Ce au în comun piramidele egiptene, Mona Lisa lui Leonardo da Vinci și siglele Twitter și Pepsi?
Să nu amânăm răspunsul - toate au fost create folosind regula proporției de aur. Raportul de aur este raportul dintre două mărimi a și b, care nu sunt egale între ele. Această proporție se găsește adesea în natură și regula raportului de aur; arte frumoaseși design - compozițiile create folosind „proporția divină” sunt bine echilibrate și, după cum se spune, plăcute ochiului. Dar care este exact raportul de aur și poate fi folosit în disciplinele moderne, de exemplu, în web design? Să ne dăm seama.
UN PICĂ MATEMATICĂ
Să presupunem că avem un anumit segment AB, împărțit în două prin punctul C. Raportul lungimilor segmentelor este: AC/BC = BC/AB. Adică segmentul este împărțit în părți inegale în așa fel încât cele mai multe segmentul constituie aceeași proporție în întregul segment nedivizat ca și segmentul mai mic în cel mai mare.
Această împărțire inegală se numește proporția de aur. Raportul de aur este desemnat prin simbolul φ. Valoarea lui φ este 1,618 sau 1,62. În general, pentru a spune foarte simplu, aceasta este împărțirea unui segment sau a oricărei alte valori în raport de 62% și 38%.
„Proporția divină” a fost cunoscută de oameni din cele mai vechi timpuri, această regulă a fost folosită în construcția piramidelor egiptene și a Partenonului, raportul de aur poate fi găsit în pictura Capelei Sixtine și în picturile lui Van Gogh. Rata de aur este încă folosită pe scară largă astăzi - exemple care sunt constant în fața ochilor noștri sunt siglele Twitter și Pepsi.
Creierul uman este conceput astfel încât să considere frumoase acele imagini sau obiecte în care poate fi detectată o proporție inegală de părți. Când spunem despre cineva că „este bine proporționat”, ne referim, fără să știm, la raportul de aur.
Raportul de aur poate fi aplicat la diferite forme geometrice. Dacă luăm un pătrat și înmulțim o latură cu 1,618, obținem un dreptunghi.
Acum, dacă suprapunem un pătrat pe acest dreptunghi, putem vedea linia proporției de aur:
Dacă continuăm să folosim această proporție și să spargem dreptunghiul în părți mai mici, obținem această imagine:
Nu este încă clar unde ne va duce această fragmentare a figurilor geometrice. Încă puțin și totul va deveni clar. Dacă desenăm o linie netedă egală cu un sfert de cerc în fiecare dintre pătratele diagramei, atunci vom obține o spirală de aur.
Aceasta este o spirală neobișnuită. Se mai numește uneori și spirala Fibonacci, în onoarea omului de știință care a studiat șirul în care fiecare număr este devreme față de suma celor două anterioare. Ideea este că această relație matematică, percepută vizual de noi ca o spirală, se găsește literalmente peste tot - floarea soarelui, scoici de mare, galaxii spiraleși taifunuri - există o spirală aurie peste tot.
CUM PUTEȚI UTILIZA PROPORȚIA DE AUR ÎN DESIGN?
Deci, partea teoretică s-a terminat, să trecem la practică. Este cu adevărat posibil să folosiți raportul de aur în design? Da, poți. De exemplu, în design web. Luând în considerare această regulă, puteți obține raportul corect al elementelor de compoziție ale aspectului. Ca rezultat, toate părțile designului, până la cele mai mici, vor fi combinate armonios între ele.
Dacă luăm un aspect tipic cu o lățime de 960 de pixeli și îi aplicăm raportul de aur, vom obține această imagine. Raportul dintre părți este deja cunoscut de 1:1.618. Rezultatul este un aspect pe două coloane, cu o combinație armonioasă a două elemente.
Site-urile cu două coloane sunt foarte frecvente și acest lucru este departe de a fi accidental. Iată, de exemplu, site-ul National Geographic. Două coloane, regula proporției de aur. Design bun, ordonat, echilibrat și respectă cerințele ierarhiei vizuale.
Un alt exemplu. Studioul de design Moodley a dezvoltat o identitate corporativă pentru festivalul artelor spectacolului de la Bregenz. Atunci când designerii au lucrat la afișul evenimentului, au folosit în mod clar regula proporției de aur pentru a determina corect dimensiunea și locația tuturor elementelor și, ca urmare, pentru a obține compoziția ideală.
Lemon Graphic, care a creat identitatea vizuală pentru Terkaya Wealth Management, a folosit și un raport de 1:1,618 și o spirală aurie. Cele trei elemente ale designului cărții de vizită se potrivesc perfect în schemă, rezultând că toate părțile se îmbină foarte bine
Iată o altă utilizare interesantă a spiralei aurii. În fața noastră este din nou site-ul National Geographic. Dacă te uiți la design mai atent, poți vedea că pe pagină există un alt logo NG, doar unul mai mic, care este situat mai aproape de centrul spiralei.
Desigur, acest lucru nu este întâmplător - designerii știau foarte bine ce fac. Acesta este un loc grozav pentru a duplica un logo, deoarece ochiul nostru se mișcă în mod natural spre centrul compoziției atunci când vizualizați un site. Așa funcționează subconștientul și acest lucru trebuie luat în considerare atunci când se lucrează la design.
CERCUL DE AUR
„Proporția divină” poate fi aplicată oricăror forme geometrice, inclusiv cercuri. Dacă înscriem un cerc în pătrate, raportul dintre care este 1:1,618, atunci obținem cercuri de aur.
Iată sigla Pepsi. Totul este clar fără cuvinte. Atât raportul, cât și modul în care a fost realizat arcul neted al elementului logo alb.
Cu logo-ul Twitter, lucrurile sunt puțin mai complicate, dar și aici puteți vedea că designul său se bazează pe utilizarea cercurilor de aur. Nu respectă puțin regula „proporției divine”, dar în cea mai mare parte toate elementele sale se încadrează în schemă.
CONCLUZIE
După cum puteți vedea, în ciuda faptului că regula proporției de aur este cunoscută din timpuri imemoriale, nu este deloc depășită. Prin urmare, poate fi folosit în design. Nu este necesar să faceți tot posibilul pentru a vă încadra în schemă - designul este o disciplină imprecisă. Dar dacă trebuie să obțineți o combinație armonioasă de elemente, atunci nu va strica să încercați să aplicați principiile raportului de aur.
„Proporția de aur este o împărțire proporțională a unui segment în două părți inegale, în care segmentul mai mic este legat de cel mai mare, așa cum cel mai mare este de întreg”, subliniază Departamentul Științific și Tehnic. dicţionar enciclopedic. Aceasta este exprimată prin formula AC/BC = BC/AB, unde AC este segmentul mai mic și BC este segmentul mai mare.
Se crede că această proporție este o manifestare a armoniei și ordinii ordinii mondiale, un model ideal al Universului. fraile Luca Pacioliîn cartea „Proporția divină” a scris că raportul de aur dezvăluie trinitatea divină: segmentul mic îl personifică pe Fiul, segmentul mare îl reprezintă pe Tatăl și întreg segmentul reprezintă Duhul Sfânt.
În ce altceva apare raportul de aur?
Există un concept conform căruia raportul de aur este o regulă universală, întruchipată în tot ceea ce înconjoară o persoană. cercetător german al raportului de aur, profesorul Adolf Zeising credea că părțile plantelor și proporțiile corpului uman sunt supuse regulii secțiunii de aur. După ce a măsurat aproximativ două mii de oameni, a ajuns la concluzia că părțile corpului uman se raportează între ele în aproximativ același raport. El și-a verificat observațiile asupra statuilor antice, unde acest model a fost confirmat, ceea ce însemna că vechii erau conștienți de legea raportului de aur.
Cercetătorii naturii găsesc „proporția ideală” în structura diferitelor sisteme vii. Cel mai faimos exemplu este structura spirală, care se supune legea matematică proporția de aur și este întruchipată, de exemplu, sub formă de coarne de capră de munte sau scoici de moluște.
Raportul de aur într-o coajă de moluște. Fotografie: Shutterstock.com
Principiile raportului de aur pot fi găsite în arhitectura oamenilor antici, precum egiptenii sau babilonienii. După măsurarea proporțiilor piramidei lui Keops, templelor și basoreliefurilor din mormânt Tutankhamon a devenit cunoscut faptul că arhitecții antici și-au bazat calculele pe acest model.
În timpul Renașterii, artiștii și sculptorii au început să folosească în mod deliberat principiul raportului de aur, plătind astfel un omagiu tradițiilor antice. Unul dintre adepții acestei reguli este considerat a fi Leonardo da Vinci, care, apropo, este adesea creditat cu inventarea termenului „raport de aur”. Istoricii de artă găsesc manifestări ale raportului de aur în multe dintre picturile sale, în special în compoziția Cinei Taine și în proporția părților corpului Omului Vitruvian.
În matematică, pe lângă legea de bază privind raportul segmentelor, un exemplu de raport de aur este Seria Fibonacci. Aceasta este o succesiune de numere în care fiecare număr următor este egal cu suma celor două numere anterioare: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 etc. În acest caz, raportul numerelor adiacente din serie se apropie de raportul de aur. Se crede că această secvență a apărut ca răspuns la ghicitoarea: „Câte perechi de iepuri se vor naște dintr-o pereche într-un an?”
Raportul de Aur este o manifestare universală a armoniei structurale. Se găsește în natură, știință, artă - în tot ceea ce o persoană poate intra în contact. Odată ce s-a familiarizat cu regula de aur, omenirea nu a mai trădat-o.
DEFINIŢIE
Cea mai cuprinzătoare definiție a raportului de aur spune că partea mai mică este legată de cea mai mare, la fel cum partea mai mare este legată de întreg. Valoarea sa aproximativă este 1,6180339887. Într-o valoare procentuală rotunjită, proporțiile părților întregului vor corespunde între 62% și 38%. Această relație operează sub formele spațiului și al timpului.
Anticii au văzut raportul de aur ca o reflectare a ordinii cosmice, iar Johannes Kepler a numit-o una dintre comorile geometriei. Știința modernă consideră raportul de aur drept „simetrie asimetrică”, numind-o în sens larg o regulă universală care reflectă structura și ordinea ordinii noastre mondiale.
POVESTE
Vechii egipteni aveau o idee despre proporțiile de aur, știau despre ele în Rus', dar pentru prima dată raportul de aur a fost explicat științific de călugărul Luca Pacioli în cartea „Proporția divină” (1509), ilustrații pentru care au fost se presupune că făcut de Leonardo da Vinci. Pacioli a văzut în secțiunea de aur trinitatea divină: segmentul mic îl personifica pe Fiul, segmentul mare pe Tatăl și întregul Duhul Sfânt.
Numele matematicianului italian Leonardo Fibonacci este direct asociat cu regula raportului de aur. Ca urmare a rezolvării uneia dintre probleme, omul de știință a venit cu o secvență de numere cunoscută acum sub numele de seria Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 etc. Kepler a atras atenția asupra relației dintre această secvență și proporția de aur: „Este aranjat în așa fel încât cei doi termeni inferiori ai acestei proporții nesfârșite se adună la al treilea termen, iar oricare doi ultimi termeni, dacă sunt adăugați, dau următorul termen și aceeași proporție se menține la infinit” Acum seria Fibonacci este baza aritmetică pentru calcularea proporțiilor raportului de aur în toate manifestările sale.
De asemenea, Leonardo da Vinci a dedicat mult timp studierii caracteristicilor raportului de aur, cel mai probabil, termenul în sine îi aparține. Desenele sale ale unui corp stereometric format din pentagoane regulate demonstrează că fiecare dintre dreptunghiurile obținute prin secțiune oferă raportul de aspect în diviziunea de aur.
De-a lungul timpului, regula raportului de aur a devenit o rutină academică și doar filosoful Adolf Zeising i-a dat o a doua viață în 1855. El a adus proporțiile secțiunii de aur la absolut, făcându-le universale pentru toate fenomenele din lumea înconjurătoare. Cu toate acestea, „estetica sa matematică” a provocat multe critici.
NATURĂ
Chiar și fără a intra în calcule, raportul de aur poate fi găsit cu ușurință în natură. Deci, raportul dintre coada și corpul unei șopârle, distanțele dintre frunzele de pe o ramură cad sub ea, există un raport de aur în formă de ou, dacă o linie condiționată este trasă prin partea sa cea mai largă.
Omul de știință din Belarus Eduard Soroko, care a studiat formele diviziunilor de aur din natură, a remarcat că tot ceea ce crește și se străduiește să-și ia locul în spațiu este înzestrat cu proporțiile secțiunii de aur. În opinia sa, una dintre cele mai interesante forme este răsucirea în spirală.
Arhimede, acordând atenție spiralei, a derivat o ecuație bazată pe forma acesteia, care este încă folosită în tehnologie. Goethe a remarcat mai târziu atracția naturii pentru formele spiralate, numind spirala „curba vieții”. Oamenii de știință moderni au descoperit că astfel de manifestări ale formelor spiralate în natură, cum ar fi o coajă de melc, aranjarea semințelor de floarea soarelui, modelele de pânză de păianjen, mișcarea unui uragan, structura ADN-ului și chiar structura galaxiilor conțin seria Fibonacci.
UMAN
Creatorii de modă și designerii de îmbrăcăminte fac toate calculele pe baza proporțiilor raportului de aur. Omul este o formă universală de testare a legilor raportului de aur. Desigur, prin natura lor, nu toți oamenii au proporții ideale, ceea ce creează anumite dificultăți în alegerea hainelor.
În jurnalul lui Leonardo da Vinci există un desen al unui bărbat gol înscris într-un cerc, în două poziții suprapuse. Pe baza cercetărilor arhitectului roman Vitruvius, Leonardo a încercat în mod similar să stabilească proporțiile corpului uman. Mai târziu, arhitectul francez Le Corbusier, folosind „Omul Vitruvian” al lui Leonardo, și-a creat propria scară de „proporții armonice”, care a influențat estetica arhitecturii secolului al XX-lea.
Adolf Zeising, studiind proporționalitatea unei persoane, a făcut o treabă colosală. El a măsurat aproximativ două mii de corpuri umane, precum și multe statui antice și a concluzionat că raportul de aur exprimă legea statistică medie. La o persoană, aproape toate părțile corpului îi sunt subordonate, dar principalul indicator al raportului de aur este împărțirea corpului după punctul buricului.
Ca rezultat al măsurătorilor, cercetătorul a descoperit că proporțiile corpului masculin 13:8 sunt mai apropiate de raportul de aur decât proporțiile corpului feminin - 8:5.
ARTA FORMELOR SPATIALE
Artistul Vasily Surikov a spus „că în compoziție există o lege imuabilă, când într-o imagine nu poți nici să îndepărtezi, nici să adaugi nimic, nici măcar nu poți adăuga un punct în plus, aceasta este matematică adevărată”. Pentru o lungă perioadă de timp artiștii au urmat această lege în mod intuitiv, dar după Leonardo da Vinci procesul de creare a unui tablou nu mai este complet fără o soluție probleme geometrice. De exemplu, Albrecht Durer a folosit busola proporțională pe care a inventat-o pentru a determina punctele secțiunii de aur.
Criticul de artă F.V Kovalev, după ce a examinat în detaliu pictura lui Nikolai Ge „Alexander Sergeevich Pușkin în satul Mikhailovskoye”, observă că fiecare detaliu al pânzei, fie că este un șemineu, o bibliotecă, un fotoliu sau poetul însuși, este strict. inscripționat în proporții de aur.
Cercetătorii raportului de aur studiază și măsoară neobosit capodoperele arhitecturale, susținând că au devenit astfel deoarece au fost create conform canoanelor de aur: lista lor include Marile Piramide din Giza, Catedrala Notre Dame, Catedrala Sf. Vasile și Partenonul.
Și astăzi, în orice artă a formelor spațiale, ei încearcă să urmeze proporțiile secțiunii de aur, deoarece, potrivit criticilor de artă, facilitează percepția operei și formează un sentiment estetic în privitor.
CUVÂNT, SUNET ȘI FILM
Formele de artă temporară ne demonstrează în felul lor principiul diviziunii de aur. Savanții literari, de exemplu, au observat că cel mai popular număr de versuri din poemele perioadei târzii a lucrării lui Pușkin corespunde seriei Fibonacci - 5, 8, 13, 21, 34.
Regula secțiunii de aur se aplică și în lucrările individuale ale clasicului rus. Deci punctul culminant" Regina de pică„este o scenă dramatică între Herman și Contesă, care se încheie cu moartea acesteia din urmă. Povestea are 853 de rânduri, iar punctul culminant are loc pe linia 535 (853:535 = 1,6) - acesta este punctul de raport de aur.
Muzicologul sovietic E.K Rosenov remarcă uimitoarea acuratețe a raporturilor secțiunii de aur în formele stricte și libere ale lucrărilor lui Johann Sebastian Bach, care corespunde stilului atent, concentrat, verificat tehnic al maestrului. Acest lucru este valabil și pentru lucrările remarcabile ale altor compozitori, unde soluția muzicală cea mai izbitoare sau neașteptată apare de obicei în punctul de proporție de aur.
Regizorul de film Serghei Eisenstein a coordonat în mod deliberat scenariul filmului său „Cuirasatul Potemkin” cu regula raportului de aur, împărțind filmul în cinci părți. În primele trei secțiuni acțiunea are loc pe navă, iar în ultimele două - la Odesa. Trecerea la scenele din oraș este mijlocul de aur al filmului.
20.05.2017
Raportul de aur este ceva despre care fiecare designer ar trebui să știe. Vă vom explica ce este și cum îl puteți utiliza.
Există o relație matematică generală găsită în natură, care poate fi folosită în design pentru a crea compoziții plăcute, cu aspect natural. Se numește Raportul de Aur sau Literă greacă„fi.” Dacă ești ilustrator, director de artă sau designer grafic, cu siguranță ar trebui să folosești Rata de Aur în fiecare proiect.
În acest articol, vom explica cum să-l folosim și, de asemenea, vom împărtăși câteva instrumente excelente pentru inspirație și învățare ulterioară.
Strâns legată de Secvența Fibonacci, pe care s-ar putea să vă amintiți de la cursul de matematică sau din Codul lui Da Vinci al lui Dan Brown, Raportul de Aur descrie o relație perfect simetrică între două proporții.
Aproximativ egal cu raportul de 1:1,61, raportul de aur poate fi ilustrat ca dreptunghi de aur: un dreptunghi mare care conține un pătrat (în care laturile sunt egale cu lungimea celei mai scurte laturi a dreptunghiului) și un dreptunghi mai mic.
Dacă eliminați pătratul din dreptunghi, veți rămâne cu un alt dreptunghi auriu, mic. Acest proces poate continua la nesfârșit, la fel ca numerele Fibonacci în care funcționează ordine inversă. (Adăugarea unui pătrat cu laturi egal cu lungimea cea mai lungă latură a dreptunghiului, vă aduce mai aproape de dreptunghiul de aur și de raportul de aur.)
Raportul de aur în acțiune
Se crede că Raportul de Aur a fost folosit de aproximativ 4.000 de ani în artă și design. Cu toate acestea, mulți oameni sunt de acord că atunci când construiesc Piramidele egiptene a fost folosit și acest principiu.
În vremurile mai moderne, această regulă poate fi văzută în muzica, arta și designul din jurul nostru. Folosind o metodologie de lucru similară, puteți aduce aceleași caracteristici de design în munca dvs. Să aruncăm o privire la câteva exemple inspiratoare.
Arhitectura greceasca
În arhitectura greacă antică, raportul de aur a fost folosit pentru a determina relația spațială plăcută dintre lățimea unei clădiri și înălțimea acesteia, dimensiunea porticului și chiar poziția coloanelor care susțin structura.
Rezultatul este o structură perfect proporțională. Mișcarea arhitecturii neoclasice a folosit și ea aceste principii.
ultima cina
Leonardo Da Vinci, la fel ca mulți alți artiști de altădată, a folosit adesea Raportul de Aur pentru a crea compoziții plăcute.
În Cina cea de Taină, figurile sunt situate în cele două treimi inferioare (cea mai mare dintre cele două părți ale Raportului de Aur), iar Isus este perfect schițat între dreptunghiurile de aur.
Raportul de aur în natură
Există multe exemple ale raportului de aur în natură - le puteți găsi în jurul vostru. Florile, scoici de mare, ananas și chiar faguri de miere prezintă același raport.
Cum se calculează raportul de aur
Calculul raportului de aur este destul de simplu și începe cu un pătrat simplu:
01. Desenați un pătrat
Formează lungimea laturii scurte a dreptunghiului.
02. Împărțiți pătratul
Împărțiți pătratul în jumătate folosind o linie verticală, creând două dreptunghiuri.
03. Desenați o diagonală
Într-unul dintre dreptunghiuri, trageți o linie de la un colț în cel opus.
04. Întoarce
Rotiți această linie astfel încât să fie orizontală față de primul dreptunghi.
05. Creați un nou dreptunghi
Creați un dreptunghi folosind o nouă linie orizontală și primul dreptunghi.
Cum se folosește raportul de aur
Utilizarea acestui principiu este mai ușoară decât credeți. Există câteva trucuri rapide pe care le puteți folosi în machetele dvs. sau vă puteți lua puțin mai mult timp și dezvoltați pe deplin conceptul.
Mod rapid
Dacă ați întâlnit vreodată Regula treimilor, veți fi familiarizat cu ideea de a împărți un spațiu în treimi egale pe verticală și pe orizontală, cu locul în care liniile se intersectează pentru a crea puncte naturale pentru obiecte.
Fotograful plasează subiectul cheie pe una dintre aceste linii care se intersectează pentru a crea o compoziție plăcută. Acest principiu poate fi folosit și în aspectul paginii și în designul afișelor.
Regula treimii se poate aplica la orice forma, insa daca o aplici pe un dreptunghi cu proportii de aproximativ 1:1,6, vei ajunge foarte aproape de dreptunghiul auriu, ceea ce va face compozitia mai placuta ochiului.
Implementare completă
Dacă doriți să implementați pe deplin Raportul de Aur în designul dvs., atunci pur și simplu aranjați conținutul principal și bara laterală (în web design) într-un raport de 1: 1,61.
Puteți rotunji valorile în jos sau în sus: dacă zona de conținut este de 640 px și bara laterală este de 400 px, atunci acest marcaj este destul de potrivit pentru raportul de aur.
Desigur, puteți împărți și zonele de conținut și bara laterală în aceeași relație, iar relația dintre antetul paginii web, zona de conținut, subsolul și navigarea poate fi, de asemenea, proiectată folosind același principiu.
Instrumente utile
Iată câteva instrumente care vă vor ajuta să utilizați raportul de aur în design și să creați modele proporționale.
GoldenRATIO este o aplicație pentru crearea de design de site-uri web, interfețe și șabloane potrivite pentru Raportul de Aur. Disponibil în Mac App Store pentru 2,99 USD. Include un calculator vizual pentru raportul de aur.
Aplicația are, de asemenea, o funcție „Favorite”, care salvează setările pentru sarcini recurente și un mod „Click-thru” care vă permite să minimizați aplicația în Photoshop.
Acest calculator Rata de Aur de la Pearsonified vă ajută să creați tipografia perfectă pentru site-ul dvs. Introduceți dimensiunea fontului, lățimea containerului în câmp și faceți clic pe butonul Stabilește-mi tipul! Dacă trebuie să optimizați numărul de litere pe linie, puteți introduce suplimentar o valoare CPL.
Această aplicație simplă, utilă și gratuită este disponibilă pentru Mac și PC. Introdu orice număr și aplicația va calcula a doua cifră conform principiului Rației de Aur.
Această aplicație vă permite să proiectați cu proporții aurii, economisind mult timp la calcule.
Puteți schimba formele și dimensiunile pentru a vă concentra pe proiectul dvs. O licență permanentă costă 49 USD, dar puteți descărca versiune gratuită timp de o luna.
Antrenament Secțiunea de Aur
Iată câteva tutoriale utile despre raportul de aur (engleză):
În acest tutorial de Arte Digitale, Roberto Marras arată cum să folosești Raportul de Aur în munca artistică.
Tutorial de la Tuts+ care arată cum să utilizați principiile de aur în proiectele de web design.
Un tutorial de la Smashing Magazine despre proporții și regula treimii.
Candidat stiinte tehnice V. BELYANIN, cercetător principal la Centrul de Cercetare Rusă „Institutul Kurchatov”, E. ROMANOVA, student la MADI (GTU)
Știință și viață // Ilustrații
Știință și viață // Ilustrații
Știință și viață // Ilustrații
Știință și viață // Ilustrații
Știință și viață // Ilustrații
Știință și viață // Ilustrații
Știință și viață // Ilustrații
Știință și viață // Ilustrații
Știință și viață // Ilustrații
Știință și viață // Ilustrații
Știință și viață // Ilustrații
Raportul de aur nu se preda la scoala. Și când unul dintre autorii articolului propus mai jos (Candidatul de Științe Tehnice V. Belyanin) a vorbit despre raportul de aur unui solicitant care plănuia să intre în MADI, în procesul de pregătire pentru examene la institut, problema s-a trezit în mod neașteptat. interes puternic și o mulțime de întrebări, la care s-a răspuns „la fața locului”. Am decis să le căutăm împreună și apoi s-au descoperit subtilități în raportul de aur care au ocolit anterior cercetătorilor. Creativitatea comună a condus la o muncă care confirmă încă o dată capacitățile creative ale tinerilor și dă speranța că limbajul științei nu se va pierde.
Tiparele matematicii, ca modelele unui artist sau modelele unui poet, trebuie să fie frumoase; Ideile, precum culorile sau cuvintele, trebuie combinate armonios. Frumusețea este primul criteriu: nu există loc în lume pentru matematica urâtă.
J. H. Hardy
Frumuseţe problema matematica servește drept unul dintre cele mai importante stimulente pentru dezvoltarea sa nesfârșită și motivul pentru generarea a numeroase aplicații. Uneori trec zeci, sute și uneori mii de ani, dar oamenii găsesc din nou și din nou răsturnări neașteptate într-o soluție binecunoscută și interpretarea ei. Una dintre aceste probleme de lungă durată și fascinante s-a dovedit a fi problema raportului de aur (GR), reflectând elementele de grație și armonie ale lumii din jurul nostru. Merită amintit, apropo, că, deși proporția în sine era cunoscută de Euclid, termenul „raport de aur” a fost introdus de Leonardo da Vinci (vezi „Știința și viața”).
Din punct de vedere geometric, raportul de aur presupune împărțirea unui segment în două părți inegale, astfel încât partea mai mare să fie media proporțională dintre întregul segment și partea mai mică (Fig. 1).
Din punct de vedere algebric, aceasta se exprimă după cum urmează:
Studiind această proporție chiar înainte de a o rezolva, arată că între segmente oŞi b Există cel puțin două relații surprinzătoare. De exemplu, din proporția (1) se poate obține cu ușurință expresia
care stabilește proporția dintre segmente o, b, diferența și suma lor. Prin urmare, putem spune diferit despre raportul de aur: două segmente sunt într-o relație armonioasă dacă diferența lor se referă la segmentul mai mic, în timp ce segmentul mai mare se raportează la suma lor.
A doua relație se obține dacă se ia segmentul inițial egal cu unu: o + b= 1, care este foarte des folosit în matematică. În acest caz
o 2 - b 2 = o - b = ab.
Din aceste rezultate rezultă două relații surprinzătoare între segmente OŞi b:
o 2 - b 2 = o - b = ab,(2)
care va fi folosit în viitor.
Să trecem acum la rezolvarea proporției (1). În practică, sunt utilizate două posibilități.
1. Să notăm relația o/b prin. Apoi obținem ecuația
x 2 - x - 1 = 0, (3)
De obicei, este luată în considerare doar rădăcina pozitivă x 1, dând o împărțire simplă și vizuală a unui segment într-o proporție dată. Într-adevăr, dacă luăm întregul segment ca unul, atunci, folosind valoarea acestei rădăcini x 1, primim o ≈ 0,618,b≈ 0,382.
Este rădăcina pozitivă x 1 din ecuația (3) se numește cel mai adesea raportul de aur sau proporție din raportul de aur. Diviziunea geometrică corespunzătoare a unui segment se numește raportul de aur(punct CUîn fig. 1).
Pentru comoditatea unei prezentări ulterioare, să notăm x 1 = D. Nu există încă o denumire general acceptată pentru raportul de aur. Acest lucru se datorează aparent faptului că uneori este înțeles ca un alt număr, care va fi discutat mai jos.
Rădăcina negativă, lăsată deoparte, ca de obicei x 2 duce la o împărțire mai puțin clară a segmentului în două părți inegale. Ideea este că oferă un punct de divizare CU, care se află în afara segmentului (așa-numita diviziune externă). Într-adevăr, dacă o + b= 1, apoi folosind rădăcina x 2, primim o ≈ -1,618, b≈ 2,618. Prin urmare segmentul o trebuie așezat într-o direcție negativă (Fig. 2).
2. A doua variantă de rezolvare a proporției (1) nu diferă fundamental de prima. Vom presupune că relația este necunoscută b/oși notează-l prin y. Apoi obținem ecuația
y 2 + y -1 = 0 , (4)
care are rădăcini iraţionale
Dacă o + b= 1, apoi folosind rădăcina y 1, primim o = y 1 ≈ 0,618, b≈ 0,382. Pentru rădăcină y 2 primim o ≈ -1,618, b≈ 2,618. Împărțirea geometrică a unui segment proporțional cu raportul de aur folosind rădăcini y 1 și y 2 este complet identică cu versiunea anterioară și corespunde fig. 1 și 2.
Rădăcină pozitivă y 1 dă direct soluția dorită problemei și se mai numește raportul de aur .
Pentru comoditate, notăm valoarea rădăcinii y 1 = d.
Astfel, în literatură, proporția de aur este exprimată matematic prin număr D 1.618 sau numărul d 0.618, între care există două relații uimitoare:
Dd= 1 și D - d = 1. (5)
S-a dovedit că nu există altă pereche similară de numere care să aibă aceste proprietăți.
Folosind ambele notații pentru proporția de aur, scriem soluțiile ecuațiilor (3) și (4) în formă simetrică: = D, = -d, = d, = -D.
Proprietățile neobișnuite ale raportului de aur sunt descrise suficient de detaliat în literatură. Sunt atât de uimitoare încât au captivat mințile multor gânditori remarcabili și au creat o aură de mister în jurul lor.
Proporția de aur se găsește în configurația plantelor și a mineralelor, în structura unor părți ale Universului și în scara muzicală. Ea reflectă principiile globale ale naturii, pătrunzând toate nivelurile de organizare a vieții și obiecte neînsuflețite. Este folosit în arhitectură, sculptură, pictură, știință, tehnologie informatică, la proiectarea articolelor de uz casnic. Creațiile care poartă configurația raportului de aur par proporționale și consistente, sunt întotdeauna plăcute ochiului, iar limbaj matematic Proporția de aur nu este mai puțin grațioasă și elegantă.
Pe lângă egalitățile (5) din relația (2), putem distinge trei relații interesante care au o anumită perfecțiune și arată destul de atractiv și plăcut din punct de vedere estetic:
(6)
Măreția și profunzimea naturii pot fi resimțite nu numai, de exemplu, atunci când contemplăm stelele sau piscurile muntilor, ci și privind cu privirea la niște formule uimitoare, foarte apreciate de matematicieni pentru frumusețea lor. Acestea includ relațiile elegante ale proporției de aur, fantastica formulă Euler e iπ = -1 (unde i= √-1), formula care definește celebrul număr Napier (baza logaritmilor naturali): e = lim(1 + 1/ n) n = 2,718 at n→ ∞ și multe altele.
După rezolvarea proporției (1), ideea ei pare destul de simplă, dar, așa cum se întâmplă adesea cu mulți oameni, la prima vedere sarcini simple, sunt multe subtilități ascunse în ea. Una dintre aceste subtilități remarcabile, pe care cercetătorii au trecut cu vederea până acum, este legătura dintre rădăcinile ecuațiilor (3) și (4) cu unghiurile a trei triunghiuri minunate.
Pentru a vedea acest lucru, luați în considerare modul în care un segment de linie unidimensional, împărțit în proporția raportului de aur, poate fi ușor transformat într-o imagine bidimensională sub forma unui triunghi. Pentru a face acest lucru, folosind mai întâi Fig. 1, pune deoparte pe segment AB lungimea segmentului o de două ori - din punct de vedere O spre punct ÎNși, invers, de la punct ÎNîn lateral O. Primim două puncte CU 1 și CU 2 împărțirea segmentului AB din capete diferite proporțional cu secțiunea de aur (Fig. 3). Numărarea segmentelor egale AC 1 și Soare 2 raze și punctele OŞi ÎN centrele cercurilor, desenați două arce până când se intersectează în punctul de sus CU. Conectarea punctelor OŞi CU, și de asemenea ÎNŞi CU, obținem un triunghi isoscel ABC cu părţile AB = o + b = 1, AC = = soare = o = d≈ 0,618. Mărimea unghiurilor de la vârfuri OŞi ÎN notăm α, la vârf CU- β. Să calculăm aceste unghiuri.
Prin teorema cosinusului
(AB) 2 = 2(AC) 2 (1 - cos β).
Înlocuirea valorilor numerice ale segmentelor ABŞi ACîn această formulă, obținem
În mod similar, obținem
(8)
Apariția proporției de aur într-o imagine bidimensională a făcut posibilă conectarea rădăcinilor ecuațiilor (3) și (4) cu unghiurile unui triunghi ABC, care poate fi numit primul triunghi al raportului de aur.
Să realizăm o construcție similară folosind Fig. 2. Dacă pe continuarea segmentului AB amâna de la punct ÎN la dreapta un segment egal ca dimensiune cu segmentul o, și rotiți în jurul centrelor OŞi ÎN sus ambele segmente ca raze până se ating, obținem al doilea triunghi raportul de aur(Fig. 4) . În acest triunghi isoscel, latura AB = o + b= 1, lateral AC = Soare = D≈1,618 și, prin urmare, folosind formula teoremei cosinusului, obținem
(9)
Unghiul a la vârf CU este egală cu 36 o și este legată de proporția de aur prin relația (8). Ca și în cazul precedent, unghiurile acestui triunghi sunt legate de rădăcinile ecuațiilor (3) și (4).
Al doilea triunghi al proporției de aur servește ca element constitutiv principal al unui pentagon convex regulat și stabilește proporțiile unui pentagon stelat regulat (pentagramă), ale cărui proprietăți sunt discutate în detaliu în carte.
Un pentagon stelar este o figură simetrică și, în același timp, proporția de aur asimetrică se manifestă în relațiile segmentelor sale. O astfel de combinație de contrarii atrage întotdeauna prin unitatea sa profundă, a cărei cunoaștere permite să pătrundă în legile ascunse ale naturii și să înțeleagă profunzimea și armonia lor excepțională. Pitagoreii, captivați de consonanța segmentelor din pentagonul în formă de stea, l-au ales ca simbol al comunității lor științifice.
Încă din vremea astronomului I. Kepler (sec. XVII), s-au exprimat uneori puncte de vedere diferite cu privire la ceea ce este mai fundamental - teorema lui Pitagora sau proporția de aur. Teorema lui Pitagora stă la baza matematicii, este una dintre pietrele sale de temelie. Raportul de aur stă la baza armoniei și frumuseții universului. La prima vedere, nu este greu de înțeles și nu are o minuțiozitate semnificativă. Cu toate acestea, unele dintre proprietățile sale neașteptate și profunde sunt cuprinse doar în în ultima vreme, care vorbește despre necesitatea de a-i respecta subtilitatea ascunsă și posibila versatilitate. Teorema lui Pitagora și proporția de aur în dezvoltarea lor sunt strâns legate între ele și cu proprietăți geometrice și algebrice. Nu există nicio decalaj sau diferență fundamentală între ele. Nu concurează, au scopuri diferite.
Este foarte posibil ca ambele puncte de vedere să fie egale, deoarece există un triunghi dreptunghic care conține diverse caracteristici ale proporției de aur. Cu alte cuvinte, există o figură geometrică care combină complet două fapte matematice uimitoare - teorema lui Pitagora și raportul de aur.
Pentru a construi un astfel de triunghi, este suficient să extindeți latura Soare triunghi ABC(Fig. 4) până la intersecția din punct E cu perpendiculara restabilită în punct Oîn lateral AB(Fig. 5).
Într-un triunghi intern isoscel AS unghi φ (unghi AS) este egal cu 144°, iar unghiul ψ (unghiuri EACŞi AES) este egal cu 18 o. Latura AC = SE = NE = D. Folosind teorema lui Pitagora, este ușor de găsit că lungimea piciorului
Folosind acest rezultat, ajungem cu ușurință la relație
Deci, a fost găsită o legătură directă a rădăcinii y 2 ecuații (4) - ultima dintre rădăcinile ecuațiilor (3) și (4) - cu un unghi de 144 o. În acest sens, triunghiul AS poate fi numit al treilea triunghi al raportului de aur.
Dacă într-un triunghi dreptunghic minunat AVE trasează bisectoarea unghiului TAXI până când se intersectează cu lateralul EV la punct F, apoi vom vedea asta de-a lungul lateral AB există patru unghiuri: 36 o, 72 o, 108 o și 144 o, cu care rădăcinile ecuațiilor proporției de aur sunt direct legate (relațiile (7) - (10)). Astfel, triunghiul dreptunghic prezentat conține întreaga galaxie de triunghiuri echilaterale care au caracteristicile raportului de aur. În plus, este destul de remarcabil că pe ipotenuză oricare două segmente UE= DŞi CF= 1,0 sunt în raport cu raportul de aur cu FВ = d. Unghiul ψ este legat de rădăcini DŞi d ecuațiile (3) și (4) prin relații
.
Construcțiile triunghiurilor isoscele prezentate mai sus, ale căror unghiuri sunt legate de rădăcinile ecuațiilor proporției de aur, se bazează pe segmentul original ABși părțile sale oŞi b. Cu toate acestea, raportul de aur vă permite să modelați nu numai triunghiurile descrise mai sus, ci și diverse altele forme geometrice, purtând elemente de relații armonioase.
Să dăm două exemple de astfel de construcții. În primul, luați în considerare segmentul AB, prezentat în Fig. 1. Lasă punctul CU- centrul cercului, segmentul b- raza. Să desenăm o rază b cerc și tangente la acesta dintr-un punct O(Fig. 6). Să conectăm punctele tangente EŞi F cu un punct CU. Rezultatul este un romb asimetric AECF, în care diagonala ACîl împarte în două triunghiuri dreptunghice egale ASŞi ACF.
Să acordăm mai multă atenție uneia dintre ele, de exemplu, un triunghi AS. În acest triunghi unghiul AES- linie dreaptă, ipotenuză AC = o, picior SE = bși picior AE = √ab≈ 0,486, care rezultă din relația (2). Prin urmare, piciorul AE este media geometrică (proporțională) dintre segmente oŞi b, adică exprimă centru geometric simetrii între numere o≈ 0,618 și b ≈ 0,382.
Să găsim unghiurile acestui triunghi:
Ca și în cazurile anterioare, unghiurile δ și ε sunt legate prin cosinus de rădăcinile ecuațiilor (3) și (4).
Rețineți că un romb asimetric similar cu un romb AECF, se obține prin trasarea tangentelor din punct ÎN la un cerc de rază oși centrat în punct O.
Romb asimetric AECF obtinut in alt mod in carte la analiza fenomenelor de formare si crestere in natura vie. Triunghi dreptunghic AES numit triunghi „viu” în această lucrare, deoarece este capabil să genereze imagini vizuale corespunzătoare diferitelor elemente structurale ale naturii și servind drept cheie în construirea diagramelor geometrice ale începutului dezvoltării unor organisme vii.
Al doilea exemplu este legat de primul și al treilea triunghi al raportului de aur. Din primele două triunghiuri egale ale proporției de aur formăm un romb cu unghiuri interne de 72° și 108°. În mod similar, combinăm două triunghiuri egale cu proporția de aur într-un romb cu unghiuri interne de 36° și 144°. Dacă laturile acestor romburi sunt egale între ele, atunci ele pot umple un plan infinit fără goluri sau suprapuneri. Algoritmul corespunzător pentru umplerea avionului a fost dezvoltat la sfârșitul anilor 70 ai secolului al XX-lea de către fizicianul teoretician de la Universitatea Oxford R. Penrose. Mai mult, s-a dovedit că în mozaicul rezultat este imposibil să se selecteze o celulă elementară cu un număr întreg de romburi de fiecare tip, a căror translație ar face posibilă obținerea întregului mozaic. Dar cel mai remarcabil lucru a fost că în infinitul mozaic Penrose raportul dintre numărul de romburi „înguste” și numărul celor „lați” este exact egal cu valoarea raportului de aur. d = 0,61803...!
În acest exemplu, toate rădăcinile raportului de aur, exprimate prin unghiuri, sunt combinate în mod surprinzător cu unul dintre cazurile de umplere netrivială a unui plan infinit cu două figuri elementare - romburi.
În concluzie, remarcăm că diversele exemple date mai sus ale conexiunii dintre rădăcinile ecuațiilor proporției de aur și unghiurile triunghiurilor ilustrează faptul că proporția de aur este o sarcină mai încăpătoare decât se imagina anterior. Dacă anterior sfera de aplicare a proporției de aur era considerată în cele din urmă a fi rapoartele segmentelor și diverselor secvențe asociate cu valorile numerice ale rădăcinilor sale (numerele Fibonacci), acum se descoperă că proporția de aur poate genera o varietate de obiectele geometrice, iar rădăcinile ecuațiilor au o expresie trigonometrică explicită.
Autorii sunt conștienți de faptul că punctul de vedere exprimat mai sus cu privire la eleganța relațiilor matematice asociate raportului de aur reflectă experiențe estetice personale. În literatura filozofică modernă, conceptele de estetică și frumusețe sunt interpretate destul de larg și sunt folosite mai degrabă la nivel intuitiv. Aceste concepte se referă în principal la art. Conținutul creativității științifice în termeni estetici practic nu este luat în considerare în literatură. Ca o primă aproximare a parametrilor estetici cercetarea stiintifica le putem atribui simplitatea comparativă, simetria lor inerentă și capacitatea de a genera imagini vizuale. Toți acești parametri estetici sunt îndepliniți de o sarcină numită „proporția de aur”. În general, problemele de estetică în știință sunt departe de a fi rezolvate, deși sunt de mare interes.
Se simte intuitiv că proporția de aur își ascunde în continuare secretele. Unii dintre ei, foarte posibil, zac la suprafață, așteptând privirea neobișnuită a noilor lor cercetători. Cunoașterea proprietăților raportului de aur poate servi ca o bază bună pentru oamenii creativi, oferindu-le încredere înştiinţă si in.
viaţă
LITERATURĂ 1. Shevelev I. Sh., Marutaev I. A., Shmelev I. P. Raportul de aur: Trei puncte de vedere asupra naturii armoniei.
- M.: Stroyizdat, 1990. - 343 p. 2. Stahov A.P. Codurile proporției de aur.
- M.: Radio și comunicare, 1984. - 152 p. 3. Vasyutinsky N. A. Raportul de aur.
- M.: Gardă tânără, 1990. - 238 p. 4. Korobko V. I. Proporția de aur: Câteva aspecte filozofice ale armoniei.
- M. - Orel: 2000. - 204 p. 5. Urmantsev Yu. Raportul de aur
// Natura, 1968, nr. 11. 6. Popkov V.V., Shipitsyn E.V. Raportul de aur în ciclul Carnot
// UFN, 2000, vol. 170, nr. 7. Constantin I. Fantezii cu un dodecaedru
// Știință și viață, 2001, nr. 2. 8. Shevelev I. Sh. Armonia geometrică
// Știință și viață, 1965, nr. 8. 9. Gardner M. De la plăci Penrose la cifruri puternice