Acest articol oferă o idee despre cum să creați o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct dat din spațiul tridimensional perpendicular pe o dreaptă dată. Să analizăm algoritmul dat folosind exemplul de rezolvare a unor probleme tipice.

Aflarea ecuației unui plan care trece printr-un punct dat din spațiu perpendicular pe o dreaptă dată

Să fie date în el un spațiu tridimensional și un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z. Sunt date și punctul M 1 (x 1, y 1, z 1), linia a și planul α care trece prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta a. Este necesar să notăm ecuația planului α.

Înainte de a începe rezolvarea acestei probleme, să ne amintim teorema de geometrie din programa pentru clasele 10-11, care spune:

Definiția 1

Printr-un punct dat din spațiul tridimensional trece un singur plan perpendicular pe o dreaptă dată.

Acum să ne uităm la cum să găsim ecuația acestui singur plan care trece prin punctul de plecare și perpendicular pe dreapta dată.

Este posibil să se noteze ecuația generală a unui plan dacă sunt cunoscute coordonatele unui punct aparținând acestui plan, precum și coordonatele vectorului normal al planului.

Condiţiile problemei ne dau coordonatele x 1, y 1, z 1 ale punctului M 1 prin care trece planul α. Dacă determinăm coordonatele vectorului normal al planului α, atunci vom putea scrie ecuația necesară.

Vectorul normal al planului α, deoarece este diferit de zero și se află pe dreapta a, perpendicular pe planul α, va fi orice vector de direcție al dreptei a. Astfel, problema găsirii coordonatelor vectorului normal al planului α se transformă în problema determinării coordonatelor vectorului de direcție al dreptei a.

Pot fi determinate coordonatele vectorului de direcție al dreptei a metode diferite: depinde de opțiunea de a specifica linia dreaptă a în condițiile inițiale. De exemplu, dacă este dată linia dreaptă a din enunțul problemei ecuații canonice tip

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

sau ecuații parametrice de forma:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

atunci vectorul de direcție al dreptei va avea coordonatele a x, a y și a z. În cazul în care linia dreaptă a este reprezentată de două puncte M 2 (x 2, y 2, z 2) și M 3 (x 3, y 3, z 3), atunci coordonatele vectorului de direcție vor fi determinate ca ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

Definiția 2

Algoritm pentru găsirea ecuației unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată:

Determinăm coordonatele vectorului direcție al dreptei a: a → = (a x, a y, a z) ;

Definim coordonatele vectorului normal al planului α ca fiind coordonatele vectorului de direcție al dreptei a:

n → = (A , B , C) , unde A = a x , B = a y , C = a z;

Scriem ecuația planului care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) și având un vector normal n → = (A, B, C) sub forma A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Aceasta va fi ecuația necesară a unui plan care trece printr-un punct dat din spațiu și este perpendicular pe o dreaptă dată.

Ecuația generală rezultată a planului este: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 face posibilă obținerea ecuației planului în segmente sau ecuația normală avion.

Să rezolvăm câteva exemple folosind algoritmul obținut mai sus.

Exemplul 1

Este dat un punct M 1 (3, - 4, 5), prin care trece planul, iar acest plan este perpendicular pe dreapta de coordonate O z.

Soluţie

vectorul direcție al dreptei de coordonate O z va fi vectorul de coordonate k ⇀ = (0, 0, 1). Prin urmare, vectorul normal al planului are coordonatele (0, 0, 1). Să scriem ecuația unui plan care trece printr-un punct dat M 1 (3, - 4, 5), al cărui vector normal are coordonatele (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Răspuns: z – 5 = 0 .

Să luăm în considerare o altă modalitate de a rezolva această problemă:

Exemplul 2

Un plan care este perpendicular pe dreapta O z va fi dat de o ecuație plană generală incompletă de forma C z + D = 0, C ≠ 0. Să determinăm valorile lui C și D: cele la care planul trece printr-un punct dat. Să substituim coordonatele acestui punct în ecuația C z + D = 0, obținem: C · 5 + D = 0. Aceste. numerele, C și D sunt legate prin relația - D C = 5. Luând C = 1, obținem D = - 5.

Să înlocuim aceste valori în ecuația C z + D = 0 și să obținem ecuația necesară a unui plan perpendicular pe dreapta O z și care trece prin punctul M 1 (3, - 4, 5).

Va arăta astfel: z – 5 = 0.

Răspuns: z – 5 = 0 .

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin origine și perpendicular pe dreapta x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Soluţie

Pe baza condițiilor problemei, se poate argumenta că vectorul direcție al unei drepte date poate fi luat ca vector normal n → al unui plan dat. Astfel: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Să scriem ecuația unui plan care trece prin punctul O (0, 0, 0) și având un vector normal n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Am obținut ecuația necesară a unui plan care trece prin originea coordonatelor perpendiculare pe o dreaptă dată.

Răspuns:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Exemplul 4

Un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z este dat în spațiu tridimensional, în el sunt două puncte A (2, - 1, - 2) și B (3, - 2, 4). Planul α trece prin punctul A perpendicular pe dreapta A B. Este necesar să se creeze o ecuație pentru planul α în segmente.

Soluţie

Planul α este perpendicular pe dreapta A B, atunci vectorul A B → va fi vectorul normal al planului α. Coordonatele acestui vector sunt definite ca diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale punctelor B (3, - 2, 4) și A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Ecuația generală avionul va fi scris în următoarea formă:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Acum să compunem ecuația necesară a planului în segmente:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Răspuns:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

De asemenea, trebuie remarcat faptul că există probleme a căror cerință este să scrie o ecuație a unui plan care trece printr-un punct dat și perpendicular pe două plane date. În general, soluția acestei probleme este de a construi o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată, deoarece două plane care se intersectează definesc o dreaptă.

Exemplul 5

Este dat un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z, în el există un punct M 1 (2, 0, - 5). Sunt date și ecuațiile a două plane 3 x + 2 y + 1 = 0 și x + 2 z – 1 = 0, care se intersectează de-a lungul dreptei a. Este necesar să se creeze o ecuație pentru un plan care trece prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta a.

Soluţie

Să determinăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Este perpendicular atât pe vectorul normal n 1 → (3, 2, 0) al planului n → (1, 0, 2), cât și pe vectorul normal 3 x + 2 y + 1 = 0 al planului x + 2 z - 1 = 0 plan.

Apoi, ca vector de direcție α → linie a, luăm produsul vectorial al vectorilor n 1 → și n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Astfel, vectorul n → = (4, - 6, - 2) va fi vectorul normal al planului perpendicular pe dreapta a. Să notăm ecuația necesară a planului:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Răspuns: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Dacă toate numerele A, B, C și D sunt diferite de zero, atunci ecuația generală a planului se numește complet. În caz contrar, se numește ecuația generală a planului incomplet.

Să luăm în considerare toate posibilele comune ecuații incomplete plan în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiul tridimensional.

Fie D = 0, atunci avem o ecuație generală plană incompletă de forma . Acest plan din sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz trece prin origine. Într-adevăr, când înlocuim coordonatele unui punct în ecuația incompletă rezultată a planului, ajungem la identitatea .

Pentru , sau , sau avem ecuații generale incomplete ale planelor , sau , sau , respectiv. Aceste ecuații definesc plane paralele cu planurile de coordonate Oxy, Oxz și, respectiv, Oyz (vezi articolul pentru starea planurilor paralele) și care trec prin puncte si in consecinta. La. De la punctul aparține planului prin condiție, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația planului, adică egalitatea trebuie să fie adevărată. De aici găsim. Astfel, ecuația necesară are forma .

Să prezentăm a doua modalitate de a rezolva această problemă.

Deoarece planul, a cărui ecuație generală trebuie să o compunem, este paralel cu planul Oyz, atunci ca vector normal putem lua vectorul normal al planului Oyz. Vectorul normal al planului de coordonate Oyz este vectorul de coordonate. Acum cunoaștem vectorul normal al planului și punctul planului, prin urmare, putem scrie ecuația lui generală (am rezolvat o problemă similară în paragraful anterior al acestui articol):
, atunci coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația planului. Prin urmare, egalitatea este adevărată de unde o găsim. Acum putem scrie ecuația generală dorită a planului, are forma .

Răspuns:

Referințe.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Să considerăm planul Q în spațiu Poziția sa este complet determinată prin specificarea vectorului N perpendicular pe acest plan și a unui punct fix situat în planul Q. perpendicular pe plan Q se numește vectorul normal al acestui plan. Dacă notăm cu A, B și C proiecțiile vectorului normal N, atunci

Să derivăm ecuația planului Q care trece printr-un punct dat și are un vector normal dat. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un vector care conectează un punct cu un punct arbitrar pe planul Q (Fig. 81).

Pentru orice poziție a punctului M pe planul Q, vectorul MHM este perpendicular pe vectorul normal N al planului Q. Prin urmare, produsul scalar Scriem produsul scalar în termeni de proiecții. Deoarece , și este un vector, atunci

şi prin urmare

Am arătat că coordonatele oricărui punct din planul Q satisfac ecuația (4). Este ușor de observat că coordonatele punctelor care nu se află pe planul Q nu satisfac această ecuație (în acest din urmă caz). În consecință, am obținut ecuația necesară a planului Q. Ecuația (4) se numește ecuația planului care trece printr-un punct dat. Este de gradul I relativ la coordonatele curente

Deci, am arătat că fiecărui plan îi corespunde o ecuație de gradul I în raport cu coordonatele curente.

Exemplul 1. Scrieți ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector.

Soluţie. Aici . Pe baza formulei (4) obținem

sau, după simplificare,

Dând coeficienților A, B și C ai ecuației (4) valori diferite, putem obține ecuația oricărui plan care trece prin punctul . Mulțimea de planuri care trec printr-un punct dat se numește mănunchi de plane. Ecuația (4), în care coeficienții A, B și C pot lua orice valoare, se numește ecuația unui grup de plane.

Exemplul 2. Creați o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte (Fig. 82).

Soluţie. Să scriem ecuația pentru o grămadă de avioane care trec prin punct

Pentru a obține ecuația generală a unui plan, să analizăm planul care trece printr-un punct dat.

Să existe trei axe de coordonate deja cunoscute de noi în spațiu - Bou, OiŞi Oz. Țineți foaia de hârtie astfel încât să rămână plată. Avionul va fi foaia în sine și continuarea ei în toate direcțiile.

Lasă P plan arbitrar în spațiu. Fiecare vector perpendicular pe acesta se numește vector normal la acest avion. Desigur, vorbim despre un vector diferit de zero.

Dacă se cunoaşte vreun punct al avionului Pși un vector normal al acestuia, atunci prin aceste două condiții planul în spațiu este complet definit(printr-un punct dat puteți desena un singur plan perpendicular pe vectorul dat). Ecuația generală a planului va fi:

Deci, condițiile care definesc ecuația planului sunt. Pentru a te obține ecuația plană, având forma de mai sus, ia în avion P arbitrar punct M cu coordonate variabile x, y, z. Acest punct aparține planului numai dacă vector perpendicular pe vector(Fig. 1). Pentru aceasta, conform condiției de perpendicularitate a vectorilor, este necesar și suficient ca produsul scalar al acestor vectori să fie egal cu zero, adică

Vectorul este specificat de condiție. Găsim coordonatele vectorului folosind formula :

.

Acum, folosind formula produsului scalar al vectorilor , exprimăm produsul scalar sub formă de coordonate:

De la punctul M(x; y; z) este aleasă arbitrar pe plan, apoi ultima ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct situat pe plan P. Pentru un punct N, neîntins într-un anumit plan, adică egalitatea (1) este încălcată.

Exemplul 1. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct și perpendicular pe vector.

Soluţie. Să folosim formula (1) și să ne uităm din nou:

În această formulă numerele O , BŞi C coordonate vectoriale și numere x0 , y0 Şi z0 - coordonatele punctului.

Calculele sunt foarte simple: înlocuim aceste numere în formulă și obținem

Înmulțim tot ce trebuie înmulțit și adunăm doar numere (care nu au litere). Rezultat:

.

Ecuația necesară a planului din acest exemplu s-a dovedit a fi exprimată printr-o ecuație generală de gradul întâi în raport cu coordonatele variabile x, y, z orice punct al avionului.

Deci, o ecuație a formei

numit ecuația planului general .

Exemplul 2. Construiți într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare un plan dat de ecuație .

Soluţie. Pentru a construi un plan, este necesar și suficient să cunoașteți oricare trei dintre punctele sale care nu se află pe aceeași linie dreaptă, de exemplu, punctele de intersecție ale planului cu axele de coordonate.

Cum să găsești aceste puncte? Pentru a găsi punctul de intersecție cu axa Oz, trebuie să înlocuiți zerourile pentru X și Y în ecuația dată în enunțul problemei: x = y= 0 . Prin urmare primim z= 6. Astfel, planul dat intersectează axa Oz la punct O(0; 0; 6) .

În același mod găsim punctul de intersecție al planului cu axa Oi. La x = z= 0 obținem y= −3, adică punctul B(0; −3; 0) .

Și, în sfârșit, găsim punctul de intersecție a planului nostru cu axa Bou. La y = z= 0 obținem x= 2, adică un punct C(2; 0; 0). Pe baza celor trei puncte obținute în soluția noastră O(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) și C(2; 0; 0) construiește planul dat.

Să luăm în considerare acum cazuri speciale ale ecuaţiei planului general. Acestea sunt cazurile în care anumiți coeficienți ai ecuației (2) devin zero.

1. Când D= 0 ecuație definește un plan care trece prin origine, deoarece coordonatele punctului 0 (0; 0; 0) satisface această ecuație.

2. Când A= 0 ecuație definește un plan, paralel cu axa Bou, deoarece vectorul normal al acestui plan este perpendicular pe axa Bou(proiecția sa pe axă Bou egal cu zero). La fel, când B= 0 avion paralel cu axa Oi, și când C= 0 avion paralel cu axa Oz.

3. Când A=D= Ecuația 0 definește un plan care trece prin axă Bou, deoarece este paralelă cu axa Bou (A=D= 0). În mod similar, planul trece prin axă Oi, iar planul prin axă Oz.

4. Când A=B= Ecuația 0 definește un plan paralel cu planul de coordonate xOy, deoarece este paralel cu axele Bou (O= 0) și Oi (B= 0). În mod similar, planul este paralel cu planul yOz, iar avionul este avionul xOz.

5. Când A=B=D= 0 ecuație (sau z = 0) definește planul de coordonate xOy, deoarece este paralel cu planul xOy (A=B= 0) și trece prin origine ( D= 0). La fel, Ec. y = 0 în spațiu definește planul de coordonate xOz, și ecuația x = 0 - plan de coordonate yOz.

Exemplul 3. Creați o ecuație a planului P, trecând prin axă Oiși punct.

Soluţie. Deci avionul trece prin axă Oi. Prin urmare, în ecuația ei y= 0 și această ecuație are forma . Pentru a determina coeficienții OŞi C să profităm de faptul că punctul aparține planului P .

Prin urmare, printre coordonatele sale se numără cele care pot fi substituite în ecuația plană pe care am derivat-o deja (). Să ne uităm din nou la coordonatele punctului:

M0 (2; −4; 3) .

Printre ei x = 2 , z= 3 . Înlocuiți-le în ecuație vedere generalăși obținem ecuația pentru cazul nostru particular:

2O + 3C = 0 .

Lăsăm 2 Oîn partea stângă a ecuației, mutați 3 Cîn partea dreaptă și ajungem

O = −1,5C .

Înlocuirea valorii găsite Oîn ecuație, obținem

sau .

Aceasta este ecuația necesară în condiția exemplu.

Rezolvați singur problema ecuației plane și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 4. Definiți un plan (sau planuri, dacă mai multe) în raport cu axele de coordonate sau planurile de coordonate dacă planul (planurile) este dat de ecuație.

Soluții la probleme tipice care apar în teste- în manualul „Probleme plane: paralelism, perpendicularitate, intersecția a trei plane într-un punct.”

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte

După cum sa menționat deja, este necesar și condiție suficientă Pentru a construi un plan, pe lângă un punct și vectorul normal, există și trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă.

Să fie date trei puncte diferite , și , care nu se află pe aceeași linie. Deoarece cele trei puncte indicate nu se află pe aceeași dreaptă, vectorii nu sunt coliniari și, prin urmare, orice punct din plan se află în același plan cu punctele și dacă și numai dacă vectorii și coplanare, adică atunci și numai când produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero.

Folosind expresia produs mixtîn coordonate, obținem ecuația planului

(3)

După dezvăluirea determinantului, această ecuație devine o ecuație de forma (2), adică. ecuația generală a planului.

Exemplul 5. Scrieți ecuația unui plan care trece prin trei puncte date care nu se află pe aceeași dreaptă:

si determina caz special ecuația generală a dreptei, dacă aceasta există.

Soluţie. Conform formulei (3) avem:

Ecuația plană normală. Distanța de la punct la plan

Ecuația normală a unui plan este ecuația acestuia, scrisă sub forma

Ecuația unui plan. Cum se scrie o ecuație a unui plan?
Aranjamentul reciproc al avioanelor. Sarcini

Geometria spațială nu este mult mai complicată decât geometria „plată”, iar zborurile noastre în spațiu încep cu acest articol. Pentru a stăpâni subiectul, trebuie să înțelegeți bine vectori, în plus, este indicat să fii familiarizat cu geometria planului - vor exista multe asemănări, multe analogii, astfel încât informațiile vor fi digerate mult mai bine. Într-o serie de lecții mele, lumea 2D se deschide cu un articol Ecuația unei drepte pe un plan. Dar acum Batman a părăsit ecranul plat al televizorului și se lansează din Cosmodromul Baikonur.

Să începem cu desene și simboluri. Schematic, planul poate fi desenat sub forma unui paralelogram, care creează impresia de spațiu:

Avionul este infinit, dar avem ocazia să înfățișăm doar o bucată din el. În practică, pe lângă paralelogram, se desenează și un oval sau chiar un nor. Din motive tehnice, îmi este mai convenabil să înfățișez avionul exact în acest fel și exact în această poziție. Avioane reale pe care le vom lua în considerare exemple practice, poate fi poziționat în orice fel - luați mental desenul în mâini și rotiți-l în spațiu, oferind avionului orice înclinare, orice unghi.

Denumiri: avioanele sunt de obicei notate cu litere mici grecești, aparent pentru a nu le confunda cu linie dreaptă pe un plan sau cu linie dreaptă în spațiu. Sunt obișnuit să folosesc litera . În desen este litera „sigma” și deloc o gaură. Deși, avionul holey este cu siguranță destul de amuzant.

În unele cazuri, este convenabil să folosiți aceleași simboluri pentru a desemna avioane. litere grecești cu indice, de exemplu, .

Este evident că planul este definit în mod unic de trei puncte diferite care nu se află pe aceeași linie. Prin urmare, denumirile de trei litere ale avioanelor sunt destul de populare - prin punctele care le aparțin, de exemplu, etc. Adesea literele sunt cuprinse între paranteze: , pentru a nu confunda planul cu o altă figură geometrică.

Pentru cititorii experimentați le voi oferi meniu de acces rapid:

• Cum se creează o ecuație a unui plan folosind un punct și doi vectori?
• Cum se creează o ecuație a unui plan folosind un punct și un vector normal?

și nu vom lâncevi în așteptări lungi:

Ecuația generală a planului

Ecuația generală a planului are forma , unde coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp.

O serie de calcule teoretice și probleme practice sunt valabile atât pentru baza ortonormală obișnuită, cât și pentru bază afină spațiu (dacă uleiul este ulei, reveniți la lecție Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor). Pentru simplitate, vom presupune că toate evenimentele au loc pe o bază ortonormală și un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian.

Acum să exersăm puțin imaginația noastră spațială. Este în regulă dacă al tău este rău, acum îl vom dezvolta puțin. Chiar și jocul pe nervi necesită antrenament.

În cel mai general caz, când numerele nu sunt egale cu zero, planul intersectează toate cele trei axe de coordonate. De exemplu, așa:

Repet încă o dată că avionul continuă la nesfârșit în toate direcțiile și avem ocazia să ne înfățișăm doar o parte din el.

Să luăm în considerare cele mai simple ecuații ale planelor:

Cum să înțelegem această ecuație? Gândiți-vă: „Z” este ÎNTOTDEAUNA egal cu zero, pentru orice valoare a „X” și „Y”. Aceasta este ecuația planului de coordonate „nativ”. Într-adevăr, formal ecuația poate fi rescrisă după cum urmează: , de unde puteți vedea clar că nu ne interesează ce valori iau „x” și „y”, este important ca „z” să fie egal cu zero.

De asemenea:
– ecuația planului de coordonate;
– ecuația planului de coordonate.

Să complicăm puțin problema, să considerăm un plan (aici și mai departe în paragraf presupunem că coeficienții numerici nu sunt egali cu zero). Să rescriem ecuația sub forma: . Cum să-l înțelegi? „X” este ÎNTOTDEAUNA, pentru orice valoare a lui „y” și „z”, egală cu un anumit număr. Acest plan este paralel cu planul de coordonate. De exemplu, un plan este paralel cu un plan și trece printr-un punct.

De asemenea:
– ecuația unui plan care este paralel cu planul de coordonate;
– ecuația unui plan care este paralel cu planul de coordonate.

Să adăugăm membri: . Ecuația poate fi rescrisă după cum urmează: , adică „zet” poate fi orice. Ce înseamnă? „X” și „Y” sunt conectate prin relația, care trasează o anumită linie dreaptă în plan (veți afla ecuația unei drepte într-un plan?). Deoarece „z” poate fi orice, această linie dreaptă este „replicată” la orice înălțime. Astfel, ecuația definește un plan paralel cu axa de coordonate

De asemenea:
– ecuația unui plan care este paralel cu axa de coordonate;
– ecuația unui plan care este paralel cu axa de coordonate.

Dacă termenii liberi sunt zero, atunci planurile vor trece direct prin axele corespunzătoare. De exemplu, clasica „proporționalitate directă”: . Desenați o linie dreaptă în plan și înmulțiți-o mental în sus și în jos (deoarece „Z” este oricare). Concluzie: avion, dat de ecuaţie, trece prin axa de coordonate.

Finalizăm trecerea în revistă: ecuația planului trece prin origine. Ei bine, aici este destul de evident că punctul satisface această ecuație.

Și, în sfârșit, cazul prezentat în desen: – planul este prietenos cu toate axele de coordonate, în timp ce întotdeauna „taie” un triunghi, care poate fi situat în oricare dintre cei opt octanți.

Inegalități liniare în spațiu

Pentru a înțelege informațiile trebuie să studiezi bine inegalități liniare în plan, pentru că multe lucruri vor fi asemănătoare. Paragraful va avea o scurtă prezentare generală, cu mai multe exemple, deoarece materialul este destul de rar în practică.

Dacă ecuația definește un plan, atunci inegalitățile
intreaba semi-spații. Dacă inegalitatea nu este strictă (ultimele două din listă), atunci soluția inegalității, pe lângă semi-spațiu, include și planul însuși.

Exemplul 5

Găsiți vectorul normal unitar al planului .

Soluţie: Un vector unitar este un vector a cărui lungime este unu. Să notăm acest vector cu . Este absolut clar că vectorii sunt coliniari:

În primul rând, eliminăm vectorul normal din ecuația planului: .

Cum să găsiți un vector unitar? Pentru a găsi vectorul unitar, aveți nevoie fiecareîmpărțiți coordonata vectorială la lungimea vectorului.

Să rescriem vectorul normal în forma și să îi găsim lungimea:

Conform celor de mai sus:

Răspuns:

Verificare: ce trebuia verificat.

Cititorii care au studiat cu atenție ultimul paragraf al lecției probabil au observat asta coordonatele vectorului unitar sunt exact cosinusurile de direcție ale vectorului:

Să luăm o pauză de la sarcina în cauză: când vi se oferă un vector arbitrar diferit de zero, iar în funcție de condiție este necesar să se găsească cosinusurile de direcție (vezi ultimele probleme ale lecției Produsul punctual al vectorilor), atunci, de fapt, găsiți un vector unitar coliniar cu acesta. De fapt, două sarcini într-o sticlă.

Necesitatea găsirii vectorului normal unitar apare în unele probleme de analiză matematică.

Ne-am dat seama cum să descoperim un vector normal, acum să răspundem la întrebarea opusă:

Cum se creează o ecuație a unui plan folosind un punct și un vector normal?

Această construcție rigidă a unui vector normal și a unui punct este bine cunoscută de bordul de darts. Vă rugăm să întindeți mâna înainte și să selectați mental un punct arbitrar din spațiu, de exemplu, o pisică mică în bufet. Evident, prin acest punct poți desena un singur plan perpendicular pe mâna ta.

Ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector este exprimată prin formula: