Există o serie de relații în ecuațiile pătratice. Principalele sunt relațiile dintre rădăcini și coeficienți. De asemenea, în ecuațiile pătratice există o serie de relații care sunt date de teorema lui Vieta.
În acest subiect, vom prezenta teorema lui Vieta în sine și demonstrația ei pentru o ecuație pătratică, teorema inversă teoremei lui Vieta, și vom analiza o serie de exemple de rezolvare a problemelor. O atenție deosebităîn material ne vom concentra pe formulele lui Vieta, care definesc relația dintre rădăcinile reale ecuație algebrică grade nși coeficienții săi.
Formularea și demonstrarea teoremei lui Vieta
Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice a x 2 + b x + c = 0 de forma x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, unde D = b 2 − 4 a c, stabilește relații x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Acest lucru este confirmat de teorema lui Vieta.
Teorema 1
Într-o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, Unde x 1Şi x 2– rădăcini, suma rădăcinilor va fi egală cu raportul coeficienților bŞi o, care a fost luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor va fi egal cu raportul coeficienților cŞi o, adică x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.
Dovada 1
Vă oferim următoarea schemă de realizare a demonstrației: luați formula rădăcinilor, compuneți suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice și apoi transformați expresiile rezultate pentru a vă asigura că sunt egale. -b aŞi c a respectiv.
Să facem suma rădăcinilor x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Să reducem fracțiile la numitor comun- b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a . Să deschidem parantezele din numărătorul fracției rezultate și să prezentăm termeni similari: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Să reducem fracția cu: 2 - b a = - b a.
Așa am demonstrat prima relație a teoremei lui Vieta, care se referă la suma rădăcinilor unei ecuații pătratice.
Acum să trecem la a doua relație.
Pentru a face acest lucru, trebuie să compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
Să ne amintim de regula de înmulțire a fracțiilor și să scriem ultimul produs astfel: - b + D · - b - D 4 · a 2.
Să înmulțim o paranteză cu o paranteză în numărătorul fracției sau să folosim formula diferenței de pătrate pentru a transforma mai repede acest produs: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Să folosim definiția rădăcină pătrată pentru a face următoarea tranziție: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2. Formula D = b 2 − 4 a c corespunde discriminantului unei ecuații pătratice, prin urmare, într-o fracție în loc de D poate fi înlocuit b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Să deschidem parantezele, să adăugăm termeni similari și să obținem: 4 · a · c 4 · a 2 . Dacă o scurtăm la 4 a, atunci ce rămâne este c a . Așa am demonstrat a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.
Dovada teoremei lui Vieta poate fi scrisă într-o formă foarte laconică dacă omitem explicațiile:
x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
Cu discriminantul ecuației pătratice egal cu zero ecuația va avea o singură rădăcină. Pentru a putea aplica teorema lui Vieta unei astfel de ecuații, putem presupune că ecuația, cu un discriminant egal cu zero, are două rădăcini identice. Într-adevăr, când D=0 rădăcina ecuației pătratice este: - b 2 · a, atunci x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a și x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , și deoarece D = 0, adică b 2 - 4 · a · c = 0, de unde b 2 = 4 · a · c, apoi b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.
Cel mai adesea în practică, teorema lui Vieta este aplicată ecuației pătratice reduse a formei x 2 + p x + q = 0, unde coeficientul principal a este egal cu 1. În acest sens, teorema lui Vieta este formulată special pentru ecuații de acest tip. Acest lucru nu limitează generalitatea datorită faptului că orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți ambele părți cu un număr diferit de zero.
Să dăm o altă formulare a teoremei lui Vieta.
Teorema 2
Suma rădăcinilor din ecuația pătratică dată x 2 + p x + q = 0 va fi egal cu coeficientul lui x, care se ia cu semnul opus, produsul rădăcinilor va fi egal cu termenul liber, adică. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.
Conversați teorema cu teorema lui Vieta
Dacă te uiți cu atenție la a doua formulare a teoremei lui Vieta, poți vedea că pentru rădăcini x 1Şi x 2 ecuație pătratică redusă x 2 + p x + q = 0 vor fi valabile următoarele relaţii: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Din aceste relații x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q rezultă că x 1Şi x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 + p x + q = 0. Așa că ajungem la o afirmație care este inversul teoremei lui Vieta.
Ne propunem acum să formalizăm această afirmație ca o teoremă și să realizăm demonstrația ei.
Teorema 3
Dacă numerele x 1Şi x 2 sunt astfel încât x 1 + x 2 = − pŞi x 1 x 2 = q, Asta x 1Şi x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q = 0.
Dovada 2
Înlocuirea cotelor pŞi q la exprimarea lor prin x 1Şi x 2 vă permite să transformați ecuația x 2 + p x + q = 0într-un echivalent .
Dacă înlocuim numărul în ecuația rezultată x 1în loc de x, atunci obținem egalitatea x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Aceasta este egalitate pentru orice x 1Şi x 2 se transformă într-o adevărată egalitate numerică 0 = 0 , pentru că x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Aceasta înseamnă că x 1– rădăcina ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Şi ce dacă x 1 este, de asemenea, rădăcina ecuației echivalente x 2 + p x + q = 0.
Înlocuirea în ecuație x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numere x 2în loc de x ne permite să obținem egalitate x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Această egalitate poate fi considerată adevărată, deoarece x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Se dovedește că x 2 este rădăcina ecuației x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, și de aici ecuațiile x 2 + p x + q = 0.
Reversul teoremei lui Vieta a fost dovedit.
Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta
Să începem acum să analizăm cele mai tipice exemple pe această temă. Să începem prin a analiza problemele care necesită aplicarea teoremei inverse teoremei lui Vieta. Poate fi folosit pentru a verifica numerele produse de calcule pentru a vedea dacă sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați suma și diferența lor, apoi verificați validitatea relațiilor x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.
Îndeplinirea ambelor relații indică faptul că numerele obținute în timpul calculelor sunt rădăcinile ecuației. Dacă vedem că cel puțin una dintre condiții nu este îndeplinită, atunci aceste numere nu pot fi rădăcinile ecuației pătratice date în enunțul problemei.
Exemplul 1
Care dintre perechile de numere 1) x 1 = − 5, x 2 = 3 sau 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 sau 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Soluţie
Să găsim coeficienții ecuației pătratice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Acesta este a = 4, b = − 16, c = 9. Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor unei ecuații pătratice trebuie să fie egală cu -b a, adică 16 4 = 4 , iar produsul rădăcinilor trebuie să fie egal c a, adică 9 4 .
Să verificăm numerele obținute calculând suma și produsul numerelor din trei perechi date și comparându-le cu valorile obținute.
În primul caz x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Această valoare este diferită de 4, prin urmare, verificarea nu trebuie continuată. Conform teoremei inverse cu teorema lui Vieta, putem concluziona imediat că prima pereche de numere nu sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.
În al doilea caz, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vedem că prima condiție este îndeplinită. Dar a doua condiție nu este: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Valoarea pe care o obținem este diferită de 9 4 . Aceasta înseamnă că a doua pereche de numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice.
Să trecem la a treia pereche. Aici x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 și x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că x 1Şi x 2 sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date.
Răspuns: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2
De asemenea, putem folosi inversul teoremei lui Vieta pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Cel mai simplu mod este de a selecta rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi. Alte opțiuni pot fi luate în considerare. Dar acest lucru poate complica semnificativ calculele.
Pentru a selecta rădăcini, folosim faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al unei ecuații pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.
Exemplul 2
Ca exemplu, folosim ecuația pătratică x 2 − 5 x + 6 = 0. Numerele x 1Şi x 2 pot fi rădăcinile acestei ecuații dacă sunt îndeplinite două egalități x 1 + x 2 = 5Şi x 1 x 2 = 6. Să selectăm aceste numere. Acestea sunt numerele 2 și 3, deoarece 2 + 3 = 5 Şi 2 3 = 6. Se pare că 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.
Reversul teoremei lui Vieta poate fi folosit pentru a găsi a doua rădăcină atunci când prima este cunoscută sau evidentă. Pentru a face acest lucru, putem folosi relațiile x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.
Exemplul 3
Luați în considerare ecuația pătratică 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Este necesar să găsiți rădăcinile acestei ecuații.
Soluţie
Prima rădăcină a ecuației este 1, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este zero. Se dovedește că x 1 = 1.
Acum să găsim a doua rădăcină. Pentru aceasta puteți folosi relația x 1 x 2 = c a. Se dovedește că 1 x 2 = − 3.512, unde x 2 = - 3.512.
Răspuns: rădăcinile ecuației pătratice specificate în enunțul problemei 1 Şi - 3 512 .
Este posibil să selectați rădăcini folosind teorema inversă teoremei lui Vieta numai în cazuri simple. În alte cazuri, este mai bine să căutați folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice printr-un discriminant.
Datorită inversului teoremei lui Vieta, putem construi și ecuații pătratice folosind rădăcinile existente. x 1Şi x 2. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm suma rădăcinilor, care dă coeficientul pt x cu semnul opus al ecuației pătratice date și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.
Exemplul 4
Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt numere − 11 Şi 23 .
Soluţie
Să presupunem că x 1 = − 11Şi x 2 = 23. Suma și produsul acestor numere vor fi egale: x 1 + x 2 = 12Şi x 1 x 2 = − 253. Aceasta înseamnă că al doilea coeficient este 12, termenul liber − 253.
Să facem o ecuație: x 2 − 12 x − 253 = 0.
Răspuns: x 2 − 12 x − 253 = 0 .
Putem folosi teorema lui Vieta pentru a rezolva probleme care implică semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Legătura dintre teorema lui Vieta este legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q = 0 după cum urmează:
- dacă ecuaţia pătratică are rădăcini reale şi dacă termenul de interceptare q este un număr pozitiv, atunci aceste rădăcini vor avea același semn „+” sau „-”;
- dacă ecuaţia pătratică are rădăcini şi dacă termenul de interceptare q este un număr negativ, atunci o rădăcină va fi „+”, iar a doua „-”.
Ambele afirmații sunt o consecință a formulei x 1 x 2 = qși reguli pentru înmulțirea numerelor pozitive și negative, precum și a numerelor cu semne diferite.
Exemplul 5
Sunt rădăcinile unei ecuații pătratice x 2 − 64 x − 21 = 0 pozitiv?
Soluţie
Conform teoremei lui Vieta, rădăcinile acestei ecuații nu pot fi ambele pozitive, deoarece trebuie să satisfacă egalitatea x 1 x 2 = − 21. Acest lucru este imposibil cu pozitiv x 1Şi x 2.
Răspuns: Nu
Exemplul 6
La ce valori ale parametrilor r ecuație pătratică x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 va avea două rădăcini reale cu semne diferite.
Soluţie
Să începem prin a găsi valorile cărora r, pentru care ecuația va avea două rădăcini. Să găsim discriminantul și să vedem ce r va lua valori pozitive. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Valoarea expresiei r2 + 8 pozitiv pentru orice real r, prin urmare, discriminantul va fi mai mare decât zero pentru orice real r. Aceasta înseamnă că ecuația pătratică originală va avea două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.
Acum să vedem când rădăcinile vor înrădăcina semne diferite. Acest lucru este posibil dacă produsul lor este negativ. Conform teoremei lui Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egal cu termenul liber. Aceasta înseamnă că soluția corectă va fi acele valori r, pentru care termenul liber r − 1 este negativ. Să decidem inegalitatea liniară r - 1< 0 , получаем r < 1 .
Răspuns: la r< 1 .
formule Vieta
Există o serie de formule care sunt aplicabile pentru a efectua operații cu rădăcinile și coeficienții nu numai a ecuațiilor pătratice, ci și cubice și a altor tipuri de ecuații. Se numesc formulele lui Vieta.
Pentru o ecuație algebrică a gradului n de forma a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 se consideră că are ecuația n rădăcini adevărate x 1 , x 2 , … , x n, printre care pot fi aceleași:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
Definiția 1
Formulele lui Vieta ne ajută să obținem:
- teorema despre descompunerea unui polinom în factori liniari;
- determinarea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători acestora.
Astfel, polinomul a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n și extinderea lui în factori liniari de forma a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sunt egale.
Dacă extindem parantezele în ultima lucrareși echivalăm coeficienții corespunzători, obținem formulele lui Vieta. Luând n = 2, putem obține formula lui Vieta pentru ecuația pătratică: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
Definiția 2
Formula lui Vieta pentru ecuația cubică:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Partea stângă a formulei Vieta conține așa-numitele polinoame simetrice elementare.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
În matematică există miscari speciale, cu care multe ecuații pătratice sunt rezolvate foarte repede și fără discriminatori. Mai mult, cu o pregătire adecvată, mulți încep să rezolve ecuațiile pătratice oral, literalmente „la prima vedere”.
Din păcate, în cursul modern al matematicii școlare, astfel de tehnologii aproape nu sunt studiate. Dar trebuie să știi! Și astăzi ne vom uita la una dintre aceste tehnici - teorema lui Vieta. Mai întâi, să introducem o nouă definiție.
O ecuație pătratică de forma x 2 + bx + c = 0 se numește redusă. Vă rugăm să rețineți că coeficientul pentru x 2 este 1. Nu există alte restricții asupra coeficienților.
- x 2 + 7x + 12 = 0 este o ecuație pătratică redusă;
- x 2 − 5x + 6 = 0 - de asemenea redus;
- 2x 2 − 6x + 8 = 0 - dar acest lucru nu este dat deloc, deoarece coeficientul lui x 2 este egal cu 2.
Desigur, orice ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0 poate fi redusă - doar împărțiți toți coeficienții la numărul a. Putem face întotdeauna acest lucru, deoarece definiția unei ecuații pătratice implică faptul că a ≠ 0.
Adevărat, aceste transformări nu vor fi întotdeauna utile pentru găsirea rădăcinilor. Mai jos ne vom asigura că acest lucru ar trebui făcut numai atunci când în ecuația finală dată de pătrat toți coeficienții sunt întregi. Deocamdată, să ne uităm la cele mai simple exemple:
Sarcină. Convertiți ecuația pătratică în ecuația redusă:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0.
Să împărțim fiecare ecuație la coeficientul variabilei x 2. Primim:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - împărțit totul la 3;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - împărțit la −4;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - împărțit la 1,5, toți coeficienții au devenit numere întregi;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - împărțit la 2. În acest caz au apărut coeficienții fracționali.
După cum puteți vedea, ecuațiile pătratice de mai sus pot avea coeficienți întregi chiar dacă ecuația originală conținea fracții.
Acum să formulăm teorema principală, pentru care, de fapt, a fost introdus conceptul de ecuație pătratică redusă:
teorema lui Vieta. Se consideră ecuația pătratică redusă de forma x 2 + bx + c = 0. Să presupunem că această ecuație are rădăcini reale x 1 și x 2. În acest caz, următoarele afirmații sunt adevărate:
- x 1 + x 2 = −b. Cu alte cuvinte, suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu coeficientul variabilei x, luată cu semnul opus;
- x 1 x 2 = c. Produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice este egal cu coeficientul liber.
Exemple. Pentru simplitate, vom lua în considerare doar ecuațiile pătratice de mai sus care nu necesită transformări suplimentare:
- x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; rădăcini: x 1 = 4; x 2 = 5;
- x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; rădăcini: x 1 = 3; x 2 = −5;
- x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; rădăcini: x 1 = −1; x 2 = −4.
teorema lui Vieta ne dă Informații suplimentare despre rădăcinile unei ecuații pătratice. La prima vedere, acest lucru poate părea dificil, dar chiar și cu un antrenament minim veți învăța să „vedeți” rădăcinile și să le ghiciți literalmente în câteva secunde.
Sarcină. Rezolvați ecuația pătratică:
- x 2 − 9x + 14 = 0;
- x 2 − 12x + 27 = 0;
- 3x 2 + 33x + 30 = 0;
- −7x 2 + 77x − 210 = 0.
Să încercăm să scriem coeficienții folosind teorema lui Vieta și să „ghicim” rădăcinile:
- x 2 − 9x + 14 = 0 este o ecuație pătratică redusă.
Prin teorema lui Vieta avem: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Este ușor de observat că rădăcinile sunt numerele 2 și 7; - x 2 − 12x + 27 = 0 - de asemenea redus.
După teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. De aici rădăcinile: 3 și 9; - 3x 2 + 33x + 30 = 0 - această ecuație nu este redusă. Dar vom corecta acest lucru acum împărțind ambele părți ale ecuației la coeficientul a = 3. Obținem: x 2 + 11x + 10 = 0.
Rezolvăm folosind teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ rădăcini: −10 și −1; - −7x 2 + 77x − 210 = 0 - din nou coeficientul pentru x 2 nu este egal cu 1, i.e. ecuația nu este dată. Împărțim totul la numărul a = −7. Se obține: x 2 − 11x + 30 = 0.
După teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Din aceste ecuații este ușor de ghicit rădăcinile: 5 și 6.
Din raționamentul de mai sus este clar cum teorema lui Vieta simplifică soluția ecuațiilor pătratice. Fără calcule complicate, nu rădăcini aritmeticeși fracții. Și nici nu aveam nevoie de un discriminant (vezi lecția „Rezolvarea ecuațiilor pătratice”).
Desigur, în toate reflecțiile noastre am plecat de la două ipoteze importante, care, în general, nu sunt întotdeauna îndeplinite în probleme reale:
- Ecuația pătratică este redusă, adică coeficientul pentru x 2 este 1;
- Ecuația are două rădăcini diferite. Din punct de vedere algebric, în acest caz discriminantul este D > 0 - de fapt, presupunem inițial că această inegalitate este adevărată.
Cu toate acestea, în mod tipic probleme matematice ah aceste conditii sunt indeplinite. Dacă calculul are ca rezultat o ecuație pătratică „rea” (coeficientul lui x 2 este diferit de 1), aceasta poate fi corectată cu ușurință - priviți exemplele de la începutul lecției. Tac în general despre rădăcini: ce fel de problemă este aceasta care nu are răspuns? Desigur, vor exista rădăcini.
Astfel, schema generala Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta arată astfel:
- Reduceți ecuația pătratică la cea dată, dacă acest lucru nu a fost deja făcut în enunțul problemei;
- Dacă coeficienții din ecuația pătratică de mai sus sunt fracționali, rezolvăm folosind discriminantul. Puteți chiar să vă întoarceți la ecuația originală pentru a lucra cu numere mai „la îndemână”;
- În cazul coeficienților întregi, rezolvăm ecuația folosind teorema lui Vieta;
- Dacă nu puteți ghici rădăcinile în câteva secunde, uitați de teorema lui Vieta și rezolvați folosind discriminantul.
Sarcină. Rezolvați ecuația: 5x 2 − 35x + 50 = 0.
Deci, avem în fața noastră o ecuație care nu se reduce, pentru că coeficientul a = 5. Împărțim totul la 5, obținem: x 2 − 7x + 10 = 0.
Toți coeficienții unei ecuații pătratice sunt întregi - să încercăm să o rezolvăm folosind teorema lui Vieta. Avem: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. În acest caz, rădăcinile sunt ușor de ghicit - sunt 2 și 5. Nu este nevoie să numărați folosind discriminantul.
Sarcină. Rezolvați ecuația: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.
Să ne uităm: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - această ecuație nu este redusă, să împărțim ambele părți la coeficientul a = −5. Se obține: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - o ecuație cu coeficienți fracționali.
Este mai bine să reveniți la ecuația inițială și să numărați prin discriminant: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.
Sarcină. Rezolvați ecuația: 2x 2 + 10x − 600 = 0.
Mai întâi, să împărțim totul la coeficientul a = 2. Obținem ecuația x 2 + 5x − 300 = 0.
Aceasta este ecuația redusă, conform teoremei lui Vieta avem: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Este dificil de ghicit rădăcinile ecuației pătratice în acest caz - personal, am fost serios blocat când am rezolvat această problemă.
Va trebui să cauți rădăcini prin discriminant: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Dacă nu vă amintiți rădăcina discriminantului, voi observa doar că 1225: 25 = 49. Prin urmare, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.
Acum că rădăcina discriminantului este cunoscută, rezolvarea ecuației nu este dificilă. Se obține: x 1 = 15; x 2 = −20.
Formularea și demonstrarea teoremei lui Vieta pentru ecuații patratice. Teorema inversă a lui Vieta. Teorema lui Vieta pentru ecuații cubice și ecuații de ordin arbitrar.
ConţinutVezi și: Rădăcinile unei ecuații pătratice
Ecuații cuadratice
teorema lui Vieta
Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice reduse
(1)
.
Apoi suma rădăcinilor este egală cu coeficientul lui , luat cu semnul opus. Produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:
;
.
O notă despre mai multe rădăcini
Dacă discriminantul ecuației (1) egal cu zero, atunci această ecuație are o rădăcină. Dar, pentru a evita formulările greoaie, se acceptă în general că, în acest caz, ecuația (1) are două rădăcini multiple sau egale:
.
Dovada unu
Să găsim rădăcinile ecuației (1). Pentru a face acest lucru, aplicați formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:
;
;
.
Aflați suma rădăcinilor:
.
Pentru a găsi produsul, aplicați formula:
.
Apoi
.
Teorema a fost demonstrată.
Dovada a doua
Dacă numerele sunt rădăcinile ecuației pătratice (1), atunci
.
Deschiderea parantezelor.
.
Astfel, ecuația (1) va lua forma:
.
Comparând cu (1) găsim:
;
.
Teorema a fost demonstrată.
Teorema inversă a lui Vieta
Să fie numere arbitrare. Atunci și sunt rădăcinile ecuației pătratice
,
Unde
(2)
;
(3)
.
Dovada teoremei inverse a lui Vieta
Luați în considerare ecuația pătratică
(1)
.
Trebuie să demonstrăm că dacă și , atunci și sunt rădăcinile ecuației (1).
Să înlocuim (2) și (3) în (1):
.
Grupăm termenii din partea stângă a ecuației:
;
;
(4)
.
Să înlocuim în (4):
;
.
Să înlocuim în (4):
;
.
Ecuația este valabilă. Adică, numărul este rădăcina ecuației (1).
Teorema a fost demonstrată.
Teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă
Acum luați în considerare ecuația pătratică completă
(5)
,
unde , și sunt câteva numere. În plus.
Să împărțim ecuația (5) la:
.
Adică, am obținut ecuația dată
,
Unde; .
Atunci teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă are următoarea formă.
Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice complete
.
Apoi suma și produsul rădăcinilor sunt determinate de formulele:
;
.
Teorema lui Vieta pentru ecuația cubică
Într-un mod similar, putem stabili conexiuni între rădăcinile unei ecuații cubice. Luați în considerare ecuația cubică
(6)
,
unde , , , sunt unele numere. În plus.
Să împărțim această ecuație la:
(7)
,
Unde , , .
Fie , , rădăcinile ecuației (7) (și ecuației (6)). Apoi
.
Comparând cu ecuația (7) găsim:
;
;
.
Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea
În același mod, puteți găsi conexiuni între rădăcinile , , ... , , pentru ecuație gradul al n-lea
.
Teorema lui Vieta pentru a n-a ecuații gradul are următoarea formă:
;
;
;
.
Pentru a obține aceste formule, scriem ecuația după cum urmează:
.
Apoi echivalăm coeficienții pentru , , , ... , și comparăm termenul liber.
Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: manual pentru clasa a VIII-a institutii de invatamant, Moscova, Educație, 2006.
Când se studiază metode de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi într-un curs de algebră școlară, se iau în considerare proprietățile rădăcinilor rezultate. Ele sunt cunoscute în prezent ca teorema lui Vieta. Exemple de utilizare a acestuia sunt date în acest articol.
Ecuație cuadratică
Ecuația de ordinul doi este egalitatea prezentată în fotografia de mai jos.
Aici simbolurile a, b, c sunt niște numere numite coeficienți ai ecuației luate în considerare. Pentru a rezolva o egalitate, trebuie să găsiți valorile lui x care o fac adevărată.
Rețineți că, deoarece puterea maximă la care poate fi ridicat x este de două, atunci și numărul de rădăcini în cazul general este de asemenea două.
Există mai multe modalități de a rezolva acest tip de egalități. În acest articol vom lua în considerare una dintre ele, care implică utilizarea așa-numitei teoreme Vieta.
Formularea teoremei lui Vieta
La sfârșitul secolului al XVI-lea, celebrul matematician François Viète (francez) a observat, în timp ce analiza proprietățile rădăcinilor diferitelor ecuații pătratice, că anumite combinații ale acestora satisfac relații specifice. În special, aceste combinații sunt produsul și suma lor.
Teorema lui Vieta stabilește următoarele: rădăcinile unei ecuații pătratice, însumate, dau raportul dintre coeficienții liniari și pătratici luați cu semnul opus, iar atunci când sunt înmulțiți duc la raportul dintre termenul liber și coeficientul pătratic. .
Dacă vedere generală ecuația este scrisă așa cum se arată în fotografia din secțiunea anterioară a articolului, apoi matematic această teoremă poate fi scrisă sub forma a două egalități:
- r2 + r1 = -b/a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Unde r 1, r 2 este valoarea rădăcinilor ecuației în cauză.
Cele două egalități de mai sus pot fi folosite pentru a rezolva o serie de probleme matematice diferite. Utilizarea teoremei lui Vieta în exemple cu soluții este dată în următoarele secțiuni ale articolului.
Aproape orice ecuație pătratică \poate fi convertită la forma \ Totuși, acest lucru este posibil dacă inițial împărțiți fiecare termen cu un coeficient \before \ În plus, puteți introduce o nouă notație:
\[(\frac (b)(a))= p\] și \[(\frac (c)(a)) = q\]
Din aceasta cauza, vom avea o ecuatie \ numita in matematica ecuatie patratica redusa. Rădăcinile acestei ecuații și coeficienții sunt interconectate, ceea ce este confirmat de teorema lui Vieta.
Teorema lui Vieta: Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse \ este egală cu al doilea coeficient \ luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este termenul liber \
Pentru claritate, să rezolvăm următoarea ecuație:
Să rezolvăm această ecuație pătratică folosind regulile scrise. Analizând datele inițiale, putem concluziona că ecuația va avea două rădăcini diferite, deoarece:
Acum, din toți factorii numărului 15 (1 și 15, 3 și 5), îi selectăm pe cei a căror diferență este 2. Numerele 3 și 5 se încadrează în această condiție. Punem semnul minus în fața numărului mai mic. Astfel, obținem rădăcinile ecuației \
Răspuns: \[ x_1= -3 și x_2 = 5\]
Unde pot rezolva o ecuație folosind teorema lui Vieta online?
Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.