În acest articol vom analiza care este proprietatea principală a unei fracții, o vom formula, vom oferi o demonstrație și exemplu clar. Apoi ne vom uita la modul de aplicare a proprietății de bază a fracțiilor atunci când efectuăm acțiunile de reducere a fracțiilor și de reducere a fracțiilor la un nou numitor.
Toate fracțiile obișnuite au cea mai importantă proprietate, pe care o numim proprietatea principală a unei fracții și sună astfel:
Definiția 1
Dacă numărătorul și numitorul aceleiași fracții se înmulțesc sau se împart la aceeași număr natural, atunci rezultatul va fi o fracție egală cu cea dată.
Să ne imaginăm proprietatea principală a unei fracții sub forma unei egalități. Pentru numerele naturale a, b și m egalitățile vor fi valabile:
a · m b · m = a b și a: m b: m = a b
Să luăm în considerare demonstrarea proprietății de bază a unei fracții. Pe baza proprietăților de înmulțire a numerelor naturale și a proprietăților de împărțire a numerelor naturale, scriem egalitățile: (a · m) · b = (b · m) · a și (a: m) · b = (b: m) · a. Deci fracțiile a · m b · m și a b , precum și a: m b: m și a b sunt egale prin definiția egalității fracțiilor.
Să ne uităm la un exemplu care va ilustra grafic proprietatea principală a unei fracții.
Exemplul 1
Să presupunem că avem un pătrat împărțit în 9 părți pătrate „mari”. Fiecare pătrat „mare” este împărțit în 4 mai mici. Se poate spune că un pătrat dat este împărțit în 4 9 = 36 pătrate „mici”. Să evidențiem 5 pătrate „mari”. În acest caz, vor fi colorate 4 · 5 = 20 de pătrate „mici”. Să arătăm o imagine care demonstrează acțiunile noastre:
Partea colorată este 5 9 din figura originală sau 20 36, care este aceeași. Astfel, fracțiile 5 9 și 20 36 sunt egale: 5 9 = 20 36 sau 20 36 = 5 9 .
Aceste egalități, precum și egalitățile 20 = 4 5, 36 = 4 9, 20: 4 = 5 și 36: 4 = 9, fac posibilă concluzia că 5 9 = 5 4 9 4 și 20 36 = 20 · 4 36 · 4 .
Pentru a consolida teoria, să ne uităm la soluția exemplului.
Exemplul 2
Se da ca numaratorul si numitorul unora fracție comunăînmulțit cu 47, după care acești numărător și numitor au fost împărțiți la 3. Este fracția rezultată egală cu fracția dată?
Soluţie
Pe baza proprietății de bază a unei fracții, putem spune că înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții date cu numărul natural 47 va rezulta o fracție egală cu cea inițială. Același lucru îl putem spune împărțind în continuare la 3. În cele din urmă, vom obține o fracție egală cu cea dată.
Răspuns: Da, fracția rezultată va fi egală cu cea inițială.
Aplicarea proprietății de bază a unei fracții
Proprietatea principală este utilizată atunci când trebuie să reduceți fracțiile la un nou numitor și atunci când reduceți fracțiile.
Reducerea unei fracții la un nou numitor este acțiunea de a înlocui o fracție dată cu o fracție egală, dar cu un numărător și un numitor mai mari. Pentru a converti o fracție într-un nou numitor, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu numărul natural necesar. Lucrul cu fracții ar fi imposibil fără o modalitate de a converti fracțiile la un nou numitor.
Definiția 2
Reducerea unei fracții– acțiunea de a trece la o nouă fracție egală cu cea dată, dar cu numărător și numitor mai mici. Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul fracției la același număr natural necesar, care va fi numit divizor comun.
Pot exista cazuri când nu există un astfel de divizor comun, atunci ei spun că fracția inițială este ireductibilă sau nu poate fi redusă. În special, reducerea unei fracții folosind cel mai mare divizor comun va duce la ireductibilă fracției.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Fracțiile unei unități și este reprezentată ca \frac(a)(b).
Numeratorul fracției (a)- numărul situat deasupra liniei de fracțiuni și care arată numărul de acțiuni în care a fost împărțită unitatea.
Numitorul fracției (b)- numărul situat sub linia fracției și care arată în câte părți este împărțită unitatea.
Ascundeți afișarea
Proprietatea principală a unei fracții
Dacă ad=bc atunci două fracții \frac(a)(b)Şi \frac(c)(d) sunt considerate egale. De exemplu, fracțiile vor fi egale \frac35Şi \frac(9)(15), deoarece 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)Şi \frac(24)(14), deoarece 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .
Din definiția egalității fracțiilor rezultă că fracțiile vor fi egale \frac(a)(b)Şi \frac(am)(bm), deoarece a(bm)=b(am) este un exemplu clar de utilizare a proprietăților asociative și comutative ale înmulțirii numerelor naturale în acțiune.
Mijloace \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- așa arată proprietatea principală a fracției.
Cu alte cuvinte, obținem o fracție egală cu cea dată prin înmulțirea sau împărțirea numărătorului și numitorului fracției originale cu același număr natural.
Reducerea unei fracții este procesul de înlocuire a unei fracții în care noua fracție este egală cu cea inițială, dar cu un numărător și un numitor mai mici.
Se obișnuiește să se reducă fracțiile pe baza proprietății de bază a fracției.
De exemplu, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(numeratorul și numitorul se împart la numărul 3); fracția rezultată poate fi din nou redusă prin împărțirea la 5, adică \frac(15)(20)=\frac 34.
Fracție ireductibilă este o fracțiune a formei \frac 34, unde numărătorul și numitorul sunt reciproce numere prime. Scopul principal al reducerii unei fracții este de a face fracția ireductibilă.
Reducerea fracțiilor la un numitor comun
Să luăm ca exemplu două fracții: \frac(2)(3)Şi \frac(5)(8) cu numitori diferiți 3 și 8. Pentru a reduce aceste fracţii la numitor comunși mai întâi înmulțiți numărătorul și numitorul fracției \frac(2)(3) pana la 8. Obtinem urmatorul rezultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Apoi înmulțim numărătorul și numitorul fracției \frac(5)(8) de 3. Ca rezultat obținem: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Deci, fracțiile originale sunt reduse la un numitor comun 24.
Operații aritmetice pe fracții obișnuite
Adunarea fracțiilor obișnuite
a) Dacă numitorii sunt aceiași, numărătorul primei fracții se adaugă numărătorului celei de-a doua fracții, lăsând numitorul același. După cum puteți vedea în exemplu:
\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);
b) Pentru numitori diferiți, fracțiile sunt mai întâi reduse la un numitor comun, iar apoi numărătorii se adună conform regulii a):
\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).
Scăderea fracțiilor
a) Dacă numitorii sunt aceiași, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții, lăsând numitorul același:
\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);
b) Dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți, atunci mai întâi fracțiile sunt aduse la un numitor comun, iar apoi acțiunile se repetă ca la punctul a).
Înmulțirea fracțiilor comune
Înmulțirea fracțiilor respectă următoarea regulă:
\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),
adică înmulțesc separat numărătorii și numitorii.
De exemplu:
\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).
Împărțirea fracțiilor
Fracțiile sunt împărțite în felul următor:
\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),
adică o fracţiune \frac(a)(b) inmultit cu o fractiune \frac(d)(c).
Exemplu: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).
Numerele reciproce
Dacă ab=1, atunci numărul b este număr reciproc pentru numărul a.
Exemplu: pentru numărul 9 reciproca este \frac(1)(9), pentru că 9\cdot\frac(1)(9)=1, pentru numărul 5 - \frac(1)(5), pentru că 5\cdot\frac(1)(5)=1.
zecimale
Zecimal numită fracție proprie al cărei numitor este 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.
De exemplu: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.
Numerele neregulate cu numitorul de 10^n sau numerele mixte sunt scrise în același mod.
De exemplu: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.
Orice fracție obișnuită cu un numitor care este un divizor al unei anumite puteri a lui 10 este reprezentată ca o fracție zecimală.
Exemplu: 5 este un divizor al lui 100, deci este o fracție \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.
Operatii aritmetice pe zecimale
Adăugarea de zecimale
Pentru a adăuga două fracții zecimale, trebuie să le aranjați astfel încât să existe cifre identice una sub alta și o virgulă sub virgulă, apoi adăugați fracțiile ca numere obișnuite.
Scăderea zecimale
Se efectuează în același mod ca și adăugarea.
Înmulțirea zecimalelor
La înmulțire numere zecimale Este suficient să înmulțiți numerele date, fără să acordați atenție virgulelor (cum ar fi numerele naturale), iar în răspunsul rezultat, o virgulă din dreapta separă atâtea cifre câte cifre sunt după virgulă în ambii factori în total.
Să înmulțim 2,7 cu 1,3. Avem 27 \cdot 13=351 . Separăm două cifre în dreapta cu o virgulă (primul și al doilea număr au o cifră după virgulă zecimală; 1+1=2). Ca rezultat, obținem 2,7 \cdot 1,3=3,51.
Dacă rezultatul rezultat conține mai puține cifre decât trebuie separate prin virgulă, atunci zerourile lipsă sunt scrise în față, de exemplu:
Pentru a înmulți cu 10, 100, 1000, trebuie să mutați punctul zecimal 1, 2, 3 cifre la dreapta (dacă este necesar, un anumit număr de zerouri sunt atribuite la dreapta).
De exemplu: 1,47\cdot 10\,000 = 14.700.
Împărțire zecimală
Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural se face în același mod ca și împărțirea unui număr natural la un număr natural. Virgula din coeficient este plasată după ce s-a încheiat împărțirea întregii părți.
Dacă întreaga parte divizibil mai mic decât divizorul, atunci răspunsul se dovedește a fi zero numere întregi, de exemplu:
.png)
Să ne uităm la împărțirea unei zecimale la o zecimală. Să presupunem că trebuie să împărțim 2,576 la 1,12. În primul rând, să înmulțim dividendul și divizorul fracției cu 100, adică mutam punctul zecimal la dreapta în dividend și divizor cu atâtea zecimale câte sunt în divizor după virgulă (în acest exemplu , doi). Apoi trebuie să împărțiți fracția 257,6 la numărul natural 112, adică problema se reduce la cazul deja luat în considerare:
.png)
Se întâmplă ca rezultatul final să nu fie întotdeauna obținut zecimal la împărțirea unui număr la altul. Rezultatul este o fracție zecimală infinită. În astfel de cazuri, trecem la fracții obișnuite.
2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).
Când vorbim despre matematică, nu se poate să nu-ți amintești fracțiile. Multă atenție și timp este dedicat studiului lor. Amintiți-vă câte exemple a trebuit să rezolvați pentru a învăța anumite reguli de lucru cu fracțiile, cum ați memorat și aplicat proprietatea de bază a unei fracții. Cât nerv s-a cheltuit pentru a găsi numitorul comun, mai ales dacă exemplele au avut mai mult de doi termeni!
Să ne amintim ce este și un pic de reîmprospătare cu privire la informațiile de bază și regulile de lucru cu fracții.
Definiţia fractions
Să începem, poate, cu cel mai important lucru - definiția. O fracție este un număr care este format din una sau mai multe părți ale unei unități. Un număr fracționar este scris ca două numere separate prin orizontală sau oblică. În acest caz, partea de sus (sau primul) se numește numărător, iar partea de jos (al doilea) se numește numitor.
Este de remarcat faptul că numitorul arată în câte părți este împărțită unitatea, iar numărătorul arată numărul de acțiuni sau părți luate. Adesea, fracțiile, dacă sunt adecvate, sunt mai mici de unu.
Acum să ne uităm la proprietățile acestor numere și la regulile de bază care sunt folosite atunci când lucrați cu ele. Dar înainte de a examina un astfel de concept ca „proprietatea principală a unei fracții raționale”, să vorbim despre tipurile de fracții și despre caracteristicile lor.
Ce sunt fracțiile?
Există mai multe tipuri de astfel de numere. În primul rând, acestea sunt obișnuite și zecimale. Primele reprezintă tipul de înregistrare pe care l-am indicat deja folosind o orizontală sau o bară oblică. Al doilea tip de fracții este indicat folosind așa-numita notație pozițională, atunci când este indicată mai întâi partea întreagă a numărului, iar apoi, după virgulă zecimală, este indicată partea fracțională.
Este demn de remarcat aici că în matematică atât fracțiile zecimale, cât și fracțiile ordinare sunt folosite în mod egal. Proprietatea principală a fracției este valabilă doar pentru a doua opțiune. În plus, fracțiile obișnuite sunt împărțite în numere regulate și improprii. Pentru primul, numărătorul este întotdeauna mai mic decât numitorul. De asemenea, rețineți că o astfel de fracție este mai mică de unu. Într-o fracție improprie, dimpotrivă, numărătorul este mai mare decât numitorul, iar fracția în sine este mai mare decât unu. În acest caz, un număr întreg poate fi extras din acesta. În acest articol vom lua în considerare numai fracții obișnuite.
Proprietățile fracțiilor
Orice fenomen, chimic, fizic sau matematic, are propriile sale caracteristici și proprietăți. Numerele fracționale nu au făcut excepție. Au o caracteristică importantă, cu ajutorul căreia se pot efectua anumite operațiuni asupra lor. Care este proprietatea principală a unei fracții? Regula spune că dacă numărătorul și numitorul lui sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr rațional, obținem o nouă fracție, a cărei valoare va fi egală cu valoarea celei inițiale. Adică, înmulțind două părți ale numărului fracționar 3/6 cu 2, obținem o nouă fracție 6/12 și vor fi egale.
Pe baza acestei proprietăți, puteți reduce fracțiile, precum și selectați numitori comuni pentru o anumită pereche de numere.
Operațiuni
Deși fracțiile par mai complexe, ele pot fi folosite și pentru a efectua operații matematice de bază, cum ar fi adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea. În plus, există o acțiune specifică precum reducerea fracțiilor. Desigur, fiecare dintre aceste acțiuni este efectuată conform anumitor reguli. Cunoașterea acestor legi face lucrul cu fracții mai ușor, mai ușor și mai interesant. De aceea, în continuare ne vom uita la regulile de bază și la algoritmul acțiunilor atunci când lucrăm cu astfel de numere.
Dar înainte de a vorbi despre operații matematice precum adunarea și scăderea, să ne uităm la o operație precum reducerea la un numitor comun. Aici este utilă cunoașterea proprietăților de bază ale unei fracții.
Numitor comun
Pentru a reduce un număr la un numitor comun, mai întâi trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun al celor doi numitori. Adică cel mai mic număr care este divizibil simultan cu ambii numitori fără rest. Cel mai simplu mod de a găsi LCM (cel mai mic multiplu comun) este să scrieți pe o linie pentru un numitor, apoi pentru al doilea și să găsiți numărul potrivit dintre ele. Dacă LCM nu este găsit, adică aceste numere nu au un multiplu comun, ar trebui să le înmulțiți, iar valoarea rezultată este considerată LCM.
Deci, am găsit LCM, acum trebuie să găsim un factor suplimentar. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți alternativ LCM în numitorii fracțiilor și să scrieți numărul rezultat peste fiecare dintre ele. Apoi, ar trebui să înmulțiți numărătorul și numitorul cu factorul suplimentar rezultat și să scrieți rezultatele ca o nouă fracție. Dacă vă îndoiți că numărul primit este egal cu cel anterior, amintiți-vă de proprietatea de bază a unei fracții.
Plus
Acum să trecem direct la operații matematice pe numere fracționale. Să începem cu cel mai simplu. Există mai multe opțiuni pentru a adăuga fracții. În primul caz, ambele numere au același numitor. În acest caz, tot ce rămâne este să adunăm numărătorii. Dar numitorul nu se schimbă. De exemplu, 1/5 + 3/5 = 4/5.
Dacă fracţiile numitori diferiti, ar trebui să le aduceți la o valoare comună și abia apoi să efectuați adunarea. Am discutat cum să facem acest lucru puțin mai sus. În această situație, proprietatea de bază a unei fracții va fi utilă. Regula vă va permite să aduceți numerele la un numitor comun. Valoarea nu se va schimba în niciun fel.
Alternativ, se poate întâmpla ca fracția să fie amestecată. Apoi ar trebui să adăugați mai întâi părțile întregi, apoi pe cele fracționale.
Multiplicare
Nu necesită trucuri, iar pentru a efectua această acțiune, nu este necesar să cunoașteți proprietatea de bază a unei fracții. Este suficient să înmulțiți mai întâi numărătorii și numitorii împreună. În acest caz, produsul numărătorilor va deveni noul numărător, iar numitorii vor deveni noul numitor. După cum puteți vedea, nimic complicat.
Singurul lucru care ți se cere este cunoașterea tabelelor înmulțirii, precum și atenție. În plus, după ce ați primit rezultatul, trebuie neapărat să verificați dacă acest număr poate fi redus sau nu. Vom vorbi despre cum să reducem fracțiile puțin mai târziu.
Scădere
Când executați, ar trebui să vă ghidați după aceleași reguli ca și atunci când adăugați. Deci, în numerele cu același numitor, este suficient să scădem numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului. Dacă fracțiile au numitori diferiți, ar trebui să le reduceți la un numitor comun și apoi să efectuați această operație. Ca și în plus, va trebui să utilizați proprietățile de bază ale fracțiilor algebrice, precum și abilitățile de a găsi LCM-uri și factori comuni pentru fracții.
Diviziune
Iar ultima, cea mai interesantă operație atunci când lucrați cu astfel de numere este împărțirea. Este destul de simplu și nu provoacă dificultăți deosebite chiar și pentru cei care nu înțeleg cum să lucreze cu fracțiile, în special cu adunarea și scăderea. La împărțire, se aplică aceeași regulă ca și înmulțirea cu o fracție reciprocă. Proprietatea principală a unei fracții, ca în cazul înmulțirii, nu va fi folosită pentru această operație. Să aruncăm o privire mai atentă.
La împărțirea numerelor, dividendul rămâne neschimbat. Fracția divizor se transformă în reciproca ei, adică numărătorul și numitorul își schimbă locurile. După aceasta, numerele sunt înmulțite între ele.
Reducere
Deci, am examinat deja definiția și structura fracțiilor, tipurile lor, regulile de operații asupra acestor numere și am aflat principala proprietate a unei fracții algebrice. Acum să vorbim despre o astfel de operațiune precum reducerea. Reducerea unei fracții este procesul de transformare a acesteia - împărțirea numărătorului și numitorului la același număr. Astfel, fracția este redusă fără a-și modifica proprietățile.
De obicei, atunci când efectuați o operație matematică, ar trebui să vă uitați cu atenție la rezultatul rezultat și să aflați dacă este posibil să reduceți fracția rezultată sau nu. Amintiți-vă că rezultatul final conține întotdeauna un număr fracționar care nu necesită reducere.
Alte operațiuni
În sfârșit, observăm că nu am enumerat toate operațiile pe numere fracționale, menționându-le doar pe cele mai cunoscute și necesare. De asemenea, fracțiile pot fi comparate, convertite în zecimale și invers. Dar în acest articol nu am luat în considerare aceste operații, deoarece în matematică ele sunt efectuate mult mai rar decât cele prezentate mai sus.
Concluzii
Am vorbit despre numere fracționareși operațiuni cu ei. Am examinat, de asemenea, proprietatea principală, dar să remarcăm că toate aceste probleme au fost luate în considerare în treacăt. Am dat doar cele mai cunoscute și folosite reguli și am dat cele mai importante, în opinia noastră, sfaturi.
Acest articol are scopul de a vă reîmprospăta informațiile uitate despre fracții, mai degrabă decât de a oferi informații noi și de a vă umple capul cu reguli și formule nesfârșite care, cel mai probabil, nu vă vor fi niciodată utile.
Sperăm că materialul prezentat în articol, simplu și concis, v-a fost de folos.
De la cursul de algebră programa școlară Să trecem la detalii. În acest articol vom studia în detaliu un tip special de expresii raționale - fracții raționale, și luați în considerare, de asemenea, ce caracteristică identică conversii ale fracțiilor raționale avea loc.
Să observăm imediat că fracțiile raționale în sensul în care le definim mai jos sunt numite fracții algebrice în unele manuale de algebră. Adică, în acest articol vom înțelege fracțiile raționale și algebrice ca fiind același lucru.
Ca de obicei, să începem cu o definiție și exemple. În continuare vom vorbi despre aducerea unei fracții raționale la un nou numitor și schimbarea semnelor membrilor fracției. După aceasta, ne vom uita la modul de reducere a fracțiilor. În cele din urmă, să ne uităm la reprezentarea unei fracții raționale ca o sumă a mai multor fracții. Vom oferi toate informațiile cu exemple descrieri detaliate decizii.
Navigare în pagină.
Definiție și exemple de fracții raționale
Fracțiile raționale sunt studiate în lecțiile de algebră de clasa a VIII-a. Vom folosi definiția unei fracții raționale, care este dată în manualul de algebră pentru clasa a 8-a de Yu N. Makarychev și colab.
ÎN această definiție nu se precizează dacă polinoamele din numărătorul și numitorul unei fracții raționale trebuie să fie polinoame vedere standard sau nu. Prin urmare, vom presupune că notațiile pentru fracțiile raționale pot conține atât polinoame standard, cât și nestandard.
Iată câteva exemple de fracții raționale. Deci, x/8 și 
- fracții raționale. Și fracții 
și nu se potrivesc cu definiția declarată a unei fracții raționale, deoarece în prima dintre ele numărătorul nu conține un polinom, iar în a doua, atât numărătorul, cât și numitorul conțin expresii care nu sunt polinoame.
Conversia numărătorului și numitorului unei fracții raționale
Numătorul și numitorul oricărei fracții sunt autosuficiente expresii matematice, în cazul fracțiilor raționale, acestea sunt polinoame într-un caz particular, monomii și numere. Prin urmare, transformări identice pot fi efectuate cu numărătorul și numitorul unei fracții raționale, ca în cazul oricărei expresii. Cu alte cuvinte, expresia din numărătorul unei fracții raționale poate fi înlocuită cu o expresie identică egală, la fel ca și numitorul.
Puteți efectua transformări identice în numărătorul și numitorul unei fracții raționale. De exemplu, la numărător puteți grupa și reduce termeni similari, iar la numitor puteți înlocui produsul mai multor numere cu valoarea acestuia. Și deoarece numărătorul și numitorul unei fracții raționale sunt polinoame, este posibil să se efectueze transformări caracteristice polinoamelor cu ele, de exemplu, reducerea la o formă standard sau reprezentare sub formă de produs.
Pentru claritate, să luăm în considerare soluții pentru mai multe exemple.
Exemplu.
Convertit fracție rațională 
astfel încât numărătorul conține un polinom de formă standard, iar numitorul conține produsul polinoamelor.
Soluţie.
Reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor este utilizată în principal în adunarea și scăderea fracțiilor raționale.
Schimbarea semnelor în fața unei fracții, precum și în numărătorul și numitorul acesteia
Proprietatea principală a unei fracții poate fi folosită pentru a schimba semnele membrilor unei fracții. Într-adevăr, înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții raționale cu -1 echivalează cu schimbarea semnelor acestora, iar rezultatul este o fracție identic egală cu cea dată. Această transformare trebuie utilizată destul de des atunci când se lucrează cu fracții raționale.
Astfel, dacă schimbi simultan semnele numărătorului și numitorului unei fracții, vei obține o fracție egală cu cea inițială. La această afirmație se răspunde prin egalitate.
Să dăm un exemplu. O fracție rațională poate fi înlocuită cu o fracție identică egală cu semnele schimbate ale numărătorului și numitorului formei.
Mai poți face ceva cu fracțiile: transformarea identităţii, în care semnul fie al numărătorului, fie al numitorului se schimbă. Să spunem regula corespunzătoare. Dacă înlocuiți semnul unei fracții împreună cu semnul numărătorului sau numitorului, obțineți o fracție care este identic egală cu cea inițială. Declarația scrisă corespunde egalităților și .
Demonstrarea acestor egalități nu este dificilă. Dovada se bazează pe proprietățile înmulțirii numerelor. Să demonstrăm primul dintre ele: . Folosind transformări similare, egalitatea este dovedită.
De exemplu, o fracție poate fi înlocuită cu expresia sau.
Pentru a încheia acest punct, prezentăm încă două egalități utile și . Adică dacă schimbi doar semnul numărătorului sau numai al numitorului, fracția își va schimba semnul. De exemplu, 
Şi 
.
Transformările considerate, care permit schimbarea semnului termenilor unei fracții, sunt adesea folosite la transformarea expresiilor raționale fracționale.
Reducerea fracțiilor raționale
Următoarea transformare a fracțiilor raționale, numită reducere a fracțiilor raționale, se bazează pe aceeași proprietate de bază a unei fracții. Această transformare corespunde egalității, unde a, b și c sunt niște polinoame, iar b și c sunt diferite de zero.
Din egalitatea de mai sus devine clar că reducerea unei fracții raționale implică eliminarea multiplicator comunîn numărătorul și numitorul acestuia.
Exemplu.
Anulați o fracție rațională.
Soluţie.
Factorul comun 2 este imediat vizibil, să efectuăm o reducere a acestuia (când scrieți, este convenabil să tăiați factorii comuni care sunt redusi). Avem 
. Deoarece x 2 =x·x și y 7 =y 3 ·y 4 (vezi dacă este necesar), este clar că x este un factor comun al numărătorului și numitorului fracției rezultate, așa cum este y 3. Să reducem prin acești factori: 
. Aceasta completează reducerea.
Mai sus am efectuat reducerea fracțiilor raționale secvenţial. Sau a fost posibil să se efectueze reducerea într-o singură etapă, reducând imediat fracția cu 2 x y 3. În acest caz, soluția ar arăta astfel: 
.
Răspuns:
.
La reducerea fracțiilor raționale, principala problemă este că factorul comun al numărătorului și numitorului nu este întotdeauna vizibil. Mai mult, nu există întotdeauna. Pentru a găsi un factor comun sau a verifica absența acestuia, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul unei fracții raționale. Dacă nu există un factor comun, atunci fracția rațională inițială nu trebuie redusă, în caz contrar, se efectuează reducerea.
În procesul de reducere a fracțiilor raționale pot apărea diverse nuanțe. Principalele subtilități sunt discutate în articolul reducerea fracțiilor algebrice folosind exemple și în detaliu.
Încheind conversația despre reducerea fracțiilor raționale, observăm că această transformare este identică, iar principala dificultate în implementarea ei constă în factorizarea polinoamelor în numărător și numitor.
Reprezentarea unei fracții raționale ca sumă de fracții
Destul de specifică, dar în unele cazuri foarte utilă, este transformarea unei fracții raționale, care constă în reprezentarea acesteia ca sumă a mai multor fracții, sau suma unei expresii întregi și a unei fracții.
O fracție rațională, al cărei numărător conține un polinom reprezentând suma mai multor monomii, poate fi întotdeauna scrisă ca o sumă de fracții cu aceiași numitori, ai căror numărători conțin monomiile corespunzătoare. De exemplu, 
. Această reprezentare este explicată prin regula de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu numitori similari.
În general, orice fracție rațională poate fi exprimată ca sumă de fracții în multe moduri diferite. De exemplu, fracția a/b poate fi reprezentată ca suma a două fracții - o fracție arbitrară c/d și o fracție egală cu diferența dintre fracțiile a/b și c/d. Această afirmație este adevărată, deoarece egalitatea este valabilă 
. De exemplu, o fracție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții în diferite moduri: Să ne imaginăm fracția originală ca suma unei expresii întregi și a unei fracții. Împărțind numărătorul la numitor cu o coloană, obținem egalitatea 
. Valoarea expresiei n 3 +4 pentru orice număr întreg n este un număr întreg. Și valoarea unei fracții este un număr întreg dacă și numai dacă numitorul ei este 1, −1, 3 sau −3. Aceste valori corespund valorilor n=3, n=1, n=5 și respectiv n=−1.
Răspuns:
−1 , 1 , 3 , 5 .
Referințe.
- Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebră. clasa a VII-a. La 14:00 Partea 1. Manual pentru elevi instituţiile de învăţământ/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XIII-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
- Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior şcoală, 1984.-351 p., ill.
Se discută în detaliu proprietatea principală a fracției, se da formularea sa, se da o dovada si un exemplu explicativ. Se are în vedere și aplicarea proprietății de bază a unei fracții la reducerea fracțiilor și reducerea fracțiilor la un nou numitor.
Navigare în pagină.
Principala proprietate a unei fracții - formularea, demonstrația și exemplele explicative
Să ne uităm la un exemplu care ilustrează proprietatea de bază a unei fracții. Să presupunem că avem un pătrat împărțit în 9 pătrate „mari”, iar fiecare dintre aceste pătrate „mari” este împărțit în 4 pătrate „mici”. Astfel, putem spune și că pătratul inițial este împărțit în 4 9 = 36 pătrate „mici”. Să pictăm 5 pătrate „mari”. În acest caz, 4·5=20 pătrate „mici” vor fi umbrite. Iată un desen care corespunde exemplului nostru.
Partea umbrită este 5/9 din pătratul original sau, ceea ce este același, 20/36 din pătratul original, adică fracțiile 5/9 și 20/36 sunt egale: sau. Din aceste egalităţi, precum şi din egalităţile 20=5·4, 36=9·4, 20:4=5 şi 36:4=9 rezultă că şi .
Pentru a consolida materialul dezasamblat, luați în considerare soluția din exemplu.
Exemplu.
Numătorul și numitorul unei fracții comune au fost înmulțite cu 62, după care numărătorul și numitorul fracției rezultate au fost împărțite la 2. Este fracția rezultată egală cu cea inițială?
Soluţie.
Înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu orice număr natural, în special cu 62, dă o fracție care, datorită proprietății de bază a unei fracții, este egală cu cea inițială. Proprietatea principală a unei fracții ne permite să afirmăm că după împărțirea numărătorului și numitorului fracției rezultate la 2, fracția rezultată va fi egală cu fracția inițială.
Răspuns:
Da, fracția rezultată este egală cu cea inițială.
Aplicarea proprietății de bază a unei fracții
Proprietatea de bază a unei fracții este utilizată în principal în două cazuri: în primul rând, la reducerea fracțiilor la un nou numitor și în al doilea rând, la reducerea fracțiilor.
Proprietatea principală a unei fracții vă permite să reduceți fracțiile și, ca urmare, să treceți de la fracția inițială la o fracție egală, dar cu un numărător și un numitor mai mici. Reducerea unei fracții constă în împărțirea numărătorului și numitorului fracției inițiale la orice numărător și numitor pozitiv, altul decât unul (dacă nu există astfel de divizori comuni, atunci fracția originală este ireductibilă, adică nu poate fi redusă). În special, împărțirea la va reduce fracția originală la o formă ireductibilă.
Referințe.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică: manual pentru clasa a V-a. institutii de invatamant.
- Vilenkin N.Ya. si altii. Clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general.
Drepturi de autor de către cleverstudents
Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și aspectul, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.