Cuvântul „fracții” dă pielea de găină multor oameni. Pentru că îmi amintesc de școală și de sarcinile care se rezolvau la matematică. Aceasta era o datorie care trebuia îndeplinită. Ce se întâmplă dacă ai trata problemele care implică fracții adecvate și improprii ca un puzzle? La urma urmei, mulți adulți rezolvă cuvinte încrucișate digitale și japoneze. Ne-am dat seama de reguli și atât. La fel este și aici. Trebuie doar să pătrundem în teorie - și totul va cădea la loc. Iar exemplele se vor transforma într-un mod de a-ți antrena creierul.
Ce tipuri de fracții există?
Să începem cu ce este. O fracție este un număr care are o parte din unu. Poate fi scris în două forme. Primul se numește obișnuit. Adică unul care are o linie orizontală sau înclinată. Este echivalent cu semnul diviziunii.
În această notație, numărul de deasupra liniei se numește numărător, iar numărul de mai jos se numește numitor.
Printre fracțiile obișnuite se disting fracțiile proprii și improprii. Pentru primul, valoarea absolută a numărătorului este întotdeauna mai mică decât numitorul. Cele greșite se numesc așa pentru că au totul invers. Valoarea unei fracții adecvate este întotdeauna mai mică decât unu. În timp ce cea incorectă este întotdeauna mai mare decât acest număr.
Există și numere mixte, adică cele care au un întreg și o parte fracționară.
Al doilea tip de notație este o fracție zecimală. Există o conversație separată despre ea.
Cum diferă fracțiile improprii de numerele mixte?
In esenta, nimic. Acestea sunt doar înregistrări diferite ale aceluiași număr. Fracțiile improprii devin cu ușurință numere mixte după pași simpli. Și invers.
Totul depinde de situația specifică. Uneori este mai convenabil să folosiți o fracție necorespunzătoare în sarcini. Și uneori este necesar să îl convertiți într-un număr mixt și apoi exemplul se va rezolva foarte ușor. Prin urmare, ce să folosiți: fracții improprii, numere mixte, depinde de abilitățile de observație ale persoanei care rezolvă problema.
Numărul mixt este, de asemenea, comparat cu suma părții întregi și a părții fracționale. Mai mult, al doilea este întotdeauna mai mic de unu.
Cum se reprezintă un număr mixt ca o fracție improprie?
Dacă trebuie să efectuați orice acțiune cu mai multe numere care sunt scrise în forme diferite, atunci trebuie să le faceți la fel. O metodă este reprezentarea numerelor ca fracții improprii.
În acest scop, va trebui să efectuați următorul algoritm:
- înmulțiți numitorul cu întreaga parte;
- adăugați valoarea numărătorului la rezultat;
- scrieți răspunsul deasupra liniei;
- lăsați numitorul același.
Iată exemple de cum să scrieți fracții improprii din numere mixte:
- 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.
Cum se scrie o fracție improprie ca număr mixt?
Următoarea tehnică este opusă celei discutate mai sus. Adică, atunci când toate numerele amestecate sunt înlocuite cu fracții improprii. Algoritmul acțiunilor va fi următorul:
- împărțiți numărătorul la numitor pentru a obține restul;
- scrieți coeficientul în locul întregii părți a celui mixt;
- restul trebuie plasat deasupra liniei;
- divizorul va fi numitorul.
Exemple de astfel de transformare:
76/14; 76:14 = 5 cu rest 6; răspunsul va fi 5 întreg și 6/14; partea fracțională din acest exemplu trebuie redusă cu 2, rezultând 3/7; răspunsul final este 5 puncte 3/7.
108/54; după împărțire se obține câtul de 2 fără rest; aceasta înseamnă că nu toate fracțiile improprii pot fi reprezentate ca număr mixt; răspunsul va fi un număr întreg - 2.
Cum se transformă un număr întreg într-o fracție necorespunzătoare?
Există situații în care o astfel de acțiune este necesară. Pentru a obține fracții improprii cu un numitor cunoscut, va trebui să efectuați următorul algoritm:
- înmulțiți un număr întreg cu numitorul dorit;
- scrieți această valoare deasupra liniei;
- plasați numitorul sub el.
Cea mai simplă opțiune este atunci când numitorul este egal cu unu. Atunci nu trebuie să înmulți nimic. Este suficient să scrieți pur și simplu numărul întreg dat în exemplu și să plasați unul sub linie.
Exemplu: Faceți din 5 o fracție improprie cu numitorul 3. Înmulțirea lui 5 cu 3 dă 15. Acest număr va fi numitorul. Răspunsul la sarcină este o fracție: 15/3.
Două abordări pentru rezolvarea problemelor cu numere diferite
Exemplul necesită calcularea sumei și diferenței, precum și a produsului și câtul a două numere: 2 numere întregi 3/5 și 14/11.
În prima abordare numărul mixt va fi reprezentat ca o fracție improprie.
După efectuarea pașilor descriși mai sus, veți obține următoarea valoare: 13/5.
Pentru a afla suma, trebuie să reduceți fracțiile la același numitor. 13/5 după înmulțirea cu 11 devine 143/55. Și 14/11 după înmulțirea cu 5 va arăta astfel: 70/55. Pentru a calcula suma, trebuie doar să adăugați numărătorii: 143 și 70, apoi notați răspunsul cu un numitor. 213/55 - această fracție improprie este răspunsul la problemă.
Când se află diferența, se scad aceleași numere: 143 - 70 = 73. Răspunsul va fi o fracție: 73/55.
Când înmulțiți 13/5 și 14/11, nu trebuie să le reduceți la un numitor comun. Este suficient să înmulțiți numărătorii și numitorii în perechi. Răspunsul va fi: 182/55.
Același lucru este valabil și pentru divizare. Pentru a rezolva corect, trebuie să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea și să inversați divizorul: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.
În a doua abordare o fracție improprie devine un număr mixt.
După efectuarea acțiunilor algoritmului, 14/11 se va transforma într-un număr mixt cu o parte întreagă de 1 și o parte fracțională de 3/11.
Când calculați suma, trebuie să adăugați separat părțile întregi și fracționale. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Răspunsul final este 3 puncte 48/55. La prima abordare fracția a fost 213/55. Puteți verifica corectitudinea acestuia transformându-l într-un număr mixt. După împărțirea 213 la 55, câtul este 3, iar restul este 48. Este ușor de observat că răspunsul este corect.
La scădere, semnul „+” este înlocuit cu „-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Pentru a verifica, răspunsul de la abordarea anterioară trebuie convertit într-un număr mixt: 73 este împărțit la 55, iar câtul este 1, iar restul este 18.
Pentru a găsi produsul și coeficientul, este incomod să folosiți numere mixte. Este întotdeauna recomandat să treceți la fracțiile improprii aici.
Ele sunt împărțite în corecte și incorecte.
Fracții proprii
Fracția proprie este o fracție obișnuită în care numărătorul este mai mic decât numitorul.
Pentru a afla dacă o fracție este adecvată, trebuie să-i comparați termenii între ei. Termenii fracțiunilor sunt comparați în conformitate cu regula de comparare a numerelor naturale.
Exemplu. Luați în considerare fracția:
| 7 |
| 8 |
Exemplu:
| 8 | = 1 | 1 |
| 7 | 7 |
Reguli de traducere și exemple suplimentare pot fi găsite în subiectul Conversia unei fracții improprie într-un număr mixt. De asemenea, puteți utiliza un calculator online pentru a converti o fracție necorespunzătoare într-un număr mixt.
Compararea fracțiilor proprii și improprii
Orice fracție ordinară improprie este mai mare decât o fracție proprie, deoarece o fracție proprie este întotdeauna mai mică decât unu, iar o fracție improprie este mai mare sau egală cu unu.
Exemplu:
| 3 | > | 99 |
| 2 | 100 |
Reguli de comparație și exemple suplimentare pot fi găsite în subiectul Compararea fracțiilor obișnuite. De asemenea, pentru a compara fracții sau pentru a verifica comparațiile, puteți utiliza
Fracție improprie
Sferturi
- Ordine. oŞi b există o regulă care vă permite să identificați în mod unic una și doar una dintre cele trei relații dintre ei: „<
», « >" sau " = ". Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere nenegative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive oŞi b sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă deodată o nenegativ, dar b- negativ, atunci o > b.
style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
- Adunarea fracțiilor Operație de adăugare. oŞi b Pentru orice numere raționale există un așa-zis regula de însumare c regula de însumare. Mai mult decât atât, numărul în sine numit cantitate oŞi b numere și este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numitînsumare
.
- . Regula de însumare are următoarea formă: Operație de adăugare. oŞi b Pentru orice numere raționale Operația de înmulțire. regula înmulțirii regula de însumare c regula de însumare. Mai mult decât atât, numărul în sine , care le atribuie un număr rațional cantitate oŞi b lucru și este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare
.
- . Regula înmulțirii arată astfel: Tranzitivitatea relației de ordine. o , bŞi regula de însumare Pentru orice triplu de numere raționale o Dacă bŞi b Dacă regula de însumare Mai puțin o Dacă regula de însumare, Asta o, iar dacă bŞi b, iar dacă regula de însumare Mai puțin o, iar dacă regula de însumare egală
- . 6435">Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.
- Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
- Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.
- Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care atunci când este adăugat la dă 0.
- Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.
- Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
- Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
- Prezența numerelor reciproce. Orice număr rațional are un număr rațional invers, care atunci când este înmulțit cu dă 1.
- Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este coordonată cu operația de adunare prin legea distribuției:
- Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale. o lățime maximă: 98%; inaltime: auto; lățime: auto;" src="/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> o Axioma lui Arhimede.
Oricare ar fi numărul rațional
Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu se disting ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi dovedite pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui obiect matematic. . Există o mulțime de astfel de proprietăți suplimentare. Este logic să enumerați doar câteva dintre ele aici.
Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">
Numărabilitatea unui set
Numerotarea numerelor raționale
Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să dați un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile de numere raționale și naturale.
Cel mai simplu dintre acești algoritmi arată așa. Se întocmește un tabel nesfârșit de fracții obișnuite, pe fiecare i-a linie din fiecare j a-a coloană din care se află fracția. Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate începând de la unu. Celulele din tabel sunt notate cu , unde i- numărul rândului tabelului în care se află celula și j- numărul coloanei.
Tabelul rezultat este parcurs folosind un „șarpe” conform următorului algoritm formal.
Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată pe baza primei potriviri.
În procesul unei astfel de parcurgeri, fiecare număr rațional nou este asociat cu un alt număr natural. Adică, fracția 1/1 este atribuită numărului 1, fracția 2/1 numărului 2 etc. Trebuie remarcat că sunt numerotate numai fracțiile ireductibile. Un semn formal de ireductibilitate este că cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției este egal cu unu.
Urmând acest algoritm, putem enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile de numere raționale pozitive și negative prin simpla atribuire fiecărui număr rațional opusul său. Că. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.
Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare confuzie, deoarece la prima vedere pare că este mult mai extinsă decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, nu este așa și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.
Lipsa numerelor raționale
Ipotenuza unui astfel de triunghi nu poate fi exprimată prin niciun număr rațional
Numere raționale de forma 1 / n la mare n pot fi măsurate cantități arbitrar mici. Acest fapt creează impresia înșelătoare că numerele raționale pot fi folosite pentru a măsura orice distanțe geometrice. Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat.
Din teorema lui Pitagora știm că ipotenuza unui triunghi dreptunghic se exprimă ca rădăcina pătrată a sumei pătratelor catetelor sale. Că. lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel cu cateta unitară este egală cu , adică numărul al cărui pătrat este 2.
Fracțiile comune sunt împărțite în fracții \textit (propriu) și \textit (improprii). Această împărțire se bazează pe o comparație a numărătorului și numitorului.
Fracții proprii
Fracția proprie Se numește o fracție obișnuită $\frac(m)(n)$, în care numărătorul este mai mic decât numitorul, adică. $m
Exemplul 1
De exemplu, fracțiile $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ sunt corecte , deci cum în fiecare dintre ele numărătorul este mai mic decât numitorul, ceea ce îndeplinește definiția unei fracții proprii.
Există o definiție a unei fracții adecvate, care se bazează pe compararea fracției cu una.
corecta, dacă este mai mică de unu:
Exemplul 2
De exemplu, fracția comună $\frac(6)(13)$ este proprie deoarece condiția $\frac(6)(13) este îndeplinită
Fracții improprii
Fracție improprie Se numește o fracție obișnuită $\frac(m)(n)$, în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, adică. $m\ge n$.
Exemplul 3
De exemplu, fracțiile $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ sunt neregulate , deci cum în fiecare dintre ele numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, ceea ce îndeplinește definiția unei fracții improprie.
Să dăm o definiție a unei fracții improprie, care se bazează pe compararea acesteia cu una.
Fracția comună $\frac(m)(n)$ este greşit, dacă este egală sau mai mare decât unu:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Exemplul 4
De exemplu, fracția comună $\frac(21)(4)$ este improprie deoarece condiția $\frac(21)(4) >1$ este îndeplinită;
fracția comună $\frac(8)(8)$ este improprie deoarece condiția $\frac(8)(8)=1$ este îndeplinită.
Să aruncăm o privire mai atentă asupra conceptului de fracție improprie.
Să luăm ca exemplu fracția improprie $\frac(7)(7)$. Sensul acestei fracții este de a lua șapte părți ale unui obiect, care este împărțit în șapte părți egale. Astfel, din cele șapte acțiuni disponibile, se poate compune întregul obiect. Aceste. fracția improprie $\frac(7)(7)$ descrie întregul obiect și $\frac(7)(7)=1$. Deci, fracțiile improprii, în care numărătorul este egal cu numitorul, descriu un obiect întreg și o astfel de fracție poate fi înlocuită cu numărul natural $1$.
$\frac(5)(2)$ -- este destul de evident că din aceste cinci secunde puteți alcătui $2$ obiecte întregi (un obiect întreg va fi format din $2$ părți, iar pentru a compune două obiecte întregi nevoie de $2+2=4$ parts) și rămâne o a doua parte. Adică, fracția improprie $\frac(5)(2)$ descrie $2$ dintr-un obiect și $\frac(1)(2)$ cota acestui obiect.
$\frac(21)(7)$ -- din douăzeci și unu-șapte părți puteți face $3$ obiecte întregi ($3$ obiecte cu $7$ părți în fiecare). Aceste. fracția $\frac(21)(7)$ descrie $3$ obiecte întregi.
Din exemplele luate în considerare, putem trage următoarea concluzie: o fracție improprie poate fi înlocuită cu un număr natural dacă numărătorul este complet divizibil cu numitorul (de exemplu, $\frac(7)(7)=1$ și $\ frac(21)(7)=3$) , sau suma unui număr natural și a unei fracții proprii, dacă numărătorul nu este complet divizibil cu numitor (de exemplu, $\ \frac(5)(2)=2 +\frac(1)(2)$). De aceea se numesc astfel de fracții greşit.
Definiția 1
Procesul de reprezentare a unei fracții improprie ca sumă a unui număr natural și a unei fracții proprii (de exemplu, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) se numește separând întreaga parte dintr-o fracție improprie.
Când lucrați cu fracții improprii, există o legătură strânsă între acestea și numerele mixte.
O fracție improprie este adesea scrisă ca un număr mixt - un număr care constă dintr-o parte întreagă și o parte fracțională.
Pentru a scrie o fracție improprie ca număr mixt, trebuie să împărțiți numărătorul la numitorul cu rest. Coeficientul va fi partea întreagă a numărului mixt, restul va fi numărătorul părții fracționale, iar divizorul va fi numitorul părții fracționale.
Exemplul 5
Scrieți fracția improprie $\frac(37)(12)$ ca număr mixt.
Soluţie.
Împărțiți numărătorul la numitorul cu rest:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (restul\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Răspuns.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.
Pentru a scrie un număr mixt ca fracție improprie, trebuie să înmulțiți numitorul cu întreaga parte a numărului, să adăugați numărătorul părții fracționale la produsul rezultat și să scrieți suma rezultată în numărătorul fracției. Numitorul fracției improprie va fi egal cu numitorul părții fracționale a numărului mixt.
Exemplul 6
Scrieți numărul mixt $5\frac(3)(7)$ ca o fracție improprie.
Soluţie.
Răspuns.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Adunarea numerelor mixte și a fracțiilor proprii
Adunare de numere mixte$a\frac(b)(c)$ și fracția adecvată$\frac(d)(e)$ se realizează prin adăugarea la o fracție dată a părții fracționale dintr-un număr mixt dat:
Exemplul 7
Adăugați fracția adecvată $\frac(4)(15)$ și numărul mixt $3\frac(2)(5)$.
Soluţie.
Să folosim formula pentru a adăuga un număr mixt și o fracție adecvată:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ stânga(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]
Prin împărțirea la numărul \textit(5) putem determina că fracția $\frac(10)(15)$ este reductibilă. Să efectuăm reducerea și să găsim rezultatul adunării:
Deci, rezultatul adunării fracției proprii $\frac(4)(15)$ și a numărului mixt $3\frac(2)(5)$ este $3\frac(2)(3)$.
Răspuns:$3\frac(2)(3)$
Adunarea numerelor mixte și a fracțiilor improprii
Adunarea fracțiilor improprii și a numerelor mixte se reduce la adăugarea a două numere mixte, pentru care este suficient să izolați întreaga parte de fracția improprie.
Exemplul 8
Calculați suma numărului mixt $6\frac(2)(15)$ și a fracției improprie $\frac(13)(5)$.
Soluţie.
Mai întâi, să extragem întreaga parte din fracția improprie $\frac(13)(5)$:
Răspuns:$8\frac(11)(15)$.
Fracţiuneîn matematică, un număr format din una sau mai multe părți (fracții) ale unei unități. Fracțiile fac parte din câmpul numerelor raționale. Pe baza modului în care sunt scrise, fracțiile sunt împărțite în 2 formate: comun tip și zecimal .
Numărătorul fracției- un număr care arată numărul de acțiuni luate (situat în partea de sus a fracției - deasupra liniei). Numitorul fracției- un număr care arată în câte acțiuni este împărțită unitatea (situat sub linie - în partea de jos). , la rândul lor, se împart în: corectaŞi incorect, amestecatŞi compozit sunt strâns legate de unitățile de măsură. 1 metru conține 100 cm, ceea ce înseamnă că 1 m este împărțit în 100 de părți egale. Astfel, 1 cm = 1/100 m (un centimetru este egal cu o sutime de metru).
sau 3/5 (trei cincimi), aici 3 este numărătorul, 5 este numitorul. Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci fracția este mai mică decât unu și se numește corecta:
Dacă numărătorul este egal cu numitorul, fracția este egală cu unu. Dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, fracția este mai mare decât unu. În ambele ultime cazuri se numește fracția greşit:
Pentru a izola cel mai mare număr întreg conținut într-o fracție improprie, împărțiți numărătorul la numitor. Dacă împărțirea se face fără rest, atunci fracția improprie luată este egală cu câtul:
Dacă împărțirea se face cu un rest, atunci câtul (incomplet) dă numărul întreg dorit, iar restul devine numărătorul părții fracționale; numitorul părții fracționale rămâne același.
Se numește un număr care conține un întreg și o parte fracțională amestecat. Partea fracționată număr mixt pot fi fracție improprie. Apoi puteți selecta cel mai mare număr întreg din partea fracțională și puteți reprezenta numărul mixt în așa fel încât partea fracțională să devină o fracție adecvată (sau să dispară cu totul).