Planul de lecție.

1. Moment organizatoric.

2. Prezentarea materialului.

3. Tema pentru acasă.

4. Rezumând lecția.

Progresul lecției

I. Moment organizatoric.

II. Prezentarea materialului.

Motivația.

Extinderea mulțimii numerelor reale constă în adăugarea de noi numere (imaginare) la numerele reale. Introducerea acestor numere se datorează imposibilității extragerii rădăcinii unui număr negativ din mulțimea numerelor reale.

Introducere în conceptul de număr complex.

Numerele imaginare, cu care completăm numerele reale, sunt scrise sub formă bi, Unde i este o unitate imaginară și i 2 = - 1.

Pe baza acesteia, obținem următoarea definiție a unui număr complex.

Definiţie. Un număr complex este o expresie a formei a+bi, Unde oŞi b- numere reale. În acest caz, sunt îndeplinite următoarele condiții:

a) Două numere complexe a 1 + b 1 iŞi a 2 + b 2 i egal dacă și numai dacă a 1 = a 2, b 1 =b 2.

b) Adunarea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Înmulțirea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Forma algebrică a unui număr complex.

Scrierea unui număr complex în formă a+bi se numește forma algebrică a unui număr complex, unde O– parte reală, bi este partea imaginară și b– număr real.

Număr complex a+bi este considerat egal cu zero dacă părțile sale reale și imaginare sunt egale cu zero: a = b = 0

Număr complex a+bi la b = 0 considerat a fi la fel cu un număr real o: a + 0i = a.

Număr complex a+bi la a = 0 se numește pur imaginar și se notează bi: 0 + bi = bi.

Două numere complexe z = a + biŞi = a – bi, care diferă doar prin semnul părții imaginare, se numesc conjugate.

Operații pe numere complexe în formă algebrică.

Puteți efectua următoarele operații pe numere complexe în formă algebrică.

1) Adăugarea.

Definiţie. Suma numerelor complexe z 1 = a 1 + b 1 iŞi z 2 = a 2 + b 2 i se numește număr complex z, a cărui parte reală este egală cu suma părților reale z 1Şi z 2, iar partea imaginară este suma părților imaginare ale numerelor z 1Şi z 2, adică z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Numerele z 1Şi z 2 se numesc termeni.

Adunarea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutativitate: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Număr complex –a –bi numit opusul unui număr complex z = a + bi. Număr complex, opus numărului complex z, notat -z. Suma numerelor complexe zŞi -z egal cu zero: z + (-z) = 0

Exemplul 1: Efectuați adăugarea (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Scăderea.

Definiţie. Scăderea dintr-un număr complex z 1 număr complex z 2 z, Ce z + z 2 = z 1.

Teorema. Diferența dintre numerele complexe există și este unică.

Exemplul 2: Efectuați o scădere (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Înmulțirea.

Definiţie. Produsul numerelor complexe z 1 =a 1 +b 1 iŞi z 2 =a 2 +b 2 i se numește număr complex z, definit prin egalitate: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Numerele z 1Şi z 2 se numesc factori.

Înmulțirea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutativitate: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- număr real.

În practică, înmulțirea numerelor complexe se realizează după regula înmulțirii unei sume cu o sumă și separării părților reale și imaginare.

În exemplul următor, vom lua în considerare înmulțirea numerelor complexe în două moduri: prin regulă și prin înmulțirea sumei cu sumă.

Exemplul 3: Faceți înmulțirea (2 + 3i) (5 – 7i).

1 cale. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metoda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Diviziune.

Definiţie. Împărțiți un număr complex z 1 la un număr complex z 2, înseamnă a găsi un număr atât de complex z, Ce z · z 2 = z 1.

Teorema. Coeficientul numerelor complexe există și este unic dacă z 2 ≠ 0 + 0i.

În practică, câtul numerelor complexe se găsește prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu conjugatul numitorului.

Lasă z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Atunci

.

În exemplul următor, vom efectua împărțirea folosind formula și regula înmulțirii cu numărul conjugat la numitor.

Exemplul 4. Aflați coeficientul .

5) Ridicarea la o putere totală pozitivă.

a) Puterile unitatii imaginare.

Profitând de egalitate i 2 = -1, este ușor de definit orice putere întreagă pozitivă a unității imaginare. Avem:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 etc.

Aceasta arată că gradul valorează eu n, Unde n– un număr întreg pozitiv, repetat periodic pe măsură ce indicatorul crește cu 4 .

Prin urmare, pentru a crește numărul i la o putere totală pozitivă, trebuie să împărțim exponentul la 4 și construiește i la o putere al cărei exponent este egal cu restul diviziunii.

Exemplul 5: Calculați: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă se realizează conform regulii de ridicare a unui binom la puterea corespunzătoare, deoarece este un caz special de înmulțire a factorilor complexi identici.

Exemplul 6: Calculați: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE

INSTITUȚIE DE ÎNVĂȚĂMÂNT DE STAT

ÎNVĂŢĂMÂNT PROFESIONAL SUPERIOR

„UNIVERSITATEA PEDAGOGICĂ DE STAT VORONEZH”

DEPARTAMENTUL AGLEBRA SI GEOMETRIE

Numerele complexe

(sarcini selectate)

MUNCĂ DE CALIFICARE DE LICENZIAT

specialitatea 050201.65 matematica

(cu specialitatea suplimentară 050202.65 informatică)

Completat de: student anul 5

fizice si matematice

facultate

Supraveghetor stiintific:

VORONEZH – 2008

1. Introducere……………………………………………………...…………..…

2. Numere complexe (probleme selectate)

2.1. Numere complexe în formă algebrică….……………….….

2.2. Interpretarea geometrică a numerelor complexe…………..…

2.3. Forma trigonometrică a numerelor complexe

2.4. Aplicarea teoriei numerelor complexe la soluționarea ecuațiilor de gradul 3 și 4…………………………………………………………………………

2.5. Numere și parametri complexi……………………………………………….

3. Concluzie……………………………………………………………………………….

4. Lista referințelor…………………………………………………….

1. Introducere

În programa școlară de matematică, teoria numerelor este introdusă folosind exemple de mulțimi de numere naturale, numere întregi, raționale, iraționale, i.e. pe setul de numere reale, ale căror imagini umplu întreaga linie numerică. Dar deja în clasa a VIII-a nu există suficientă ofertă de numere reale, rezolvând ecuații pătratice cu un discriminant negativ. Prin urmare, a fost necesară completarea stocului de numere reale cu ajutorul numerelor complexe, pentru care rădăcina pătrată a unui număr negativ are sens.

Alegerea temei „Numere complexe” ca subiect al lucrării mele de calificare finală este că conceptul de număr complex extinde cunoștințele studenților despre sistemele de numere, despre rezolvarea unei clase largi de probleme cu conținut atât algebric, cât și geometric, despre rezolvarea algebrică. ecuaţii de orice grad şi despre rezolvarea problemelor cu parametri.

Această teză examinează soluția a 82 de probleme.

Prima parte a secțiunii principale „Numere complexe” oferă soluții la problemele cu numere complexe în formă algebrică, definește operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, operația de conjugare pentru numere complexe în formă algebrică, puterea unei unități imaginare , modulul unui număr complex și, de asemenea, stabilește regula de extragere a rădăcinii pătrate a unui număr complex.

În a doua parte sunt rezolvate probleme de interpretare geometrică a numerelor complexe sub formă de puncte sau vectori ai planului complex.

Partea a treia examinează operațiile pe numere complexe în formă trigonometrică. Formulele folosite sunt: ​​Moivre și extragerea rădăcinii unui număr complex.

A patra parte este dedicată rezolvării ecuațiilor de gradul 3 și 4.

La rezolvarea problemelor din ultima parte, „Numere și parametri complexe”, se utilizează și se consolidează informațiile date în părțile anterioare. O serie de probleme din capitol sunt consacrate determinării familiilor de drepte în planul complex definit prin ecuații (inegalități) cu un parametru. În parte din exerciții trebuie să rezolvați ecuații cu un parametru (peste câmpul C). Există sarcini în care o variabilă complexă satisface simultan o serie de condiții. O caracteristică specială a rezolvării problemelor din această secțiune este reducerea multora dintre ele la rezolvarea ecuațiilor (inegalități, sisteme) de gradul doi, iraționale, trigonometrice cu un parametru.

O caracteristică a prezentării materialului în fiecare parte este introducerea inițială a fundamentelor teoretice și, ulterior, aplicarea lor practică în rezolvarea problemelor.

La sfârșitul tezei există o listă de referințe utilizate. Majoritatea prezintă material teoretic suficient de detaliat și într-o manieră accesibilă, discută soluții la unele probleme și oferă sarcini practice pentru soluții independente. Aș dori să acord o atenție deosebită unor surse precum:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Numerele complexe și aplicațiile lor: manual. . Materialul manualului este prezentat sub formă de prelegeri și exerciții practice.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Probleme și teoreme alese ale matematicii elementare. Aritmetică și algebră. Cartea conține 320 de probleme legate de algebră, aritmetică și teoria numerelor. Aceste sarcini diferă semnificativ ca natură de sarcinile școlare standard.

2. Numere complexe (probleme selectate)

2.1. Numere complexe în formă algebrică

Rezolvarea multor probleme din matematică și fizică se rezumă la rezolvarea ecuațiilor algebrice, adică. ecuații ale formei

,

unde a0, a1, …, an sunt numere reale. Prin urmare, studiul ecuațiilor algebrice este una dintre cele mai importante probleme din matematică. De exemplu, o ecuație pătratică cu un discriminant negativ nu are rădăcini reale. Cea mai simplă astfel de ecuație este ecuația

.

Pentru ca această ecuație să aibă o soluție, este necesar să extindem mulțimea numerelor reale adăugând la aceasta rădăcina ecuației

.

Să notăm această rădăcină prin

. Astfel, prin definiție, sau,

prin urmare,

. numită unitatea imaginară. Cu ajutorul ei și cu ajutorul unei perechi de numere reale se alcătuiește o expresie a formei.

Expresia rezultată a fost numită numere complexe deoarece conțineau atât părți reale, cât și părți imaginare.

Deci, numerele complexe sunt expresii ale formei

, și sunt numere reale și este un anumit simbol care satisface condiția . Numărul se numește partea reală a unui număr complex, iar numărul este partea sa imaginară. Simbolurile , sunt folosite pentru a le desemna.

Numerele complexe ale formei

sunt numere reale și, prin urmare, mulțimea numerelor complexe conține mulțimea numerelor reale.

Numerele complexe ale formei

sunt numite pur imaginare. Două numere complexe de forma și se spune că sunt egale dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale, i.e. dacă egalități , .

Notarea algebrică a numerelor complexe permite operații asupra lor conform regulilor obișnuite ale algebrei.

Suma a două numere complexe

și se numește număr complex de forma .

Produsul a două numere complexe

Să ne amintim informațiile necesare despre numerele complexe.

Număr complex este o expresie a formei o + bi, Unde o, b sunt numere reale și i- așa-numitul unitate imaginară, un simbol al cărui pătrat este egal cu –1, adică i 2 = –1. Număr o numit parte reală, și numărul b - parte imaginară număr complex z = o + bi. Dacă b= 0, atunci în schimb o + 0i ei pur și simplu scriu o. Se poate observa că numerele reale sunt un caz special de numere complexe.

Operațiile aritmetice pe numere complexe sunt aceleași ca pe numerele reale: ele pot fi adunate, scăzute, înmulțite și împărțite între ele. Adunarea și scăderea au loc conform regulii ( o + bi) ± ( c + di) = (o ± c) + (b ± d)i, iar înmulțirea urmează regula ( o + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i(aici se foloseste ca i 2 = –1). Număr = o – bi numit conjugat complex La z = o + bi. Egalitatea z · = o 2 + b 2 vă permite să înțelegeți cum să împărțiți un număr complex la un alt număr complex (diferit de zero):

(De exemplu, .)

Numerele complexe au o reprezentare geometrică convenabilă și vizuală: numărul z = o + bi poate fi reprezentat printr-un vector cu coordonate ( o; b) pe planul cartezian (sau, ceea ce este aproape același lucru, un punct - capătul unui vector cu aceste coordonate). În acest caz, suma a două numere complexe este reprezentată ca suma vectorilor corespunzători (care poate fi găsită folosind regula paralelogramului). Conform teoremei lui Pitagora, lungimea vectorului cu coordonatele ( o; b) este egal cu . Această cantitate se numește modul număr complex z = o + biși se notează cu | z|. Unghiul pe care îl face acest vector cu direcția pozitivă a axei x (numărat în sens invers acelor de ceasornic) se numește argument număr complex z si este notat cu Arg z. Argumentul nu este definit în mod unic, ci doar până la adăugarea unui multiplu de 2 π radiani (sau 360°, dacă sunt numărați în grade) - la urma urmei, este clar că o rotație cu un astfel de unghi în jurul originii nu va schimba vectorul. Dar dacă vectorul lungimii r formează un unghi φ cu direcția pozitivă a axei x, atunci coordonatele sale sunt egale cu ( r cos φ ; r păcat φ ). De aici se dovedește notație trigonometrică număr complex: z = |z| · (cos(Arg z) + i păcat (Arg z)). Este adesea convenabil să scrieți numere complexe în această formă, deoarece simplifică foarte mult calculele. Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică este foarte simplă: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i păcat (Arg z 1 + Arg z 2)) (la înmulțirea a două numere complexe, modulele acestora se înmulțesc și se adună argumentele). De aici urmează formulele lui Moivre: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i păcat( n· (Arg z))). Folosind aceste formule, este ușor să înveți cum să extragi rădăcini de orice grad din numere complexe. a n-a rădăcină a lui z- acesta este un număr complex w, Ce w n = z. Este clar că , și , unde k poate lua orice valoare din multime (0, 1, ..., n– 1). Aceasta înseamnă că există întotdeauna exact n rădăcini n gradul al unui număr complex (în plan sunt situate la vârfurile regulatei n-gon).

Numerele complexe

Imaginar Şi numere complexe. Abscisa si ordonata

număr complex. Conjugați numere complexe.

Operații cu numere complexe. Geometric

reprezentarea numerelor complexe. Plan complex.

Modulul și argumentul unui număr complex. Trigonometric

formă de număr complex. Operații cu complexe

numere în formă trigonometrică. formula lui Moivre.

Informații de bază despre imaginar Şi numere complexe sunt date în secțiunea „Numere imaginare și complexe”. Necesitatea acestor numere de tip nou a apărut la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru acest cazD< 0 (здесь D– discriminant al unei ecuații pătratice). Multă vreme, aceste numere nu și-au găsit aplicație fizică, motiv pentru care au fost numite numere „imaginare”. Cu toate acestea, acum ele sunt foarte utilizate pe scară largă în diferite domenii ale fizicii.

și tehnologie: inginerie electrică, hidro- și aerodinamică, teoria elasticității etc.

Numerele complexe sunt scrise sub forma:a+bi. Aici oŞi b – numere reale , A i – unitate imaginară, adică e. i 2 = –1. Număr o numit abscisă, a b – ordonatănumăr complexa + bi.Două numere complexea+biŞi a–bi sunt numite conjuga numere complexe.

Principalele acorduri:

1. Număr realOpoate fi scris și sub formănumăr complex:a+ 0 i sau a – 0 i. De exemplu, înregistrează 5 + 0iși 5-0 iînseamnă același număr 5 .

2. Numărul complex 0 + binumit pur imaginar număr. Înregistrabiînseamnă la fel ca 0 + bi.

3. Două numere complexea+bi Şic + disunt considerate egale dacăa = cŞi b = d. Altfel numerele complexe nu sunt egale.

Plus. Suma numerelor complexea+biŞi c + dise numește număr complex (a+c ) + (b+d ) i.Astfel, la adăugarea numerele complexe, abscisele și ordonatele lor sunt adăugate separat.

Această definiție corespunde regulilor pentru operațiile cu polinoame obișnuite.

Scădere. Diferența a două numere complexea+bi(diminuat) și c + di(subtraend) se numește număr complex (a–c ) + (b–d ) i.

Astfel, La scăderea a două numere complexe, abscisele și ordonatele lor se scad separat.

Multiplicare. Produsul numerelor complexea+biŞi c + di se numeste numar complex:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Această definiție rezultă din două cerințe:

1) numere a+biŞi c + ditrebuie înmulțit ca algebric binoame,

2) număr iare principala proprietate:i 2 = – 1.

EXEMPLU ( a+ bi )(a–bi) = a 2 + b 2 . Prin urmare, lucru

două numere complexe conjugate este egală cu realul

un număr pozitiv.

Diviziune. Împărțiți un număr complexa+bi (divizibil) cu altulc + di(divizor) - înseamnă a găsi al treilea număre + f i(chat), care atunci când este înmulțit cu un divizorc + di, rezultă dividendula + bi.

Dacă divizorul nu este zero, împărțirea este întotdeauna posibilă.

EXEMPLU Găsiți (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Soluție Să rescriem acest raport ca o fracție:

Înmulțirea numărătorului și numitorului cu 2 + 3i

ŞI După ce am efectuat toate transformările, obținem:

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică:

Aici este ideea Oînseamnă numărul –3, punctB– numărul 2 și O- zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe planul de coordonate. În acest scop, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complexa+bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisă a si ordonata b (vezi poza). Acest sistem de coordonate este numit plan complex .

Modul număr complex este lungimea vectoruluiOP, reprezentând un număr complex pe coordonata ( cuprinzătoare) avion. Modulul unui număr complexa+bi notat | a+bi| sau scrisoare r