Sunt date așteptările matematice a=3 și abaterea standard =5 ale unei variabile aleatoare X distribuite normal.
Scrieți densitatea distribuției de probabilitate și reprezentați-o schematic.
Aflați probabilitatea ca x să ia o valoare din intervalul (2;10).
Aflați probabilitatea ca x să ia o valoare mai mare decât 10.
Găsiți un interval simetric față de așteptarea matematică, în care valorile mărimii x vor fi conținute cu probabilitatea =0,95.
1). Să compunem funcția de densitate de distribuție a unei variabile aleatoare X cu parametrii а=3, =5 folosind formula
. Să construim un grafic schematic al funcției 
. Să fim atenți la faptul că curba normală este simetrică față de dreapta x = 3 și are max în acest punct egal cu 
, adică 
și două puncte de inflexiune 
cu ordonata 
Să construim un grafic 
2) Să folosim formula: 
Valorile funcției se găsesc din tabelul aplicației.
4) Să folosim formula 
. Conform condiției, probabilitatea de a cădea într-un interval simetric în raport cu așteptări matematice
. Folosind tabelul, găsim t la care Ф(t)=0,475, t=2. Mijloace 
. Astfel, 
. Răspunsul este x(-1;7).
La problemele 31-40.
Găsiți un interval de încredere pentru o estimare cu o fiabilitate de 0,95 a așteptării matematice necunoscute a unei caracteristici X distribuite normal a populației generale, dacă abaterea standard generală =5, media eșantionului 
iar dimensiunea eșantionului n=25.
Trebuie să găsim un interval de încredere 
.
Toate mărimile, cu excepția t, sunt cunoscute. Să aflăm t din raportul Ф(t)=0,95/2=0,475. Folosind tabelul anexă găsim t=1,96. Înlocuind, obținem în sfârșit intervalul de încredere dorit de 12,04 Departamentul de control tehnic a verificat 200 de loturi de produse identice și a primit următoarea distribuție empirică, frecvența n i - numărul de loturi care conțin x i produse non-standard. produsele standard X sunt distribuite conform legii lui Poisson. Să găsim media eșantionului: Să luăm media eșantionului =0,6 ca o estimare a parametrului al distribuției Poisson. Prin urmare, legea lui Poisson asumată Setând i=0,1,2,3,4, găsim probabilitățile P i de apariție a i produse nestandard în 200 de loturi: Să găsim frecvențele teoretice folosind formula Să comparăm frecvențele empirice și teoretice folosind testul Pearson. Pentru a face acest lucru, vom crea un tabel de calcul. Să combinăm frecvențele mici (4+2=6) și frecvențele teoretice corespunzătoare (3,96+0,6=4,56). În practică, majoritatea variabilelor aleatoare care sunt influențate de un număr mare de factori aleatori se supun legii distribuției normale a probabilității. Prin urmare, în diverse aplicații ale teoriei probabilităților, această lege are o importanță deosebită. Variabila aleatorie $X$ respectă legea distribuției normale a probabilității dacă densitatea distribuției sale de probabilitate are următoarea formă $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$ Graficul funcției $f\left(x\right)$ este prezentat schematic în figură și se numește „curba gaussiană”. În dreapta acestui grafic se află bancnota germană de 10 mărci, care a fost folosită înainte de introducerea monedei euro. Dacă te uiți cu atenție, poți vedea pe această bancnotă curba Gauss și descoperitorul ei, cel mai mare matematician Carl Friedrich Gauss. Să revenim la funcția noastră de densitate $f\left(x\right)$ și să dăm câteva explicații cu privire la parametrii de distribuție $a,\ (\sigma )^2$. Parametrul $a$ caracterizează centrul de dispersie al valorilor unei variabile aleatoare, adică are semnificația unei așteptări matematice. Când parametrul $a$ se modifică și parametrul $(\sigma )^2$ rămâne neschimbat, putem observa o deplasare în graficul funcției $f\left(x\right)$ de-a lungul abscisei, în timp ce graficul densității el însuși nu își schimbă forma. Parametrul $(\sigma )^2$ este varianța și caracterizează forma curbei graficului densității $f\left(x\right)$. La modificarea parametrului $(\sigma )^2$ cu parametrul $a$ neschimbat, putem observa cum graficul densității își schimbă forma, comprimându-se sau întinzându-se, fără a se deplasa de-a lungul axei absciselor. După cum se știe, probabilitatea ca o variabilă aleatorie $X$ să cadă în intervalul $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ poate fi calculată $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула: $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$ Aici funcția $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ este Funcția Laplace. Valorile acestei funcții sunt preluate din . Pot fi observate următoarele proprietăți ale funcției $\Phi \left(x\right)$. 1
. $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, adică funcția $\Phi \left(x\right)$ este impară. 2
. $\Phi \left(x\right)$ este o funcție crescătoare monotonă. 3
. $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ stânga(x\dreapta)\ )=-0,5$. Pentru a calcula valorile funcției $\Phi \left(x\right)$, puteți utiliza și vrăjitorul funcției $f_x$ în Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\dreapta )-0,5$. De exemplu, să calculăm valorile funcției $\Phi \left(x\right)$ pentru $x=2$. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ să se încadreze într-un interval simetric în raport cu așteptarea matematică $a$ poate fi calculată folosind formula $$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$ Regula trei sigma. Este aproape sigur că o variabilă aleatoare distribuită normal $X$ va intra în intervalul $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$. Exemplul 1
. Variabila aleatoare $X$ este supusă legii distribuției normale a probabilității cu parametrii $a=2,\ \sigma =3$. Aflați probabilitatea ca $X$ să cadă în intervalul $\left(0.5;1\right)$ și probabilitatea de a satisface inegalitatea $\left|X-a\right|< 0,2$. Folosind formula $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$ găsim $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\peste (3))\right)-\Phi \left((((0.5-2)\ peste (3) ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \left(0.33\right)=0.191- 0,129=0,062 USD. $$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$ Exemplul 2
. Să presupunem că, în cursul anului, prețul acțiunilor unei anumite companii este o variabilă aleatorie distribuită conform legii normale cu o așteptare matematică egală cu 50 de unități monetare convenționale și o abatere standard egală cu 10. Care este probabilitatea ca pe o bază selectată aleatoriu ziua din perioada în discuție prețul promoției va fi: a) mai mult de 70 de unități monetare convenționale? b) sub 50 pe acţiune? c) între 45 și 58 de unități monetare convenționale pe acțiune? Fie variabila aleatoare $X$ prețul acțiunilor unei anumite companii. Prin condiție, $X$ este supus unei distribuții normale cu parametrii $a=50$ - așteptare matematică, $\sigma =10$ - abatere standard. Probabilitatea $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле: $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$ $$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\peste (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ peste (10))\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$ $$b)\P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$ $$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$ Probabilitatea ca abaterea CB X de la M.O. ei. oîn valoare absolută va fi mai mic decât un număr pozitiv dat, egal Dacă punem această egalitate, obținem s w:space="720"/>"> Adică un SV distribuit normal X se abate de la M.O. o, de regulă, cu mai puțin de 3. Acesta este așa-numitul regula 3 sigma, care este adesea folosit în statistica matematică. Funcția unei variabile aleatoare. Așteptările matematice ale unei funcții de un SV.(tetr) Dacă fiecare valoare posibilă a unei variabile aleatoare X
corespunde unei valori posibile a unei variabile aleatoare Y
, Asta Y
numit funcția unui argument aleatoriu X: Y = φ
(X
). Să aflăm cum să găsim legea distribuției unei funcții pe baza legii de distribuție a argumentelor cunoscute. 1) Lasă argumentul X
– variabilă aleatoare discretă, cu valori diferite X
valori diferite corespund Y
. Apoi probabilitățile valorilor corespunzătoare X
Şi Y
egal .
2) Dacă valori diferite X
aceleași valori pot corespunde Y
, apoi se adună probabilitățile valorilor argumentului la care funcția ia aceeași valoare. 3) Dacă X
– variabilă aleatoare continuă, Y = φ
(X
), φ
(x
) este o funcție monotonă și diferențiabilă și ψ
(la
) – funcție inversă φ
(X
). Așteptarea matematică a unei funcții a unui argument aleatoriu. Lasă Y = φ
(X
) – funcția unui argument aleatoriu X
, și se cere să-și găsească așteptările matematice, cunoscând legea distribuției X
. 1) Dacă X
este o variabilă aleatoare discretă, atunci 2) Dacă X
este o variabilă aleatoare continuă, atunci M
(Y
) pot fi căutate în diferite moduri. Dacă se cunoaşte densitatea distribuţiei g
(y
), Asta 21. Funcția a două argumente aleatorii. Distribuția funcției Z=X+Y pentru SV-uri independente discrete X și Y. (tetr) Dacă fiecare pereche de valori posibile ale variabilelor aleatoare X și Y corespunde unei valori posibile a variabilei aleatoare Z, atunci Z se numește funcție a două argumente aleatoare X și Y și se scrie Z=φ(X,Y) . Dacă X și Y sunt variabile aleatoare independente discrete, atunci pentru a găsi distribuția funcției Z=X+Y, este necesar să găsim toate valorile posibile ale lui Z, pentru care este suficient să adăugați fiecare valoare posibilă a X cu toate valorile posibile ale lui Y; probabilitățile valorilor posibile găsite ale lui Z sunt egale cu produsele probabilităților valorilor adăugate ale lui X și Y. Dacă X și Y sunt variabile aleatoare independente continue, atunci densitatea distribuției g(z) a suma Z = X+Y (cu condiția ca densitatea de distribuție a cel puțin unuia dintre argumente să fie dată în intervalul (- oo, oo) printr-o formulă) poate fi găsită prin formula , sau printr-o formulă echivalentă , unde f1 și f2 sunt densitățile de distribuție ale argumentelor; dacă valorile posibile ale argumentelor sunt nenegative, atunci densitatea de distribuție g(z) a valorii Z=X + Y se găsește folosind formula sau o formulă echivalentă. În cazul în care ambele densități f1(x) și f2(y) sunt date pe intervale finite, pentru a găsi densitatea g(z) a mărimii Z = X+Y este recomandabil să găsim mai întâi funcția de distribuție G(z) si apoi diferentiati-l fata de z : g(z)=G'(z). Dacă X și Y sunt variabile aleatoare independente specificate de densitățile de distribuție corespunzătoare f1(x) și f2(y), atunci probabilitatea ca un punct aleator (X, Y) să cadă în regiunea D este egală cu integrala dublă din această regiune. a produsului densităţilor de distribuţie: P [( X, Y)cD] = Р 0,3 0,7 Р 0,6 0,4 Aflați distribuția variabilei aleatoare Z = X + K. Rezolvare. Pentru a crea o distribuție a valorii Z=X+Y, este necesar să găsiți toate valorile posibile ale lui Z și probabilitățile acestora. Valorile posibile ale lui Z sunt sumele fiecărei valori posibile a lui X cu toate valorile posibile ale lui Y: Z 1 = 1+2=3; z2 = 1+4 = 5; z3 =3+2 = 5; z4 = 3+4 = 7. Să aflăm probabilitățile acestor valori posibile. Pentru ca Z=3 este suficient ca valoarea X sa ia valoarea x1=l si valoarea K-valoare y1=2. Probabilitățile acestor valori posibile, după cum rezultă din aceste legi de distribuție, sunt egale cu 0,3 și, respectiv, 0,6. Deoarece argumentele X și Y sunt independente, evenimentele X = 1 și Y = 2 sunt independente, prin urmare, probabilitatea apariției lor comune (adică probabilitatea evenimentului Z = 3) conform teoremei înmulțirii este 0,3 * 0,6. = 0,18. În mod similar găsim: I B=!-f4 = 5) = 0,3 0,4 = 0,12; P(Z = 34-2 = 5) = 0,7 0,6 = 0,42; P(Z = a treia = 7) =0,7-0,4 = 0,28. Să scriem distribuția necesară adunând mai întâi probabilitățile evenimentelor incompatibile Z = z 2 = 5, Z = z 3 = 5 (0,12 + 0,42 = 0,54): Z357; P 0,18 0,54 0,28. Control: 0,18 + 0,54 + 0,28 = 1. După cum am menționat mai devreme, exemple de distribuții de probabilitate variabilă aleatoare continuă
X sunt: Să dăm conceptul unei legi de distribuție normală, funcția de distribuție a unei astfel de legi și procedura de calcul a probabilității ca o variabilă aleatoare X să cadă într-un anumit interval. Lungimea X a unei anumite piese este o variabilă aleatorie distribuită conform legii de distribuție normală și are o valoare medie de 20 mm și o abatere standard de 0,2 mm. Soluţie.
O) Găsim densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare X distribuită conform unei legi normale: cu condiția ca m x =20, σ =0,2. b) Pentru distributie normala a unei variabile aleatoare, probabilitatea de a cădea în intervalul (19.7; 20.3) este determinată de: V) Găsim probabilitatea ca valoarea absolută a abaterii să fie mai mică decât un număr pozitiv 0,1: G) Deoarece probabilitatea unei abateri mai mici de 0,1 mm este de 0,383, rezultă că, în medie, 38,3 părți din 100 vor avea o astfel de abatere, i.e. 38,3%. d) Deoarece procentul pieselor a căror abatere de la medie nu depășește valoarea specificată a crescut la 54%, atunci P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27. Folosind aplicația ( tabelul 2
), găsim δ/σ = 0,74. Prin urmare δ = 0,74*σ = 0,74*0,2 = 0,148 mm. e) Deoarece intervalul necesar este simetric față de valoarea medie m x = 20, acesta poate fi definit ca mulțimea de valori a lui X care satisface inegalitatea 20 − δ< X < 20 + δ или |x − 20| < δ . Conform condiției, probabilitatea de a găsi X în intervalul dorit este 0,95, ceea ce înseamnă P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475. Folosind aplicația ( tabelul 2
), găsim δ/σ = 1,96. Prin urmare, δ = 1,96*σ = 1,96*0,2 = 0,392. Se spune că CB X are distribuție uniformăîn zona de la a la b, dacă densitatea sa f(x) în această zonă este constantă, adică De exemplu, o măsurătoare a unei cantități se face folosind un dispozitiv cu diviziuni brute; cel mai apropiat număr întreg este luat ca valoare aproximativă a mărimii măsurate. SV X - eroarea de măsurare este distribuită uniform pe zonă, deoarece niciuna dintre valorile variabilei aleatoare nu este în vreun fel preferabilă celorlalte. Exponenţial este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care este descrisă prin densitate unde este o valoare pozitivă constantă. Un exemplu de variabilă aleatoare continuă distribuită conform unei legi exponențiale este timpul dintre apariția a două evenimente consecutive ale fluxului cel mai simplu. Adesea, durata funcționării fără defecțiuni a elementelor are o distribuție exponențială, a cărei funcție de distribuție — rata de defecțiuni (număr mediu de defecțiuni pe unitatea de timp). Legea normală distribuție (uneori numită legea lui Gauss) joacă un rol extrem de important în teoria probabilității și ocupă o poziție deosebită printre alte legi ale distribuției. Densitatea de distribuție a legii normale are forma unde m este așteptarea matematică, - abaterea standard X. Probabilitatea ca un SV X distribuit normal să ia o valoare aparținând intervalului este calculată prin formula: unde Ф(X) - Funcția Laplace. Valorile sale sunt determinate din tabelul din anexa manualului despre teoria probabilității. Probabilitatea ca abaterea unei variabile aleatoare X distribuite normal de la așteptările ei matematice valoare absolută mai mic decât un număr pozitiv dat, calculat prin formula EXEMPLU 13.2.41. Valoarea unei diviziuni a scalei ampermetrului este 0,1 A. Citirile sunt rotunjite la cea mai apropiată diviziune întreagă. Aflați probabilitatea ca în timpul citirii să se facă o eroare care depășește 0,02 A. Soluţie. Eroarea de rotunjire poate fi considerată ca CB X, care este distribuit uniform în intervalul dintre două diviziuni adiacente. Densitatea de distribuție uniformă , unde (b-a) este lungimea intervalului care conține valorile posibile ale lui X. În problema luată în considerare, această lungime este 0,1. De aceea Eroarea de citire va depăși 0,02 dacă este în intervalul (0,02; 0,08). Conform formulei EXEMPLU 13.2.42. Durata de funcționare fără defecțiuni a unui element are o distribuție exponențială. Găsiți probabilitatea ca pe o perioadă de ore: a) elementul defectează; b) elementul nu va ceda. Soluţie. a) Funcția determină probabilitatea de defectare a unui element pe o perioadă de timp t, prin urmare, prin substituirea , se obține probabilitatea de defectare: . b) Evenimentele „elementul va eșua” și „elementul nu va eșua” sunt opuse, deci probabilitatea ca elementul să nu eșueze este de . EXEMPLU 13.2.43. Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu parametri. Aflați probabilitatea ca SV X să se abate de la așteptările sale matematice m cu mai mult de . Această probabilitate este foarte mică, adică un astfel de eveniment poate fi considerat aproape imposibil (poți greși în aproximativ trei cazuri din 1000). Aceasta este „regula celor trei sigma”: dacă o variabilă aleatorie este distribuită în mod normal, atunci valoarea absolută a abaterii ei de la așteptarea matematică nu depășește de trei ori abaterea standard. EXEMPLU 13.2.44. Așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal sunt egale, respectiv, cu 10 și, respectiv, 2. Aflați probabilitatea ca în rezultatul testului X să ia o valoare conținută în intervalul (12, 14). Soluție: Pentru o cantitate distribuită normal Înlocuind, obținem Găsim de pe masă. Probabilitatea cerută. Rezolvați probleme folosind formule de probabilitate pentru variabile aleatoare continue și caracteristicile acestora 3.2.9.1. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare X distribuite uniform în intervalul (a,b). Reprezentant.: 3.2.9.2. Trenurile de metrou circulă regulat la intervale de 2 minute. Un pasager intră pe platformă la un moment dat. Aflați densitatea de distribuție a SV T - timpul în care va trebui să aștepte trenul; Reprezentant.: 3.2.9.3. Mânăra minutelor Ceasul electric se mișcă brusc la sfârșitul fiecărui minut. Găsiți probabilitatea ca, la un moment dat, ceasul să arate un timp care diferă de timpul real cu cel mult 20 s. Reprezentant.:2/3 3.2.9.4. Variabila aleatoare X este distribuită uniform pe suprafața (a,b). Aflați probabilitatea ca, în urma experimentului, să se abate de la așteptările sale matematice cu mai mult de . Reprezentant.:0 3.2.9.5. Variabilele aleatoare X și Y sunt independente și distribuite uniform: X în intervalul (a,b), Y în intervalul (c,d). Aflați așteptările matematice ale produsului XY. Reprezentant.: 3.2.9.6. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite exponențial. Reprezentant.: 3.2.9.7. Scrieți funcția de densitate și distribuție a legii exponențiale dacă parametrul . Reprezentant.: 3.2.9.8. Variabila aleatoare are o distribuție exponențială cu parametrul . Găsi Reprezentant.:0,233 3.2.9.9. Timpul de funcționare fără defecțiuni a unui element este distribuit conform legii exponențiale, unde t este timpul, ore Găsiți probabilitatea ca elementul să funcționeze fără defecțiuni timp de 100 de ore. Reprezentant.:0,37 3.2.9.10. Testați trei elemente care funcționează independent unul de celălalt. Durata de funcționare fără defecțiuni a elementelor este distribuită conform legii exponențiale: pentru primul element Reprezentant.: a)0,292; b)0,466; c)0,19 3.2.9.11. Demonstrați că dacă o variabilă aleatoare continuă este distribuită conform legii exponențiale, atunci probabilitatea ca X să ia o valoare mai mică decât așteptarea matematică M(X) nu depinde de valoarea parametrului; b) găsiți probabilitatea ca X > M(X). Reprezentant.: 3.2.9.12. Așteptarea matematică și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal sunt egale, respectiv, cu 20 și, respectiv, 5. Aflați probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare conținută în intervalul (15; 25). Reprezentant.: 0,6826 3.2.9.13. O substanță este cântărită fără erori sistematice. Erorile aleatorii de cântărire sunt supuse legii normale cu o abatere standard r Aflați probabilitatea ca a) cântărirea să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 10 r în valoare absolută; b) din trei cântăriri independente, eroarea a cel puţin uneia nu va depăşi 4g în valoare absolută. Reprezentant.: 3.2.9.14. Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu așteptări matematice și abatere standard. Aflați intervalul, simetric față de așteptarea matematică, în care, cu o probabilitate de 0,9973, valoarea X va cădea în urma testului. Reprezentant.:(-5,25) 3.2.9.15. Instalația produce bile pentru rulmenți, al căror diametru nominal este de 10 mm, iar diametrul real este aleatoriu și distribuit conform legii normale cu mm și mm. În timpul inspecției, toate bilele care nu trec printr-o gaură rotundă cu diametrul de 10,7 mm și toate cele care trec printr-o gaură rotundă cu diametrul de 9,3 mm sunt respinse. Găsiți procentul de bile care vor fi respinse. Reprezentant.:8,02% 3.2.9.16. Mașina ștampilă piesele. Lungimea piesei X este controlată, care este distribuită normal cu o lungime de proiectare (așteptări matematice) egală cu 50 mm. De fapt, lungimea pieselor fabricate nu este mai mică de 32 și nu mai mult de 68 mm. Aflați probabilitatea ca lungimea unei părți luate aleatoriu: a) să fie mai mare de 55 mm; b) mai mică de 40 mm. Sugestie: Din egalitate Reprezentant.:a)0,0823; b)0,0027 3.2.9.17. Cutiile de ciocolată sunt ambalate automat; greutatea lor medie este de 1,06 kg. Aflați varianța dacă 5% dintre cutii au o masă mai mică de 1 kg. Se presupune că masa cutiilor este distribuită conform legii normale. Reprezentant.:0,00133 3.2.9.18. Un bombardier care zbura de-a lungul podului, care are 30 m lungime și 8 m lățime, a aruncat bombe. Variabilele aleatoare X și Y (distanța de la axele de simetrie verticală și orizontală a podului până la locul în care a căzut bomba) sunt independente și distribuite normal cu abateri standard egale cu 6, respectiv 4 m și așteptări matematice, egal cu zero. Aflați: a) probabilitatea ca o bombă aruncată să lovească podul; b) probabilitatea de distrugere a podului dacă sunt aruncate două bombe și se știe că o lovitură este suficientă pentru a distruge podul. Reprezentant.: 3.2.9.19. Într-o populație distribuită normal, 11% din valorile X sunt mai mici de 0,5 și 8% dintre valorile X sunt mai mari de 5,8. Găsiți parametrii lui m și această distribuție. > La problemele 41-50.
arata ca 
.
,
,
,
,
.
. Înlocuind valorile probabilității în această formulă, obținem 
,
,
,
,
.
Probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal să se încadreze într-un interval dat
,
. Variabilele aleatoare independente discrete X și Y sunt specificate prin distribuții:№
Indicator Legea distribuției normale Nota
Definiţie
Numit normal
distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, a cărei densitate are forma
unde m x este așteptarea matematică a variabilei aleatoare X, σ x este abaterea standard
2
Funcția de distribuție
Probabilitate
se încadrează în intervalul (a;b)
- Funcția integrală Laplace
Probabilitate
faptul că valoarea absolută a abaterii este mai mică decât un număr pozitiv δ
la m x = 0
Un exemplu de rezolvare a unei probleme pe tema „Legea distribuției normale a unei variabile aleatoare continue”
Sarcină.
Necesar:
a) notează expresia pentru densitatea distribuției;
b) aflați probabilitatea ca lungimea piesei să fie între 19,7 și 20,3 mm;
c) aflați probabilitatea ca abaterea să nu depășească 0,1 mm;
d) determinați ce procent sunt piesele a căror abatere de la valoarea medie nu depășește 0,1 mm;
e) găsiți ce abatere ar trebui stabilită astfel încât procentul pieselor a căror abatere de la medie nu depășește valoarea specificată să crească la 54%;
f) găsiți un interval simetric față de valoarea medie în care X va fi situat cu probabilitate 0,95.
Ф((20,3-20)/0,2) – Ф((19,7-20)/0,2) = Ф(0,3/0,2) – Ф(-0,3/0, 2) = 2Ф(0,3/0,2) = 2Ф(1,5) = 2*0,4332 = 0,8664.
Am găsit valoarea Ф(1,5) = 0,4332 în anexe, în tabelul de valori al funcției integrale Laplace Φ(x) ( tabelul 2
)
R(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Am găsit valoarea Ф(0,5) = 0,1915 în anexe, în tabelul de valori al funcției integrale Laplace Φ(x) ( tabelul 2
)
Interval de căutare
: (20 – 0,392; 20 + 0,392) sau (19,608; 20,392).
.
determină probabilitatea defecțiunii elementului pe o durată de timp t.
,
,
.EXEMPLE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR
. Aşa, 
.
avem 
.Exemple și sarcini pentru soluții independente
. Găsiți probabilitatea ca nu va trebui să așteptați mai mult de jumătate de minut.
, 
.
; pentru al doilea 
; pentru al treilea element 
. Aflați probabilitatea ca în intervalul de timp (0; 5) ore: a) un singur element să cedeze; b) doar două elemente; c) toate cele trei elemente.
găsi în prealabil.
Exemple de rezolvare a problemelor >