Acasă  /  Microbiologie  /  Raportul acordurilor Cerc. Teoreme de bază. Unghiuri centrale și înscrise

Raportul acordurilor Cerc. Teoreme de bază. Unghiuri centrale și înscrise

Microbiologie
18.09.2023

Cerc - figură geometrică, constând din toate punctele planului situate la o distanță dată de un punct dat.

Acest punct (O) se numește centrul cercului.
Raza cercului- acesta este un segment care leagă centrul cu orice punct al cercului. Toate razele au aceeași lungime (prin definiție).
Coardă- un segment care leagă două puncte dintr-un cerc. O coardă care trece prin centrul unui cerc se numește diametru. Centrul unui cerc este punctul de mijloc al oricărui diametru.
Oricare două puncte dintr-un cerc îl împart în două părți. Fiecare dintre aceste părți este numită arc de cerc. Arcul se numește semicerc, dacă segmentul care îi leagă capetele are un diametru.
Lungimea unui semicerc unitar se notează cu π .
Suma gradelor a două arce de cerc cu capete comune este egală cu 360º.
Se numește partea de plan mărginită de un cerc de jur împrejur.
Sector circular- o parte a unui cerc delimitată de un arc și două raze care leagă capetele arcului de centrul cercului. Arcul care limitează sectorul se numește arcul sectorului.
Se numesc două cercuri având un centru comun concentric.
Două cercuri care se intersectează în unghi drept sunt numite ortogonală.

Poziția relativă a unei linii drepte și a unui cerc

  1. Dacă distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza cercului ( d), atunci linia dreaptă și cercul au două puncte comune. În acest caz linia este numită secantăîn raport cu cercul.
  2. Dacă distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este egală cu raza cercului, atunci linia dreaptă și cercul au doar una punct comun. Această linie se numește tangentă la cerc, iar punctul lor comun se numește punct de tangență între o dreaptă și un cerc.
  3. Dacă distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mare decât raza cercului, atunci linia dreaptă și cercul nu au puncte comune
    4. .

Unghiuri centrale și înscrise

Unghiul central este un unghi cu vârful său în centrul cercului.
Unghiul înscris- un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi intersectează cercul.

Teorema unghiului înscris

Un unghi înscris se măsoară cu jumătatea arcului pe care se întinde.

  • Corolarul 1.
    Unghiurile înscrise care subtind același arc sunt egale.

  • Corolarul 2.
    Un unghi înscris sub întinderea unui semicerc este un unghi drept.

Teoremă asupra produsului segmentelor de coarde care se intersectează.

Dacă două acorduri ale unui cerc se intersectează, atunci produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor celeilalte coarde.

Formule de bază

  • Circumferinţă:
C = 2∙π∙R
  • Lungimea arcului circular:
R = С/(2∙π) = D/2
  • Diametru:
D = C/π = 2∙R
  • Lungimea arcului circular:
l = (π∙R) / 180∙α,
Unde α - măsura în grade a lungimii unui arc de cerc)
  • Zona cercului:
S = π∙R 2
  • Zona sectorului circular:
S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Ecuația unui cerc

  • Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, ecuația unui cerc cu rază este r centrat într-un punct C(x o;y o) are forma:
(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2
  • Ecuația unui cerc de rază r cu centrul la origine are forma:
x 2 + y 2 = r 2

Materiale teoretice de referință despre geometrie pentru finalizarea sarcinilor de la un tutore de matematică. Pentru a ajuta elevii să rezolve probleme.

1) Tema despre un unghi înscris într-un cerc.

Teorema: un unghi înscris într-un cerc este egal cu jumătate din gradul de măsură a arcului pe care se sprijină (sau jumătate din unghiul central corespunzător acestui arc), adică .

2) Corolare din teorema despre unghiul înscris într-un cerc.

2.1) Proprietatea unghiurilor susținute de un arc.

Teoremă: dacă unghiurile înscrise sunt susținute de un arc, atunci ele sunt egale (dacă sunt susținute de arce suplimentare, suma lor este egală

2.2) Proprietatea unui unghi subtins de un diametru.

Teoremă: Un unghi înscris într-un cerc este subînscris cu diametrul dacă și numai dacă este corect.

diametrul AC

3) Proprietatea segmentelor tangente. Un cerc înscris într-un unghi.

Teorema 1: dacă două tangente sunt trase la el dintr-un punct care nu se află pe cerc, atunci segmentele lor sunt egale, adică PB=PC.

Teorema 2: Dacă un cerc este înscris într-un unghi, atunci centrul său se află pe bisectoarea acestui unghi, adică Bisectoare PO.

4) Proprietatea segmentelor de coarde la intersecția internă a secantelor.
Teorema 1: produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor unei alte coarde, adică

Teorema 2: unghiul dintre coarde este egal cu jumătate din suma arcurilor pe care aceste coarde le formează pe cerc, adică

Instituție de învățământ autonomă municipală

medie școală gimnazială № 45

Elaborarea unei lecții pe această temă

„Teorema segmentelor de acorduri care se intersectează”,

geometrie, clasa a VIII-a.

prima categorie

Școala secundară MAOU nr. 45 din Kaliningrad

Borisova Alla Nikolaevna.

Kaliningrad

2016 – 2017 an universitar

Institutie de invatamant - instituție de învățământ autonomă municipală școala secundară nr. 45 din orașul Kaliningrad

articol - matematica (geometrie)

Clasă – 8

Subiect – „Teorema segmentelor de acorduri care se intersectează”

Suport educațional și metodologic:

    Geometrie, 7 - 9: manual pentru institutii de invatamant/ L. S. Atanasyan și alții, - ed. a XVII-a, - M.: Educație, 2015.

    Caiet de lucru„Geometrie, clasa a VIII-a”, autori L. S. Atanasyan, V. F. Butozov, Yu.A. Glazkov, I.I. Yudina/ manual de instruire pentru studenții instituțiilor de învățământ general/ - M. Prosveshchenie, 2016

Date despre programele în care a fost realizată componenta multimedia a lucrării - Microsoft Office Power Point 2010

Ţintă: să se familiarizeze cu teorema despre segmentele de acorduri care se intersectează și să dezvolte abilități în aplicarea acesteia pentru rezolvarea problemelor.

Obiectivele lecției:

Educațional:

    sistematizați cunoștințele teoretice pe tema: „Unghiuri centrale și înscrise” și îmbunătățiți abilitățile de rezolvare a problemelor pe această temă;

    formulați și demonstrați o teoremă despre segmente de coarde care se intersectează;

    aplica teorema la rezolvarea problemelor geometrice;

Educațional:

    dezvoltarea interesului cognitiv pentru subiect.

    formarea competențelor cheie și a disciplinei.

    dezvoltarea abilităților creative.

    dezvolta abilitățile elevilor munca independentași lucrează în perechi.

Educațional:

    creşterea activitate cognitivă, cultura comunicării, responsabilitatea, dezvoltarea independentă a memoriei vizuale;

    să cultive elevilor independența, curiozitatea și o atitudine conștientă față de studiul matematicii;

    justificarea alegerii metodelor, mijloacelor și formelor de instruire;

    optimizarea învățării printr-o combinație rezonabilă și corelare a metodelor, mijloacelor și formelor care vizează obținerea rezultate ridicateîn timpul lecției.

Echipamente și materiale pentru lecție : proiector, ecran, prezentare pentru a însoți lecția.

Tip de lecție: combinată.

Structura lecției:

1) Elevii sunt informați cu privire la tema lecției și obiectivele, se subliniază relevanța acestei teme(diapozitivul nr. 1).

2) Se anunță planul de lecție.

1. Verificați teme pentru acasă.

2. Repetarea.

3. Descoperirea de noi cunoștințe.

4. Consolidarea.

II . Verificarea temelor.

1) trei elevi dovedesc independent pe tablăteorema unghiului înscris.

Primul elev – ​​cazul 1;
Al doilea elev – caz 2;
Al treilea elev - cazul 3.

2) Restul lucrează oral în acest moment pentru a repeta materialul acoperit.

1. Studiu teoretic (frontal)(diapozitivul nr. 2) .

Completează propoziția:

Un unghi se numește central dacă...

Un unghi se numește înscris dacă...

Unghiul central este măsurat...

Unghiul înscris este măsurat...

Unghiurile înscrise sunt egale dacă...

Unghiul înscris subtins de semicerc...

2. Rezolvarea problemelor folosind desene finite(diapozitivul nr. 3) .

În acest moment, profesorul verifică individual soluția temelor pentru unii elevi.

Demonstrarea teoremelor este ascultată de întreaga clasă după verificarea corectitudinii soluțiilor la problemele de pe desenele finite.

II I. Introducerea de material nou.

1) Lucrați în perechi.Rezolvați problema 1 pentru a pregăti elevii să perceapă material nou(diapozitivul numărul 4).

2) Demonstrăm teorema pe segmente de coarde care se intersectează sub forma unei probleme(diapozitivul numărul 5).

Întrebări pentru discuție(diapozitivul nr. 6) :

Ce poți spune despre unghiurile CAB și CDB?

Despre unghiuri A.E.C. Şi DEB ?

Ce sunt triunghiurile ACE și DBE?

Care este raportul laturilor lor, care sunt segmente ale coardelor tangente?

Ce egalitate se poate scrie din egalitatea a două rapoarte folosind proprietatea de bază a proporției?

Încercați să formulați o afirmație pe care ați dovedit-o. Pe tablă și în caiete notați formularea și rezumatul demonstrației teoremei pe segmente de acorduri care se intersectează. O persoană este chemată la bord(diapozitivul numărul 7).

eu V. Minutul de educație fizică.

Un elev vine la tablă și sugerează exerciții simple pentru gât, brațe și spate.

V . Consolidarea materialului studiat.

1) Consolidare primară.

1 studentcu comentariudecide№ 667 pe tablă

Soluţie.

1) AVA 1 – dreptunghiular, deoarece este un unghi înscrisO 1 VA se sprijină pe un semicerc.

2) 5 = 3 așa cum este înscris și se sprijină pe un arcAB 1 .

3) 1 = 90° –5, 4 = 90°–3, dar3 = 5, prin urmare1= 4.

4) O 1 BB 1 – isoscel, atunciBC = B 1 CU .

5) Prin teorema asupra produsului segmentelor de coarde care se intersectează

AC · A 1 C = BC B 1 CU.

6) (cm);

Răspuns:

2) Soluție independentă sarcini.

1. Grupa I de elevi elevi („slabi”). Ei decid singuriNr. 93, 94 („Workbook”, autor L.S. Atanasyan, 2015), profesorul, dacă este necesar, sfătuiește elevii, analizează rezultatele sarcinilor elevilor

2. Grupa a 2-a de elevi (alți studenți). Lucrul la o sarcină non-standard. Lucrați independent (dacă este necesar, folosiți ajutorul unui profesor sau al unui coleg de birou). Un elev lucrează pe o tablă pliabilă. După finalizarea lucrărilor, verificarea reciprocă.

Sarcină .
AcorduriAB ŞiCD se intersectează într-un punctS , ce legătură areAS:SB = 2:3, DS = 12 cm,SC = 5cm , găsițiAB .
Soluţie .

Din moment ce raportulAS:SB = 2:3 , apoi lăsați lungimeaAS = 2x, SB = 3x
După proprietatea acordurilorAS ∙ SB = CS ∙ SD , Atunci
2x ∙ 3x = 5 ∙ 12
6x 2 = 60
X 2 = 10
x = √10.

Unde
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10 Răspuns : 5√10

VI . Rezumând lecția, reflectând asupra activității

Rezumarea lecției, mobilizarea elevilor pentru a-și autoevalua activitățile;

Deci, ce ai învățat astăzi în clasă?

Ce ai învățat astăzi în clasă?

Evaluează-ți activitatea pentru lecție folosind un sistem în 5 puncte.

Se acordă note pentru lecție.

VIII . Teme pentru acasă

p. 71 (învățați teoria),

№ 659, 661, 666 (b, c).

Partea 3. Cercuri

eu. Materiale de referință.

eu. Proprietăți ale tangentelor, acordurilor și secantelor. Unghiuri înscrise și centrale.

Cerc și cerc

1. Dacă dintr-un punct situat în afara cercului tragem două tangente la acesta, atunci

a) lungimile segmentelor de la un punct dat la punctele de contact sunt egale;

b) unghiurile dintre fiecare tangentă și secantă care trec prin centrul cercului sunt egale.

2. Dacă dintr-un punct situat în afara cercului tragem o tangentă și o secantă la acesta, atunci pătratul tangentei este egal cu produsul secantei și părții sale exterioare

3. Dacă două coarde se intersectează într-un punct, atunci produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor celuilalt.

4. Circumferința C=2πR;

5. Lungimea arcului L =πRn/180˚

6. Aria unui cerc S=πR 2

7. Zona sector S c=πR2 n/360

Gradul de măsurare a unui unghi înscris este egal cu jumătate din gradul de măsurare a arcului pe care se sprijină.

Teorema 1. Măsura unghiului dintre o tangentă și o coardă având un punct comun pe un cerc este egală cu jumătate din gradul de măsurare a arcului cuprins între laturile sale

Teorema 2(despre tangenta si secanta). Dacă o tangentă și o secantă sunt trase din punctul M la un cerc, atunci pătratul segmentului tangentei de la punctul M la punctul de tangență este egal cu produsul lungimilor segmentelor secante de la punctul M la punctele sale. intersectia cu cercul.

Teorema 3. Dacă două acorduri ale unui cerc se intersectează, atunci produsul lungimilor segmentelor unei coarde este egal cu produsul lungimilor segmentelor celeilalte coarde, adică dacă acordurile AB și CD se intersectează în punctul M, atunci AB MV = CM MD.

Proprietățile acordurilor de cerc:

Un diametru perpendicular pe o coardă o împarte în jumătate. Dimpotrivă: diametrul care trece prin mijlocul coardei este perpendicular pe acesta.

Coardele egale ale unui cerc sunt la distanțe egale de centrul cercului. Dimpotrivă: acordurile egale sunt situate la distanțe egale de centrul cercului.

Arcurile de cerc închise între coarde paralele sunt egale.

cercurile care au un punct comun și o tangentă comună în acest punct se numesc tangente Dacă cercurile sunt situate pe o latură a tangentei comune, atunci se numesc tangente interioare, iar dacă sunt pe laturile opuse ale tangentei, atunci se numesc. tangentă extern.

II. Materiale suplimentare

Proprietățile unor unghiuri.

Teorema.

1) Un unghi (ABC), al cărui vârf se află în interiorul cercului, este jumătatea sumei a două arce (AC și DE), dintre care unul se află între laturile sale, iar celălalt între prelungirile laturilor.

2) un unghi (ABC), al cărui vârf se află în afara cercului și laturile se intersectează cu cercul, este jumătatea diferenței a două arce (AC și ED) cuprinse între laturile sale

Dovada .

Desenând coarda AD (pe ambele desene), obținem ∆АВD,

raportat la care unghiul luat în considerare ABC servește ca extern când vârful său se află în interiorul cercului și intern când vârful său se află în afara cercului. Prin urmare, în primul caz: ; in al doilea caz:

Dar unghiurile ADC și DAE, ca și cele înscrise, sunt măsurate prin jumătate de arc

AC și DE; prin urmare, unghiul ABC se măsoară: în primul caz prin suma: ½ ﬞ AC+1/2 ﬞ DE, care este egal 1 / 2 (ﮟ AC+ﮞ DE), iar în al doilea caz, diferența este 1 / 2 ﬞ AC- 1 / 2 ﬞ DE, care este egală cu 1 / 2 (ﬞ AC- ﬞ DE).

Teorema. Unghiul (ACD) format dintr-o tangentă și o coardă este măsurat de jumătate din arcul conținut în acesta.

Să presupunem mai întâi că acordul CD trece prin centrul O, adică. că o coardă este un diametru. Apoi unghiul ACD- drept și deci egal cu 90°. Dar jumătate din arcul CmD este, de asemenea, egal cu 90°, deoarece întregul arc CmD, alcătuind un semicerc, conține 180°. Aceasta înseamnă că teorema este adevărată în acest caz particular.

Acum să luăm cazul general când CD-ul acordului nu trece prin centru. Desenând apoi diametrul CE, vom avea:

U obiectivul ACE, compus din tangentă și diametru, se măsoară, după cum s-a dovedit, la jumătatea arcului CDE; Unghiul DCE, ca înscris, se măsoară la jumătatea arcului CnED: singura diferență în dovadă este că acest unghi nu trebuie considerat ca o diferență, ci ca sumă a unghiului drept ALL și a unghiului ascuțit ECD.

Linii proporționale într-un cerc

Teorema. Dacă o coardă (AB) și un diametru (CD) sunt trase printr-un punct (M) luat în interiorul unui cerc, atunci produsul segmentelor de coardă (AM MV) este egal cu produsul segmentelor de diametru (MB MC).

Dovada.

P
Desenând două acorduri auxiliare AC și BD, obținem două triunghiuri AMC și MBD (acoperite în figură cu liniuțe), care sunt similare, deoarece unghiurile lor A și D sunt egale, ca și cele înscrise, pe baza aceluiași arc BC, unghiuri C și B sunt egale, așa cum sunt înscrise, pe baza aceluiași arc AD. Din asemănarea triunghiurilor deducem:

AM: MD=MS: MV, de unde AM MV=MD MS.

Consecinţă. Dacă orice număr de acorduri (AB, EF, KL,...) sunt trase printr-un punct (M) luat în interiorul unui cerc, atunci produsul segmentelor fiecărei coarde este un număr constant pentru toate acordurile, deoarece pentru fiecare coardă aceasta produsul este egal cu produsul segmentelor cu diametrul CD care trec prin punctul luat M.

Teorema. Dacă dintr-un punct (M) luat în afara cercului, se trasează la el o secantă (MA) și o tangentă (MS), atunci produsul secantei și părții sale exterioare este egal cu pătratul tangentei (se presupune că secanta este limitată de al doilea punct de intersecție, iar tangenta - punct de contact).

Dovada.

Să desenăm acorduri auxiliare AC și BC; apoi obținem două triunghiuri MAC și MVS (acoperite în figură cu liniuțe), care sunt similare deoarece au un unghi comun M și unghiurile MCW și CAB sunt egale, deoarece fiecare dintre ele este măsurat cu jumătate din arcul BC. Să luăm laturile MA și MC în ∆MAS; părți similare din ∆MVS vor fi MC și MV; prin urmare MA: MS = MS: MV, de unde MA MV = MS 2.

Consecinţă. Dacă dintr-un punct (M) luat în afara cercului, sunt trase la el orice număr de secante (MA, MD, ME,...), atunci produsul fiecărei secante și partea ei exterioară este un număr constant pentru toate secantele, deoarece pentru fiecare secantă aceasta produsul este egal cu pătratul tangentei (MC 2) tras din punctul M.

III. Sarcini introductive.

Sarcina 1.

ÎN a unui trapez isoscel cu un unghi ascuțit de 60°, latura laterală este egală cu , iar baza mai mică este egală cu . Aflați raza cercului circumscris acestui trapez.

Soluţie

1) Raza unui cerc circumscris unui trapez este aceeași cu raza unui cerc circumscris unui triunghi ale cărui vârfuri sunt oricare trei vârfuri ale trapezului. Aflați raza R a cercului circumscris triunghiului ABD.

2) ABCD este un trapez isoscel, prin urmare A.K. = M.D., K.M. =.

În ∆ ABK A.K. = AB cos A = · cos 60° = . Mijloace,
AD = .

B.K. = AB păcat O = · = .

3) Prin teorema cosinusului în ∆ ABD BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB · AD cos O.

BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
BD = .

4) S(∆ ABD) = AD · B.K.; S(∆ ABD) = · · 3 = .


Sarcina 2.

Într-un triunghi echilateral ABC se înscrie un cerc și se desenează un segment N.M.,

M A.C., N B.C., care îl atinge și este paralel cu lateral AB.

Determinați perimetrul trapezului AMNB, dacă lungimea segmentului MN este egal cu 6.

Soluţie.

1) ∆ABC– echilateral, punct O– punctul de intersecție al medianelor (bisectoare, înălțimi), adică CO : O.D. = 2 : 1.

2) MN- tangentă la cerc, P– punctul de contact, ceea ce înseamnă O.D. =
= OP, Atunci CD= 3 · C.P..

3) ∆CMN ∾ ∆ TAXI, ceea ce înseamnă ∆ CMN– echilateral CM. = CN = MN = = 6; P.

Și de asemenea

3) BN = C.B. – CN = 18 – 6 = 12.

4) P ( AMNB) = A.M. + MN + BN + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Un trapez isoscel este descris în jurul unui cerc, a cărui linie de mijloc este egală cu 5, iar sinusul unghiului ascuțit de la bază este egal cu 0,8. Găsiți aria trapezului.

Soluţie.Deoarece un cerc este înscris într-un patrulater, atunci B.C. + AD = AB + CD. Acest patrulater este un trapez isoscel, ceea ce înseamnă B.C. + AD = 2AB.

FP– linia mediană a trapezului, adică B.C. + AD = 2FP.

Apoi AB = CD = FP = 5.

∆ABK- dreptunghiular, B.K. = AB păcat O; B.K.= 5 · 0,8 = 4.

S ( ABCD) = FP · B.K.= 5 · 4 = 20.

Răspuns: 20.

Cercul triunghiului ABC atinge latura BC în punctul K, iar excercul atinge latura BC în punctul L. Demonstrați că CK=BL=(a+b+c)/2

Demonstrație: fie M și N punctele tangente ale cercului înscris cu laturile AB și BC. Atunci BK+AN=BM+AM=AB, deci CK+CN= a+b-c.

Fie P și Q punctele de tangență ale cercului cu prelungirile laturilor AB și BC. Apoi AP=AB+BP=AB+BL și AQ=AC+CQ=AC+CL. Prin urmare AP+AQ=a+b+c. Prin urmare, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

a) Continuarea bisectoarei unghiului B a triunghiului ABC intersectează cercul circumscris în punctul M. O este centrul cercului înscris. O B este centrul excercului tangent la latura AC. Demonstrați că punctele A, C, O și O B se află pe un cerc cu centrul M.

D
dovada: Pentru ca

b) Punctul O, situat în interiorul triunghiului ABC, are proprietatea că dreptele AO, BO, CO trec prin centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor BCO, ACO, ABO. Demonstrați că O este centrul cercului înscris al triunghiului ABC

Dovada: Fie P circumcentrul triunghiului ACO. Apoi

IV. Sarcini suplimentare

nr 1. Cercul tangent la ipotenuza unui triunghi dreptunghic și prelungirile catetelor sale are raza R. Aflați perimetrul triunghiului

R soluție: HOGB - pătrat cu latura R

1) ∆OAH =∆OAF de-a lungul catetei și ipotenuzei =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

nr 2. Punctele C și D se află pe un cerc cu diametrul AB. AC ∩ BD = P și AD ∩ BC = Q. Demonstrați că dreptele AB și PQ sunt perpendiculare

Dovada: A D – diametru => unghi înscris ADB=90 o (în funcție de diametru) => QD/QP=QN/QA; ∆QDP este similar cu ∆QNA pe 2 laturi iar unghiul dintre ele => QN este perpendicular pe AB.

nr. 3. În paralelogramul ABCD, diagonala AC este mai mare decât diagonala BD; M este un punct pe diagonala AC, BDCM este un patrulater ciclic Demonstrați că linia BD este o tangentă comună la cercurile circumferințelor triunghiurilor ABM și ADM

P
gura O este punctul de intersecție al diagonalelor AC și ВD. Apoi MO · OC=BO · OD. În timp ce OS=OA și VO=ВD, apoi MO · OA=VO 2 și MO · OA=DO 2. Aceste egalități înseamnă că OB este tangentă la cercul circumferitor al triunghiului ADM

nr. 4. N La baza AB a triunghiului isoscel ABC se ia punctul E, iar cercuri care ating segmentul CE în punctele M și N sunt înscrise în triunghiuri ACE și ABE. Aflați lungimea segmentului MN dacă sunt cunoscute lungimile AE și BE.

Conform problemei introductive 4 CM=(AC+CE-AE)/2 și CN=(BC+CE-BE)/2. Având în vedere că AC=BC, obținem MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

nr. 5. Lungimile laturilor triunghiului ABC formează o progresie aritmetică și a

Fie M mijlocul laturii AC, N punctul de tangență al cercului înscris cu latura BC. Atunci BN=р–b (problema introductivă 4), deci BN=AM, deoarece p=3b/2 după condiție. In plus,

V .Sarcini pentru rezolvare independentă

nr 1. Patrulaterul ABCD are proprietatea că există un cerc înscris în unghiul BAD și tangent la prelungirile laturilor BC și CD. Demonstrați că AB+BC=AD+DC.

nr 2. Tangenta internă comună la cercurile cu raze R și r intersectează tangentele lor externe comune în punctele A și B și atinge unul dintre cercurile în punctul C. Demonstrați că AC∙CB=Rr

nr. 3. În triunghiul ABC, unghiul C este un unghi drept. Demonstrați că r =(a+b-c)/2 și r c =(a+b+c)/2

nr. 4. Două cercuri se intersectează în punctele A și B; MN este tangenta comună la ele. Demonstrați că dreapta AB împarte segmentul MN în jumătate.

    nr. 5.

Continuările bisectoarelor unghiurilor triunghiului ABC intersectează cercul circumscris în punctele A 1, B 1, C 1. M – punctul de intersecție al bisectoarelor. Demonstrați că:

a) MA·MC/MB1 =2r;

b) MA1·MC1/MB=R

nr. 6. Unghiul format din două tangente trase dintr-un punct pe un cerc este egal cu 23°15`. Calculați arce între punctele tangente

nr. 7. Calculați unghiul format de tangentă și coardă dacă coarda împarte cercul în două părți într-un raport de 3:7.

VI. Sarcini de control.

Opțiunea 1.

      Punctul M este situat în afara cercului cu centrul O. Trei secante sunt trase din punctul M: prima intersectează cercul în punctele B și A (M-B-A), a doua în punctele D și C (M-D-C), iar a treia intersectează cercul. în punctele F și E (M-F-E) și trece prin centrul cercului, AB = 4, BM = 5, FM = 3.

      Demonstrați că dacă AB = CD, atunci unghiurile AME și CME sunt egale.

      Aflați raza cercului.

      Aflați lungimea tangentei trasate din punctul M la cerc.

Găsiți unghiul AEB.

Opțiunea 2.

    Demonstrați că dacă AB = CD, atunci unghiurile AME și CME sunt egale.

    AB este diametrul unui cerc cu centrul O. Coarda EF intersectează diametrul în punctul K (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5.

    Aflați distanța de la centrul cercului la coarda BF.

    Aflați unghiul ascuțit dintre diametrul AB și coarda EF.

Cu ce ​​este egală coarda FM dacă EM este paralelă cu AB?


Opțiunea 3. În triunghiul dreptunghic ABC (

Opțiunea 4.

    AB este diametrul unui cerc cu centrul O. Raza acestui cerc este 4, O 1 este mijlocul lui OA. Se trasează un cerc cu centrul în punctul O 1, tangent la cercul mai mare în punctul A. Coarda CD a cercului mai mare este perpendiculară pe AB și intersectează AB în punctul K. E și F sunt punctele de intersecție ale lui CD cu cercul mai mic (C-E-K-F-D), AK=3.

    Găsiți acordurile AE și AC.

    Aflați măsura gradului arcului AF și lungimea acestuia.

    Găsiți aria părții cercului mai mic tăiată de coarda EF.

Aflați raza cercului circumscris triunghiului ACE.

Se spune că un cerc este înscris într-un triunghi dacă atinge toate laturile sale.

Un cerc se numește circumscris unui triunghi dacă trece prin toate vârfurile sale.

Teorema 1. Centrul unui cerc înscris într-un triunghi este punctul de intersecție al bisectoarelor acestuia.

Teorema 2. Centrul unui cerc circumscris unui triunghi se află la intersecția bisectoarelor perpendiculare la laturile triunghiului

2. Teoreme (proprietățile unui paralelogram):

· Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale și unghiurile opuse sunt egale: , , , .

· Diagonalele unui paralelogram se împart la jumătate la punctul de intersecție: , .

· Unghiurile adiacente oricărei laturi se adună la .

· Diagonalele unui paralelogram îl împart în două triunghiuri egale.

· Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale: .

Semne ale paralelogramului:

· Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele în perechi, atunci acest patrulater este un paralelogram.

· Dacă într-un patrulater laturile opuse sunt egale în perechi, atunci acest patrulater este un paralelogram.

· Dacă două laturi opuse ale unui patrulater sunt egale și paralele, atunci patrulaterul este un paralelogram.

· Dacă într-un patrulater diagonalele, care se intersectează, sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție, atunci acest patrulater este un paralelogram.

· Punctele de mijloc ale laturilor unui patrulater arbitrar (inclusiv neconvex sau spațial) sunt vârfurile Paralelogramul Varignon.

· Laturile acestui paralelogram sunt paralele cu diagonalele corespunzătoare ale patrulaterului. Perimetrul paralelogramului Varignon este egal cu suma lungimilor diagonalelor patrulaterului original, iar aria paralelogramului Varignon este egală cu jumătate din aria patrulaterului original.

3. Trapez- un patrulater în care două laturi sunt paralele și două laturi nu sunt paralele. Laturile paralele se numesc baze trapezoidale, celelalte două - laturi.

Înălțimea trapezului- distanța dintre liniile pe care se află bazele trapezului, orice perpendiculară comună a acestor drepte.

Linia mediană a trapezului- un segment care leagă punctele medii ale laturilor.

Proprietatea trapezoidală:

Dacă un cerc este înscris într-un trapez, atunci suma bazelor este egală cu suma laturilor: , iar linia din mijloc este jumătate din suma laturilor: .

Trapez isoscel- un trapez ale cărui laturi sunt egale. Atunci diagonalele și unghiurile de la bază sunt egale, .

Dintre toate trapezele, numai un cerc poate fi descris în jurul unui trapez isoscel, deoarece un cerc poate fi descris în jurul unui patrulater numai dacă suma unghiurilor opuse este egală cu .

Într-un trapez isoscel, distanța de la vârful unei baze până la proiecția vârfului opus pe linia dreaptă care conține această bază este egală cu linia mediană.

Trapez dreptunghiular- un trapez în care unul dintre unghiurile de la bază este egal cu .

Dacă două acorduri ale unui cerc se intersectează, atunci produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor celeilalte coarde.

Dovada. Fie E punctul de intersecție al coardelor AB și CD (Fig. 110). Să demonstrăm că AE * BE = CE * DE.

Luați în considerare triunghiurile ADE și CBE. Unghiurile lor A și C sunt egale, deoarece sunt înscrise și se sprijină pe același arc BD. Dintr-un motiv similar, ∠D = ∠B. Prin urmare, triunghiurile ADE și CBE sunt similare (conform celui de-al doilea criteriu de asemănare a triunghiurilor). Astfel DE/BE = AE/CE, sau

AE * BE = CE * DE.

Teorema a fost demonstrată.

5. Un dreptunghi poate fi un paralelogram, un pătrat sau un romb.

1. Laturile opuse ale dreptunghiului au aceeași lungime, adică sunt egale:

AB = CD, BC = AD

2. Laturile opuse ale dreptunghiului sunt paralele:

3. Laturile adiacente ale unui dreptunghi sunt întotdeauna perpendiculare:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Toate cele patru colțuri ale dreptunghiului sunt drepte:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Suma unghiurilor unui dreptunghi este de 360 ​​de grade:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Diagonalele unui dreptunghi au aceeași lungime:

7. Suma pătratelor diagonalei unui dreptunghi este egală cu suma pătratelor laturilor:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Fiecare diagonală a unui dreptunghi împarte dreptunghiul în două figuri identice și anume triunghiuri dreptunghiulare.

9. Diagonalele dreptunghiului se intersectează și se împart la jumătate în punctul de intersecție:

AO=BO=CO=DO=

10. Punctul de intersecție al diagonalelor se numește centrul dreptunghiului și este și centrul cercului circumferitor

11. Diagonala unui dreptunghi este diametrul cercului circumferitor

12. Puteți descrie întotdeauna un cerc în jurul unui dreptunghi, deoarece suma unghiurilor opuse este egală cu 180 de grade:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Un cerc nu poate fi înscris într-un dreptunghi a cărui lungime nu este egală cu lățimea sa, deoarece sumele laturilor opuse nu sunt egale între ele (un cerc poate fi înscris doar în caz special dreptunghi - pătrat).

6. teorema lui Thales

Dacă mai multe segmente sunt așezate succesiv pe una dintre cele două linii și prin capetele lor sunt trasate linii paralele care intersectează a doua linie, atunci acestea se vor tăia pe a doua linie. segmente proporționale

Teorema inversă Thales

Dacă liniile care intersectează alte două linii (paralele sau nu) taie segmente egale (sau proporționale) între ele pe ambele, pornind de la vârf, atunci aceste linii sunt paralele