Pentru a construi imagini ale unui număr de părți, trebuie să puteți găsi proiecțiile punctelor individuale. De exemplu, este dificil să se deseneze o vedere de sus a piesei prezentate în Fig. 139, fără a construi proiecții orizontale ale punctelor A, B, C, D, E, F etc.
Problema găsirii proiecțiilor punctelor pe rând, date pe suprafața unui obiect, se rezolvă după cum urmează. În primul rând, se găsesc proiecțiile suprafeței pe care se află punctul. Apoi, prin trasarea unei linii de legătură la proiecție, unde suprafața este reprezentată printr-o linie, se găsește a doua proiecție a punctului. A treia proiecție se află la intersecția liniilor de comunicație.
Să ne uităm la un exemplu.
Sunt date trei proiecții ale piesei (Fig. 140, a). Este dată o proiecție orizontală a a punctului A aflat pe suprafața vizibilă. Trebuie să găsim proiecțiile rămase ale acestui punct.
În primul rând, trebuie să desenați o linie dreaptă auxiliară. Dacă sunt date două vederi, atunci locația liniei auxiliare în desen este aleasă în mod arbitrar, în dreapta vederii de sus, astfel încât vederea din stânga să fie la distanța necesară față de vederea principală (Fig. 141).
Dacă au fost deja construite trei vederi (Fig. 142, a), atunci locația liniei auxiliare nu poate fi aleasă în mod arbitrar; trebuie să găsiți punctul prin care va trece. Pentru a face acest lucru, este suficient să continuați proiecțiile orizontale și de profil ale axei de simetrie până când acestea se intersectează și prin punctul rezultat k (Fig. 142, b) trageți un segment de dreaptă la un unghi de 45°, care va fi linia dreaptă auxiliară.
Dacă nu există axe de simetrie, atunci proiecțiile orizontale și de profil ale oricărei fețe, proiectate sub formă de segmente drepte, se continuă până se intersectează în punctul k 1 (Fig. 142, b).
După ce au tras o linie auxiliară, încep să construiască proiecții ale punctului (vezi Fig. 140, b).
Proeminențele frontale a" și profil a" ale punctului A trebuie să fie situate pe proiecțiile corespunzătoare ale suprafeței căreia îi aparține punctul A. Aceste proiecții se găsesc. În fig. 140, b sunt evidențiate color. Desenați linii de comunicare așa cum este indicat de săgeți. La intersecțiile liniilor de comunicație cu proiecțiile de suprafață sunt situate proiecțiile dorite a" și a".
Construcția proiecțiilor punctelor B, C, D este prezentată în Fig. 140, în linii de comunicație cu săgeți. Proiectiile de puncte date sunt colorate. Liniile de conectare sunt trasate la proiecția pe care suprafața este reprezentată ca o linie, și nu ca o figură. Prin urmare, găsiți mai întâi proiecția frontală din punctul C. Proiecția profilului din punctul C este determinată de intersecția liniilor de comunicație.
Dacă suprafața nu este reprezentată printr-o linie pe nicio proiecție, atunci trebuie utilizat un plan auxiliar pentru a construi proiecții de puncte. De exemplu, având în vedere o proiecție frontală d a punctului A situat pe suprafața unui con (Fig. 143, a). Un plan auxiliar este trasat prin punctul paralel cu baza, care va intersecta conul într-un cerc; proiecția sa frontală este un segment drept, iar proiecția sa orizontală este un cerc cu diametrul egal cu lungimea acestui segment (Fig. 143, b). Prin trasarea unei linii de legătură cu acest cerc din punctul a, se obține o proiecție orizontală a punctului A.
Proiecția de profil a" a punctului A se găsește în mod obișnuit la intersecția liniilor de comunicație.
Folosind aceeași tehnică, puteți găsi proiecțiile unui punct situat, de exemplu, pe suprafața unei piramide sau a unei mingi. Când o piramidă este intersectată de un plan paralel cu baza și care trece printr-un punct dat, se formează o figură asemănătoare bazei. Pe proiecțiile acestei figuri se află proiecțiile unui punct dat.
Răspunde la întrebările
1. În ce unghi este trasată linia dreaptă auxiliară?
2. Unde desenați linia dreaptă auxiliară dacă sunt oferite vederi frontale și de sus, dar trebuie să construiți o vedere în stânga?
3. Cum se determină locația unei linii auxiliare dacă există trei tipuri?
4. Care este metoda de construire a proiecțiilor unui punct pe baza unui punct dat, dacă una dintre suprafețele unui obiect este reprezentată printr-o dreaptă?
5. Pentru ce corpuri geometrice și în ce cazuri se găsesc proiecțiile unui punct date pe suprafața lor folosind un plan auxiliar?
Misiuni pentru § 20
Exercițiul 68
Scrie la registrul de lucru, ce proiecții ale punctelor indicate prin cifre pe vederi corespund punctelor indicate pe imaginea vizuală prin litere în exemplul indicat ție de profesor (Fig. 144, a-d).
Exercițiul 69
În fig. 145, literele a-b indicat printr-o singură proiecție a unora dintre vârfuri. În exemplul oferit de profesor, găsiți proiecțiile rămase ale acestor vârfuri și etichetați-le cu litere. Într-unul dintre exemple, construiți proiecțiile lipsă ale punctelor specificate pe marginile obiectului (Fig. 145, d și e). Evidențiați în culoare proiecțiile marginilor pe care se află punctele Finalizați sarcina pe hârtie transparentă, așezând-o pe pagina de manual Nu este nevoie să redesenați Fig. 145.
Exercițiul 70
Găsiți proiecțiile lipsă ale punctelor definite de o proiecție pe suprafețele vizibile ale obiectului (Fig. 146). Etichetați-le cu litere. Evidențiați proiecțiile date ale punctelor în culoare. O imagine vizuală vă va ajuta să rezolvați problema. Sarcina poate fi finalizată fie într-un registru de lucru, fie pe hârtie transparentă, suprapunând-o pe o pagină de manual. În acest din urmă caz, redesenați figura. 146 nu este necesar.
Exercițiul 71
În exemplul oferit de profesorul dumneavoastră, redesenați cele trei vederi (Fig. 147). Construiți proiecțiile lipsă ale punctelor specificate pe suprafețele vizibile ale obiectului. Evidențiați proiecțiile date ale punctelor în culoare. Etichetați toate proiecțiile punctelor cu litere. Pentru a construi proiecții de puncte, utilizați o dreaptă auxiliară. Completați un desen tehnic și marcați punctele specificate pe el.
Acest articol este răspunsul la două întrebări: „Ce este” și „Cum să găsești coordonatele proiecției punctului pe plan"? În primul rând, sunt oferite informațiile necesare despre proiecție și tipurile acesteia. Următoarea este o definiție a proiecției unui punct pe un plan și o ilustrație grafică. După aceasta, s-a obținut o metodă de găsire a coordonatelor proiecției unui punct pe un plan. În concluzie, se calculează soluții la exemple în care coordonatele proiecției unui punct dat pe un plan dat.
Navigare în pagină.
Proiecție, tipuri de proiecție – informații necesare.
Când studiați figurile spațiale, este convenabil să folosiți imaginile lor în desen. Desenul unei figuri spațiale este un așa-numit proiecție această figură într-un avion. Procesul de construire a unei imagini a unei figuri spațiale pe un plan are loc după anumite reguli. Deci procesul de construire a unei imagini a unei figuri spațiale pe un plan, împreună cu un set de reguli prin care se realizează acest proces, se numește proiecție figuri pe un plan dat. Se numește planul în care este construită imaginea planul de proiecție.
În funcție de regulile prin care se realizează proiecția, există centralŞi proiecție paralelă. Nu vom intra în detalii, deoarece acest lucru depășește scopul acestui articol.
Folosit în principal în geometrie caz special proiecție paralelă - proiecție perpendiculară, care se mai numește ortogonală. În numele acestui tip de proiecție, adjectivul „perpendicular” este adesea omis. Adică, când în geometrie se vorbește despre proiecția unei figuri pe un plan, de obicei înseamnă că această proiecție a fost obținută folosind proiecția perpendiculară (cu excepția cazului în care, desigur, se precizează altfel).
Trebuie remarcat faptul că proiecția unei figuri pe un plan este un set de proiecții ale tuturor punctelor acestei figuri pe planul de proiecție. Cu alte cuvinte, pentru a obține proiecția unei anumite figuri, trebuie să puteți găsi proiecțiile punctelor acestei figuri pe plan. Următorul paragraf al articolului arată exact cum să găsiți proiecția unui punct pe un plan.
Proiecția unui punct pe un plan - definiție și ilustrare.
Să subliniem încă o dată că vom vorbi despre proiecția perpendiculară a unui punct pe un plan.
Să realizăm construcții care ne vor ajuta să definim proiecția unui punct pe un plan.
Lasă să intre spatiu tridimensional ni se dă un punct M 1 şi un plan. Să trasăm o dreaptă a prin punctul M1, perpendiculară pe plan. Dacă punctul M1 nu se află în plan, atunci notăm punctul de intersecție al dreptei a și planul ca H1. Astfel, punctul H 1 prin construcție este baza perpendicularei căzute din punctul M 1 în plan.
Definiţie.
Proiecția punctului M 1 pe plan- acesta este punctul M 1 însuși, dacă, sau punctul H 1, dacă.
Această definiție Următoarea definiție este echivalentă cu proiecția unui punct pe un plan.
Definiţie.
Proiectia unui punct pe un plan– acesta este fie punctul în sine, dacă se află în avion dat, sau baza unei perpendiculare coborâte din acest punct într-un plan dat.
În desenul de mai jos, punctul H1 este proiecția punctului M1 pe plan; punctul M2 se află în plan, prin urmare M2 este proiecția punctului M2 însuși pe plan.
Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe un plan - soluții la exemple.
Să fie introdus Oxyz în spațiul tridimensional și să fie dat un punct 
si avionul. Să ne punem sarcina: să determinăm coordonatele proiecției punctului M 1 pe plan.
Soluția problemei rezultă logic din definirea proiecției unui punct pe un plan.
Să notăm proiecția punctului M 1 pe plan ca H 1 . Prin definiția proiecției unui punct pe un plan, H 1 este punctul de intersecție a unui plan dat și o dreaptă a care trece prin punctul M 1 perpendicular pe plan. Astfel, coordonatele dorite ale proiecției punctului M 1 pe plan sunt coordonatele punctului de intersecție a dreptei a și planului.
Prin urmare, pentru a găsi coordonatele de proiecție ale unui punct in avion ai nevoie de:
Să ne uităm la soluțiile exemplelor.
Exemplu.
Găsiți coordonatele proiecției punctului 
spre avion 
.
Soluţie.
În enunțul problemei ni se oferă o ecuație plană generală de forma , deci nu este nevoie să-l compuneți.
Să scriem ecuațiile canonice ale dreptei a, care trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul dat. Pentru a face acest lucru, obținem coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Deoarece linia dreaptă a este perpendiculară pe un plan dat, vectorul direcție al dreptei a este vectorul normal al planului . adica 
- vector de direcție al dreptei a. Acum putem scrie ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu care trece prin punct 
și are un vector de direcție :
.
Pentru a obține coordonatele necesare proiecției punctului pe plan, rămâne să se determine coordonatele punctului de intersecție al dreptei și avioane . Pentru aceasta din ecuații canonice linie dreaptă trecem la ecuațiile a două plane care se intersectează, compunem un sistem de ecuații 
și găsiți-i soluția. Folosim: 
Astfel, proiecția punctului spre avion are coordonate.
Răspuns:
Exemplu.
În sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu tridimensional, puncte și 
. Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 pe planul ABC.
Soluţie.
Să scriem mai întâi ecuația unui plan care trece prin trei puncte date: 
Dar să ne uităm la o abordare alternativă.
Obținem ecuațiile parametrice ale dreptei a, care trece prin punct și perpendicular pe planul ABC. Vectorul normal al unui plan are coordonate, deci vectorul 
este vectorul de direcție al dreptei a. Acum putem scrie ecuațiile parametrice ale unei linii în spațiu, deoarece știm coordonatele punctului dreptei ( ) și coordonatele vectorului său de direcție ( ):
Rămâne de determinat coordonatele punctului de intersecție al dreptei și avioane. Pentru a face acest lucru, înlocuiți în ecuația planului:
.
Acum conform ecuațiilor parametrice Să calculăm valorile variabilelor x, y și z la: 
.
Astfel, proiecția punctului M 1 pe planul ABC are coordonate.
Răspuns:
În concluzie, să discutăm despre găsirea coordonatelor proiecției unui anumit punct pe planuri coordonate și planuri paralele cu planurile coordonate.
Proiecțiile unui punct pe planurile de coordonate Oxy, Oxz și Oyz sunt puncte cu coordonate 
si in consecinta. Și proiecțiile punctului în avion şi 
, care sunt paralele cu planurile de coordonate Oxy, Oxz și respectiv Oyz, sunt puncte cu coordonate 
Şi 
.
Să arătăm cum au fost obținute aceste rezultate.
De exemplu, să găsim proiecția punctului în avion (alte cazuri sunt similare cu acesta).
Acest plan este paralel cu planul de coordonate Oyz și este vectorul său normal. Vectorul este vectorul direcție al unei linii perpendiculare pe planul Oyz. Atunci ecuațiile parametrice ale unei drepte care trece prin punctul M 1 perpendicular pe un plan dat au forma .
Să găsim coordonatele punctului de intersecție al dreptei și al planului. Pentru a face acest lucru, înlocuim mai întâi egalitățile în ecuația: , și proiecția punctului
Poziția unui punct în spațiu poate fi specificată prin cele două proiecții ortogonale ale sale, de exemplu, orizontală și frontală, frontală și de profil. Combinația oricăror două proiecții ortogonale vă permite să aflați valoarea tuturor coordonatelor unui punct, să construiți o a treia proiecție și să determinați octantul în care se află. Să ne uităm la câteva probleme tipice din cursul de geometrie descriptivă.
Pentru un desen complex dat al punctelor A și B, este necesar:
Să determinăm mai întâi coordonatele punctului A, care pot fi scrise sub forma A (x, y, z). Proiecția orizontală a punctului A - punctul A", având coordonatele x, y. Să desenăm perpendiculare din punctul A" pe axele x, y și să găsim A x, A y, respectiv. Coordonata x pentru punctul A este egală cu lungimea segmentului A x O cu un semn plus, deoarece A x se află în regiunea valorilor pozitive ale axei x. Luând în considerare scara desenului, găsim x = 10. Coordonata y este egală cu lungimea segmentului A y O cu semnul minus, deoarece t A y se află în regiunea valorilor negative ale axa y. Luând în considerare scara desenului, y = –30. Proiecția frontală a punctului A - punctul A"" are coordonatele x și z. Să lăsăm perpendiculara de la A"" la axa z și să găsim A z. Coordonata z a punctului A este egală cu lungimea segmentului A z O cu semnul minus, deoarece A z se află în regiunea valorilor negative ale axei z. Ținând cont de scara desenului z = –10. Astfel, coordonatele punctului A sunt (10, –30, –10).
Coordonatele punctului B pot fi scrise ca B (x, y, z). Luați în considerare proiecția orizontală a punctului B - punctul B". Deoarece se află pe axa x, atunci B x = B" și coordonata B y = 0. Abscisa x a punctului B este egală cu lungimea segmentului B x O cu semnul plus. Ținând cont de scara desenului x = 30. Proiecția frontală a punctului B este t B˝ are coordonatele x, z. Să desenăm o perpendiculară de la B"" pe axa z, găsind astfel B z. Aplicația z a punctului B este egală cu lungimea segmentului B z O cu semnul minus, deoarece B z se află în regiunea valorilor negative ale axei z. Ținând cont de scara desenului, determinăm valoarea z = –20. Deci coordonatele lui B sunt (30, 0, -20). Toate construcțiile necesare sunt prezentate în figura de mai jos.
Construirea proiecțiilor punctelor
Punctele A și B din planul P 3 au următoarele coordonate: A""" (y, z); B""" (y, z). În acest caz, A"" și A""" se află pe aceeași perpendiculară pe axa z, deoarece au o coordonată z comună. În mod similar, B"" și B""" se află pe o perpendiculară comună pe axa z. Pentru a găsi proiecția de profil a punctului A, trasăm de-a lungul axei y valoarea coordonatei corespunzătoare găsite mai devreme. În figură, acest lucru se face folosind un arc de cerc de rază A y O. După aceasta, trageți o perpendiculară din A y până când se intersectează cu perpendiculara restabilită din punctul A"" pe axa z. Punctul de intersecție al acestor două perpendiculare determină poziția lui A""".
Punctul B""" se află pe axa z, deoarece ordonata y a acestui punct este zero. Pentru a găsi proiecția de profil a punctului B în această problemă, trebuie doar să desenați o perpendiculară de la B"" pe axa z. punctul de intersecție al acestei perpendiculare cu axa z este B """.
Determinarea poziției punctelor în spațiu
Imaginând vizual aspectul spațial, compus din planuri de proiecție P 1, P 2 și P 3, locația octanților, precum și ordinea transformării aspectului în diagrame, puteți determina direct că punctul A este situat în octantul III. , iar punctul B se află în planul P 2.
O altă opțiune pentru rezolvarea acestei probleme este metoda excepțiilor. De exemplu, coordonatele punctului A sunt (10, -30, -10). O abscisă pozitivă x ne permite să judecăm că punctul este situat în primii patru octanți. O ordonată y negativă indică faptul că punctul se află în al doilea sau al treilea octant. În cele din urmă, aplicația negativă z indică faptul că punctul A este situat în al treilea octant. Următorul tabel ilustrează clar raționamentul de mai sus.
| Octanți | Semne de coordonate | ||
| x | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Coordonatele punctului B (30, 0, -20). Deoarece ordonata punctului B este zero, acest punct este situat în planul de proiecție P2. Abscisa pozitivă și aplicatul negativ al lui t B indică faptul că este situat la granița octanților trei și patru.
Construirea unei imagini vizuale a punctelor din sistemul de planuri P 1, P 2, P 3
Folosind o proiecție izometrică frontală, am construit un aspect spațial al octantului III. Este un triedru dreptunghiular ale cărui fețe sunt planele P 1, P 2, P 3, iar unghiul (-y0x) este de 45 º. În acest sistem, segmentele de-a lungul axelor x, y, z vor fi reprezentate în dimensiune naturală fără distorsiuni.
Să începem să construim o imagine vizuală a punctului A (10, -30, -10) cu proiecția sa orizontală A. După ce am trasat coordonatele corespunzătoare de-a lungul axei absciselor și ordonatelor, găsim punctele A x și A y intersecția perpendicularelor reconstruit din A x și respectiv A y la axele x și y determină poziția punctului A”. Îndepărtând de la A" paralel cu axa z spre valorile sale negative segmentul AA", a cărui lungime este de 10, găsim poziția punctului A.
Imaginea vizuală a punctului B (30, 0, -20) este construită într-un mod similar - în planul P2 de-a lungul axelor x și z, trebuie să trasați coordonatele corespunzătoare. Intersecția perpendicularelor reconstruite din B x și B z va determina poziția punctului B.
Linie dreaptă auxiliară a unui desen complex
În desenul prezentat în Fig. 4.7, O, axele de proiecție sunt desenate, iar imaginile sunt conectate între ele prin linii de comunicare. Proiecțiile orizontale și de profil sunt conectate prin linii de comunicație folosind arce centrate în punct DESPRE intersecții de axe. Cu toate acestea, în practică, este utilizată o altă implementare a desenului complex.
În desenele fără axe, imaginile sunt de asemenea plasate în conexiune de proiecție. Cu toate acestea, a treia proiecție poate fi plasată mai aproape sau mai departe. De exemplu, o proiecție de profil poate fi plasată la dreapta (Fig. 4.7, b, II) sau spre stânga (Fig. 4.7, b, eu). Acest lucru este important pentru economisirea spațiului și ușurința dimensionării.
Orez. 4.7.
Dacă într-un desen realizat folosind un sistem fără axe este necesară trasarea unor linii de comunicare între vederea de sus și vederea din stânga, atunci se folosește o linie dreaptă auxiliară a desenului complex. Pentru a face acest lucru, aproximativ la nivelul vederii de sus și ușor în dreapta acesteia, trageți o linie dreaptă la un unghi de 45° față de cadrul de desen (Fig. 4.8, O). Se numește linia auxiliară a desenului complex. Procedura de construire a unui desen folosind această linie dreaptă este prezentată în Fig. 4.8, b, c.
Dacă au fost deja construite trei vederi (Fig. 4.8, d), atunci poziția liniei auxiliare nu poate fi aleasă în mod arbitrar. Mai întâi trebuie să găsiți punctul prin care va trece. Pentru a face acest lucru, este suficient să continuați până la intersecția reciprocă a axei de simetrie a proiecțiilor orizontale și de profil și prin punctul rezultat k trageți un segment drept la un unghi de 45° (Fig. 4.8, d). Dacă nu există axe de simetrie, continuați până când se intersectează în punctul respectiv k 1 proiecții orizontale și de profil ale oricărei fețe proiectate ca o linie dreaptă (Fig. 4.8, d).
Orez. 4.8.
Necesitatea de a trasa linii de comunicare și, prin urmare, o linie dreaptă auxiliară, apare la construirea proiecțiilor lipsă și la realizarea desenelor în care este necesar să se determine proiecțiile punctelor pentru a clarifica proiecțiile elementelor individuale ale unei piese.
Exemple de utilizare a liniei auxiliare sunt date în paragraful următor.
Proiecții ale unui punct situat pe suprafața unui obiect
Pentru a construi corect proiecții ale elementelor individuale ale unei piese atunci când faceți desene, trebuie să puteți găsi proiecții ale punctelor individuale în toate imaginile desenului. De exemplu, este dificil să desenați o proiecție orizontală a părții prezentate în Fig. 4.9, fără a utiliza proiecțiile punctelor individuale ( A, B, C, D, E etc.). Abilitatea de a găsi toate proiecțiile punctelor, muchiilor și fețelor este, de asemenea, necesară pentru a recrea în imaginația cuiva forma unui obiect din imaginile sale plate din desen, precum și pentru a verifica corectitudinea desenului finalizat.
Orez. 4.9.
Să luăm în considerare modalități de a găsi a doua și a treia proiecție a unui punct specificat pe suprafața unui obiect.
Dacă unui desen al unui obiect i se oferă o proiecție a unui punct, atunci mai întâi trebuie să găsim proiecțiile suprafeței pe care este situat acest punct. Apoi alegeți una dintre cele două metode descrise mai jos pentru a rezolva problema.
Prima cale
Această metodă este utilizată atunci când o suprafață dată este reprezentată ca o linie pe cel puțin una dintre proiecții.
În fig. 4.10, Oînfățișează un cilindru, pe a cărui proiecție frontală este dată proiecția O" puncte O, situată pe partea vizibilă a suprafeței sale (proiecțiile date sunt marcate cu cercuri duble colorate). Pentru a găsi proiecția orizontală a unui punct O, ele raționează astfel: un punct se află pe suprafața unui cilindru, a cărui proiecție orizontală este un cerc. Aceasta înseamnă că proiecția unui punct situat pe această suprafață se va afla și pe cerc. Desenați o linie de legătură și marcați punctul dorit la intersecția acestuia cu cercul O. A treia proiecție O"
Orez. 4.10.
Dacă punctul ÎN, situată pe baza superioară a cilindrului, definită prin proiecția orizontală a acestuia b, apoi trasează linii de comunicare până când se intersectează cu segmente drepte care înfățișează proiecțiile frontale și de profil ale bazei superioare a cilindrului.
În fig. 4.10, b arată un detaliu - o oprire. Pentru a construi proiecții ale unui punct O, dat de proiecţia sa orizontală O, găsiți alte două proiecții ale feței superioare (pe care se află punctul O) și, trasând linii de legătură până când se intersectează cu segmente drepte care reprezintă această față, determinați proiecțiile - punctele necesare O"Şi O". Punct ÎN se află pe fața verticală laterală stângă, ceea ce înseamnă că proiecțiile sale se vor așeza pe proiecțiile acestei fețe. Prin urmare, dintr-un punct dat b" trageți linii de comunicare (așa cum este indicat de săgeți) până când acestea se întâlnesc cu segmentele drepte care reprezintă această față. Proiecție frontală Cu" puncte CU, culcat pe o față situată oblic (în spațiu) se găsește pe linia care înfățișează această față, iar profilul Cu"– la intersecția liniei de comunicație, întrucât proiecția de profil a acestei fețe nu este o linie, ci o figură. Construirea proiecțiilor punctuale D indicat prin săgeți.
A doua cale
Această metodă este utilizată atunci când prima metodă nu poate fi utilizată. Atunci ar trebui să faci asta:
- trece prin proiecție dată proiecția punctuală a unei linii auxiliare situată pe o suprafață dată;
- găsiți a doua proiecție a acestei linii;
- transferați proiecția dată a punctului la proiecția găsită a dreptei (acest lucru va determina a doua proiecție a punctului);
- găsiți o a treia proiecție (dacă este necesar) la intersecția liniilor de comunicație.
În fig. 4.10, este dată proiecția frontală O" puncte O, culcat pe partea vizibilă a suprafeței conului. Pentru a găsi proiecția orizontală printr-un punct O" efectuați o proiecție frontală a unei drepte auxiliare care trece prin punct O iar vârful conului. Înțelege ideea V– proiectarea punctului de întâlnire a dreptei trasate cu baza conului. Având proiecții frontale ale punctelor situate pe o linie dreaptă, se pot găsi proiecțiile lor orizontale. Proiecție orizontală s se cunoaște vârful conului. Punct b se află pe cercul bazei. Un segment de linie dreaptă este trasat prin aceste puncte și un punct este transferat la acesta (așa cum este arătat de săgeată) O", obținerea punctului O. A treia proiecție O" puncte O este situat la intersecția liniei de comunicație.
Aceeași problemă poate fi rezolvată diferit (Fig. 4.10, G).
Ca o dreaptă auxiliară care trece printr-un punct O, luați nu o linie dreaptă, ca în primul caz, ci un cerc. Acest cerc se formează dacă într-un punct O intersectează conul cu un plan paralel cu baza, așa cum se arată în imaginea vizuală. Proiecția frontală a acestui cerc va fi reprezentată printr-un segment de linie dreaptă, deoarece planul cercului este perpendicular pe planul frontal al proiecțiilor. Proiecția orizontală a unui cerc are un diametru egal cu lungimea acest segment. După ce a descris un cerc cu diametrul indicat, trageți din punct O" linie de comunicație până când se intersectează cu cercul auxiliar, de la proiecția orizontală O puncte O se află pe linia auxiliară, adică pe cercul construit. A treia proiecție ac" puncte O găsite la intersecția liniilor de comunicație.
Folosind aceeași tehnică, puteți găsi proiecțiile unui punct situat pe o suprafață, de exemplu, o piramidă. Diferența va fi că atunci când se intersectează cu un plan orizontal, nu se formează un cerc, ci o figură asemănătoare bazei.
PROIECTAREA UNUI PUNCT PE DOUA PLANURI DE PROIECTIE
Formarea unui segment de linie dreaptă AA 1 poate fi reprezentată ca rezultat al mișcării punctului A în orice plan H (Fig. 84, a), iar formarea unui plan ca o mișcare a unui segment de dreaptă AB (Fig. 84, b).
Punct - principal element geometric linii și suprafețe, de aceea studiul proiecției dreptunghiulare a unui obiect începe cu construirea proiecțiilor dreptunghiulare ale unui punct.
În spațiul unghiului diedric format din două plane perpendiculare - planul frontal (vertical) al proiecțiilor V și planul orizontal al proiecțiilor H, plasăm punctul A (Fig. 85, a).
Linia de intersecție a planurilor de proiecție este o linie dreaptă, care se numește axa de proiecție și este desemnată cu litera x.
Planul V este reprezentat aici ca un dreptunghi, iar planul H ca un paralelogram. Partea înclinată a acestui paralelogram este de obicei desenată la un unghi de 45° față de latura sa orizontală. Lungimea laturii înclinate este considerată egală cu 0,5 din lungimea sa reală.
Din punctul A, perpendicularele sunt coborâte pe planele V și H. Punctele a" și a ale intersecției perpendicularelor cu planele de proiecție V și H sunt proiecții dreptunghiulare ale punctului A. Figura Aaa x a" din spațiu este un dreptunghi. Axa laterală a acestui dreptunghi din imaginea vizuală este redusă de 2 ori.
Să aliniem planurile H cu planul V rotind V în jurul liniei de intersecție a planurilor x. Rezultatul este un desen cuprinzător al punctului A (Fig. 85, b)
Pentru a simplifica desenul complex, limitele planurilor de proiecție V și H nu sunt indicate (Fig. 85, c).
Perpendicularele desenate din punctul A pe planurile de proiecție se numesc linii de proiecție, iar bazele acestor drepte de proiecție - punctele a și a" - se numesc proiecții ale punctului A: a" este proiecția frontală a punctului A, a este proiecția orizontală de la punctul A.
Linia a" a se numește linia verticală de conexiune de proiecție.
Locația proiecției unui punct într-un desen complex depinde de poziția acestui punct în spațiu.
Dacă punctul A se află pe planul orizontal al proiecțiilor H (Fig. 86, a), atunci proiecția sa orizontală a coincide cu punctul dat, iar proiecția frontală a" este situată pe axă. Când punctul B este situat pe frontal planul proiecțiilor V, proiecția sa frontală coincide cu acest punct, iar proiecția orizontală se află pe axa x. Proiecțiile orizontale și frontale ale unui punct dat C, situate pe axa x, coincid cu acest punct a punctelor A, B și C este prezentată în Fig. 86, b.
PROIECTAREA UNUI PUNCT PE TREI PLANURI DE PROIECTIE
În cazurile în care este imposibil să ne imaginăm forma unui obiect din două proiecții, acesta este proiectat pe trei planuri de proiecție. În acest caz, se introduce un plan de proiecție a profilului W, perpendicular pe planuri V și H. O reprezentare vizuală a sistemului de trei plane de proiecție este dată în Fig. 87, a.
Muchiile unui unghi triedric (intersecția planurilor de proiecție) se numesc axe de proiecție și sunt desemnate x, y și z. Intersecția axelor de proiecție se numește începutul axelor de proiecție și se notează cu litera O. Să lăsăm o perpendiculară din punctul A la planul de proiecție W și, marcând baza perpendicularei cu litera „a”, vom obțineți o proiecție de profil a punctului A.
Pentru a obține un desen complex al punctului A, planurile H și W sunt combinate cu planul V, rotindu-le în jurul axelor Ox și Oz. Un desen cuprinzător al punctului A este prezentat în Fig. 87, b și c.
Segmentele de linii de proiectare de la punctul A la planurile de proiecție se numesc coordonatele punctului A și sunt desemnate: x A, y A și z A.
De exemplu, coordonata z A a punctului A, egală cu segmentul a"a x (Fig. 88, a și b), este distanța de la punctul A la planul orizontal de proiecție H. Coordonata y a punctului A, egală cu segmentul aa x, este distanța de la punctul A la planul frontal al proiecțiilor V. Coordonată x A, egală cu segmentul aa y - distanța de la punctul A la planul de profil al proiecțiilor W.
Astfel, distanța dintre proiecția unui punct și axa de proiecție determină coordonatele punctului și este cheia citirii desenului său complex. Din două proiecții ale unui punct pot fi determinate toate cele trei coordonate ale punctului.
Dacă sunt date coordonatele punctului A (de exemplu, x A = 20 mm, y A = 22 mm și z A = 25 mm), atunci pot fi construite trei proiecții ale acestui punct.
Pentru a face acest lucru, de la originea coordonatelor O în direcția axei Oz, este așezată coordonata z A și coordonata y A de la capetele segmentelor așezate - punctele a z și a y (Fig 88, a) - trageți linii drepte paralele cu axa Ox și așezați-le pe segmente egale cu coordonata x A. Punctele rezultate a" și a sunt proiecțiile frontale și orizontale ale punctului A.
Folosind două proiecții a" și a ale punctului A, puteți construi proiecția profilului acestuia în trei moduri:
1) de la originea coordonatelor O, se trasează un arc auxiliar cu raza Oa y egală cu coordonatele (Fig. 87, b și c), din punctul rezultat a y1 se trasează o linie dreaptă, paralel cu axa Oz, și așezați un segment egal cu z A ;
2) din punctul a y se trasează o dreaptă auxiliară la un unghi de 45° faţă de axa Oy (fig. 88, a), se obţine punctul a y1 etc.;
3) de la originea coordonatelor O, se trasează o dreaptă auxiliară la un unghi de 45° față de axa Oy (Fig. 88, b), se obține punctul a y1 etc.
