Definiția 1: se spune că o matrice este singulară dacă determinantul ei egal cu zero.
Definiția 2: o matrice se numește nesingulară dacă determinantul ei nu este egal cu zero.
Se numește matricea „A”. matrice inversă, dacă condiția A*A-1 = A-1 *A = E (matricea unitară) este îndeplinită.
O matrice pătrată este inversabilă numai dacă este nesingulară.
Schema de calcul matrice inversă:
1) Calculați determinantul matricei „A” dacă ∆ A = 0, atunci matricea inversă nu există.
2) Găsiți toate complementele algebrice ale matricei "A".
3) Creați o matrice de adunări algebrice (Aij)
4) Transpuneți matricea complementelor algebrice (Aij )T
5) Înmulțiți matricea transpusă cu numărul, inversul determinantului a acestei matrice.
6) Efectuați verificarea:
La prima vedere poate părea complicat, dar de fapt totul este foarte simplu. Toate soluțiile se bazează pe operații aritmetice simple, principalul lucru atunci când rezolvați este să nu vă confundați cu semnele „-” și „+” și să nu le pierdeți.
Acum să decidem împreună sarcină practică, calculând matricea inversă.
Sarcină: găsiți matricea inversă „A” prezentată în imaginea de mai jos:
1. Primul lucru de făcut este să găsiți determinantul matricei "A":
Explicaţie:
Ne-am simplificat determinantul folosind funcțiile sale de bază. Mai întâi, am adăugat la liniile a 2-a și a 3-a elementele primei linii, înmulțite cu un număr.
În al doilea rând, am schimbat coloana a 2-a și a 3-a a determinantului și, în funcție de proprietățile acestuia, am schimbat semnul din fața acestuia.
În al treilea rând, am scos multiplicator comun(-1) din a doua linie, schimbând astfel din nou semnul și a devenit pozitiv. De asemenea, am simplificat linia 3 în același mod ca la începutul exemplului.
Am obținut un determinant triunghiular ale cărui elemente de sub diagonală sunt egale cu zero, iar prin proprietatea 7 acesta egal cu produsul elemente diagonale. Până la urmă am primit ∆ A = 26, deci matricea inversă există.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Următorul pas este să compilați o matrice din adăugările rezultate:
5. Înmulțiți această matrice cu inversul determinantului, adică cu 1/26:
6. Acum trebuie doar să verificăm:
În timpul testului, am primit o matrice de identitate, prin urmare, soluția a fost efectuată absolut corect.
2 moduri de a calcula matricea inversă.
1. Transformarea matricei elementare
2. Matrice inversă printr-un convertor elementar.
Transformarea matricei elementare include:
1. Înmulțirea unui șir cu un număr care nu este egal cu zero.
2. Adăugând la orice linie o altă linie înmulțită cu un număr.
3. Schimbați rândurile matricei.
4. Aplicând un lanț de transformări elementare, obținem o altă matrice.
O -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2.A -1 * A = E
Să ne uităm la asta exemplu practic cu numere reale.
Exercita: Aflați matricea inversă.
Soluţie:
Să verificăm:
O mica precizare asupra solutiei:
Mai întâi, am rearanjat rândurile 1 și 2 ale matricei, apoi am înmulțit primul rând cu (-1).
După aceea, am înmulțit primul rând cu (-2) și l-am adăugat cu al doilea rând al matricei. Apoi am înmulțit linia 2 cu 1/4.
Etapa finală a transformării a fost înmulțirea a doua linie cu 2 și adăugarea acesteia cu prima. Ca urmare, avem o matrice de identitate în stânga, prin urmare, matricea inversă este matricea din dreapta.
După verificare, ne-am convins că decizia a fost corectă.
După cum puteți vedea, calcularea matricei inverse este foarte simplă.
La sfârșitul acestei prelegeri, aș dori, de asemenea, să petrec puțin timp asupra proprietăților unei astfel de matrice.
Metode de găsire a matricei inverse. Luați în considerare o matrice pătrată
Să notăm Δ = det A.
Matricea pătrată A se numește nedegenerat, sau nu deosebite, dacă determinantul său este diferit de zero și degenera, sau special, DacăΔ = 0.
O matrice pătrată B este pentru o matrice pătrată A de același ordin dacă produsul lor este A B = B A = E, unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricele A și B.
Teorema . Pentru ca matricea A să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca determinantul ei să fie diferit de zero.
Matricea inversă a matricei A, notată cu A- 1, deci B = A - 1 și se calculează prin formula
, (1)
unde A i j sunt complemente algebrice ale elementelor a i j ale matricei A..
Calculul lui A -1 folosind formula (1) pentru matrice ordin înalt este foarte laborioasă, așa că în practică este convenabil să găsiți A -1 folosind metoda transformărilor elementare (ET). Orice matrice non-singulară A poate fi redusă la matricea de identitate E prin intermediul ED-urilor numai a coloanelor (sau numai a rândurilor) Dacă ED-urile perfecționate peste matricea A sunt aplicate în aceeași ordine matricei identității E, atunci rezultatul este. o matrice inversă. Este convenabil să efectuați EP pe matricele A și E simultan, scriind ambele matrici una lângă alta printr-o linie. Să remarcăm încă o dată că atunci când căutați forma canonică a unei matrice, pentru a o găsi, puteți utiliza transformări de rânduri și coloane. Dacă trebuie să găsiți inversul unei matrice, ar trebui să utilizați numai rânduri sau numai coloane în timpul procesului de transformare.
Exemplul 1. Pentru matrice 
găsiți A-1.
Soluţie.Mai întâi găsim determinantul matricei A 
Aceasta înseamnă că matricea inversă există și o putem găsi folosind formula: 
, unde A i j (i,j=1,2,3) sunt adunări algebrice ale elementelor a i j ale matricei originale. 
Unde 
.
Exemplul 2. Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 pentru matricea: A = .
Soluţie.Atribuim matricei inițiale din dreapta o matrice de identitate de același ordin: 
. Folosind transformări elementare ale coloanelor, vom reduce „jumătatea” stângă la cea de identitate, efectuând simultan exact aceleași transformări pe matricea din dreapta.
Pentru a face acest lucru, schimbați prima și a doua coloană: 
~
. La a treia coloană o adăugăm pe prima, iar la a doua - prima, înmulțită cu -2: 
. Din prima coloană scadem a doua dublată, iar din a treia - a doua înmulțită cu 6; 
. Să adăugăm a treia coloană la prima și a doua: 
. Înmulțiți ultima coloană cu -1: 
. Matricea pătrată obținută în dreapta barei verticale este matricea inversă a matricei date A. Deci,
.
De obicei, operațiile inverse sunt folosite pentru a simplifica expresii algebrice complexe. De exemplu, dacă problema implică operația de împărțire la o fracție, o puteți înlocui cu operația de înmulțire cu reciproca unei fracții, care este operația inversă. În plus, matricele nu pot fi împărțite, așa că trebuie să înmulțiți cu matricea inversă. Calcularea inversului unei matrice 3x3 este destul de obositoare, dar trebuie să o poți face manual. De asemenea, puteți găsi reciprocul folosind un calculator grafic bun.
Pași
Folosind matricea adjunctă
Transpuneți matricea originală. Transpunerea este înlocuirea rândurilor cu coloane în raport cu diagonala principală a matricei, adică trebuie să schimbați elementele (i,j) și (j,i). În acest caz, elementele diagonalei principale (începe în colțul din stânga sus și se termină în colțul din dreapta jos) nu se modifică.
- Pentru a schimba rândurile în coloane, scrieți elementele primului rând în prima coloană, elementele celui de-al doilea rând în a doua coloană și elementele celui de-al treilea rând în a treia coloană. Ordinea schimbării poziției elementelor este prezentată în figură, în care elementele corespunzătoare sunt încercuite cu cercuri colorate.
Găsiți definiția fiecărei matrice 2x2. Fiecare element al oricărei matrice, inclusiv unul transpus, este asociat cu o matrice 2x2 corespunzătoare. Pentru a găsi o matrice 2x2 care corespunde unui anumit element, tăiați rândul și coloana în care se află elementul dat, adică trebuie să tăiați cinci elemente din matricea originală 3x3. Patru elemente vor rămâne neîncrucișate, care sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.
- De exemplu, pentru a găsi o matrice 2x2 pentru elementul care este situat la intersecția celui de-al doilea rând și prima coloană, tăiați cele cinci elemente care se află în al doilea rând și prima coloană. Cele patru elemente rămase sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.
- Aflați determinantul fiecărei matrice 2x2. Pentru a face acest lucru, scădeți produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale (vezi figura).
- Informații detaliate despre matrice 2x2 corespunzătoare elementelor specifice ale unei matrice 3x3 pot fi găsite pe Internet.
Creați o matrice de cofactori. Scrieți rezultatele obținute mai devreme sub forma unei noi matrice cofactoriale. Pentru a face acest lucru, scrieți determinantul găsit al fiecărei matrice 2x2 unde a fost localizat elementul corespunzător al matricei 3x3. De exemplu, dacă luați în considerare o matrice 2x2 pentru elementul (1,1), scrieți determinantul acestuia în poziția (1,1). Apoi schimbați semnele elementelor corespunzătoare conform unei anumite scheme, care este prezentată în figură.
- Schema de schimbare a semnelor: semnul primului element al primei linii nu se modifică; semnul celui de-al doilea element al primei linii este inversat; semnul celui de-al treilea element al primei linii nu se schimbă și așa mai departe rând cu linie. Vă rugăm să rețineți că semnele „+” și „-” care sunt afișate în diagramă (vezi figura) nu indică faptul că elementul corespunzător va fi pozitiv sau negativ. În acest caz, semnul „+” indică faptul că semnul elementului nu se schimbă, iar semnul „-” indică o schimbare a semnului elementului.
- Informații detaliate despre matricele de cofactori pot fi găsite pe Internet.
- În acest fel veți găsi matricea adiacentă matricei originale. Uneori este numită o matrice conjugată complexă. O astfel de matrice este notată ca adj(M).
Împărțiți fiecare element al matricei adiacente la determinantul său. Determinantul matricei M a fost calculat de la bun început pentru a verifica existența matricei inverse. Acum împărțiți fiecare element al matricei adiacente la acest determinant. Scrieți rezultatul fiecărei operații de împărțire unde se află elementul corespunzător. În acest fel veți găsi matricea inversă față de cea originală.
- Determinantul matricei care este prezentat în figură este 1. Astfel, aici matricea alăturată este matricea inversă (deoarece atunci când orice număr este împărțit la 1, acesta nu se schimbă).
- În unele surse, operația de împărțire este înlocuită cu operația de înmulțire cu 1/det(M). Cu toate acestea, rezultatul final nu se schimbă.
Scrieți matricea inversă. Notați elementele situate pe jumătatea dreaptă matrice mare, ca o matrice separată, care este matricea inversă.
Folosind un calculator
Alegeți un calculator care funcționează cu matrici. Nu este posibil să găsiți inversul unei matrice folosind calculatoare simple, dar se poate face cu un calculator grafic bun, cum ar fi Texas Instruments TI-83 sau TI-86.
Introduceți matricea originală în memoria calculatorului. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe butonul Matrice, dacă este disponibil. Pentru un calculator Texas Instruments, poate fi necesar să apăsați butoanele 2nd și Matrix.
Selectați meniul Editare. Faceți acest lucru folosind butoanele săgeată sau butonul de funcție corespunzător situat în partea de sus a tastaturii calculatorului (locația butonului variază în funcție de modelul calculatorului).
Introduceți notația matriceală. Majoritatea calculatoarelor grafice pot lucra cu 3-10 matrici, care pot fi desemnate literele A-J. De obicei, selectați [A] pentru a desemna matricea originală. Apoi apăsați butonul Enter.
Introduceți dimensiunea matricei. Acest articol vorbește despre matrice 3x3. Dar calculatoarele grafice pot lucra cu matrici mari. Introduceți numărul de rânduri, apăsați Enter, apoi introduceți numărul de coloane și apăsați Enter din nou.
Introduceți fiecare element de matrice. O matrice va fi afișată pe ecranul calculatorului. Dacă ați introdus anterior o matrice în calculator, aceasta va apărea pe ecran. Cursorul va evidenția primul element al matricei. Introduceți valoarea pentru primul element și apăsați Enter. Cursorul se va muta automat la următorul element de matrice.
Să ni se dea o matrice pătrată. Trebuie să găsiți matricea inversă.
Prima cale. Teorema 4.1 a existenței și unicității unei matrici inverse indică una dintre modalitățile de a o găsi.
1. Calculați determinantul acestei matrice. Dacă, atunci matricea inversă nu există (matricea este singulară).
2. Construiți o matrice din complemente algebrice ale elementelor matricei.
3.
Transpuneți matricea pentru a obține matricea adiacentă 
.
4. Aflați matricea inversă (4.1) împărțind toate elementele matricei adiacente la determinant
A doua cale. Pentru a găsi matricea inversă, puteți utiliza transformări elementare.
1. Construiți o matrice bloc prin alocarea unei matrice date a unei matrice de identitate de același ordin.
2. Folosind transformări elementare efectuate pe rândurile matricei, aduceți blocul său din stânga la forma sa cea mai simplă. În acest caz, matricea bloc este redusă la forma în care este o matrice pătrată obținută ca urmare a transformărilor din matricea de identitate.
3. Dacă , atunci blocul este egal cu inversul matricei, adică dacă, atunci matricea nu are inversă.
De fapt, cu ajutorul transformărilor elementare ale rândurilor matricei, blocul său din stânga poate fi redus la o formă simplificată (vezi Fig. 1.5). În acest caz, matricea bloc este transformată în forma în care este o matrice elementară care satisface egalitatea. Dacă matricea este nedegenerată, atunci conform paragrafului 2 din Observațiile 3.3 forma sa simplificată coincide cu matricea de identitate. Apoi din egalitate rezultă că. Dacă matricea este singulară, atunci forma sa simplificată diferă de matricea de identitate, iar matricea nu are un invers.
11. Ecuații matriceale și soluția lor. Forma matriceală de înregistrare SLAE. Metoda matricei(metoda matricei inverse) soluția SLAE și condițiile de aplicabilitate a acesteia.
Ecuațiile matriceale sunt ecuații de forma: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C unde matricea A,B,C sunt cunoscute, matricea X nu este cunoscută, dacă matricele A și B nu sunt singulare, atunci soluțiile matricelor originale se vor scrie în forma corespunzătoare: X = A -1 * C; X=C*A-1; X=A -1 *C*B -1
Forma matriceală a sistemelor de scriere a ecuațiilor algebrice liniare. Cu fiecare SLAE pot fi asociate mai multe matrice; Mai mult decât atât, SLAE în sine poate fi scris sub forma unei ecuații matriceale. Pentru SLAE (1), luați în considerare următoarele matrici: Matricea A se numește
Se numește matricea A˜ sistem de matrice extinsă. Se obține prin adăugarea la matricea sistemului a unei coloane care conține termeni liberi b1,b2,...,bm. De obicei, această coloană este separată de o linie verticală pentru claritate.
Se numește matricea coloanei B matricea membrilor liberi, iar matricea coloanei X este matricea necunoscutelor.
Folosind notația introdusă mai sus, SLAE (1) se poate scrie sub forma unei ecuații matriceale: A⋅X=B.
Nota
Matricele asociate sistemului pot fi scrise în diferite moduri: totul depinde de ordinea variabilelor și ecuațiilor SLAE luate în considerare. Dar, în orice caz, ordinea necunoscutelor în fiecare ecuație a unui SLAE dat trebuie să fie aceeași.
Metoda matricei este potrivită pentru rezolvarea SLAE-urilor în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero. Dacă sistemul conține mai mult de trei ecuații, atunci găsirea matricei inverse necesită un efort de calcul semnificativ, prin urmare, în acest caz, este recomandabil să se folosească metoda gaussiana.
12. SLAE-uri omogene, condiții pentru existența soluțiilor lor nenule. Proprietățile soluțiilor parțiale ale SLAE-urilor omogene.
O ecuație liniară se numește omogenă dacă termenul său liber este egal cu zero, iar neomogenă în caz contrar. Un sistem format din ecuații omogene se numește omogen și are forma generală:
13 .Conceptul de independență liniară și dependență de soluții parțiale ale unui SLAE omogen. Sistemul fundamental de soluții (FSD) și determinarea acestuia. Reprezentarea soluției generale a unui SLAE omogen prin FSR.
Sistem de funcții y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) se numește dependent liniar pe interval ( o , b ), dacă există o mulțime de coeficienți constanți nu egali cu zero în același timp, astfel încât combinația liniară a acestor funcții să fie identic egală cu zero pe ( o , b ): Pentru . Dacă egalitatea pentru este posibilă numai pentru , sistemul de funcții y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) se numește liniar independent pe interval ( o , b ). Cu alte cuvinte, funcțiile y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) dependent liniar pe interval ( o , b ), dacă există un egal cu zero pe ( o , b ) combinația lor liniară netrivială. Funcții y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) liniar independent pe interval ( o , b ), dacă numai combinația lor liniară trivială este identic egală cu zero pe ( o , b ).
Sistem de decizie fundamentală (FSR) Un SLAE omogen stă la baza acestui sistem de coloane.
Numărul de elemente din FSR este egal cu numărul de necunoscute ale sistemului minus rangul matricei sistemului. Orice soluție a sistemului original este o combinație liniară de soluții ale FSR.
Teorema
Soluția generală a unui SLAE neomogen este egală cu suma soluției particulare a unui SLAE neomogen și solutie generala SLAE omogen corespunzătoare.
1 . Dacă coloanele sunt soluții ale unui sistem omogen de ecuații, atunci orice combinație liniară a acestora este, de asemenea, o soluție a sistemului omogen.
Într-adevăr, din egalităţi rezultă că
aceste. o combinație liniară de soluții este o soluție la un sistem omogen.
2. Dacă rangul matricei unui sistem omogen este egal cu , atunci sistemul are soluții liniar independente.
Într-adevăr, folosind formulele (5.13) pentru soluția generală a unui sistem omogen, găsim soluții particulare, dând variabilelor libere următoarele: seturi standard de valori (de fiecare dată presupunând că una dintre variabilele libere este egală cu una, iar restul sunt egale cu zero):
care sunt liniar independente. De fapt, dacă creați o matrice din aceste coloane, atunci ultimele sale rânduri formează matricea de identitate. Prin urmare, minorul situat în ultimele linii nu este egal cu zero (it egal cu unu), adică este de bază. Prin urmare, rangul matricei va fi egal. Aceasta înseamnă că toate coloanele acestei matrice sunt liniar independente (vezi Teorema 3.4).
Orice colecție de soluții liniar independente ale unui sistem omogen se numește sistem fundamental (set) de soluții .
14 Minor de ordinul al-lea, minor de bază, rangul matricei. Calcularea rangului unei matrice.
Ordinul k minor al unei matrice A este determinantul uneia dintre submatricele sale pătrate de ordinul k.
Într-o matrice A de dimensiuni m x n, un minor de ordinul r se numește de bază dacă este diferit de zero, iar toate minorele de ordin superior, dacă există, sunt egale cu zero.
Coloanele și rândurile matricei A, la intersecția căreia există o bază minoră, sunt numite coloane și rânduri de bază ale lui A.
Teorema 1. (Despre rangul matricei). Pentru orice matrice, rangul minor este egal cu rangul rândului și egal cu rangul coloanei.
Teorema 2. (Pe baza minoră). Fiecare coloană a matricei este descompusă într-o combinație liniară a coloanelor sale de bază.
Rangul unei matrice (sau rang minor) este ordinea bazei minore sau, cu alte cuvinte, cea mai mare ordine pentru care există minori non-zero. Rangul unei matrice zero este considerat 0 prin definiție.
Să notăm două proprietăți evidente de rang minor.
1) Rangul unei matrice nu se modifică în timpul transpunerii, deoarece atunci când o matrice este transpusă, toate submatricele sale sunt transpuse, iar minorele nu se modifică.
2) Dacă A’ este o submatrice a matricei A, atunci rangul lui A’ nu depășește rangul lui A, deoarece un minor diferit de zero inclus în A’ este de asemenea inclus în A.
15. Conceptul de vector aritmetic -dimensional. Egalitatea vectorilor. Operații pe vectori (adunare, scădere, înmulțire cu un număr, înmulțire cu o matrice). Combinație liniară de vectori.
Colectare comandată n valabil sau numere complexe numit vector n-dimensional. Numerele sunt numite coordonate vectoriale.
Doi vectori (diferiți de zero). oŞi b sunt egale dacă sunt în mod egal direcționate și au același modul. Toți vectorii zero sunt considerați egali. În toate celelalte cazuri, vectorii nu sunt egali.
Adăugarea vectorului. Există două moduri de a adăuga vectori: 1. Regula paralelogramului. Pentru a adăuga vectorii și, plasăm originile ambilor în același punct. Construim până la un paralelogram și din același punct desenăm o diagonală a paralelogramului. Aceasta va fi suma vectorilor.
2. A doua metodă de adunare a vectorilor este regula triunghiului. Să luăm aceiași vectori și . Vom adăuga începutul celui de-al doilea la sfârșitul primului vector. Acum să conectăm începutul primului și sfârșitul celui de-al doilea. Aceasta este suma vectorilor și . Folosind aceeași regulă, puteți adăuga mai mulți vectori. Le aranjam unul după altul și apoi conectăm începutul primului cu sfârșitul ultimului.
Scăderea vectorilor. Vectorul este îndreptat opus vectorului. Lungimile vectorilor sunt egale. Acum este clar ce este scăderea vectorială. Diferența vectorială și este suma vectorului și a vectorului .
Înmulțirea unui vector cu un număr
Înmulțirea unui vector cu un număr k produce un vector a cărui lungime este de k ori lungimea. Este codirecțional cu vectorul dacă k este mai mare decât zero și direcționat opus dacă k este mai mic decât zero.
Produsul scalar al vectorilor este produsul dintre lungimile vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei. Dacă vectorii sunt perpendiculari, produsul lor scalar este zero. Și așa se exprimă produsul scalar prin coordonatele vectorilor și .
Combinație liniară de vectori
Combinație liniară de vectori 
numit vector
Unde 
- coeficienți de combinație liniară. Dacă 
o combinație se numește trivială dacă este non-trivială.
16 .Produsul scalar al vectorilor aritmetici. Lungimea și unghiul vectorului dintre vectori. Conceptul de ortogonalitate vectorială.
Produsul scalar al vectorilor a și b este numărul
Produsul scalar se calculează: 1) găsirea unghiului dintre ei; 2) determinarea lungimii vectorilor;
Lungimea segmentului AB se numește distanța dintre punctele A și B. Unghiul dintre vectorii A și B se numește unghi α = (a, b), 0≤ α ≤P. Prin care trebuie să rotiți 1 vector astfel încât direcția acestuia să coincidă cu un alt vector. Cu condiția ca originile lor să coincidă.
Un ortom a este un vector a având unitatea de lungime și direcția a.
17. Sistemul de vectori și combinația sa liniară. Concept dependență liniarăși independența sistemului vectorial. Teoremă privind condițiile necesare și suficiente pentru dependența liniară a unui sistem de vectori.
Un sistem de vectori a1,a2,...,an se numește liniar dependenți dacă există numere λ1,λ2,...,λn astfel încât cel puțin unul dintre ele este diferit de zero și λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 . În caz contrar, sistemul se numește liniar independent.
Doi vectori a1 și a2 se numesc coliniari dacă direcțiile lor sunt aceleași sau opuse.
Trei vectori a1, a2 și a3 se numesc coplanari dacă sunt paraleli cu un plan.
Criterii geometrice pentru dependența liniară:
a) sistemul (a1,a2) este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii a1 și a2 sunt coliniari.
b) sistemul (a1,a2,a3) este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii a1,a2 și a3 sunt coplanari.
teorema. (Condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară sisteme vectori.)
Sistem vectorial vector spaţiu este liniar dependent dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți vector acest sistem.
Corolarul 1. Un sistem de vectori într-un spațiu vectorial este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.2. Un sistem de vectori care conține un vector zero sau doi vectori egali este dependent liniar.