1. Integrale improprii cu limite infinite
Să ne amintim definiția unei integrale ca limită a sumelor integrale: 
Definiția presupune că intervalul de integrare este finit și funcția f(x) este continuă în cadrul acestuia. Încălcarea acestor ipoteze duce la integrale necorespunzătoare.
Definiţie. Dacă integrala tinde spre o limită finită pe măsură ce crește nedefinit "b", atunci această limită se numește integrală improprie cu o limită superioară infinită a funcției f (x) și se notează cu simbolul 
În acest caz, se spune că integrala improprie există sau converge.
Dacă limita specificată nu există sau există, dar este infinită, atunci se spune că integrala nu există sau diverge.
O integrală improprie cu o limită inferioară infinită este definită în mod similar:
O integrală improprie cu două limite infinite este dată de:
unde c este orice punct fix pe axa Ox.
Deci, integralele improprii pot avea o limită inferioară infinită, o limită superioară infinită și, de asemenea, două limite infinite.
Semne de convergență. Convergență absolută și condiționată
O integrală există numai dacă fiecare dintre integrale există: și .
Exemplu. Examinați convergența integralei
Presupunând c = 0, obținem:
aceste. integrala converge.
Uneori nu este nevoie să calculați o integrală improprie, dar este suficient să știți dacă converge sau diverge comparând-o cu o altă integrală.
Teorema de comparație pentru integrale improprie.
Fie ca funcția f (x) din interval să aibă mai multe (număr finit) puncte de discontinuitate de primul fel, acest „obstacol” poate fi ușor eliminat prin împărțirea segmentului cu puncte de discontinuitate în mai multe segmente, calculând integrale definite pe fiecare secțiune individuală și adăugarea rezultatelor.
Să luăm în considerare integrală definită de la o funcție care este nelimitată atunci când se apropie de unul dintre capetele segmentului, de exemplu, 
.
(În astfel de cazuri se spune de obicei: „Funcția are o discontinuitate infinită la capătul drept al intervalului de integrare”.)
Este clar că definiția obișnuită a unei integrale își pierde sensul aici.
Definiţie. O integrală improprie a funcției f(x), continuă pentru un £ x< b и неограниченной при x ® b - 0, называется предел:
Integrala improprie a unei funcții care are o discontinuitate infinită la capătul din stânga segmentului este definită în mod similar:
În consecință, în secțiunea [-1, 0] integrala diverge.
Aceasta înseamnă că integrala diverge și în secțiune.
Astfel, această integrală diverge pe întreg intervalul [-1, 1]. Rețineți că dacă am începe să calculăm această integrală fără să acordăm atenție discontinuității integrandului în punctul x = 0, am obține un rezultat incorect. într-adevăr,
, ceea ce este imposibil.
Deci, pentru a studia integrala improprie a unei funcții discontinue, este necesar să o „împarți” în mai multe integrale și să le studiezi.
Exemple de studiere a integralelor improprii pentru convergență
Exemplul 1
.
Astfel, această integrală converge pentru a>1 și diverge pentru un £1.
Exemplul 2
Examinați pentru convergență. Să calculăm integrala prin definiție: 
.
Astfel, această integrală converge la a<1 и расходится при a³1.
Exemplul 3
Examinați pentru convergență 
.
<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два
.
Studiem convergența primei integrale I1 folosind funcția echivalentă: (deoarece n>0), iar integrala converge pentru m>-1 (exemplul 2). În mod similar, pentru integrala I2:
Și integrala converge la m+n<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 și m+n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.
Exemplul 4 Examinați pentru convergență.
Integrandul poate fi infinit de mare (dacă m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:
Deoarece arctgx »x la x®0, integrala I1 este echivalentă cu integrala, care converge pentru m+1>-1, adică pentru m>-2 (exemplul 1).
Pentru integrandul din integrala improprie de primul fel I2, alegem unul echivalent:
întrucât arctgx » p/2 la x® ¥. În consecință, după al doilea criteriu de comparație, integrala I2 va converge pentru m+n<-1, и расходится в противном случае.
Combinând condițiile de convergență a integralelor I1 și I2, obținem condițiile de convergență a integralei originale: m>-2 și m+n<-1 одновременно.
Comentariu.În exemplele 2-4 s-a folosit al 2-lea criteriu de comparație, care asigură condițiile necesare și suficiente pentru convergență, care permite, având stabilită convergența în anumite condiții asupra valorilor parametrilor, să nu se dovedească divergența integralei dacă condițiile de convergență obținute sunt încălcat.
Exemplul 5 Examinați pentru convergență.
Această integrală conține un punct singular 0, la care integrandul poate merge la infinit ca p<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:
.
Integrala I1 este o integrală improprie de al doilea fel, iar integrandul este echivalent pentru x®0 cu funcția xp (e-x®1 pentru x®0), adică I1 converge pentru p>-1 (exemplul 1).
Integrala I2 este o integrală improprie de primul fel. Nu este posibil să se selecteze o funcție echivalentă cu integrand astfel încât să nu conțină o funcție exponențială. Prin urmare, este imposibil să utilizați atributul de comparație 2, ca în exemplele anterioare. Să aplicăm primul criteriu de comparație, pentru care folosim următorul fapt binecunoscut:
Pentru a>0 și orice p. De aici și de faptul că funcția xpe-ax este continuă, rezultă că această funcție este mărginită, adică există o constantă M>0 astfel încât xpe-ax< M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:
Adică, integrala I2 converge pentru orice p.
Astfel, integrala originală converge la p>-1.
Exemplul 6 Examinați pentru convergență.
Să schimbăm variabila: t = lnx și obținem
Împărțirea integralei în două se realizează în mod similar cu Exemplul 5. Integrala I1 este complet echivalentă cu integrala I1 din Exemplul 5 și, prin urmare, converge la q<1.
Să considerăm integrala I2. Sub rezerva 1-p<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения 
și a=(1-p)/2.).
Deci, I2 converge pentru p>1. Totuși, studiul convergenței acestei integrale nu este finalizat aici, deoarece criteriul de convergență utilizat oferă doar condiții suficiente pentru convergență. Prin urmare, trebuie să studiem convergența pentru 1-p £ 0.
Să considerăm cazul p=1. Atunci integrala I2 este echivalentă cu , care converge pentru q>1 (rețineți că în acest caz integrala I1 diverge) și diverge altfel.
La p<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что 
Pentru 1-p>0 și, prin urmare, pornind de la niște A>1, T-
QE(1-
P)
T³ M=const>0. Atunci integrala I2 satisface estimarea
,
Unde integrala din partea dreaptă diverge, ceea ce demonstrează divergența integralei I2.
Însumând rezultatele obținute, aflăm că integrala inițială converge la q<1 и p>1, altfel integrala diverge.
Exemplul 6 Investigați pentru convergența absolută și condiționată.
Să împărțim integrala originală în două:
.
Convergenţă. Integrala I1 este echivalentă 
, adică converge la p<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.
Integrala I2 converge conform criteriului Dirichlet-Abel pentru p>0 deoarece antiderivata sin(x) este mărginită, iar funcția 1/xp tinde monoton către zero pe măsură ce x tinde spre infinit.
Să arătăm că pentru p £ 0 integrala diverge. Să folosim pentru aceasta criteriul Cauchy, sau mai degrabă negarea lui
.
Să luăm următoarele valori ca R1 și R2: R1=2pk și R2=2pk+p/2, apoi
, pentru p>0.
Astfel, integrala converge la 0 Convergență absolută Convergenţa absolută a integralei I1 a fost deja stabilită să considerăm convergenţa absolută a lui I2. Să estimăm integrala de mai sus: Pentru a demonstra divergența pentru p £ 1, estimăm integrala de jos Să împărțim ultima integrală a diferenței de funcții în diferența de integrale Dacă ambele integrale converg, atunci integrala diferenței converge dacă una dintre integrale diverge și cealaltă converge, atunci integrala diferenței diverge. În cazul divergenței ambelor integrale, convergența integralei diferenței este supusă unui studiu suplimentar. Ne interesează al doilea dintre cazurile descrise. Diverge (exemplul 1) la p<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p>0 (vezi Convergență), prin urmare integrala este estimată de jos printr-o integrală divergentă, adică diverge. Cazul p³1 nu ne interesează, deoarece pentru aceste valori ale parametrului integrala diverge. Astfel, integrala originală converge absolut la 0 Dacă integrandul are o discontinuitate de al doilea fel pe intervalul (finit) de integrare, vorbim de o integrală improprie de al doilea fel. Să notăm intervalul de integrare cu $\left[ a, \, b \right ]$ se presupune că ambele numere sunt finite. Dacă există doar 1 discontinuitate, aceasta poate fi localizată fie în punctul $a$, fie în punctul $b$, fie în interiorul intervalului $(a,\,b)$. Să considerăm mai întâi cazul în care există o discontinuitate de al doilea fel în punctul $a$, iar în alte puncte funcția integrand este continuă. Deci discutăm despre integrală \begin(equation) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(equation) și $f(x) \rightarrow \infty $ când $x \rightarrow a+0$. Ca și înainte, primul lucru de făcut este să dai sens acestei expresii. Pentru a face acest lucru, luați în considerare integrala \[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \] Definiţie. Să existe o limită finită \[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \] Apoi se spune că integrala improprie de al doilea fel (22) converge și i se atribuie valoarea $A$ însăși funcția $f(x)$ este integrabilă pe intervalul $\left[ a, \; , b\dreapta]$. Luați în considerare integrala \[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \] Funcția integrand $1/\sqrt(x)$ la $x \rightarrow +0$ are o limită infinită, deci în punctul $x=0$ are o discontinuitate de al doilea fel. Să punem \[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \] În acest caz, antiderivatul este cunoscut, \[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \epsilon ))\rightarrow 2\] la $\epsilon \rightarrow +0$. Astfel, integrala originală este o integrală improprie convergentă de al doilea fel și este egală cu 2. Să luăm în considerare opțiunea când există o discontinuitate de al doilea fel în funcția integrand la limita superioară a intervalului de integrare. Acest caz poate fi redus la cel anterior făcând modificarea variabilei $x=-t$ și apoi rearanjarea limitelor de integrare. Să considerăm opțiunea când funcția integrand are o discontinuitate de al doilea fel în interiorul intervalului de integrare, în punctul $c \in (a,\,b)$. În acest caz, integrala originală \begin(equation) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(equation) prezentat ca o sumă \[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \] Definiţie. Dacă ambele integrale $I_1, \, I_2$ converg, atunci integrala improprie (23) se numește convergentă și i se atribuie o valoare egală cu suma integralelor $I_1, \, I_2$, funcției $f(x)$ se numește integrabil pe intervalul $\left [a, \, b\right]$. Dacă cel puţin una dintre integralele $I_1,\, I_2$ este divergentă, integrala improprie (23) se numeşte divergentă. Integralele improprie convergente de al 2-lea fel au toate proprietățile standard ale integralelor definite obișnuite. 1. Dacă $f(x)$, $g(x)$ sunt integrabile pe intervalul $\left[ a, \,b \right ]$, atunci suma lor $f(x)+g(x)$ este de asemenea, integrabil în acest interval și \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( b)g (x)dx. \] 2. Dacă $f(x)$ este integrabil pe intervalul $\left[ a, \, b \right ]$, atunci pentru orice constantă $C$ funcția $C\cdot f(x)$ este de asemenea integrabil pe acest interval , și \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Dacă $f(x)$ este integrabil pe intervalul $\left[ a, \, b \right ]$, iar pe acest interval $f(x)>0$, atunci \[ \int _a^ (b ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Dacă $f(x)$ este integrabil pe intervalul $\left[ a, \, b \right ]$, atunci pentru orice $c\in (a, \,b)$ integralele \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] converg, de asemenea, și \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (aditivitatea integralei pe interval).
Luați în considerare integrala \begin(equation) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(equation) Dacă $k>0$, integrandul tinde spre $\infty$ ca $x \rightarrow +0$, deci integrala este improprie de al doilea fel. Să introducem funcția \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \] În acest caz, antiderivatul este cunoscut, deci \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \] pentru $k \neq 1$, \[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \] pentru $k = 1$. Având în vedere comportamentul la $\epsilon \rightarrow +0$, ajungem la concluzia că integrala (20) converge la $k Teorema (primul semn al comparației). Fie $f(x)$, $g(x)$ continuu pentru $x\in (a,\,b)$ și $0 1. Dacă integrala \[ \int _a^(b)g(x) dx \] converge, apoi integrala \[ \int _a^(b)f(x)dx converge. \] 2. Dacă integrala \[ \int _a^(b)f(x)dx \] diverge, atunci integrala \[ \int _a^(b)g(x)dx diverge. \] Teorema (al doilea criteriu de comparare). Fie $f(x)$, $g(x)$ continuu și pozitiv pentru $x\in (a,\,b)$ și să existe o limită finită \[ \theta = \lim_(x \rightarrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \] Apoi integralele \[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \] converg sau diverge simultan. Luați în considerare integrala \[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \] Integrandul este o funcție pozitivă pe intervalul de integrare, integrandul tinde spre $\infty$ ca $x \rightarrow +0$, deci integrala noastră este o integrală improprie de al doilea fel. În plus, pentru $x \rightarrow +0$ avem: dacă $g(x)=1/x$, atunci \[ \lim _(x \rightarrow +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \] Aplicând al doilea criteriu de comparație, ajungem la concluzia că integrala noastră converge sau diverge simultan cu integrala \[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \] După cum sa arătat în exemplul anterior, această integrală diverge ($k=1$). În consecință, integrala originală diverge. Calculați integrala improprie sau stabiliți convergența (divergența) acesteia. 1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \] După cum știți, găsirea integralei poate fi o sarcină destul de dificilă. Ar fi o mare dezamăgire să începem să calculăm o integrală necorespunzătoare și să descoperim la sfârșitul căii că aceasta diverge. Prin urmare, sunt interesante metodele care permit, fără calcule serioase bazate pe un singur tip de funcție, să se tragă o concluzie despre convergența sau divergența unei integrale improprii. Prima și a doua teoreme de comparație, care vor fi discutate mai jos, ajută foarte mult la studiul integralelor improprii pentru convergență. Fie f(x)?0. Apoi funcțiile sunt monoton crescătoare în variabilele t sau -g (deoarece luăm g>0, -g tinde spre zero din stânga). Dacă, pe măsură ce argumentele cresc, funcțiile F 1 (t) și F 2 (-d) rămân mărginite de sus, aceasta înseamnă că integralele improprie corespunzătoare converg. Aceasta este baza primei teoreme de comparație pentru integralele funcțiilor nenegative. Fie funcțiile f(x) și g(x) la x?a să îndeplinească următoarele condiții: Apoi din convergența integralei urmează convergența integralei, iar din divergența integralei rezultă divergența Deoarece 0?f(x)?g(x) și funcțiile sunt continue, atunci După condiție, integrala converge, i.e. are o valoare finită. Prin urmare, integrala converge. Acum, lăsați integrala să diverge. Să presupunem că integrala converge, dar atunci trebuie să convergă integrala, ceea ce contrazice condiția. Presupunerea noastră este incorectă, integrala diverge. Teorema de comparație pentru integrale improprie de al 2-lea fel. Fie pentru funcțiile f(x) și g(x) din intervalul , să crească fără limită pentru x>+0. Pentru x>+0, este valabilă următoarea inegalitate:<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также. Teorema de comparare a integralelor improprie de primul fel. Fie pentru funcția f(x) și g(x) pe intervalul )
, adică integrala converge pentru p>1.
.
.10.2.1 Definiție și proprietăți de bază
10.2.2 Teste pentru convergența integralelor improprie de al 2-lea fel
