Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea unor astfel de valori ale necunoscutului pentru care egalitatea va fi adevărată.
Rezolvarea ecuației
- Să prezentăm ecuația după cum urmează:
2x * x - 3 * x = 0.
- Vedem că termenii ecuației din partea stângă au multiplicator comun X. Să o scoatem din paranteze și să o scriem:
x * (2x - 3) = 0.
- Expresia rezultată este produsul factorilor x și (2x - 3). Amintiți-vă că produsul este egal cu 0 dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu 0. Aceasta înseamnă că putem scrie egalitățile:
x = 0 sau 2x - 3 = 0.
- Aceasta înseamnă că una dintre rădăcinile ecuației originale este x 1 = 0.
- Să găsim a doua rădăcină rezolvând ecuația 2x - 3 = 0.
În această expresie, 2x este minuend, 3 este subtraend și 0 este diferența. Pentru a găsi minuend, trebuie să adăugați subtraend la diferență:
În ultima expresie, 2 și x sunt factori, 3 este un produs. Pentru a găsi multiplicator necunoscut, este necesar să se împartă produsul la un factor cunoscut:
Astfel, am găsit a doua rădăcină a ecuației: x 2 = 1,5.
Verificarea corectitudinii solutiei
Pentru a afla dacă o ecuație a fost rezolvată corect, trebuie să înlocuiți valorile numerice ale lui x în ea și să efectuați operațiile aritmetice necesare. Dacă, în urma calculelor, se dovedește că părțile din stânga și din dreapta ale expresiei au aceeași valoare, atunci ecuația a fost rezolvată corect.
Să verificăm:
- Să calculăm valoarea expresiei inițiale la x 1 = 0 și să obținem:
2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,
0 = 0, corect.
- Să calculăm valoarea expresiei pentru x 2 = 0 și să obținem:
2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,
2 * 2,25 - 4,5 = 0,
0 = 0, corect.
- Aceasta înseamnă că ecuația este rezolvată corect.
Răspuns: x 1 = 0, x 2 = 1,5.
În acest articol vom învăța să rezolvăm ecuații biquadratice.
Deci, ce tip de ecuații sunt numite biquadratice?
Toate ecuații ale formei ah 4 +
bx
2
+
c
= 0
, Unde a ≠ 0, care sunt pătrate în raport cu x 2 și sunt numite biquadratice ecuații. După cum puteți vedea, această intrare este foarte asemănătoare cu intrarea pentru o ecuație pătratică, așa că vom rezolva ecuații biquadratice folosind formulele pe care le-am folosit pentru a rezolva ecuația pătratică.
Doar că va trebui să introducem o nouă variabilă, adică să notăm x 2 o altă variabilă, de exemplu la sau t (sau orice altă literă a alfabetului latin).
De exemplu, hai sa rezolvam ecuatia x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.
Să notăm x 2
prin la
(x 2 = y
) și obținem ecuația y 2 + 4y – 5 = 0.
După cum puteți vedea, știți deja cum să rezolvați astfel de ecuații.
Rezolvăm ecuația rezultată:
D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.
y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,
y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.
Să revenim la variabila noastră x.
Am constatat că x 2 = ‒ 5 și x 2 = 1.
Observăm că prima ecuație nu are soluții, iar a doua dă două soluții: x 1 = 1 și x 2 = ‒1. Aveți grijă să nu pierdeți rădăcina negativă (cel mai des primesc răspunsul x = 1, dar acest lucru nu este corect).
Răspuns:- 1 și 1.
Pentru a înțelege mai bine subiectul, să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația 2x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.
Fie x 2 = y, apoi 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0.
D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.
y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1,5.
Atunci x 2 = 1 și x 2 = 1,5.
Se obține x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1,5, x 4 = √1,5.
Răspuns: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.
2y 2 + 5y + 2 =0.
D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.
y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.
Atunci x 2 = - 2 și x 2 = - 0,5. Vă rugăm să rețineți că niciuna dintre aceste ecuații nu are o soluție.
Răspuns: nu exista solutii.
Ecuații biquadratice incomplete- acesta este momentul b = 0 (ax 4 + c = 0) sau c = 0
(ax 4 + bx 2 = 0) se rezolvă ca ecuații patratice incomplete.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația x 4 ‒ 25x 2 = 0
Să factorizăm, să punem x 2 din paranteze și apoi x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.
Se obține x 2 = 0 sau x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25.
Atunci avem rădăcinile 0; 5 și – 5.
Răspuns: 0; 5; – 5.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația 5x 4 ‒ 45 = 0.
x 2 = ‒ √9 (nu are soluții)
x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.
După cum puteți vedea, dacă puteți rezolva ecuații patratice, puteți rezolva și ecuații biquadratice.
Dacă mai aveți întrebări, înscrieți-vă la lecțiile mele. Tutor Valentina Galinevskaya.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Rezolvați ecuația X 2 +(1x) 2 =x
Demonstrați că nu există numere întregi care să crească de 5 ori atunci când cifra inițială este mutată la sfârșit.
Într-un anumit regat, fiecare doi oameni sunt fie prieteni, fie dușmani. Fiecare persoană se poate certa la un moment dat cu toți prietenii săi și să facă pace cu toți dușmanii săi. S-a dovedit că fiecare trei oameni pot deveni prieteni în acest fel. Dovediți că atunci toți oamenii din acest regat pot deveni prieteni.
Într-un triunghi, una dintre mediane este perpendiculară pe una dintre bisectoare. Demonstrați că o parte a acestui triunghi este de două ori mai mare decât cealaltă.
Teme pentru desfășurarea unei olimpiade regionale (orașe) pentru școlari la matematică.
La tirul la țintă, sportivul a marcat doar 8,9 și 10 puncte. În total, după ce a tras peste 11 focuri, a marcat exact 100 de puncte. Câte lovituri a făcut sportivul și care au fost loviturile?
Demonstrați adevărul inegalității:
3. Rezolvați ecuația:
Găsiți un număr din trei cifre care scade cu un factor de 7 după ce ați tăiat cifra din mijloc.
În triunghiul ABC, bisectoarele sunt trase din vârfurile A și B. Apoi, liniile paralele cu aceste bisectoare sunt trase din vârful C. Punctele D și E de intersecție a acestor drepte cu bisectoare sunt conectate. S-a dovedit că dreptele DE și AB sunt paralele. Demonstrați că triunghiul ABC este isoscel.
Teme pentru desfășurarea unei olimpiade regionale (orașe) pentru școlari la matematică.
Rezolvați sistemul de ecuații:
Pe laturile AB și AD ale paralelogramului ABCD se iau punctele E și, respectiv, K, astfel încât segmentul EK să fie paralel cu diagonala VD. Demonstrați că ariile triunghiurilor ALL și SDC sunt egale.
Au decis să așeze grupul de turiști în autobuze astfel încât fiecare autobuz să aibă acelasi numar pasagerii. La început, în fiecare autobuz au fost urcate 22 de persoane, dar s-a dovedit că nu se poate urca câte un turist. Când un autobuz a plecat gol, toți turiștii s-au urcat în egală măsură în autobuzele rămase. Câte autobuze au fost inițial și câți turiști au fost în grup, dacă se știe că fiecare autobuz poate găzdui cel mult 32 de persoane?
Teme pentru desfășurarea unei olimpiade regionale (orașe) pentru școlari la matematică.
Rezolvați sistemul de ecuații:
Demonstrați că patru distanțe de la un punct dintr-un cerc până la vârful unui pătrat înscris în el nu pot fi simultan numere raționale.
Soluții posibile la probleme
1. Răspuns: x=1, x=0,5
Mutarea cifrei de început până la sfârșit nu va schimba valoarea numărului. În acest caz, în funcție de condițiile problemei, ar trebui să obțină un număr de 5 ori mai mare decât primul număr. Prin urmare, prima cifră a numărului dorit trebuie să fie egală cu 1 și doar 1. (deoarece dacă prima cifră este 2 sau mai mult, valoarea se va schimba, 2*5=10). Când mutați 1 până la sfârșit, numărul rezultat se termină cu 1, prin urmare nu este divizibil cu 5.
Rezultă din condiția că, dacă A și B sunt prieteni, atunci C este fie dușmanul lor comun, fie un prieten comun (altfel cei trei nu vor fi împăcați). Să luăm toți prietenii persoanei A. Din cele spuse rezultă că toți sunt prietenoși între ei și sunt dușmani cu ceilalți. Acum, lasă-l pe A și prietenii lui să se ceartă pe rând cu prietenii și să facă pace cu inamicii. După aceasta, toți vor fi prieteni.
Într-adevăr, să fie A primul care să se ceartă cu prietenii săi și să facă pace cu dușmanii săi, dar apoi fiecare dintre foștii săi prieteni va face pace cu el și foști dușmani vor rămâne prieteni. Deci, toți oamenii se dovedesc a fi prieteni ai lui A și, prin urmare, prieteni unii altora.
Numărul 111 este divizibil cu 37, deci suma de mai sus este divizibilă și cu 37.
Conform condiției, numărul este divizibil cu 37, deci cu suma
Divizibil cu 37.
Rețineți că mediana și bisectoarea indicate nu pot ieși din același vârf, deoarece altfel unghiul la acest vârf ar fi mai mare de 180 0. Acum, în triunghiul ABC bisectoarea AD și mediana CE se intersectează în punctul F. Atunci AF este bisectoarea și altitudinea în triunghiul ACE, ceea ce înseamnă că acest triunghi este isoscel (AC = AE), și deoarece CE este mediana, atunci AB = 2AE și, prin urmare, AB = 2AC.
Soluții posibile la probleme
1. Răspuns: 9 lovituri pentru 8 puncte,
2 lovituri pentru 9 puncte,
1 lovitură pentru 10 puncte.
Lasă x sportivul a făcut lovituri, eliminând 8 puncte, y lovituri pentru 9 puncte, z lovituri pentru 10 puncte. Apoi puteți crea un sistem:
Folosind prima ecuație a sistemului, scriem:
Din acest sistem rezultă că x+ y+ z=12
Să înmulțim a doua ecuație cu (-8) și să o adăugăm la prima. Înțelegem asta y+2 z=4 , unde y=4-2 z, y=2(2- z) . Prin urmare, la – număr par, adică y=2t, Unde .
Prin urmare,
3. Răspuns: x = -1/2, x = -4
După reducerea fracțiilor la același numitor obținem
4. Raspuns: 105
Să notăm prin x, y, z prima, a doua și, respectiv, a treia cifră a valorii dorite număr din trei cifre. Apoi se poate scrie sub forma . După ce tăiați numărul din mijloc, obțineți număr din două cifre. În funcție de condițiile problemei, i.e. numere necunoscute x, y, z satisface ecuația
7(10 x+ z)=100 x+10 y+ x, care după aducerea termenilor și abrevierilor similare ia forma 3 z=15 x+5 y.
Din această ecuație rezultă că z trebuie să fie divizibil cu 5 și trebuie să fie pozitiv, deoarece prin condiție . Prin urmare z =5, iar numerele x, y satisface ecuația 3 = 3x + y, care, în virtutea condiției, are o soluție unică x = 1, y = 0. În consecință, condițiile problemei satisfac singular 105.
Să notăm cu litera F punctul în care se intersectează liniile drepte AB și CE. Deoarece liniile DB și CF sunt paralele, atunci . Deoarece BD este bisectoarea unghiului ABC, concluzionăm că . Rezultă că, i.e. triunghiul BCF este isoscel și BC=BF. Dar din condiție rezultă că patrulaterul BDEF este un paralelogram. Prin urmare, BF = DE și, prin urmare, BC = DE. Se demonstrează în mod similar că AC = DE. Aceasta duce la egalitatea necesară.
Soluții posibile la probleme
1.
De aici (x + y) 2 = 1 , adică x + y = 1 sau x + y = -1.
Să luăm în considerare două cazuri.
O) x + y = 1. Înlocuind x = 1 – y
b) x + y = -1. După înlocuire x = -1-y
Deci, doar următoarele patru perechi de numere pot fi soluții ale sistemului: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Prin substituirea în ecuațiile sistemului original suntem convinși că fiecare dintre aceste patru perechi este o soluție a sistemului.
Triunghiurile CDF și BDF au o bază comună FD și înălțimi egale, deoarece dreptele BC și AD sunt paralele. Prin urmare, suprafețele lor sunt egale. În mod similar, ariile triunghiurilor BDF și BDE sunt egale, deoarece linia BD este paralelă cu dreapta EF. Și ariile triunghiurilor BDE și BCE sunt egale, deoarece AB este paralel cu CD. Aceasta implică egalitatea necesară a ariilor triunghiurilor CDF și BCE.
Având în vedere domeniul de definire al funcției, să construim un grafic.
Folosind formula 
să facem transformări ulterioare
Aplicând formule de adunare și efectuând transformări ulterioare, obținem
5. Raspuns: 24 de autobuze, 529 de turisti.
Să notăm prin k numărul inițial de autobuze. Din condițiile problemei rezultă că și că numărul tuturor turiștilor este egal 22 k +1 . După plecarea unui autobuz, toți turiștii au fost așezați în restul (k-1) autobuze. Prin urmare, numărul 22 k +1 trebuie să fie divizibil cu k-1. Astfel, problema a fost redusă la determinarea tuturor numerelor întregi pentru care numărul
Este un număr întreg și satisface inegalitatea (numărul n este egal cu numărul de turiști urcați în fiecare autobuz, iar în funcție de condițiile problemei, autobuzul poate găzdui nu mai mult de 32 de pasageri).
Un număr va fi un număr întreg numai dacă numărul este un număr întreg. Aceasta din urmă este posibilă numai dacă k=2 iar la k=24 .
Dacă k=2 , Asta n=45.
Și dacă k=24 , Asta n=23.
De aici și din condiție obținem doar asta k=24 satisface toate conditiile problemei.
Prin urmare, inițial erau 24 de autobuze, iar numărul tuturor turiștilor este egal cu n(k-1)=23*23=529
Soluții posibile la probleme
1. Răspuns:
Atunci ecuația va lua forma:
Primit ecuație pătratică relativ r.
2. Răspuns: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)
Adăugând ecuațiile sistemului, obținem , sau
De aici (x + y) 2 = 1 , adică x + y = 1 sau x + y = -1.
Să luăm în considerare două cazuri.
O) x + y = 1. Înlocuind x = 1 – yîn prima ecuație a sistemului, obținem
b) x + y = -1. După înlocuire x = -1-yîn prima ecuație a sistemului, obținem sau