Cu acest articol încep o serie de lecții despre modelarea organică 3D. Acest articol este în mod specific despre principiile modelării, de exemplu. absolut nu depinde de caracteristicile pachetului dvs. 3D (orice). Seria de articole va acoperi următoarele subiecte:

• formă,
• proportii,
• stalpi,
• topologie
• si multe altele.

Există un număr mare de metode de modelare și toate au avantajele și dezavantajele lor, așadar nu există „cea mai bună metodă de modelare”.

Motivul pentru care am luat acest drum forme- ea lucrează. De asemenea, mi-am dorit mereu să devin sculptor. Înainte de a intra în detalii, îmi place să schițez o formă grosieră. Din această cauză am realizat atât de multe și de aceea am decis să scriu acest articol pentru a-i ajuta pe începătorii în modelarea organică 3D și pentru a le arăta forma înainte de a începe să facă ceva.

Primul lucru cu care am început a fost forma capului și m-am frustrat pentru că am încercat să o fac fără nicio informație de referință (nu referințe- din engleză referință), folosind doar imaginația. În loc să schițez o formă grosieră, mintea mea era ocupată cu întrebări precum: „De câte tăieturi sunt necesare? De ce? Unde și când?”

Eram îngrijorat nu doar de capul meu, ci și de ochii, nasul și gura (și nici măcar nu ajunsesem la ele încă). Creierul meu era confuz și eram complet rătăcit în ceea ce privește cum să creez acest cap... până într-o zi când am reușit să schițez un cap de box de bază și iată... vezi momentul adevărului! Eram atât de încântată încât am decis să o fac din nou! Și apoi iar și iar, până când m-am săturat de asta și am fost epuizat.

Privind în urmă, mi se pare atât de simplu și simplu. Tot ce trebuia a fost să creăm o cutie și să facem câteva tăieturi și modificări!

Totuși, dacă este atât de simplu, atunci de ce m-am luptat cu el atât de mult timp? Putem face asta fără problemele pe care le-am întâmpinat? Ei bine, răspunsul meu este DA! Dar numai dacă vrei să spui serios mentalitatea corectă. De exemplu, nu aveam unul când am început.

Ceea ce mi-am dat seama acum este că când învățăm modelarea 3D, atunci suntem doar nu predăm deloc 3D! Ceea ce facem cu adevărat este să căutăm „mentalitatea” potrivită. Deci, atunci când întâmpinați dificultăți în ceva, nu înseamnă că vă lipsesc abilitățile sau cunoștințele. Acest lucru se datorează faptului că nu ai mentalitatea potrivită pentru a face ceea ce încerci să faci.

Odată ce ți-ai reconectat mintea, mintea ta rațională va prelua controlul și vei începe să faci lucrurile în mod natural. Deci, acesta este primul lucru pe care trebuie să încercăm să-l reconstruim - mentalitatea.

Mentalitatea

Desenarea unui profil (contur): puncte de conectare

Acest mic exemplu vă va ajuta să vă schimbați mentalitatea.

În primul rând, uită-te la această imagine. Acum vom desena un profil folosind puncte și le vom conecta. Dacă ai avea doar două puncte (pe frunte și pe bărbie) pentru a le conecta. Cum ai face-o? Răspuns: de la frunte până la bărbie, pentru că pur și simplu nu există altă cale.

Cu toate acestea, dacă măriți numărul de puncte, acestea nu vă vor permite doar modelează mai mult profilul exact, dar vor permite și să se facă în multe feluri, iar acest lucru duce deja la formarea stilului(artistic).

Acest lucru este foarte important de reținut atunci când trebuie să faceți tăieturi sau să știți unde să le terminați.

Key Cut (KR) și Fill Cut (FC).

La început mi-a fost foarte greu să înțeleg unde și câte tăieturi ar trebui să fac atunci când creez o anumită formă. Așa că am căutat o analogie pentru acest proces. Această analogie s-a dovedit a fi Animaţie.

Animația are un concept Personalul cheie(KK). Pe scurt, asta este ipostaze caracteristice caracter într-un anumit punct în timp. Acest concept include și Cadre intermediare(PrK), care umple intervalele de timp între Personalul cheie.

Acest lucru nu numai că accelerează procesul, dar îl face și mai ușor. Cu cât aveți mai multe cadre intermediare (tăieri de umplere), cu atât mișcarea va fi mai netedă și mai precisă.

Dacă ești un animator, atunci ai puterea de a controla numărul de PRK. Acest lucru este foarte asemănător cu tăierea poligoanelor în 3D.

Desenarea unui număr mare de PK și gestionarea lor pe toate este o muncă foarte obositoare. Același lucru este valabil și pentru mutarea unui număr mare de vârfuri în 3D - este foarte laborioasă.

Ideea din spatele CD-ului este îmbinările. Când un modelator schițează o formă brută, începe întotdeauna cu KR, care arată întotdeauna dur. Dacă editorul pe care îl utilizați acceptă zarurile, atunci folosiți-l pentru a înțelege. Îndoiți/răsuciți oasele de la articulații pentru a vă vedea forma grosieră în ipostaze.

Odată ce toate CD-urile sunt gata, aveți două opțiuni:

1. Neteziți modelul.
   Uneori creez un CR și apoi pur și simplu las codul responsabil pentru împărțirea modelului într-un număr mai mare de poligoane (subdiviziune) să termine de desenat toate CR-urile pentru mine. Dezavantajul este că nu pare realist. Deci, următorul pas este să folosiți o evidențiere moale pentru a corecta forma. Uneori, acest lucru poate economisi mult timp (dar depinde de ceea ce modelezi).
2. Adăugați ZR manual.
   În cele mai multe cazuri, prefer munca manuală, deoarece astfel pot controla numărul de puncte și locația acestora.

Vă rugăm să rețineți că acest concept de tăieturi Key and Fill nu este util doar pentru crearea formelor, ci și pentru detalierea rețelei. KR și ZR create folosind partiționare sunt una dintre modalitățile de optimizare a rețelei (fese, coapse etc.). De asemenea, uneori, o tăietură de umplere poate deveni o tăietură cheie, în funcție de modul în care o privești. Tu ești creatorul, așa că totul este în puterea ta.

Ceea ce este, de asemenea, important este că acest concept funcționează grozav și pentru topologie/bucle (bucle de cheie și umplere).

Main and Fill este un concept foarte interesant, deoarece poate fi aplicat la aproape orice! Data viitoare când vă uitați la rețeaua topologică, încercați să găsiți bucla cheie, deoarece fiecare cap are cel puțin unul dintre acestea.

Pe baza a ceea ce am văzut, există astfel de topologii de cap:

• Bucla C
• bucla X
• E-buclă
• Și o grămadă de alții

Despre toate acestea voi vorbi mai târziu, dar deocamdată să ne concentrăm pe formă.

Rotunjire

Aceasta este cea mai frecventă greșeală a tuturor începătorilor. Ei creează Key Cuts, apoi completează între ele și lasă totul fără cea mai mică modificare. Dacă nu vă rotunjiți GR, rezultatul va fi pătrat (nenatural, anorganic) și va trebui să vă străduiți din greu să îl remediați mai târziu. Dacă, de fiecare dată când creați următoarea tăietură de umplere, o ajustați corect la formă, vă veți salva de modificările constante ale plasei.

Urmărirea liniilor formei (liniile corpului, netezimea liniilor).

O altă greșeală comună este NU urmați liniile netede ale subiectului. Amintiți-vă, aceasta este o simulare organică, așa că încercați să gândiți organic. Când schițați părți ale corpului, cum ar fi o coadă sau un corp care se curbe, încercați să vă imaginați un cilindru curbat. Și creați blocuri în consecință.

Frica, graba si indoiala

Acesta este un nivel mental de provocare atunci când abia începi în modelarea 3D.

De fiecare dată când faci ceva pentru prima dată, te confrunți cu mari dificultăți. Ideea este, nu renunța! Toată lumea trece prin asta. Este rar să întâlnești o persoană care a trecut prin această etapă inițială și nu vorbește despre cum a suferit.

Așa că iată sfatul meu: liniștește-te, încetinește, nu e nicio grabă aici. Încercați să petreceți o lună sau două jucându-vă cu forma dvs. Începeți cu obiecte care vă vor permite să faceți o mulțime de greșeli, cum ar fi creaturile. Și doar exersează. Dacă se dovedește o prostie, șterge-l și începe de la capăt.

La început, totul va funcționa încet pentru tine, dar pe măsură ce faci sarcini similare, viteza ta va crește tot timpul. Tocmai de aceea avem nevoie de practică, pentru a face totul mai bine și mai repede.

Când creați un model pentru prima dată, poate fi un proces foarte distractiv. Toate din cauza „privirii asupra întregului”.

Luați, de exemplu, figura umană. Să presupunem că începeți cu trunchiul și folosiți extrudarea pentru a-l întinde. Dacă nu ai încă picioare și brațe/cap, atunci totul pare foarte comic. Pentru a-l face să pară uman, trebuie să completați toate părțile rămase ale corpului.

Deci nu este nevoie să vă pierdeți interesul din cauza rezultatului teribil de a nu avea toate piesele la locul lor. Trebuie doar să extrudați toate părțile corpului și să le plasați în locurile potrivite, abia atunci „aceasta” va începe să arate ca o figură umană.

Practica

Subiect de simulare

Mai întâi să vorbim despre subiectul modelării.

Dacă faci modelarea caracterelor, atunci evident că vei începe de la cap și vei merge în jos. Un cap simplificat, trunchi și apoi brațe și picioare. După câteva săptămâni îți vei da seama că capul este cea mai simplă parte a corpului, deoarece este doar un bloc, complet vizibil dintr-un punct. Și tot ce trebuie să modelați este să măriți și să micșorați din el (capul).

Alte părți ale corpului (brațele, picioarele) vor fi mai dificile, deoarece necesită să rotiți și să măriți modelul în fereastra de vizualizare. Și, din moment ce ești nou în 3D, sunt șanse să nu fii obișnuit să folosești pe deplin rotația, rotirea, deplasarea și mărirea ferestrelor de vizualizare.

La început, pentru a evita dificultățile inutile, folosiți referințe. Și odată ce ați înțeles, încercați să modelați din memorie.

Crearea unei mâini din memorie pentru prima dată este dificilă. Așa că încercați să utilizați mai întâi imagini/fotografii de referință și mai târziu memoria.

De ce să o faci din memorie? Doar pentru a vedea dacă înțelegerea formei mâinii (sau orice obiect pe care îl creați) s-a îmbunătățit.

Dacă tu modelează diferite creaturi, atunci situația este aceeași aici. Începeți cu capul, apoi corpul și apoi tot ce este dedesubt. Nu vă limitați modelând doar o singură piesă. Sari de la o parte la alta (de exemplu, eu fac asta), astfel incat tu (datorita schimbarii tipului de activitate) vei mentine constant interesul pentru acest proces.

Extrudați.

Înainte de a începe extrudarea părților precum brațele și picioarele, ar trebui să știți că există doar două moduri de a face acest lucru. Acest lucru are de-a face cu modul de modelare a unghiului.

Metoda A este, desigur, mai rapidă, dar veți ajunge totuși, mai devreme sau mai târziu, la metoda B. Puteți, de asemenea, să convertiți A în B folosind metoda polarizării (mai multe despre asta mai târziu). De asemenea, rețineți forma liniei (roşu).

Am văzut multe variante ale Metodei A pentru creare mâna umană realistă. În timp ce metoda B este potrivită pentru personaje nerealiste, de exemplu, desene animate și altele asemenea.

Dacă vă este dificil să rotiți de fiecare dată când extrudați, atunci utilizați Metoda A. Dar nu contează cu adevărat metoda pe care o alegeți, deoarece puteți converti o topologie în alta pe măsură ce mergeți.

Aceasta încheie prima parte a articolului. Puteți pune întrebări dacă ceva nu este clar.

Permiteți-mi să închei cu câteva cel mai bun.

Aceasta este traducerea mea a unei serii excelente de postări de la SomeArtist pe subdivisionmodeling.com (care au fost șterse deoarece forumul a încetat să mai existe).

Abonați-vă la actualizările blogului(Aici ).

P.S.Țestoasa barbară din poza de titlu a fost realizată de americanul Jesse Sandifer. Simularea a fost realizată în întregime în Mudbox, apoi întreaga scenă a fost asamblată în 3ds Maxși vizualizate de forțe Vray. Photoshop folosit pentru texturare și post-procesare. Pentru alte tipuri de personaje, precum și o discuție a lucrării, citiți

Acest tutorial este un început bun pentru oricine dorește să învețe cum să modeleze personaje de top. Celebru în cercul său, Jahirul Amin va vorbi despre importanța topologiei corecte, ochiurilor uniforme, importanța poligoanelor patrulatere și multe altele.

Înainte de a vă scufunda în jacuzzi 3D, vă sugerez să aveți un scurt program educațional și să vă stropiți în apa puțin adâncă. Mai jos vom atinge elementele de bază ale modelării poligonale, fără cunoștințe despre care nu are rost să mergem mai departe.

Introducere

Când geometria devine un ajutor pentru modelator sau animator, aspectul ideal al plasei este pe primul loc. După aceasta, ar trebui să intre în joc o topologie bună, reducând numărul de defecte în animația personajelor. Cu alte cuvinte, un poligon creat corect (și la timp) va economisi nu numai ore, ci și zile din viața ta.

3-gon vs 4-gon vs N-gon

Deci, care este diferența dintre poligoane 3-, 4- și N-gon? Răspunsul este evident: prima are 3 laturi, a doua are 4, a treia are orice număr, mai mult de 4. Dacă modelați un personaj pentru animație ulterioară, vă recomandăm utilizați numai patrulatere. Procesul de deformare și împărțire a poligoanelor patrulatere este mult mai ușor și veți întâlni mai puțină distorsiune a texturii.

Se recomandă ascunderea triunghiurilor de ochii tăi și ai altora. De exemplu, în axile sau în zona inghinală a personajului. La rândul său, poligoanelor se impune o interdicție nerostită - acestea nu ar trebui să existe. Ele provoacă distorsiuni și sunt destul de o bătaie de cap atunci când vine vorba de manipularea și editarea grupurilor de vârfuri (alias „pictura cu greutate”).

În cele din urmă, un model care constă în principal din poligoane patru va fi mai ușor de exportat în alte programe de modelare, cum ar fi Mudbox.

Bucuriile poligoanelor cu patru și trei gon și oroarea lui N-gon

Contururile feței, care seamănă prin definiție cu un N-gon, ar trebui aduse cât mai aproape de un format pătrangular. Nu numai atât - amplasarea poligoanelor ar trebui să fie cât mai uniformă în principiu. Aceasta este ceea ce cere geometria cu același nume. Respectarea acestor reguli va face mai ușor să treceți prin etapa de trucaj și va ajuta la deformarea personajului în timpul procesului de animație. În plus, scara distorsiunii asociată cu utilizarea texturilor va fi redusă, deși aici nu trebuie să uităm de importanța scanării UV în sine.

Pentru a efectua sarcina descrisă, Maya oferă instrumentul Sculpt Geometry.

Instrumentul Sculpt Geometry din Maya vă va ajuta să „neteziți” plasa modelului dvs

Responsabil pentru tranziția lină a fiecărei margini individuale (alias Edge Flow). Poate suna simplu, dar în practică este un lucru foarte insidios.

Dacă v-ați propus să creați un personaj realist, este recomandat să studiați elementele de bază ale anatomiei înainte de a începe lucrul. Urmărind structura corpului uman și mișcarea naturală a mușchilor, animatorul obține în cele din urmă o copie care este apropiată de original. Acest lucru se vede în mod deosebit în timpul procesului de deformare. Vă recomandăm să începeți cu procesul de formare a ridurilor și de întindere a pielii.

Pentru personajele stilizate și de desene animate, Edge Flow este mult mai puțin important. Dar totuși, recomand cu căldură să obțineți cel puțin o înțelegere de bază a anatomiei umane.

Pentru a face forma realistă, creați o topologie bună și asigurați-vă că țineți cont de direcția netedă a rețelei (margini, poligoane).

Este, de asemenea, non-varietă. Înseamnă că un obiect tridimensional nu poate fi tăiat și făcut plat.

Exemplu: Creați un cub, selectați orice margine (margine) și extrudați-o Editați Mesh > Extrude. În fața ta este un obiect oarecum modelat. (Exemplu de mai jos, în stânga) Dacă cubul ar fi făcut din hârtie, atunci când este desfășurat, ați obține o figură în formă de cruce cu proporții rupte. Utilizarea unui astfel de obiect în operațiuni booleene este aproape imposibilă.
Pentru a remedia situația, utilizați instrumentul Curățare.

Încălcarea topologiei geometriei poate crea zeci de probleme. Fii vigilent și inspectează periodic figura din diferite unghiuri.

Fiecare buclă (marginea marginii) trebuie să aibă o țintă

De regulă, modelarea începe cu o figură primitivă (de exemplu, un cub), a cărei structură este ulterior complicată prin adăugarea de bucle de margine.

Este important ca fiecare element nou să fie creat cu un scop specific. Există situații în care „mai puțin” este egal cu „mai bine”. Înțelegerea principiilor optimizării modelului vine doar cu experiență, așa că nu vă descurajați și continuați să lucrați.

Nu-ți complica viața: detaliile ar trebui să fie adecvate

Tot ceea ce încercăm să facem pe ecran este o reflectare a lumii din jurul nostru în diferitele sale forme și manifestări. De aceea este atât de important să te ridici de la masă din când în când. Important nu numai pentru dezvoltatori, ci și pentru animatori, montatori, directori de iluminat etc.

Aruncă o privire mai atentă la suprafață, structura și umbra acesteia. Cum reflectă lumina? Cum are loc procesul de deformare? Răspunsul la aceste și alte întrebări vă va ajuta să luați decizia corectă atunci când modelați orice obiect.

Subiect de conversație: TOPOLOGIE.

Topologia (din greaca veche τόπος - loc și λόγος - cuvânt, doctrină) este o ramură a matematicii care studiază în forma sa cea mai generală fenomenul de continuitate, în special proprietățile spațiului care rămân neschimbate sub deformări continue, de exemplu, conectivitatea, orientabilitate. Spre deosebire de geometrie, topologia nu ia în considerare proprietățile metrice ale obiectelor (de exemplu, distanța dintre o pereche de puncte). De exemplu, din punct de vedere topologic, un cerc și o gogoașă (tor solid) nu se pot distinge.

Dar asta este la matematică. Cum merg lucrurile cu personajele? Lasă-mă să o spun cu propriile mele cuvinte.
Topologia este capacitatea unei ochiuri de a răspunde corect la deformații. Fie că este vorba de animație, compresie, întindere sau alte tipuri de deformare. Acest lucru se realizează prin construirea competentă a rețelei poligonale a unui personaj. Există câteva reguli pentru asta. Vă puteți familiariza cu unele dintre ele.

Există și un concept RE-TOPOLOGIE. Schimbarea rețelei topologice păstrând cât mai mult posibil forma obiectului. Scopul retopologiei este de a corecta topologia anterioară (incorectă) și/sau de a reduce numărul de poligoane.

Aproape toate pachetele moderne de grafică 3D au instrumente pentru retopologie. Eu personal am incercat:
1. Maya - atât instrumente standard, cât și pluginuri.
2. Max - instrumente standard (horror), plugin-uri și scripturi (mi-a plăcut wrapit, dar din nou nu atât de mult)
3. Zbrush - strâns și inconfortabil..
4. Topogun - în sfârșit am găsit ceva care mi-a plăcut... dacă nu l-aș fi întâlnit
5. 3DCoat.... aici mi-am dat seama că acesta este până acum cel mai convenabil pentru retopologie și desfacere UV... deși a fost greu să-mi dau seama la început... dar când am înțeles principiul programului - asta e ea... acum retopologia este totul despre asta. (Nu lua asta ca publicitate.)

Ei bine, de când această băutură a început, voi posta câteva dintre imaginile mele pe tema topologiei.
Cap și față

Am găsit o redare veche a acestui cap.

topologia feței unui personaj umanoid. Poți face din el atât o femeie, cât și un copil... ca să nu mai vorbim de un bărbat.
si aici este dovada. făcut repede, dar clar.
Aşa. un bărbat, un elf, o creatură, o femeie și o fată de aproximativ 15...
Nu susțin că aceasta este singura topologie competentă și că aceasta este SINGURA modalitate de a face acest lucru.
Unele studiouri modelează personaje cu ochii închiși. Acest lucru vă permite să scăpați de unele probleme la închiderea ochiului și să evitați deformarea pleoapei atunci când deformați obrazul.

mână.

Vă atrag atenția că aici sunt vârfuri care pot găzdui 6 arici... dar în aceste locuri nu sunt probleme pentru că deformațiile sunt minime. Desigur, din această perie poți face mâna unei femei, unui bărbat, unui copil... sau oricui...
Scull.

craniu masculin. Există multe diferențe între craniile masculine și feminine.

Diferențele sunt următoarele:
Craniile masculine și feminine au o serie de diferențe. Anume:
1. Craniul masculin este mai masiv decât femela și are o formă destul de pătrată. Craniul femeii este ușor îndreptat spre vârf și mai rotunjit.
2. Marginea superioară a orbitei este ușor ascuțită în craniul feminin, în timp ce la bărbat are o curbă mai netedă
3. Ca urmare a evoluției, mușchii faciali au devenit mai dezvoltați. În consecință, locul în care mușchii se atașează de craniu este mult mai vizibil la bărbați. La urma urmei, un războinic și un vânător au nevoie de fălci puternice pentru luptă și luptă.
4. Maxilarul inferior puternic al unui bărbat are o formă pătrată, în timp ce cel al femeii are o formă rotundă.
5. Adâncimea craniului bărbaților este mai mare decât cea a femeilor. Acest lucru oferă o siguranță relativă.
6. Crestele sprâncenelor de pe un craniu masculin ies considerabil mai mult. Îți protejează ochii de lumina directă a soarelui.
7. Caninii bărbaților sunt mult mai mari decât cei ai femeilor. Războinicul și vânătorul au fost forțați să mănânce în timpul mișcării și, prin urmare, să mestece în mod activ mâncarea și să o facă destul de repede.
Mână și corp.
Dacă corpul este feminin sau fără mușchi clar definiți, atunci puteți ignora lupele care formează mușchii. Acest lucru se aplică mâinilor. Atragem atenția asupra poligoanelor albe. vin de sub muşchiul pectoral şi ocolesc deltoidul. INTRODUCERE

Se naște un viitor explorator

nu la 30 de ani, studiind la licență,

şi mult mai devreme decât momentul în care

părinții lui îl vor duce pentru prima dată la grădiniță.

Alexandru Ilici Savenkov

Doctor în Științe Pedagogice, Profesor la Universitatea Pedagogică de Stat din Moscova

Odată cu dezvoltarea noilor tehnologii, cererea de oameni cu gândire inovatoare și capacitatea de a pune și rezolva noi probleme a crescut brusc. Prin urmare, pregătirea matematică a elevilor devine mai relevantă ca niciodată. Aici este potrivit să ne amintim afirmația marelui om de știință rus Mihail Vasilyevich Lomonosov: „Matematica trebuie predată numai atunci pentru că pune mintea în ordine”.

Fiecare persoană are un concept vizual despre spațiu, corpuri și forme geometrice. La cursul de geometrie școlară vom studia diverse corpuri și proprietățile lor.

Dar asta va fi în viitor, dar deocamdată mă interesează întrebarea: „Ce este o bandă Möbius?” Mă veți întreba de ce mă interesează asta. voi raspunde. Îmi place foarte mult să citesc. Mai ales science fiction. Unul dintre scriitorii mei preferați de science fiction este Arthur C. Clarke.

În povestea sa „Zidul întunericului”, unul dintre personaje călătorește printr-o planetă neobișnuită, curbată în forma unei benzi Mobius. Am devenit interesat de ce fel de figură este aceasta și care sunt proprietățile ei.

După ce am studiat literatura relevantă și sursele de pe Internet, am aflat că această problemă este studiată într-o ramură separată a matematicii - topologia. De aceea munca mea este dedicată rezolvării celei mai simple probleme de cercetare din acest domeniu.

Scopul lucrării poate fi formulat ca obținerea unei înțelegeri a uneia dintre cele mai interesante și neobișnuite ramuri ale matematicii, și anume topologia și studiul proprietăților topologice ale unor obiecte.

Pentru a atinge scopul, am rezolvat următoarele sarcini:

înțelege ce studiază această știință;

studiază istoria originii sale;

luați în considerare proprietățile topologice ale unor obiecte;

aflați despre aplicarea practică a topologiei.

Relevanța temei alese constă în faptul că recent această știință a pătruns din ce în ce mai mult în domenii fundamentale ale cunoașterii umane precum fizica, chimia și biologia. Prin urmare, cunoașterea elementelor de bază devine semnificativă pentru o persoană educată tehnic care trăiește înXXIsecol.

PARTEA PRINCIPALA

Topologia ca știință și premisele apariției ei

Spre deosebire de alte ramuri ale geometriei, unde raportul lungimilor, ariilor, unghiurilor și altor caracteristici cantitative ale obiectelor sunt de mare importanță, topologia nu este interesată de toate acestea, deoarece aici sunt studiate alte întrebări calitative despre structurile geometrice.

Să începem să înțelegem elementele de bază ale acestei științe fascinante. Dacă ne întoarcem la sursele literare, putem găsi următoarea definiție a acestui concept.

Topologie - o ramură a matematicii care studiază proprietățile figurilor (sau spațiilor) care se păstrează sub deformații continue, cum ar fi întinderea, compresia sau îndoirea.

Să explicăm conceptul de „deformare continuă” întâlnit aici. Deformarea continuă este o deformare a unei figuri în care nu există rupturi (adică o încălcare a integrității figurii) sau lipire (adică identificarea punctelor sale).

Fiecare ramură a matematicii are o idee de bază. Topologia nu face excepție. Ideea principală a topologiei este ideea de continuitate, adică topologia studiază acele proprietăți ale obiectelor geometrice care sunt păstrate sub transformări continue.

Transformările continue sunt caracterizate prin faptul că punctele situate „aproape unul de celălalt” înainte de transformare rămân astfel după ce transformarea este finalizată. În timpul transformărilor topologice, obiectelor li se permite să se întindă și să se îndoaie, dar nu li se permite să se rupă sau să se rupă.

Pentru a vizualiza definiția topologiei, trebuie spus că din punctul de vedere al acestei științe, obiectele precum o ceașcă de ceai și o gogoașă nu se pot distinge unele de altele. De aceea, printre oamenii de știință există un slogan care spune că un matematician care studiază topologia este o persoană care nu poate distinge un bagel de o ceașcă de ceai. Această afirmație este adevărată deoarece prin strângerea și întinderea bucății de cauciuc din care sunt făcute aceste obiecte, puteți trece de la un corp la al doilea.

Desen 1Procesul de transformare a unei cani într-o gogoașă (torus)

Să facem o excursie istorică și să ne întoarcem laXVIIIsecol când s-au pus bazele acestei științe.

Unul dintre oamenii de știință care a stat la originile acestei științe este un matematician și mecanic german.XVIIIsecolul Leonhard Euler. În 1752, a demonstrat formula lui Descartes care exprimă relația dintre numărul de vârfuri, muchii și fețe ale poliedrelor simple:

Unde, .

Următoarea contribuție a lui Euler la dezvoltarea topologiei a fost soluția celebrei probleme a podului. Era vorba despre o insulă de pe râul Pregol în Königsberg (la locul în care râul se împarte în două ramuri - Vechiul și Noul Pregol) și șapte poduri care leagă insula de malurile (Fig. 2).

A fost necesar să se afle dacă se poate ocoli toate cele șapte poduri pe un traseu continuu, vizitându-le pe fiecare o singură dată și revenind la punctul de plecare. Euler a înlocuit masele de pământ cu puncte și podurile cu linii. Euler a numit schema rezultatăconta (Fig. 3), punctele sunt vârfurile sale, iar liniile sunt marginile sale.

Desen 2Problema podurilor Koenigsberg

L - malul stâng , R - malul drept ,

Desen 3Grafic

Omul de știință a împărțit vârfurile în pare și impare, în funcție de numărul de muchii care ies din vârf. Euler a demonstrat că toate muchiile unui graf pot fi parcurse exact o dată de-a lungul unui traseu închis continuu numai dacă graficul conține doar vârfuri pare.

Deoarece graficul din problema podurilor Königsberg conține doar vârfuri impare, traseul de mers pe jos nu există.

Această problemă ilustrează aplicarea practică a conceptului de „graf unicursal”, care a apărut în dicționarul de topologie înXXsecol. Graficul este numitunicursal , dacă poate fi „desenat cu o singură lovitură”, adică treceți prin toate într-o mișcare continuă, fără să treceți de două ori prin aceeași margine.

Astfel, graficul problemei podurilor Königsberg nu este unicursal și, prin urmare, problema nu are soluție.

Termenul „topologie” apare pentru prima dată într-o scrisoare către profesorul său de școală Muller, pe care a scris-o în 1836 matematicianul și fizicianul german, profesor la Universitatea din Göttingen Johann Listing. Topologie generală, originară înXIXsecol, s-a format în cele din urmă într-o disciplină matematică independentă în a doua jumătateXXsecol. Acest lucru a fost facilitat în mare măsură de lucrările academicianului P.S. Alexandrova.

Proprietățile topologice ale obiectelor

Topologia în literatura de știință populară este adesea numită geometria cauciucului. Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să vă imaginați că un obiect geometric este realizat din cauciuc și, în același timp, are următoarele proprietăți: poate fi comprimat, întins, răsucit (adică supus la toate tipurile de deformare), dar nu poate fi rupte și lipite între ele.

De exemplu, o minge mică poate fi umflată până la dimensiunea uneia mari, apoi transformată într-o elipsă, apoi deformată într-o ganteră.

Desen 4Procesul de deformare a obiectelor

Într-un mod similar, puteți transforma suprafața unei mingi în suprafața unui cub, con și alte figuri. Există proprietăți în matematică care nu sunt încălcate sub nicio deformare continuă. Asta esteproprietăți topologice . Una dintre ramurile topologiei, topologia generală, studiază aceste proprietăți.

Proprietățile care sunt studiate în geometria școlară (euclidiană) nu sunt topologice. De exemplu, dreptatea nu este o proprietate topologică, deoarece o linie dreaptă poate fi îndoită și deveni strâmbă. Triunghiularitatea nu este, de asemenea, o proprietate topologică, deoarece un triunghi poate fi deformat continuu într-un cerc.

Lungimile segmentelor, mărimea unghiurilor, ariile - toate aceste concepte se schimbă cu transformări continue. Un exemplu de proprietate topologică este prezența unei „găuri” într-un tor (goasă). Mai mult, este important ca gaura să nu facă parte din tor. Indiferent de cât de multă deformare continuă torul suferă, gaura va rămâne.

Suprafețe unilaterale

Fiecare dintre noi are o idee despre ce este „suprafața”. Suntem pur și simplu înconjurați de diverse suprafețe: suprafața unei foi de hârtie, suprafața unui lac, suprafața globului...

De regulă, ne imaginăm o suprafață cu două laturi: exterioară și interioară, față și spate etc. Ar putea exista ceva neașteptat și chiar misterios într-un concept atât de obișnuit? Se dovedește că se poate.

În 1858, matematicianul și astronomul german August Ferdinand Möbius (1790-1868) a descoperit o suprafață care mai târziu a devenit cunoscută sub numele de „fâșia Möbius”. Potrivit legendei, Mobius a fost ajutat să-și descopere „frunza” de o servitoare care a cusut greșit capetele unei panglici obișnuite.

O bandă Möbius este cea mai simplă suprafață unilaterală cu margine. Este posibil să ajungeți dintr-un punct al unei astfel de suprafețe în altul fără a trece marginile.

Să repetăm ​​această descoperire. Să creăm suprafața studiată și să-i studiem proprietățile.

Pentru lucru avem nevoie de o coală de hârtie A4, o riglă, un creion, foarfece și lipici.

Desen 5Instrumente de lucru

Pe o foaie de hârtie, trageți două fâșii de 4 cm lățime și decupați-le. Acestea vor fi spațiile libere din care ne vom face banda (foaia).

Desen 6Crearea unui gol

Dintr-o bandă vom lipi un inel obișnuit, iar din cealaltă - o bandă Möbius. Pentru a face acest lucru, întoarceți a doua bandă o jumătate de tură și lipiți capetele împreună.

Desen 7Etapele muncii

Asta ar trebui să obținem.

Desen 8Rezultatul muncii

Să începem să cercetăm proprietățile figurilor rezultate. Este imposibil să distingem partea din față de partea din spate a unei benzi Möbius. Se transformă continuu unul în celălalt. Sarcina de a picta diferite părți ale inelului cu culori diferite nu va cauza nicio dificultate. Să vedem asta cu un exemplu simplu. Luați un pix, marcați-l cu un punct și începeți să pictați continuu pe o parte. Veți vedea că numai suprafața sa interioară va fi vopsită.

Desen 9Colorarea inelului

Dar va fi acest lucru valabil pentru al doilea obiect de hârtie al nostru? Să repetăm ​​experimentul, alegând ca suprafață experimentală nu un inel, ci o bandă Möbius.

Desen 10Colorarea benzii Möbius

Vezi că toată foaia a devenit colorată. Dar tot am desenat doar pixul pe o parte. De aici putem concluziona căcă fâșia din care este făcută banda Möbius are două laturi, iar fâșia în sine are una .

Dacă ne deplasăm de-a lungul marginii benzii Möbius, atunci după o întoarcere completă ne vom găsi pe cealaltă margine și vom veni din partea opusă.

Să continuăm cercetările și să luăm în considerare întrebarea cum se vor comporta cele două figuri ale noastre (inelul și banda Möbius) atunci când vor fi tăiate. Dacă tăiați inelul de-a lungul liniei mediane, veți obține două inele mai înguste

Desen 11Tăierea inelului

Desen 12Rezultatul tăierii inelului

Dacă tăiați o bandă Möbius de-a lungul liniei de mijloc, aceasta nu se va împărți în două inele, așa cum a fost cazul în experimentul cu inele. Vom obține un inel, dar de două ori mai lung (inelul rezultat va avea o suprafață cu două fețe).

Desen 13Tăierea unei benzi Möbius de-a lungul liniei mediane

Ce se întâmplă dacă tăiați o bandă Möbius de-a lungul unei linii situate aproape de margine? Pentru a ajunge la începutul tăieturii, va trebui să mergem de două ori mai mult decât tăierea acestei foi de-a lungul liniei mediane. Veți obține două inele de blocare, unul mare și îngust, iar celălalt mic și lat. Cel mai interesant fapt este că inelul mare va avea o suprafață unilaterală, iar cel mic va avea o suprafață cu două fețe.

Dacă faci o bandă Möbius care este răsucită 3 jumătăți de ture (540 de grade), și apoi o tai în jumătate, vei obține o bandă Möbius răsucită într-un nod.

Puteți obține lucruri interesante dacă pliați hârtia ca un acordeon, apoi faceți o bandă Möbius din ea și o tăiați în jumătate sau pe o treime. Trei inele interconectate vor apărea în fața noastră.

În calitate de cercetători ai proprietăților acestei figuri, ne-a interesat întrebarea: este întotdeauna posibil să se creeze o bandă Möbius? S-a dovedit că dacă luăm o foaie pătrată de hârtie și tăiem o fâșie din ea, nu vom putea obține figura care ne interesează.

Atunci apare o nouă întrebare: care ar trebui să fie raportul dintre lungimea și lățimea benzii, astfel încât să poată fi întotdeauna folosită pentru a obține o bandă Möbius? S-a dovedit matematic că dacă luăm lățimea benzii ca fiind 1, atunci lungimea ar trebui să fie de 1,73.

Aplicarea practică a topologiei

Când se vorbește despre topologie, banda Möbius este primul lucru care îi vine în minte unei persoane familiarizate cu această problemă. Prin urmare, în domeniul aplicării practice a acestei științe în diferite ramuri ale activității umane, utilizarea acestei figuri particulare este cel mai des întâlnită.

Proprietățile uimitoare ale benzii Möbius servesc drept sursă de inspirație pentru scriitori și poeți. Ca exemplu, aș dori să dau un scurt fragment dintr-o poezie a Nataliei Ivanova:

Banda Moebius este un simbol al matematicii,

Ceea ce servește drept coroana celei mai înalte înțelepciuni...

Este plin de romantism inconștient:

În ea, infinitul este ondulat într-un inel.

Există simplitate în ea și, odată cu ea, complexitate,

care este inaccesibil chiar și înțelepților:

Aici avionul s-a transformat în fața ochilor noștri

Într-o suprafață fără început sau sfârșit.

Flatland de Edwin Abbott și continuarea sa Spherland, scrisă de David Burger în 1976, sunt considerate pe bună dreptate cartea clasică despre viața în spațiul bidimensional.

Flatlander trăiește pe o planetă în formă de suprafață bidimensională. Dacă universul său este un plan infinit, atunci el poate călători orice distanță în orice direcție. Dar dacă suprafața pe care trăiește este închisă ca o sferă, atunci este nelimitată și finită.

Indiferent în ce direcție merge Flatlanderul, mișcându-se drept și neîntorcându-se nicăieri, cu siguranță se va întoarce acolo unde și-a început călătoria. Când un Flatlander călătorește în jurul lumii pe o sferă, este ca și cum se mișcă de-a lungul unei benzi lipite într-un inel.

Dar dacă un locuitor al acestei planete călătorește de-a lungul benzii Mobius, atunci, la întoarcerea la punctul de plecare, își va găsi inima nu în stânga, ci în dreapta! O situație similară este descrisă în povestea fantastică a lui H.G. Wells, „The Plattner Story”. O persoană, aflată în a patra dimensiune, s-a întors pe Pământ ca oglindă dublă - cu o inimă situată în dreapta.

În producție, o bandă transportoare este realizată sub forma unei benzi Möbius. Această caracteristică de design vă permite să măriți durata de viață a centurii, deoarece suprafața acesteia se uzează uniform.

Desen 14Transportor cu bandă

Relativ recent, principalul dispozitiv de ieșire a informațiilor de la un computer la imprimare a fost o imprimantă matriceală. În capul său de imprimare, panglica de cerneală a fost, de asemenea, aranjată sub forma unei benzi Möbius.

Desen 15Imprimantă cu matrice de puncte

Întrucât vorbim de computere, o rețea de calculatoare este folosită pentru a conecta mai multe mașini într-un singur întreg. Unul dintre termenii de bază ai tehnologiei de rețea este conceptul de topologie de rețea.Topologie – o diagramă generală a unei rețele de calculatoare, care arată locația fizică a calculatoarelor și conexiunile dintre acestea.

Desen 16Exemple de topologie de rețea de calculatoare

Forma benzii Möbius este folosită cu destul de mult succes în arhitectură. Să dăm câteva exemple similare.

Desen 18Logo-uri bazate pe banda Mobius

Există o ipoteză că helixul ADN-ului în sine este un fragment al unei benzi Mobius și de aceea codul genetic este atât de greu de descifrat și perceput. În plus, o astfel de structură explică destul de logic motivul apariției morții biologice - spirala se închide pe ea însăși și are loc autodistrugerea.

Desen 19Helix ADN

Nici artiștii și graficienii nu au ignorat subiectul care ne interesează. Indicativă în acest sens este opera graficianului olandezXXsecol de Maurice Escher. Este cunoscut pentru litografiile sale, în care a explorat cu măiestrie aspectele plastice ale infinitului și simetriei.

El a spus despre opera sa: „Deși sunt absolut ignorant în ceea ce privește științele exacte, uneori mi se pare că sunt mai aproape de matematicieni decât de colegii mei artiști.”

Desen 20Litografii de Maurice Escher

CONCLUZIE

Topologia este cea mai tânără și cea mai mare

ramură puternică a geometriei, clar

demonstrează influență fructuoasă

contradicții între intuiție și logică.

Richard Courant

matematician american

Un proverb popular rus spune: „Sfârșitul este cununa problemei”. Așa că mica mea călătorie în lumea fascinantă și neobișnuită a topologiei a luat sfârșit. Este timpul să facem un bilanț.

În timpul muncii mele, m-am familiarizat cu o nouă zonă de matematică pentru mine - topologia. M-am uitat la unele dintre cele mai simple concepte folosite de această știință și accesibile înțelegerii fără o pregătire serioasă matematică.

În practică, el a recreat cea mai faimoasă suprafață topologică - banda Möbius și i-a studiat proprietățile generale. De asemenea, m-am familiarizat cu aplicarea practică a suprafețelor topologice în diverse sfere ale activității umane.

Astfel, toate sarcinile pe care le-am stabilit la începutul acestei lucrări au fost rezolvate cu succes. Sper că cunoștințele mele cu această zonă a matematicii în viitor nu vor fi atât de superficiale, ceea ce oferă temei pentru continuarea lucrului pe tema aleasă, pe măsură ce cunoștințele mele matematice se acumulează.

LISTA REFERINȚELOR UTILIZATE

Dicţionar enciclopedic matematic / Yu.V. Prokhorov [și alții]. – M.: Editura „Enciclopedia Sovietică”, 1988. – 340 p.

Boltyansky, V.G. Topologie vizuală / V.G. Boltyansky, V.A. Efremovici – M.: Nauka, 1975. – 160 p.

Starova, O.A. Topologie / O.A. Starova // Matematică. Totul pentru profesor. – 2013. – Nr 9. – p.28-34.

Stewart, J. Topologie / J. Stewart // Quantum. – 1992. – Nr. 7. – str. 28-30.

Proiect pentru copii supradotați: Scarlet Sails [Resursa electronică] – Mod de acces:http:// nportal. ru/ ap/ blog/ ştiinţific- tehnic- tvorchestvo/ listă- miobiusa– data accesului: 18.01.2017

Prasolov, V.V. Topologie vizuală / V.V. Prasolov. – M.: MTsNMO, 1995. – 110 p.

Abbott, E. Flatland / E. Abbott. – M.: Mir, 1976. – 130 p.

Topologie- un cuvânt destul de frumos, sonor, foarte popular în unele cercuri nematematice, m-a interesat încă din clasa a IX-a. Desigur, nu aveam o idee exactă, dar bănuiam că totul era legat de geometrie.

Cuvintele și textul au fost selectate în așa fel încât totul să fie „intuitiv clar”. Rezultatul este o lipsă totală de alfabetizare matematică.

Ce este topologia ? Voi spune imediat că există cel puțin doi termeni „Topologie” - unul dintre ei pur și simplu denotă o anumită structură matematică, al doilea poartă cu el o întreagă știință. Această știință constă în studierea proprietăților unui obiect care nu se va schimba atunci când este deformat.

Exemplu ilustrativ 1. Cupa de covrigi.

Vedem că cana, prin deformări continue, se transformă într-o gogoașă (în limbajul obișnuit, un „tor bidimensional”). Sa observat că topologia studiază ceea ce rămâne neschimbat sub astfel de deformații. În acest caz, numărul de „găuri” din obiect rămâne neschimbat - există doar una. Să lăsăm așa cum este deocamdată, ne vom da seama puțin mai târziu)

Exemplu ilustrativ 2. Omul topologic.

Prin deformări continue, o persoană (vezi poza) își poate desfășura degetele - un fapt. Nu este imediat evident, dar poți ghici. Dar dacă omul nostru topologic a avut prevederea de a pune un ceas pe o mână, atunci sarcina noastră va deveni imposibilă.

Să fim clari

Deci, sper că câteva exemple au adus o oarecare claritate la ceea ce se întâmplă.
Să încercăm să oficializăm toate acestea într-un mod copilăresc.
Vom presupune că lucrăm cu figuri de plastilină, iar plastilina poate întinderea, comprimarea, în timp ce lipirea diferitelor puncte și ruperea sunt interzise. Homeomorfe sunt figuri care se transformă unele în altele prin deformări continue descrise puțin mai devreme.

O carcasă foarte utilă este o sferă cu mânere. O sferă poate avea 0 mânere - atunci este doar o sferă, poate una - apoi este o gogoașă (în limbajul obișnuit, un „tor bidimensional”) etc.
Deci, de ce iese în evidență o sferă cu mânere printre alte figuri? Totul este foarte simplu - orice figură este homeomorfă unei sfere cu un anumit număr de mânere. Adică, în esență, nu avem nimic altceva O_o Orice obiect tridimensional este structurat ca o sferă cu un anumit număr de mânere. Fie că este o ceașcă, o lingură, o furculiță (linguriță=furculiță!), mouse de computer, persoană.

Aceasta este o teoremă destul de semnificativă care a fost demonstrată. Nu de noi și nici acum. Mai exact, s-a dovedit pentru o situație mult mai generală. Să vă explic: ne-am limitat să luăm în considerare figurile turnate din plastilină și fără cavități. Aceasta implică următoarele probleme:
1) nu putem obține o suprafață neorientabilă (sticlă Klein, bandă Möbius, plan proiectiv),
2) ne limităm la suprafețe bidimensionale (n/a: sferă - suprafață bidimensională),
3) nu putem obține suprafețe, figuri care se extind până la infinit (desigur, ne putem imagina acest lucru, dar nicio cantitate de plastilină nu va fi suficientă).

bandă Möbius

Sticla Klein