în fizica medicală și biologică
PRELEGERE Nr. 1
FUNCȚII DERIVATE ȘI DIFERENȚIALE.
DERIVATE PARȚIALE.
1. Conceptul de derivat, sensul său mecanic și geometric.
O ) Creșterea argumentului și a funcției.
Fie dată o funcție y=f(x), unde x este valoarea argumentului din domeniul de definiție al funcției. Dacă selectați două valori ale argumentului x o și x dintr-un anumit interval al domeniului de definire a funcției, atunci diferența dintre cele două valori ale argumentului se numește increment al argumentului: x - x o = ∆x.
Valoarea argumentului x poate fi determinată prin x 0 și incrementul acestuia: x = x o + ∆x.
Diferența dintre două valori ale funcției se numește incrementul funcției: ∆y =∆f = f(x o +∆x) – f(x o).
Incrementul unui argument și al unei funcții poate fi reprezentat grafic (Fig. 1). Creșterea argumentului și a funcției pot fi pozitive sau negative. După cum reiese din Fig. 1, geometric, incrementul argumentului ∆х este reprezentat de incrementul abscisei, iar incrementul funcţiei ∆у prin incrementul ordonatei. Creșterea funcției trebuie calculată în următoarea ordine:
dăm argumentului un increment ∆x și obținem valoarea – x+Δx;
2) găsiți valoarea funcției pentru valoarea argumentului (x+∆x) – f(x+∆x);
3) găsiți incrementul funcției ∆f=f(x + ∆x) - f(x).
Exemplu: Determinați incrementul funcției y=x 2 dacă argumentul s-a schimbat de la x o =1 la x=3. Pentru punctul x o valoarea funcției f(x o) = x² o; pentru punctul (x o +∆x) valoarea funcției f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2, de unde ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ;
∆х = 3–1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.b)
Probleme care duc la conceptul de derivată. Definiția derivată, sensul său fizic.
Conceptul de increment de argument și funcție este necesar pentru a introduce conceptul de derivată, care a apărut istoric pe baza necesității de a determina viteza anumitor procese.
Să luăm în considerare modul în care puteți determina viteza mișcării rectilinie. Lăsați corpul să se miște rectiliniu conform legii: ∆S= ·∆t. Pentru mișcare uniformă:= ∆S/∆t. Pentru mișcarea alternativă, valoarea ∆Ѕ/∆t determină valoarea medie. , adică medie. =∆S/∆t.Dar nu face posibilă reflectarea trăsăturilor mișcării corpului și să ofere o idee despre viteza adevărată la momentul t. Când perioada de timp scade, de ex. la ∆t→0 viteza medie tinde spre limita sa – viteza instantanee:
instant = 
medie. = 
∆S/∆t.
Viteza instantanee a unei reacții chimice se determină în același mod:
instant = 
medie. = 
∆х/∆t,
unde x este cantitatea de substanță formată în timpul unei reacții chimice în timpul t. Probleme similare de determinare a vitezei diferitelor procese au condus la introducerea în matematică a conceptului de funcție derivată.
Fie dată o funcție continuă f(x), definită pe intervalul ]a, în [ie incrementul ei ∆f=f(x+∆x)–f(x). 
este o funcție a lui ∆x și exprimă rata medie de modificare a funcției.
Limita raportului 
, când ∆х→0, cu condiția ca această limită să existe, se numește derivată a funcției :
y" x = 
.
Derivata se noteaza: 
– (trăsă galbenă pe x); "
(x) – (eff accident pe x) ;
y" – (accident vascular cerebral grecesc); dy/dх –
(de igrek by de x);
- (greacă cu punct).
Pe baza definiției derivatei, putem spune că viteza instantanee a mișcării rectilinie este derivata în timp a căii:
instant = S" t = f " (t).
Astfel, putem concluziona că derivata unei funcții față de argumentul x este rata instantanee de modificare a funcției f(x):
y" x =f " (x)= instant.
Acesta este sensul fizic al derivatului. Procesul de găsire a derivatei se numește diferențiere, deci expresia „diferențiază o funcție” este echivalentă cu expresia „găsește derivata unei funcții”.
V)Sensul geometric al derivatului.
P 
derivata funcției y = f(x) are o semnificație geometrică simplă asociată conceptului de tangentă la o dreaptă curbă într-un punct M. În același timp, tangentă, adică. o linie dreaptă se exprimă analitic ca y = kx = tan· x, unde
–
unghiul de înclinare al tangentei (linia dreaptă) la axa X Să ne imaginăm o curbă continuă ca funcție y = f(x), luăm un punct M1 pe curbă și un punct M1 apropiat de acesta și desenăm o secantă. prin ele. Panta sa la sec =tg β = 
.Dacă aducem punctul M 1 mai aproape de M, atunci incrementul argumentului ∆x
va tinde spre zero, iar secanta la β=α va lua poziția unei tangente. Din fig. 2 rezultă: tgα = 
tgβ = 
=y" x. Dar tgα este egală cu panta tangentei la graficul funcției:
k = tgα = 
=y" x = f "
(X). Deci, panta tangentei la graficul funcției într-un punct dat egal cu valoarea derivata sa în punctul de tangență. Acesta este sensul geometric al derivatului.
G)Regula generală pentru găsirea derivatei.
Pe baza definiției derivatei, procesul de diferențiere a unei funcții poate fi reprezentat astfel:
f(x+∆x) = f(x)+∆f;
aflați incrementul funcției: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);
formează raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:
;
Exemplu: f(x)=x2; " f
(x)=?. Cu toate acestea, după cum se poate vedea chiar și din aceasta exemplu simplu
, aplicarea secvenței specificate atunci când se iau derivate este un proces complex și laborios. Prin urmare, pentru diferite funcții, sunt introduse formule generale de diferențiere, care sunt prezentate sub forma unui tabel cu „Formule de bază pentru diferențierea funcțiilor”. Lasă X – argument (variabilă independentă); y=y(x)
– funcția. Să luăm o valoare fixă a argumentului 0 x=x și calculați valoarea funcției 0 y 0 ) =y(x . Acum să setăm în mod arbitrar creştere Lasă ( Lasă(schimbarea) argumentului și denotă-l
poate fi de orice semn). Lasă 0 + Lasă Argumentul de creștere este un punct . Să presupunem că conține și o valoare a funcției 0 + y=y(x X)
(vezi poza). Astfel, cu o modificare arbitrară a valorii argumentului, se obține o modificare a funcției, care este numită creştere
valorile functiei: 
.
și nu este arbitrară, ci depinde de tipul funcției și de valoare Argumentul și incrementele de funcție pot fi final
, adică exprimate ca numere constante, caz în care sunt numite uneori diferențe finite.
În economie, incrementele finite sunt considerate destul de des. De exemplu, tabelul prezintă date despre lungimea rețelei feroviare a unui anumit stat. Evident, creșterea în lungime a rețelei se calculează scăzând valoarea anterioară din cea ulterioară.
|
Vom considera lungimea rețelei feroviare ca o funcție, al cărei argument va fi timpul (ani). |
Lungimea căii ferate la 31 decembrie, mii km. |
Creştere |
|
Creștere medie anuală 2,5>0,9 În sine, o creștere a unei funcții (în acest caz, lungimea rețelei feroviare) nu caracterizează bine schimbarea funcției. În exemplul nostru, din faptul că 2000-2003 nu se poate concluziona că rețeaua a crescut mai rapid în 2004 ani decât în 2,5 ex., deoarece incrementul 0,9 se referă la o perioadă de trei ani și 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .
- în doar un an. Prin urmare, este destul de natural ca o creștere a unei funcții să conducă la o schimbare de unitate a argumentului. Incrementul argumentului aici este puncte: Obținem ceea ce se numește în literatura economică.
crestere medie anuala
Puteți evita operația de reducere a incrementului la unitatea de modificare a argumentului dacă luați valorile funcției pentru valorile argumentului care diferă cu unul, ceea ce nu este întotdeauna posibil.
Diferențierea unei funcții a unei variabile (derivată și diferențială) Derivată a unei funcții
Creșteri de argument și funcție la un punct Lasă 0 pot fi considerate mărimi infinitezimale comparabile (vezi subiectul 4, compararea BM), adică. BM de același ordin.
Atunci raportul lor va avea o limită finită, care este definită ca derivată a funcției în t Lasă 0 .
Limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul BM al argumentului la un punct Să luăm o valoare fixă a argumentului 0 numit derivat funcţionează la un punct dat.
Desemnarea simbolică a unui derivat printr-o contur (sau mai bine zis, cu cifra romană I) a fost introdusă de Newton. De asemenea, puteți utiliza un indice, care arată cu ce variabilă este calculată derivata, de exemplu, 
. O altă notație propusă de fondatorul calculului derivatelor, matematicianul german Leibniz, este de asemenea utilizată pe scară largă: 
. Veți afla mai multe despre originea acestei denumiri în secțiune Diferenţial de funcţie şi diferenţial de argument.
Acest număr este estimat viteză modificări ale funcției care trec printr-un punct 
.
Hai să instalăm sens geometric derivata unei functii intr-un punct. În acest scop, vom reprezenta grafic funcția – argument (variabilă independentă);și marcați pe el punctele care determină schimbarea y(x) intre ele 
Tangenta la graficul unei functii intr-un punct M 0
vom avea în vedere poziţia limită a secantei M 0
M dat fiind 
(punct M alunecă de-a lungul graficului unei funcții până la un punct M 0
).
Să luăm în considerare 
. Evident, 
.
Dacă punctul M direct de-a lungul graficului funcției spre punct M 0
, apoi valoarea 
va tinde către o anumită limită, pe care o notăm 
. În același timp.
Unghiul limită
coincide cu unghiul de inclinare al tangentei trasate la graficul functiei incl. M 0
, deci derivata 
egal numeric panta tangenta
în punctul specificat.
-
semnificația geometrică a derivatei unei funcții într-un punct.
Astfel, putem scrie ecuațiile tangente și normale ( normal - aceasta este o dreaptă perpendiculară pe tangenta) pe graficul funcției la un moment dat Lasă 0 :
Tangenta - .
Normal - 
.
Interesante sunt cazurile în care aceste linii sunt situate orizontal sau vertical (vezi Subiectul 3, cazuri speciale de poziție a unei linii pe un plan). Apoi,
Dacă 
;
Dacă 
.
Definiția derivatei se numește diferenţiere funcții.
Dacă funcţia este într-un punct Lasă 0 are o derivată finită, atunci se numește diferentiabilîn acest moment. O funcție care este diferențiabilă în toate punctele unui anumit interval se numește diferențiabilă pe acest interval.
Teorema . Dacă funcţia – argument (variabilă independentă); diferentiabil incl. Lasă 0 , atunci este continuă în acest moment.
Astfel, continuitate– o condiție necesară (dar nu suficientă) pentru diferențiabilitatea unei funcții.
În viață nu suntem întotdeauna interesați de valorile exacte ale oricărei cantități. Uneori este interesant de știut modificarea acestei cantități, de exemplu, viteza medie a autobuzului, raportul dintre cantitatea de mișcare și perioada de timp etc. Pentru a compara valoarea unei funcții la un anumit punct cu valorile aceleiași funcții în alte puncte, este convenabil să folosiți concepte precum „increment de funcție” și „increment de argument”.
Conceptele de „increment de funcție” și „increment de argument”
Să presupunem că x este un punct arbitrar care se află într-o vecinătate a punctului x0. Incrementul argumentului în punctul x0 este diferența x-x0. Creșterea este desemnată astfel: ∆х.
- ∆x=x-x0.
Uneori, această mărime se mai numește și increment al variabilei independente în punctul x0. Din formula rezultă: x = x0+∆x. În astfel de cazuri, ei spun că valoarea inițială a variabilei independente x0 a primit un increment ∆x.
Dacă schimbăm argumentul, atunci se va schimba și valoarea funcției.
- f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).
Creșterea funcției f în punctul x0, incrementul corespunzător ∆х este diferența f(x0 + ∆х) - f(x0). Incrementul unei funcţii se notează astfel: ∆f. Astfel obținem, prin definiție:
- ∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).
Uneori, ∆f este numit și increment al variabilei dependente și ∆у este folosit pentru a o desemna dacă funcția a fost, de exemplu, y=f(x).
Sensul geometric al incrementului
Uită-te la imaginea următoare.
După cum puteți vedea, incrementul arată modificarea ordonatei și abscisei unui punct. Iar raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului determină unghiul de înclinare al secantei care trece prin inițial și pozitia finala puncte.
Să ne uităm la exemple de incrementare a unei funcții și a unui argument
Exemplul 1. Aflați incrementul argumentului ∆x și incrementul funcției ∆f în punctul x0, dacă f(x) = x 2, x0=2 a) x=1,9 b) x =2,1
Să folosim formulele de mai sus:
a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;
- ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;
b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;
- ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.
Exemplul 2. Calculați incrementul ∆f pentru funcția f(x) = 1/x la punctul x0 dacă incrementul argumentului este egal cu ∆x.
Din nou, vom folosi formulele obținute mai sus.
- ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).
Definiția 1
Dacă pentru fiecare pereche $(x,y)$ de valori a două variabile independente dintr-un domeniu este asociată o anumită valoare $z$, atunci $z$ se spune că este o funcție a două variabile $(x,y) $. Notație: $z=f(x,y)$.
În raport cu funcția $z=f(x,y)$, să luăm în considerare conceptele de incrementări generale (totale) și parțiale ale unei funcții.
Fie dată o funcție $z=f(x,y)$ din două variabile independente $(x,y)$.
Nota 1
Deoarece variabilele $(x,y)$ sunt independente, una dintre ele se poate modifica, în timp ce cealaltă rămâne constantă.
Să dăm variabilei $x$ un increment de $\Delta x$, păstrând în același timp valoarea variabilei $y$ neschimbată.
Atunci funcția $z=f(x,y)$ va primi un increment, care va fi numit increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de variabila $x$. Desemnare:
În mod similar, vom da variabilei $y$ un increment de $\Delta y$, păstrând în același timp valoarea variabilei $x$ neschimbată.
Atunci funcția $z=f(x,y)$ va primi un increment, care va fi numit increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de variabila $y$. Desemnare:
Dacă argumentului $x$ i se dă un increment $\Delta x$, iar argumentului $y$ îi este dat un increment $\Delta y$, atunci incrementul complet al funcției date $z=f(x,y)$ se obtine. Desemnare:
Astfel avem:
$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ peste $x$;
$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $y$;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.
Exemplul 1
Soluţie:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ peste $x$;
$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de $y$.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.
Exemplul 2
Calculați incrementul parțial și total al funcției $z=xy$ în punctul $(1;2)$ pentru $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.
Soluţie:
Prin definiția incrementului parțial găsim:
$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ peste $x$
$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $y$;
Prin definiția incrementului total găsim:
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.
Prin urmare,
\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]
Nota 2
Creșterea totală a unei anumite funcții $z=f(x,y)$ nu este egală cu suma incrementelor sale parțiale $\Delta _(x) z$ și $\Delta _(y) z$. Notație matematică: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.
Exemplul 3
Verificați instrucțiunea pentru funcție
Soluţie:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (obținut în exemplul 1)
Să găsim suma incrementelor parțiale ale unei funcții date $z=f(x,y)$
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]
Definiția 2
Dacă pentru fiecare triplă $(x,y,z)$ de valori a trei variabile independente dintr-un domeniu este asociată o anumită valoare $w$, atunci $w$ este o funcție a trei variabile $(x, y,z)$ în această zonă.
Notație: $w=f(x,y,z)$.
Definiția 3
Dacă pentru fiecare set $(x,y,z,...,t)$ de valori ale variabilelor independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare $w$, atunci se spune că $w$ este o funcție a variabilele $(x,y, z,...,t)$ din această zonă.
Notație: $w=f(x,y,z,...,t)$.
Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile, în același mod ca și pentru o funcție de două variabile, se determină incremente parțiale pentru fiecare dintre variabile:
$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z,... ,t )$ cu $z$;
$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - increment parțial al funcției $w =f (x,y,z,...,t)$ cu $t$.
Exemplul 4
Scrieți funcții de creștere parțială și totală
Soluţie:
Prin definiția incrementului parțial găsim:
$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $x$
$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $y$;
$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $z$;
Prin definiția incrementului total găsim:
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - increment total al funcției $w=f(x,y,z)$.
Exemplul 5
Calculați incrementul parțial și total al funcției $w=xyz$ în punctul $(1;2;1)$ pentru $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.
Soluţie:
Prin definiția incrementului parțial găsim:
$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $x$
$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $y$;
$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $z$;
Prin definiția incrementului total găsim:
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - increment total al funcției $w=f(x,y,z)$.
Prin urmare,
\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]
CU punct geometric Din punct de vedere al vederii, incrementul total al funcției $z=f(x,y)$ (prin definiție $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) este egală cu incrementul aplicației graficului funcției $z =f(x,y)$ la trecerea de la punctul $M(x,y)$ la punctul $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (Fig. 1).
Figura 1.
Fie x un punct arbitrar într-o vecinătate a unui punct fix x 0 . diferența x – x 0 se numește de obicei increment al variabilei independente (sau increment al argumentului) în punctul x 0 și se notează Δx. Astfel,
Δx = x –x 0 ,
de unde rezultă că
Creșterea funcției - diferența dintre două valori ale funcției.
Să fie dată funcția la = f(x), definit cu valoarea argumentului egală cu Lasă 0 . Să dăm argumentului un increment D Lasă, ᴛ.ᴇ. consideră valoarea argumentului egală cu x 0+D Lasă. Să presupunem că această valoare a argumentului este, de asemenea, în domeniul de aplicare al acestei funcții. Apoi diferența D și calculați valoarea funcției = f(x 0+D y=y(x – f(x 0) Se numește în mod obișnuit incrementul unei funcții. Creșterea funcției f(x) la un moment dat x- funcția de obicei notată Δ x f din noua variabilă Δ x definit ca
Δ x f(Δ x) = f(x + Δ x) − f(x).
Găsiți incrementul argumentului și incrementul funcției în punctul x 0 dacă
Exemplul 2. Aflați incrementul funcției f(x) = x 2 dacă x = 1, ∆x = 0,1
Rezolvare: f(x) = x 2, f(x+∆x) = (x+∆x) 2
Să aflăm incrementul funcției ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /
Înlocuind valorile x=1 și ∆x= 0,1, obținem ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21
Găsiți incrementul argumentului și incrementul funcției în punctul x 0
2.f(x) = 2x 3. x 0 =3 x=2.4
3. f(x) = 2x 2 +2 x 0 =1 x=0,8
4. f(x) = 3x+4 x 0 =4 x=3.8
Definiţie: Derivat a unei funcții într-un punct, se obișnuiește să se numească limita (dacă există și este finită) a raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, cu condiția ca acesta din urmă să tinde spre zero.
Cele mai frecvent utilizate notații derivate sunt:
Astfel,
Găsirea derivatei este de obicei numită diferenţiere . Introdus definirea unei funcţii diferenţiabile: O funcție f care are o derivată în fiecare punct al unui anumit interval este de obicei numită diferențiabilă pe acest interval.
Fie definită o funcție într-o anumită vecinătate a unui punct Derivata unei funcții este de obicei numită un astfel de număr încât funcția din vecinătate U(x 0) poate fi reprezentat ca
f(x 0 + h) = f(x 0) + Ah + o(h)
daca exista.
Determinarea derivatei unei funcții într-un punct.
Lasă funcția f(x) definit pe interval (a; b), și sunt punctele acestui interval.
Definiţie. Derivată a unei funcții f(x) la un moment dat se obișnuiește să se numească limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului la . Notat cu .
Când ultima limită capătă o anumită valoare finală, vorbim de existență derivată finită la punct. Dacă limita este infinită, atunci spunem asta derivata este infinită într-un punct dat. Dacă limita nu există, atunci derivata functiei in acest punct nu exista.
Funcţie f(x) se spune că este diferențiabilă într-un punct când are o derivată finită.
În cazul în care funcția f(x) diferențiabilă în fiecare punct al unui interval (a; b), atunci funcția se numește diferențiabilă pe acest interval. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, orice punct x de între (a; b) putem potrivi valoarea derivatei funcției în acest moment, adică avem posibilitatea de a defini o nouă funcție, care se numește derivată a funcției f(x) pe interval (a; b).
Operația de găsire a derivatei se numește de obicei diferențiere.