1. Coeficient întreg pozitiv. Să avem un monom +5a, deoarece numărul pozitiv +5 este considerat a coincide cu numărul aritmetic 5, atunci
5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.
De asemenea +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc și așa mai departe.
Pe baza acestor exemple, putem stabili că coeficientul întreg pozitiv arată de câte ori se repetă factorul de litere (sau: produsul factorilor de litere) al unui monom de către aditiv.
Ar trebui să vă obișnuiți cu asta în așa măsură încât să vă imaginați imediat că, de exemplu, într-un polinom
3a + 4a² + 5a³
problema se rezumă la faptul că mai întâi a² se repetă de 3 ori ca termen, apoi a³ se repetă de 4 ori ca termen și apoi a se repetă de 5 ori ca termen.
De asemenea: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ etc.
2. Coeficient fracționar pozitiv. Să avem un monom +a. Deoarece numărul pozitiv + coincide cu numărul aritmetic, atunci +a = a ∙, ceea ce înseamnă: trebuie să luăm trei sferturi din numărul a, adică.
Prin urmare: coeficientul pozitiv fracționar arată de câte ori și ce parte din factorul de litere al monomului se repetă de către aditiv.
Polinom 
ar trebui să fie ușor de reprezentat sub forma:
si altele asemenea.
3. Coeficient negativ. Cunoscând înmulțirea numerelor relative, putem stabili cu ușurință că, de exemplu, (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) sau (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) sau în general a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); de asemenea a ∙ (–) = (–a) ∙ (+), etc.
Prin urmare, dacă luăm un monom cu un coeficient negativ, de exemplu, –3a, atunci
–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a este luat ca termen de 3 ori).
Din aceste exemple vedem că coeficientul negativ arată de câte ori se repetă de către termen partea de literă a unui monom sau fracțiunea sa certă, luată cu semnul minus.
În această lecție vom oferi o definiție strictă a unui monom, luați în considerare diverse exemple din manual. Să ne amintim regulile de înmulțire a puterilor cu aceleași baze. Să definim forma standard a unui monom, coeficientul monomului și partea sa de literă. Să luăm în considerare două operațiuni tipice principale asupra monomiilor, și anume reducerea la o formă standard și calculul unei valori numerice specifice a unui monom pentru valorile date ale variabilelor literale incluse în acesta. Să formulăm o regulă pentru reducerea unui monom la forma standard. Să învățăm să rezolvăm sarcini tipice cu orice monomii.
Subiect:Monomiale. Operații aritmetice pe monomii
Lecţie:Conceptul de monom. Forma standard de monom
Luați în considerare câteva exemple:
3. 
;
Vom găsi caracteristici comune pentru expresiile date. În toate cele trei cazuri, expresia este produsul numerelor și variabilelor ridicate la o putere. Pe baza asta dăm definiție monomială : Un monom este o expresie algebrică care constă din produsul puterilor și numerelor.
Acum dăm exemple de expresii care nu sunt monomii:
Să găsim diferența dintre aceste expresii și cele anterioare. Constă în faptul că în exemplele 4-7 există operații de adunare, scădere sau împărțire, în timp ce în exemplele 1-3, care sunt monomii, nu există aceste operații.
Iată încă câteva exemple:
Expresia numărul 8 este un monom deoarece este produsul dintre o putere și un număr, în timp ce exemplul 9 nu este un monom.
Acum să aflăm acţiuni asupra monomiilor .
1. Simplificare. Să ne uităm la exemplul nr. 3 ;și exemplul nr. 2 /
În al doilea exemplu vedem un singur coeficient - , fiecare variabilă apare o singură dată, adică variabila " O„ este reprezentat într-o singură copie, ca „”, în mod similar, variabilele „” și „” apar o singură dată.
În exemplul nr. 3, dimpotrivă, există doi coeficienți diferiți - și , vedem variabila „” de două ori - ca „” și ca „”, în mod similar, variabila „” apare de două ori. Adică, această expresie ar trebui simplificată, astfel ajungem la prima acţiune efectuată asupra monomiilor este reducerea monomiului la forma standard . Pentru a face acest lucru, vom reduce expresia din Exemplul 3 la forma standard, apoi vom defini această operație și vom învăța cum să reducem orice monom la forma standard.
Deci, luați în considerare un exemplu:
Prima acțiune în operația de reducere la forma standard este întotdeauna înmulțirea tuturor factorilor numerici:
;
Rezultatul acestei acțiuni va fi apelat coeficientul monomului .
În continuare, trebuie să înmulți puterile. Să înmulțim puterile variabilei " X„după regula înmulțirii puterilor cu aceleași baze, care prevede că la înmulțire se adună exponenții:
Acum să înmulțim puterile" la»:
;
Deci, iată o expresie simplificată:
;
Orice monom poate fi redus la forma standard. Să formulăm regula de standardizare :
Înmulțiți toți factorii numerici;
Puneți pe primul loc coeficientul rezultat;
Înmulțiți toate gradele, adică obțineți partea cu literă;
Adică, orice monom este caracterizat de un coeficient și o parte de litere. Privind în viitor, observăm că monomiile care au aceeași parte de literă sunt numite similare.
Acum trebuie să ne antrenăm tehnica de reducere a monomiilor la forma standard . Luați în considerare exemple din manual:
Sarcina: aduceți monomul în forma standard, denumiți coeficientul și partea de litere.
Pentru a finaliza sarcina, vom folosi regula pentru reducerea unui monom la o formă standard și proprietățile puterilor.
1. 
;
3. 
;
Comentarii la primul exemplu: Mai întâi, să stabilim dacă această expresie este într-adevăr un monom pentru a face acest lucru, să verificăm dacă conține operații de înmulțire a numerelor și puterilor și dacă conține operații de adunare, scădere sau împărțire; Putem spune că această expresie este un monom deoarece condiția de mai sus este îndeplinită. În continuare, conform regulii de reducere a unui monom la o formă standard, înmulțim factorii numerici:
- am găsit coeficientul unui monom dat;
; ; ; adică se obţine partea literală a expresiei:;
Să notăm răspunsul: ;
Comentarii la al doilea exemplu: Urmând regula efectuăm:
1) înmulțiți factorii numerici:
2) înmulțiți puterile:
Variabilele sunt prezentate într-o singură copie, adică nu pot fi înmulțite cu nimic, sunt rescrise fără modificări, gradul este înmulțit:
Să scriem răspunsul:
;
În acest exemplu, coeficientul monomului este egal cu unu, iar partea de litere este .
Comentarii la al treilea exemplu: a Similar cu exemplele anterioare, efectuăm următoarele acțiuni:
1) înmulțiți factorii numerici:
;
2) înmulțiți puterile:
;
Să notăm răspunsul: ;
În acest caz, coeficientul monomului este „”, iar partea de litere 
.
Acum să luăm în considerare a doua operațiune standard pe monomii . Deoarece un monom este o expresie algebrică constând din variabile literale care pot lua anumite valori numerice, avem o expresie numerică aritmetică care trebuie evaluată. Adică următoarea operație pe polinoame este calculând valoarea lor numerică specifică .
Să ne uităm la un exemplu. Monomiul dat:
acest monom a fost deja redus la forma standard, coeficientul său este egal cu unu și partea de literă
Mai devreme spuneam că o expresie algebrică nu poate fi întotdeauna calculată, adică variabilele care sunt incluse în ea nu pot lua nicio valoare. În cazul unui monom, variabilele incluse în acesta pot fi oricare; aceasta este o caracteristică a monomului.
Deci, în exemplul dat, trebuie să calculați valoarea monomului la , , , .
Monomial este o expresie care este produsul a doi sau mai mulți factori, fiecare dintre care este un număr exprimat printr-o literă, cifre sau putere (cu un număr întreg nenegativ):
2o, o 3 x, 4abc, -7x
Deoarece produsul factorilor identici poate fi scris ca putere, o singură putere (cu un exponent întreg nenegativ) este, de asemenea, un monom:
(-4) 3 , x 5 ,
Deoarece un număr (întreg sau fracție), exprimat printr-o literă sau numere, poate fi scris ca produs al acestui număr cu unul, orice număr individual poate fi considerat, de asemenea, ca un monom:
x, 16, -o,
Forma standard de monom
Forma standard de monom este un monom care are un singur factor numeric, care trebuie scris pe primul loc. Toate variabilele sunt în ordine alfabetică și sunt conținute într-un monom o singură dată.
Numerele, variabilele și puterile variabilelor aparțin, de asemenea, monomiilor de forma standard:
7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - monomii de formă standard.
Factorul numeric al unui monom de formă standard se numește coeficientul monomului. Coeficienții monomi egali cu 1 și -1 nu sunt de obicei scrisi.
Dacă un monom de formă standard nu are un factor numeric, atunci se presupune că coeficientul monomului este egal cu 1:
x 3 = 1 x 3
Dacă un monom de formă standard nu are un factor numeric și este precedat de un semn minus, atunci se presupune că coeficientul monomului este egal cu -1:
-x 3 = -1 · x 3
Reducerea unui monom la forma standard
Pentru a aduce un monom la forma standard, trebuie să:
- Înmulțiți factorii numerici dacă sunt mai mulți dintre ei. Ridicați un factor numeric la o putere dacă are un exponent. Puneți primul factor numeric.
- Înmulțiți toate aceleași variabile, astfel încât fiecare variabilă să apară o singură dată în monom.
- Aranjați variabilele după factorul numeric în ordine alfabetică.
Exemplu. Prezentați monomul în formă standard:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 bc · 0,5 3
ab
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x Soluţie: x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
= 3 (-2) b) 6 bc · 0,5 b) 6 · 0,5b 3 3 = 6 0,5 = 3· 0,5 4 3 = 6 0,5
c
Puterea unui monom Puterea unui monom
Dacă un monom este un număr, adică nu conține variabile, atunci se ia în considerare gradul său egal cu zero. De exemplu:
5, -7, 21 sunt monomii de grad zero.
Prin urmare, pentru a găsi gradul unui monom, trebuie să determinați exponentul fiecăreia dintre literele incluse în acesta și să adăugați acești exponenți. Dacă exponentul unei litere nu este specificat, înseamnă că este egal cu unu.
Exemple:
Din moment ce x exponentul nu este specificat, ceea ce înseamnă că este egal cu 1. Monomiul nu conține alte variabile, ceea ce înseamnă că gradul său este egal cu 1.
Un monom conține doar o variabilă la a doua putere, ceea ce înseamnă că gradul acestui monom este 2.
3) · 0,5 3 3 = 6 0,5 2 d
Indicator o este egal cu 1, exponent b- 3, indicator 3 = 6 0,5- 2, indicator d- 1. Gradul acestui monom este egal cu suma acestor indicatori.
c
Pentru un monom există conceptul de gradul său. Să ne dăm seama ce este.
Definiţie.
Puterea unui monom forma standard este suma exponenților tuturor variabilelor incluse în înregistrarea sa; dacă nu există variabile în notația unui monom și acesta este diferit de zero, atunci gradul său este considerat egal cu zero; numărul zero este considerat un monom al cărui grad este nedefinit.
Determinarea gradului unui monom vă permite să oferiți exemple. Gradul monomului a este egal cu unu, deoarece a este un 1. Puterea monomului 5 este zero, deoarece este diferită de zero și notația sa nu conține variabile. Iar produsul 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 este un monom de gradul al optulea, deoarece suma exponenților tuturor variabilelor a, x și y este egală cu 2+1+3+2=8.
Apropo, gradul unui monom care nu este scris în formă standard este egal cu gradul monomului corespunzător al formei standard. Pentru a ilustra acest lucru, să calculăm gradul monomului 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Acest monom în formă standard are forma −6·x 8 ·y 4, gradul său este 8+4=12. Astfel, gradul monomului original este 12.
Coeficientul monomial
Un monom în formă standard, care are cel puțin o variabilă în notația sa, este un produs cu un singur factor numeric - un coeficient numeric. Acest coeficient se numește coeficient monomial. Să formulăm argumentele de mai sus sub forma unei definiții.
Definiţie.
Coeficientul monomial este factorul numeric al unui monom scris în formă standard.
Acum putem da exemple de coeficienți ai diferitelor monomii. Numărul 5 este coeficientul monomului 5·a 3 prin definiție, în mod similar monomul (−2,3)·x·y·z are un coeficient de -2,3.
Coeficienții monomiilor, egali cu 1 și −1, merită o atenție deosebită. Ideea aici este că de obicei nu sunt prezente în mod explicit în înregistrare. Se crede că coeficientul monomiilor de formă standard care nu au un factor numeric în notația lor este egal cu unu. De exemplu, monomiile a, x·z 3, a·t·x etc. au un coeficient de 1, deoarece a poate fi considerat ca 1·a, x·z 3 - ca 1·x·z 3 etc.
În mod similar, coeficientul monomiilor, ale căror intrări în formă standard nu au un factor numeric și încep cu semnul minus, este considerat a fi minus unu. De exemplu, monomiile −x, −x 3 y z 3 etc. au un coeficient −1, deoarece −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 etc.
Apropo, conceptul de coeficient al unui monom este adesea denumit monomii de forma standard, care sunt numere fără factori de litere. Coeficienții unor astfel de numere-monomiale sunt considerați a fi aceste numere. Deci, de exemplu, coeficientul monomului 7 este considerat egal cu 7.
Referințe.
- Algebră: manual pentru clasa a VII-a educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M.: Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A.G. Algebră. clasa a VII-a. La 14:00 Partea 1. Manual pentru elevi institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior şcoală, 1984.-351 p., ill.
Lecție pe tema: "Forma standard a unui monom. Definiție. Exemple"
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a VII-a
Manual electronic „Geometrie înțeleasă” pentru clasele 7-9
Manual multimedia „Geometrie în 10 minute” pentru clasele 7-9
Monomial. Definiţie
Monomial- Asta expresie matematică, care este produsul factor primși una sau mai multe variabile.Monoamele includ toate numerele, variabilele, puterile lor cu un exponent natural:
42;
3;
Putem spune cu siguranță că această expresie este un monom.
Forma standard de monom
La efectuarea calculelor, este recomandabil să reduceți monomiul la forma standard. Aceasta este cea mai concisă și mai înțeleasă înregistrare a unui monom.Procedura de reducere a unui monom la forma standard este următoarea:
1. Înmulțiți coeficienții monomului (sau ai factorilor numerici) și plasați rezultatul rezultat pe primul loc.
2. Selectați toate puterile cu aceeași bază de litere și înmulțiți-le.
3. Repetați punctul 2 pentru toate variabilele.
Exemple.
I. Reduceți monomiul dat $3x^2zy^3*5y^2z^4$ la forma standard.
Soluţie.
1. Înmulțiți coeficienții monomului $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Acum prezentăm termeni similari $15x^2y^5z^5$.
II. Reduceți monomiul dat $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ la forma standard.
Soluţie.
1. Înmulțiți coeficienții monomului $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Acum prezentăm termeni similari $\frac(10)(7)a^5b^5c$.