Traiectoria mișcării corpurilor cerești. Traiectoria mișcării corpurilor cerești. Forma orbitei corpurilor cerești. viteza de evacuare

Pentru prima dată în istoria omenirii, un vehicul creat de om a devenit un satelit artificial al unui asteroid! Frumoasa fraza Cu toate acestea, cuvintele apropiate de eliptice necesită unele explicații.

Manualele de astronomie explică bine cum să te întorci sateliți artificialiîn orbite eliptice sau aproape circulare în jurul unor corpuri simetrice sferice, care includ planetele și, în special, Pământul nostru. Uită-te însă la Eros, acest bloc în formă de cartof care măsoară 33*13*13 km. Câmpul gravitațional al corpului este așa formă neregulată este destul de complex și, cu cât NEAR se apropia de ea, cu atât sarcina de a-l controla a devenit mai dificilă. După ce a finalizat o revoluție în jurul lui Eros, dispozitivul nu s-a întors niciodată la punctul său de origine. Mai rău, nici măcar planul orbitei sondei nu a fost menținut. Când scurte comunicate de presă au anunțat că NEAR s-a mutat pe o nouă orbită circulară, ar fi trebuit să vedeți ce cifre complicate a făcut de fapt!

Este doar norocos că în vremea noastră computerele au venit să ajute oamenii. Sarcina complexă de a menține vehiculul pe orbita dorită a fost efectuată automat de programe. Dacă o persoană a făcut acest lucru, atunci ar putea să-i ridice în siguranță un monument. Judecă-te singur: în primul rând, orbita dispozitivului nu ar fi trebuit să devieze niciodată cu mai mult de 30 o de la perpendiculară pe linia Sun Eros. Această cerință a fost determinată de designul ieftin al aparatului. Panourile solare trebuiau să se uite mereu la Soare (altfel moartea dispozitivului ar fi avut loc într-o oră), antena principală în momentul transmiterii datelor către Pământ și instrumentele în timpul colectării lor către asteroid. În același timp, toate dispozitivele, antenele și panourile solare au fost fixate la APROAPE nemișcate! Dispozitivul a fost alocat 16 ore pe zi pentru a colecta informații despre asteroid și 8 pentru a transmite date prin antena principală către Pământ.

În al doilea rând, majoritatea experimentelor au necesitat orbite cât mai joase posibil. Iar acest lucru, la rândul său, a necesitat manevre mai dese și un consum mai mare de combustibil. Oamenii de știință care au cartografiat Erosul trebuiau să zboare secvenţial în jurul tuturor zonelor asteroidului la altitudine joasă, iar cei care au fost implicaţi în obținerea de imagini aveau, de asemenea, nevoie diverse conditii iluminat. Adăugați la aceasta faptul că Erosul are și propriile anotimpuri și nopți polare. De exemplu, Emisfera sudicăși-a deschis întinderile către Soare abia în septembrie 2000. Cum poți să mulțumești pe toată lumea în aceste condiții?

Printre altele, a fost necesar să se ia în considerare și cerințele pur tehnice pentru stabilitatea orbitală. În caz contrar, dacă ai pierdut contactul cu NEAR pentru doar o săptămână, s-ar putea să nu mai vei mai auzi niciodată de el. Și, în cele din urmă, în niciun caz nu a fost posibil să conduci dispozitivul în umbra unui asteroid. Ar fi murit acolo fără Soare! Din fericire, era computerelor este în afara ferestrei, așa că toate aceste sarcini au fost atribuite electronicelor, în timp ce oamenii și-au rezolvat cu calm pe ale lor.

5.2. Orbitele corpurilor cerești

Orbite corpuri cerești traiectorii de-a lungul cărora Soarele, stelele, planetele, cometele, precum și navele spațiale artificiale (sateliți artificiali ai Pământului, Lunii și a altor planete, stații interplanetare etc.) se deplasează în spațiul cosmic. Cu toate acestea, pentru navele spațiale artificiale, termenul de orbită se aplică numai acelor secțiuni ale traiectoriilor lor în care se deplasează cu sistemul de propulsie oprit (așa-numitele secțiuni pasive ale traiectoriei).

Formele orbitelor și viteza cu care corpurile cerești se mișcă de-a lungul lor sunt determinate în principal de forța gravitația universală. Când se studiază mișcarea corpurilor cerești, în cele mai multe cazuri este permis să nu se țină seama de forma și structura lor, adică de a le considera puncte materiale. Această simplificare este posibilă deoarece distanța dintre corpuri este de obicei de multe ori mai mare decât dimensiunea lor. Luând în considerare punctele materiale cerești, putem aplica direct legea gravitației universale atunci când studiem mișcarea. În plus, în multe cazuri se poate limita să se ia în considerare mișcarea a doar două corpuri atragatoare, neglijând influența celorlalți. Deci, de exemplu, atunci când studiem mișcarea unei planete în jurul Soarelui, se poate presupune cu o anumită precizie că planeta se mișcă numai sub influența forței. gravitația solară. La fel, atunci când studiem aproximativ mișcarea unui satelit artificial al unei planete, se poate lua în considerare doar gravitația propriei planete, neglijând nu doar atracția altor planete, ci și cea solară.

Aceste simplificări conduc la așa-numita problemă a două corpuri. Una dintre soluțiile la această problemă a fost dată de I. Kepler, solutie completa problema a fost obtinuta de I. Newton. Newton a dovedit că unul dintre punctele materiale atrăgătoare se învârte în jurul altuia într-o orbită în formă de elipsă (sau cerc, care este un caz special de elipsă), parabolă sau hiperbolă. Focalizarea acestei curbe este al doilea punct.

Forma orbitei depinde de masele corpurilor în cauză, de distanța dintre ele și de viteza cu care se mișcă un corp față de celălalt. Dacă un corp de masă m 1 (kg) se află la o distanță r (m) de un corp de masă m 0 (kg) și se mișcă în acest moment cu o viteză V (m/s), atunci tipul de orbită este determinată de valoarea h = V 2 -2f( m 0 + m 1)/ r.

Gravitate constantă G = 6.673 10 -11 m 3 kg -1 s -2 . Dacă h este mai mic decât 0, atunci corpul m 1 se mișcă în raport cu corpul m 0 pe o orbită eliptică; Dacă h este egal cu 0 - pe o orbită parabolică; Dacă h este mai mare decât 0, atunci corpul m 1 se mișcă în raport cu corpul m 0 pe o orbită hiperbolică.

Cel mai puţin viteza initiala, care trebuie comunicată corpului astfel încât acesta, după ce a început să se miște lângă suprafața Pământului, să învingă gravitația și să părăsească Pământul pentru totdeauna pe o orbită parabolică, se numește a doua viteză de evacuare. Este egal cu 11,2 km/s. Cea mai mică viteză inițială care trebuie transmisă unui corp pentru ca acesta să devină un satelit artificial al Pământului se numește prima viteză de evacuare. Este egal cu 7,91 km/s.

Majoritatea corpurilor din sistemul solar se mișcă pe orbite eliptice. Doar niște corpuri mici sistemul solar cometele se pot deplasa pe orbite parabolice sau hiperbolice. În problemele de zbor spațial, cel mai des se întâlnesc orbite eliptice și hiperbolice. Astfel, stațiile interplanetare pornesc în zbor, având o orbită hiperbolică în raport cu Pământul; se deplasează apoi pe orbite eliptice în raport cu Soarele spre planeta destinație.

Orientarea orbitei în spațiu, dimensiunea și forma acesteia, precum și poziția corpului ceresc pe orbită sunt determinate de șase mărimi numite elemente orbitale. Câteva puncte orbitale caracteristice corpuri cereşti au propriile nume. Astfel, punctul orbitei unui corp ceresc care se mișcă în jurul Soarelui cel mai apropiat de Soare se numește periheliu, iar punctul orbitei eliptice cel mai îndepărtat de acesta se numește afeliu. Dacă se ia în considerare mișcarea unui corp în raport cu Pământul, atunci punctul cel mai apropiat al orbitei de Pământ se numește perigeu, iar punctul cel mai îndepărtat se numește apogeu. În probleme mai generale, când centrul de atragere poate însemna diferite corpuri cerești, denumirile folosite sunt periapsis (punctul orbitei cel mai apropiat de centru) și apocentrul (punctul orbitei cel mai îndepărtat de centru).

Cel mai simplu caz de interacțiune a doar două corpuri cerești nu este aproape niciodată observat (deși există multe cazuri când atracția celui de al treilea, al patrulea, etc. corpuri poate fi neglijată). În realitate, totul este mult mai complicat: asupra fiecărui corp acționează multe forțe. Planetele aflate în mișcarea lor sunt atrase nu numai de Soare, ci și unele de altele. În grupurile stelare, fiecare stea este atrasă de toate celelalte. Mișcarea sateliților artificiali ai Pământului este influențată de forțele cauzate de forma nesferică a Pământului și de rezistența atmosferei terestre, precum și de atracția Lunii și a Soarelui. Aceste forțe suplimentare se numesc perturbatoare, iar efectele pe care le provoacă în mișcarea corpurilor cerești se numesc perturbări. Din cauza perturbațiilor, orbitele corpurilor cerești se schimbă continuu lent.

Ramura astronomiei, mecanica cerească, studiază mișcarea corpurilor cerești ținând cont de forțele perturbatoare. Metodele dezvoltate în mecanica cerească fac posibilă determinarea foarte precisă a poziției oricăror corpuri din Sistemul Solar cu mulți ani înainte. Metode de calcul mai complexe sunt folosite pentru a studia mișcarea corpurilor cerești artificiale. Este extrem de dificil să se obțină o soluție exactă a acestor probleme sub formă analitică (adică sub formă de formule). Prin urmare, metodele sunt utilizate pentru a rezolva numeric ecuațiile de mișcare folosind electronice de mare viteză calculatoare. În astfel de calcule, este folosit conceptul de sfere de influență a planetei. Sfera de acțiune este regiunea spațiului circumplanetar în care, atunci când se calculează mișcarea perturbată a unui corp (SC), este convenabil să se ia în considerare nu Soarele, ci această planetă, ca corp central. În acest caz, calculele sunt simplificate datorită faptului că în sfera de acțiune influența perturbatoare a atracției Soarelui în comparație cu atracția planetei este mai mică decât perturbarea planetei în comparație cu atracția Soarelui. Dar trebuie să ne amintim că atât în interiorul, cât și în afara sferei de acțiune, forțele de gravitație ale Soarelui, ale planetei și ale altor corpuri acționează peste tot pe corp, deși în grade diferite.

Raza sferei de acțiune depinde de distanța dintre Soare și planetă. Orbitele corpurilor cerești din domeniul de aplicare pot fi calculate pe baza problemei celor două corpuri. Dacă un corp ceresc părăsește planeta, atunci mișcarea acestui corp în sfera de acțiune are loc pe o orbită hiperbolică. Raza sferei de influență a Pământului este de aproximativ 1 milion de km; Sfera de influență a Lunii în raport cu Pământul are o rază de aproximativ 63 de mii de kilometri.

Metoda de determinare a orbitei unui corp ceresc folosind conceptul de sferă de acțiune este una dintre metodele de determinare aproximativă a orbitelor. Cunoscând valorile aproximative ale elementelor orbitale, este posibil să se obțină valori mai precise ale elementelor orbitale folosind alte metode. Această îmbunătățire pas cu pas a orbitei determinate este o tehnică tipică care permite calcularea parametrilor orbitali cu o precizie ridicată. În prezent, gama de sarcini pentru determinarea orbitelor s-a extins semnificativ, ceea ce se explică prin dezvoltarea rapidă a tehnologiei rachetelor și spațiale.

5.3. Formularea simplificată a problemei cu trei corpuri

Problema mișcării navelor spațiale în câmpul gravitațional a două corpuri cerești este destul de complexă și este de obicei studiată metode numerice. Într-un număr de cazuri, se dovedește a fi permisă simplificarea acestei probleme prin împărțirea spațiului în două regiuni, în fiecare dintre acestea fiind luată în considerare atracția unui singur corp ceresc. Apoi, în interiorul fiecărei regiuni a spațiului, mișcarea navei spațiale va fi descrisă prin integralele cunoscute ale problemei cu două corpuri. La limitele de tranziție de la o regiune la alta, este necesar să se recalculeze corespunzător vectorul viteză și vectorul rază, ținând cont de înlocuirea corpului central.

Împărțirea spațiului în două regiuni se poate face pe baza diferitelor ipoteze care definesc granița. În problemele de mecanică cerească, de regulă, un corp ceresc are o masă semnificativ mai mare decât al doilea. De exemplu, Pământ și Lună, Soare și Pământ sau orice altă planetă. Prin urmare, regiunea în care nava spațială ar trebui să se miște de-a lungul unei secțiuni conice, în centrul căreia se află un corp mai puțin atractiv, ocupă doar o mică parte din spațiul din apropierea acestui corp. În întreg spațiul rămas, se presupune că nava spațială se mișcă de-a lungul unei secțiuni conice, al cărei focar este un corp atrăgător mai mare. Să ne uităm la câteva principii pentru împărțirea spațiului în două zone.

5.4. Sfera de atractie

Setul de puncte din spațiu în care corpul ceresc mai mic m 2 atrage nava spațială mai puternic decât corpul mai mare m 1 se numește aria de atracție sau sfera de atracție a corpului mai mic în raport cu cel mai mare. Aici, referitor la conceptul de sferă, este valabilă observația făcută pentru sfera de acțiune.

Fie m 1 masa și denumirea corpului de atrage mare, m 2 masa și denumirea corpului de atrage mai mic, m 3 masa și denumirea navei spațiale.

Poziția lor relativă este determinată de vectorii cu rază r 2 și r 3, care leagă m 1 cu m 2 și, respectiv, m 3.

Limita regiunii de atracție este determinată de condiția: |g 1 |=|g 2 |, Unde g 1 este accelerația gravitațională transmisă navei spațiale de un corp ceresc mare și g 2- accelerația gravitațională transmisă navei spațiale de un corp ceresc mai mic.

Raza sferei de atracție se calculează cu formula:

Unde g 1- accelerația pe care o primește nava spațială atunci când se deplasează în câmpul central al corpului m 1, este accelerația tulburătoare pe care o primește nava spațială din cauza prezenței unui corp atrăgător m 2, g 2- accelerația pe care o primește nava spațială atunci când se deplasează în câmpul central al corpului m 2, este accelerația tulburătoare pe care o primește nava spațială din cauza prezenței unui corp atrăgător m 1.

Rețineți că atunci când introducem acest concept prin cuvântul sferă, ne referim mai întâi nu la locul geometric al punctelor la fel de îndepărtate de centru, ci la regiunea de influență predominantă a unui corp mai mic asupra mișcării navei spațiale, deși limita acestei regiuni este foarte aproape de sferă.

În sfera de acțiune, corpul mai mic este considerat ca fiind cel central, iar corpul mai mare ca fiind cel perturbator. În afara sferei de acțiune, corpul mai mare este considerat cel central, iar corpul perturbator este considerat cel mai mic. Într-o serie de probleme de mecanică cerească, se dovedește a fi posibil să se neglijeze, ca primă aproximare, influența asupra traiectoriei navei spațiale a unui corp mai mare în interiorul sferei de acțiune și a unui corp mai mic în afara acestei sfere. Apoi, în interiorul sferei de acțiune, mișcarea navei spațiale va avea loc în câmpul central creat de corpul mai mic, iar în afara sferei de acțiune - în câmpul central creat de corp mare. Limita ariei (sferei) de acțiune a unui corp mai mic în raport cu unul mai mare este determinată de formula:

5.6. sfera lui Hill

O sferă Hill este o regiune închisă a spațiului cu un centru în punctul de atrage m 2, mișcându-se în interiorul căruia corpul m 3 va rămâne întotdeauna un satelit al corpului m 2.

Sfera Hill poartă numele astronomului american J. W. Hill, care, în studiile sale despre mișcarea Lunii (1877), a atras mai întâi atenția asupra existenței unor regiuni ale spațiului în care un corp de masă infinitezimală situat în câmpul gravitațional a două corpurile care atrag nu pot ajunge.

Suprafața sferei Hill poate fi considerată ca limita teoretică a existenței sateliților corpului m 2. De exemplu, raza sferei selenocentrice Hill din sistemul ISL Pământ-Lună este r = 0,00039 AU. = 58050 km, iar în sistemul Soare-Lună ISL r = 0,00234 AU. = 344800 km.

Raza sferei Hill se calculează cu formula:

raza sferei de acțiune după formula:

Unde R- distanța de la Eros la Soare,

Unde G- constantă gravitațională ( G= 6,6732*10 -11 Nm 2 / kg 2), r- distanta pana la asteroid; a doua viteza de evacuare este:

Să calculăm prima și a doua viteză de evacuare pentru fiecare valoare a razei sferelor. Vom introduce rezultatele în Tabelul 1, Tabelul 2, Tabelul 3.

Masă 1. Razele sferei gravitaționale pt distante diferite Eros de la Soare.

Masă 2. Razele sferei de acțiune pentru diferite distanțe ale Erosului față de Soare.

Masă 3. Razele sferei Hill pentru diferite distanțe ale Erosului față de Soare.

Razele sferei gravitaționale sunt atât de mici în comparație cu dimensiunea asteroidului (33*13*13 km) încât, în unele cazuri, limita sferei poate fi literalmente pe suprafața sa. Dar sfera Hill este atât de mare încât orbita navei spațiale în ea va fi foarte instabilă din cauza influenței Soarelui. Se pare că nava spațială va fi un satelit artificial al unui asteroid numai dacă se află în sfera de acțiune. În consecință, raza sferei de acțiune este egală cu distanța maximă față de asteroid la care nava spațială va deveni un satelit artificial. Mai mult, valoarea vitezei sale ar trebui să fie în intervalul dintre prima și a doua viteză cosmică.

Masă 4. Distribuția vitezelor cosmice în funcție de distanța de la asteroid.

După cum se poate observa din Tabelul 4, atunci când nava spațială se mișcă pe orbite inferioare, viteza sa ar trebui să crească. În acest caz, viteza trebuie să fie întotdeauna perpendiculară pe vectorul rază.

Acum să calculăm viteza cu care dispozitivul ar putea cădea pe suprafața asteroidului doar sub influența accelerației cădere liberă.

Accelerația căderii libere se calculează cu formula:

Să considerăm că distanța până la suprafață este de 370 km, deoarece dispozitivul a intrat pe o orbită eliptică cu parametri de 323*370 km pe 14 februarie 2000.

Deci g = 3,25. 10 -6 m/s 2, viteza se calculează prin formula: și va fi egală cu V = 1,55 m/s.

Faptele reale confirmă calculele noastre: în momentul aterizării, viteza vehiculului față de suprafața Eros era de 1,9 m/s.

Trebuie remarcat faptul că toate calculele sunt aproximative, deoarece considerăm Erosul ca fiind o sferă omogenă, care este foarte diferită de realitate.

Să estimăm eroarea de calcul. Distanța de la centrul de masă la suprafața asteroidului variază de la 13 la 33 km. Acum să recalculăm accelerația și viteza în cădere liberă, dar luăm distanța până la suprafață la 337 km. (370 - 33).

Deci, g" = 3,92. 10 -6 m/s 2, iar viteza V" = 1,62 m/s.

Eroarea în calcularea accelerației căderii libere este = 0,67. 10 -6 m/s 2, iar eroarea în calculele vitezei este = 0,07 m/s.

Deci, dacă asteroidul Eros s-ar afla la o distanță medie de Soare, atunci nava spațială NEAR ar trebui să se apropie de asteroid la o distanță mai mică de 355,1 km cu o viteză mai mică de 1,58 m/s pentru a intra pe orbită.

5. Cercetări și rezultate | Cuprins | Concluzie >>

Mișcarea Kepleriană a unei nave spațiale nu poate fi niciodată efectuată exact. Un corp ceresc atrăgător nu poate avea simetrie sferică exactă și, prin urmare, câmpul său gravitațional nu este, strict vorbind, central. Este necesar să se țină cont de atracția altor corpuri cerești și de influența altor factori. Dar mișcarea Kepleriană este atât de simplă și atât de bine studiată încât este convenabil, chiar și atunci când se găsesc traiectorii exacte, să nu abandonezi complet luarea în considerare a orbitei Kepleriene, ci, dacă este posibil, să o rafinăm. Orbita Kepleriană este considerată un fel de orbită de referință, dar se iau în considerare perturbațiile, adică distorsiunile pe care le suferă orbita din cauza atracției unui anumit corp, presiunea ușoară, înclinarea Pământului la poli etc. O astfel de rafinată. mișcarea se numește mișcare perturbată, iar mișcarea Kepleriană corespunzătoare - netulburată.

Perturbațiile orbitale pot fi cauzate nu numai de forțele naturale. Sursa lor poate fi, de asemenea, un motor cu tracțiune redusă (de exemplu, o rachetă electrică sau un motor cu vele solare) plasat la bordul unei nave spațiale sau al unui satelit Pământesc.

Să ne oprim în detaliu asupra modului în care sunt calculate perturbațiile gravitaționale din corpurile cerești. Să luăm în considerare, de exemplu, perturbarea de către Soare a mișcării geocentrice a unei nave spațiale. Luarea în considerare este complet similară cu luarea în considerare a gradientului gravitației Pământului atunci când luăm în considerare mișcările în raport cu satelitul Pământului (§ 3 din acest capitol).

Fie ca nava spațială să fie pe linia Pământ - Soare la o distanță de Pământ și la 149.100.000 km de Soare (distanța medie a Pământului față de Soare este Conform formulei (2) din § 2 din Capitolul 2 și valorile dat în § 4 al capitolului 2, putem calcula accelerațiile gravitaționale ale navei spațiale de la Pământ și de la Soare. Prima dintre ele este egală cu a doua - accelerația de la Soare s-a dovedit a fi mai mare decât accelerația de la Pământ, însă, aceasta nu înseamnă că dispozitivul va părăsi Pământul și va fi capturat de Soare. La urma urmei, ne interesează mișcarea geocentrică a aparatului, iar intervenția Soarelui în această mișcare este. exprimată printr-o perturbare, care poate fi calculată ca diferența dintre accelerația pe care Soarele o conferă aparatului și cea pe care o dă Pământului. Prima am calculat-o deja, iar a doua este egală.

Aceasta înseamnă că accelerația perturbatoare este egală cu doar sau 2,5% din accelerația dată de Pământ. După cum vedem, intervenția Soarelui în „treburile pământești”, în mișcarea geocentrică, este destul de mică (Fig. 19).

Să presupunem acum că suntem interesați de mișcarea aparatului în raport cu Soarele - mișcare heliocentrică. Acum, principala accelerație gravitațională „centrală” este accelerația de la Soare, iar cea tulburătoare este diferența dintre accelerația dată de Pământ aparatului și accelerația dată de Pământ către Soare.

Orez. 19. Calculul perturbațiilor de la Pământ și Soare.

Prima este egală, iar a doua este o valoare nesemnificativă Pământul nu are aproape niciun efect asupra Soarelui, iar mișcarea heliocentrică a aparatului poate fi considerată pur și simplu absolută și nu relativă (acesta era de așteptat având în vedere masa colosală a aparatului). Soarele). Deci, accelerația perturbatoare este egală cu aceeași valoare, adică este de 26,7% din accelerația principală, „centrală” - de la Soare. Intervenția Pământului în „treburile solare” s-a dovedit a fi destul de semnificativă!

Acum este clar că există mult mai multe motive pentru a considera mișcarea unei nave spațiale situate în punctul nostru ales din spațiu ca mișcare Kepleriană față de Pământ decât ca mișcare Kepleriană față de Soare. În primul caz, nu vom lua în considerare perturbarea în valoare de 2,5%, iar în al doilea - 26,7% din accelerația „centrală”.

Dacă poziționăm acum nava spațială într-un punct de pe linia Pământ-Soare la distanțe de Pământ și de Soare, vom găsi imaginea opusă (lăsăm cititorului să o facă el însuși calculele necesare). În acest caz, perturbarea mișcării geocentrice de către Soare este de 68,3% din accelerația dată de Pământ, iar perturbarea mișcării heliocentrice a Pământului nu este nici măcar de 3%.

accelerația dată de Soare. Evident, este mai rezonabil să considerăm acum aparatul ca fiind la cheremul Soarelui și să considerăm mișcarea lui ca Kepleriană cu un focus în centrul Soarelui.

Se pot face raționamente și calcule similare pentru toate punctele din spațiu (în acest caz, pentru punctele care nu se află pe linia dreaptă Pământ-Soare, va trebui să luați diferența vectorială a accelerațiilor). Fiecare punct va fi atribuit fie unei anumite regiuni din jurul Pământului, unde este mai avantajos să se ia în considerare mișcarea geocentrică, fie restului spațiului, unde traiectoriile kepleriene vor fi mult mai precise dacă Soarele este luat ca centru de greutate.

Analiza matematică arată că granița acestei regiuni este foarte aproape de o sferă (oarecum aplatizată pe partea Soarelui și „umflată” pe partea opusă). Pentru simplitatea calculelor, se obișnuiește să considerăm această zonă ca fiind exact o sferă și să o numim sfera de acțiune a Pământului.

Raza sferei de influență a unei planete poate fi calculată folosind o formulă care este potrivită pentru oricare două corpuri și determină raza sferei de influență a unui corp cu o masă mică (de exemplu, o planetă) în raport cu un corp. cu o mamă mare (de exemplu, Soarele):

unde a este distanța dintre corpuri 11,38, 1,391.

Raza sferei de influență a Pământului în raport cu Soarele este egală cu sfera de influență a Lunii în raport cu Pământul Soarelui în raport cu Galaxia (a cărei masă se presupune că este concentrată în miezul său). ), adică aproximativ 1 ani lumină an

Când o navă spațială trece de limita sferei de acțiune, trebuie să se deplaseze de la un câmp gravitațional central la altul. În fiecare câmp gravitațional, mișcarea este considerată, în mod natural, ca kepleriană, adică ca având loc de-a lungul oricăreia dintre secțiunile conice - o elipsă, parabolă sau hiperbolă, iar la limita sferei de acțiune, traiectoriile conform anumitor reguli sunt conjugat, „lipit împreună” (cum se face acest lucru, vom vedea în partea a treia și a patra a cărții). Aceasta este o metodă aproximativă pentru calcularea traiectoriilor spațiale, care este uneori numită metoda secțiunilor conice conjugate.

Singurul sens al conceptului de sferă de acțiune constă tocmai în granița de separare a două traiectorii kepleriene. În special, sfera de acțiune a planetei nu coincide deloc cu acea zonă

spațiu în care o planetă este capabilă să-și țină satelitul pentru totdeauna. Această zonă se numește sfera Hill pentru planetă în raport cu Soarele.

Un corp poate rămâne în interiorul sferei Hill pentru un timp nelimitat, în ciuda perturbațiilor de la Soare, dacă doar în momentul inițial ar avea o orbită planetocentrică eliptică. Această sferă este mai mare decât domeniul de acțiune.

Sfera Hill pentru Pământ în raport cu Soarele are o rază de 1,5 milioane km.

Raza sferei Hill pentru Soare în raport cu galaxie este de 230.000 UA. e. Aceasta este raza dacă orbita în jurul Soarelui are loc în aceeași direcție cu mișcarea Soarelui în jurul centrului Galaxiei (mișcarea planetelor naturale ale Sistemului Solar este tocmai aceasta). În caz contrar, este egal cu 100.000 a. e.

Spre deosebire de sfera de acțiune și de sfera Hill, sfera gravitațională a unei planete în raport cu Soarele, definită ca regiunea la limita căreia accelerațiile gravitaționale de la planetă și de la Soare sunt pur și simplu egale, nu joacă niciun rol. în cosmoddinamică.

Luna se află adânc în sfera de influență a Pământului. Prin urmare, preferăm să luăm în considerare mișcarea geocentrică a Lunii și să o considerăm un satelit al Pământului. Refuzăm să considerăm Luna ca pe o planetă independentă din cauza perturbărilor gravitaționale prea mari ale mișcării sale heliocentrice de la Pământ. Este curios că orbita Lunii se află în afara sferei de gravitație a Pământului (care are o rază de aproximativ Luna este atrasă mai puternic de Soare decât de Pământ.

Când se utilizează o metodă aproximativă pentru calcularea traiectoriilor spațiale, erorile principale se acumulează la calcularea mișcării în regiunea limitei sferei de acțiune. Prin urmare, unii autori consideră că pentru majoritatea cazurilor de calcul, acuratețea mai mare este dată de zonele de demarcație dintre câmpurile gravitaționale centrale, definite diferit decât s-a făcut mai sus. S-a propus, de exemplu, să se considere că regiunea corespunzătoare din jurul Pământului are o rază de 3-4 milioane km. Pe baza considerațiilor energetice, o rază egală cu

Sfera de acțiune și sfera de influență pot fi numite sfere gravitaționale dinamice, iar sfera de atracție poate fi numită sferă gravitațională statică. Folosirea acestuia din urmă în cosmodinamică ar avea sens numai dacă ar fi posibil

era posibil să ne imaginăm un zbor în spațiu între două corpuri cerești nemișcate.

Să remarcăm în concluzie că metoda secțiunilor conice conjugate, asociate cu anumite sfere gravitaționale dinamice, nu este singura metodă aproximativă de calcul a traiectoriilor cosmice. Continuă căutarea altor metode aproximative care sunt mai precise decât cea descrisă și necesită în același timp mai puține calcule decât metoda integrării numerice. Din păcate, trebuie să economisim timpul de funcționare chiar și al celor mai rapide computere electronice!

În sfera de acțiune, adică în zonă T, dat de relația cu semnul egal înlocuit cu semnul „mai puțin decât”, este mai avantajos să folosim ecuații, în afara ecuațiilor. Estimările arată că Luna se află adânc în interiorul sferei de influență a Pământului.

Astfel, în ceea ce privește domeniul de aplicare, Luna este un satelit, nu o planetă.

Să examinăm forma sferei de acțiune. Să scriem ecuația sa în același sistem de coordonate în care a fost obținută. După transformări

(10)

Deoarece ecuația conține y, z numai în combinație y 2 + x 2, atunci S există o suprafață de rotație în jurul unei axe x. Prin urmare forma S determinat de forma curbei S" - secțiune S avion xy.

Transformarea folosind algebra computerizată, student la catedra de astronomie a Universității din Leningrad S.R. Tyurin a constatat că S" coincide cu sau face parte dintr-o curbă algebrică de gradul 48 de la x, y. Se poate arăta că S„este un oval apropiat de cerc, simetric față de ambele axe, comprimat de-a lungul axei x(axa eclipselor). Distanța variază de la 792 10 3 la 940 10 3 km, care este de două ori cea mai mare rază a orbitei lunare.

Sfera de deal

Pentru simplitate, vom neglija masa Lunii și excentricitatea orbitei Pământului. După cum a arătat V.G Golubev, ne putem lipsi de aceste presupuneri, dar nu vom complica sarcina.

Să clarificăm direcția axei y. Să o desfășurăm în planul unei orbite circulare Qîn direcția mișcării. Început Q sisteme xyz descrie un cerc cu raza [ m 1 / (m 1 + m)]Rîn jurul centrului de masă Q 1 și Q, iar sistemul însuși se rotește uniform în jurul axei z Cu viteza unghiulara, determinat de a treia lege a lui Kepler. Circulaţie Pîn sistem xyz cauzate de forțele gravitaționale Q 1 și Q, precum și forțele centrifuge și inerțiale Coriolis. După cum se știe, forța Coriolis nu produce muncă, iar celelalte trei forțe sunt conservatoare. Prin urmare, suma energiei cinetice și potențiale este conservată P, constând din energia forțelor de atracție și centrifuge. După reducerea la masă P poate fi notat

Curbura traseului

Orbita geocentrică a Lunii este o curbă spațială. Dar „spațialitatea” sa este mică. Vectorii viteză și accelerație formează unghiuri de cel mult 6° cu planul eclipticului. Același lucru este valabil și pentru traiectoria heliocentrică. Prin urmare, în ambele cazuri este suficient să ne limităm la proiecția orbitei pe planul ecliptic. După cum se știe, orbita Lunii în raport cu Pământul este aproape de elipsa Kepleriană. Apropo, am ilustrat acest lucru prin evaluare Z/Wîn secțiunea anterioară. Proiecția unei elipse întinsă într-un avion pe plan ortogonal- un segment, proiecția pe orice alt plan este și elipsă. Prin urmare proiecția L Orbita geocentrică a Lunii pe planul ecliptic este aproape de o elipsă. Abaterile de la acesta pot fi observate doar cu ochi de către un artist sau un desenator. O singură diferență este vizibilă pentru o persoană cu vedere normală: orbita nu se închide după o revoluție în jurul Pământului. Fiecare tură următoare este ușor deplasată față de cea anterioară. Dar acest lucru nu este important. Pentru scopul nostru, două circumstanțe sunt importante:

vector viteză la L se rotește spre stânga când este privit de la polul nord al eclipticii; curbura este întotdeauna pozitivă, nu apar puncte de inflexiune;
pe o tură L Nu există bucle în jurul Pământului.

Ambele proprietăți împreună înseamnă asta Lîntotdeauna îndreptată spre Pământ cu o concavitate, fără valuri (curbura este întotdeauna pozitivă), fără bucle la o tură (curbura nu este prea mare) și arată ca un oval cu Pământul închis în interior (Fig. 2). Este interesant că ambele proprietăți (cu cuvântul „Pământ” înlocuit cu cuvântul „Soare”) sunt valabile și pentru proiecția orbitei heliocentrice a Lunii. Astfel, din punct de vedere al curburii traiectoriei, Luna poate fi considerată atât un satelit, cât și o planetă cu drepturi egale.

Concluzie

Am construit un model matematic al mișcării Lunii care este adecvat problemei. Această construcție demonstrează regula generala, menționat, de exemplu, în. În primul rând, din considerente generale, am selectat fapte care, în principiu, ar putea juca cel puțin un anumit rol în fenomenul studiat și am renunțat la un set aproape infinit de altele. În al doilea rând, am evaluat efectul comparativ al celor selectate și, de asemenea, le-am eliminat pe toate, cu excepția a două principale. Acestea din urmă trebuie luate în considerare, altfel modelul va pierde legătura cu realitatea.

Am privit modelul nostru din unghiuri diferite, introducând mai multe concepte care sunt utile în multe alte moduri. Și am aflat următoarele. În cele mai multe cazuri, Luna ar trebui considerată un satelit al Pământului, așa cum o fac marea majoritate a locuitorilor săi alfabetizați. Dar există situații în care Luna se comportă ca o planetă, de exemplu, împreună cu Venus, se află în afara sferei de gravitație a Pământului. În cele din urmă, există situații în care Luna se comportă atât ca satelit, cât și ca planetă, de exemplu, formele traiectoriilor sale geocentrice și heliocentrice sunt similare. Toate acestea servesc ca o ilustrare excelentă a faptului că nu numai în mecanica cuantică, afirmațiile aparent se exclud reciproc ambele se dovedesc a fi adevărate.

Rețineți că raționamentul nostru se aplică și altor sateliți planetari. De exemplu, aproape toți sateliții artificiali ai Pământului sunt localizați adânc în sfera sa de gravitație. Deci, sateliții sunt sateliți reali din punctul de vedere al oricăror sfere gravitaționale. Și din punct de vedere al formei traiectoriei: orbitele lor heliocentrice sunt ondulate. Cititorul curios poate explora el însuși sateliții altor planete.

Literatură


	Anuarul Astronomic pentru 1997 / Ed. V.K. Abalakin. Sankt Petersburg: ITA RAS, 1996.
	Surdin V.G. Fenomene de maree în Univers // Nou în viață, știință, tehnologie. Ser. Cosmonautică, astronomie. M.: Knowledge, 1986. Nr. 2.
	Antonov V.A., Timoshkova E.I., Kholshevnikov K.V. Introducere în teoria potențialului newtonian. M.: Nauka, 1988.
	Tyurin S.R. Studiul ecuației exacte a sferei de acțiune // Proc. raport către student ştiinţific conf. „Fizica galaxiei”, 1989. Sverdlovsk, Editura Universității de Stat din Ural, 1989. P. 23.
	Golubev V.G., Grebenikov E.A. Problema celor trei corpuri în mecanica cerească. M.: Editura Universității de Stat din Moscova, 1985.
	Neimark Yu.I. Modele matematice simple și rolul lor în înțelegerea lumii // Soros Educational Journal. 1997. Nr 3. P. 139-143.

Definiții matematice

În KSP, multe concepte sunt legate de fizică și mecanică cerească, ceea ce poate fi neobișnuit pentru cei neinițiați. În plus, o varietate de termeni și abrevieri științifici sunt utilizați pentru a descrie concepte generale.
Acest articol este compilat ca o scurtă carte de referință cu toată terminologia necesară și este conceput pentru a vă ajuta să deveniți rapid un adevărat kerbonaut!

Sistemul de coordonate carteziene - folosește coordonate dreptunghiulare (a,b,c)

Sistemul de coordonate polare - folosește distanța și unghiurile (r,Θ,Φ)

Eliptic

De formă ovală, adică adesea forma orbitei.

Vector normal, normal

Un vector perpendicular pe un plan.

O cantitate specificată de un singur număr nu are direcție. Unitatea de măsură care urmează scalarului indică dimensiunea acestuia, de exemplu, 3 kg, 40 m, 15 s sunt mărimi scalare care indică masa, distanța și, respectiv, timpul. Scalarul este viteza medie de deplasare.

Se caracterizează atât prin direcție, cât și prin mărime. Forma înregistrării depinde de sistemul de coordonate utilizat și de numărul de măsurători.<35°, 12>vector polar bidimensional și<14, 9, -20>vector cartezian tridimensional. Există și alte sisteme de coordonate, dar acestea sunt cele mai comune.
<35°, 12>arată ca o săgeată lungă de 12 unități trasă de la origine (de la zero, unde unghiul de coordonate nu contează, deoarece acest punct nu are lungime) până la un punct la 35 ° de axa de coordonate (de obicei axa X, din care pozitiv unghiurile sunt măsurate în sensul acelor de ceasornic)
<14, 9, -20>arată ca o săgeată trasă de la origine (<0,0,0>), la un punct cu coordonata x = 14, coordonata y = 9 și coordonata z = -20.
Avantajul utilizării coordonatelor carteziene este că locația este imediat clară punctul final, dar este mai dificil de estimat lungimea, în timp ce în coordonate polare lungimea este dată în mod explicit, dar este mai greu de imaginat poziția.
Următorul mărimi fizice sunt vectori: viteza (instantanee), accelerația, forța

Pentru un sistem de coordonate tridimensional aveți nevoie de:

Punct de referință/corp.

3 vectori de bază. Acestea specifică unitățile de măsură de-a lungul axelor și orientarea acelor axe.

Un set de trei scalari, care pot fi unghiuri sau coordonate liniare, pentru a specifica o poziție în spațiu.

În cazul calculelor cu impuls specific:

La plecarea de la suprafata, rezistenta aerodinamica a atmosferei si nevoia de a castiga altitudine provoaca pierderi aerodinamice si gravitationale care reduc viteza caracteristica finala.

Gravitaţie

Interacțiune universală între toate obiectele materiale. Foarte slab. De regulă, corpurile foarte masive - de ex. planete, luni - au un impact vizibil. Scade proporțional cu pătratul distanței de la centrul de masă. Astfel, atunci când distanța față de obiectul gravitator se dublează, forța de atracție va fi 1/22 = 1/4 din cea inițială.

Groapă gravitațională

Zona din jurul unei planete cu câmpul gravitațional. Strict vorbind, se extinde la infinit, dar, pentru că. gravitația scade proporțional cu pătratul distanței (dacă distanța crește de 2 ori, atunci gravitația scade de 4), atunci este de interes practic numai în sfera de influență gravitațională a planetei.

Sferă gravitațională, sferă de influență gravitațională

Raza din jurul unui corp ceresc în care gravitația sa nu poate fi încă neglijată. În funcție de sarcini, se disting diferite zone.

Sfera gravitațională este o regiune a spațiului în care gravitația unei planete depășește gravitația solară.
Sfera de acțiune este o regiune a spațiului în care, atunci când se calculează, planeta, și nu Soarele, este luată ca corp central.
Sfera lui Hill este o regiune a spațiului în care corpurile se pot mișca, rămânând un satelit al planetei.

Supraîncărcare ("g")

Raportul dintre accelerația unui obiect și accelerația gravitației de pe suprafața Pământului. Se măsoară în accelerația datorată gravitației de pe suprafața Pământului - „g”.

Continuarea fizicii

Puterea de atracție

Forța gravitațională se caracterizează prin accelerația căderii libere într-un câmp gravitațional, iar în cazul Pământului la nivelul mării este egală cu 9,81 m/s2. Aceasta este echivalentă cu o forță g de 1 g pentru un obiect care experimentează exact aceeași accelerație, de exemplu. un obiect aflat în repaus pe suprafața Pământului suferă aceeași suprasarcină ca și unul care se deplasează cu o accelerație de 1g (Principiul echivalenței forțelor gravitației și inerției). Un obiect va cântări de două ori mai mult dacă are o accelerație de 2 g și nu va avea deloc greutate dacă accelerația sa este zero. Pe orbită, cu motorul oprit, toate obiectele vor fi lipsite de greutate, adică. la suprasarcină zero.

Prima viteza de evacuare (viteza circulara)

Viteza necesară pentru o orbită circulară.

Definit ca:

A doua viteza de evacuare (viteza de evacuare, viteza parabolica)

Viteza necesară pentru a depăși gaura gravitațională a planetei în cauză și a se îndepărta la infinit.

Definit ca:

unde G este constanta gravitațională, M este masa planetei și r este distanța până la centrul corpului care atrage.
Pentru a zbura pe Lună, nu este necesar să accelerezi la a 2-a viteză spațială. Este suficient să intri pe o orbită eliptică alungită cu un apocentru care ajunge pe orbita Lunii. Acest lucru simplifică sarcina tehnică și economisește combustibil.

Energie (mecanica)

Energia mecanică totală a unui obiect aflat pe orbită constă din energii potențiale și cinetice.

Energie potentiala:

Energia cinetică:

unde G este constanta gravitațională, M este masa planetei, m este masa obiectului, R este distanța până la centrul planetei și v este viteza.
Astfel:

Dacă energie totală corpul este negativ, atunci traiectoria lui va fi închisă dacă este egală sau mai mare decât zero, atunci parabolic și respectiv hiperbolic; Toate orbitele cu semi-axe egale corespund energiilor egale.
Acesta este sensul principal al legilor lui Kepler ale mișcării planetare, pe baza cărora corectarea aproximării folosind metoda secțiunilor conice este efectuată în „KSP”. O elipsă este un set al tuturor punctelor dintr-un plan situat în așa fel încât suma distanțelor până la două puncte - focarele - să fie o constantă. Unul dintre focarele orbitei Kepleriene este situat în centrul de masă al obiectului aflat pe orbită în jurul căruia are loc mișcarea; de îndată ce un obiect se apropie de el, schimbă energie potenţială la energia cinetică. Dacă un obiect se îndepărtează de acest focar - în mod echivalent dacă orbita este eliptică, pe măsură ce obiectul se apropie de un alt focar - schimbă energia cinetică cu energie potențială. Dacă aeronava se deplasează direct către sau departe de obiect, atunci focarele coincid cu absidele, în care energiile cinetice (apoapsis) sau potențiale (periapsis) sunt zero. Dacă este perfect circular (de exemplu, orbita Lunii în jurul lui Kerbin), atunci cele două focare coincid și locația absidelor nu este determinată, deoarece fiecare punct al orbitei este o absidă.

Există, de asemenea, energie orbitală specifică, care nu necesită cunoașterea masei aeronavei pentru calcul:
; Isp determină eficiența unui motor cu reacție. Cu cât este mai mare Isp, cu atât racheta are o forță mai puternică cu aceeași masă de combustibil. Isp este adesea dat în secunde, dar o valoare mai corectă din punct de vedere fizic este distanța în timp, care este exprimată în metri pe secundă sau picioare pe secundă. Pentru a evita confuzia cu utilizarea acestor cantități, Isp (distanța/timp) precis fizic este împărțit la accelerația datorată gravitației la suprafața Pământului (9,81 m/s2). Și acest rezultat este prezentat în câteva secunde. Pentru a utiliza acest Isp în formule, acesta trebuie convertit înapoi la distanță în timp, ceea ce necesită din nou înmulțirea cu accelerația datorată gravitației de la suprafața Pământului. Și pentru că Deoarece această accelerație este utilizată numai pentru conversia reciprocă a acestor două mărimi, impulsul specific nu se modifică atunci când gravitația se schimbă. Se pare că „KSP” folosește o valoare de 9,82 m/s2, ceea ce reduce puțin consumul de combustibil.
Deoarece impulsul specific este raportul dintre forță și consumul de combustibil, este uneori reprezentat în , ceea ce permite cu ușurință utilizarea unităților SI de bază.

Aerodinamica

Viteza maximă de cădere

Viteza terminală este viteza cu care un corp cade într-un gaz sau lichid și se stabilizează atunci când corpul atinge o viteză la care forța de atracție gravitațională este echilibrată de forța de rezistență a mediului. Citiți mai multe despre calcularea vitezei maxime în acest articol.

Drag aerodinamic

Dragul aerodinamic (în engleză: „Drag”) sau „drag” este forța cu care gazul acționează asupra unui corp care se mișcă în el; această forță este întotdeauna îndreptată în direcția opusă direcției vitezei corpului și este una dintre componentele forței aerodinamice. Această forță este rezultatul conversiei ireversibile a unei părți din energia cinetică a unui obiect în căldură. Rezistența depinde de forma și dimensiunea obiectului, de orientarea acestuia față de direcția vitezei, precum și de proprietățile și starea mediului în care se mișcă obiectul. În medii reale se întâmplă următoarele: frecare vâscoasăîn stratul limită dintre suprafața obiectului și mediu, pierderi de formare unde de soc la viteze apropiate și supersonice (tragării valurilor) și pentru formarea vortexului. În funcție de modul de zbor și de forma corpului, vor predomina anumite componente ale rezistenței. De exemplu, pentru corpurile contondente de rotație care se mișcă la viteze supersonice mari, aceasta este determinată de rezistența valurilor. Pentru corpurile bine raționalizate care se mișcă cu viteză mică, există rezistență la frecare și pierderi datorate formării de vortex. Vidul care apare pe suprafața din spate a corpului aerodinamic duce, de asemenea, la apariția unei forțe rezultante direcționate opus vitezei corp, - fund rezistență, care poate reprezenta o parte semnificativă a rezistenței aerodinamice. Citiți mai multe despre calcularea rezistenței aerodinamice în acest articol.

Cum să construiești o rachetă și cum să intri pe orbită!

Sferele gravitaționale ale planetelor sistemului solar

În sistemele spațiale, centrele de greutate de diferite dimensiuni asigură integritatea și stabilitatea întregului sistem și funcționarea fără probleme a elementelor sale structurale. Stele, planete, sateliți planetari și chiar asteroizi mari au zone în care magnitudinea lor câmp gravitațional devine dominantă asupra câmpului gravitațional al unui centru de greutate mai masiv. Aceste zone pot fi împărțite în zona dominată de centrul de greutate principal sistem spațialși 3 tipuri de regiuni în apropierea centrelor de greutate locale (stele, planete, sateliți planetari): sfera de gravitație, sfera de acțiune și sfera Hill. Pentru a calcula parametrii acestor zone, este necesar să se cunoască distanțele de la centrele de greutate și masa acestora. Tabelul 1 prezintă parametrii zonelor gravitaționale ale planetelor Sistemului Solar.

Tabelul 1. Sferele gravitaționale ale planetelor sistemului solar.

Spaţiu obiecte	Distanța până la Soare, m	K = M pl / M s	Sferă gravitaţie, m	Domeniul de acțiune	sfera lui Hill
Mercur	0,58 10 11	0,165·10 -6	0,024 10 9	0,11 10 9	0,22 10 9
Venus	1.082 10 11	2,43 ·10 -6	0,17 10 9	0,61 10 9	1,0 10 9
Pământ	1.496 10 11	3,0 10 -6	0,26 10 9	0,92 10 9	1,5 10 9
Marte	2,28 10 11	0,32·10 -6	0,13 10 9	0,58 10 9	1.1 10 9
Jupiter	7.783 10 11	950 ·10 -6	24 10 9	48 10 9	53 10 9
Saturn	14.27 10 11	285 10 -6	24 10 9	54 10 9	65 10 9
Uranus	28,71 10 11	43,3 10 -6	19 10 9	52 10 9	70 10 9
Neptun	44.941 10 11	51,3 ·10 -6	32 10 9	86 10 9	116 10 9

Sfera de gravitație a unei planete (un element structural al sistemului solar) este o regiune a spațiului în care atracția unei stele poate fi neglijată, iar planeta este principalul centru de greutate. La limita regiunii gravitaționale (atracție), intensitatea câmpului gravitațional al planetei (accelerația gravitațională g) este egală cu intensitatea câmpului gravitațional al stelei. Raza sferei gravitaționale a planetei este egală cu

Rt = RK 0,5

Unde
R – distanța de la centrul stelei la centrul planetei
K = Mpl / Ms
Mpl – masa planetei
M s – masa Soarelui

Sfera de acțiune a unei planete este o regiune a spațiului în care forța gravitațională a planetei este mai mică, dar comparabilă cu forța gravitațională a stelei sale, adică. intensitatea câmpului gravitațional al planetei (accelerația gravitațională g) nu este cu mult mai mică decât intensitatea câmpului gravitațional al stelei. Când se calculează traiectoriile corpurilor fizice în sfera de influență a unei planete, centrul de greutate este considerat a fi planeta, și nu steaua ei. Influența câmpului gravitațional al unei stele pe orbita unui corp fizic se numește perturbare a traiectoriei sale. Raza sferei de influență a planetei este egală cu

Rd = RK 0,4

Sfera lui Hill este o regiune a spațiului în care sateliții naturali ai unei planete au orbite stabile și nu se pot deplasa pe o orbită aproape stelară. Raza sferei Hill este

Rx = R (K/3) 1/3

Raza sferei gravitaționale