dublu, obținem:
Aceasta este o altă formulă de cosinus cu unghi dublu:
Această formulă este cheia pentru obținerea formulei de reducere:
Deci, formula pentru reducerea gradului de sinus este:
Dacă în el unghiul alfa este înlocuit cu o jumătate de unghi alfa în jumătate, iar unghiul dublu doi alfa este înlocuit cu un unghi alfa, atunci obținem formula de jumătate de unghi pentru sinus:
Acum putem exprima sinusul din unitatea trigonometrică:
Să substituim această expresie în formula cosinus cu unghi dublu:
Avem o altă formulă pentru cosinusul unui unghi dublu:
Această formulă este cheia pentru găsirea formulei de reducere a puterii cosinusului și a semiunghiului pentru cosinus.
Astfel, formula pentru reducerea gradului de cosinus este:
Dacă înlocuim α cu α/2 și 2α cu α, obținem formula pentru jumătatea argumentului pentru cosinus:
Deoarece tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, formula tangentei este:
Cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus. Prin urmare, formula cotangentei este:
Desigur, în procesul de simplificare a expresiilor trigonometrice, nu are rost să derivăm formula pentru jumătate de unghi sau să reducem de fiecare dată un grad. Este mult mai ușor să pui în fața ta o coală de hârtie cu formule. Și simplificarea se va mișca mai repede, iar memoria vizuală va activa memorarea.
Dar merită totuși să derivați aceste formule de mai multe ori. Atunci vei fi absolut sigur că în timpul examenului, când nu este posibil să folosești o foaie de cheat, le vei obține cu ușurință dacă va fi nevoie.