Pentru rezolvarea majorității problemelor de matematică liceu Sunt necesare cunoștințe de întocmire a proporțiilor. Această abilitate simplă vă va ajuta nu numai să efectuați exerciții complexe din manual, ci și să vă adânciți în însăși esența științei matematice. Cum se face o proporție? Să ne dăm seama acum.
Cel mai mult exemplu simplu este o problemă în care se cunosc trei parametri, iar al patrulea trebuie găsit. Proporțiile sunt, desigur, diferite, dar adesea trebuie să găsiți un număr folosind procente. De exemplu, băiatul avea zece mere în total. I-a dat a patra parte mamei sale. Câte mere i-au rămas băiatului? Acesta este cel mai simplu exemplu care vă va permite să creați o proporție. Principalul lucru este să faci asta. Inițial au fost zece mere. Să fie 100%. I-am marcat toate merele. A dat un sfert. 1/4=25/100. Aceasta înseamnă că a plecat: 100% (a fost inițial) - 25% (a dat) = 75%. Această cifră arată procentul cantității de fructe rămase față de cantitatea disponibilă inițial. Acum avem trei numere prin care putem rezolva deja proporția. 10 mere - 100%, X mere - 75%, unde x este cantitatea necesară de fructe. Cum se face o proporție? Trebuie să înțelegeți ce este. Matematic arată așa. Semnul egal este plasat pentru înțelegere.
10 mere = 100%;
x mere = 75%.
Se dovedește că 10/x = 100%/75. Aceasta este principala proprietate a proporțiilor. La urma urmei, cu cât x este mai mare, cu atât este mai mare procentul acestui număr față de original. Rezolvăm această proporție și constatăm că x = 7,5 mere. Nu știm de ce băiatul a decis să dea o sumă parțială. Acum știi cum să faci o proporție. Principalul lucru este să găsiți două relații, dintre care una conține necunoscutul necunoscut.
Rezolvarea unei proporții se reduce adesea la o simplă înmulțire și apoi împărțire. Școlile nu explică copiilor de ce este așa. Deși este important să înțelegem că relațiile proporționale sunt clasice matematice, însăși esența științei. Pentru a rezolva proporțiile, trebuie să fii capabil să gestionezi fracțiile. De exemplu, adesea trebuie să convertiți procentele în fracții. Adică, înregistrarea a 95% nu va funcționa. Și dacă scrieți imediat 95/100, atunci puteți face reduceri semnificative fără a începe calculul principal. Merită să spuneți imediat că, dacă proporția dvs. se dovedește a fi cu două necunoscute, atunci nu poate fi rezolvată. Nici un profesor nu te va ajuta aici. Și sarcina ta are cel mai probabil un algoritm mai complex pentru acțiuni corecte.
Să ne uităm la un alt exemplu în care nu există procente. Un șofer a cumpărat 5 litri de benzină pentru 150 de ruble. S-a gândit cât va plăti pentru 30 de litri de combustibil. Pentru a rezolva această problemă, să notăm cu x suma necesară de bani. Puteți rezolva singur această problemă și apoi verificați răspunsul. Dacă nu ați înțeles încă cum să faceți o proporție, atunci aruncați o privire. 5 litri de benzină înseamnă 150 de ruble. Ca și în primul exemplu, notăm 5l - 150r. Acum să găsim al treilea număr. Desigur, acesta este de 30 de litri. De acord că o pereche de 30 l - x ruble este potrivită în această situație. Să trecem la limbajul matematic.
5 litri - 150 de ruble;
30 litri - x ruble;
Să rezolvăm această proporție:
x = 900 de ruble.
Așa că ne-am hotărât. În sarcina dvs., nu uitați să verificați caracterul adecvat al răspunsului. Se întâmplă ca, cu o decizie greșită, mașinile să atingă viteze nerealiste de 5000 de kilometri pe oră și așa mai departe. Acum știi cum să faci o proporție. O poți rezolva și tu. După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în acest sens.
bază cercetarea matematică este capacitatea de a dobândi cunoştinţe despre anumite mărimi comparându-le cu alte mărimi care fie egal, sau Mai mult sau Mai puțin decât cele care fac obiectul cercetării. Acest lucru se face de obicei folosind o serie ecuațiiŞi proporții. Când folosim ecuații, determinăm cantitatea pe care o căutăm găsind-o egalitate cu o altă cantitate sau cantități deja cunoscute.
Cu toate acestea, se întâmplă adesea să comparăm o cantitate necunoscută cu altele care nu egali ea, dar mai mult sau mai puțin decât ea. Acest lucru necesită o abordare diferită a procesării datelor. Poate că trebuie să știm, de exemplu, pentru cât timp o cantitate este mai mare decât cealaltă, sau de câte ori unul îl conține pe celălalt. Pentru a găsi răspunsul la aceste întrebări, vom afla despre ce este vorba raport doua marimi. Se numește un singur raport aritmetică, iar celălalt geometric. Deși este de remarcat faptul că ambii acești termeni nu au fost adoptați întâmplător sau doar în scopul distincției. Atât relațiile aritmetice, cât și cele geometrice se aplică atât aritmeticii, cât și geometriei.
Ca o componentă a unui subiect larg și important, proporția depinde de raporturi, deci este necesară o înțelegere clară și completă a acestor concepte.
338. Relație aritmetică Acest diferenţăîntre două mărimi sau o serie de mărimi. Cantitățile în sine sunt numite membrii relații, adică termeni între care există o relație. Astfel, 2 este raportul aritmetic dintre 5 și 3. Acesta se exprimă prin plasarea unui semn minus între două valori, adică 5 - 3. Desigur, termenul raport aritmetic și descrierea lui punct cu punct este practic inutil, deoarece doar un cuvânt este înlocuit diferenţă prin semnul minus din expresie.
339. Dacă ambii termeni ai unei relaţii aritmetice multiplica sau împărțiți cu aceeași sumă, atunci raport, va fi în cele din urmă înmulțit sau împărțit cu această sumă.
Astfel, dacă avem a - b = r
Apoi înmulțiți ambele părți cu h, (Ax. 3.) ha - hb = hr
Și împărțind la h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$
340. Dacă termenii unei relații aritmetice se adună sau se scad din termenii corespunzători altuia, atunci raportul sumei sau diferenței va fi egal cu suma sau diferența celor două rapoarte.
Dacă a - b
Și d-h,
sunt două relații,
Atunci (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Care în fiecare caz = a + d - b - h.
Și (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Care în fiecare caz = a - d - b + h.
Astfel, raportul aritmetic 11 - 4 este egal cu 7
Și relația aritmetică 5 - 2 este 3
Raportul sumei termenilor 16 - 6 este 10, - suma rapoartelor.
Raportul dintre diferența de termeni 6 - 2 este 4, - diferența de rapoarte.
341. Raport geometric
- este relația dintre cantități, care se exprimă PRIVAT, dacă o cantitate este împărțită la alta.
Astfel, raportul de la 8 la 4 poate fi scris ca 8/4 sau 2. Adică, câtul lui 8 împărțit la 4. Cu alte cuvinte, arată de câte ori 4 este conținut în 8.
La fel, raportul oricărei mărimi la alta poate fi determinat prin împărțirea primei la a doua sau, ceea ce, în principiu, este același lucru, făcând din prima numărătorul fracției, iar pe a doua numitorul.
Deci raportul dintre a și b este $\frac(a)(b)$
Raportul dintre d + h și b + c este $\frac(d+h)(b+c)$.
342. O relație geometrică se scrie și prin plasarea a două puncte unul deasupra celuilalt între mărimile comparate.
Astfel, a:b este raportul dintre a și b, iar 12:4 este raportul dintre 12 și 4. Cele două mărimi formează împreună un cuplu, în care se numește primul termen antecedente, iar ultimul - consecință.
343. Această notație în formă punctată și cealaltă în formă fracționară sunt interschimbabile după caz, antecedentul devenind numărătorul fracției și consecutiv numitorul.
Deci 10:5 este același cu $\frac(10)(5)$ și b:d este același cu $\frac(b)(d)$.
344. Dacă este dat vreunul din aceste trei semnificații: antecedent, consecvent și raport două, apoi al treilea poate fi găsit.
Fie a= antecedent, c= consecvent, r= raport.
Prin definiție, $r=\frac(a)(c)$, adică raportul este egal cu antecedentul împărțit la consecvent.
Înmulțind cu c, a = cr, adică antecedentul este egal cu multiplicarea raportului.
Să împărțim la r, $c=\frac(a)(r)$, adică rezultatul este egal cu antecedentul împărțit la raport.
Resp. 1. Dacă două perechi au antecedente și consecințe egale, atunci și rapoartele lor sunt egale.
Resp. 2. Dacă două perechi au rapoarte și antecedente egale, atunci consecințele sunt egale, iar dacă rapoartele și consecințele sunt egale, atunci antecedentele sunt egale.
345. Dacă două cantităţi fiind comparate egal, atunci raportul lor este egal cu unu sau raportul de egalitate. Raportul 3*6:18 este egal cu unu, deoarece câtul oricărei cantități împărțite la sine este egal cu 1.
Dacă antecedentul perechii Mai mult, decât rezultatul, atunci raportul este mai mare decât unu. Deoarece dividendul este mai mare decât divizorul, coeficientul este mai mare decât unu. Deci raportul 18:6 este 3. Acesta se numește raport inegalitate mai mare.
Pe de altă parte, dacă antecedentul Mai puțin decât rezultatul, atunci raportul este mai mic de unu și acesta se numește raport mai puțină inegalitate. Deci raportul 2:3 este mai mic decât unu, deoarece dividendul este mai mic decât divizorul.
346. Verso un raport este raportul a două reciproce.
Deci raportul invers este 6 la 3 este to, adică:.
Relația directă a lui a la b este $\frac(a)(b)$, adică antecedentul împărțit la consecință.
Relația inversă este $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ sau $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
adică secvența b împărțită la antecedentul a.
Prin urmare, se exprimă relația inversă prin inversarea fracţiei, care afișează o relație directă sau, când înregistrarea se face folosind puncte, inversând ordinea scrierii membrilor.
Astfel, a este față de b în sens opus așa cum este b față de a.
347. Raport complex acesta este raportul fabrică termeni corespunzători cu două sau mai multe relaţii simple.
Deci raportul este 6:3, egal cu 2
Și raportul 12:4 este egal cu 3
Raportul format din ele este 72:12 = 6.
Aici se obține o relație complexă prin înmulțirea a două antecedente și, de asemenea, a două consecințe ale relațiilor simple.
Deci raportul este întocmit
Din raportul a:b
Și rapoarte c:d
și rapoarte h:y
Aceasta este relația $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Relația complexă nu este diferită în ea natură din orice alt raport. Acest termen este folosit pentru a arăta originea unei relații în anumite cazuri.
Resp. Un raport complex este egal cu produsul rapoartelor simple.
Raportul a:b este egal cu $\frac(a)(b)$
Raportul c:d este egal cu $\frac(c)(d)$
Raportul h:y este egal cu $\frac(h)(y)$
Iar raportul adăugat din aceste trei va fi ach/bdy, care este produsul fracțiilor care exprimă rapoarte simple.
348. Dacă în succesiunea relațiilor din fiecare pereche anterioară consecința este antecedentul în cea ulterioară, atunci raportul dintre primul antecedent şi ultimul rezultat este egal cu cel obţinut din rapoartele intermediare.
Deci într-un număr de rapoarte
a:b
b:c
CD
d:h
raportul a:h este egal cu raportul adunat din rapoartele a:b și b:c și c:d și d:h. Deci raportul complex din ultimul articol este $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ sau a:h.
În același mod, toate cantitățile care sunt atât antecedente, cât și consecințe va dispărea, când produsul fracțiilor va fi simplificat la termenii săi inferiori, iar restul relației complexe va fi exprimat prin primul antecedent și ultimul consecvent.
349. O clasă specială de relaţii complexe se obţine prin înmulţirea unei relaţii simple cu te sau la altul egal raport. Aceste relații se numesc dubla, triplu, cvadruplu, și așa mai departe, în funcție de numărul de operații de înmulțire.
Un raport alcătuit din două proporții egale, adică pătrat dubla raport.
Compus din trei, adică cub se numește relație simplă triplu, și așa mai departe.
Raport similar rădăcini pătrate două mărimi se numește raport rădăcină pătrată
, și raportul rădăcini cubice- raport rădăcină cubă, și așa mai departe.
Deci raportul simplu dintre a și b este a:b
Raportul dublu dintre a și b este a 2:b 2
Raportul triplu dintre a și b este a 3:b 3
Raportul dintre rădăcina pătrată a lui a la b este √a :√b
Raportul rădăcinii cubice a lui a la b este 3 √a : 3 √b și așa mai departe.
Termeni dubla, triplu, și așa mai departe nu trebuie amestecate cu dublat, triplat, și așa mai departe.
Raportul de la 6 la 2 este 6:2 = 3
Dublam acest raport, adică raportul de două ori, apoi obținem 12:2 = 6
Tripla acest raport, adică acest raport de trei ori, obținem 18:2 = 9
O dubla raport, adică pătrat raportul este egal cu 6 2:2 2 = 9
ŞI triplu raportul, adică cubul raportului, este 6 3:2 3 = 27
350. Pentru ca cantitățile să fie corelate între ele, ele trebuie să fie de același fel, astfel încât să se poată spune cu încredere dacă sunt egale între ele, sau dacă una dintre ele este mai mare sau mai mică. Un picior este la un inch, așa cum 12 este la 1: este de 12 ori mai mare decât un inch. Dar nu se poate spune, de exemplu, că o oră este mai lungă sau mai scurtă decât un băț, sau un acru este mai mult sau mai puțin decât un grad. Totuși, dacă aceste cantități sunt exprimate în numere, atunci poate exista o relație între aceste numere. Adică, poate exista o relație între numărul de minute dintr-o oră și numărul de pași dintr-o milă.
351. Întorcându-se spre natură raporturile, următorul pas trebuie să luăm în considerare modul în care schimbarea în unul sau doi termeni care sunt comparați unul cu celălalt va afecta raportul în sine. Amintiți-vă că relația directă este exprimată ca o fracție, unde antecedet cuplurile sunt întotdeauna asta numărător, A consecvent - numitor. Atunci va fi ușor de obținut din proprietatea fracțiilor că modificările raportului apar prin variarea cantităților comparate. Raportul dintre cele două cantități este același ca sens fracții, fiecare dintre acestea reprezentând privat: numărător împărțit la numitor. (Art. 341.) Acum s-a arătat că înmulțirea numărătorului unei fracții cu orice valoare este aceeași cu înmulțirea sens cu aceeași cantitate și împărțirea numărătorului este la fel cu împărțirea valorilor unei fracții. De aceea,
352. Înmulțirea antecedentului unei perechi cu orice valoare înseamnă înmulțirea raportului cu această valoare, iar împărțirea antecedentului înseamnă împărțirea acestui raport.
Astfel, raportul 6:2 este egal cu 3
Iar raportul de 24:2 este egal cu 12.
Aici antecedentul și raportul în ultima pereche sunt de 4 ori mai mari decât în prima.
Raportul a:b este egal cu $\frac(a)(b)$
Iar raportul na:b este egal cu $\frac(na)(b)$.
Resp. Având în vedere un rezultat cunoscut, cu atât mai mult antecedente, cu atât mai mult raportși, invers, cu cât raportul este mai mare, cu atât antecedentul este mai mare.
353. Înmulțind rezultatul unei perechi cu orice valoare, rezultatul este împărțirea raportului la această valoare, iar împărțind rezultatul, înmulțim raportul.Înmulțind numitorul unei fracții, împărțim valoarea, iar prin împărțirea numitorului, valoarea se înmulțește.
Deci raportul 12:2 este 6
Iar raportul de 12:4 este 3.
Iată consecința celei de-a doua perechi în de două ori mai mult, și raportul de două ori mai putin decat primul.
Raportul a:b este egal cu $\frac(a)(b)$
Iar raportul a:nb este egal cu $\frac(a)(nb)$.
Resp. Având în vedere un antecedent, cu cât rezultatul este mai mare, cu atât raportul este mai mic. Dimpotrivă, cu cât raportul este mai mare, cu atât este mai mic rezultatul.
354. Din ultimele două articole rezultă că multiplicarea antecedentului perechile de orice sumă vor avea același efect asupra raportului ca împărțirea consecventă cu această sumă, și împărțirea antecedentului, va avea același efect ca multiplicarea consecventului.
Prin urmare, raportul 8:4 este egal cu 2
Înmulțind antecedentul cu 2, raportul 16:4 este 4
Împărțind antecedentul la 2, raportul 8:2 este 4.
Resp. Orice factor sau separator poate fi transferat de la antecedentul unei perechi la consecvent sau de la consecvent la antecedent fără a schimba relația.
Este demn de remarcat faptul că atunci când un factor este transferat de la un termen la altul în acest fel, el devine un divizor, iar divizorul transferat devine un multiplicator.
Deci raportul este 3,6:9 = 2
Continuând factorul 3, $6:\frac(9)(3)=2$
acelasi raport.
Relația $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Mutarea y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Mișcând m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.
355. După cum rezultă din articole. 352 și 353, dacă antecedentul și consecința sunt ambele înmulțite sau împărțite cu aceeași sumă, atunci raportul nu se modifică.
Resp. 1. Raportul celor doi fractii care au numitor comun, la fel cu atitudinea lor numărători.
Deci raportul a/n:b/n este același cu a:b.
Resp. 2. Direct raportul a două fracții care au un numărător comun este egal cu inversul raportului lor numitori.
356. Din articol este ușor de determinat raportul dintre oricare două fracții. Dacă fiecare termen este înmulțit cu doi numitori, atunci raportul va fi dat prin expresii integrale. Astfel, înmulțind termenii perechii a/b:c/d cu bd, obținem $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, care devine ad:bc, prin reducerea valorile totale de la numărători și numitori.
356. b. Raport inegalitate mai mare crește lui
Fie raportul inegalității mai mari să fie dat ca 1+n:1
Și orice raport ca a:b
Raportul complex va fi (articolul 347) a + na:b
Care este mai mare decât raportul a:b (Art. 351 resp.)
Dar raportul mai puțină inegalitate, pliat cu un raport diferit, reduce lui.
Fie raportul diferenței mai mici 1-n:1
Orice raport dat a:b
Raport complex a - na:b
Care este mai mic decât a:b.
357. Dacă către sau de la membrii oricărei perechiadăuga sau scădeți alte două mărimi care sunt în același raport, atunci sumele sau resturile vor avea același raport.
Fie raportul a:b
Va fi la fel ca c:d
Apoi raportul sume antecedentele sumei consecințelor, și anume de la a + c la b + d, sunt de asemenea aceleași.
Adică $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.
Dovada.
1. Conform ipotezei, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Înmulțiți cu b și d, ad = bc
3. Adăugați cd pe ambele părți, ad + cd = bc + cd
4. Împărțiți la d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Împărțiți la b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.
Raport diferențe antecedentele diferenței de consecințe sunt și ele aceleași.
358. Dacă în mai multe perechi rapoartele sunt egale, atunci suma tuturor antecedentelor este legată de suma tuturor consecințelor, la fel cum orice antecedent este legată de rezultatul său.
Deci raportul
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Astfel, raportul (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.
358. b. Raport inegalitate mai marescade, adăugând aceeași sumă ambilor membri.
Fie raportul dat a+b:a sau $\frac(a+b)(a)$
Adăugând x la ambii termeni obținem a+b+x:a+x sau $\frac(a+b)(a)$.
Primul devine $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
Și ultimul este $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Deoarece ultimul numărător este evident mai mic decât celălalt, atunci raport ar trebui să fie mai puțin. (Articolul 351 resp.)
Dar raportul mai puțină inegalitate crește, adăugând aceeași sumă la ambii termeni.
Fie raportul dat (a-b):a sau $\frac(a-b)(a)$.
Adăugând x la ambii termeni, acesta devine (a-b+x):(a+x) sau $\frac(a-b+x)(a+x)$
Aducându-le la un numitor comun,
Primul devine $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
Și ultimul, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.
Deoarece ultimul numărător este mai mare decât celălalt, atunci raport Mai mult.
Dacă în loc să adauge aceeași valoare la pachet din doi termeni, atunci este evident că efectul asupra raportului va fi invers.
Exemple.
1. Care este mai mare: raportul 11:9 sau raportul 44:35?
2. Care este mai mare: raportul $(a+3):\frac(a)(6)$ sau raportul $(2a+7):\frac(a)(3)$?
3. Dacă antecedentul unei perechi este 65 și raportul este 13, care este consecința?
4. Dacă rezultatul unei perechi este 7 și raportul este 18, care este antecedentul?
5. Cum arată un raport complex format din 8:7 și 2a:5b, precum și (7x+1):(3y-2)?
6. Cum arată o relație complexă compusă din (x+y):b și (x-y):(a + b), precum și (a+b):h? Reprezentant. (x 2 - y 2):bh.
7. Dacă relațiile (5x+7):(2x-3) și $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ formează o relație complexă, atunci ce relație se va obţine: Mai multă sau mai puţină inegalitate? Reprezentant. Raportul inegalității mai mari.
8. Care este raportul alcătuit din (x + y):a și (x - y):b și $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Reprezentant. Relația de egalitate.
9. Care este raportul de 7:5, raportul dublu de 4:9 și raportul triplu de 3:2?
Reprezentant. 14:15.
10. Care este raportul făcut din 3:7 și triplul raportului x:y și luând rădăcina raportului 49:9?
Reprezentant. x 3:y 3 .
Proporțiile sunt o combinație atât de familiară din care probabil se cunoaște clasele primare școală gimnazială. În sensul cel mai general, proporția este egalitatea a două sau mai multe rapoarte.
Adică dacă există anumite numere A, B și C
apoi proporția
dacă sunt patru numere A, B, C și D
atunci sau sunt și proporții
Cel mai simplu exemplu în care se folosește proporția este calcularea procentelor.
În general, utilizarea proporțiilor este atât de largă încât este mai ușor de spus unde nu sunt folosite.
Proporțiile pot fi folosite pentru a determina distanțe, mase, volume, precum și cantități de orice, cu unul condiție importantă: proporțional, ar trebui să existe relații liniare între diferite obiecte. Mai jos, folosind exemplul de construire a unui model al Călărețului de bronz, veți vedea cum să calculați proporțiile acolo unde există dependențe neliniare.
Stabiliți câte kilograme de orez vor fi dacă luați 17 la sută din volumul total de orez de 150 de kilograme?
Să facem o proporție în cuvinte: 150 de kilograme este volumul total de orez. Deci, să o luăm ca 100%. Apoi 17% din 100% va fi calculat ca proporție a două rapoarte: 100% este la 150 de kilograme la fel ca 17% este la un număr necunoscut.
Acum numărul necunoscut poate fi calculat cu ușurință
Adică răspunsul nostru este 25,5 kilograme de orez.
De asemenea, legat de proporții ghicitori interesante, care arată că nu este nevoie să aplicați cu neplăcere proporții pentru toate ocaziile.
Iată una dintre ele, ușor modificată:
Pentru expunere în biroul companiei, directorul a ordonat realizarea unui model al sculpturii Călărețul de bronz fără soclu de granit. Una dintre conditii este ca amenajarea sa fie realizata din aceleasi materiale ca si originalul, proportiile sa fie respectate si inaltimea amenajarii sa fie de exact 1 metru. Întrebare: Care va fi masa modelului?
Mai întâi, să ne uităm la cărțile de referință.
Înălțimea călărețului este de 5,35 metri și greutatea lui este de 8.000 kg.
Dacă folosim primul gând - pentru a face o proporție: 5,35 metri este raportat la 8.000 de kilograme, așa cum 1 metru este o cantitate necunoscută, atunci s-ar putea să nu începem nici măcar calculul, deoarece răspunsul va fi incorect.
Este vorba despre o mică nuanță de care trebuie luată în considerare. Totul tine de conexiune între masă și înălțime sculptorilor neliniar, adică nu se poate spune că mărind, de exemplu, un cub cu 1 metru (respectând proporțiile astfel încât să rămână cub), îi vom crește greutatea cu aceeași cantitate.
Acest lucru este ușor de verificat cu exemple:
1. lipiți un cub cu lungimea marginii de 10 centimetri. Câtă apă va intra acolo? Este logic ca 10*10*10 = 1000 de centimetri cubi, adică 1 litru. Ei bine, deoarece acolo a fost turnată apă (densitatea este egală cu unitatea) și nu un alt lichid, atunci masa va fi egală cu 1 kg.
2. lipiți un cub asemănător dar cu lungimea marginii de 20 cm Volumul de apă turnat acolo va fi egal cu 20*20*20=8000 centimetri cubi, adică 8 litri. Ei bine, greutatea este în mod natural de 8 kg.
Este ușor de observat că relația dintre masă și modificarea lungimii muchiei unui cub este neliniară, sau mai degrabă cubică.
Amintiți-vă că volumul este produsul dintre înălțime, lățime și adâncime.
Adică, la schimbarea figurii (în funcție de proporții/forme) dimensiune liniară (înălțime, lățime, adâncime) masă/volum figură volumetrică se schimba cubic.
Raționăm:
Dimensiunea noastră liniară s-a schimbat de la 5,35 metri la 1 metru, apoi masa (volumul) se va schimba ca rădăcină cubă de 8000/x
Și obținem aspectul Călăreț de bronz in biroul firmei cu inaltimea de 1 metru va cantari 52 kilograme 243 grame.
Dar, pe de altă parte, dacă sarcina a fost pusă așa” dispunerea trebuie realizată din aceleaşi materiale ca şi originalul, proporţiile trebuie respectate şi volum 1 metru cub „știind că între volum și masă dependență liniară- am folosi doar raportul standard, volumul vechi la nou și masa veche la un număr necunoscut.
Dar botul nostru ajută la calcularea proporțiilor în alte cazuri, mai frecvente și mai practice.
Cu siguranță, va fi de folos tuturor gospodinelor care pregătesc mâncare.
Apar situații când se găsește o rețetă pentru un tort uimitor de 10 kg, dar volumul ei este prea mare pentru a fi pregătit Mi-ar plăcea să fie mai mic, de exemplu, doar două kilograme, dar cum să calculez toate noile greutăți și volume de ingrediente. ?
Aici te va ajuta un bot, care poate calcula noii parametri ai unui tort de 2 kilograme.
Botul va ajuta și la calcule pentru bărbații harnici care își construiesc o casă și trebuie să calculeze câte ingrediente trebuie să ia pentru beton dacă au doar 50 de kilograme de nisip.
Sintaxă
Pentru utilizatorii client XMPP: pro<строка>
unde șirul are elemente solicitate
număr1/număr2 - găsirea proporției.
Ca să nu te sperii de o descriere atât de scurtă, hai să dăm un exemplu aici
200 300 100 3 400/100
Ce scrie, de exemplu:
200 de grame de făină, 300 de mililitri de lapte, 100 de grame de unt, 3 ouă - randament de clătite 400 de grame.
Câte ingrediente trebuie să luați pentru a coace doar 100 de grame de clătite?
Cât de ușor este de observat
400/100 este raportul dintre o rețetă tipică și randamentul pe care vrem să-l obținem.
Ne vom uita la exemple mai detaliat în secțiunea corespunzătoare.
Exemple
Un prieten a împărtășit o rețetă minunată
Aluat: 200 de grame de semințe de mac, 8 ouă, 200 de zahăr pudră, 50 de grame de pâine rasă, 200 de grame de nuci măcinate, 3 căni de miere.
Fierbeți semințele de mac timp de 30 de minute la foc mic, măcinați cu un pistil, adăugați miere topită, biscuiți măcinați și nuci.
Bateți ouăle cu zahărul pudră și adăugați la amestec.
Se amestecă cu grijă aluatul, se toarnă în formă și se coace.
Tăiați prăjitura răcită în 2 straturi, acoperiți cu dulceață, apoi smântână.
Decorați cu gem de fructe de pădure.
Smântână: 1 cană smântână, 1/2 cană zahăr, bate.
Formula proporțională
Proporția este egalitatea a două rapoarte când a:b=c:d
relatia 1 : 10 este egal cu raportul 7 : 70, care poate fi scris și ca fracție: 1 10 = 7 70 spune: „unu este la zece, precum șapte este la șaptezeci”Proprietăți de bază ale proporției
Lucru membrii extremi egal cu produsul termenilor mijlocii (în cruce): dacă a:b=c:d, atunci a⋅d=b⋅c
1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7Inversarea proporției: dacă a:b=c:d atunci b:a=d:c
1 10 7 70 10 1 = 70 7Rearanjarea termenilor de mijloc: dacă a:b=c:d atunci a:c=b:d
1 10 7 70 1 7 = 10 70Rearanjarea termenilor extremi: dacă a:b=c:d atunci d:b=c:a
1 10 7 70 70 10 = 7 1Rezolvarea unei proporții cu o necunoscută | Ecuaţie
1 : 10 = x : 70 sau 1 10 = x 70Pentru a găsi x, trebuie să înmulțiți două numere cunoscute în cruce și să împărțiți la valoarea opusă
x = 1 ⋅ 70 10 = 7Cum se calculează proporția
Sarcină: trebuie să bei 1 tabletă de cărbune activ la 10 kilograme de greutate. Câte comprimate ar trebui să luați dacă o persoană cântărește 70 kg?
Să facem o proporție: 1 tabletă - 10 kg x tablete - 70 kg Pentru a găsi X, trebuie să înmulțiți două numere cunoscute în cruce și să împărțiți la valoarea opusă: 1 tabletă x tablete✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Răspuns: 7 tablete
Sarcină:în cinci ore Vasya scrie două articole. Câte articole va scrie în 20 de ore?
Să facem o proporție: 2 articole - 5 ore x articole - 20 de ore x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Răspuns: 8 articole
Pot spune viitorilor absolvenți de școală că abilitatea de a întocmi proporții mi-a fost utilă atât pentru a reduce proporțional imaginile, cât și în aspectul HTML al unei pagini de Internet, cât și în situații de zi cu zi.
O relație este o anumită relație între entitățile lumii noastre. Acestea pot fi numere, cantități fizice, obiecte, produse, fenomene, acțiuni și chiar oameni.
ÎN viata de zi cu zi, când vine vorba de rapoarte, spunem noi „relația dintre asta și asta”. De exemplu, dacă într-o vază sunt 4 mere și 2 pere, atunci spunem "raportul mere la pere" "proporția de pere și mere".
În matematică, raportul este mai des folosit ca „atitudinea lui și așa față de așa și așa”. De exemplu, raportul dintre patru mere și două pere, pe care l-am considerat mai sus, în matematică se va citi ca „raportul dintre patru mere și două pere” sau dacă schimbi mere și pere, atunci „raportul dintre două pere și patru mere”.
Raportul este exprimat ca o La b(unde în loc de oŞi b orice numere), dar mai des puteți găsi o intrare care este compusă folosind două puncte ca a: b. Puteți citi această postare în diferite moduri:
- o La b
- o se referă la b
- atitudine o La b
Să scriem raportul dintre patru mere și două pere folosind simbolul raportului:
4: 2
Dacă schimbăm mere și pere, vom avea un raport de 2: 4. Acest raport poate fi citit ca „două până la patru” fie sau „două pere sunt egale cu patru mere” .
În cele ce urmează vom numi relația un raport.
Conținutul lecțieiCe este atitudinea?
Relația, așa cum am menționat mai devreme, este scrisă sub formă a:b. Se poate scrie și ca fracție. Și știm că o astfel de notație în matematică înseamnă divizare. Atunci rezultatul relației va fi câtul numerelor oŞi b.
În matematică, un raport este câtul dintre două numere.
Raportul vă permite să aflați cât de mult este dintr-o entitate per unitate de alta. Să revenim la raportul dintre patru mere și două pere (4:2). Acest raport ne va permite să aflăm câte mere există pe unitate de pară. Prin unitate înțelegem o peră. Mai întâi, să scriem raportul 4:2 ca o fracție:
Acest raport reprezintă împărțirea numărului 4 la numărul 2. Dacă facem această împărțire, vom obține răspunsul la întrebarea câte mere există pe unitate de pară
Avem 2. Deci patru mere și două pere (4: 2) sunt corelate (interconectate între ele), astfel încât să fie două mere pentru o peră
Figura arată modul în care patru mere și două pere se leagă între ele. Se vede că pentru fiecare pară sunt două mere.
Relația poate fi inversată scriind-o ca . Apoi obținem raportul dintre două pere la patru mere sau „raportul dintre două pere la patru mere”. Acest raport va arăta câte pere există pe unitate de măr. O unitate de măr înseamnă un măr.
Pentru a găsi valoarea unei fracții, trebuie să vă amintiți cum să împărțiți un număr mai mic la unul mai mare.
Avem 0,5. Să traducem asta zecimal la obisnuit:
Să reducem rezultatul fracție comună până la 5
Am primit un răspuns (jumătate de peră). Aceasta înseamnă că două pere și patru mere (2: 4) sunt corelate (interconectate între ele), astfel încât un măr reprezintă o jumătate de peră.
Figura arată modul în care două pere și patru mere sunt legate între ele. Se vede că pentru fiecare măr există o jumătate de pară.
Se numesc numerele care alcătuiesc raportul membri ai relației. De exemplu, în raportul 4:2 termenii sunt 4 și 2.
Să ne uităm la alte exemple de relații. Pentru a pregăti ceva, se întocmește o rețetă. O rețetă se construiește din relațiile dintre produse. De exemplu, pentru a pregăti fulgi de ovăz, ai nevoie de obicei de un pahar de cereale la două pahare de lapte sau apă. Raportul rezultat este 1:2 („unu la doi” sau „un pahar de cereale la două pahare de lapte”).
Să convertim raportul 1:2 într-o fracție, obținem . După ce am calculat această fracție, obținem 0,5. Aceasta înseamnă că un pahar de cereale și două pahare de lapte sunt corelate (interrelaționate între ele), astfel încât un pahar de lapte reprezintă jumătate de pahar de cereale.
Dacă inversați raportul de 1:2, obțineți un raport de 2:1 („două la unu” sau „două căni de lapte la o cană de cereale”). Transformând raportul 2:1 într-o fracție, obținem . Calculând această fracție, obținem 2. Aceasta înseamnă că două pahare de lapte și un pahar de cereale sunt corelate (interrelaționate între ele) astfel încât pentru un pahar de cereale există două pahare de lapte.
Exemplul 2.În clasă sunt 15 elevi. Dintre aceștia, 5 sunt băieți, 10 sunt fete. Puteți scrie raportul dintre fete și băieți ca 10:5 și puteți converti acest raport într-o fracție. După ce am calculat această fracție, obținem 2. Adică fetele și băieții sunt legați între ei în așa fel încât pentru fiecare băiat să fie două fete
Figura arată cum se compară zece fete și cinci băieți. Se vede că pentru fiecare băiat sunt două fete.
Nu este întotdeauna posibil să convertiți un raport într-o fracție și să găsiți câtul. În unele cazuri, acest lucru va fi contra-intuitiv.
Deci, dacă întoarceți atitudinea, se dovedește, iar aceasta este atitudinea băieților față de fete. Dacă calculezi această fracție, se dovedește a fi 0,5. Se dovedește că cinci băieți sunt înrudiți cu zece fete, astfel încât pentru fiecare fată să fie jumătate de băiat. Din punct de vedere matematic, acest lucru este cu siguranță adevărat, dar din punctul de vedere al realității nu este în întregime rezonabil, pentru că un băiat este o persoană vie și nu poate fi pur și simplu luat și împărțit, ca o peră sau un măr.
Abilitatea de a dezvolta atitudinea corectă este o abilitate importantă atunci când rezolvăm probleme. Deci, în fizică, raportul dintre distanța parcursă și timpul este viteza de mișcare.
Distanța este indicată prin variabilă S, timp - prin variabilă t, viteza - prin variabilă v. Apoi fraza „raportul dintre distanța parcursă și timpul este viteza de mișcare” va fi descris prin următoarea expresie:
Să presupunem că mașina a parcurs 100 de kilometri în 2 ore. Atunci raportul dintre o sută de kilometri parcurși și două ore va fi viteza mașinii:
Viteza se numește de obicei distanța parcursă de un corp pe unitatea de timp. Unitatea de timp înseamnă 1 oră, 1 minut sau 1 secundă. Și raportul, așa cum am menționat mai devreme, vă permite să aflați cât de mult este dintr-o entitate per unitate de alta. În exemplul nostru, raportul dintre o sută de kilometri și două ore arată câți kilometri sunt într-o oră de mișcare. Vedem că pentru fiecare oră de mișcare sunt 50 de kilometri
Prin urmare, viteza se măsoară în km/h, m/min, m/s. Simbolul fracției (/) indică relația dintre distanță și timp: kilometri pe oră , metri pe minutŞi metri pe secundă respectiv.
Exemplul 2. Raportul dintre costul unui produs și cantitatea acestuia este prețul unei unități a produsului
Dacă am luat 5 batoane de ciocolată din magazin și costul lor total a fost de 100 de ruble, atunci putem determina prețul unui baton. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți raportul dintre o sută de ruble și numărul de bomboane. Apoi obținem că un bar costă 20 de ruble
Compararea valorilor
Mai devreme am aflat că raportul dintre cantitățile de diferite naturi formează o nouă cantitate. Astfel, raportul dintre distanța parcursă și timpul este viteza de mișcare. Raportul dintre valoarea unui produs și cantitatea acestuia este prețul unei unități a produsului.
Dar raportul poate fi folosit și pentru a compara cantități. Rezultatul unei astfel de relații este un număr care arată de câte ori prima valoare este mai mare decât a doua sau ce parte este prima valoare a celei de-a doua.
Pentru a afla de câte ori prima valoare este mai mare decât a doua, trebuie să scrieți valoarea mai mare în numărătorul raportului și valoarea mai mică în numitor.
Pentru a afla ce parte este prima valoare a celei de-a doua, trebuie să scrieți valoarea mai mică în numărătorul raportului și valoarea mai mare în numitor.
Să luăm în considerare numerele 20 și 2. Să aflăm de câte ori este mai mare numărul 20 decât numărul 2. Pentru a face acest lucru, găsiți raportul dintre numărul 20 și numărul 2. Scriem numărul 20 în numărătorul raportul și numărul 2 la numitor
Valoarea acestui raport este de zece
Raportul dintre numărul 20 și numărul 2 este numărul 10. Acest număr arată de câte ori numărul 20 este mai mare decât numărul 2. Aceasta înseamnă că numărul 20 este de zece ori mai mare decât numărul 2.
Exemplul 2.În clasă sunt 15 elevi. 5 dintre ei sunt băieți, 10 sunt fete. Stabiliți de câte ori sunt mai multe fete decât băieți.
Înregistrăm atitudinea fetelor față de băieți. În numărătorul raportului scriem numărul de fete, în numitorul raportului - numărul de băieți:
Valoarea acestui raport este 2. Aceasta înseamnă că într-o clasă de 15 persoane sunt de două ori mai multe fete decât băieți.
Nu se mai pune problema câte fete sunt pentru un băiat. În acest caz, raportul este utilizat pentru a compara numărul de fete cu numărul de băieți.
Exemplul 3. Ce parte din numărul 2 este numărul 20?
Găsim raportul dintre numărul 2 și numărul 20. Scriem numărul 2 la numărătorul raportului, iar numărul 20 la numitor
Pentru a găsi sensul acestei relații, trebuie să vă amintiți
Valoarea raportului dintre numărul 2 și numărul 20 este numărul 0,1
În acest caz, fracția zecimală 0,1 poate fi convertită într-o fracție obișnuită. Acest răspuns va fi mai ușor de înțeles:
Aceasta înseamnă că numărul 2 al numărului 20 este o zecime.
Puteți face o verificare. Pentru a face acest lucru, vom găsi de la numărul 20. Dacă am făcut totul corect, ar trebui să obținem numărul 2
20: 10 = 2
2 × 1 = 2
Am primit numărul 2. Aceasta înseamnă că o zecime din numărul 20 este numărul 2. De aici concluzionăm că problema a fost rezolvată corect.
Exemplul 4. Sunt 15 persoane în clasă. 5 dintre ei sunt băieți, 10 sunt fete. Stabiliți ce proporție din numărul total de școlari sunt băieți.
Înregistrăm raportul dintre băieți și numărul total de școlari. Scriem cinci băieți la numărătorul raportului, iar numărul total de școlari la numitor. Numărul total de școlari este de 5 băieți plus 10 fete, așa că scriem numărul 15 la numitorul raportului
Pentru a găsi valoarea unui raport dat, trebuie să vă amintiți cum să împărțiți un număr mai mic la unul mai mare. În acest caz, numărul 5 trebuie împărțit la numărul 15
Împărțirea a 5 la 15 produce o fracție periodică. Să transformăm această fracție într-o fracție obișnuită
Am primit răspunsul final. Deci băieții reprezintă o treime din întreaga clasă
Figura arată că într-o clasă de 15 elevi, o treime din clasă este formată din 5 băieți.
Dacă găsim 15 școlari de verificat, atunci vom primi 5 băieți
15: 3 = 5
5 × 1 = 5
Exemplul 5. De câte ori este numărul 35 mai mare decât numărul 5?
Notăm raportul dintre numărul 35 și numărul 5. Trebuie să scrieți numărul 35 la numărătorul raportului, numărul 5 la numitor, dar nu invers.
Valoarea acestui raport este 7. Aceasta înseamnă că numărul 35 este de șapte ori mai mare decât numărul 5.
Exemplul 6. Sunt 15 persoane în clasă. 5 dintre ei sunt băieți, 10 sunt fete. Stabiliți ce proporție din numărul total sunt fete.
Înregistrăm raportul dintre fete și numărul total de școlari. Scriem zece fete la numărătorul raportului, iar numărul total de școlari la numitor. Numărul total de școlari este de 5 băieți plus 10 fete, așa că scriem numărul 15 la numitorul raportului
Pentru a găsi valoarea unui raport dat, trebuie să vă amintiți cum să împărțiți un număr mai mic la unul mai mare. În acest caz, numărul 10 trebuie împărțit la numărul 15
Împărțirea a 10 la 15 produce o fracție periodică. Să transformăm această fracție într-o fracție obișnuită
Să reducem fracția rezultată cu 3
Am primit răspunsul final. Aceasta înseamnă că fetele reprezintă două treimi din întreaga clasă.
Figura arată că într-o clasă de 15 elevi, două treimi din clasă sunt 10 fete.
Dacă găsim 15 școlari de verificat, vom primi 10 fete
15: 3 = 5
5 × 2 = 10
Exemplul 7. Ce parte din 10 cm este 25 cm?
Notăm raportul de la zece centimetri la douăzeci și cinci de centimetri. Scriem 10 cm în numărătorul raportului, 25 cm în numitor
Pentru a găsi valoarea unui raport dat, trebuie să vă amintiți cum să împărțiți un număr mai mic la unul mai mare. În acest caz, numărul 10 trebuie împărțit la numărul 25
Să convertim fracția zecimală rezultată într-o fracție obișnuită
Să reducem fracția rezultată cu 2
Am primit răspunsul final. Deci 10 cm este egal cu 25 cm.
Exemplul 8. De câte ori este 25 cm mai mare decât 10 cm?
Notăm raportul dintre douăzeci și cinci de centimetri la zece centimetri. Scriem 25 cm în numărătorul raportului, 10 cm în numitor
Am primit un răspuns de 2,5. Aceasta înseamnă că 25 cm este de 2,5 ori mai mare decât 10 cm (de două ori și jumătate)
Notă importantă. Când găsiți o relație cu același nume mărimi fizice aceste cantități trebuie exprimate într-o unitate de măsură, altfel răspunsul va fi incorect.
De exemplu, dacă avem de-a face cu două lungimi și dorim să știm de câte ori prima lungime este mai mare decât a doua sau ce parte este prima lungime a celei de-a doua, atunci ambele lungimi trebuie mai întâi exprimate într-o unitate de măsură.
Exemplul 9. De câte ori este 150 cm mai mare decât 1 metru?
În primul rând, să ne asigurăm că ambele lungimi sunt exprimate în aceeași unitate de măsură. Pentru a face acest lucru, convertiți 1 metru în centimetri. Un metru este o sută de centimetri
1 m = 100 cm
Acum găsim raportul de o sută cincizeci de centimetri la o sută de centimetri. În numărătorul raportului scriem 150 de centimetri, la numitor - 100 de centimetri
Să aflăm valoarea acestui raport
Am primit un răspuns de 1,5. Aceasta înseamnă că 150 cm este de 1,5 ori mai mare decât 100 cm (o dată și jumătate).
Și dacă nu am fi început să transformăm metrii în centimetri și am fi încercat imediat să găsim raportul de 150 cm la un metru, atunci am fi obținut următoarele:
S-ar dovedi că 150 cm este de o sută cincizeci de ori mai mult decât un metru, dar acest lucru este incorect. Prin urmare, este imperativ să se acorde atenție unităților de măsură ale mărimilor fizice care sunt implicate în relație. Dacă aceste cantități sunt exprimate în diferite unități de măsură, atunci pentru a găsi raportul acestor cantități, trebuie să mergeți la o unitate de măsură.
Exemplul 10. Luna trecută, salariul unei persoane a fost de 25.000 de ruble, iar luna aceasta salariul a crescut la 27.000 de ruble. Stabiliți de câte ori a crescut salariul
Notăm raportul de douăzeci și șapte de mii la douăzeci și cinci de mii. Scriem 27000 la numărătorul raportului, 25000 la numitor
Să aflăm valoarea acestui raport
Am primit un răspuns de 1.08. Asta înseamnă că salariul a crescut de 1,08 ori. Pe viitor, când ne vom familiariza cu procentele, vom exprima indicatori precum salariile ca procente.
Exemplul 11. Latimea blocului este de 80 de metri si inaltimea de 16 metri. De câte ori este lățimea casei mai mare decât înălțimea ei?
Notăm raportul dintre lățimea casei și înălțimea acesteia:
Valoarea acestui raport este 5. Aceasta înseamnă că lățimea casei este de cinci ori mai mare decât înălțimea acesteia.
Proprietatea relației
Un raport nu se va schimba dacă membrii săi sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr.
Acesta este unul dintre cele mai importante proprietăți relaţiile rezultă din proprietatea particularului. Știm că dacă dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul nu se va schimba. Și întrucât o relație nu este altceva decât o diviziune, proprietatea coeficientului funcționează și pentru ea.
Să revenim la atitudinea fetelor față de băieți (10:5). Acest raport a arătat că pentru fiecare băiat există două fete. Să verificăm cum funcționează proprietatea relației, și anume, să încercăm să înmulțim sau să împărțim membrii acesteia cu același număr.
În exemplul nostru, este mai convenabil să împărțim termenii relației la cei mai mari divizor comun(DA DIN CAP).
MCD-ul termenilor 10 și 5 este numărul 5. Prin urmare, putem împărți termenii relației la numărul 5
Avem o nouă atitudine. Acesta este un raport doi la unu (2:1). Acest raport, ca și raportul anterior de 10:5, arată că există două fete pentru un băiat.
Figura arată un raport de 2:1 (două la unu). Ca și în raportul anterior de 10: 5 pentru un băiat, există două fete. Cu alte cuvinte, atitudinea nu s-a schimbat.
Exemplul 2. Sunt 10 fete și 5 băieți într-o clasă. Într-o altă clasă sunt 20 de fete și 10 băieți. De câte ori sunt mai multe fete decât băieți în clasa întâi? De câte ori sunt mai multe fete decât băieți în clasa a doua?
În ambele clase sunt de două ori mai multe fete decât băieți, deoarece rapoartele și sunt egale cu același număr.
Proprietatea relației vă permite să construiți diverse modele, care au parametri similari obiectului real. Să presupunem că un bloc de locuințe are 30 de metri lățime și 10 metri înălțime.
Pentru a desena o casă similară pe hârtie, trebuie să o desenați în același raport 30:10.
Să împărțim ambii termeni ai acestui raport la numărul 10. Apoi obținem raportul 3: 1. Acest raport este 3, la fel ca raportul anterior este 3
Să convertim metri în centimetri. 3 metri înseamnă 300 de centimetri, iar 1 metru înseamnă 100 de centimetri
3 m = 300 cm
1 m = 100 cm
Avem un raport de 300 cm: 100 cm Împărțiți termenii acestui raport la 100. Obținem un raport de 3 cm: 1 cm. Acum puteți desena o casă cu o lățime de 3 cm și o înălțime de 1 cm
Desigur, casa desenată este mult mai mică decât casa reală, dar raportul dintre lățime și înălțime rămâne neschimbat. Acest lucru ne-a permis să desenăm o casă cât mai asemănătoare cu cea reală.
Atitudinea poate fi înțeleasă în alt mod. Inițial se spunea că casa adevărată avea 30 de metri lățime și 10 metri înălțime. Totalul este de 30+10, adică 40 de metri.
Acești 40 de metri pot fi înțeleși ca 40 de părți. Un raport de 30:10 înseamnă că 30 de părți sunt în lățime și 10 părți sunt în înălțime.
În continuare, termenii raportului 30: 10 au fost împărțiți la 10. Rezultatul a fost un raport de 3: 1. Acest raport poate fi înțeles ca fiind 4 părți, dintre care trei sunt în lățime, una în înălțime. În acest caz, de obicei trebuie să aflați exact câți metri sunt în lățime și înălțime.
Cu alte cuvinte, trebuie să aflați câți metri sunt în 3 părți și câți metri sunt într-o parte. Mai întâi trebuie să aflați câți metri sunt pe parte. Pentru a face acest lucru, totalul de 40 de metri trebuie împărțit la 4, deoarece într-un raport de 3:1 există doar patru părți.
Să determinăm câți metri este lățimea:
10 m × 3 = 30 m
Să stabilim câți metri sunt în înălțime:
10 m × 1 = 10 m
Mai mulți membri ai relației
Dacă mai mulți membri sunt dați într-o relație, atunci ei pot fi înțeleși ca părți ale ceva.
Exemplul 1. 18 mere achiziționate. Aceste mere au fost împărțite între mamă, tată și fiică într-un raport de 2: 1: 3. Câte mere a primit fiecare persoană?
Raportul 2: 1: 3 înseamnă că mama a primit 2 părți, tata - 1 parte, fiica - 3 părți. Cu alte cuvinte, fiecare termen din raportul 2:1:3 este o porțiune specifică de 18 mere:
Dacă adunați termenii raportului 2: 1: 3, atunci puteți afla câte părți sunt:
2 + 1 + 3 = 6 (părți)
Aflați câte mere sunt într-o singură parte. Pentru a face acest lucru, împărțiți 18 mere la 6
18: 6 = 3 (mere per parte)
Acum să stabilim câte mere a primit fiecare persoană. Înmulțind trei mere cu fiecare membru al raportului 2: 1: 3, puteți determina câte mere a primit mama, câte a primit tata și câte fiice a primit.
Să aflăm câte mere a primit mama:
3 × 2 = 6 (mere)
Să aflăm câte mere a primit tata:
3 × 1 = 3 (mere)
Să aflăm câte mere a primit fiica mea:
3 × 3 = 9 (mere)
Exemplul 2. Argintul nou (alpaca) este un aliaj de nichel, zinc și cupru într-un raport de 3:4:13. Câte kilograme din fiecare metal trebuie luate pentru a obține 4 kg de argint nou?
4 kilograme de argint nou vor conține 3 părți nichel, 4 părți zinc și 13 părți cupru. Mai întâi, să aflăm câte părți vor fi în patru kilograme de argint:
3 + 4 + 13 = 20 (părți)
Să stabilim câte kilograme vor fi pe parte:
4 kg: 20 = 0,2 kg
Să stabilim câte kilograme de nichel vor fi conținute în 4 kg de argint nou. Raportul 3:4:13 indică faptul că trei părți ale aliajului conțin nichel. Prin urmare, înmulțim 0,2 cu 3:
0,2 kg × 3 = 0,6 kg nichel
Acum să stabilim câte kilograme de zinc vor fi conținute în 4 kg de argint nou. Raportul 3:4:13 indică faptul că patru părți ale aliajului conțin zinc. Prin urmare, înmulțim 0,2 cu 4:
0,2 kg × 4 = 0,8 kg zinc
Acum să stabilim câte kilograme de cupru vor fi conținute în 4 kg de argint nou. Raportul de 3:4:13 indică faptul că treisprezece părți ale aliajului conțin cupru. Prin urmare, înmulțim 0,2 cu 13:
0,2 kg × 13 = 2,6 kg cupru
Aceasta înseamnă că pentru a obține 4 kg de argint nou, trebuie să luați 0,6 kg de nichel, 0,8 kg de zinc și 2,6 kg de cupru.
Exemplul 3. Alama este un aliaj de cupru și zinc, ale cărui mase sunt în raport de 3:2. Pentru a face o bucată de alamă, sunt necesare 120 g de cupru. Cât zinc este necesar pentru a face această bucată de alamă?
Să stabilim câte grame de aliaj sunt într-o parte. Condiția prevede că sunt necesare 120 g de cupru pentru a face o bucată de alamă. Se mai spune că trei părți din aliaj conțin cupru. Dacă împărțim 120 la 3, aflăm câte grame de aliaj sunt pe parte:
120:3 = 40 de grame per parte
Acum să stabilim cât de mult zinc este necesar pentru a face o bucată de alamă. Pentru a face acest lucru, înmulțiți 40 de grame cu 2, deoarece în raportul 3:2 este indicat că două părți conțin zinc:
40 g × 2 = 80 grame zinc
Exemplul 4. Am luat două aliaje de aur și argint. Într-unul cantitatea acestor metale este în raport de 1: 9, iar în celălalt 2: 3. Câtă cantitate din fiecare aliaj trebuie luată pentru a obține 15 kg dintr-un aliaj nou în care aurul și argintul ar fi în raportul 1. : 4?
Soluţie
15 kg din noul aliaj ar trebui să conțină un raport de 1: 4. Acest raport indică faptul că o parte a aliajului va fi aur, iar patru părți vor fi argint. Sunt cinci părți în total. Schematic aceasta poate fi reprezentată după cum urmează
Să determinăm masa unei piese. Pentru a face acest lucru, mai întâi adunați toate piesele (1 și 4), apoi împărțiți masa aliajului la numărul acestor părți.
1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg
O bucată din aliaj va avea o masă de 3 kg. Atunci 15 kg din noul aliaj vor conține 3 × 1 = 3 kg de aur și 3 × 4 = 12 kg de argint.
Prin urmare, pentru a obține un aliaj care cântărește 15 kg avem nevoie de 3 kg de aur și 12 kg de argint.
Acum să răspundem la întrebarea problemei - „ Cât ar trebui să luați din fiecare aliaj? »
Vom lua 10 kg din primul aliaj, deoarece aurul și argintul sunt în raport de 1:9 Adică acest prim aliaj ne va oferi 1 kg de aur și 9 kg de argint.
Vom lua 5 kg din al doilea aliaj, deoarece aurul și argintul sunt în el într-un raport de 2: 3. Adică, acest al doilea aliaj ne va oferi 2 kg de aur și 3 kg de argint.
Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții