E vreme caldă în curte, muștele de plop zboară, iar vremea aceasta este propice odihnei. Pe an academic toată lumea a acumulat oboseală, dar așteptarea vacanțelor/vacanțelor de vară ar trebui să-i inspire să treacă cu succes examene și teste. Apropo, profesorii sunt plictisiți de sezon, așa că în curând îmi voi face o pauză pentru a-mi descărca creierul. Și acum cafeaua, zumzetul măsurat al unității de sistem, câțiva țânțari morți pe pervaz și stare destul de funcțională... ... eh, la naiba,... poet.

Până la punctul. Oricui îi place, dar astăzi este 1 iunie și vom lua în considerare altul sarcină tipică analiză integrată – găsirea unei anumite soluții la sistem ecuatii diferentiale calcul de operare... Ce trebuie să știi și să poți face pentru a învăța cum să o rezolvi? Pentru inceput, recomand cu caldura consultați lecția. Vă rugăm să citiți partea introductivă, să înțelegeți cadrul general al subiectului, terminologia, denumirile și cel puțin două sau trei exemple. Cert este că cu sistemele de difuzie totul va fi aproape la fel și chiar mai ușor!

Desigur, trebuie să înțelegeți ce este sistem de ecuații diferențiale ce inseamna sa gasesti decizie comună sisteme și o anumită soluție de sistem.

Permiteți-mi să vă reamintesc că sistemul de ecuații diferențiale poate fi rezolvat în mod „tradițional”: prin eliminare sau folosind ecuația caracteristică... Metoda de calcul operațional, care va fi discutată, este aplicabilă sistemului de control de la distanță, atunci când sarcina este formulată după cum urmează:

Găsiți o anumită soluție a unui sistem omogen de ecuații diferențiale corespunzătoare condiţiilor iniţiale .

Alternativ, sistemul poate fi eterogen - cu „anexe” sub formă de funcții și în părțile potrivite:

Dar, în ambele cazuri, trebuie să acordați atenție două puncte fundamentale ale afecțiunii:

1) Este doar despre o anumită soluție.
2) În parantezele condiţiilor iniţiale sunt strict zerouri si nimic altceva.

Mișcarea generală și algoritmul vor fi foarte asemănătoare cu rezolvarea unei ecuații diferențiale printr-o metodă operațională... Materialul de referință va necesita același lucru tabel de originale și imagini.

Exemplul 1

, ,

Soluţie: A începe este banal: cu Tabelele de transformare Laplace să trecem de la originale la imaginile corespunzătoare. Într-o problemă cu sistemele de control, această tranziție este de obicei simplă:

Folosind formulele tabelare №№1,2, ținând cont de condiția inițială, obținem:

Ce să faci cu „jocuri”? Schimbăm mental „X” cu „igryki” din tabel. Folosind aceleași transformări №№1,2, ținând cont de condiția inițială, găsim:

Înlocuiți imaginile găsite în ecuația originală :

Acum pe stanga trebuie colectate ecuații toate termeni care conţin sau. În partea dreaptă ecuațiile trebuie „formalizate” alte termeni:

În plus, în partea stângă a fiecărei ecuații, scoatem parantezele:

În acest caz, în primele poziții ar trebui plasate, iar în a doua poziție:

Sistemul rezultat de ecuații cu două necunoscute este de obicei rezolvat prin formulele lui Cramer... Să calculăm principalul determinant al sistemului:

Ca rezultat al calculului determinantului se obține un polinom.

Un truc tehnic important! Acest polinom este mai bun imediatîncearcă să factorizezi. În acest scop, ar trebui să încercați să rezolvați ecuația pătratică , dar, pentru mulți cititori, un ochi antrenat pentru al doilea an va observa asta .

Astfel, principalul nostru determinant al sistemului este:

Dezasamblarea ulterioară cu sistemul, mulțumesc Kramer, este standard:

Drept urmare, obținem soluție de operator de sistem:

Avantajul sarcinii luate în considerare este că fracțiile sunt de obicei simple și este mult mai ușor să le rezolvi decât cu fracțiile din probleme. găsirea unei soluții private pentru controlul de la distanță printr-o metodă operațională... Premoniția nu te-a înșelat – intră în joc cel bun vechi metoda coeficientului nedefinit, cu care descompunem fiecare fracție în fracții elementare:

1) Ne ocupăm de prima fracție:

Prin urmare:

2) Despărțim a doua fracție după o schemă similară, în timp ce este mai corect să folosim alte constante (coeficienți nedefiniti):

Prin urmare:

Îi sfătuiesc pe manechini să scrie soluția de operator descompusă în următoarea formă:
- acest lucru va face etapa finală mai clară - transformarea Laplace inversă.

Folosind coloana din dreapta a tabelului, să trecem de la imagini la originalele corespunzătoare:

Conform regulilor unui stil matematic bun, rezultatul este puțin pieptănat:

Răspuns:

Verificarea răspunsului se efectuează conform schemei standard, care este discutată în detaliu în lecție Cum se rezolvă un sistem de ecuații diferențiale?Încercați întotdeauna să o faceți pentru a obține un plus mare în sarcină.

Exemplul 2

Folosind calculul operațional, găsiți o soluție particulară a sistemului de ecuații diferențiale care să corespundă condițiilor inițiale date.
, ,

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Probă de probă finalizarea sarcinii și răspunsul la sfârșitul lecției.

Soluția unui sistem eterogen de ecuații diferențiale nu este diferită din punct de vedere algoritmic, cu excepția faptului că va fi puțin mai dificilă din punct de vedere tehnic:

Exemplul 3

Folosind calculul operațional, găsiți o soluție particulară a sistemului de ecuații diferențiale care să corespundă condițiilor inițiale date.
, ,

Soluţie: Folosind tabelul de transformare Laplace, ținând cont de condițiile inițiale , să trecem de la originale la imaginile corespunzătoare:

Dar asta nu este tot, există constante singuratice în partea dreaptă a ecuațiilor. Ce să faci în cazurile în care constanta este singură? Acest lucru a fost deja discutat în lecție. Cum se rezolvă telecomanda prin metoda operațională... Să repetăm: constantele individuale trebuie înmulțite mental cu unu și următoarea transformare Laplace trebuie aplicată unităților:

Să înlocuim imaginile găsite în sistemul original:

În stânga, transferăm termenii în care sunt prezenți, în partea dreaptă plasăm termenii rămași:

În părțile din stânga, vom efectua parantezele, în plus, aducem partea dreaptă a celei de-a doua ecuații la un numitor comun:

Să calculăm principalul determinant al sistemului, fără a uita că este recomandabil să încercăm imediat să factorăm rezultatul în factori:
, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Să mergem mai departe:



Astfel, soluția de operator a sistemului:

Uneori, una sau chiar ambele fracții pot fi reduse, iar uneori este atât de reușit încât practic nu trebuie să se arate nimic! Și, în unele cazuri, primiți imediat un freebie, apropo, următorul exemplu de lecție va fi un exemplu ilustrativ.

Folosind metoda coeficienților nedefiniți, obținem sumele fracțiilor elementare.

Zdrobirea primei fracțiuni:

Și o terminăm pe a doua:

Ca rezultat, soluția operator ia forma de care avem nevoie:

Folosind coloana din dreapta tabele cu originale și imagini efectuăm transformarea Laplace inversă:

Să substituim imaginile obținute în soluția operator a sistemului:

Răspuns: solutie privata:

După cum puteți vedea, într-un sistem eterogen, trebuie să efectuați calcule care consumă mai mult timp decât într-un sistem omogen. Să ne uităm la câteva exemple cu sinusuri, cosinusuri și este suficient, deoarece aproape toate soiurile problemei și majoritatea nuanțelor soluției vor fi luate în considerare.

Exemplul 4

Folosind metoda calculului operațional, găsiți o anumită soluție a unui sistem de ecuații diferențiale cu condiții inițiale date,

Soluţie: Voi analiza chiar eu acest exemplu, dar comentariile vor viza doar puncte speciale. Presupun că sunteți deja bine versat în algoritmul de soluție.

Să trecem de la originale la imaginile corespunzătoare:

Să înlocuim imaginile găsite în sistemul de control original:

Rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer:
, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Polinomul rezultat nu este factorizat. Ce să faci în astfel de cazuri? Absolut nimic. Acest lucru va fi.

Ca rezultat, soluția de operator a sistemului:

Și iată biletul norocos! Metoda coeficienților nedefiniti nu trebuie folosită deloc! Singurul lucru, pentru a folosi transformări de tabel, vom rescrie soluția în următoarea formă:

Să trecem de la imagini la originalele corespunzătoare:

Să substituim imaginile obținute în soluția operator a sistemului:

Cum se rezolvă un sistem de ecuații diferențiale?

Se presupune că cititorul este deja destul de bun la rezolvarea ecuațiilor diferențiale, în special, ecuații omogene de ordinul doiși ecuații neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. Nu este nimic complicat în sistemele de ecuații diferențiale și, dacă te ocupi cu încredere de tipurile de ecuații de mai sus, atunci stăpânirea sistemelor nu va fi dificilă.

Există două tipuri principale de sisteme de ecuații diferențiale:

- Sisteme liniare omogene de ecuaţii diferenţiale
- Sisteme liniare neomogene de ecuații diferențiale

Și există două moduri principale de a rezolva un sistem de ecuații diferențiale:

- Metoda excluderii... Esența metodei este că, în cursul rezolvării, sistemul de ecuații diferențiale este redus la o singură ecuație diferențială.

- Utilizarea ecuaţiei caracteristice(așa-numita metodă Euler).

În majoritatea covârșitoare a cazurilor, sistemul de ecuații diferențiale trebuie rezolvat în primul mod. A doua metodă este mult mai puțin comună în contextul problemelor; în toată practica mea, am rezolvat-o cu cel mult 10-20 de sisteme. Dar o vom lua în considerare pe scurt și în ultimul paragraf al acestui articol.

Îmi cer scuze imediat pentru incompletitudinea teoretică a materialului, dar am inclus în lecție doar acele sarcini care pot fi efectiv întâlnite în practică. Ceea ce cade ca o ploaie de meteoriți o dată la cinci ani, este puțin probabil să găsiți aici și, cu astfel de oameni neaștepți, ar trebui să apelați la cărămizi de diffura specializate.

Sisteme liniare omogene de ecuații diferențiale

Cel mai simplu sistem omogen de ecuații diferențiale este următorul:

De fapt, aproape toate exemplele practice sunt limitate la un astfel de sistem =)

Ce este acolo?

Sunt numere (coeficienți numerici). Cele mai comune numere. În special, unul, mai mulți sau chiar toți coeficienții pot fi zero. Dar astfel de cadouri sunt rareori aruncate, așa că numerele sunt cel mai adesea nu zero.

Și - acestea sunt funcții necunoscute. Variabila acționează ca o variabilă independentă - este „ca un x într-o ecuație diferențială obișnuită”.

Și - primele derivate ale funcțiilor necunoscute și, respectiv.

Ce înseamnă să rezolvi un sistem de ecuații diferențiale?

Înseamnă să găsești astfel de funcţii şi care satisfac și primul și al doilea ecuația sistemului. După cum puteți vedea, principiul este foarte asemănător cu cel obișnuit sisteme de ecuații liniare... Numai acolo rădăcinile sunt numere, iar aici - funcții.

Răspunsul găsit este scris în formular soluție generală a unui sistem de ecuații diferențiale:

În bretele! Aceste funcții sunt grupate împreună.

Pentru sistemul DE, se poate rezolva problema Cauchy, adică găsi o anumită soluție de sistem satisfacerea conditiilor initiale date. O soluție specială a sistemului este scrisă și cu acolade.

Sistemul poate fi rescris mai compact după cum urmează:

Dar, în mod tradițional, o soluție mai răspândită este cu derivatele scrise în diferențe, așa că vă rugăm să vă obișnuiți imediat cu următoarele denumiri:
și - derivate de ordinul întâi;
și sunt derivate de ordinul doi.

Exemplul 1

Rezolvați problema Cauchy pentru un sistem de ecuații diferențiale cu conditiile initiale,.

Soluţie:În probleme, sistemul îndeplinește cel mai adesea condițiile inițiale, prin urmare, aproape toate exemplele acestei lecții vor fi cu problema Cauchy. Dar acest lucru nu este important, deoarece o soluție generală va trebui să fie găsită pe parcurs.

Să rezolvăm sistemul prin eliminare... Permiteți-mi să vă reamintesc că esența metodei este reducerea sistemului la o singură ecuație diferențială. Și în ceea ce privește ecuațiile diferențiale, sper să rezolvi bine.

Algoritmul de soluție este standard:

1) Luăm a doua ecuație a sistemului si exprima din ea:

Vom avea nevoie de această ecuație mai aproape de sfârșitul soluției și o voi marca cu un asterisc. În manuale, se întâmplă, se dau peste 500 de denumiri, iar apoi se referă la: „după formula (253)...”, și căutați această formulă undeva la 50 de pagini în urmă. Mă voi limita la un singur punct (*).

2) Diferențierea față de ambele părți ale ecuației rezultate:

Cu „atingeri”, procesul arată astfel:

Este important ca acest punct simplu să fie clar; mai departe nu mă voi opri asupra lui.

3) Înlocuiește și în prima ecuație a sistemului:

Și să facem simplificarea maximă:

Primit cel mai obișnuit ecuație omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. Cu „strokes” se scrie astfel: .

- se obțin diferite rădăcini reale, prin urmare:
.

Una dintre funcții se găsește, la jumătatea distanței.

Da, vă rugăm să rețineți că am obținut o ecuație caracteristică cu un discriminant „bun”, ceea ce înseamnă că nu am încurcat nimic la înlocuire și simplificări.

4) Mergem pe funcție. Pentru a face acest lucru, luăm funcția deja găsită și găsiți derivatul său. Ne deosebim prin:

Substitui și în ecuația (*):

Sau mai scurt:

5) Ambele funcții au fost găsite, să notăm soluția generală a sistemului:

Răspuns: solutie privata:

Răspunsul primit este suficient de ușor de verificat, verificarea se efectuează în trei pași:

1) Verificați dacă condițiile inițiale sunt într-adevăr îndeplinite:

Ambele condiții inițiale sunt îndeplinite.

2) Să verificăm dacă răspunsul găsit satisface prima ecuație a sistemului.

Luăm funcția din răspuns și găsiți-i derivata:

Substitui , și în prima ecuație a sistemului:

Primit egalitate adevărată, ceea ce înseamnă că răspunsul găsit satisface prima ecuație a sistemului.

3) Să verificăm dacă răspunsul satisface a doua ecuație a sistemului

Luăm funcția din răspuns și găsim derivata ei:

Substitui , și în a doua ecuație a sistemului:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că răspunsul găsit satisface a doua ecuație a sistemului.

Verificare finalizată. Ce se verifică? Se verifica indeplinirea conditiilor initiale. Și, cel mai important, faptul se arată că soluția particulară a găsit satisface Pentru fiecare ecuația sistemului original .

În mod similar, puteți verifica soluția generală , verificarea va fi si mai scurta, intrucat nu este nevoie sa se verifice indeplinirea conditiilor initiale.

Acum să revenim la sistemul rezolvat și să punem câteva întrebări. Soluția a început așa: am luat a doua ecuație a sistemului și am exprimat-o din ea. Ar putea fi posibil să exprimați nu „X”, ci „Yamer”? Dacă exprimăm, atunci nu ne va oferi nimic - în această expresie din dreapta există atât „joc”, cât și „x”, prin urmare nu vom putea scăpa de variabilă și reduce soluția sistemului la soluția unei ecuații diferențiale.

A doua întrebare. A fost posibil să începem soluția nu din a doua, ci din prima ecuație a sistemului? Poate sa. Ne uităm la prima ecuație a sistemului:. În el avem două „x” și un „joc”, deci este necesar să se exprimă strict „joc” prin „x”: ... Urmează prima derivată: ... Atunci ar trebui să înlocuiți și în a doua ecuație a sistemului. Soluția va fi complet echivalentă, cu diferența că mai întâi vom găsi funcția, apoi.

Și doar a doua metodă va fi un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Găsiți o soluție particulară a unui sistem de ecuații diferențiale care satisface condițiile inițiale date.

În soluția eșantion de la sfârșitul lecției, prima ecuație este iar tot dansul începe cu această expresie. Încercați să efectuați singur soluția de oglindă pas cu pas, fără să vă uitați la eșantion.

De asemenea, puteți merge pe calea Exemplului nr. 1 - din a doua ecuație, expres (rețineți că „x” ar trebui exprimat). Dar această metodă este mai puțin rațională, pentru că am obținut o fracție, ceea ce nu este foarte convenabil.

Sisteme liniare neomogene de ecuații diferențiale

Aproape la fel, doar soluția va fi puțin mai lungă.

Sistemul neomogen de ecuații diferențiale, pe care în majoritatea cazurilor îl puteți întâlni în probleme, are următoarea formă:

În comparație cu un sistem omogen, în fiecare ecuație se adaugă suplimentar o anumită funcție, în funcție de „te”. Funcțiile pot fi constante (și cel puțin una dintre ele nu este egală cu zero), exponenți, sinusuri, cosinus etc.

Exemplul 3

Găsiți o soluție particulară a unui sistem de DE liniare corespunzătoare condițiilor inițiale date

Soluţie: Este dat un sistem liniar neomogen de ecuații diferențiale, constantele sunt folosite ca „adunări”. Folosim metoda de eliminare, în timp ce algoritmul soluției în sine este complet păstrat. Pentru o schimbare, voi începe cu prima ecuație.

1) Din prima ecuație a sistemului, exprimăm:

Acesta este un lucru important, așa că îl voi marca din nou cu un asterisc. Este mai bine să nu deschideți parantezele, de ce există fracții în plus?

Și încă o dată, observați că „jocul” este exprimat din prima ecuație - prin două „x” și o constantă.

2) Diferențierea pe ambele părți:

Constanta (tripletul) a dispărut din cauza faptului că derivata constantei este egală cu zero.

3) Înlocuitor și în a doua ecuație a sistemului :

Imediat după înlocuire, este recomandabil să scăpăm de fracții, pentru aceasta înmulțim fiecare parte a ecuației cu 5:

Acum facem simplificări:

Rezultatul este ecuație liniară neomogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. Aceasta este, de fapt, toată diferența față de soluția sistemului omogen de ecuații, analizată în paragraful anterior.

Notă: Cu toate acestea, într-un sistem neomogen, uneori se poate obține o ecuație omogenă.

Să găsim o soluție generală la cea corespunzătoare ecuație omogenă:

Să compunem și să rezolvăm ecuația caracteristică:

- se obtin radacinile complexe conjugate, prin urmare:
.

Rădăcinile ecuației caracteristice s-au dovedit a fi din nou „bune”, ceea ce înseamnă că suntem pe drumul cel bun.

Căutăm o soluție specială pentru ecuația neomogenă în formă.
Să găsim prima și a doua derivată:

Înlocuiți în partea stângă a ecuației neomogene:

Prin urmare:

Trebuie remarcat faptul că o anumită soluție este ușor de selectat oral și este destul de acceptabil să scrieți în loc de calcule lungi: „Este evident că o anumită soluție a unei ecuații neomogene este:”.

Ca urmare:

4) În căutarea unei funcții. În primul rând, găsim derivata funcției deja găsite:

Nu foarte plăcut, dar astfel de derivați se găsesc adesea în difuze.

Furtuna este în plină desfășurare, iar acum va fi un al nouălea val. Leagă-te cu o frânghie de punte.

Substitui
și în ecuația (*):

5) Soluția generală a sistemului:

6) Găsiți o anumită soluție corespunzătoare condițiilor inițiale :

În sfârșit, o soluție privată:

Vedeți ce poveste cu final fericit, acum puteți naviga fără teamă pe bărci pe marea senină sub soarele blând.

Răspuns: solutie privata:

Apropo, dacă începeți să rezolvați acest sistem din a doua ecuație, atunci calculele se vor dovedi mult mai ușoare (puteți încerca), dar mulți vizitatori ai site-ului au cerut să rezolve lucruri mai dificile. Cum poti refuza? =) Să fie exemple mai serioase.

Un exemplu este mai ușor pentru o soluție independentă:

Exemplul 4

Găsiți o soluție particulară a unui sistem liniar neomogen de ecuații diferențiale corespunzătoare condițiilor inițiale date

Această problemă a fost rezolvată de mine pe modelul Exemplului nr. 1, adică din a doua ecuație se exprimă „x”. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În exemplele luate în considerare, nu am folosit accidental denumiri diferite, am aplicat soluții diferite. Deci, de exemplu, derivatele din aceeași sarcină au fost scrise în trei moduri:. V matematica superioara nu trebuie să vă fie frică de orice squiggles, principalul lucru este să înțelegeți algoritmul de soluție.

Metoda ecuației caracteristice(metoda lui Euler)

După cum sa menționat la începutul articolului, un sistem de ecuații diferențiale este rareori necesar să fie rezolvat folosind ecuația caracteristică, așa că în paragraful final voi lua în considerare doar un exemplu.

Exemplul 5

Este dat un sistem liniar omogen de ecuații diferențiale

Aflați soluția generală a sistemului de ecuații folosind ecuația caracteristică

Soluţie: Ne uităm la sistemul de ecuații și compunem un determinant de ordinul doi:

Pe ce principiu a fost întocmit determinantul cred că vede toată lumea.

Să compunem o ecuație caracteristică, pentru aceasta, din fiecare număr care se află pe diagonala principală, scade un parametru:

Pe o copie curată, desigur, ar trebui să notați imediat ecuația caracteristică, o explic în detaliu, pas cu pas, astfel încât să fie clar de unde a venit.

Extinderea determinantului:

Și găsiți rădăcinile ecuație pătratică:

Dacă ecuaţia caracteristică are două rădăcini reale diferite, atunci soluția generală a sistemului de ecuații diferențiale are forma:

Cunoaștem deja coeficienții din indicatorii exponenți, rămâne să găsim coeficienții

1) Luați în considerare rădăcina și înlocuiți-o în ecuația caracteristică:

(acești doi factori determinanți de pe copia curată nu pot fi, de asemenea, notați, dar compun imediat pe cale orală sistemul de mai jos)

Din numerele determinantului, compunem un sistem de doi ecuatii lineare cu doua necunoscute:

Din ambele ecuații rezultă aceeași egalitate:

Acum trebuie să ridici cel mai puţin o valoare astfel încât valoarea este un număr întreg. Evident ce ar trebui intrebat. Și dacă, atunci

Am decis să dedicăm această secțiune rezolvării sistemelor de ecuații diferențiale de cea mai simplă formă dxdt = a 1 x + b 1 y + c 1 dydt = a 2 x + b 2 y + c 2, în care a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 - unele numere reale. Cea mai eficientă metodă de rezolvare a unor astfel de sisteme de ecuații este metoda integrării. Luați în considerare și rezolvarea unui exemplu pe această temă.

Soluția sistemului de ecuații diferențiale va fi o pereche de funcții x (t) și y (t), care este capabilă să transforme ambele ecuații ale sistemului în identitate.

Luați în considerare metoda de integrare a sistemului DP d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2. Să exprimăm x din ecuația a 2-a a sistemului pentru a elimina funcția necunoscută x (t) din ecuația 1:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Să diferențiem a 2-a ecuație în raport cu tși rezolvați ecuația sa pentru d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Acum înlocuim rezultatul calculelor anterioare în prima ecuație a sistemului:

dxdt = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 ydt 2 - b 2 dydt = a 1 a 2 dydt - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 ydt 2 - (a 1 + b 2) dydt + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Astfel, am eliminat funcția necunoscută x (t) și am obținut un DE liniar neomogen de ordinul 2 cu coeficienți constanți. Să găsim soluția acestei ecuații y (t) și să o înlocuim în a 2-a ecuație a sistemului. Găsi x (t)... Vom presupune că aceasta va completa soluția sistemului de ecuații.

Exemplul 1

Aflați soluția sistemului de ecuații diferențiale d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Soluţie

Să începem cu prima ecuație a sistemului. Să o rezolvăm relativ la x:

x = d y d t - 2 y + 3

Acum efectuăm diferențierea ecuației a 2-a a sistemului, după care o rezolvăm în raport cu d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Putem substitui rezultatul obținut în cursul calculelor în prima ecuație a sistemului DE:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

În urma transformărilor, am obținut o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul 2 cu coeficienți constanți d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2. Dacă găsim soluția sa generală, atunci obținem funcția YT).

Putem găsi soluția generală a LODE corespunzătoare y 0 calculând rădăcinile ecuației caracteristice k 2 - 3 k + 2 = 0:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Rădăcinile pe care le-am primit sunt valide și diferite. În acest sens, soluția generală a LODE va ​​avea forma y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t.

Acum vom găsi o soluție particulară a DE y ~ liniară neomogenă:

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Partea dreaptă a ecuației este un polinom de zero grad. Aceasta înseamnă că vom căuta o anumită soluție sub forma y ~ = A, unde A este un coeficient nedefinit.

Putem determina coeficientul nedefinit din egalitatea d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Astfel, y ~ = 1 și y (t) = y 0 + y ~ = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1. Am găsit o funcție necunoscută.

Acum înlocuim funcția găsită în a doua ecuație a sistemului DE și rezolvăm noua ecuație în raport cu x (t):
d (C 1 et + C 2 e 2 t + 1) dt = x + 2 (C 1 et + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 et + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 et + 2 C 2 e 2 t - 1 x = - C 1 et + 1

Deci am calculat a doua funcție necunoscută x (t) = - C 1 · e t + 1.

Răspuns: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter

Ecuații.

Introducere.

În multe probleme de matematică, fizică și tehnologie, este necesară definirea mai multor funcții legate între ele prin mai multe ecuații diferențiale.

Pentru aceasta, este necesar să existe, în general, același număr de ecuații. Dacă fiecare dintre aceste ecuații este diferențială, adică are forma unei relații care leagă funcții necunoscute și derivatele lor, atunci ei spun asupra sistemului de ecuații diferențiale.

1. Sistem normal de ecuații diferențiale de ordinul întâi. Problema Cauchy.

Definiție. Un sistem de ecuații diferențiale este un set de ecuații care conține mai multe funcții necunoscute și derivatele acestora, iar fiecare dintre ecuații include cel puțin o derivată.

Un sistem de ecuații diferențiale se numește liniar dacă funcțiile necunoscute și derivatele lor sunt incluse în fiecare dintre ecuații doar până la primul grad.

Sistemul liniar se numește normal dacă este permis cu privire la toate derivatele

Într-un sistem normal, părțile din dreapta ecuațiilor nu conțin derivatele funcțiilor căutate.

Decizie sistemul de ecuații diferențiale se numește un set de funcții https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif „width =" 261 "height =" 24 src = "> sunt numite condiţiile iniţiale ale sistemului de ecuaţii diferenţiale.

Condițiile inițiale sunt adesea scrise ca

Soluția generală (integrală ) sistemul de ecuații diferențiale se numește mulțime « n» funcţiile variabilei independente Xși « n» constante arbitrare C1 , C2 , …, Cn:

..……………………..

care satisfac toate ecuatiile acestui sistem.

Pentru a obține o anumită soluție de sistem care să îndeplinească condițiile inițiale date https://pandia.ru/text/78/145/images/image008_18.gif „width =" 44 "height =" 24 "> ar lua valorile date.

Problema Cauchy pentru un sistem normal de ecuații diferențiale se scrie după cum urmează

Teorema existenței și unicității pentru rezolvarea problemei Cauchy.

Pentru un sistem normal de ecuații diferențiale (1), teorema Cauchy a existenței și unicității unei soluții este formulată după cum urmează:

Teorema. Fie părțile din dreapta ale ecuațiilor sistemului (1), adică funcțiile , (i=1,2,…, n) continuă în toate variabilele dintr-o regiune Dși are derivate parțiale continue https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif "width =" 261 height = 24 "height =" 24 "> aparținând zonei D, există o soluție unică pentru sistem (1) https://pandia.ru/text/78/145/images/image013_11.gif "width =" 284 "height =" 24 src = ">.

2. Rezolvarea unui sistem normal prin metoda eliminarii.

Pentru rezolvarea unui sistem normal de ecuații diferențiale se folosește metoda eliminării necunoscutelor sau metoda Cauchy.

Dat un sistem normal

Diferențierea prin NS prima ecuație a sistemului

https://pandia.ru/text/78/145/images/image015_5.gif "width =" 123 "height =" 43 src = "> prin expresiile lor din sistemul de ecuații (1), vom avea

Diferențiând ecuația rezultată și procedând similar cu cea anterioară, găsim

Deci avem sistemul

(2)

Din primul n-1 ecuațiile definesc y2 , y3 , … , yn , exprimându-le prin intermediul

ȘI

(3)

Înlocuind aceste expresii în ultima dintre ecuațiile (2), obținem ecuațiile n-a pentru a determina y1 :

https://pandia.ru/text/78/145/images/image005_27.gif "width =" 167 "height =" 24 "> (5)

Diferențierea ultimei expresii n-1 ori, găsim derivatele

ca funcţii de ... Înlocuind aceste funcții în ecuațiile (4), definim y2 , y3 , … , yn .

Deci, avem soluția generală a sistemului (1)

(6)

Pentru a găsi o soluție particulară a sistemului (1) care satisface condițiile inițiale la

este necesar să găsim din ecuația (6) valorile corespunzătoare ale constantelor arbitrare C1, C2, ..., Cn .

Exemplu.

Găsiți soluția generală a sistemului de ecuații:

https://pandia.ru/text/78/145/images/image029_2.gif "width =" 96 "height =" 21 ">

pentru noi caracteristici necunoscute.

Concluzie.

Sistemele de ecuații diferențiale sunt întâlnite în studiul proceselor pentru care o funcție nu este suficientă pentru a descrie. De exemplu, găsirea liniilor vectoriale ale unui câmp necesită rezolvarea unui sistem de ecuații diferențiale. Rezolvarea problemelor de dinamică a mișcării curbilinie conduce la un sistem de trei ecuații diferențiale, în care funcțiile necunoscute sunt proiecțiile unui punct în mișcare pe axa de coordonate, iar variabila independentă este timpul. Mai târziu veți afla că rezolvarea problemelor de inginerie electrică pentru două circuite electrice în conexiune electromagnetică va necesita rezolvarea unui sistem de două ecuații diferențiale. Numărul de astfel de exemple poate fi crescut cu ușurință.

Concepte de bază și definiții cea mai simplă sarcină dinamica punctului: date fiind forțele care acționează asupra unui punct material; găsiți legea mișcării, adică găsiți funcțiile x = x (t), y = y (t), z = z (t), care exprimă dependența coordonatelor unui punct în mișcare în timp. Sistemul care se obține în acest caz, în cazul general, are forma Aici x, y, z sunt coordonatele punctului în mișcare, t este timpul, f, g, h sunt funcțiile cunoscute ale argumentelor lor. Un sistem de forma (1) se numește canonic. Revenind la cazul general al unui sistem de m ecuații diferențiale cu m funcții necunoscute ale argumentului t, numim un sistem canonic de forma rezolvată în raport cu cele mai mari derivate. Sistemul de ecuații de ordinul întâi care se rezolvă în raport cu derivatele funcțiilor căutate se numește normal. Dacă luăm pentru funcții auxiliare noi, atunci sistemul canonic general (2) poate fi înlocuit cu un sistem normal echivalent format din ecuații. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare numai sistemele normale. De exemplu, o ecuație este un caz special al sistemului canonic. Punând ^ = y, în virtutea ecuației inițiale, vom avea Ca rezultat, obținem un sistem normal de ecuații SISTEME DE ECUAȚII DIFERENȚIALE Metode de integrare Metoda de eliminare Metoda de combinații integrabile Sisteme de ecuații diferențiale liniare Matrice fundamentală Metoda de variație a constantelor Sisteme de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți Metoda matricei echivalentă cu ecuația originală. Definiție 1. O soluție a sistemului normal (3) pe intervalul (a, b) de variație a argumentului t este orice sistem de n funcții „diferențiabile pe interval, care transformă ecuațiile sistemului (3) în identități cu față de t pe intervalul (a, b).Problema Cauchy pentru a sistemului (3) se formulează astfel: găsiți o soluție (4) a sistemului care să îndeplinească condițiile inițiale pentru t = to.domeniul dimensional D de variație a variabilelor t, X1, x2, ..., xn. Dacă există o vecinătate ft care este subțire în care funcțiile ft sunt continue în mulțimea de argumente și au derivate parțiale mărginite față de variabilele X1, x2, ..., xn, atunci există un interval până la - Л0 de variație a lui t, pe care există o soluție unică a sistemului normal (3) care satisface condițiile inițiale Definiția 2. Sistemul de n funcții în funcție de tun de arbitrare constante se numește soluția generală a normalei a sistemului (3) într-un anumit domeniu al existenței și unicității soluției problemei Cauchy, dacă 1) pentru orice valori admisibile, sistemul de funcții (6) transformă ecuațiile (3) în identități, 2) în domeniul funcțiilor (6) rezolva orice problemă Cauchy. Soluțiile rezultate din general pentru valori specifice ale constantelor se numesc soluții particulare. Pentru claritate, să ne întoarcem la sistemul normal de două ecuații Vom considera sistemul de valori t> X \, x2 drept coordonate carteziene dreptunghiulare ale unui punct din spațiul tridimensional, referitor la sistemul de coordonate Otx \ x2 . Soluția sistemului (7), care ia valori la t - to, determină în spațiu o anumită linie care trece printr-un punct) - Această linie se numește curba integrală a sistemului normal (7). Problema Ko-shi pentru sistemul (7) primește următoarea formulare geometrică: în spațiul variabilelor t> X \, x2, găsiți o curbă integrală care trece printr-un punct dat Mo (to, x1, x2) (Fig. 1) . Teorema 1 stabilește existența și unicitatea unei astfel de curbe. Sistemul normal (7) și soluția lui pot fi interpretate în continuare astfel: vom considera variabila independentă t ca parametru, iar soluția sistemului ca ecuații parametrice ale curbei în planul x \ Ox2. Acest plan al variabilelor X \ X2 se numește plan de fază. În planul de fază, soluția (0 a sistemului (7), care la t = t0 ia valorile inițiale x ° (, x2, este reprezentată de curba AB care trece prin punct). Această curbă se numește traiectorie a sistemului (traiectoria de fază).Traiectoria sistemului (7) este proiecția curbei integrale pe planul de fază.Traiectoria de fază se determină unic din curba integrală, dar nu invers.§ 2. Metode de integrare a sistemelor a ecuațiilor diferențiale 2.1.Metoda eliminării Una dintre metodele integrării este metoda eliminării.Un caz particular al sistemului canonic este o ecuație de ordinul n-a, rezolvată în raport cu cea mai mare derivată, Introducând noile funcții ecuație cu următorul sistem normal de n ecuații: înlocuim această ecuație de ordinul al n-lea este echivalentă cu sistemul normal (1) Se poate afirma și invers, că, în general, un sistem normal de n ecuații din prima ordinea este echivalentă cu o ecuație a ordinului Aceasta este baza metodei de eliminare pentru integrarea sistemelor de ecuații diferențiale ... Așa se face. Să avem un sistem normal de ecuații diferențiale Să diferențiem prima dintre ecuațiile (2) față de t. Avem Înlocuirea în partea dreaptă a aritmeticii sau, pe scurt, Ecuația (3) este din nou diferențiabilă în raport cu t. Ținând cont de sistemul (2), vom obține sau de expresiile găsite în ecuație vom obține o ecuație de ordinul al n-lea Din însăși metoda de construcție a acestuia rezultă că dacă) există soluții la sistemul (2), atunci funcția X \ (t) va fi o soluție a ecuației (5). În schimb, să fie o soluție a ecuației (5). Diferențiând această soluție în raport cu t, calculăm și înlocuim valorile găsite ca funcții cunoscute.Prin presupunere, acest sistem poate fi rezolvat în raport cu, xn în funcție de t. Se poate arăta că sistemul de funcţii astfel construit constituie soluţia sistemului de ecuaţii diferenţiale (2). Exemplu. Se cere integrarea sistemului Diferențiând prima ecuație a sistemului, avem de unde, folosind a doua ecuație, obținem - o ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți cu o funcție necunoscută. Soluția sa generală este următoarea. În virtutea primei ecuații a sistemului, găsim funcția. Funcțiile găsite x (t), y (t), așa cum este ușor de verificat, pentru orice valoare a lui C | și C2 satisfac sistemul predeterminat. Funcțiile pot fi reprezentate sub forma din care se poate observa că curbele integrale ale sistemului (6) sunt linii elicoidale cu pas cu o axă comună x = y = 0, care este și o curbă integrală (Fig. 3) . Eliminând parametrul din formulele (7), obținem ecuația astfel încât traiectoriile de fază ale acestui sistem să fie cercuri cu centrul la origine - proiecția liniilor elicoidale pe plan La λ = 0, traiectoria de fază este formată dintr-un punct, numit punct de repaus al sistemului. ". Se poate dovedi că funcțiile nu pot fi exprimate în termeni de Atunci ecuațiile de ordinul n-a, echivalente cu sistemul original, nu le vom obține. Iată un exemplu simplu. Sistemul de ecuații nu poate fi înlocuit cu o ecuație echivalentă de ordinul doi în raport cu x \ sau x2. Acest sistem este compus dintr-o pereche de ecuații de ordinul I, fiecare dintre acestea fiind integrată independent, ceea ce dă Metoda combinațiilor integrabile Integrarea sistemelor normale de ecuații diferențiale dXi se realizează uneori prin metoda combinațiilor integrabile. O combinație integrabilă este o ecuație diferențială care este o consecință a ecuațiilor (8), dar deja ușor integrabilă. Exemplu. Integrarea sistemului SISTEME DE ECUAȚII DIFERENȚIALE Metode de integrare Metoda de eliminare Metoda de combinații integrabile Sisteme de ecuații diferențiale liniare Matricea fundamentală Metoda de variație a constantelor Sisteme de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți Metoda matricei 4 Adunând ecuații termen cu termen, găsim una combinație integrabilă: Scăderea termen cu termen din prima ecuație a sistemului a doua, a doua combinație integrabilă: de unde Am găsit două ecuații finale din care se determină cu ușurință soluția generală a sistemului: O combinație integrabilă face posibilă obținerea o ecuație care conectează variabila independentă t și funcțiile necunoscute. O astfel de ecuație finală se numește prima integrală a sistemului (8). În caz contrar: prima integrală a sistemului de ecuații diferențiale (8) este o funcție derivabilă care nu este constant constantă, dar păstrează o valoare constantă pe orice curbă integrală a acestui sistem. Dacă se găsesc n primele integrale ale sistemului (8) și toate sunt independente, adică jacobianul sistemului de funcții este diferit de zero: Un sistem de ecuații diferențiale se numește liniar dacă este liniar în raport cu funcțiile necunoscute și derivatele lor incluse în ecuație. Sistemul de n ecuații liniare de ordinul întâi, scris în formă normală, are forma sau, sub formă de matrice, Teorema 2. Dacă toate funcțiile sunt continue pe un interval, atunci într-o vecinătate suficient de mică a fiecărui punct., Xn) , unde), sunt îndeplinite condițiile teoremei existenței și unicitatea soluției problemei Cauchy; prin urmare, prin fiecare astfel de punct există o curbă integrală unică a sistemului (1). Într-adevăr, în acest caz, părțile din dreapta ale sistemului (1) sunt continue în raport cu mulțimea de argumente t) x \, x2) ..., xn și derivatele lor parțiale în raport cu, sunt mărginite, deoarece acestea derivatele sunt egale cu coeficienții continui pe interval Introduceți un operator liniar Atunci sistemul ( 2) poate fi scris ca Dacă matricea F este zero pe intervalul (a, 6), atunci sistemul (2) se numește omogen liniar și are formă Să prezentăm câteva teoreme care stabilesc proprietăţile soluţiilor la sisteme liniare. Teorema 3. Dacă X (t) este o soluție pentru un sistem liniar omogen unde c este o constantă arbitrară, este o soluție pentru același sistem. Teorema 4. Suma a două soluții la un sistem liniar omogen de ecuații este o soluție a aceluiași sistem. Consecinţă. O combinație liniară cu coeficienți constanți arbitrari c, soluții ale unui sistem liniar omogen de ecuații diferențiale este o soluție a aceluiași sistem. Teorema 5. Dacă X (t) este o soluție a unui sistem liniar neomogen - o soluție a sistemului omogen corespunzător, atunci suma va fi o soluție a sistemului neomogen Într-adevăr, prin condiție, Folosind proprietatea de aditivitate a operatorului obținem Aceasta înseamnă că suma este o soluție a sistemului neomogen de ecuații Definiție. Vectorii în care sunt numiți dependenți liniar de interval dacă există numere constante astfel încât pentru, și cel puțin unul dintre numerele a nu este egal cu zero. Dacă identitatea (5) este valabilă numai pentru, atunci vectorii sunt numiți liniar independenți de (a, b). Rețineți că o identitate vectorială (5) este echivalentă cu n identități:. Determinantul se numește determinant Wronsky al sistemului vectorial. Definiție. Să avem un sistem liniar omogen în care este o matrice cu elemente Sistemul de n soluții ale sistemului liniar omogen (6), liniar independent de interval, se numește fundamental. Teorema 6. Determinantul Wronskii W (t) al fundamentalei pe un sistem de intervale de soluții la sistemul liniar omogen (6) cu coeficienți continui a-ij (t) pe intervalul ab diferă de zero în toate punctele intervalului ( a, 6). Teorema 7 (despre structura soluției generale a unui sistem liniar omogen). Soluția generală în domeniul unui sistem liniar omogen cu coeficienți continui pe un interval este o combinație liniară a n soluții ale sistemului (6) liniar independente de intervalul a: numere constante arbitrare). Exemplu. Sistemul are, așa cum este ușor de verificat, soluțiile soluțiilor Ash sunt liniar independente, întrucât determinantul Wronski este diferit de zero: „Soluția generală a sistemului are forma sau sunt constante arbitrare.) 3.1. Matricea fundamentală A pătrat matricea ale cărei coloane sunt soluții liniar independente ale sistemului (6), se numește matricea fundamentală a acestui sistem. Este ușor de verificat că matricea fundamentală satisface ecuația matriceală Dacă X (t) este matricea fundamentală a sistemului (6), atunci soluția generală a sistemului poate fi reprezentată ca o matrice-coloană constantă cu elemente arbitrare. , Matricea se numește matricea Cauchy. Cu ajutorul ei, soluția sistemului (6) poate fi reprezentată astfel: Teorema 8 (despre structura soluției generale a unui sistem liniar neomogen de ecuații diferențiale) .Soluția generală în domeniul unui sistem liniar neomogen de ecuații diferențiale cu coeficienți continui pe un interval și laturile din dreapta fi (t) este egală cu suma soluţiei generale corespunzătoare a sistemului omogen corespunzător și a unei soluții particulare X (t) a sistemului neomogen (2): 3.2. Metoda variației constantelor Dacă se cunoaște soluția generală a unui sistem liniar omogen (6), atunci o soluție particulară a sistemului neomogen poate fi găsită prin metoda variației constantelor (metoda Lag-rank). Să existe o soluție generală a sistemului omogen (6), apoi dXk și soluțiile sunt liniar independente. Vom căuta o soluție specială pentru sistemul neomogen în care sunt funcții necunoscute ale lui t. Diferențiând avem Substituind obținem Deoarece pentru definiție obținem sistemul sau, în formă extinsă, Sistemul (10) este un sistem algebric liniar față de 4 (0> al cărui determinant este determinantul Wronski W (t) al sistemului fundamental de soluții.Acest determinant este diferit de zero peste tot pe interval, astfel încât sistemul) are o soluție unică în care MO sunt cunoscute funcții continue. Integrând ultimele relații, găsim Înlocuind aceste valori, găsim o soluție particulară a sistemului (2): (aici simbolul înseamnă una dintre antiderivatele pentru funcția §4. Sisteme de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți Se consideră sistem liniar ecuații diferențiale în care toți coeficienții sunt constante. Cel mai adesea, un astfel de sistem este integrat prin reducerea lui la o ecuație mai mult decât ordin înalt, iar această ecuație va fi, de asemenea, liniară cu coeficienți constanți. O altă metodă eficientă de integrare a sistemelor cu coeficienți constanți este metoda transformării Laplace. Vom lua în considerare și metoda lui Euler de integrare a sistemelor liniare omogene de ecuații diferențiale cu coeficienți constanți. Este după cum urmează. Metoda lui Euler Vom căuta o soluție la sistemul în care sunt constante. Înlocuind x * în forma (2) în sistemul (1), anulând cu e * și transferând toți termenii într-o parte a egalității, obținem sistemul Pentru ca acest sistem (3) de omogen liniar ecuații algebrice cu n necunoscute an are o soluție netrivială, este necesar și suficient ca determinantul său să fie egal cu zero: Ecuația (4) se numește caracteristică. În partea stângă se află un polinom față de A de gradul n. Din această ecuație se determină acele valori ale lui A pentru care sistemul (3) are soluții netriviale a \. Dacă toate rădăcinile ecuației caracteristice (4) ) sunt diferite, apoi, substituindu-le pe rând în sistemul ( 3), găsim soluțiile netriviale corespunzătoare acestui sistem și, prin urmare, găsim n soluții ale sistemului original de ecuații diferențiale (1) în forma în care a doua indicele indică numărul soluției, iar primul este numărul funcției necunoscute. Cele n soluții particulare ale sistemului liniar omogen (1) astfel construite formează, după cum se poate verifica, sistemul fundamental de soluții al acestui sistem. În consecință, soluția generală a sistemului omogen de ecuații diferențiale (1) are forma - constante arbitrare. Nu vom lua în considerare cazul când ecuația caracteristică are rădăcini multiple. M Căutăm o soluție sub forma unei ecuații caracteristice Sistemul (3) pentru determinarea lui 01.02 arată astfel: Înlocuind se obține unde. Prin urmare, Presupunând că găsim deci Soluția generală a acestui sistem: SISTEME DE ECUAȚII DIFERENȚIALE Metode de integrare Metoda de integrare eliminare Metoda combinațiilor integrabile Sisteme de ecuații diferențiale liniare Matrice fundamentală Metoda variației constantelor Sisteme de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți Metoda matricei Să prezentăm și metoda matricei integrarea sistemului omogen (1). Să scriem sistemul (1) sub forma unei matrice cu elemente reale constante a, j. Să ne amintim câteva concepte din algebra liniară. Vectorul g Ф О se numește vectorul propriu al matricei A dacă Numărul A se numește valoarea proprie a matricei A corespunzătoare vectorului propriu g și este rădăcina ecuației caracteristice unde I este matricea unitară. Vom presupune că toate valorile proprii A „ale matricei A sunt diferite. În acest caz, vectorii proprii sunt independenți liniar și există o matrice nx n T care reduce matricea A la o formă diagonală, adică astfel încât Coloanele matricei T să fie coordonatele vectorilor proprii. următoarele concepte. Fie B (t) o matrice nx n, elementele 6,; (din care 0 sunt funcții ale argumentului t definite pe mulțime Matricea B (f) se numește continuă pe dacă toate elementele sale 6, j (f) sunt continue pe Q. O matrice B (*) se numește diferențiabilă pe dacă toate elementele acestei matrice sunt diferențiabile pe Q. Mai mult, derivata ^ p-matricei B (*) este o matrice ale cărei elemente sunt derivate ale elementelor corespunzătoare al matricei B (*).Fie B vector coloană Ținând cont de regulile algebrei matriceale, putem verifica direct validitatea formulei prin verificare directă În special, dacă B este o matrice constantă, atunci deoarece ^ este zero Teorema matricei 9. Dacă valorile proprii ale matricei A sunt diferite, atunci soluția generală a sistemului (7) are forma unde vectorii proprii-coloane ale matricei sunt numere constante arbitrare. Introducem o nouă coloană vectorială necunoscută conform formulei în care T este matricea care aduce matricea A. că T 1 AT = A, ajungem la sistemul Am obținut un sistem de n ecuații independente, care pot fi ușor integrate: (12) Iată numere constante arbitrare. Introducând vectori coloană n-dimensionali unitari, soluția poate fi reprezentată sub forma Întrucât coloanele matricei T sunt vectorii proprii ai matricei, vectorul propriu al matricei A. Prin urmare, înlocuind (13) în (11), obținem formula (10): Astfel, dacă matricea Un sistem de ecuații diferențiale (7) are valori proprii diferite, pentru a obține o soluție generală a acestui sistem: 1) găsim valorile proprii ale matricei ca rădăcini ale ecuației algebrice 2) găsim toți vectorii proprii 3) scriem soluția generală a sistemului de ecuații diferențiale (7) conform formulei (10 ). Exemplul 2. Rezolvarea sistemului Metoda matricei 4 Matricea A a sistemului are forma 1) Compunem ecuația caracteristică Rădăcinile ecuației caracteristice. 2) Aflați vectorii proprii Pentru A = 4 obținem sistemul de unde = 0 | 2, astfel încât În mod similar pentru A = 1 găsim I 3) Utilizând formula (10), obținem soluția generală a sistemului de ecuații diferențiale Rădăcinile a ecuației caracteristice poate fi reală și complexă. Deoarece, prin presupunere, coeficienții ay ai sistemului (7) sunt reali, ecuația caracteristică va avea coeficienți reali. Prin urmare, împreună cu rădăcina complexă A, va avea și o rădăcină \ * complex conjugat la A. Este ușor de arătat că dacă g este un vector propriu corespunzător valorii proprii A, atunci A * este și o valoare proprie la care vectorul propriu. g * corespunde, complex conjugat cu g. Pentru complexul Л, soluția sistemului (7) taioKe va fi complexă. Partea reală și partea imaginară a acestei soluții sunt soluții ale sistemului (7). O pereche de soluții valide va corespunde valorii proprii Л *. aceeași pereche ca și pentru valoarea proprie a lui A. Astfel, o pereche A, A * de valori proprii conjugate complexe corespunde unei perechi de soluții reale ale sistemului (7) de ecuații diferențiale. Fie valori proprii reale, valori proprii complexe. Atunci orice soluție reală a sistemului (7) are forma în care c, sunt constante arbitrare. Exemplul 3. Rezolvarea sistemului -4 Matricea sistemului 1) Ecuația caracteristică a sistemului Rădăcinile sale Vectorii proprii ai matricei 3) Rezolvarea sistemului unde sunt constante complexe arbitrare. Să găsim soluții valide ale sistemului. Folosind formula lui Euler, obținem În consecință, orice soluție reală a sistemului are forma unor numere reale arbitrare. Exerciții Integrarea sistemelor prin metoda eliminării: Prin metoda combinațiilor interacționate, interacționează sistemele: În mod matriceal, interacționează sistemele: Răspunsuri