Integrale din funcții trigonometrice.
Exemple de soluții

În această lecție ne vom uita la integralele funcțiilor trigonometrice, adică umplerea integralelor va fi sinusuri, cosinus, tangente și cotangente în diverse combinații. Toate exemplele vor fi analizate în detaliu, accesibile și de înțeles chiar și pentru un ceainic.

Pentru a studia cu succes integralele funcțiilor trigonometrice, trebuie să aveți o bună înțelegere a celor mai simple integrale, precum și să stăpâniți câteva tehnici de integrare. Vă puteți familiariza cu aceste materiale în cursuri Integrală nedefinită. Exemple de soluțiiȘi .

Și acum avem nevoie de: Tabelul integralelor, Tabelul derivatelorŞi Director de formule trigonometrice. Toate manuale metodologice pot fi găsite pe pagină Formule și tabele matematice. Recomand să imprimați totul. Mă concentrez în special pe formulele trigonometrice, ar trebui să fie în fața ochilor tăi– fără aceasta, eficiența muncii va scădea vizibil.

Dar mai întâi, despre ce sunt integralele în acest articol Nu. Nu există integrale ale formei, - cosinus, sinus, înmulțit cu vreun polinom (mai rar ceva cu tangentă sau cotangentă). Astfel de integrale sunt integrate pe părți, iar pentru a învăța metoda, vizitați lecția Integrare pe părți. Exemple de soluții De asemenea, aici nu există integrale cu „arcuri” - arctangente, arcsinus etc., ele sunt, de asemenea, cel mai adesea integrate prin părți.

La găsirea integralelor funcțiilor trigonometrice, se utilizează o serie de metode:

(4) Folosim formula tabelară , singura diferență este că în loc de „X” avem o expresie complexă.

Exemplul 2

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită.

Un clasic al genului pentru cei care se îneacă în competiție. După cum probabil ați observat, în tabelul de integrale nu există nicio integrală a tangentei și cotangentei, dar, cu toate acestea, astfel de integrale pot fi găsite.

(1) Folosim formula trigonometrică

(2) Aducem funcția sub semnul diferențial.

(3) Folosim integrala tabelului .

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă, soluția completă și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Gradele noastre vor crește treptat =).
In primul rand solutia:

(1) Folosim formula

(2) Folosim identitatea trigonometrică principală , din care rezultă că .

(3) Împărțiți numărătorul la numitor termen cu termen.

(4) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.

(5) Integram folosind tabelul.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, soluția completă și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Există, de asemenea, integrale ale tangentelor și cotangentelor, care sunt în mai multe grade înalte. Integrala tangentei cube este discutată în lecție Cum se calculează aria unei figuri plate? Integrale de tangentă (cotangente) la a patra și a cincea puteri pot fi obținute pe pagină Integrale complexe.

Reducerea gradului de integrand

Această tehnică funcționează atunci când funcțiile integrand sunt umplute cu sinusuri și cosinusuri chiar grade. Pentru a reduce gradul de utilizare formule trigonometrice , și , iar ultima formulă este adesea folosită în direcția opusă: .

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită.

Soluţie:

În principiu, nu este nimic nou aici, decât că am aplicat formula (scăderea gradului de integrand). Vă rugăm să rețineți că am scurtat soluția. Pe măsură ce câștigați experiență, integrala poate fi găsită pe cale orală, acest lucru economisește timp și este destul de acceptabil la terminarea sarcinilor. În acest caz, este recomandabil să nu descrieți regula , mai întâi luăm verbal integrala lui 1, apoi a lui .

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, soluția completă și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Aceasta este creșterea de grad promisă:

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită.

Mai intai solutia, apoi comentariile:

(1) Pregătiți integrantul pentru a aplica formula .

(2) Aplicam de fapt formula.

(3) Pătratăm numitorul și scoatem constanta din semnul integral. Ar fi putut fi făcut puțin diferit, dar, după părerea mea, a fost mai convenabil.

(4) Folosim formula

(5) În al treilea termen reducem din nou gradul, dar folosind formula .

(6) Prezentăm termeni similari (aici am împărțit termen cu termen și a făcut adăugarea).

(7) De fapt, luăm integrala, regula liniarității iar metoda de subsumare a unei funcţii sub semnul diferenţial se realizează oral.

(8) Pieptănarea răspunsului.

! Într-o integrală nedefinită, răspunsul poate fi adesea scris în mai multe moduri

În exemplul luat în considerare, răspunsul final ar fi putut fi scris diferit - deschizând parantezele și chiar făcând acest lucru înainte de a integra expresia, adică următorul sfârșit al exemplului este destul de acceptabil:

Este foarte posibil ca această opțiune să fie și mai convenabilă, doar am explicat-o așa cum eram obișnuit să o rezolv eu). Iată încă una exemplu tipic pentru soluție independentă:

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită.

Acest exemplu poate fi rezolvat în două moduri și s-ar putea să reușiți două răspunsuri complet diferite(mai precis, vor arăta cu totul diferit, dar din punct de vedere matematic vor fi echivalente). Cel mai probabil, nu vei vedea cea mai rațională metodă și vei avea de suferit cu deschiderea parantezelor și folosind alte formule trigonometrice. Cea mai eficientă soluție este dată la sfârșitul lecției.

Pentru a rezuma paragraful, concluzionăm: orice integrală a formei , unde și – chiar numere, se rezolvă prin metoda reducerii gradului integrandului.
În practică, am dat peste integrale cu 8 și 10 grade și a trebuit să rezolv mizeria lor groaznică coborând gradul de mai multe ori, rezultând răspunsuri lungi, lungi.

Metoda de înlocuire a variabilei

După cum se menționează în articol Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită, principala condiție pentru utilizarea metodei de înlocuire este faptul că în integrand există o anumită funcție și derivata ei:
(funcțiile nu sunt neapărat în produs)

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită.

Ne uităm la tabelul derivatelor și observăm formulele, , adică în integrandul nostru există o funcție și derivata ei. Cu toate acestea, vedem că în timpul diferențierii, cosinusul și sinusul se transformă reciproc unul în celălalt și se pune întrebarea: cum se efectuează o schimbare de variabilă și ce înțelegem prin sinus sau cosinus?! Întrebarea poate fi rezolvată prin picuri științifice: dacă înlocuim incorect, atunci nu va ieși nimic bun.

Un ghid general: în cazuri similare, trebuie să desemnați funcția care se află în numitor.

Întrerupem soluția și facem o înlocuire

Totul este bine la numitor, totul depinde doar de , acum rămâne de aflat în ce se va transforma.
Pentru a face acest lucru, găsim diferența:

Sau, pe scurt:
Din egalitatea rezultată, folosind regula proporției, exprimăm expresia de care avem nevoie:

Aşa:

Acum întregul nostru integrand depinde doar de și putem continua să rezolvăm

Gata. Permiteți-mi să vă reamintesc că scopul înlocuirii este de a simplifica integrand în acest caz, totul s-a rezumat la integrarea funcției de putere conform tabelului;

Nu este o coincidență că am descris acest exemplu atât de detaliat, acest lucru a fost făcut în scopul de a repeta și întări materialele de lecție Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită.

Și acum două exemple pentru propria ta soluție:

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită.

Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită.

Din nou, în integrand, există sinus și cosinus (o funcție cu derivată), dar într-un produs, și apare o dilemă - ce înțelegem prin sinus sau cosinus?

Puteți încerca să efectuați o înlocuire utilizând picătură științifică și, dacă nimic nu funcționează, atunci desemnați-o ca o altă funcție, dar există:

Orientare generală: trebuie să desemnați funcția care, la figurat vorbind, se află într-o „poziție incomodă”.

Vedem că în acest exemplu cosinusul studentului „sufă” de la grad, iar sinusul stă liber, de unul singur.

Prin urmare, să facem o înlocuire:

Dacă cineva mai are dificultăți cu algoritmul pentru înlocuirea unei variabile și găsirea diferenţialului, atunci ar trebui să revii la lecție Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită.

Exemplul 15

Aflați integrala nedefinită.

Să analizăm integrandul, ce ar trebui să fie notat cu ?
Să ne amintim regulile noastre:
1) Funcția este cel mai probabil la numitor;
2) Funcția este într-o „poziție incomodă”.

Apropo, aceste linii directoare sunt valabile nu numai pentru funcțiile trigonometrice.

Sinusul se potrivește ambelor criterii (în special celui de-al doilea), așa că se sugerează un înlocuitor. În principiu, înlocuirea poate fi deja efectuată, dar mai întâi ar fi bine să ne dăm seama cu ce să faci? În primul rând, „prindem” un cosinus:

Ne rezervăm pentru diferența noastră „viitoare”.

Și o exprimăm prin sinus folosind identitatea trigonometrică de bază:

Acum iată înlocuitorul:

Regula generală: Dacă în integrand una dintre funcţiile trigonometrice (sinus sau cosinus) este în ciudat grad, atunci trebuie să „mușcăți” o funcție din gradul impar și să desemnați o altă funcție în spatele acesteia. Vorbim doar de integrale unde există cosinus și sinusuri.

În exemplul luat în considerare, am avut un cosinus la o putere impară, așa că am scos un cosinus din putere și l-am desemnat ca sinus.

Exemplul 16

Aflați integrala nedefinită.

Decolează grade =).
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Substituție trigonometrică universală

Substituția trigonometrică universală este un caz comun al metodei de înlocuire a variabilei. Poți încerca să-l folosești atunci când „nu știi ce să faci”. Dar, de fapt, există câteva linii directoare pentru aplicarea acestuia. Integrale tipice în care trebuie aplicată substituția trigonometrică universală sunt următoarele integrale: , , , etc.

Exemplul 17

Aflați integrala nedefinită.

Substituția trigonometrică universală în acest caz este implementată în felul următor. Să facem un înlocuitor: . Nu folosesc litera , ci litera , aceasta nu este un fel de regulă, doar că, din nou, sunt obișnuit să rezolv lucrurile în acest fel.

Aici este mai convenabil să găsim diferența pentru aceasta, din egalitate, exprim:
Atașez un arctangent la ambele părți:

Arctangenta și tangenta se anulează reciproc:

Astfel:

În practică, nu trebuie să o descrieți atât de detaliat, ci pur și simplu să utilizați rezultatul final:

! Expresia este valabilă numai dacă sub sinusuri și cosinus avem pur și simplu „X”, pentru integrală (despre care vom vorbi mai târziu) totul va fi puțin diferit!

La înlocuire, sinusurile și cosinusurile se transformă în următoarele fracții:
, , aceste egalități se bazează pe formule trigonometrice binecunoscute: ,

Deci, designul final ar putea arăta astfel:

Să efectuăm o înlocuire trigonometrică universală:

Sunt luate în considerare în detaliu exemple de soluții de integrale pe părți, al căror integrand este produsul unui polinom de o exponențială (e la puterea x) sau de un sinus (sin x) sau un cosinus (cos x).

Conţinut

Vezi și: Metoda de integrare pe părți
Tabelul integralelor nedefinite
Metode de calcul a integralelor nedefinite
Funcții elementare de bază și proprietățile lor

Formula de integrare pe părți

La rezolvarea exemplelor din această secțiune, se utilizează formula de integrare prin părți:
;
.

Exemple de integrale care conțin produsul unui polinom și sin x, cos x sau e x

Iată exemple de astfel de integrale:
, , .

Pentru a integra astfel de integrale, polinomul este notat cu u, iar partea rămasă cu v dx.

Apoi, aplicați formula de integrare prin părți. Mai jos este dat solutie detaliata

aceste exemple.

Exemple de rezolvare a integralelor

Exemplu cu exponent, e la puterea lui x
.

Determinați integrala:
Să introducem exponentul sub semnul diferențial:.

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Să integrăm pe părți.
.
Aici
.
.
.
De asemenea, integrăm integrala rămasă pe părți.
.

În sfârșit avem:

Un exemplu de definire a unei integrale cu sinus
.

Calculați integrala:

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Să introducem sinusul sub semnul diferențial: aici u = x 2 , v = cos(2 x+3) ( , du = )′ x 2

dx


De asemenea, integrăm integrala rămasă pe părți. Pentru a face acest lucru, introduceți cosinusul sub semnul diferențial. aici u = x, v = sin(2 x+3)

De asemenea, integrăm integrala rămasă pe părți.

, du = dx

Un exemplu de definire a unei integrale cu sinus
.

Exemplu de produs al unui polinom și al cosinusului

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Să introducem cosinusul sub semnul diferențial: aici u = x 2 + 3 x + 5 , v = cos(2 x+3) ( păcat 2 x )′ x 2

x 2 + 3 x + 5 Pentru integrare funcții raționale

de forma R(sin x, cos x), se folosește o substituție, care se numește substituție trigonometrică universală. Apoi . Substituția trigonometrică universală duce adesea la calcule mari. Prin urmare, ori de câte ori este posibil, utilizați următoarele înlocuiri.

Integrarea funcţiilor dependente raţional de funcţiile trigonometrice 1. Integrale de forma ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx ,
a) Dacă n este impar, atunci o putere a lui sinx (sau cosx) trebuie introdusă sub semnul diferenţialului, iar din puterea par rămasă trebuie trecută la funcţia opusă.
b) Dacă n este par, atunci folosim formule pentru reducerea gradului
2. Integrale de forma ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , unde n este un număr întreg.
Trebuie folosite formule

3. Integrale de forma ∫ sin n x cos m x dx
a) Fie m și n de parități diferite. Folosim substituția t=sin x dacă n este impar sau t=cos x dacă m este impar.
b) Dacă m și n sunt pare, atunci folosim formule pentru reducerea gradului
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Integrale ale formei
Dacă numerele m și n sunt de aceeași paritate, atunci folosim substituția t=tg x. Este adesea convenabil să folosiți tehnica unității trigonometrice.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

Să folosim formulele pentru conversia produsului funcțiilor trigonometrice în suma lor:

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

Exemple
1. Calculați integrala ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
Facem înlocuirea cos(x)=t. Atunci ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Calculați integrala.
Făcând înlocuirea sin x=t , obținem

3. Aflați integrala.
Facem înlocuirea tg(x)=t. Înlocuind, obținem

Integrarea expresiilor de forma R(sinx, cosx)

Exemplul nr. 1. Calculați integralele:

Soluţie.
a) Integrarea expresiilor de forma R(sinx, cosx), unde R este o funcție rațională a sin x și cos x, sunt convertite în integrale ale funcțiilor raționale folosind substituția trigonometrică universală tg(x/2) = t.
Atunci avem

O substituție trigonometrică universală face posibilă trecerea de la o integrală de forma ∫ R(sinx, cosx) dx la o integrală a unei funcții raționale fracționale, dar adesea o astfel de substituție duce la expresii greoaie. În anumite condiții, substituțiile mai simple sunt eficiente:

• Dacă egalitatea R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx este satisfăcută, atunci se aplică substituția cos x = t.
• Dacă egalitatea R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx este valabilă, atunci substituția sin x = t.
• Dacă egalitatea R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx este valabilă, atunci substituția tgx = t sau ctg x = t.

În acest caz, pentru a găsi integrala
să aplicăm substituția trigonometrică universală tg(x/2) = t.
Apoi Raspunde:

Tabel de antiderivate ("integrale"). Tabelul integralelor. Tabelar nu integrale definite. (Cele mai simple integrale și integrale cu un parametru). Formule de integrare pe părți. formula Newton-Leibniz.

Tabel de antiderivate ("integrale"). integrale nedefinite.
(Cele mai simple integrale și integrale cu un parametru).	(Cele mai simple integrale și integrale cu un parametru).
Integrala unei funcții de putere.
	O integrală care se reduce la integrala unei funcții de putere dacă x este condus sub semnul diferențial.
Integrală a unei exponențiale, unde a este un număr constant.	Integrală a unei funcții exponențiale complexe.
Integrala unei funcții exponențiale.	O integrală egală cu logaritmul natural.
	O integrală egală cu logaritmul natural.
Integrală: „Logaritm lung”.	Integrală: „Logaritm mare”.
Integrală: „Logaritm lung”.
O integrală, în care x în numărător este plasat sub semnul diferențial (constanta de sub semn poate fi fie adunată, fie scăzută), este în cele din urmă similară cu o integrală egală cu logaritmul natural.	Integrală de cosinus.
Sine integrală.	Integrală egală cu tangenta.
Integrală egală cu cotangente.
Integrală egală cu arcsinus și arccosinus	O integrală egală cu arcsinus și arccosinus.
O integrală egală atât cu arctangente cât și cu arctangente.	Integrală egală cu cosecantei.
Integrală egală cu secanta.	Integrală egală cu arcsecanta.
Integrală egală cu secanta.	Integrală egală cu secanta.
Integrală egală cu arccosecant.	Integrală egală cu sinusul hiperbolic.
Integrală egală cu cosinusul hiperbolic.	Integrală egală cu sinusul hiperbolic, unde sinhx este sinusul hiperbolic în versiunea engleză.
Integrală egală cu cosinusul hiperbolic, unde sinhx este sinusul hiperbolic în versiunea engleză.	Integrală egală cu tangentei hiperbolice.
Integrală egală cu cotangentei hiperbolice.	Integrală egală cu secantei hiperbolice.

Integrală egală cu cosecantei hiperbolice.

Formule de integrare pe părți. Reguli de integrare.
Formule de integrare pe părți. Formula Newton-Leibniz Reguli de integrare.
Integrarea unui produs (funcție) printr-o constantă:
Integrarea sumei funcțiilor:
integrale nedefinite: Formula de integrare pe părți
integrale definite: Formula de integrare pe părți	formula Newton-Leibniz

Unde F(a),F(b) sunt valorile antiderivatelor la punctele b și, respectiv, a.

Tabelul derivatelor. Derivate tabulare. Derivat al produsului. Derivată a coeficientului. Derivată a unei funcții complexe.

Dacă x este o variabilă independentă, atunci:
	Tabelul derivatelor. Derivate tabelare."derivat de tabel" - ​​da, din păcate, exact așa sunt căutați pe Internet
	Derivată a unei funcții de putere
Derivată a exponentului	Derivată a unei funcții exponențiale complexe
Derivată a funcției exponențiale	Derivată a unei funcții logaritmice
	Derivată a logaritmului natural
Derivată a logaritmului natural al unei funcții	Derivat de sinus
Derivată a cosinusului	Derivată de cosecante
Derivată de arcsinus	Derivată a arccosinusului
Derivată de arcsinus	Derivată a arccosinusului
Derivată tangentă	Derivat al cotangentei
Derivată a arctangentei	Derivată a cotangentei arcului
Derivată a arctangentei	Derivată a cotangentei arcului
Derivată a arcsecantei	Derivat de arccosecant
Derivată a arcsecantei	Derivat de arccosecant
Derivată a sinusului hiperbolic Derivatul sinusului hiperbolic în versiunea engleză	Derivatul cosinus hiperbolic Derivatul cosinusului hiperbolic în versiunea engleză
Derivată a tangentei hiperbolice	Derivat al cotangentei hiperbolice
Derivat al secantei hiperbolice	Derivată a cosecantei hiperbolice

Reguli de diferențiere. Derivat al produsului. Derivată a coeficientului.
Derivată a unei funcții complexe.
Derivată a unui produs (funcție) printr-o constantă:
Derivată a sumei (funcții):
Derivat al produsului (funcții):
Derivată a coeficientului (de funcții):

Derivata unei functii complexe:

Proprietățile logaritmilor. Formule de bază pentru logaritmi. zecimală (lg) și logaritmi naturali (ln).
Identitatea logaritmică de bază
Să arătăm cum orice funcție de forma a b poate fi făcută exponențială. Deoarece o funcție de forma e x se numește exponențială, atunci

Orice funcție de forma a b poate fi reprezentată ca o putere a zece

Logaritmul natural ln (logaritmul la baza e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Seria Taylor. Expansiunea în serie Taylor a unei funcții. Se pare că majoritatea practic întâlnit

funcțiile matematice pot fi reprezentate cu orice precizie în vecinătatea unui anumit punct sub formă de serii de puteri care conțin puteri ale unei variabile în ordine crescătoare. De exemplu, în vecinătatea punctului x=1: Când utilizați seria numită rândurile lui Taylor,

funcțiile mixte care conțin, de exemplu, funcții algebrice, trigonometrice și exponențiale pot fi exprimate ca funcții pur algebrice. Folosind seria, de multe ori puteți efectua rapid diferențierea și integrarea.

1) Seria Taylor în vecinătatea punctului a are forma: , unde f(x) este o funcție care are derivate de toate ordinele la x = a. Rn- termenul rămas

2)

în seria Taylor este determinată de expresia

3) Coeficientul k-al (la x k) al seriei este determinat de formula Un caz special al seriei Taylor este seria Maclaurin (=McLaren).

(expansiunea are loc în jurul punctului a=0)

la a=0

membrii seriei sunt determinati de formula

1. Pentru ca funcția f(x) să fie extinsă într-o serie Taylor pe intervalul (-R;R), este necesar și suficient ca termenul rămas din formula Taylor (Maclaurin (=McLaren)) pentru aceasta funcția tinde spre zero ca k →∞ pe intervalul specificat (-R;R).

2. Este necesar să existe derivate pentru o funcție dată în punctul în vecinătatea căruia vom construi seria Taylor.

Proprietățile seriei Taylor.

Dacă f este o funcție analitică, atunci seria sa Taylor în orice punct a din domeniul definiției lui f converge către f într-o vecinătate a lui a.

Există funcții infinit diferențiabile a căror serie Taylor converge, dar în același timp diferă de funcția din orice vecinătate a lui a. De exemplu:

Seriile Taylor sunt folosite în aproximare (aproximare - metoda stiintifica, care consta in inlocuirea unor obiecte cu altele, intr-un sens sau altul apropiate de cele originale, dar mai simple) functii prin polinoame. În special, liniarizarea ((din linearis - liniar), una dintre metodele de reprezentare aproximativă a sistemelor neliniare închise, în care studiul unui sistem neliniar este înlocuit cu analiza unui sistem liniar, într-un fel echivalent cu cel original. .) Ecuațiile apar prin extinderea într-o serie Taylor și tăierea tuturor termenilor de mai sus de ordinul întâi.

Astfel, aproape orice funcție poate fi reprezentată ca un polinom cu o precizie dată.

Exemple de unele descompuneri comune funcții de putereîn seria Maclaurin (=McLaren, Taylor în vecinătatea punctului 0) și Taylor în vecinătatea punctului 1. Primii termeni ai extinderilor principalelor funcții din seria Taylor și McLaren.

Exemple de expansiuni comune ale funcțiilor de putere din seria Maclaurin (=McLaren, Taylor în vecinătatea punctului 0)

Exemple de expansiuni comune ale seriei Taylor în vecinătatea punctului 1

Sunt prezentate formule trigonometrice de bază și substituții de bază. Sunt prezentate metode de integrare a funcțiilor trigonometrice - integrarea funcțiilor raționale, produsul funcțiilor de putere ale sin x și cos x, produsul unui polinom, exponențial și sinus sau cosinus, integrarea funcțiilor trigonometrice inverse. Metodele non-standard sunt afectate.

Conţinut

Metode standard de integrare a funcțiilor trigonometrice

Abordare generală

În primul rând, dacă este necesar, integrandul trebuie transformat astfel încât funcțiile trigonometrice să depindă de un singur argument, care este același cu variabila de integrare.

De exemplu, dacă integrandul depinde de sin(x+a)Şi cos(x+b), atunci ar trebui să efectuați conversia:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + sin ( x+a ) sin (b-a).
Apoi faceți înlocuirea z = x+a.

Ca rezultat, funcțiile trigonometrice vor depinde doar de variabila de integrare z. Când funcțiile trigonometrice depind de un argument care coincide cu variabila de integrare (să spunem că este z ), adică integrandul constă numai din funcții precum, sin z, cos z, tg z ctg z
.
, atunci trebuie să faceți o înlocuire Această substituție duce la integrarea funcțiilor raționale sau iraționale (dacă există rădăcini) și permite să se calculeze integrala dacă este integrată în.

functii elementare

Cu toate acestea, puteți găsi adesea și alte metode care vă permit să evaluați integrala într-un mod mai scurt, pe baza specificului integrandului. Mai jos este un rezumat al principalelor astfel de metode.

Metode de integrare a funcțiilor raționale ale sin x și cos x Funcții raționale dinŞi sin x cos x Funcții raționale din, sin x sunt functii formate din și orice constante care utilizează operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la o putere întreagă. Acestea sunt desemnate după cum urmează: R(sin x, cos x)
.
.

Aceasta poate include, de asemenea, tangente și cotangente, deoarece acestea sunt formate prin împărțirea sinus la cosinus și invers.
Integralele funcțiilor raționale au forma:
Metodele de integrare a funcțiilor trigonometrice raționale sunt următoarele. și orice constante care utilizează operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la o putere întreagă. Acestea sunt desemnate după cum urmează: R 1) Înlocuirea duce întotdeauna la integrala unei fracții raționale. Cu toate acestea, în unele cazuri, există substituții (acestea sunt prezentate mai jos) care duc la calcule mai scurte. Funcții raționale din.
2) Dacă R și orice constante care utilizează operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la o putere întreagă. Acestea sunt desemnate după cum urmează: R cos x → - cos x 3) Dacă Rînmulțit cu -1 la înlocuire sin x.
sin x → - sin x și orice constante care utilizează operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la o putere întreagă. Acestea sunt desemnate după cum urmează: R, atunci substituția t = 1) Înlocuirea duce întotdeauna la integrala unei fracții raționale. Cu toate acestea, în unele cazuri, există substituții (acestea sunt prezentate mai jos) care duc la calcule mai scurte. 4) Dacă R 3) Dacă R nu se modifică ca în cazul înlocuirii simultane , Și, atunci substituția t = tg x.

sau t =
, , .

ctg x

Exemple:

Produsul funcțiilor de putere ale cos x și sin x

Integrale ale formei sunt integrale ale funcțiilor trigonometrice raționale. Prin urmare, metodele prezentate în secțiunea anterioară pot fi aplicate acestora. Metodele bazate pe specificul unor astfel de integrale sunt discutate mai jos. Dacă m și n - Funcții raționale din, atunci substituția t = sin x numere raționale

, atunci una dintre substituțiile t =

;
;
;
.

integrala se reduce la integrala binomului diferential.
.

Dacă m și n sunt numere întregi, atunci integrarea se realizează folosind formule de reducere:

Exemplu:
, ,
Integrale ale produsului unui polinom și sinus sau cosinus

;
.

sau t =
, .

Integrale ale produsului unui polinom, exponențial și sinus sau cosinus

Exemplu:
, ,
unde P(x) este un polinom în x, integrat folosind formula lui Euler
e iax = cos ax + isin ax(unde i 2 = - 1 ).
Pentru a face acest lucru, folosind metoda prezentată în paragraful anterior, calculați integrala
.
Separând părțile reale și imaginare de rezultat, se obțin integralele originale.

integrala se reduce la integrala binomului diferential.
.

Metode nestandardizate pentru integrarea funcțiilor trigonometrice

Mai jos sunt o serie de metode non-standard care vă permit să efectuați sau să simplificați integrarea funcțiilor trigonometrice.

Dependență de (a sin x + b cos x)

Dacă integrandul depinde numai de a sin x + b cos x, atunci este util să aplicați formula:
,
Unde .

De exemplu

Rezolvarea fracțiilor din sinusuri și cosinusuri în fracții mai simple

Luați în considerare integrala
.
Cea mai simplă metodă de integrare este de a descompune fracția în altele mai simple folosind transformarea:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)

Integrarea fracțiilor de gradul I

La calcularea integralei
,
este convenabil să izolați partea întreagă a fracției și derivata numitorului
o 1 sin x + b 1 cos x = O (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x)′ .
Constantele A și B se găsesc prin compararea părților din stânga și din dreapta.

Literatura folosita:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme pe matematica superioara, „Lan”, 2003.

Vezi și: