În viață, vom avea de multe ori de-a face probleme de matematică: la școală, la universitate și apoi să-ți ajuți copilul să finalizeze teme pentru acasă. Oamenii din anumite profesii vor întâlni matematica zilnic. Prin urmare, este utilă memorarea sau reamintirea regulilor matematice. În acest articol ne vom uita la una dintre ele: găsirea piciorului triunghi dreptunghic.
Ce este un triunghi dreptunghic
În primul rând, să ne amintim ce este un triunghi dreptunghic. Un triunghi dreptunghic este figură geometrică din trei segmente care leagă puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă, iar unul dintre unghiurile acestei figuri este de 90 de grade. Laturile care formează un unghi drept se numesc picioare, iar latura care se află opusă unghi drept– ipotenuza.
Găsirea catetei unui triunghi dreptunghic
Există mai multe moduri de a afla lungimea piciorului. Aș dori să le iau în considerare mai detaliat.
Teorema lui Pitagora pentru a afla latura unui triunghi dreptunghic
Dacă știm ipotenuza și catetul, atunci putem afla lungimea catetei necunoscute folosind teorema lui Pitagora. Sună așa: „Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.” Formula: c²=a²+b², unde c este ipotenuza, a și b sunt catetele. Transformăm formula și obținem: a²=c²-b².
Exemplu. Ipotenuza este de 5 cm, iar catetul este de 3 cm Transformăm formula: c²=a²+b² → a²=c²-b². În continuare rezolvăm: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Raporturi trigonometrice pentru a găsi catetul unui triunghi dreptunghic
Puteți găsi, de asemenea, un catet necunoscut dacă sunt cunoscute orice altă latură și orice unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic. Există patru opțiuni pentru găsirea unui catet folosind funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă. Tabelul de mai jos ne va ajuta să rezolvăm problemele. Să luăm în considerare aceste opțiuni.
Găsiți catetul unui triunghi dreptunghic folosind sinus
Sinusul unui unghi (sin) este raportul dintre latura opusă ipotenuzei. Formula: sin=a/c, unde a este catetul opus unghiului dat, iar c este ipotenuza. Apoi, transformăm formula și obținem: a=sin*c.
Exemplu. Ipotenuza este de 10 cm, unghiul A este de 30 de grade. Folosind tabelul, calculăm sinusul unghiului A, acesta este egal cu 1/2. Apoi, folosind formula transformată, rezolvăm: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Găsiți catetul unui triunghi dreptunghic folosind cosinus
Cosinusul unui unghi (cos) este raportul catetei adiacente la ipotenuză. Formula: cos=b/c, unde b este catetul adiacent unui unghi dat, iar c este ipotenuza. Să transformăm formula și să obținem: b=cos*c.
Exemplu. Unghiul A este egal cu 60 de grade, ipotenuza este egală cu 10 cm Folosind tabelul, calculăm cosinusul unghiului A, este egal cu 1/2. În continuare rezolvăm: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Găsiți catetul unui triunghi dreptunghic folosind tangenta
Tangenta unui unghi (tg) este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Formula: tg=a/b, unde a este latura opusă unghiului, iar b este latura adiacentă. Să transformăm formula și să obținem: a=tg*b.
Exemplu. Unghiul A este egal cu 45 de grade, ipotenuza este egală cu 10 cm Cu ajutorul tabelului, calculăm tangenta unghiului A, este egală cu Rezolvați: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Găsiți catetul unui triunghi dreptunghic folosind cotangente
Cotangenta unghiului (ctg) este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă. Formula: ctg=b/a, unde b este latura adiacentă unghiului și este latura opusă. Cu alte cuvinte, cotangenta este o „tangentă inversată”. Se obține: b=ctg*a.
Exemplu. Unghiul A este de 30 de grade, piciorul opus este de 5 cm Conform tabelului, tangenta unghiului A este √3. Se calculează: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Deci acum știi cum să găsești un picior într-un triunghi dreptunghic. După cum puteți vedea, nu este atât de dificil, principalul lucru este să vă amintiți formulele.
Dacă problema oferă lungimile a două laturi ale unui triunghi și unghiul dintre ele, atunci puteți aplica formula pentru aria unui triunghi prin sinus.
Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi folosind sinus. Laturile date sunt a = 3, b = 4 și unghiul γ = 30°. Sinusul unui unghi de 30° este 0,5 
Aria triunghiului va fi de 3 metri pătrați. cm.
Pot exista și alte condiții. Dacă lungimea unei laturi și unghiurile sunt date, atunci mai întâi trebuie să calculați unghiul lipsă. Deoarece suma tuturor unghiurilor unui triunghi este 180°, atunci:
Aria va fi egală cu jumătate din pătratul laturii înmulțit cu fracția. Numătorul său este produsul sinusurilor unghiurilor adiacente, iar numitorul său este sinusul unghiului opus. Acum calculăm aria folosind următoarele formule:
De exemplu, având în vedere un triunghi cu latura a=3 și unghiuri γ=60°, β=60°. Calculați al treilea unghi: 
Înlocuirea datelor în formulă
Constatăm că aria triunghiului este de 3,87 metri pătrați. cm.
II. Aria unui triunghi prin cosinus
Pentru a găsi aria unui triunghi, trebuie să cunoașteți lungimile tuturor laturilor. Folosind teorema cosinusului, puteți găsi laturi necunoscute și abia apoi le puteți folosi.
Conform teoremei cosinusului, pătratul laturii necunoscute a unui triunghi este egal cu suma pătratelor laturilor rămase minus de două ori produsul acestor laturi și cosinusul unghiului situat între ele.
Din teoremă derivăm formule pentru găsirea lungimii laturii necunoscute:
Știind cum să găsești latura lipsă, având două laturi și unghiul dintre ele, poți calcula cu ușurință aria. Formula pentru aria unui triunghi prin cosinus ajută la găsirea rapidă și ușoară a soluțiilor la diferite probleme.
Un exemplu de calcul al formulei pentru aria unui triunghi folosind cosinus
Dat un triunghi cu laturile cunoscute a = 3, b = 4 și unghiul γ = 45°. Mai întâi, să găsim partea lipsă Cu. Cosinus 45°=0,7. Pentru a face acest lucru, înlocuim datele în ecuația derivată din teorema cosinusului.
Acum folosind formula, găsim
Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturilor sale și sinusul unghiului dintre ele.
Dovada:
Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC. Fie latura BC = a, latura CA = b și S aria acestui triunghi. Este necesar să se demonstreze că S = (1/2)*a*b*sin(C).
Pentru început, să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular și să plasăm originea coordonatelor în punctul C. Să poziționăm sistemul nostru de coordonate astfel încât punctul B să se afle pe direcția pozitivă a axei Cx, iar punctul A să aibă o ordonată pozitivă.
Dacă totul este făcut corect, ar trebui să obțineți următorul desen.
Pătrat triunghi dat poate fi calculat folosind următoarea formulă: S = (1/2)*a*h, unde h este înălțimea triunghiului. În cazul nostru, înălțimea triunghiului h este egală cu ordonata punctului A, adică h = b*sin(C).
Luând în considerare rezultatele obținute, formula pentru aria unui triunghi poate fi rescrisă astfel: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.
Rezolvarea problemelor
Sarcina 1. Aflați aria triunghiului ABC, dacă a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, unghi A = 60 de grade b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, unghi B = 45 grade c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, unghi C = 48 grade.
Conform teoremei demonstrate mai sus, aria S a triunghiului ABC este egală cu:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Hai sa facem calculele:
a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.
b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.
c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.
Calculăm valoarea sinusului unghiului pe un calculator sau folosim valorile din tabelul de valori unghiuri trigonometrice. Răspuns:
a) 12*√6 cm^2.
c) aproximativ 36,41 cm^2.
Problema 2. Aria triunghiului ABC este de 60 cm^2. Aflați latura AB dacă AC = 15 cm, unghiul A = 30˚.
Fie S aria triunghiului ABC. Prin teorema privind aria unui triunghi avem:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Să înlocuim valorile pe care le avem în el:
60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.
De aici exprimăm lungimea laturii AB: AB = (60*4)/15 = 16.
Sinusul este una dintre funcțiile trigonometrice de bază, a cărei utilizare nu se limitează doar la geometrie. Tabelele pentru calcularea funcțiilor trigonometrice, cum ar fi calculatoarele de inginerie, nu sunt întotdeauna la îndemână, iar calcularea sinusului este uneori necesară pentru a rezolva diverse probleme. În general, calcularea sinusului va ajuta la consolidarea abilităților de desen și a cunoștințelor identităților trigonometrice.
Jocuri cu riglă și creion
O sarcină simplă: cum să găsiți sinusul unui unghi desenat pe hârtie? Pentru a rezolva, veți avea nevoie de o riglă obișnuită, un triunghi (sau busolă) și un creion. Cel mai simplu mod de a calcula sinusul unui unghi este împărțirea catetului îndepărtat al unui triunghi cu unghi drept la latura lungă - ipotenuza. Astfel, mai întâi trebuie să completați unghiul ascuțit la forma unui triunghi dreptunghic trasând o linie perpendiculară pe una dintre raze la o distanță arbitrară de vârful unghiului. Va trebui să menținem un unghi de exact 90°, pentru care avem nevoie de un triunghi clerical.
Utilizarea unei busole este puțin mai precisă, dar va dura mai mult timp. Pe una dintre raze trebuie să marcați 2 puncte la o anumită distanță, să setați pe busolă o rază aproximativ egală cu distanța dintre puncte și să desenați semicercuri cu centre în aceste puncte până când sunt obținute intersecțiile acestor linii. Conectând punctele de intersecție ale cercurilor noastre între ele, obținem o perpendiculară strictă pe raza unghiului nostru, tot ce rămâne este să extindem linia până când se intersectează cu o altă rază.
În triunghiul rezultat, trebuie să utilizați o riglă pentru a măsura latura opusă colțului și latura lungă pe una dintre raze. Raportul dintre prima dimensiune și a doua va fi valoarea dorită a sinusului unghiului ascuțit.
Aflați sinusul pentru un unghi mai mare de 90°
Pentru un unghi obtuz sarcina nu este mult mai dificilă. Trebuie să desenăm o rază de la vârf în direcția opusă folosind o riglă pentru a forma o linie dreaptă cu una dintre razele unghiului care ne interesează. Unghiul acut rezultat trebuie tratat așa cum este descris mai sus, sinusurile unghiurilor adiacente care împreună formează un unghi invers de 180° sunt egale.
Calcularea sinusului folosind alte funcții trigonometrice
De asemenea, calcularea sinusului este posibilă dacă sunt cunoscute valorile altor funcții trigonometrice ale unghiului sau cel puțin lungimile laturilor triunghiului. Identitățile trigonometrice ne vor ajuta în acest sens. Să ne uităm la exemple comune.
Cum să găsiți sinusul cu un cosinus cunoscut al unui unghi? Prima identitate trigonometrică, bazată pe teorema lui Pitagora, afirmă că suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este egală cu unu.
Cum să găsiți sinusul cu tangenta cunoscută a unui unghi? Tangenta se obține prin împărțirea părții îndepărtate la latura apropiată sau împărțirea sinusului la cosinus. Astfel, sinusul va fi produsul cosinusului și tangentei, iar pătratul sinusului va fi pătratul acestui produs. Înlocuim cosinusul pătrat cu diferența dintre unitate și sinusul pătrat în funcție de prima identitate trigonometrică și, prin manipulări simple, reducem ecuația la calculul sinusului pătrat prin tangentă în consecință, pentru a calcula sinusul, veți; trebuie să extragă rădăcina rezultatului obținut.
Cum să găsiți sinusul cu o cotangentă cunoscută a unui unghi? Valoarea cotangentei poate fi calculată împărțind lungimea piciorului cel mai apropiat de unghi la lungimea celui îndepărtat, precum și împărțind cosinusul la sinus, adică cotangenta este o funcție inversă relativă a tangentei. la numărul 1. Pentru a calcula sinusul, puteți calcula tangenta folosind formula tg α = 1 / ctg α și utilizați formula din a doua opțiune. De asemenea, puteți obține o formulă directă prin analogie cu tangenta, care va arăta astfel.
Cum să găsiți sinusul a trei laturi ale unui triunghi
Există o formulă pentru a afla lungimea laturii necunoscute a oricărui triunghi, nu doar a unui triunghi dreptunghic, din două laturi cunoscute folosind funcția trigonometrică a cosinusului unghiului opus. Ea arată așa.
lateral un triunghi poate fi detectat nu numai de-a lungul perimetrului și ariei sale, ci și de-a lungul unei laturi și unghiuri date. Pentru aceasta, se folosesc funcții trigonometrice - sinusuluiși co sinusului. Problemele de utilizare a acestora se întâlnesc la cursul de geometrie școlară, precum și la cursul universitar. geometrie analiticăși algebră liniară.
Instrucţiuni
1. Dacă cunoașteți una dintre laturile unui triunghi și unghiul dintre acesta și cealaltă parte a lui, utilizați funcții trigonometrice - sinusului om și co sinusului ohm Imaginează-ți un triunghi dreptunghic, NBC, al cui unghi este? egal cu 60 de grade. Triunghiul NBC este prezentat în figură. Deoarece sinusului, după cum se știe, este raportul dintre latura opusă față de ipotenuză și sinusului– raportul catetei adiacente la ipotenuză pentru a rezolva problema, utilizați următoarea relație între acești parametri: sin ? în felul următor: НB = BC*sin?
2. Dacă în enunțul problemei, dimpotrivă, este dat un catet al unui triunghi, găsiți-i ipotenuza, ghidat de relația ulterioară dintre mărimile date: BC = НB/sin, găsiți laturile triunghiului și folosind co sinusuluiși, schimbând expresia anterioară astfel: cos ? = HC/BC
3. În matematica elementară există o reprezentare a teoremei sinusului ov. Ghidându-se de faptele pe care le descrie această teoremă, este posibil să descoperim și laturile triunghiului. În plus, vă permite să detectați laturile unui triunghi înscris într-un cerc dacă cunoașteți raza acestuia din urmă. Pentru a face acest lucru, utilizați relația de mai jos: a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2RTaceastă teoremă este aplicabilă atunci când sunt cunoscute două laturi și un unghi al unui triunghi sau unul dintre unghiurile unui triunghi și raza unui cerc circumscris în jurul lui sunt date .
4. Pe langa teorema sinusului ov, există și o teoremă care este în esență similară cu ea sinusului ov, care, ca și precedentul, este aplicabil și triunghiurilor din toate cele 3 soiuri: dreptunghiular, acut și obtuz. Ghidându-se de faptele care dovedesc această teoremă, este posibil să găsim mărimi necunoscute folosind următoarele relații între ele: c^2=a^2+b^2-2ab*cos?
Figura geometrică formată din trei puncte, care nu aparțin unei linii, numite vârfuri, și trei segmente în perechi care le unesc, numite laturi, se numește triunghi. Există o mulțime de probleme pentru găsirea laturilor și unghiurilor unui triunghi având în vedere un număr limitat de date inițiale, una dintre aceste probleme este găsirea laturii unui triunghi având în vedere una dintre laturile sale și două colțuri .
Instrucţiuni
1. Să se construiască un triunghi? ABC și celebra latură BC și unghiuri?? și??. Se știe că suma unghiurilor oricărui triunghi este 180?, deci în triunghiul ABC este unghiul?? va fi egal?? = 180? – (?? + ??). Laturile AC și AB pot fi găsite folosind teorema sinusului, care spune AB/sin?? = BC/păcat?? = AC/păcat?? = 2 * R, unde R este raza cercului circumscris în jurul triunghiului ABC, atunci obținem R = BC/sin??, AB = 2 * R * sin??, AC = 2 * R * sin?? . Teorema sinusului poate fi folosită atunci când există tot felul de date pe 2 colțuri și laturi.
2. Laturile unui triunghi dat pot fi găsite calculându-i aria folosind formula S = 2 * R? *păcat?? *păcat?? * sin??, unde R este calculat prin formula R = BC/sin??, R este raza triunghiului circumscris ABC de aici lateral AB poate fi detectat calculând înălțimea coborâtă pe ith = BC * sin??, apoi folosind formula S = 1/2 * h * AB avem AB = 2 * S/h În mod similar, este posibil să se calculeze lateral AC.
3. Dacă unghiurile externe ale unui triunghi sunt date ca unghiuri?? si??, atunci este posibil sa se detecteze unghiuri interioare cu sprijinul relatiilor corespunzatoare?? = 180? – ??,?? = 180? – ??,?? = 180? – (?? + ??). Apoi procedăm în mod similar cu primele două puncte.
Înțelegerea triunghiurilor a fost realizată de matematicieni de câteva mii de ani. Știința triunghiurilor - trigonometria - folosește mărimi speciale: sinus și cosinus.
Triunghi dreptunghic
Inițial, sinusul și cosinusul au apărut din necesitatea de a calcula cantități în triunghiuri dreptunghiulare. S-a remarcat că dacă măsura gradului unghiurilor dintr-un triunghi dreptunghic nu este modificată, atunci raportul de aspect, indiferent cât de mult se modifică aceste laturi în lungime, rămâne invariabil identic. Sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, iar cosinusul este raportul laturii adiacente ipotenuzei.
Teoreme ale cosinusurilor și sinusurilor
Dar cosinusurile și sinusurile pot fi folosite pentru mai mult decât triunghiuri dreptunghiulare. Pentru a descoperi valoarea unui unghi obtuz sau ascuțit, latura oricărui triunghi, este suficient să aplicați teorema cosinusului și sinusurilor Teorema cosinusului este destul de primitivă: „Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte 2 laturi minus produsul dublu al acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele.” Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Potrivit minorului: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse.” Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății cercului circumscris unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.
Derivate
Derivata este un instrument matematic care arată cât de rapid se schimbă o funcție în raport cu metamorfoza argumentului său. Derivatele sunt folosite în algebră, geometrie, economie și fizică, precum și în o serie de discipline tehnice. Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabelare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata unui sinus este un cosinus, iar un cosinus este un sinus, dar cu semnul minus.
Aplicație în matematică
Sinusurile și cosinusurile sunt folosite în mod special în rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare și a problemelor legate de acestea. Comoditatea sinusurilor și cosinusurilor se reflectă și în tehnologie. Era primitiv să se evalueze unghiurile și laturile folosind teoremele cosinusului și sinusurilor, descompunând formele și obiectele dificile în triunghiuri „primitive”. Inginerii și arhitecții, care se ocupă adesea de calculele raporturilor de aspect și ale gradelor, au petrecut mult timp și efort calculând cosinusurile și sinusurile unghiurilor netabulare. Apoi au venit în ajutor tabelele Bradis, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente de diferite unghiuri. ÎN epoca sovietică unii profesori și-au forțat elevii să învețe paginile tabelelor Bradis pe de rost.