Ecuație omogenă generalizată. Funcții generalizate corespunzătoare formelor pătratice cu coeficienți complecși

Ecuații diferențiale de ordinul I cu variabile separabile.

Definiţie. O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație de forma (3.1) sau o ecuație de forma (3.2)

Pentru a separa variabilele din ecuația (3.1), i.e. reduceți această ecuație la așa-numita ecuație a variabilelor separate, faceți următoarele: ;

Acum trebuie să rezolvăm ecuația g(y)= 0. Daca are o solutie reala y=a, Că y=a va fi de asemenea o soluție a ecuației (3.1).

Ecuația (3.2) se reduce la o ecuație separată prin împărțirea la produsul:

, ceea ce ne permite să obținem integrala generală a ecuației (3.2): . (3.3)

Curbele integrale (3.3) vor fi completate cu soluții , dacă astfel de soluții există.

Omogen ecuatii diferentiale 1-a comanda.

Definiția 1. O ecuație de ordinul întâi se numește omogenă dacă partea sa dreaptă satisface relația , numită condiția de omogenitate a unei funcții a două variabile de dimensiune zero.

Exemplul 1. Arătați că funcția este omogenă de dimensiune zero.

Soluţie. ,

Q.E.D.

Teorema. Orice funcție este omogenă și, invers, orice funcție omogenă de dimensiune zero este redusă la forma .

Dovada. Prima afirmație a teoremei este evidentă, deoarece . Să demonstrăm a doua afirmație. Să punem atunci pentru o funcție omogenă , ceea ce trebuia dovedit.

Definiția 2. Ecuația (4.1) în care MŞi N– funcții omogene de același grad, i.e. au proprietatea pentru toți, numită omogene. Evident, această ecuație poate fi întotdeauna redusă la forma (4.2), deși nu este necesar să se facă acest lucru pentru a o rezolva. O ecuație omogenă se reduce la o ecuație cu variabile separabile prin înlocuirea funcției dorite y conform formulei y=zx, Unde z(x)– nouă funcție necesară. După ce am efectuat această înlocuire în ecuația (4.2), obținem: sau sau .

Integrand se obtine integrala generala a ecuatiei fata de functie z(x) , care după înlocuirea repetată dă integrala generală a ecuației inițiale. În plus, dacă sunt rădăcinile ecuației, atunci funcțiile sunt soluții la o ecuație dată omogenă. Dacă , atunci ecuația (4.2) ia forma

Și devine o ecuație cu variabile separabile. Soluțiile sale sunt semidirecte: .

Comentariu. Uneori este recomandabil să folosiți înlocuirea în locul substituției de mai sus x=zy.

Ecuație omogenă generalizată.

Ecuaţie M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se numește omogen generalizat dacă este posibil să se selecteze un astfel de număr k, că partea stângă a acestei ecuații devine o funcție omogenă într-un anumit grad m relativ x, y, dxŞi dy cu condiția ca x este considerată valoarea primei dimensiuni, y – k- măsurătorile ,dxŞi dy - respectiv zero şi (k-1) măsurătorile. De exemplu, aceasta ar fi ecuația . (6.1) Valabil în ipoteza făcută cu privire la măsurători x, y, dxŞi dy membri ai părţii stângi şi dy vor avea dimensiunile -2, respectiv 2 kŞi k-1. Echivalându-le, obținem o condiție pe care trebuie să o îndeplinească numărul necesar k: -2 = 2k=k-1. Această condiție este îndeplinită atunci când k= -1 (cu aceasta k toți termenii din partea stângă a ecuației luate în considerare vor avea o dimensiune de -2). În consecință, ecuația (6.1) este generalizată omogenă.

.
Ecuații diferențiale.

§ 1. Concepte de bază despre ecuaţii diferenţiale obişnuite.

Definiția 1. Ecuație diferențială obișnuită n– ordinea a treia pentru funcție y argument x se numește relație de formă

Unde F– o funcție dată a argumentelor sale. În numele acestei clase de ecuații matematice, termenul „diferențial” subliniază faptul că ele includ derivate
(funcții formate ca urmare a diferențierii); termenul „obișnuit” indică faptul că funcția dorită depinde doar de un singur argument real.

O ecuație diferențială obișnuită nu poate conține un argument explicit x, funcția necesară
și oricare dintre derivatele sale, dar cea mai mare derivată
trebuie incluse în ecuație n- comanda. De exemplu

O)
– ecuație de ordinul întâi;

b)
– ecuație de ordinul trei.

Când se scriu ecuații diferențiale obișnuite, se folosește adesea notația pentru derivate în termeni de diferențe:

V)
– ecuație de ordinul doi;

G)
- ecuația de ordinul întâi,

generator după împărțire prin dx formă echivalentă de specificare a ecuației:
.

Funcţie
se numește soluție a unei ecuații diferențiale obișnuite dacă, prin substituție în ea, se transformă într-o identitate.

De exemplu, o ecuație de ordinul 3

Are o solutie
.

A găsi printr-o metodă sau alta, de exemplu, selecția, o funcție care satisface ecuația nu înseamnă rezolvarea acesteia. A rezolva o ecuație diferențială obișnuită înseamnă a găsi Toate funcții care formează o identitate atunci când sunt substituite într-o ecuație. Pentru ecuația (1.1), o familie de astfel de funcții se formează folosind constante arbitrare și se numește soluția generală a unei ecuații diferențiale obișnuite n de ordinul --lea, iar numărul de constante coincide cu ordinea ecuației: Soluția generală poate fi, dar nu este rezolvată în mod explicit cu privire la y(x) : În acest caz, soluția se numește de obicei integrala generală a ecuației (1.1).

De exemplu, soluția generală a ecuației diferențiale
este următoarea expresie: , iar al doilea termen poate fi scris și ca
, deoarece o constantă arbitrară , împărțit la 2, poate fi înlocuit cu o nouă constantă arbitrară .

Prin atribuirea unor valori admisibile tuturor constantelor arbitrare din soluția generală sau din integrala generală, obținem o anumită funcție care nu mai conține constante arbitrare. Această funcție se numește soluție parțială sau integrală parțială a ecuației (1.1). Pentru a găsi valorile constantelor arbitrare și, prin urmare, o anumită soluție, sunt utilizate diferite condiții suplimentare la ecuația (1.1). De exemplu, așa-numitele condiții inițiale pot fi specificate la (1.2)

În partea dreaptă a condițiilor inițiale (1.2) sunt date valorile numerice ale funcției și derivatelor și, număr total condițiile inițiale sunt egale cu numărul de constante arbitrare definite.

Problema găsirii unei anumite soluții pentru ecuația (1.1) pe baza condițiilor inițiale se numește problema Cauchy.

§ 2. Ecuaţii diferenţiale obişnuite de ordinul I - concepte de bază.

Ecuație diferențială obișnuită de ordinul I ( n=1) are forma:
sau, dacă poate fi rezolvată cu privire la derivată:
. Solutie generala y= y(x,CU) sau integrală generală
Ecuațiile de ordinul 1 conțin o constantă arbitrară. Singura condiție inițială pentru o ecuație de ordinul 1
vă permite să determinați valoarea unei constante dintr-o soluție generală sau dintr-o integrală generală. Astfel, se va găsi o soluție anume sau, ceea ce este la fel, se va rezolva problema Cauchy. Întrebarea existenței și unicității unei soluții la problema Cauchy este una dintre cele centrale în teorie generală ecuații diferențiale obișnuite. Pentru o ecuație de ordinul 1, în special, este validă teorema, care este acceptată aici fără dovezi.

Teorema 2.1. Dacă în ecuaţie funcţia
și derivata sa parțială
continuă într-o regiune D avion XOY, iar în această zonă este specificat un punct
, atunci există o soluție unică care satisface atât ecuația, cât și condiția inițială
.

Geometric solutie generala Ecuația de ordinul I este o familie de curbe pe plan XOY, fara puncte comuneși diferă unul de celălalt printr-un parametru - valoarea constantei C. Aceste curbe se numesc curbe integrale pentru o ecuație dată. Curbele de ecuație integrală au o proprietate geometrică evidentă: în fiecare punct tangentei tangentei la curbă egal cu valoareaîn partea dreaptă a ecuației în acest punct:
. Cu alte cuvinte, ecuația este dată în plan XOY câmpul direcțiilor tangentelor la curbele integrale. Comentariu: Trebuie remarcat faptul că la Ec.
ecuația și așa-numita ecuație sunt date în formă simetrică
.

§ 3. Ecuaţii diferenţiale de ordinul I cu variabile separabile.

Definiţie. O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație de formă
(3.1)

sau o ecuație de forma (3.2)

Pentru a separa variabilele din ecuația (3.1), i.e. reduceți această ecuație la așa-numita ecuație a variabilelor separate, faceți următoarele:

;

Acum trebuie să rezolvăm ecuația g(y)= 0 . Daca are o solutie reala y= o, Că y= o va fi de asemenea o soluție a ecuației (3.1).

Ecuația (3.2) se reduce la o ecuație variabilă separată prin împărțirea la produs
:

, ceea ce ne permite să obținem integrala generală a ecuației (3.2):
. (3.3)

Curbele integrale (3.3) vor fi completate cu soluții
, dacă astfel de soluții există.

Rezolvați ecuația: .

Separăm variabilele:

Integrarea, obținem

Mai departe de ecuații
Şi
găsim x=1, y=-1. Aceste soluții sunt soluții private.

§ 4. Ecuaţii diferenţiale omogene de ordinul I.

Definiția 1. O ecuație de ordinul 1 se numește omogenă dacă pentru partea sa dreaptă pentru oricare
raportul este valabil
, numită condiția de omogenitate a unei funcții a două variabile de dimensiune zero.

Exemplul 1. Arată acea funcție
- dimensiune zero omogenă.

Soluţie.

Q.E.D.

Teorema. Orice funcție
- omogenă și, invers, orice funcție omogenă
dimensiunea zero este redusă la formă
.

Dovada.

Prima afirmație a teoremei este evidentă, deoarece
. Să demonstrăm a doua afirmație. Să punem
, apoi pentru o funcție omogenă
, ceea ce trebuia dovedit.

Definiția 2. Ecuația (4.1)

în care MŞi N– funcții omogene de același grad, i.e. au proprietatea pentru toți , se numește omogen.

Evident, această ecuație poate fi întotdeauna redusă la forma
(4.2), deși pentru a o rezolva nu trebuie să faceți acest lucru.

O ecuație omogenă se reduce la o ecuație cu variabile separabile prin înlocuirea funcției dorite y conform formulei y= zx, Unde z(x) – nouă funcție necesară. După ce am efectuat această înlocuire în ecuația (4.2), obținem:
sau
sau
.

Integrand se obtine integrala generala a ecuatiei fata de functie z(x)
, care după înlocuirea repetată
dă integrala generală a ecuației inițiale. Mai mult, dacă - rădăcinile ecuației
, apoi funcțiile
- rezolvarea unei ecuaţii date omogene. Dacă
, atunci ecuația (4.2) ia forma

și devine o ecuație cu variabile separabile. Soluțiile sale sunt semi-directe:
.

Comentariu. Uneori este recomandabil să folosiți înlocuirea în locul substituției de mai sus x= zy.

§ 5. Ecuaţii diferenţiale reduse la omogene.

Luați în considerare o ecuație de formă
. (5.1)

Dacă
, atunci aceasta este ecuația care utilizează substituția, unde Şi - variabile noi, și - unele numere constante determinate din sistem

Redus la o ecuație omogenă

Dacă
, atunci ecuația (5.1) ia forma

crezând z= topor+ de, ajungem la o ecuație care nu conține o variabilă independentă.

Să ne uităm la exemple.

Exemplul 1.

Ecuația de integrare

si evidentiati curba integrala care trece prin punctele: a) (2;2); b) (1;-1).

Soluţie.

Să punem y= zx. Apoi dy= xdz+ zdxŞi

Să o scurtăm cu si aduna membrii la dxŞi dz:

Să separăm variabilele:

.

Integrând, obținem ;

sau
,
.

Înlocuind aici z pe , obținem integrala generală a ecuației date în forma (5.2)
sau

.

Aceasta este o familie de cercuri
, ale căror centre se află pe linia dreaptă y = x si care la origine sunt tangente la dreapta y + x = 0. Această liniey = - x la rândul său, o soluție particulară a ecuației.

Acum modul problemei Cauchy:

A) introducerea integralei generale x=2, y=2, găsim C=2, prin urmare soluţia necesară va fi
.

B) niciunul dintre cercurile (5.2) nu trece prin punctul (1;-1). Dar este semi-drept y = - x,
trece prin punct și dă soluția dorită.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația: .

Soluţie.

Ecuația este un caz special al ecuației (5.1).

Determinant
în acest exemplu
, deci trebuie să rezolvăm următorul sistem

Rezolvând, obținem asta
. Performând în ecuația dată substituţie
, obținem o ecuație omogenă. Integrarea acestuia folosind substituție
, găsim
.

Revenind la vechile variabile xŞi y după formule
, avem .

§ 6. Ecuaţie omogenă generalizată.

Ecuaţie M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 se numește omogen generalizat dacă este posibil să se selecteze un astfel de număr k, că partea stângă a acestei ecuații devine o funcție omogenă într-un anumit grad m relativ x, y, dxŞi dy cu condiția ca x este considerată valoarea primei dimensiuni, y – k măsurătorile , dxŞi dy – respectiv zero şi (k-1) măsurătorile. De exemplu, aceasta ar fi ecuația
. (6.1)

Valabil conform ipotezelor făcute cu privire la măsurători

x, y, dxŞi dy membrii din partea stângă
Şi dy vor avea dimensiunile -2, respectiv 2 kŞi k-1. Echivalându-le, obținem o condiție pe care trebuie să o îndeplinească numărul necesar k: -2 = 2k=k-1. Această condiție este îndeplinită atunci când k= -1 (cu aceasta k toți termenii din partea stângă a ecuației luate în considerare vor avea o dimensiune de -2). În consecință, ecuația (6.1) este generalizată omogenă.

O ecuație omogenă generalizată este redusă la o ecuație cu variabile separabile folosind substituție
, Unde z– nouă funcție necunoscută. Să integrăm ecuația (6.1) folosind metoda indicată. Deoarece k= -1, atunci
, după care obținem ecuația .

Integrându-l, găsim
, unde
. Aceasta este o soluție generală a ecuației (6.1).

§ 7. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul I.

O ecuație liniară de ordinul 1 este o ecuație liniară în raport cu funcția dorită și derivata acesteia. Arata ca:

, (7.1)

Unde P(x) Şi Q(x) – date funcții continue de x. Dacă funcţia
, atunci ecuația (7.1) are forma:
(7.2)

și se numește ecuație liniară omogenă, în caz contrar
se numește ecuație liniară neomogenă.

Ecuația diferențială liniară omogenă (7.2) este o ecuație cu variabile separabile:

(7.3)

Expresia (7.3) este soluția generală a ecuației (7.2). Pentru a găsi o soluție generală a ecuației (7.1), în care funcția P(x) denotă aceeași funcție ca în ecuația (7.2), aplicăm o tehnică numită metoda de variație a unei constante arbitrare și constă în următoarele: vom încerca să selectăm funcția C=C(x) astfel încât soluția generală a ecuației liniare omogene (7.2) ar fi soluția neomogenului ecuație liniară(7.1). Atunci pentru derivata funcției (7.3) obținem:

Înlocuind derivata găsită în ecuația (7.1), vom avea:

sau
.

Unde
, unde este o constantă arbitrară. Ca urmare, soluția generală a ecuației liniare neomogene (7.1) va fi (7.4)

Primul termen din această formulă reprezintă soluția generală (7.3) a ecuației diferențiale liniare omogene (7.2), iar al doilea termen al formulei (7.4) este o soluție particulară a ecuației liniare neomogene (7.1), obținută din general ( 7.4) cu
. Subliniem această concluzie importantă sub forma unei teoreme.

Teorema. Dacă se cunoaște o soluție particulară a unei ecuații diferențiale liniare neomogenă
, atunci toate celelalte soluții au forma
, Unde
- rezolvarea generală a ecuaţiei diferenţiale liniare omogenă corespunzătoare.

Cu toate acestea, trebuie remarcat că pentru a rezolva ecuația diferențială neomogenă liniară de ordinul I (7.1), este mai des folosită o altă metodă, uneori numită metoda Bernoulli. Vom căuta o soluție la ecuația (7.1) sub forma
. Apoi
. Să înlocuim derivata găsită în ecuația originală:
.

Să combinăm, de exemplu, al doilea și al treilea termen din ultima expresie și să extragem funcția u(x) în spatele suportului:
(7.5)

Solicităm anularea parantezei:
.

Să rezolvăm această ecuație setând o constantă arbitrară C egal cu zero:
. Cu funcția găsit v(x) Să revenim la ecuația (7.5):
.

Rezolvând-o, obținem:
.

Prin urmare, soluția generală a ecuației (7.1) are forma:

§ 8. Ecuaţia lui Bernoulli.

Definiţie.

Ecuația diferențială a formei
, Unde
, se numește ecuația lui Bernoulli.

Presupunând că
, împărțiți ambele părți ale ecuației Bernoulli la . Ca rezultat obținem:
(8.1)

Să introducem o nouă funcție
. Apoi
. Să înmulțim ecuația (8.1) cu
și să trecem la funcție z(x) :
, adică pentru functie z(x) devenit liniar ecuație neomogenă 1-a comanda. Această ecuație este rezolvată folosind metodele discutate în paragraful anterior. Să substituim în schimb soluția sa generală z(x) expresie
, obținem integrala generală a ecuației lui Bernoulli, care se rezolvă ușor în raport cu y. La
se adauga solutia y(x)=0 . Ecuația lui Bernoulli poate fi rezolvată și fără a face trecerea la o ecuație liniară prin substituție
, și folosind metoda Bernoulli, discutată în detaliu în § 7. Să luăm în considerare utilizarea acestei metode pentru a rezolva ecuația lui Bernoulli folosind un exemplu specific.

Exemplu. Găsiți soluția generală a ecuației:
(8.2)

Soluţie.

Prin urmare, soluția generală a acestei ecuații are forma:
, y(x)=0.

§ 9. Ecuaţii diferenţiale în diferenţiale totale.

Definiţie. Dacă în Ec. M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 (9.1) partea stângă este diferența totală a unei funcții U(x, y) , atunci se numește ecuație diferențială totală. Această ecuație poate fi rescrisă ca du(x, y)=0 , prin urmare, integrala sa generală este u(x, y)= c.

De exemplu, ecuația xdy+ ydx=0 există o ecuație în diferențiale totale, deoarece poate fi rescrisă sub formă d(xy)=0. Integrala generală va fi xy= c- functie diferentiabila arbitrara. Să diferențiem (9.3) față de u
§ 10. Factorul integrator.

Dacă ecuaţia M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 nu este o ecuație diferențială totală și există o funcție µ = µ(x, y) , astfel încât după înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu aceasta, obținem ecuația

µ(Mdx + Ndy) = 0în diferenţiale totale, adică µ(Mdx + Ndy)du, apoi funcția µ(x, y) se numește factor de integrare al ecuației. În cazul în care ecuația este deja o ecuație în diferențiale totale, presupunem µ = 1.

Dacă se găseşte factorul de integrare µ , atunci integrarea acestei ecuații se reduce la înmulțirea ambelor părți cu µ și găsirea integralei generale a ecuației rezultate în diferențiale totale.

Dacă µ este o funcţie continuu diferenţiabilă a xŞi y, Asta
.

Rezultă că factorul integrator µ satisface următoarea ecuație diferențială parțială de ordinul 1:

(10.1).

Dacă se știe dinainte că µ= µ(ω) , Unde ω – funcție dată de la xŞi y, atunci ecuația (10.1) se reduce la o ecuație obișnuită (și, în plus, liniară) cu o funcție necunoscută µ pe variabila independenta ω :

(10.2),

Unde
, adică fracția este doar o funcție a ω .

Rezolvând ecuația (10.2), găsim factorul de integrare

, Cu = 1.

În special, ecuația M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 are un factor integrator care depinde numai de x(ω = x) sau numai din y(ω = y), dacă se execută în mod corespunzător urmatoarele conditii:

,
.

Făcând clic pe butonul „Descărcați arhiva”, veți descărca gratuit fișierul de care aveți nevoie.
Înainte de a descărca acest fișier, rețineți următoarele: eseuri bune, teste, cursuri, teze, articole și alte documente care se află nerevendicate pe computerul dvs. Aceasta este munca ta, ar trebui să participe la dezvoltarea societății și să beneficieze oamenii. Găsiți aceste lucrări și trimiteți-le la baza de cunoștințe.
Noi și toți studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vom fi foarte recunoscători.

Pentru a descărca o arhivă cu un document, introduceți un număr de cinci cifre în câmpul de mai jos și faceți clic pe butonul „Descărcați arhiva”

Documente similare

Probleme Cauchy pentru ecuații diferențiale. Graficul soluției unei ecuații diferențiale de ordinul întâi. Ecuații cu variabile separabile și reducând la o ecuație omogenă. Ecuații liniare omogene și neomogene de ordinul întâi. ecuația lui Bernoulli.

prelegere, adăugată 18.08.2012

Concepte de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale ordinare. Semnul unei ecuații în diferențiale totale, construcția unei integrale generale. Cele mai simple cazuri de găsire a factorului integrator. Cazul unui multiplicator care depinde doar de X și numai de Y.

lucrare curs, adaugat 24.12.2014

Caracteristicile ecuațiilor diferențiale ca relații între funcții și derivatele lor. Dovada teoremei existenței și unicității soluției. Exemple și algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor în diferențiale totale. Factorul de integrare în exemple.

lucrare curs, adăugată 02.11.2014

Ecuații diferențiale Riccati. Rezolvarea generală a unei ecuații liniare. Găsind pe toți solutii posibile Ecuația diferențială Bernoulli. Rezolvarea ecuațiilor cu variabile separabile. Soluții generale și speciale ale ecuației diferențiale Clairaut.

lucrare de curs, adăugată 26.01.2015

Ecuație cu variabile separabile. Ecuații diferențiale omogene și liniare. Proprietăți geometrice curbe integrale. Diferenţial complet funcţiile a două variabile. Determinarea integralei prin metodele Bernoulli și variațiile unei constante arbitrare.

rezumat, adăugat 24.08.2015

Concepte și soluții ale celor mai simple ecuații diferențiale și ecuații diferențiale de ordin arbitrar, inclusiv cele cu coeficienți analitici constanți. Sisteme de ecuații liniare. Comportamentul asimptotic al soluțiilor unor sisteme liniare.

teză, adăugată 06.10.2010

Integrală generală a ecuației, aplicarea metodei Lagrange pentru rezolvarea unei ecuații liniare neomogene cu funcție necunoscută. Rezolvarea unei ecuații diferențiale în formă parametrică. Condiția lui Euler, ecuație de ordinul întâi în diferențiale totale.

test, adaugat 11.02.2011

Ecuaţie M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 se numește omogen generalizat dacă este posibil să se selecteze un astfel de număr k, că partea stângă a acestei ecuații devine o funcție omogenă într-un anumit grad m relativ x, y, dx Şi dy cu condiția ca x este considerată valoarea primei dimensiuni, y – k‑ măsurătorile , dx Şi dy – respectiv zero şi (k-1) măsurătorile. De exemplu, aceasta ar fi ecuația.

(6,1)

x, y, dx Şi dy Valabil conform ipotezelor făcute cu privire la măsurători
Şi dy membrii din partea stângă k vor avea dimensiunile -2, respectiv 2 k-1. Echivalându-le, obținem o condiție pe care trebuie să o îndeplinească numărul necesar k: -2 = 2k = k-1. Această condiție este îndeplinită atunci când k = -1 (cu aceasta k toți termenii din partea stângă a ecuației luate în considerare vor avea o dimensiune de -2). În consecință, ecuația (6.1) este generalizată omogenă.

Integrându-l, găsim
, unde
. Aceasta este o soluție generală a ecuației (6.1).

§ 7. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul I.

O ecuație liniară de ordinul 1 este o ecuație liniară în raport cu funcția dorită și derivata acesteia. Arata ca:

, (7.1)

Unde P(x) Şi Q(x) – date funcții continue de x. Dacă funcţia
, atunci ecuația (7.1) are forma:
(7.2)

și se numește ecuație liniară omogenă, în caz contrar
se numește ecuație liniară neomogenă.

Ecuația diferențială liniară omogenă (7.2) este o ecuație cu variabile separabile:

(7.3)

Expresia (7.3) este soluția generală a ecuației (7.2). Pentru a găsi o soluție generală a ecuației (7.1), în care funcția P(x) denotă aceeași funcție ca în ecuația (7.2), aplicăm o tehnică numită metoda de variație a unei constante arbitrare și constă în următoarele: vom încerca să selectăm funcția C=C(x) astfel încât soluția generală a ecuației liniare omogene (7.2) ar fi o soluție a ecuației liniare neomogene (7.1). Atunci pentru derivata funcției (7.3) obținem: