Există o serie de relații în ecuațiile pătratice. Principalele sunt relațiile dintre rădăcini și coeficienți. De asemenea, în ecuațiile pătratice există o serie de relații care sunt date de teorema lui Vieta.
În acest subiect, vom prezenta teorema lui Vieta în sine și demonstrația ei pentru o ecuație pătratică, teorema inversă teoremei lui Vieta, și vom analiza o serie de exemple de rezolvare a problemelor. O atenție deosebităîn material ne vom concentra pe formulele lui Vieta, care definesc relația dintre rădăcinile reale ecuație algebrică grade nși coeficienții săi.
Formularea și demonstrarea teoremei lui Vieta
Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice a x 2 + b x + c = 0 de forma x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, unde D = b 2 − 4 a c, stabilește relații x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Acest lucru este confirmat de teorema lui Vieta.
Teorema 1
Într-o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, Unde x 1Şi x 2– rădăcini, suma rădăcinilor va fi egală cu raportul coeficienților bŞi o, care a fost luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor va fi egal cu raportul coeficienților cŞi o, adică x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.
Dovada 1
Vă oferim următoarea schemă de realizare a demonstrației: luați formula rădăcinilor, compuneți suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice și apoi transformați expresiile rezultate pentru a vă asigura că sunt egale. -b aŞi c a respectiv.
Să facem suma rădăcinilor x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Să reducem fracțiile la numitor comun- b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a . Să deschidem parantezele din numărătorul fracției rezultate și să prezentăm termeni similari: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Să reducem fracția cu: 2 - b a = - b a.
Așa am demonstrat prima relație a teoremei lui Vieta, care se referă la suma rădăcinilor unei ecuații pătratice.
Acum să trecem la a doua relație.
Pentru a face acest lucru, trebuie să compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
Să ne amintim de regula de înmulțire a fracțiilor și să scriem ultimul produs astfel: - b + D · - b - D 4 · a 2.
Să înmulțim o paranteză cu o paranteză în numărătorul fracției sau să folosim formula diferenței de pătrate pentru a transforma mai repede acest produs: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Să folosim definiția rădăcină pătrată pentru a face următoarea tranziție: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2. Formula D = b 2 − 4 a c corespunde discriminantului unei ecuații pătratice, prin urmare, într-o fracție în loc de D poate fi înlocuit b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Să deschidem parantezele, să adăugăm termeni similari și să obținem: 4 · a · c 4 · a 2 . Dacă o scurtăm la 4 a, atunci ce rămâne este c a . Așa am demonstrat a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.
Dovada teoremei lui Vieta poate fi scrisă într-o formă foarte laconică dacă omitem explicațiile:
x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
Cu discriminantul ecuației pătratice egal cu zero ecuația va avea o singură rădăcină. Pentru a putea aplica teorema lui Vieta unei astfel de ecuații, putem presupune că ecuația, cu un discriminant egal cu zero, are două rădăcini identice. Într-adevăr, când D=0 rădăcina ecuației pătratice este: - b 2 · a, atunci x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a și x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , și deoarece D = 0, adică b 2 - 4 · a · c = 0, de unde b 2 = 4 · a · c, apoi b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.
Cel mai adesea în practică, teorema lui Vieta este aplicată ecuației pătratice reduse a formei x 2 + p x + q = 0, unde coeficientul principal a este egal cu 1. În acest sens, teorema lui Vieta este formulată special pentru ecuații de acest tip. Acest lucru este fără pierderi de generalitate datorită faptului că orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți ambele părți cu un număr diferit de zero.
Să dăm o altă formulare a teoremei lui Vieta.
Teorema 2
Suma rădăcinilor din ecuația pătratică dată x 2 + p x + q = 0 va fi egal cu coeficientul lui x, care se ia cu semnul opus, produsul rădăcinilor va fi egal cu termenul liber, adică. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.
Conversați teorema cu teorema lui Vieta
Dacă te uiți cu atenție la a doua formulare a teoremei lui Vieta, poți vedea că pentru rădăcini x 1Şi x 2 ecuație pătratică redusă x 2 + p x + q = 0 vor fi valabile următoarele relaţii: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Din aceste relații x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q rezultă că x 1Şi x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 + p x + q = 0. Așa că ajungem la o afirmație care este inversul teoremei lui Vieta.
Ne propunem acum să formalizăm această afirmație ca o teoremă și să realizăm demonstrația ei.
Teorema 3
Dacă numerele x 1Şi x 2 sunt astfel încât x 1 + x 2 = − pŞi x 1 x 2 = q, Asta x 1Şi x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q = 0.
Dovada 2
Înlocuirea cotelor pŞi q la exprimarea lor prin x 1Şi x 2 vă permite să transformați ecuația x 2 + p x + q = 0într-un echivalent .
Dacă înlocuim numărul în ecuația rezultată x 1în loc de x, atunci obținem egalitatea x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Aceasta este egalitate pentru orice x 1Şi x 2 se transformă într-o adevărată egalitate numerică 0 = 0 , pentru că x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Aceasta înseamnă că x 1– rădăcina ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Şi ce dacă x 1 este, de asemenea, rădăcina ecuației echivalente x 2 + p x + q = 0.
Înlocuirea în ecuație x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numere x 2în loc de x ne permite să obținem egalitate x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Această egalitate poate fi considerată adevărată, deoarece x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Se dovedește că x 2 este rădăcina ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, și de aici ecuațiile x 2 + p x + q = 0.
teorema, inversul teoremei Vieta, dovedit.
Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta
Să începem acum să analizăm cele mai tipice exemple pe această temă. Să începem prin a analiza problemele care necesită aplicarea teoremei inverse teoremei lui Vieta. Poate fi folosit pentru a verifica numerele produse de calcule pentru a vedea dacă sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați suma și diferența lor, apoi verificați validitatea relațiilor x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.
Îndeplinirea ambelor relații indică faptul că numerele obținute în timpul calculelor sunt rădăcinile ecuației. Dacă vedem că cel puțin una dintre condiții nu este îndeplinită, atunci aceste numere nu pot fi rădăcinile ecuației pătratice date în enunțul problemei.
Exemplul 1
Care dintre perechile de numere 1) x 1 = − 5, x 2 = 3 sau 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 sau 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Soluţie
Să găsim coeficienții ecuației pătratice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Acesta este a = 4, b = − 16, c = 9. Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor unei ecuații pătratice trebuie să fie egală cu -b a, adică 16 4 = 4 , iar produsul rădăcinilor trebuie să fie egal c a, adică 9 4 .
Să verificăm numerele obținute calculând suma și produsul numerelor din trei perechi date și comparându-le cu valorile obținute.
În primul caz x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Această valoare este diferită de 4, prin urmare, verificarea nu trebuie continuată. Conform teoremei inverse cu teorema lui Vieta, putem concluziona imediat că prima pereche de numere nu sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.
În al doilea caz, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vedem că prima condiție este îndeplinită. Dar a doua condiție nu este: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Valoarea pe care o obținem este diferită de 9 4 . Aceasta înseamnă că a doua pereche de numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice.
Să trecem la a treia pereche. Aici x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 și x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că x 1Şi x 2 sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date.
Răspuns: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2
De asemenea, putem folosi inversul teoremei lui Vieta pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Cel mai simplu mod este de a selecta rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi. Alte opțiuni pot fi luate în considerare. Dar acest lucru poate complica semnificativ calculele.
Pentru a selecta rădăcini, folosim faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al unei ecuații pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.
Exemplul 2
Ca exemplu, folosim ecuația pătratică x 2 − 5 x + 6 = 0. Numerele x 1Şi x 2 pot fi rădăcinile acestei ecuații dacă sunt îndeplinite două egalități x 1 + x 2 = 5Şi x 1 x 2 = 6. Să selectăm aceste numere. Acestea sunt numerele 2 și 3, deoarece 2 + 3 = 5 Şi 2 3 = 6. Se pare că 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.
Reversul teoremei lui Vieta poate fi folosit pentru a găsi a doua rădăcină atunci când prima este cunoscută sau evidentă. Pentru a face acest lucru, putem folosi relațiile x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.
Exemplul 3
Luați în considerare ecuația pătratică 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Este necesar să găsiți rădăcinile acestei ecuații.
Soluţie
Prima rădăcină a ecuației este 1, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este zero. Se dovedește că x 1 = 1.
Acum să găsim a doua rădăcină. Pentru aceasta puteți folosi relația x 1 x 2 = c a. Se dovedește că 1 x 2 = − 3.512, unde x 2 = - 3.512.
Răspuns: rădăcinile ecuației pătratice specificate în enunțul problemei 1 Şi - 3 512 .
Este posibil să selectați rădăcini folosind teorema inversă teoremei lui Vieta numai în cazuri simple. În alte cazuri, este mai bine să căutați folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice printr-un discriminant.
Datorită inversului teoremei lui Vieta, putem construi și ecuații pătratice folosind rădăcinile existente. x 1Şi x 2. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm suma rădăcinilor, care dă coeficientul pt x cu semnul opus al ecuației pătratice date și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.
Exemplul 4
Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt numere − 11 Şi 23 .
Soluţie
Să presupunem că x 1 = − 11Şi x 2 = 23. Suma și produsul acestor numere vor fi egale: x 1 + x 2 = 12Şi x 1 x 2 = − 253. Aceasta înseamnă că al doilea coeficient este 12, termenul liber − 253.
Să facem o ecuație: x 2 − 12 x − 253 = 0.
Răspuns: x 2 − 12 x − 253 = 0 .
Putem folosi teorema lui Vieta pentru a rezolva probleme care implică semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Legătura dintre teorema lui Vieta este legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q = 0 după cum urmează:
- dacă ecuaţia pătratică are rădăcini reale şi dacă termenul de interceptare q este un număr pozitiv, atunci aceste rădăcini vor avea același semn „+” sau „-”;
- dacă ecuaţia pătratică are rădăcini şi dacă termenul de interceptare q este un număr negativ, atunci o rădăcină va fi „+”, iar a doua „-”.
Ambele afirmații sunt o consecință a formulei x 1 x 2 = qși reguli pentru înmulțirea numerelor pozitive și negative, precum și a numerelor cu semne diferite.
Exemplul 5
Sunt rădăcinile unei ecuații pătratice x 2 − 64 x − 21 = 0 pozitiv?
Soluţie
Conform teoremei lui Vieta, rădăcinile acestei ecuații nu pot fi ambele pozitive, deoarece trebuie să satisfacă egalitatea x 1 x 2 = − 21. Acest lucru este imposibil cu pozitiv x 1Şi x 2.
Răspuns: Nu
Exemplul 6
La ce valori ale parametrilor r ecuație pătratică x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 va avea două rădăcini reale cu semne diferite.
Soluţie
Să începem prin a găsi valorile cărora r, pentru care ecuația va avea două rădăcini. Să găsim discriminantul și să vedem ce r va lua valori pozitive. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Valoarea expresiei r2 + 8 pozitiv pentru orice real r, prin urmare, discriminantul va fi mai mare decât zero pentru orice real r. Aceasta înseamnă că ecuația pătratică originală va avea două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.
Acum să vedem când rădăcinile au semne diferite. Acest lucru este posibil dacă produsul lor este negativ. Conform teoremei lui Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egal cu termenul liber. Aceasta înseamnă că soluția corectă va fi acele valori r, pentru care termenul liber r − 1 este negativ. Să decidem inegalitatea liniară r - 1< 0 , получаем r < 1 .
Răspuns: la r< 1 .
formule Vieta
Există o serie de formule care sunt aplicabile pentru a efectua operații cu rădăcinile și coeficienții nu numai a ecuațiilor pătratice, ci și cubice și a altor tipuri de ecuații. Se numesc formulele lui Vieta.
Pentru o ecuație algebrică a gradului n de forma a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 se consideră că are ecuația n rădăcini adevărate x 1 , x 2 , … , x n, printre care pot fi aceleași:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
Definiția 1
Formulele lui Vieta ne ajută să obținem:
- teorema despre descompunerea unui polinom în factori liniari;
- determinarea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători acestora.
Astfel, polinomul a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n și extinderea lui în factori liniari de forma a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sunt egale.
Dacă extindem parantezele în ultima lucrareși echivalăm coeficienții corespunzători, obținem formulele lui Vieta. Luând n = 2, putem obține formula lui Vieta pentru ecuația pătratică: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
Definiția 2
Formula lui Vieta pentru ecuația cubică:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Partea stângă a formulei Vieta conține așa-numitele polinoame simetrice elementare.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
2.5 Formula lui Vieta pentru polinoame (ecuații) grade superioare
Formulele derivate de Viète pentru ecuațiile pătratice sunt valabile și pentru polinoamele de grade superioare.
Fie polinomul
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Are n rădăcini diferite x 1, x 2..., x n.
În acest caz, are o factorizare de forma:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Să împărțim ambele părți ale acestei egalități cu a 0 ≠ 0 și să deschidem parantezele din prima parte. Obținem egalitatea:
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Dar două polinoame sunt identic egale dacă și numai dacă coeficienții de grade egale sunt egali. Rezultă că egalitatea
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
De exemplu, pentru polinoame de gradul trei
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Avem identități
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
În ceea ce privește ecuațiile pătratice, această formulă se numește formulele lui Vieta. Laturile din stânga acestor formule sunt polinoame simetrice de la rădăcinile x 1, x 2 ..., x n ale acestei ecuații, iar părțile din dreapta sunt exprimate prin coeficientul polinomului.
2.6 Ecuații reductibile la pătratice (biquadratice)
Ecuațiile de gradul al patrulea sunt reduse la ecuații pătratice:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
numită biquadratică și a ≠ 0.
Este suficient să punem x 2 = y în această ecuație, prin urmare,
ay² + prin + c = 0
să găsim rădăcinile ecuației pătratice rezultate
y 1,2 = 
Pentru a găsi imediat rădăcinile x 1, x 2, x 3, x 4, înlocuiți y cu x și obțineți
x² =
x 1,2,3,4 = 
.
Dacă o ecuație de gradul al patrulea are x 1, atunci are și o rădăcină x 2 = -x 1,
Dacă are x 3, atunci x 4 = - x 3. Suma rădăcinilor unei astfel de ecuații este zero.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Să înlocuim ecuația în formula pentru rădăcinile ecuațiilor biquadratice:
x 1,2,3,4 = 
,
știind că x 1 = -x 2 și x 3 = -x 4, atunci:
x 3,4 = 
Răspuns: x 1,2 = ±2; x 1,2 =
2.7 Studiul ecuațiilor biquadratice
Să luăm ecuația biquadratică
ax 4 + bx 2 + c = 0,
unde a, b, c - numere reale, și a > 0. Prin introducerea necunoscutei auxiliare y = x², examinăm rădăcinile acestei ecuații și introducem rezultatele în tabel (vezi Anexa nr. 1)
2.8 Formula Cardano
Dacă folosim simbolismul modern, derivarea formulei Cardano poate arăta astfel:
x = 
Această formulă determină rădăcinile unei ecuații generale de gradul trei:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Această formulă este foarte greoaie și complexă (conține mai mulți radicali complecși). Nu se va aplica întotdeauna, deoarece... foarte greu de completat.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Listează sau selectează cele mai interesante locuri din 2-3 texte. Astfel, am examinat prevederile generale pentru crearea și desfășurarea cursurilor opționale, care vor fi luate în considerare la elaborarea unui curs opțional de algebră pentru clasa a 9-a „Ecuații cadrate și inegalități cu un parametru”. Capitolul II. Metodologia de desfășurare a cursului opțional „Ecuații și inegalități quadratice cu un parametru” 1.1. General...
Rezolvari din metode de calcul numeric. Pentru a determina rădăcinile unei ecuații, nu sunt necesare cunoașterea teoriilor grupurilor Abel, Galois, Lie etc. și utilizarea unei terminologii matematice speciale: inele, câmpuri, idealuri, izomorfisme etc. Pentru a rezolva o ecuație algebrică de gradul al n-lea, aveți nevoie doar de capacitatea de a rezolva ecuații pătratice și de a extrage rădăcini dintr-un număr complex. Rădăcinile pot fi determinate de...
Cu unități de măsură ale mărimilor fizice în sistemul MathCAD? 11. Descrieți în detaliu blocurile text, grafice și matematice. Prelegerea nr. 2. Probleme de algebră liniară și rezolvarea ecuațiilor diferențiale în mediul MathCAD În problemele de algebră liniară, există aproape întotdeauna nevoia de a efectua diverse operații cu matrice. Panoul operator cu matrici se află în panoul Math. ...
În matematică, există tehnici speciale prin care multe ecuații pătratice pot fi rezolvate foarte rapid și fără discriminatori. Mai mult, cu o pregătire adecvată, mulți încep să rezolve ecuațiile pătratice oral, literalmente „la prima vedere”.
Din păcate, în cursul modern al matematicii școlare, astfel de tehnologii aproape nu sunt studiate. Dar trebuie să știi! Și astăzi ne vom uita la una dintre aceste tehnici - teorema lui Vieta. Mai întâi, să introducem o nouă definiție.
O ecuație pătratică de forma x 2 + bx + c = 0 se numește redusă. Vă rugăm să rețineți că coeficientul pentru x 2 este 1. Nu există alte restricții asupra coeficienților.
- x 2 + 7x + 12 = 0 este o ecuație pătratică redusă;
- x 2 − 5x + 6 = 0 - de asemenea redus;
- 2x 2 − 6x + 8 = 0 - dar acest lucru nu este dat deloc, deoarece coeficientul lui x 2 este egal cu 2.
Desigur, orice ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0 poate fi redusă - doar împărțiți toți coeficienții la numărul a. Putem face întotdeauna acest lucru, deoarece definiția unei ecuații pătratice implică faptul că a ≠ 0.
Adevărat, aceste transformări nu vor fi întotdeauna utile pentru găsirea rădăcinilor. Mai jos ne vom asigura că acest lucru ar trebui făcut numai atunci când în ecuația finală dată de pătrat toți coeficienții sunt întregi. Deocamdată, să ne uităm la cele mai simple exemple:
Sarcină. Convertiți ecuația pătratică în ecuația redusă:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0.
Să împărțim fiecare ecuație la coeficientul variabilei x 2. Primim:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - împărțit totul la 3;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - împărțit la −4;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - împărțit la 1,5, toți coeficienții au devenit numere întregi;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - împărțit la 2. În acest caz au apărut coeficienții fracționali.
După cum puteți vedea, ecuațiile pătratice de mai sus pot avea coeficienți întregi chiar dacă ecuația originală conținea fracții.
Acum să formulăm teorema principală, pentru care, de fapt, a fost introdus conceptul de ecuație pătratică redusă:
teorema lui Vieta. Se consideră ecuația pătratică redusă de forma x 2 + bx + c = 0. Să presupunem că această ecuație are rădăcini reale x 1 și x 2. În acest caz, următoarele afirmații sunt adevărate:
- x 1 + x 2 = −b. Cu alte cuvinte, suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu coeficientul variabilei x, luată cu semnul opus;
- x 1 x 2 = c. Produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice este egal cu coeficientul liber.
Exemple. Pentru simplitate, vom lua în considerare doar ecuațiile pătratice de mai sus care nu necesită transformări suplimentare:
- x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; rădăcini: x 1 = 4; x 2 = 5;
- x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; rădăcini: x 1 = 3; x 2 = −5;
- x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; rădăcini: x 1 = −1; x 2 = −4.
Teorema lui Vieta ne oferă informații suplimentare despre rădăcinile unei ecuații pătratice. La prima vedere, acest lucru poate părea dificil, dar chiar și cu un antrenament minim veți învăța să „vedeți” rădăcinile și să le ghiciți literalmente în câteva secunde.
Sarcină. Rezolvați ecuația pătratică:
- x 2 − 9x + 14 = 0;
- x 2 − 12x + 27 = 0;
- 3x 2 + 33x + 30 = 0;
- −7x 2 + 77x − 210 = 0.
Să încercăm să scriem coeficienții folosind teorema lui Vieta și să „ghicim” rădăcinile:
- x 2 − 9x + 14 = 0 este o ecuație pătratică redusă.
Prin teorema lui Vieta avem: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Este ușor de observat că rădăcinile sunt numerele 2 și 7; - x 2 − 12x + 27 = 0 - de asemenea redus.
După teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. De aici rădăcinile: 3 și 9; - 3x 2 + 33x + 30 = 0 - această ecuație nu este redusă. Dar vom corecta acest lucru acum împărțind ambele părți ale ecuației la coeficientul a = 3. Obținem: x 2 + 11x + 10 = 0.
Rezolvăm folosind teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ rădăcini: −10 și −1; - −7x 2 + 77x − 210 = 0 - din nou coeficientul pentru x 2 nu este egal cu 1, i.e. ecuația nu este dată. Împărțim totul la numărul a = −7. Se obține: x 2 − 11x + 30 = 0.
După teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Din aceste ecuații este ușor de ghicit rădăcinile: 5 și 6.
Din raționamentul de mai sus este clar cum teorema lui Vieta simplifică soluția ecuațiilor pătratice. Fără calcule complicate, fără rădăcini și fracții aritmetice. Și nici nu aveam nevoie de un discriminant (vezi lecția „Rezolvarea ecuațiilor pătratice”).
Desigur, în toate reflecțiile noastre am plecat de la două ipoteze importante, care, în general, nu sunt întotdeauna îndeplinite în probleme reale:
- Ecuația pătratică este redusă, adică coeficientul pentru x 2 este 1;
- Ecuația are două rădăcini diferite. Din punct de vedere algebric, în acest caz discriminantul este D > 0 - de fapt, presupunem inițial că această inegalitate este adevărată.
Cu toate acestea, în mod tipic probleme matematice aceste conditii sunt indeplinite. Dacă calculul are ca rezultat o ecuație pătratică „rea” (coeficientul lui x 2 este diferit de 1), aceasta poate fi corectată cu ușurință - priviți exemplele de la începutul lecției. Tac în general despre rădăcini: ce fel de problemă este aceasta care nu are răspuns? Desigur, vor exista rădăcini.
Astfel, schema generala Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta arată astfel:
- Reduceți ecuația pătratică la cea dată, dacă acest lucru nu a fost deja făcut în enunțul problemei;
- Dacă coeficienții din ecuația pătratică de mai sus sunt fracționali, rezolvăm folosind discriminantul. Puteți chiar să vă întoarceți la ecuația originală pentru a lucra cu numere mai „la îndemână”;
- În cazul coeficienților întregi, rezolvăm ecuația folosind teorema lui Vieta;
- Dacă nu puteți ghici rădăcinile în câteva secunde, uitați de teorema lui Vieta și rezolvați folosind discriminantul.
Sarcină. Rezolvați ecuația: 5x 2 − 35x + 50 = 0.
Deci, avem în fața noastră o ecuație care nu se reduce, pentru că coeficientul a = 5. Împărțim totul la 5, obținem: x 2 − 7x + 10 = 0.
Toți coeficienții unei ecuații pătratice sunt întregi - să încercăm să o rezolvăm folosind teorema lui Vieta. Avem: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. În acest caz, rădăcinile sunt ușor de ghicit - sunt 2 și 5. Nu este nevoie să numărați folosind discriminantul.
Sarcină. Rezolvați ecuația: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.
Să ne uităm: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - această ecuație nu este redusă, să împărțim ambele părți la coeficientul a = −5. Se obține: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - o ecuație cu coeficienți fracționali.
Este mai bine să reveniți la ecuația inițială și să numărați prin discriminant: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.
Sarcină. Rezolvați ecuația: 2x 2 + 10x − 600 = 0.
Mai întâi, să împărțim totul la coeficientul a = 2. Obținem ecuația x 2 + 5x − 300 = 0.
Aceasta este ecuația redusă, conform teoremei lui Vieta avem: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Este dificil de ghicit rădăcinile ecuației pătratice în acest caz - personal, am fost serios blocat când am rezolvat această problemă.
Va trebui să cauți rădăcini prin discriminant: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Dacă nu vă amintiți rădăcina discriminantului, voi observa doar că 1225: 25 = 49. Prin urmare, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.
Acum că rădăcina discriminantului este cunoscută, rezolvarea ecuației nu este dificilă. Se obține: x 1 = 15; x 2 = −20.
Orice ecuație pătratică completă ax 2 + bx + c = 0 poate fi adus în minte x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, dacă mai întâi împărțiți fiecare termen la coeficientul a înainte x 2. Și dacă introducem notații noi (b/a) = pŞi (c/a) = q, atunci vom avea ecuația x 2 + px + q = 0, care în matematică se numește ecuația pătratică dată.
Rădăcinile ecuației pătratice reduse și coeficienți pŞi q legate între ele. Acest lucru este confirmat teorema lui Vieta, numit după matematicianul francez Francois Vieta, care a trăit la sfârșitul secolului al XVI-lea.
Teorema. Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0 egal cu al doilea coeficient p, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor - la termenul liber q.
Să scriem aceste relații în următoarea formă:
Lasă x 1Şi x 2 diferite rădăcini ale ecuației date x 2 + px + q = 0. Conform teoremei lui Vieta x 1 + x 2 = -pŞi x 1 x 2 = q.
Pentru a demonstra acest lucru, să substituim fiecare dintre rădăcinile x 1 și x 2 în ecuație. Obținem două egalități adevărate:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Să scădem pe al doilea din prima egalitate. Primim: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Extindem primii doi termeni folosind formula diferenței de pătrate:
(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0
După condiție, rădăcinile x 1 și x 2 sunt diferite. Prin urmare, putem reduce egalitatea la (x 1 – x 2) ≠ 0 și exprimăm p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Prima egalitate a fost dovedită.
Pentru a demonstra a doua egalitate, înlocuim în prima ecuație
x 1 2 + px 1 + q = 0 în loc de coeficientul p, un număr egal este (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
Transformând partea stângă a ecuației, obținem:
x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;
x 1 x 2 = q, care este ceea ce trebuia demonstrat.
Teorema lui Vieta este bună pentru că Chiar și fără a cunoaște rădăcinile unei ecuații pătratice, putem calcula suma și produsul lor .
Teorema lui Vieta ajută la determinarea rădăcinilor întregi ale unei ecuații pătratice date. Dar pentru mulți studenți acest lucru provoacă dificultăți din cauza faptului că nu cunosc un algoritm clar de acțiune, mai ales dacă rădăcinile ecuației au semne diferite.
Deci, ecuația pătratică de mai sus are forma x 2 + px + q = 0, unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile sale. Conform teoremei lui Vieta, x 1 + x 2 = -p și x 1 · x 2 = q.
Se poate trage următoarea concluzie.
Dacă ultimul termen din ecuație este precedat de un semn minus, atunci rădăcinile x 1 și x 2 au semne diferite. În plus, semnul rădăcinii mai mici coincide cu semnul celui de-al doilea coeficient din ecuație.
Pe baza faptului că atunci când se adună numere cu semne diferite, modulele lor sunt scăzute și semnul numărului modulo mai mare este plasat în fața rezultatului rezultat, ar trebui să procedați după cum urmează:
- determinați factorii numărului q astfel încât diferența lor să fie egală cu numărul p;
- pune semnul celui de-al doilea coeficient al ecuației în fața celui mai mic dintre numerele rezultate; a doua rădăcină va avea semnul opus.
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 1.
Rezolvați ecuația x 2 – 2x – 15 = 0.
Soluţie.
Să încercăm să rezolvăm această ecuație folosind regulile propuse mai sus. Atunci putem spune cu siguranță că această ecuație va avea două rădăcini diferite, deoarece D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.
Acum, din toți factorii numărului 15 (1 și 15, 3 și 5), îi selectăm pe cei a căror diferență este 2. Acestea vor fi numerele 3 și 5. Punem semnul minus în fața numărului mai mic, adică. semnul celui de-al doilea coeficient al ecuației. Astfel, obținem rădăcinile ecuației x 1 = -3 și x 2 = 5.
Răspuns. x 1 = -3 și x 2 = 5.
Exemplul 2.
Rezolvați ecuația x 2 + 5x – 6 = 0.
Soluţie.
Să verificăm dacă această ecuație are rădăcini. Pentru a face acest lucru, găsim un discriminant:
D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Ecuația are două rădăcini diferite.
Factorii posibili ai numărului 6 sunt 2 și 3, 6 și 1. Diferența este 5 pentru perechea 6 și 1. În acest exemplu, coeficientul celui de-al doilea termen are semnul plus, deci numărul mai mic va avea același semn . Dar înainte de al doilea număr va apărea un semn minus.
Răspuns: x 1 = -6 și x 2 = 1.
Teorema lui Vieta poate fi scrisă și pentru o ecuație pătratică completă. Deci, dacă ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 are rădăcini x 1 și x 2, atunci egalitățile sunt valabile pentru ele
x 1 + x 2 = -(b/a)Şi x 1 x 2 = (c/a). Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme într-o ecuație pătratică completă este destul de problematică, deoarece dacă există rădăcini, cel puțin una dintre ele este număr fracționar. Și lucrul cu selectarea fracțiilor este destul de dificil. Dar totuși există o cale de ieșire.
Se consideră ecuația pătratică completă ax 2 + bx + c = 0. Înmulțiți laturile sale stânga și dreapta cu coeficientul a. Ecuația va lua forma (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Acum să introducem o nouă variabilă, de exemplu t = ax.
În acest caz, ecuația rezultată se va transforma într-o ecuație pătratică redusă de forma t 2 + bt + ac = 0, ale cărei rădăcini t 1 și t 2 (dacă există) pot fi determinate de teorema lui Vieta.
În acest caz, rădăcinile ecuației pătratice originale vor fi
x 1 = (t 1 / a) și x 2 = (t 2 / a).
Exemplul 3.
Rezolvați ecuația 15x 2 – 11x + 2 = 0.
Soluţie.
Să creăm o ecuație auxiliară. Să înmulțim fiecare termen al ecuației cu 15:
15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.
Facem înlocuirea t = 15x. Avem:
t 2 – 11t + 30 = 0.
Conform teoremei lui Vieta, rădăcinile acestei ecuații vor fi t 1 = 5 și t 2 = 6.
Revenim la înlocuirea t = 15x:
5 = 15x sau 6 = 15x. Deci x 1 = 5/15 și x 2 = 6/15. Reducem și obținem răspunsul final: x 1 = 1/3 și x 2 = 2/5.
Răspuns. x 1 = 1/3 și x 2 = 2/5.
Pentru a stăpâni rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta, elevii trebuie să exerseze cât mai mult posibil. Acesta este tocmai secretul succesului.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Teorema lui Vieta (mai precis, teorema inversă teoremei lui Vieta) vă permite să reduceți timpul de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Trebuie doar să știi cum să-l folosești. Cum să înveți să rezolvi ecuații pătratice folosind teorema lui Vieta? Nu este greu dacă te gândești puțin la asta.
Acum vom vorbi doar despre rezolvarea ecuației pătratice reduse folosind teorema lui Vieta. O ecuație pătratică redusă este o ecuație în care a, adică coeficientul lui x², este egal cu unu. De asemenea, este posibil să se rezolve ecuații pătratice care nu sunt date folosind teorema lui Vieta, dar cel puțin una dintre rădăcini nu este un număr întreg. Sunt mai greu de ghicit.
Teorema inversă teoremei lui Vieta spune: dacă numerele x1 și x2 sunt astfel încât
atunci x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice
Când rezolvați o ecuație pătratică folosind teorema lui Vieta, sunt posibile doar 4 opțiuni. Dacă vă amintiți linia raționamentului, puteți învăța să găsiți rădăcini întregi foarte repede.
I. Dacă q este un număr pozitiv,
aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn (deoarece numai înmulțirea numerelor cu aceleași semne produce un număr pozitiv).
I.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (respectiv, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Dacă -p este un număr negativ, (respectiv, p>0), atunci ambele rădăcini sunt numere negative (am adăugat numere de același semn și am obținut un număr negativ).
II. Dacă q este un număr negativ,
aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 au semne diferite (la înmulțirea numerelor se obține un număr negativ doar atunci când semnele factorilor sunt diferite). În acest caz, x1 + x2 nu mai este o sumă, ci o diferență (la urma urmei, atunci când adunăm numere cu semne diferite, scădem pe cel mai mic din cel mai mare în valoare absolută). Prin urmare, x1+x2 arată cât de mult diferă rădăcinile x1 și x2, adică cât de mult o rădăcină este mai mare decât cealaltă (în valoare absolută).
II.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (adică p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Dacă -p este un număr negativ, (p>0), atunci rădăcina mai mare (modulo) este un număr negativ.
Să luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta folosind exemple.
Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta:
Aici q=12>0, deci rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=7>0, deci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Selectăm numere întregi al căror produs este egal cu 12. Acestea sunt 1 și 12, 2 și 6, 3 și 4. Suma este 7 pentru perechea 3 și 4. Aceasta înseamnă că 3 și 4 sunt rădăcinile ecuației.
În acest exemplu, q=16>0, ceea ce înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Aici q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, atunci numărul mai mare este pozitiv. Deci rădăcinile sunt 5 și -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.