Arabă bulgară chineză croată cehă daneză daneză olandeză Estonian finlandeză franceză germană greacă ebraică hindi maghiară islandeză indoneziană italiană japoneză coreeană Letonia lituaniană Malgașie norvegiană Propria Portugheză Română Rusă Serbia Slovacă Sloveniană Spaniolă Suedia Thai Turcă Vietnameză

definiție - matematică_analiză

În procesul educațional de analiză include:

În același timp, elementele de analiză funcțională și teoria integralului Lebesgte sunt prezentate opțional, iar TFCP, Calculul variațional, teoria ecuațiilor diferențiale este citită de cursuri separate. Severitatea prezentării urmează eșantioanele de la sfârșitul secolului al XIX-lea și, în special, utilizează teoria naivă a seturilor.

Programul cursului de analiză care poate fi citit în universitățile Federației Ruse este aproximativ programul cursului anglo-american "Calculul".

Istorie

Precursorii analizei matematice au fost o metodă de epuizare antică și metoda indivizibilă. Toate cele trei direcții, inclusiv analiza, rude o idee comună sursă: descompunerea pe elemente infinit de mici a căror natură, totuși, a fost prezentată autorilor ideii, mai degrabă ceață. Abordarea algebrică ( calculul este infinit de mic) Începe să apară la Valles, James Gregory și Barrow. Plin de un nou calcul ca un sistem creat Newton, care, totuși, pentru o lungă perioadă de timp nu și-a publicat descoperirile.

Data oficială a nașterii calculului diferențial poate fi considerată ca LEIBNIZ publica primul articol "Metoda nouă de Maxima și Lows ..." . Acest articol într-un formular comprimat și inutil a subliniat principiile unei noi metode numite calcul diferențial.

Leibniz și studenții săi

Aceste definiții sunt explicate geometric, în timp ce în fig. Infinit de mici dimensiuni sunt descrise de final. Considerația se bazează pe două cerințe (axiomuri). Primul:

Este necesar ca două valori să difere unul de celălalt numai pe o valoare infinit de mică, ar putea fi luate [când simplificarea expresiilor?] Asigurați-vă unul în loc de altul.

Continuarea fiecărei astfel de linii este numită tangentă la curbă. Explorarea tangentului care trece prin punct, dă lopic mare importanță magnitudinea

,

atingerea valorilor extreme la punctele de injectare ale curbei, este dată atitudinea față de aceeași semnificație specială.

Găsind remarcabil punctele extremum. Dacă cu o creștere continuă a diametrului ordonării, mai întâi crește și apoi scade, atunci diferența este mai întâi pozitivă în comparație cu, și apoi negativă.

Dar orice valoare continuă sau scădere continuă nu se poate întoarce de la pozitiv negativ, fără a trece prin infinit sau zero ... Rezultă că diferența cea mai mare și cea mai mică valoare ar trebui să fie zero sau infinit.

Probabil, această formulare nu este impecabilă dacă vă amintiți prima cerință: Lăsați-o să spună, atunci în virtutea primei cerințe

;

În zero, partea dreaptă este zero, dar stânga nu este. Aparent, prin urmare, este posibil să se transforme în conformitate cu prima cerință, astfel încât la punctul maxim. . În exemple, totul este clar clar și numai în teoria punctelor, inflexirea scrierii lopic este egală cu zero la punctul maxim, fiind împărțită.

În plus, cu ajutorul unor diferențe, sunt formulate condițiile de extremum și se iau în considerare un număr mare de sarcini complexe referitoare în principal la geometria diferențială din plan. La sfârșitul cărții, în CH. 10, a stabilit ceea ce se numește acum regula lui Lopital, deși nu este destul de obișnuită. Lăsați cantitatea curbei să fie exprimată prin fracțiune, numărătorul și numitorul căruia apelul la zero la. Apoi, punctul curbei C are o ordonare egală cu raportul dintre diferențialul numărătorului la diferența denominatorului, luată la.

Conform planului de la Lopital, acestea au fost scrise în prima parte a analizei, a doua ar fi trebuit să păstreze calculul integral, adică metoda de a găsi conexiunea variabilelor de relația cunoscută a diferențelor lor. Prima sa prezentare este dată de Johann Bernoulli în el Prelegeri matematice asupra metodei integrale . Iată o metodă pentru capturarea celor mai elementare integrale și metodele de rezolvare a multor sunt indicate. ecuatii diferentiale Prima comanda.

Indicând utilitatea practică și simplitatea noii metode a lui Leibnic a scris:

Faptul că o persoană cunoștință în acest calcul poate ajunge direct în trei rânduri, alți studenți au fost forțați să caute, după căi complexe de bypass.

Euler.

Modificările care au avut loc în următoarea jumătate de secol se reflectă în tratarea extinsă a lui Euler. Analiza analizei deschide "introducerea" cu două volume, unde sondajele sunt colectate cu privire la diferite reprezentări ale funcțiilor elementare. Termenul "funcții" pentru prima dată apare numai în Leibnitsa, dar Euler a prezentat primele roluri. Interpretarea inițială a conceptului de funcție a constat că funcția este o expresie pentru cont (aceasta. Rechnungsausdrϋck.) Or. expresie analitică.

Funcția cantității variabile este o expresie analitică compilată în orice mod de la acest număr variabil și numere sau cantități permanente.

Subliniind că "principala diferență de funcții constă în metoda de a le compila de la variabilă și constantă", Euler enumeră acțiunile ", prin care cantitățile pot fi combinate unul cu celălalt și se amestecă; Acțiunile acestora sunt: \u200b\u200badăugarea și scăderea, multiplicarea și divizarea, construirea gradului și extragerea rădăcinilor; Aceasta include, de asemenea, ecuațiile de decizie [algebrică]. În plus față de aceste acțiuni, numit algebric, există multe altele, transcendentale, cumva: orientative, logaritmice și nenumărate altele eliberate de calculul integral. " O astfel de interpretare a făcut cu ușurință referindu-se la funcții multi-valoare și nu a solicitat explicații, funcția este luată în considerare în ce domeniu: expresia scorului este definită pentru valori complexe ale variabilelor chiar și atunci când nu este necesar ca sarcina în cauză.

Operațiunile din expresie au fost permise numai în cele din urmă, iar transcendentul a pătruns cu un număr infinit de mare. În expresii, acest număr este utilizat împreună cu numerele naturale. De exemplu, se consideră că este permisă exponentă

,

În care numai autori târzii au văzut limita. Cu expresii analitice, au fost făcute o varietate de transformări, care au permis lui Euler să găsească vederi pentru funcțiile elementare sub formă de rânduri, lucrări nesfârșite etc. Euler convertește expresii în contul pe măsură ce fac în algebră, fără a acorda atenție la abilitatea de a Calculați valoarea funcției la punct pentru fiecare dintre formulele scrise.

Spre deosebire de Lopital, Euler examinează în detaliu funcțiile transcendentale și, în special, cele două clase cele mai studiate - indicative și trigonometrice. Acesta descoperă că toate funcțiile elementare pot fi exprimate utilizând acțiuni aritmetice și două operații - luând logaritmul și exponențiale.

Dovada însăși demonstrează perfect utilizarea utilizării infinit de mari. Prin definirea sinusului și a cosiniei cu ajutorul unui cerc trigonometric, Euler afișează următoarele din formulele:

Crezând și devine

,

prin eliminarea cantităților infinit de mici a unei comenzi mai mari. Folosind această expresie similară, Euler primește formula cea mai faimoasă

.

Prin specificarea diferitelor expresii pentru funcții care sunt numite acum elementare, Euler se îndreaptă spre luarea în considerare a curbelor din avion, responsabile de libera circulație a mâinii. În opinia sa, nu pentru o astfel de curbă, puteți găsi o singură expresie analitică (vezi și un argument despre șir). În secolul al XIX-lea, cu furnizarea de calm, această afirmație a fost considerată eronată: pe teorema Wieriestrass, orice curbă continuă în sensul actual poate fi descrisă aproximativ de polinomii. De fapt, Euler era greu de convins, pentru că trebuie să rescrieți limita cu un simbol.

Expunerea calculului diferențial Euler începe cu teoria diferențelor finale, urmată de el în capitolul al treilea urmărește explicația filosofică că "suma infinit de mică este exact zero", majoritatea contemporanilor lui Euler. Diferențele sunt apoi formate din diferențele finale cu o creștere infinit de mică, și din formula de interpolare Newton - formula Taylor. Această metodă este substanțială pentru lucrările lui Taylor (1715). În același timp, Euler pare o atitudine constantă, care, totuși, este considerată ca fiind raportul dintre două infinit mici. Ultimele capitole sunt dedicate calculului aproximativ folosind rândurile.

În calculul integral trotomic, Interpretul Euler introduce conceptul de integrare astfel:

Această funcție, al cărui diferențial se numește integral și este indicat de semnul setat în față.

În general, această parte a tratatului Euler este dedicată unui cel mai general cu un punct de vedere modern al sarcinii de integrare a ecuațiilor diferențiale. În același timp, Euler găsește o serie de integrele și ecuații diferențiale, ceea ce duce la noi funcții, de exemplu, funcții eliptice etc. Dovada strictă a non-elementalității a fost dată în anii 1830 ai Jacobi pentru funcții eliptice și Liouville (vezi funcțiile elementare).

Lagrang.

Următoarea lucrare majoră, care a jucat un rol semnificativ în dezvoltarea conceptului de analiză, a apărut Teoria funcțiilor analitice Lagrange și retelarea extinsă a lucrărilor Lagrange, efectuate de Lacra în câteva moduri eclectice.

Dorind să scapi deloc deloc infinit, Lagrange a atras relația dintre derivate și Taylor. Sub funcția analitică, Lagrange a înțeles funcția arbitrară studiată de metodele de analiză. El sa identificat ca și cum, oferind o metodă grafică de înregistrare a unei dependențe - Euler mai devreme a reprezentat numai variabile. Pentru a aplica metodele de analiză conform Lagrange, este necesar ca funcția să se descompune într-un rând

,

ale căror coeficienți vor fi noi caracteristici. Rămâne să se numească un derivat (coeficient diferențial) și să se refere la acesta ca. Astfel, conceptul de derivat este introdus pe cea de-a doua pagină a tratatului și fără ajutorul infinit de mic. Rămâne de observat că

,

prin urmare, coeficientul este un derivat dublu derivat, adică

etc.

Această abordare a interpretării conceptului de derivat este folosită în algebra modernă și a servit ca bază pentru crearea teoriei funcțiilor analitice Weierstrass.

Lagrange funcționa pe astfel de rânduri ca fiind formale și a primit o serie de teoreme minunate. În special, pentru prima dată și a demonstrat destul de strict solvabilitatea problemei inițiale pentru ecuațiile diferențiale obișnuite în rândurile formale de putere.

Întrebarea de evaluare a acurateței aproximațiilor livrate de sumele private a seriei Taylor a fost furnizată pentru prima dată de Lagrange: la sfârșit Teorii ale funcțiilor analitice A adus ceea ce se numește acum cu formula taylor cu membru rezidual. sub formă de Lagrange. Cu toate acestea, în contrast autori moderniLagrange nu a văzut necesitatea de a utiliza acest rezultat pentru a fundamenta convergența seriei Taylor.

Întrebarea dacă funcțiile sunt utilizate în analiză pot fi descompuse într-un rând de putere, a devenit ulterior subiectul discuției. Bineînțeles, Lagrange a fost cunoscut că la unele puncte, funcțiile elementare nu pot fi delicate într-un rând de putere, dar în aceste puncte sunt nediferențiate în orice sens. Cauchy pe cont propriu Analiza algebrică. a condus funcția ca contra cost

difrodus zero în zero. Această funcție este peste tot netedă pe axa reală și în zero are un rând zero de maclogen, care, prin urmare, nu converge. În acest exemplu, Poisson a operat că Lagrange a determinat funcția ca o singură expresie analitică, în exemplul Cauchi, funcția este setată diferit în zero și la. Numai B. tarziu xix. Un secol principeheim a demonstrat că există o funcție infinit de diferențiabilă dată de o singură expresie, rândul maclogen pentru care este divergent. Un exemplu de o astfel de funcție oferă o expresie

.

Dezvoltare ulterioară

În ultima treime a secolului al XIX-lea, Weierstrass a făcut o aritimeism a analizei, crezând că justificarea geometrică a insuficientului și a propus determinarea clasică a limitei prin intermediul limbii ε-δ. El a creat, de asemenea, prima teorie strictă a numeroaselor numere reale. În același timp, încercările de îmbunătățire a teoremei de integrare a lui Riemann au condus la crearea unei clasificări a discontinuității funcțiilor reale. Au fost, de asemenea, descoperite exemple "patologice" (funcții continue non-diferențiate care umple curbele spațiale). În acest sens, Iordania a dezvoltat teoria măsurilor, iar Kantor este teoria seturilor, iar la începutul secolului al XX-lea, analiza matematică a fost formalizată cu ajutorul lor. Un alt eveniment important al secolului XX a fost dezvoltarea analizei non-standard ca o abordare alternativă a raționamentului de analiză.

Secțiuni de analiză matematică

Vezi si

Bibliografie

Articole enciclopedice

Tutorial

Manuale standard

De-a lungul anilor, următoarele manuale au fost populare în Rusia:

Unele universități au propriile linii directoare de analiză:

• Matematică B. universitate tehnica Colecția de ajutoare didactice în volumul 21.

• Bogdanov Yu. S. Prelegeri privind analiza matematică (în două părți). - Minsk: BSU, 1974. - 357 p.

Manuale de complexitate ridicată

Tutoriale:

• Rudin U. Fundamentale ale analizei matematice. M., 1976 - O carte mică, scrisă foarte clar și comprimată.

Sarcinile de complexitate sporită:

• Polia, Sega, Sarcini și teoreme din analiză.

Glisați 2.

Analiza matematică este un set de secțiuni de matematică asupra studiului funcțiilor și al generalizărilor acestora prin metode de calcul diferențial și integral.

Glisați 3.

Metoda de epuizare

O metodă antică pentru studierea zonei sau a volumului cifrelor curbiliniare.

Glisați 4.

Metoda a fost după cum urmează: Pentru a găsi o zonă (sau volum), o formă din această figură a rezistat o secvență monotonă de alte figuri și sa demonstrat că zona (volumul) a fost o abordare nelimitată a zonei cifrei dorite.

Glisați 5.

În 1696, Lopital a scris primul manual, care stabilește o nouă metodă aplicată la teoria curbelor plate. El și-a numit analiza infinit de mică, oferind astfel unul dintre nume la noua secțiune a matematicii. În introducerea LOPIC, stabilește povestea unei noi analize, oprirea la lucrările lui Descartes, Gyugens, Leibnitsa și își exprimă, de asemenea, recunoștința față de ultimii și fraților Bernoulli.

Glisați 6.

Termenul "funcție" apare doar numai în 1692 la Leibnitsa, dar Euler a prezentat primele roluri. Interpretarea inițială a conceptului de funcție a fost că funcția este o expresie pentru un scor sau o expresie analitică.

Glisați 7.

"Teoria funcțiilor analitice" ("TH.ORIE DES FONCIES Analytiques", 1797). În "Teoria funcțiilor analitice", Lagrange își stabilește faimoasa formulă de interpolare, care a inspirat cauchi să dezvolte o justificare strictă pentru analiză.

Glisați 8.

În manualele privind analiza matematică, puteți găsi o importantă fermă Lemma. De asemenea, a formulat legea generală de diferențiere a gradelor fracționate.

Pierre de Farm (17 august 1601 - 12 ianuarie, 1665) - matematicianul francez, unul dintre creatorii geometriei analitice, analiza matematică, teoria probabilității și teoria numărului. Fermă practic de către reguli moderne Au găsit tangenți la curbele algebrice.

Glisați 9.

René Descartes (31 martie 1596 - 11 februarie, 1650) - matematician, filozof, fizician și fiziolog, creator al geometriei analitice și simbolism algebric modern. În 1637, a fost publicată lucrarea principală matematică a Descartes, "raționamentul despre metoda" din această carte a fost prezentată geometria analitică, iar în anexele - numeroase rezultate în algebră, geometrie, optică și multe altele. Trebuie remarcat faptul că simbolismul matematic al lui Vieta a fost reprodus de ei: a introdus semnele general acceptate acum semne pentru variabile și valorile dorite (x, y, z, ...) și pentru coeful alfabetic. (A, B, C, ...)

Glisați 10.

Francois Vieta (1540 -1603) - matematician francez, fondator al algebrei simbolice. De educație și de profesia principală - un avocat. În 1591, scrisoarea de notă a fost introdusă nu numai pentru valori necunoscute, ci și pentru coeficienții de ecuații pe care îl aparține înființării unei primeri uniforme a soluțiilor de ecuații de grade 2, 3 și 4. Printre descoperirile în sine, a apreciat în mod deosebit stabilirea dependenței dintre rădăcini și coeficienții ecuațiilor.

Glisați 11.

Galilee Halery (februarie 151564, PISA - ianuarie 81642) - Pysics, mecanic, astronom, filosof și matematician, care au avut un impact semnificativ asupra științei formulate de timp "Galilee Paradox": numerele naturale la fel de mult ca și pătratele lor, deși majoritatea Numerele nu sunt pătrate. Acest lucru a împins în continuare studiul naturii seturilor infinite și a clasificării acestora; Procesul de creare a teoriei seturilor încheiate.

Glisați 12.

"Noua stereometrie a butoaielor de vinuri"

Când Kepler a cumpărat vin, a fost uimit de modul în care comerciantul a determinat capacitatea butoiului. Vânzătorul a luat diviziile de la PAK, iar cu ajutorul său determină distanța de la gaura în vrac până la punctul foarte lung al cilindrului. După ce a făcut-o, el a spus imediat câți litri de vin în acest butoi. Deci, omul de știință a atras atenția asupra clasei de sarcini, a cărei studiu a dus la crearea de calcul integral.

Glisați 13.

De exemplu, pentru a găsi formula pentru volumul Torei, Kepler a lansat-o cu secțiuni de meridionale într-un număr infinit de cercuri, grosimea cărora din exterior a fost oarecum mai mult decât cu interiorul. Volumul unei astfel de cani este egal cu volumul cilindrului cu baza egală cu secțiunea transversală a torului și înălțimea egală cu grosimea canei în partea sa mijlocie. Prin urmare, a fost imediat posibil ca volumul torusului să fie egal cu volumul cilindrului, în care suprafața de bază este egală cu suprafața secțiunii transversale Torus, iar înălțimea este egală cu lungimea cercului , care punctul F este centrul secțiunii Torus transversale.

Glisați 14.

Metoda indivizibilă

Fundamentarea teoretică a noii metode de găsire a pătratelor și a volumelor a fost oferită în 1635 Kavalii. El a prezentat următoarea teză: figurile aparțin reciproc, ca toate liniile lor luate pe orice regulator [bază paralelă] și corpuri - ca toate avioanele lor luate pe orice reglementare.

Glisați 15.

De exemplu, calculează zona cercului. Formula pentru lungimea cercului: considerată cunoscută. Împingeți cercul (în stânga din figura 1) pe inele infinit mici. Luați în considerare și un triunghi (chiar în figura 1) cu o lungime de bază L și o înălțime de R, care este, de asemenea, separată prin secțiuni paralele cu baza. Fiecare inel de rază și lungime poate fi comparat una dintre secțiunile transversale ale triunghiului de aceeași lungime. Apoi, conform principiului Cavalieri, piața lor este egală. Și zona triunghiului este ușor de găsit :.

Glisați 16.

Deasupra prezentării a funcționat:

Zharkov Alexander Kiseleva Marina Ryasov Mikhail Chertnichenko Alina

Vizualizați toate diapozitivele

Secolul al XIX-lea este începutul unei noi perioade a patra în istoria matematicii - perioada de matematică modernă.

Știm deja că una dintre principalele direcții ale dezvoltării matematicii în perioada a patra este de a consolida rigurozitatea dovezilor în toate matematicii, în special restructurarea analizei matematice pe o bază logică. În a doua jumătate a secolului XXIII. Au fost făcute mai multe încercări de restructurare a analizei matematice: introducerea determinării limită (daebmber etc.), determinând derivatul atât limitei relației (Euler, etc.), rezultatele Lagrange și Carno etc., dar acestea Lucrările nu au avut suficient sistem și, uneori, nu au reușit. Cu toate acestea, ei au pregătit solul pe care restructurarea din secolul al XIX-lea. Mutat pentru a fi implementat. În secolul al XIX-lea Această direcție a dezvoltării analizei matematice a devenit cea mai importantă. Au fost angajați în O. Kashi, B. Bolzano, K. Weieshtras, etc.

1. Heutahen Louis Cauchy (1789-1857) a absolvit școala politehnică Paris și Institutul de Comunicare. Din 1816, un membru al Academiei de la Paris și profesor de școală politehnică. În 1830-1838. În anii în care era în emigrație din cauza convingerilor sale monarhiste. Din 1848, Cauchy a devenit profesor de Sorbonna - Universitatea din Paris. A publicat mai mult de 800 de analize matematice, ecuații diferențiale, teoria funcțiilor unei variabile complexe, algebră, teoria numerelor, geometria, mecanica, optica etc. Principalele domenii ale intereselor sale științifice au fost analiza matematică și teoria funcțiilor a unei variabile complexe.

Prelegerile sale pe analiza a citit într-o școală politehnică, Cauchy publicată în trei scrieri: "Curs de analiză" (1821), "Rezumatul prelegerilor privind calcularea infinit de mici" (1823), "Prelegere pe o analiză de analiză", 2 volume (1826 , 1828). În aceste cărți, pentru prima dată, analiza matematică se bazează pe teoria limitelor. Ele înseamnă începutul unei restructurări radicale a analizei matematice.

Cauchy oferă următoarea definiție a limitei variabilei: "Dacă valorile care sunt atribuite secvențial aceleiași variabile sunt nelimitate de o valoare fixă, astfel încât, în cele din urmă, există de multe ori diferit de acesta, atunci acesta din urmă este numită limita tuturor celorlalte. " Esența cazului aici este bine exprimată, dar cuvintele "cât de puțin" trebuie să fie determinate și, în plus, este formulată aici pentru a determina limita variabilei și nu limita funcției. Apoi, autorul dovedește diferitele proprietăți ale limitelor.

Cauhia provoacă apoi o astfel de determinare a funcției definitive: funcția se numește continuu (la punct), dacă creșterea infinit de mică a argumentului generează creșterea infinit de mică a funcției, adică în limba modernă

Apoi urmărește diferitele proprietăți ale funcțiilor continue.

Prima carte ia în considerare, de asemenea, teoria seriei: aceasta dă definirea sumei seriei numerice ca limită parțială, introduce o serie de semne suficiente de convergență rânduri numerice, precum și rândurile de putere și regiunea convergenței lor - toate acestea sunt atât în \u200b\u200bzona actuală, cât și în cea complexă.

Calculul diferențial și integral se prezintă în a doua carte.

Cauchy oferă o definiție a unui derivat al funcției ca limită a relației funcției funcției la creșterea argumentului, atunci când creșterea argumentului se străduiește pentru zero și diferențială, ca o limită a relației achiziția urmează acest lucru. În continuare, sunt luate în considerare formulele convenționale derivate; În același timp, autorul utilizează adesea teorema Lagrange a valorilor medii.

În calculul integral al Cauchy, pentru prima dată, un anumit integrat integrat ca concept de bază. El îl introduce pentru prima dată ca limită a sumelor integrate. De asemenea, dovedește o teoremă importantă asupra integrării unei funcții continue. Integralul nedefinit este definit ca fiind o astfel de funcție a argumentelor Togo, se ia în considerare descompunerea funcțiilor în seria de Taylor și McLoreren.

În a doua jumătate a secolului al XIX-lea. Un număr de oameni de știință: B. Riman, DARBU, etc. au găsit noi condiții pentru integrarea funcției și chiar a schimbat determinarea unui anumit integral, astfel încât acesta să poată fi aplicat integrării unor funcții discontinue.

În teoria ecuațiilor diferențiale, Cauchy a fost angajată în principal dovezi ale teoremelor existente fundamentale importante: existența soluției unei ecuații diferențiale obișnuite mai întâi și apoi ordinul; Existența unor soluții pentru un sistem liniar de ecuații cu derivați privați.

În teoria funcțiilor variabilei complexe, Cauchy este fondatorul; Ea se ocupă de multe dintre articolele lui. În secolul al XVIII-lea Euler și Daember au pus doar începutul acestei teorii. În cursul universitar al teoriei funcțiilor variabile complexe, întâlnim constant numele Cauchy: Condițiile Cauchy-Riemann ale derivatului, integralul Cauchi, formula integrală a lui Cauchi etc.; Multe teoreme de deducere a funcțiilor aparțin și Cauchy. În această zonă, B. Riman, K. Weiershtrad, P. Laurent, și alții au primit, de asemenea, în acest domeniu.

Să revenim la conceptele de bază ale analizei matematice. În a doua jumătate a secolului, sa dovedit că în zona justificării analizei mult la Cauchy și Weierschtrass Omul de știință Cehă Bernard Bolzano (1781 - 1848). El a donat limita limitei, continuitatea funcției și convergenței seriei numerice, a demonstrat criteriul pentru convergența unei secvențe numerice și, de asemenea, cu mult înainte de a apărea la Weierstrass, teorema: dacă un set numeric este limitat de la deasupra (partea de jos), atunci are o față exactă mai mică (fundală) mai mică). El a considerat o serie de proprietăți ale funcțiilor continue; Reamintim că, în cursul universitar al analizei matematice, există teoremele Bolzano - Cauchy și Bolzano - Weierstrass pe funcții care sunt continue pe segment. Bolzano a cercetat unele aspecte de analiză matematică, de exemplu, construit un prim exemplu al unei funcții continue pe un segment, dar fără a avea un derivat în nici un punct al segmentului. În viața lui Bolzano, doar cinci lucrări mici au fost capabile să publice, astfel încât rezultatele sale au devenit cunoscute prea târziu.

2. În analiza matematică, a fost resimțită absența unei definiții clare a funcției. O contribuție semnificativă la decizia litigiului este de a înțelege pe omul de știință francez Jean Fourier. El a fost angajat în teoria matematică a conductivității termice într-un solid și în legătură cu aceste rânduri trigonometrice folosite (seria Fourier)

aceste rânduri mai târziu au început să fie utilizate pe scară largă în fizica matematică - știința, care este implicată în metode matematice de studiere în fizica ecuațiilor diferențiale în instrumente derivate private. Fourier a demonstrat că orice curbă continuă, indiferent de părțile eterogene pe care le compune, puteți seta o singură expresie analitică - trigonometrică în apropiere și că acest lucru se poate face pentru unele curbe cu rupturi. Studiul unor astfel de rânduri, condus de Fourier, a pus la îndoială ce să înțeleagă sub funcție. Este posibil să presupunem că o astfel de curbă stabilește funcția? (Aceasta este reluarea vechii dispute XVIII în raportul dintre funcția și formula la noul nivel.)

În 1837, matematicianul german P. Diechle a dat mai întâi definiția actuală a funcției: "Există o funcție a unei variabile (pe reducerea fiecărei valori (pe acest segment) corespunde unei valori complet definite și este indiferentă Modul în care acest meci este stabilit - formula analitică, programul, tabelul sau chiar cu cuvintele. "De asemenea, adăugarea adăugată:" Indiferent, modul în care este stabilit această conformitate auto-conformare.

3. Standardul modern de strictețe în analiza matematică a apărut pentru prima dată în lucrările lui Weierstrass (1815-1897) pentru o perioadă lungă de timp lucrat ca profesor de matematică în gimnazii, iar în 1856 a devenit profesor la Universitatea din Berlin. Ascultatorii prelegerilor sale le-au publicat treptat sub formă de cărți individuale, datorită căruia lecturile Weierstrass a devenit bine cunoscute în Europa. A fost weietshtrad care a început să utilizeze sistematic în analiza matematică. Limite de de sus (partea de jos), are o limită finită. A început să folosească conceptele de la marginea inferioară superioară și exactă a setului numeric, conceptul de punct de limitare a setului, a demonstrat teorema (care are și celălalt autor - Bolzano): Un set numeric limitat are o limită Punctul, considerat câteva proprietăți ale funcțiilor continue. Multe lucrări Weierstrass au dedicat teoria funcțiilor unei variabile complexe, justificându-l cu ajutorul rândurilor de putere. De asemenea, a fost angajat și în calculul variației, geometria diferențială și algebra liniară.

4. Rămâi încă pe teoria seturilor infinite. Creatorul ei era matematicianul german Kantor. Georg Kantor (18451918) a lucrat de mulți ani de profesorul universității din Galle. Lucrați pe teoria seturilor publicate, începând cu anul 1870. El a dovedit incompletența unui set de numere reale, stabilind astfel existența unor seturi infinite ne-echivalente, introdusă conceptul general Puterea stabilitului, a aflat principiile de comparare a capacității. Kantor a construit teoria transfinită, numerele "interne", atribuindu-se cu cel mai mic, cel mai mic număr transfinit al puterii setului numeric (în special setul de numere naturale), puterea setului de numere valide este mai mare, mai mare număr transfinită etc.; Acest lucru ia dat ocazia de a construi aritmetica numerelor transfinite, similare cu aritmetica obișnuită a numerelor naturale. Cantor a aplicat în mod sistematic infinitul relevant, de exemplu, posibilitatea de "epuizare" pe deplin un număr natural de numere, în timp ce înainte de el în matematicianxix. Numai infinitatea potențială a fost utilizată.

Teoria seturilor de cantor la apariția sa a provocat obiecția multor matematicieni, dar a recunoscut treptat când a devenit o mare importanță pentru a justifica topologia și teoria funcțiilor variabilei reale. Dar au fost descoperite lacune logice rămase în teoria în sine, în special, au fost descoperite paradoxuri de teorie stabilită. Iată unul dintre cele mai faimoase paradoxuri. Denotă de multe dintre toate aceste seturi care nu sunt elemente elemente. Indiferent dacă este efectuată includerea și nu este elemente ca astfel de seturi care nu sunt elemente în sine sunt administrate ca elemente; Dacă furnizarea este testată, în ambele cazuri.

Aceste paradoxuri au fost asociate cu contradicțiile interne ale unor seturi. A devenit clar că în matematica nu puteți utiliza nu prin niciun set. Existența paradoxurilor a fost depășită prin crearea deja la începutul secolului XX. Teoria axiomatică a seturilor (E. Cermelo, A. Frenkel, D. Neymann, etc.), care, în special, a răspuns la întrebarea: Ce matematică multiplă poate fi utilizată? Se pare că este posibil să se utilizeze un set gol, să fuzionați aceste seturi, o multitudine de toate subseturile acestui set etc.

Conținutul articolului

Istoria matematicii.Cea mai veche activitate matematică a fost factura. Contul a fost necesar pentru a urma animalele și comerțul. Unele triburi primitive au calculat numărul de obiecte care le corelează diverse părți Corp, în principal degete și picioare. Modelul stâncos, păstrat timpului nostru de la epoca de piatră, descrie numărul 35 sub forma unei serii de degete aliniate în sus 35. Primul succes semnificativ în aritmetică a fost conceptualizarea numărului și a invenției a patru acțiuni principale: adăugarea, scăderea, multiplicarea și diviziunea. Primele realizări ale geometriei sunt asociate cu astfel de concepte simple ca fiind directe și cerc. Dezvoltarea ulterioară a matematicii a început aproximativ 3000 î.Hr. Datorită babilonienilor și egiptenilor.

Babilonia și Egipt

Babilonia.

Sursa cunoștințelor noastre despre civilizația babiloniană este plăcile de lut conservate bine acoperite de așa-numitul Textele Klinox care sunt datate din 2000 î.Hr. și până la 300 de anunțuri Matematica asupra semnelor clinox a fost în principal legată de gestionarea economiei. Algebra aritmetică și non-hard a fost utilizată în schimbul de bani și calcule pentru bunuri, calculând interesul, impozitele și recoltele simple și complexe, predate statului, templului sau proprietarului de teren. Numeroase sarcini aritmetice și geometrice au apărut în legătură cu construcția de canale, granarii și alte lucrări publice. O sarcină foarte importantă a matematicii a fost calculul calendarului, deoarece calendarul a fost folosit pentru a determina termenii muncii agricole și a sărbătorilor religioase. Divizia circumferinței este de 360, iar gradele și momentele din cele 60 de părți provin din astronomia babiloniană.

Babilonienii au creat, de asemenea, un sistem numeric utilizat pentru numere de la 1 la 59. Simbolul notat de unul, numărul dorit de câte ori pentru numerele de la 1 la 9 a fost repetat. Pentru a desemna numere de la 11 la 59, babilonienii au folosit o combinație a numărului de 10 caractere și un singur simbol. Pentru a desemna numerele de la 60 și mai mulți babilonieni au introdus un sistem de numere de poziție cu o bază 60. Principiul pozițional a fost promovarea substanțială, conform căreia același semn numeric (simbol) are semnificații diferite, în funcție de locul în care se află. Un exemplu este valorile celor șase în numărul 606 de înregistrare (modern) 606. Cu toate acestea, zero în sistemul numărului de babiloneni vechi a fost absent, motiv pentru care același set de caractere ar putea însemna numărul 65 (60 + 5), și numărul 3605 (60 2 + 0 + 5). Ambiguitățile au apărut în interpretarea fracțiunilor. De exemplu, aceleași caractere ar putea însemna numărul 21 și fracțiunea 21/60 și (20/60 + 1/60 2). Ambiguitatea a fost rezolvată în funcție de contextul specific.

Babilonienii au constituit tabelele numerelor inverse (care au fost folosite în execuția diviziunii), tabele de pătrate și rădăcini pătrate, precum și mese de cuburi și rădăcini cubice. Ei cunoșteau o bună aproximare a numărului. Textele Klinox dedicate soluției de probleme algebrice și geometrice indică faptul că au folosit formula patrată pentru rezolvarea ecuațiilor pătrate și ar putea rezolva unele tipuri speciale de sarcini, care au inclus până la zece ecuații cu zece necunoscute, precum și anumite tipuri de ecuații cubice și a patra ecuații. Pe semnele de lut, sunt capturate numai sarcinile și pașii principali ai procedurilor pentru soluția lor. Deoarece terminologia geometrică a fost utilizată pentru a desemna valori necunoscute, metodele de soluții au fost realizate în principal în acțiuni geometrice cu linii și zone. În ceea ce privește problemele algebrice, au formulat și au fost rezolvate în notație verbală.

Aproximativ 700 î.Hr. Babilonienii au început să aplice matematică pentru a studia mișcările Lunii și a planetelor. Acest lucru le-a permis să prezică pozițiile planetelor, care a fost important atât pentru astrologie, cât și pentru astronomie.

În geometrie, babilonienii știau despre astfel de relații, de exemplu, ca proporționalitate a părților respective la triunghiuri similare. Ei erau cunoscuți de teorema lui Pythagore și faptul că colțul inscripționat în semicerc este drept. Ele au, de asemenea, regulile de calcul al zonelor cu figuri plane obișnuite, inclusiv poligoane dreapta, și cantități de corpuri simple. Număr p. Babilonienii au fost considerați a fi 3.

Egipt.

Cunoștințele noastre despre matematica egipteană antică se bazează în principal pe două papirus datând de la aproximativ 1700 î.Hr. Spunând în aceste informații matematice de papirus, reveniți la o perioadă și mai devreme - aprox. 3500 î.Hr. Egiptenii au folosit matematica pentru a calcula greutatea corpurilor, a zonei culturilor și a volumelor de granarii, mărimea filtrelor și numărul de pietre necesare pentru construirea anumitor structuri. În Papirus, puteți găsi, de asemenea, probleme legate de determinarea cantității de cereale necesare pentru pregătirea unui număr dat de cercuri de bere, precum și sarcini mai complexe asociate diferenței de soiuri de cereale; Pentru aceste cazuri au fost calculate coeficienții tradusi.

Dar zona principală de aplicare a matematicii a fost astronomia, mai precis, calculele asociate calendarului. Calendarul a fost folosit pentru a determina datele sărbătorilor religioase și predicțiile deversărilor anuale ale Nilului. Cu toate acestea, nivelul de dezvoltare a astronomiei în Egiptul antic a fost mult inferior nivelului dezvoltării sale în Babilon.

Scrierea egipteană antică se bazează pe hieroglife. Sistemul de intervenție chirurgicală a acelei perioade, de asemenea, inferior Babilonianului. Egiptenii au folosit sistemul zecimal non-eșantion în care numerele de la 1 la 9 au fost desemnate de numărul corespunzător de picături verticale, iar simbolurile individuale au fost introduse pentru grade succesive ale numărului 10. Combinând în mod consecvent aceste caractere, a fost posibilă scrierea oricărui număr. Odată cu apariția papirusului, așa-numita scrisă de scutelă și a contribui, la rândul său, apariția unui nou sistem numeric. Pentru fiecare dintre numerele de la 1 la 9 și pentru fiecare dintre primele nouă numere 10, 100, etc. A fost utilizat un caracter special de identificare. Fracțiunile au fost scrise sub formă de fracțiuni cu numărător, unitate egală. Cu astfel de fracții, egiptenii au produs toate cele patru operațiuni aritmetice, dar procedura pentru astfel de calcule a rămas foarte greoaie.

Geometria în egipteni a fost redusă la calculele zonelor de dreptunghiuri, triunghiuri, trapezoide, un cerc, precum și formule pentru calcularea unor corpuri. Trebuie spus că matematicianul, pe care egiptenii folosiți în construcția piramidelor, era simplu și primitiv.

Sarcinile și soluțiile date în Papirus sunt formulate cu prescripție pur, fără nicio explicație. Egiptenii s-au ocupat doar de cele mai simple tipuri de ecuații pătrate și progresii aritmetice și geometrice și, prin urmare, reguli generaleEi au reușit să se retragă, au fost și cea mai simplă viziune. Nici matematicienii babilonieni, nici egipteni nu au avut metode comune; Întregul set de cunoștințe matematice a fost acumularea de formule și reguli empirice.

Deși Maya, care a trăit în America Centrală, nu a afectat dezvoltarea matematicii, realizările lor referitoare la aproximativ 4 c., Merită atenția. Maya pare a fi primul care folosește un simbol special pentru a desemna zero în sistemul său de douăzeci și vechi. Aveau două sisteme de numerotare: hieroglifele au fost folosite într-una, iar în altul, mai frecvente, punctul a indicat unitatea, linia orizontală - numărul 5 și simbolul a indicat zero. Notația de poziție a început cu numărul 20, iar numerele au fost înregistrate vertical de sus în jos.

Matematica greacă

Grecia clasică.

Din punctul de vedere al secolului al XX-lea. Preoții gemeni ai matematicii au fost grecii perioadei clasice (6-4 secole. BC). Matematica care a existat într-o perioadă anterioară a fost un set de concluzii empirice. Dimpotrivă, în raționamentul deductiv, o nouă declarație este derivată din parcelele primite într-o manieră cu excepția posibilității respingerii sale.

Într-adevărul grecii pe dovezi deductive a fost un pas extraordinar. Nici o altă civilizație nu a atins ideea obținerii de concluzii numai pe baza unui argument deductiv care emană de la formularea explicită formulată de axiomuri. Una dintre explicațiile angajamentului grec față de metodele de deducere pe care le găsim în dispozitivul societății grecești din perioada clasică. Matematica și filozofii (adesea aveau aceleași persoane) aparținând celor mai înalte secțiuni ale societății, unde orice activitate practică a fost considerată o ocupație nevrednică. Matematica preferată raționamentul abstract despre numere și relații spațiale pentru a rezolva sarcini practice. Matematica împărtășită pe aritmetică - aspect teoretic și logistica este un aspect computațional. Logistica a oferit clase libere și sclavi liberi.

Natura deductivă a matematicii grecești a fost integrată pe deplin de timpul lui Platon și Aristotel. Invenția matematicii deductive este obișnuită pentru a atribui Fales Kiletsky (aproximativ 640-546 î.Hr.), care, ca multe matematice grecești antice din perioada clasică, a fost, de asemenea, un filosof. Sa sugerat că falele au folosit deducerea pentru a dovedi unele rezultate în geometrie, deși este îndoielnic.

Un alt mare grec, al cărui nume este asociat cu dezvoltarea matematicii, a fost Pythagoras (aproximativ 585-500 î.Hr.). Se crede că se poate familiariza cu matematica babiloniană și egipteană în timpul iernii lungi. Pythagoras a fondat o mișcare, înflorirea cădează pentru perioada de aprox. 550-300 î.Hr. Pythagoreanii au creat matematică pură sub forma teoriei numerelor și geometriei. În numere întregi, au reprezentat sub formă de configurații din puncte sau pietricele, clasificând aceste numere în conformitate cu forma figurilor emergente ("numere figure"). Cuvântul "calcul" (calcul, calcul) provine din cuvântul grecesc care înseamnă "pietricele". Numbers 3, 6, 10, etc. Pitagoreenii au fost numiți triunghiulari, deoarece numărul corespunzător de pietricele poate fi aranjat ca un triunghi, numerele 4, 9, 16, etc. - pătrat, deoarece numărul corespunzător de pietricele poate fi poziționat sub forma unui pătrat etc.

Dintre configurațiile geometrice simple, au avut loc câteva proprietăți ale numerelor întregi. De exemplu, pythagoreenii au descoperit că suma a două numere triunghiulare consecutive este întotdeauna egală cu un anumit număr pătrat. Au descoperit că dacă (în simboluri moderne) n. 2 - Numărul pătrat, atunci n. 2 + 2n. +1 = (n. + 1) 2. Numărul egal cu suma tuturor divizorilor săi, cu excepția acestui număr în sine, pithagoreenii au fost numiți perfecți. Exemple de numere perfecte pot servi ca numere întregi ca 6, 28 și 496. Două numere ale pitagoreenilor au fost numite prietenoase, dacă fiecare dintre numere este egal cu cantitatea de alți divizori; De exemplu, 220 și 284 de numere prietenoase (și aici numărul în sine este exclus de la propriii divizori).

Pentru pythagoreans, orice număr a fost mai mult decât valoarea cantitativă. De exemplu, numărul 2 în funcție de aspectul lor a însemnat diferența și, prin urmare, identificată cu avizul. Patru a reprezentat corectitudinea, deoarece acesta este primul număr egal cu munca a doi factori identici.

Pythagoreenii au descoperit, de asemenea, că suma unor perechi de numere pătrate este din nou un număr pătrat. De exemplu, cantitatea 9 și 16 este de 25 și suma 25 și 144 este de 169. Astfel de trei numere, ca 3, 4 și 5 sau 5, 12 și 13, se numesc Pythagoras. Acestea au o interpretare geometrică, dacă două numere din troică echivalează lungimile catetelor triunghiului dreptunghiular, atunci al treilea număr va fi egal cu lungimea ipotezei sale. O astfel de interpretare, aparent, a condus pithagoreenii la conștientizarea unui fapt mai general cunoscut teoremei Pitagora, conform cărora, în orice triunghi dreptunghiular, pătratul lungimii de hipotenuse este egal cu suma pătratelor de lungime a lungimii cattete.

Având în vedere un triunghi dreptunghiular cu obiceiuri unice, pithagoreenii au descoperit că lungimea ipotezei sale este egală și le-a arătat în confuzie, căci au încercat în zadar să prezinte un număr de două numere întregi, ceea ce a fost extrem de important pentru filozofia lor. Valorile, nerepedabile sub forma relației întregi numitelor, pitagoreenii au fost numiți incomensurabili; Termen modern - "numere iraționale". Aproximativ 300 î.Hr. Euclid a demonstrat că numărul este incomensurabil. Pitagoreenii au tratat numere iraționale, reprezentând toate valorile imaginilor geometrice. Dacă 1 și luați în considerare lungimile unor segmente, atunci diferența dintre numerele raționale și iraționale este netezită. Produsul de numere și există o zonă dreptunghi cu părțile laterale de lungime și. Astăzi, uneori vorbim despre numărul 25 ca pătrat 5, dar pe numărul 27 - ca Cuba 3.

Grecii antice au rezolvat ecuații cu necunoscute prin construcții geometrice. Construcții speciale au fost dezvoltate pentru a efectua adăugarea, scăderea, multiplicarea și împărțirea segmentelor, extragerea rădăcinilor pătrate de la lungimile segmentelor; Acum, această metodă se numește o algebră geometrică.

Activitățile de desfășurare a aspectului geometric au avut o serie de consecințe importante. În special, numerele au început să fie considerate separat de geometrie, deoarece a fost posibil să se lucreze cu relații incomensurabile cu ajutorul metodelor geometrice. Geometria a devenit baza aproape a tuturor matematicii stricte cel puțin până la 1600. Și chiar și în secolul al XVIII-lea, algebra și analiza matematică au fost deja suficient de dezvoltate, matematica strictă a fost interpretată ca geometrie, iar cuvântul "geometru" a fost echivalent cu cuvântul "matematician".

Este pythagoreenii care sunt în mare parte deținute de acea matematică, care a fost apoi sistematizată și dovedită în Început Euclidea. Există motive să credem că au fost cei care au deschis că acum cunoscuți ca teoreme pe triunghiuri, paralel direct, poligoane, cercuri, sfere și poliedra dreaptă.

Unul dintre cei mai remarcabili pirhagoreni a fost Platon (aprox. 427-347 î.Hr.). Platon a fost convins că lume fizică Umpleți numai prin matematică. Se crede că este realizarea invenției unei metode analitice de dovadă a invenției. (O metodă analitică începe cu aprobarea care este necesară pentru a dovedi, iar apoi consecințele sunt afișate secvențial de la acesta până când se atinge un fapt bine cunoscut; dovada este obținută prin procedură inversă.) Se presupune că adepții lui Platon au inventat metoda de probă, Numit "Dovada Nasty". Un loc proeminent în istoria matematicii este ocupat de Aristotel, Pupin Platon. Aristotel a pus bazele științei logicii și a exprimat o serie de idei privind definițiile, axiomul, infinitul și posibilitatea construcțiilor geometrice.

Cea mai mare dintre matematicienii greci din perioada clasică, pierdută la importanța rezultatelor obținute numai de arhitectura, a fost Evdox (aprox. 408-355 î.Hr.). El a fost cel care a introdus conceptul de mărime pentru astfel de obiecte ca și segmentele drepte și colțurilor. Având conceptul de magnitudine, Euddox logic a fundamentat strict metoda pitagoreană de circulație a numerelor iraționale.

Lucrarea lui Euddoxa a avut dreptul să stabilească o structură deductivă a matematicii pe baza axiomelor formulate în mod evident. De asemenea, deține primul pas în crearea unei analize matematice, deoarece a inventat modul de calcul al zonei și a volumelor care numite "metoda epuizării". Această metodă constă în construirea înscrierilor și descrise figuri plate sau corpuri spațiale, care sunt umplute ("evacuare") zona sau volumul figurii sau corpul respectiv, care este subiectul studiului. Euddox deține, de asemenea, prima teorie astronomică care explică mișcarea observată a planetelor. Teoria propusă de Eudoks a fost pur matematică; Acesta a arătat cum combinația de sfere rotative cu diferite raze și axe de rotație poate explica mișcările aparent neregulate ale soarelui, Luna și planetele.

Aproximativ 300 î.Hr. Rezultatele multor matematicieni greci au fost reduse la o singură euclidă, scriind o capodoperă matematică start. Dintre câteva axiomele selectate în mod privat, Euclium a adus aproximativ 500 de teoreme care au înghițit cele mai importante rezultate ale perioadei clasice. Euclide și-a început euclidul cu privire la definirea unor astfel de termeni, precum directă, unghi și cerc. Apoi a formulat zece adevăruri evidente, cum ar fi "un întreg mai mult decât oricare dintre părți". Și din aceste zece axe, Euclium a reușit să obțină toate teoremele. Pentru textul matematicienilor A început Euclida a servit mult timp ca un eșantion de rigoare, în timp ce în 19 V. Nu a constatat că există dezavantaje grave, cum ar fi utilizarea inconștientă a ipotezelor necalificate.

Apolloniu (aproximativ 262-200 î.Hr.) a trăit în Alexandria, dar lucrarea sa principală este anulată în spiritul tradițiilor clasice. Analiza secțiunilor conice - cercuri, elipse, parabole și hiperbele au fost punctul culminant al dezvoltării geometriei grecești. Apollonium a devenit, de asemenea, fondatorul astronomiei matematice cantitative.

Alexandria.

În această perioadă, aproximativ 300 î.Hr., caracterul matematicii grecești sa schimbat. Alexandria Matematica a apărut ca urmare a fuziunii matematicii grecești clasice cu matematica Babiloniei și Egiptului. În general, matematica perioadei Alexandria a fost mai predispusă la rezolvarea sarcinilor pur tehnice decât filozofiei. Marele matematicieni Alexandrian - Eratosthen, Arhimedes, Hipparh, Ptolemeu, Diofantul și Papp - au demonstrat puterea geniului grec în abstractizare teoretică, dar la fel de bună de bunăvoie a talentului lor de a rezolva probleme practice și sarcini pur cantitative.

Eratosthene (aproximativ 275-194 î.Hr.) a găsit o metodă simplă pentru calcularea exactă a lungimii circumferinței pământului, el aparține și calendarului, în care fiecare al patrulea an are mai mult de o zi decât alții. Astronomer Aristarh (aproximativ 310-230 î.Hr.) a scris un eseu Pe mărimea și distanțele soarelui și ale luniiconținând una dintre primele încercări de a determina aceste dimensiuni și distanțe; În natura sa, activitatea Aristrk a fost geometrică.

Cel mai mare matematician al antichității a fost arhimed (aproximativ 287-212 î.Hr.). Acesta aparține formulării multor teoreme pe zonele și volumele de forme și corpuri complexe, destul de strict dovedite de metoda de epuizare. Arhimede au căutat întotdeauna să obțină soluții exacte și au găsit estimările superioare și inferioare pentru numerele iraționale. De exemplu, lucrul cu partea dreaptă de 96 de ani, a demonstrat impecabil faptul că valoarea exactă a numărului p. Situat între 3 1/7 și 3 10/71. Archimedes a demonstrat, de asemenea, mai multe teoreme care conțin rezultate noi ale algebrei geometrice. Acesta deține formularea sarcinii disecției mingelor cu avionul, astfel încât segmentele să fie între ele într-o atitudine dată. Arhimede au decis această sarcină, găsind traversarea parabolei și a hiperbele egale.

Arhimedes a fost cel mai mare fizician matematic al antichității. Pentru a dovedi teoremele mecanicii, a folosit considerații geometrice. Eseul său Pe corpuri plutitoare Bazat elementele de bază ale hidrostaticii. Potrivit legendei, Archimența și-a deschis numele, conform căreia forța de împingere a corpului, egală cu greutatea fluidului, acționează în timpul înotului, în timp ce în baie și incapabil să facă față descoperirii Cu bucuria, a fugit dezbrăcat pe stradă cu un strigăt: "Eureka!" ("Deschis!")

În timpul Arhimedes, nu mai era limitat la construcțiile geometrice, efectuate numai cu ajutorul unei circulații și a unui conducător. Arhimeda a folosit în construcțiile sale o spirală, iar Diokles (End 2 V. BC) au rezolvat problema dublării Cubei folosind curba introdusă de ea, numită Cissoid.

În perioada Alexandria, aritmetica și algebra au fost considerate indiferent de geometrie. Grecii perioadei clasice au avut o teorie logică a numerelor întregi, dar grecii Alexandrian, percepând aritmetica și algebra babiloniană și egipteană, au pierdut deja idei deja acumulate despre rigoarele matematice. Care trăiesc între 100 î.Hr.. și 100 d.Hr. Geron Alexandian a transformat o parte semnificativă a algebrei geometrice a grecilor în proceduri computaționale sincer incredibile. Cu toate acestea, dovedind noi teoreme ale geometriei Euclidean, el a fost încă ghidat de standardele severității logice a perioadei clasice.

Prima carte cea mai mare, în care aritmetica se afla indiferent de geometrie Introducere în aritmetică Nikomach (aprox. 100 AD). În istoria aritmetică, rolul său este comparabil cu rolul A început Euclida în istoria geometriei. Pentru mai mult de 1000 de ani, acesta a servit ca un manual standard, deoarece este clar, în mod clar și cuprinzător despre întregi (obișnuite, compozite, reciproc simple, precum și despre proporții). Repetând multe declarații pitagoreene, Introducere Nikomakh, în același timp, a continuat, când au văzut pe oricine mai multe relații generale, deși le-a condus fără dovadă.

O piatră de hotar semnificativă în algebra grecilor Alexandrian a fost lucrarea diofanta (aproximativ 250). Una dintre realizările sale principale este asociată cu introducerea simbolismului în algebră. În lucrările sale, Diofantul nu a oferit metode comune, el sa ocupat de numere raționale pozitive specifice și nu cu notația lor scrisă. El a pus bazele așa-numitelor. Analiza Diophantov este studiul ecuațiilor incerte.

Cea mai mare realizare a matematicienilor Alexandrieni a fost crearea de astronomie cantitativă. Hipparhu (aprox. 161-126 î.Hr.) suntem obligați de invenția trigonometriei. Metoda sa sa bazat pe teorema argumentând că, în astfel de triunghiuri, raportul dintre lungimile oricărei laturi ale uneia dintre ele este egal cu atitudinea lungimilor celor două laturi ale celuilalt. În special, raportul dintre lungimea categoriei culcat împotriva unghiului acut DAR În triunghiul dreptunghiular, la lungimea ipotezei ar trebui să fie aceeași pentru toate triunghiurile dreptunghiulare, având același unghi ascuțit DAR. Această relație este cunoscută sub numele de unghi sinusal DAR. Relațiile dintre lungimile altor părți ale triunghiului dreptunghiular au fost numite cosinie și unghi tangent DAR. Hipparch a inventat metoda de calculare a unor astfel de relații și a compilat tabelele lor. Având aceste tabele și distanțe ușor măsurabile pe suprafața Pământului, a fost capabil să calculeze lungimea cercului său mare și distanța până la Lună. Conform calculelor sale, raza lunii a fost o treime din raza Pământului; Conform datelor moderne, raportul dintre raditatea lunii și a Pământului este de 27/1000. Hippal a determinat durata unui an însorit cu o greșeală de numai 6 1/2 minute; Se crede că el a fost cel care a introdus latitudine și longitudine.

Trigonometria greacă și aplicațiile sale în astronomie au atins vârful dezvoltării lor în Almagsta. Egiptean Claudia Ptolemeu (a murit în 168 d.Hr.). ÎN Almagsta. Teoria mișcării corpurilor cerești a fost prezentată, care a fost dominată de până la 16 secole, când a fost schimbată de Teoria Copernicus. Ptolemeu a căutat să construiască cel mai simplu model matematic, conștient că teoria sa este doar o descriere matematică convenabilă a fenomenelor astronomice, coordonată cu observații. Teoria Copernicus a câștigat tocmai pentru că sa dovedit a fi mai ușor.

Grecia declin.

După cucerirea Egiptului, Romani la 31 î.Hr. Great civilizația Grecia Alexandria a scăzut. Cicero a argumentat cu mândrie că, spre deosebire de greci, romanii nu erau visători și, prin urmare, aplică cunoștințele lor matematice în practică, eliminând beneficiile reale ale acestora. Cu toate acestea, în dezvoltarea matematicii în sine, contribuția romanilor a fost nesemnificativă. Sistemul numeric roman a fost bazat pe notația voluminoasă a numerelor. Caracteristica sa principală a fost un principiu aditiv. Chiar și principiul scăderii, de exemplu, înregistrarea numărului 9 sub formă de IX, a devenit utilizat pe scară largă numai după inventarea litrului de setare la 15 V. Denumirile romane ale numerelor au fost folosite în unele școli europene la aproximativ 1600 și în contabilitate și un secol mai târziu.

India și arabii

Succesorii grecilor din istoria matematicii erau indieni. Matematicienii indieni nu s-au ocupat de dovezi, dar au introdus concepte originale și o serie de metode eficiente. Au fost cei care au introdus mai întâi zero și ca număr cardinal și ca un simbol al absenței unităților în descărcarea corespunzătoare. Mahavira (850 AD) a stabilit regulile de operațiuni cu zero, crezând, totuși, că împărțirea numărului la zero lasă numărul neschimbat. Răspunsul corect pentru cazul de împărțire a numărului la zero a fost dat de Bhaskara (R. din 1114), el aparține și regulilor de acțiune asupra numerelor iraționale. Indienii au introdus conceptul de numere negative (pentru a desemna datorii). Cea mai timpurie utilizare pe care o găsim Brahmagupta (aproximativ 630). Ariabhata (R. 476) a mers pe DioPhanta pentru a folosi fracțiuni continue în rezolvarea ecuațiilor incerte.

Al nostru sistem modern Nici unul Bazat pe principiul pozițional al înregistrării numerelor și a zero ca număr cardinal și utilizarea desemnării unei descărcări goale se numește indo-arabă. Pe peretele templului, construit în India ok. 250 î.Hr., mai multe numere seamănă cu cifrele noastre moderne pe contururile lor sunt descoperite.

Aproximativ 800 de matematică indiană a ajuns la Bagdad. Termenul "algebră" vine de la începutul numelui cărții Al-JEBR VA L-MUKABALA (Reaprovizionarea și contrastul) A scris în 830 Astronomer și matematician al-Khorezmi. În eseul său, el a acordat meritul datorită matematicii indiene. Algebra al-Khorezmi a fost fondată pe scrierile lui Brahmagupta, dar distinge în mod clar influențele babiloniene și grecești. Un alt matematician arabnic remarcabil IBN al-Haysam (aproximativ 965-1039) a dezvoltat o metodă de obținere soluții algebrice ecuații pătrate și cubice. Matematica arabă, printre care și Omar Khayam, știa cum să rezolve unele ecuații cubice folosind metode geometrice folosind secțiuni conice. Astronomii arabi au introdus conceptul de tangent și kotence în trigonometrie. NASIDIN TUSI (1201-1274) în Tratamentul cvadranglelor complete Geometria plană și sferică prezentată în mod sistematic și prima trigonometrie considerată separat de astronomie.

Și totuși, cea mai importantă contribuție a arabilor în matematică a fost traducerile și comentariile lor despre marile creații ale grecilor. Europa sa familiarizat cu aceste lucrări după cucerirea arabilor Africa de Nord Și Spania, iar mai târziu, lucrările grecilor au fost traduse în latină.

Evul mediu și renaștere

Europa medievală.

Civilizația romană nu a lăsat o amprentă vizibilă în matematică, deoarece era prea preocupată de soluționarea problemelor practice. Civilizația, care a fost stabilită în Europa a Evului Mediu timpuriu (aproximativ 400-1100), nu a fost productivă pentru motivul exact opus: viața intelectuală sa concentrat aproape exclusiv pe teologie și viața de apoi. Nivelul cunoștințelor matematice nu sa ridicat deasupra secțiunilor aritmetice și simple de la A început Euclidea. Astrologia a fost considerată cea mai importantă secțiune a matematicii din Evul Mediu; Astrologov numit matematicieni. Și din moment ce practica medicală sa bazat în primul rând pe mărturia astrologică sau contraindicații, nu rămâne altcineva, ca fiind matematicienii.

Aproximativ 1100 în matematica din Europa de Vest au început perioada de aproape trei linii de dezvoltare a patrimoniului conservat de arabi și grecii bizantini Mira veche. și est. Din moment ce arabii au deținut aproape toate lucrările grecilor antice, Europa a primit o literatură matematică extinsă. Traducerea acestor lucrări la latină a contribuit la creșterea cercetării matematice. Toți cei mari oameni de știință din acel moment au recunoscut că au devenit inspirație în lucrările grecilor.

Primul care merită menționat matematicianul european a fost Leonardo Pisa (Fibonacci). În eseul său Abaca carte (1202) El a introdus europenii cu figuri și metode de computere indo-arabă, precum și cu algebra arabă. În următoarele câteva secole, activitatea matematică din Europa a slăbit. Arbitrarea cunoașterii matematice a acelui epocă compusă din Pachet în 1494 nu conțineau inovații algebrice pe care leonardo nu a fost.

Renaştere.

Printre cele mai bune geometre ale Renașterii, artiștii care au dezvoltat ideea unei perspective, care necesită o geometrie cu convergente paralel drept. Artistul Leon Battista Alberti (1404-1472) a introdus conceptele de proiecție și secțiune transversală. Razele drepte ale luminii din ochiul observatorului în diferite puncte ale imaginii scenei formează o proiecție; Secțiunea transversală este obținută prin trecerea planului prin proiecție. Pentru ca pictura de pictura să fie realistă, ea a trebuit să fie o secțiune atât de transversală. Conceptele de proiecție și secțiune au cheltuit probleme pur matematice. De exemplu, ce proprietăți geometrice comune au o secțiune și o scenă sursă, care sunt proprietățile a două secțiuni diferite ale aceleiași proiecții formate din două planuri diferite care traversează proiecția în diferite unghiuri? Din astfel de probleme și geometria proiectivă a apărut. Fondatorul său - J.Desarg (1593-1662) cu ajutorul dovezilor bazate pe proiecție și secțiune, abordare unificată a diferitelor tipuri de secțiuni conice, pe care marele geometru de apolonium grecesc a luat în considerare separat.

Începutul matematicii moderne

Ofensator 16 V. în Europa de Vest marcate cu realizări importante în algebră și aritmetică. Decimările și regulile pentru acțiunile aritmetice cu acestea au fost puse în mod introfele. Acest triumf a fost invenția în 1614 logaritms j.nerom. Până la sfârșitul secolului al XVII-lea. A înțeles înțelegerea logaritmilor ca indicatori ai gradului cu orice alt număr pozitiv decât unitatea, ca bază. De la începutul secolului al XVI-lea. Numerele iraționale sunt utilizate pe scară largă. B. Pascal (1623-1662) și I. Barrow (1630-1677), profesor I.Nuton la Universitatea din Cambridge, a susținut că o astfel de dată, cum ar fi, poate fi interpretată doar ca o valoare geometrică. Cu toate acestea, în aceleași ani, R. Dekart (1596-1650) și J. Willis (1616-1703) a crezut că numerele iraționale sunt permise și de la sine, fără referințe la geometrie. În secolul al XVI-lea Litigiile au continuat cu privire la legalitatea introducerii numerelor negative. Sunt luate în considerare și mai puțin acceptabile, numere complexe care apar în rezolvarea ecuațiilor pătrate, cum ar fi decenii "imaginare". Aceste numere au fost suspecte chiar și în secolul al XVIII-lea, deși L. Steeler (1707-1783) a fost utilizat cu succes de ei. Numerele complexe au fost în cele din urmă recunoscute numai la începutul secolului al XIX-lea, când matematica a fost stăpânită cu reprezentarea lor geometrică.

Realizări în algebră.

În secolul al XVI-lea Matematicienii italieni N.Tartalia (1499-1577), S. DAL FERRO (1465-1526), \u200b\u200bL. Ferrari (1522-1565) și D. Cardano (1501-1576) au găsit soluții generale la ecuațiile de grade al treilea și a patra . Pentru a face argumente algebrice și înregistrarea lor mai precis, au fost introduse o mulțime de caractere, inclusiv +, -, ґ, \u003d,\u003e și<.>b 2 - 4 aC.] ecuație pătrată., și anume acea ecuație tOPOR. 2 + bx. + c. \u003d 0 are rădăcini valabile, diferite, valabile sau comprehensiv conjugate, în funcție de faptul dacă va fi discriminatorul b. 2 – 4aC. egal cu zero, mai mult sau mai puțin zero. În 1799 K.Fridrich Gauss (1777-1855) a demonstrat așa-numitul. Teorema principală a algebrei: fiecare polinom n.gradul are exact n. rădăcini.

Sarcina principală a algebrei este de a căuta o soluție generală de ecuații algebrice - a continuat să ocupe matematicieni și la începutul secolului al XIX-lea. Când vorbesc despre soluția globală a ecuației de gradul doi tOPOR. 2 + bx. + c. \u003d 0, înseamnă că fiecare dintre cele două rădăcini pot fi exprimate folosind un număr finit de operații de adăugare, scădere, multiplicare, divizare și extracție a rădăcinilor produse deasupra coeficienților a., b. și din. Tânărul matematician norvegian N.ABEL (1802-1829) a demonstrat că este imposibil să se obțină o soluție generală a ecuației de gradul de mai sus 4 utilizând un număr finit de operații algebrice. Cu toate acestea, există multe ecuații cu un grad special mai mare de 4, permițând o astfel de soluție. În ajunul morții sale pe duel, tânărul matematician francez e.gua (1811-1832) a dat un răspuns decisiv la întrebarea cărora ecuațiile sunt solvabile în radicali, adică. Rădăcinile de care ecuațiile pot fi exprimate prin coeficienții lor folosind un număr finit de operații algebrice. În teoria lui Galois, au fost utilizate substituții sau rearanjarea rădăcinilor și a fost introdusă conceptul unui grup, care a fost utilizat pe scară largă în multe zone de matematică.

Geometria analitică.

Analitică sau coordonată, geometria a fost creată independent de P.Pherma (1601-1665) și R. Dekart pentru a extinde capacitățile geometriei euclidane în sarcinile de construcție. Cu toate acestea, ferma a luat în considerare munca sa doar ca reformularea compoziției lui Apollonia. Descoperirea autentică - conștientizarea întregii puteri de metode algebrice - aparține CARTA. Algebra geometrică euclidiană pentru fiecare construcție a cerut invenția metoda sa inițială și nu a putut oferi informațiile cantitative necesare pentru știință. Descartes a decis această problemă: a formulat sarcinile geometrice ale algebricii, a rezolvat ecuația algebrică și numai apoi a construit soluția dorită - un segment care avea lungimea corespunzătoare. De fapt, geometria analitică a apărut când decartele au început să ia în considerare sarcini incerte pentru construcția, ale căror decizii nu sunt singure, dar multe lungimi posibile.

Geometria analitică Utilizează ecuații algebrice pentru prezentarea și studierea curbelor și suprafețelor. Descartes consideră o curbă acceptabilă care poate fi înregistrată utilizând singurul ecuația algebrică. despre h. și w.. O astfel de abordare a fost un pas important în față, deoarece nu numai că este inclus în numărul de astfel de curbe ca un conhoid și cissoid, dar, de asemenea, a extins semnificativ domeniul de aplicare al curbelor. Ca urmare, în 17-18 secole. Multe curbe noi importante, cum ar fi cicloid și linia de lanț, au intrat în mod științific.

Aparent, primul matematician care a profitat de ecuațiile pentru dovezi ale proprietăților secțiunilor conice a fost J. Wallis. Până în 1865, Algebraica a primit toate rezultatele prezentate în cartea V A început Euclidea.

Geometria analitică a schimbat complet geometria și rolurile algebrei. După cum a remarcat Marele Mathematician Francez, "în timp ce algebra și geometria s-au mutat fiecare din felul lor, progresul lor a fost lent, iar aplicațiile sunt limitate. Dar când aceste științe au unit eforturile lor, au împrumutat o nouă vitalitate unul de celălalt și de atunci pașii rapizi se îndreaptă spre perfecțiune ". Vezi si Geometria algebrică; Geometrie; Revizuirea geometriei.

Analiza matematică.

Fondatorii științei moderne - Copernic, Kepler, Galilee și Newton - au abordat studiul naturii ca matematică. Explorarea mișcării, matematica a dezvoltat un astfel de concept fundamental ca o funcție sau o relație între variabile, de exemplu d. = kt. 2, unde d. - distanța parcursă de un corp liber care se încadrează și t. - Numărul de secunde pe care corpul îl are într-o picătură liberă. Conceptul de funcții a devenit imediat central în determinarea vitezei la momentul timpului și accelerarea corpului în mișcare. Dificultatea matematică a acestei probleme a fost că în orice moment corpul trece distanța zero pentru perioada zero a timpului. Prin urmare, determinarea valorii vitezei la momentul împărțirii traseului în acel moment, vom ajunge la o expresie matematică fără sens de 0/0.

Sarcina de a determina și de calcul viteze instantanee Modificările în diverse cantități au atras atenția aproape a tuturor matematicienilor din secolul al XVII-lea, inclusiv a lui Barrow, Farm, Descartes și Walleis. Ideile și metodele împrăștiate propuse de acestea au fost combinate într-o metodă formală sistematică, universal aplicabilă Newton și Libnidi (1646-1716), creatori de calcul diferențial. Cu privire la problema priorității în dezvoltarea acestui calcul între ele, au fost efectuate spori fierbinți, iar Newton a acuzat labnița în plagiat. Cu toate acestea, ca studii studiate despre istoricii de știință, Labitz a creat o analiză matematică, indiferent de Newton. Ca urmare a conflictului, schimbul de idei între matematicienii din Europa continentală și Anglia a fost întrerupt cu deteriorarea părții engleze de mai mulți ani. Matematicienii britanici au continuat să dezvolte idei pentru analizarea în direcția geometrică, în timp ce matematicienii din Europa continentală, inclusiv I. Bernoulli (1667-1748), Euler și Lagrange au ajuns incomparabil la succes, în urma unei abordări algebrice sau analitice.

Baza întregii analize matematice este conceptul de limită. Viteza la momentul timpului este definită ca limită la care viteza medie d./t.Când valoarea t. Se apropie de zero. Calculul diferențial oferă convenabil în calcule metoda generală Găsirea schimbării vitezei f. (x.) dacă vreun sens h.. Această viteză a primit numele derivatului. De la generalitatea înregistrării f. (x.) Se poate observa că conceptul de derivat este aplicabil nu numai în sarcinile asociate nevoii de a găsi viteza sau accelerarea, dar și în legătură cu orice dependență funcțională, de exemplu, la un anumit raport de teorie economică. Una dintre principalele aplicații la calculul diferențial este așa-numita. Sarcini maxime și minime; O altă gamă importantă de sarcini este de a găsi tangentul acestei curbe.

Sa dovedit că, cu ajutorul unui derivat, inventat în mod specific pentru a lucra cu sarcinile de mișcare, este de asemenea posibil să se găsească zone și volume delimitate de curbe și suprafețe. Metodele geometriei euclidean nu au avut comunitate și nu au permis obținerea rezultatelor cantitative necesare. Eforturile matematicienilor 17 în. Au fost create numeroase metode private, care au permis să găsească zona de cifre limitate de curbele unei specii și, în unele cazuri, conexiunea acestor sarcini cu sarcinile de a găsi viteza de schimbare a funcțiilor. Dar, ca și în cazul calculului diferențial, este Newton și Leibniz care și-a dat seama de generalitatea metodei și astfel a pus bazele calculului integral.

Matematică modernă

Crearea calculului diferențial și integral a marcat începutul " matematică superioară" Metodele de analiză matematică, spre deosebire de conceptul de limită care stă la baza, părea clar și ușor de înțeles. Timp de mulți ani de matematică, inclusiv Newton și Labitz, au încercat în zadar să dea o definiție exactă a conceptului de limită. Și totuși, în ciuda numeroaselor îndoieli cu privire la validitatea analizei matematice, el a găsit tot mai mult. Calculul diferențial și integral a fost piatra de temelie a analizei matematice, care, în timp, a inclus astfel de obiecte ca teoria ecuațiilor diferențiale, derivați obișnuiți și cu derivați privați, rânduri infinite, calculul variațional, geometria diferențială și multe altele. Determinarea strictă a limitei a fost obținută numai la 19 V.

Geometria Neevklidova.

Până la 1800 de matematică se odihnea pe două "balene" - pe sistemul numeric și geometria Euclidiană. Deoarece multe proprietăți ale sistemului numeric s-au dovedit geometrice, geometria Euclidian a fost cea mai fiabilă parte a clădirii matematice. Cu toate acestea, axiomul paralel conținea o declarație privind extinderea directă la infinit, care nu a putut fi confirmată de experiență. Chiar și versiunea acestei axiom, aparținând lui Euclid, nu face deloc, nu susține că unele linii drepte nu vor trece. Este cel mai probabil formulat de starea la care vor trece în unele punct final. Secolele matematicii au încercat să găsească o axiom în paralel cu înlocuirea adecvată corespunzătoare. Dar în fiecare versiune a fost cu siguranță un spațiu. Onoarea creării geometriei non-copil a scăzut N.I.Lobachevski (1792-1856) și i.beai (1802-1860), fiecare a publicat în mod independent declarația originală a geometriei neootronice. În geometria lor, prin acest punct, era imposibil să se petreacă infinit de multe linii drepte paralele. În geometrie, B. Riman (1826-1866) prin punctul în afara dreptului nu poate fi efectuat prin orice paralelă.

Nimeni nu sa gândit serios la aplicațiile fizice ale geometriei non-fum. Crearea lui A. Einstein (1879-1955) teoria generală Relativitatea în 1915 a trezit lumea științifică la realizarea realității geometriei non-copil.

Rigoare matematică.

Aproximativ 1870 de matematică au fost în convingere, care se aplică prezentatorilor grecilor antice, aplicând argumente deductive la axiomele matematice, oferind astfel concluziile lor fără fiabilitate mai mică decât cele ale căror axiomuri posedate. NEEVKLIDOVA Geometrie și Quaternions (algebră în care nu se efectuează proprietatea comutativă) au forțat matematicienii să-și dea seama că ceea ce au luat pentru pretenții abstracte și logic, de fapt, se bazează pe o bază empirică și pragmatică.

Crearea geometriei non-copil a fost, de asemenea, însoțită de conștientizarea existenței în geometria euclidiană a lacunelor logice. Unul dintre dezavantajele euclideanului A început A fost folosirea ipotezelor care nu sunt formulate în mod explicit. Aparent, Euclidul nu a fost pus la îndoială de acele proprietăți care la posedat cifrele geometriceDar aceste proprietăți nu au fost incluse în axiomele sale. În plus, dovedind similitudinea a două triunghiuri, Euclidea a profitat de impunerea unui triunghi pe altul, presupunând implicit că proprietățile figurilor nu se schimbă. Dar, pe lângă lacune logice, în Început Sa dovedit a fi câteva dovezi eronate.

Crearea de noi algebre, care au început în sferturi, au generat îndoieli similare cu privire la validitatea logică a aritmetică și algebre ale sistemului numeric obișnuit. Toți matematicienii cunoscuți anterior au o proprietate comutativă, adică. ab. = ba.. Quaternioanele care au comis o lovitură de stat în idei tradiționale despre numere au fost deschise în 1843 U. Hamilton (1805-1865). Acestea au fost utile pentru rezolvarea unui număr de probleme fizice și geometrice, deși Quaternionul nu a îndeplinit proprietatea comutativă. Sfertinele au forțat matematicienii să-și dea seama că, dacă nu sunt considerate a fi dedicate întregului numere și departe de perfecțiunea părții Euclidian A început, aritmetica și algebra nu au propria lor bază axiomatică. Matematica au fost tratați în mod liber cu numere negative și complexe și a produs operațiuni algebrice, ghidate numai de faptul că lucrează cu succes. Severitatea logică a dat naștere unei demonstrații de beneficii practice pentru a introduce concepte și proceduri dubioase.

Aproape încă de la începutul analizei matematice, încercările au fost luate în mod repetat sub motive stricte. Analiza matematică a introdus două noi concepte complexe - un derivat și un anumit integral. Newton și leibanții au bătut aceste concepte, precum și matematica generațiilor ulterioare, care au transformat calculul diferențial și integral în analiza matematică. Cu toate acestea, în ciuda tuturor eforturilor, în conceptele de limită, continuitate și diferențiere, au rămas o mulțime de neclar. În plus, sa dovedit că proprietățile funcțiilor algebrice nu pot fi transferate la toate celelalte funcții. Aproape toți matematicienii sunt 18 V. și începeți 19 V. Eforturile făcute pentru a găsi o bază strictă pentru analiza matematică și toți au eșuat. În cele din urmă, în 1821, O. Koshi (1789-1857), folosind conceptul de un număr, a condus o bază strictă sub întreaga analiză matematică. Cu toate acestea, matematica ulterioară au fost găsite în golurile logice Cauchi. Rigorul dorit a fost realizat în cele din urmă în 1859 k.Vierstrass (1815-1897).

Weierstrass a luat în considerare prima dată proprietățile numerelor reale și integrate de auto-evident. Mai târziu, el, ca și orașul Kantor (1845-1918) și R.Dedekind (1831-1916), a realizat necesitatea de a construi teoria numerelor iraționale. Ei au dat definiția corectă a numerelor iraționale și și-au stabilit proprietățile, dar proprietățile numerelor raționale au fost încă considerate auto-evidente. În cele din urmă, structura logică a teoriei numerelor reale și integrate a dobândit viziunea sa finită în lucrările lui Dedekind și J. Peno (1858-1932). Crearea de motive pentru sistemul numeric a făcut, de asemenea, posibilă rezolvarea problemelor de a justifica algebra.

Problema consolidării rigorizării formulării geometriei Euclidean a fost relativ simplă și redusă la transferul de termeni definibili, clarificând definițiile, introducerea axiomului lipsă și completarea lacunelor în evidență. Această sarcină a fost executată în 1899 d.gilbert (1862-1943). Aproape, în același timp, fundamentele altor geometrii au fost de asemenea așezate. Hilbert a formulat conceptul de axiomatică formală. Una dintre caracteristicile abordării sugerate de el este interpretarea termenilor nedefinit: puteți însemna orice obiecte care satisfac axiomele. Consecința acestei caracteristici a fost creșterea abstractului matematicii moderne. Geometria Euclidean și Neevklidova descriu spațiul fizic. Dar în topologie, care este o generalizare a geometriei, termenul nedefinit "punct" poate fi lipsit de asociații geometrice. Pentru un topolog, un punct poate fi o funcție sau o secvență de numere, precum și altceva. Spațiul abstract este un set de astfel de "puncte" ( vezi si TOPOLOGIE).

Metoda axiomatică a Hilbert a introdus aproape toate secțiunile matematicii 20 V. Cu toate acestea, în curând a devenit clar că anumite limitări au fost inerente acestei metode. În anii 1880, Kantor a încercat să clasifice sistematic seturile infinite (de exemplu, un set de numere raționale, o mulțime de numere valide etc.) prin evaluarea lor cantitativă comparativă, atribuind așa-numitul. Numere transfinite. În același timp, a descoperit în teoria seturilor de contradicție. Astfel, până la începutul secolului al XX-lea. Matematica a trebuit să se ocupe de problema permisiunii lor, precum și cu alte probleme ale fundațiilor științei lor, cum ar fi utilizarea implicită a așa-numitei. Axiomele de selecție. Cu toate acestea, nimic nu se poate compara cu impactul distructiv al teoremei incompletenței K. Gödel (1906-1978). Această teoremă susține că orice sistem formal consistent este destul de bogat pentru a conține teoria numerelor, conține în mod necesar o propoziție nesoluabilă, adică. O declarație care nu poate fi dovedită și nu respinge în cadrul său. Acum este în general recunoscut faptul că nu există dovezi absolute în matematică. În ceea ce privește ce dovezi sunt, opiniile sunt deturnate. Cu toate acestea, majoritatea matematicienilor tind să creadă că problemele bazelor de matematică sunt filosofice. Și într-adevăr, nici o teoremă nu sa schimbat datorită structurilor nou-constatate logic; Aceasta arată că baza matematicii nu este logică, ci o intuiție sănătoasă.

Dacă matematica cunoscută de 1600 poate fi caracterizată ca elementară, apoi comparată cu ceea ce a fost creat mai târziu, această matematică elementară este infinit de mică. Zonele vechi s-au extins și au apărut atât industriile curate cât și aplicate de cunoștințele matematice. Aproximativ 500 de reviste matematice ies. Un număr mare de rezultate publicate nu permite nici măcar un specialist să se familiarizeze cu tot ceea ce se întâmplă în zona în care lucrează, ca să nu mai vorbim de faptul că multe rezultate sunt disponibile pentru a înțelege doar un specialist al unui profil îngust. Nici un matematician nu poate spera să știe mai multe despre ceea ce se întâmplă într-un colț foarte mic al științei. Vezi si articole despre oamenii de știință - Matematică.

Literatură:

Van der Varden B.l. Trezirea științei. Matematica Egiptului antic, Babylon și Grecia. M., 1959.
Yushkevich A.P. Istoria matematicii în Evul Mediu. M., 1961.
Dan-Dalydikova A., Paiffer J. Moduri și labirinturi. Eseuri despre istoria matematicii. M., 1986.
Klein F. Prelegeri privind dezvoltarea matematicii în secolul al XIX-lea. M., 1989.



1. Perioada de creare a matematicii variabilelor. Crearea de geometrie analitică, diferențială și integrare

În secolul al XVII-lea O nouă perioadă de istorie matematică începe - perioada de matematică a variabilelor. Apariția lui se datorează, în primul rând, cu succesul astronomiei și mecanicii.

Kepler în 1609-1619. Deschis și a formulat matematic legile mișcării planetelor. Până în 1638, Galiley a creat mecanica liberei circulații a corpurilor, fondată teoria elasticității, a aplicat metode matematice pentru studierea mișcării, pentru a găsi modele între mișcare, viteza și accelerația. Newton cu 1686 a formulat legea comunității mondiale.

Primul pas decisiv în crearea matematicii variabilelor a fost apariția cărții "geometriei" Descartes. Principalele merite ale Descarterilor din fața matematicii sunt introducerea valorilor variabile și crearea de geometrie analitică. În primul rând, el a fost interesat de geometria mișcării și, aplicând studiul obiectelor metode algebriceEl a devenit creatorul geometriei analitice.

Geometria analitică a început cu introducerea sistemului de coordonate. În onoarea Creatorului, un sistem de coordonate dreptunghiulare constând din două axe care se intersectează la unghiurile drepte introduse pe ele scara de măsurare și începutul referinței - punctele de intersecție ale acestor axe se numesc sistemul de coordonate în plan. În agregat cu a treia axă, este un sistem de coordonate cartesian dreptunghiular în spațiu.

De către anii '60 din secolul al XVII-lea. Au fost dezvoltate numeroase metale pentru a calcula zonele limitate de diferite linii de curbură. Avem nevoie doar de un singur pas pentru a crea un singur calcul integrat din tehnicile împrăștiate.

Metodele diferențiate au rezolvat sarcina principală: cunoașterea liniei curbei, găsindu-i tangenți. Multe sarcini de practică au condus la stabilirea problemei opuse. În procesul de rezolvare a problemei, sa dovedit că metodele de integrare se aplică. Astfel, a fost stabilită o legătură profundă între metode diferențiale și integrale, care au creat baza pentru un singur calcul. Cea mai rapidă formă de calcul diferențial și integral este teoria fluxurilor construite de Newton.

Matematica secolului XVIII. a lucrat simultan în domeniul științei și tehnologiei naturale. Lagrange a creat fundațiile mecanicii analitice. Lucrarea sa a arătat câte rezultate pot fi obținute în mecanică datorită metodelor puternice de analiză matematică. Lucrarea monumentală a Laplace "Mecanica cerească" a rezumat toate lucrările precedente în acest domeniu.

Centolul XVIII. A dat matematică un aparat puternic - analiza infinit de mici. În această perioadă, Euler a introdus simbolul F (x) în matematică pentru funcția și a arătat că dependența funcțională este principalul obiect al analizei matematice de învățare. Au fost dezvoltate modalități pentru calcularea derivaților privați, multiplii și curvilinear Integrals.Diferențele din funcțiile multor variabile.

În secolul al XVIII-lea O serie de discipline matematice importante au fost distinse de analiza matematică: teoria ecuațiilor diferențiale, calculul variațional. În acest moment a început dezvoltarea teoriei de probabilitate.

Rădăcinile ideologice ale geometriei analitice se află în sol fertil de matematică clasică antică greacă. Al doilea pentru epocabilitatea sa după geniul Euclidan "a început" tratatul fundamental al Appolonia de la Perger (aproximativ 260 - 170 gg. BC ...

Metoda analitică în rezolvarea problemelor planimetrice

Geometria analitică nu are un conținut strict definit și nu este obiectul cercetării, ci metoda ...

Cercetarea funcțiilor

Cercetarea funcțiilor

Concepte cheie maxime locale. Minim local. Extremum local. Monotonitatea funcției. 1. Funcțiile locale ale extremme ale funcției y \u003d f (x) pe setul x și x0 - punctul interior al setului x ...

Cercetarea funcțiilor

Luați în considerare câteva teoreme care vor conduce în continuare un studiu al comportamentului funcțiilor. Acestea sunt numele principalelor teoreme ale analizei matematice sau principalele teoreme ale calculului diferențial ...

Anexa Un anumit integral pentru a rezolva sarcinile de conținut practic

Aplicarea calculului diferențial și integral la soluționarea sarcinilor fizice și geometrice din Matlab

Istoria conceptului de integrare este strâns legată de sarcinile de a găsi o quadratură. Sarcinile cvadraturii uneia sau a unei figuri plate de matematică a Greciei antice și a Romei au fost numite sarcini pe care le aplicăm acum la sarcinile de calcul al zonei ...

Aplicarea instrumentelor derivate și integrale pentru rezolvarea ecuațiilor și a inegalităților

În caz de dovadă a inegalităților teoremei 1 (Roll). Funcția F: R satisface condițiile: 1) FC; 2) x (a, b) există f / (x); 3) f (a) \u003d f (b). Apoi C (A, B): F / (c) \u003d 0. Semnificația geometrică a teoremei rolei: Când efectuați condițiile 1) -3) Teoreme pe interval (a ...

Cerere derivat pentru rezolvarea problemelor