Linia care trece prin punctul K(x 0 ; y 0) și paralelă cu dreapta y = kx + a se găsește prin formula:
y - y 0 = k(x - x 0) (1)
Unde k este panta dreptei.
Formula alternativa:
O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1 ; y 1) și paralelă cu dreapta Ax+By+C=0 este reprezentată prin ecuație
A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)
Exemplul nr. 1. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul M 0 (-2,1) și în același timp:a) paralel cu dreapta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular pe dreapta 2x+3y -7 = 0.
Soluţie . Să reprezentăm ecuația cu panta sub forma y = kx + a. Pentru a face acest lucru, mutați toate valorile cu excepția y în partea dreaptă: 3y = -2x + 7 . Apoi împărțiți partea dreaptă cu un factor de 3. Se obține: y = -2/3x + 7/3
Să găsim ecuația NK care trece prin punctul K(-2;1), paralelă cu dreapta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Înlocuind x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 obținem:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
sau
y = -2 / 3 x - 1 / 3 sau 3y + 2x +1 = 0
Exemplul nr. 2. Scrieți ecuația unei drepte paralele cu dreapta 2x + 5y = 0 și formând împreună cu axele de coordonate un triunghi a cărui aria este 5.
Soluţie
. Deoarece liniile sunt paralele, ecuația dreptei dorite este 2x + 5y + C = 0. Aria triunghi dreptunghic, unde a și b sunt picioarele sale. Să găsim punctele de intersecție ale liniei dorite cu axele de coordonate: 
;
.
Deci, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Să o înlocuim în formula pentru zonă: 
. Obținem două soluții: 2x + 5y + 10 = 0 și 2x + 5y – 10 = 0.
Exemplul nr. 3. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul (-2; 5) și paralelă cu dreapta 5x-7y-4=0.
Soluţie. Această linie dreaptă poate fi reprezentată prin ecuația y = 5 / 7 x – 4 / 7 (aici a = 5 / 7). Ecuația dreptei dorite este y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), adică. 7(y-5)=5(x+2) sau 5x-7y+45=0.
Exemplul nr. 4. După ce am rezolvat exemplul 3 (A=5, B=-7) folosind formula (2), găsim 5(x+2)-7(y-5)=0.
Exemplul nr. 5. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul (-2;5) și paralelă cu dreapta 7x+10=0.
Soluţie. Aici A=7, B=0. Formula (2) dă 7(x+2)=0, adică. x+2=0. Formula (1) nu este aplicabilă, deoarece această ecuație nu poate fi rezolvată în raport cu y (această linie dreaptă este paralelă cu axa ordonatelor).
Proprietățile unei drepte în geometria euclidiană.
Un număr infinit de linii drepte pot fi trase prin orice punct.
Prin oricare două puncte necoincidente poate fi trasată o singură linie dreaptă.
Două drepte divergente dintr-un plan fie se intersectează într-un singur punct, fie sunt
paralel (urmează din precedentul).
ÎN spatiu tridimensional Există trei opțiuni pentru poziția relativă a două linii:
- liniile se intersectează;
- liniile sunt paralele;
- linii drepte se intersectează.
Drept linia— curbă algebrică de ordinul întâi: o dreaptă în sistemul de coordonate carteziene
este dat pe plan de o ecuație de gradul I (ecuație liniară).
Ecuația generală a unei drepte.
Definiţie. Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi
Ax + Wu + C = 0,
și constantă A, B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește general
ecuația unei linii drepte.În funcție de valorile constantelor A, BŞi CU Sunt posibile următoarele cazuri speciale:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- o linie dreaptă trece prin origine
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Prin + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh
. B = C = 0, A ≠0- linia dreaptă coincide cu axa Oh
. A = C = 0, B ≠0- linia dreaptă coincide cu axa Oh
Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în sub diverse formeîn funcţie de orice dat
conditiile initiale.
Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector normal.
Definiţie. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B)
perpendicular pe dreapta dată de ecuație
Ax + Wu + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct A(1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).
Soluţie. Cu A = 3 și B = -1, să compunem ecuația dreptei: 3x - y + C = 0. Pentru a găsi coeficientul C
Să substituim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată. Obținem: 3 - 2 + C = 0, prin urmare
C = -1. Total: ecuația necesară: 3x - y - 1 = 0.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.
Să fie date două puncte în spațiu M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Şi M2 (x 2, y 2, z 2), Apoi ecuația unei linii,
trecând prin aceste puncte:
Dacă vreunul dintre numitori egal cu zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero. Pe
plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:
Dacă x 1 ≠ x 2Şi x = x 1, Dacă x 1 = x 2 .
Fracţiune = k numit pantă direct.
Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).
Soluţie. Aplicând formula scrisă mai sus, obținem:
Ecuația unei drepte folosind un punct și panta.
Dacă ecuația generală a dreptei Ax + Wu + C = 0 duce la:
și desemnează 
, atunci ecuația rezultată se numește
ecuația unei drepte cu panta k.
Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector de direcție.
Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei linii drepte prin vectorul normal, puteți intra în sarcină
o dreaptă printr-un punct și un vector de direcție al unei drepte.
Definiţie. Fiecare vector diferit de zero (α 1 , α 2), ale căror componente satisfac condiția
Aα 1 + Bα 2 = 0 numit vector de direcție al unei linii drepte.
Ax + Wu + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu un vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).
Soluţie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției,
coeficienții trebuie să îndeplinească următoarele condiții:
1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.
Atunci ecuația dreptei are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0.
la x = 1, y = 2 primim C/A = -3, adică ecuația necesară:
x + y - 3 = 0
Ecuația unei drepte în segmente.
Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С≠0, atunci, împărțind la -С, obținem:
sau unde
Sensul geometric coeficienții este că coeficientul a este coordonata punctului de intersecție
drept cu axa Oh, O b- coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oh.
Exemplu. Este dată ecuația generală a unei drepte x - y + 1 = 0. Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Ecuația normală a unei linii.
Dacă ambele părți ale ecuației Ax + Wu + C = 0împărțiți la număr 
care se numeste
factor de normalizare, apoi primim
xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuația normală a unei linii.
Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ*C< 0.
r- lungimea perpendicularei coborâte de la origine la linia dreaptă,
O φ - unghiul format de aceasta perpendiculara cu directia pozitiva a axei Oh.
Exemplu. Este dată ecuația generală a dreptei 12x - 5y - 65 = 0. Necesar pentru a scrie diferite tipuri de ecuații
această linie dreaptă.
Ecuația acestei drepte în segmente:
Ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)
Ecuația unei linii:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, linii drepte,
paralel cu axele sau trecând prin origine.
Unghiul dintre liniile drepte dintr-un plan.
Definiţie. Dacă sunt date două rânduri y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, apoi unghiul ascuțit dintre aceste linii
va fi definit ca
Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două liniile drepte sunt perpendiculare,
Dacă k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
Direct Ax + Wu + C = 0Şi A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralel când coeficienții sunt proporționali
A1 = λA, B1 = λB. Dacă de asemenea С 1 = λС, apoi liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte
se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.
Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.
Definiţie. Linie care trece printr-un punct M 1 (x 1, y 1)și perpendicular pe linie y = kx + b
reprezentată prin ecuația:
Distanța de la un punct la o dreaptă.
Teorema. Dacă se acordă un punct M(x 0, y 0), apoi distanța până la linia dreaptă Ax + Wu + C = 0 definit ca:
Dovada. Lasă punctul M 1 (x 1, y 1)- baza unei perpendiculare coborâte dintr-un punct M pentru un dat
direct. Apoi distanța dintre puncte MŞi M 1:
(1)
Coordonatele x 1Şi la 1 poate fi găsită ca soluție a sistemului de ecuații:
A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece perpendicular printr-un punct dat M 0
linie dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Prin 0 + C = 0,
apoi, rezolvand, obtinem:
Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:
Teorema a fost demonstrată.
Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte
Exemple de probleme cu soluții
Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte: (-1, 2) și (2, 1).
Soluţie.
Conform Eq.
crezând în ea x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 = 1 (nu contează care punct este considerat primul și care punct este considerat al doilea), obținem
după simplificări obținem ecuația finală necesară în forma
x + 3y - 5 = 0.
Laturile triunghiului sunt date de ecuațiile: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (A.C. ) x - y + 2 = 0, (B.C. ) 3 x + 4 y -12 = 0. Aflați coordonatele vârfurilor triunghiului.
Soluţie.
Coordonatele vârfurilor O găsim prin rezolvarea unui sistem compus din ecuații ale laturilor ABŞi A.C.:
Sistem de doi ecuații liniare cu două necunoscute rezolvăm folosind metode cunoscute din algebra elementară și obținem
Vertex O are coordonate
Coordonatele vârfurilor B vom afla prin rezolvarea sistemului de ecuatii ale laturilor ABŞi B.C.:
primim.
Coordonatele vârfurilor C obţinem prin rezolvarea sistemului de ecuaţii ale laturilor B.C.Şi A.C.:
Vertex C are coordonate.
O (2, 5) paralel cu linia 3x - 4 y + 15 = 0.
Soluţie.
Să demonstrăm că, dacă două drepte sunt paralele, atunci ecuațiile lor pot fi întotdeauna reprezentate în așa fel încât să difere doar în termenii lor liberi. Într-adevăr, din condiţia paralelismului a două drepte rezultă că.
Să notăm prin t valoarea globală a acestor relaţii. Apoi
si de aici rezulta ca
O 1 = O 2 t, B 1 = B 2 t. (1)
Dacă două rânduri
O 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și
O 2 x + B 2 y + C 2 = 0
sunt paralele, condițiile (1) sunt îndeplinite și, înlocuind în prima dintre aceste ecuații O 1 și B 1 conform formulelor (1), vom avea
O 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,
sau, împărțind ambele părți ale ecuației la , obținem
Comparând ecuația rezultată cu ecuația celei de-a doua linii O 2 x + B 2 y + C 2 = 0, observăm că aceste ecuații diferă doar în termenul liber; Astfel am dovedit ceea ce este necesar. Acum să începem să rezolvăm problema. Vom scrie ecuația dreptei dorite în așa fel încât să difere de ecuația dreptei date doar prin termenul liber: vom lua primii doi termeni din ecuația dorită din această ecuație și îi vom nota termen liber de către C. Apoi, ecuația necesară va fi scrisă în formular
3x - 4y + C = 0, (3)
si de determinat C.
Dând în ecuația (3) valoarea C toate valorile reale posibile, obținem un set de drepte paralele cu cea dată. Astfel, ecuația (3) este o ecuație nu a unei linii, ci a unei întregi familii de drepte paralele cu o dreaptă dată 3 x - 4y+ 15 = 0. Din această familie de linii, ar trebui să o selectăm pe cea care trece prin punct O(2, 5).
Dacă o dreaptă trece printr-un punct, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația dreptei. Și de aceea vom stabili C, dacă în (3) înlocuim coordonatele curente xŞi y coordonatele punctului O, adică x = 2, y= 5. Obținem și C = 14.
Valoare găsită Cînlocuiți în (3), iar ecuația necesară se va scrie după cum urmează:
3x - 4y + 14 = 0.
Aceeași problemă poate fi rezolvată în alt mod. Deoarece coeficienții unghiulari ai dreptelor paralele sunt egali între ei, iar pentru o dreaptă dată 3 x - 4y+ 15 = 0 pantă, atunci și panta dreptei dorite este egală.
Acum folosim ecuația y - y 1 = k(x - x 1) o grămadă de linii drepte. Punct O(2, 5) prin care trece linia dreaptă ne este cunoscută și, prin urmare, substituind în ecuația creionului liniilor drepte y - y 1 = k(x - x 1) valori, obținem
sau după simplificări 3 x - 4y+ 14 = 0, adică la fel ca înainte.
Găsiți ecuații ale dreptelor care trec printr-un punctO (3, 4) la un unghi de 60 de grade față de linia dreaptă 2x + 3 y + 6 = 0.
Soluţie.
Pentru a rezolva problema, trebuie să determinăm coeficienții unghiulari ai liniilor I și II (vezi figura). Să notăm aceşti coeficienţi respectiv cu k 1 și k 2, iar coeficientul unghiular al acestei linii este prin k. Este evident că.
Pe baza definirii unghiului dintre doua drepte, la determinarea unghiului dintre o linie data si o dreapta, I urmeaza in numaratorul fractiei din formula
scădeți panta acestei linii, deoarece trebuie rotită în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului C până când coincide cu linia dreaptă I.
Având în vedere asta, obținem
Când se determină unghiul dintre linia II și o dreaptă dată, ar trebui să se scadă coeficientul unghiular al liniei II din numărătorul aceleiași fracții, adică k 2, deoarece linia II ar trebui rotită în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului B până când coincide cu această linie:
Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punctO (5, -1) perpendicular pe dreapta 3x - 7 y + 14 = 0.
Soluţie.
Dacă două rânduri
O 1 x + B 1 y + C 1 = 0, O 2 x + B 2 y + C 2 = 0
sunt perpendiculare, apoi egalitatea
O 1 O 2 + B 1 B 2 = 0,
sau, ce este la fel,
O 1 O 2 = -B 1 B 2 ,
si de aici rezulta ca
Notăm sensul general al acestor expresii prin t.
Apoi rezultă că
O 2 = B 1 t, B 2 = -O 1 t.
Înlocuind aceste valori O 2 și B 2 și ecuația celei de-a doua linii, obținem
B 1 tx - O 1 ty + C 2 = 0.
sau, împărțind cu t ambele părți ale egalității, vom avea
Comparând ecuația rezultată cu ecuația primei drepte
O 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
observăm că coeficienții lor la xŞi y au schimbat locurile, iar semnul dintre primul și al doilea termen s-a schimbat în opus, dar termenii liberi sunt diferiți.
Să începem acum să rezolvăm problema. Dorind să scrieți ecuația unei drepte perpendiculare pe dreapta 3 x - 7y+ 14 = 0, pe baza concluziei făcute mai sus, vom proceda astfel: vom schimba coeficienții pentru xŞi y, și înlocuiți semnul minus dintre ele cu un semn plus și notați termenul liber cu litera C. Primim 7 x + 3y + C= 0. Această ecuație este ecuația unei familii de drepte perpendiculare pe dreapta 3 x - 7y+ 14 = 0. Definiți C din condiţia ca linia dorită să treacă prin punct O(5, -1). Se știe că dacă o dreaptă trece printr-un punct, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația dreptei. Înlocuind 5 în ultima ecuație în loc de xși -1 în schimb y, primim
Acesta este sensul CÎnlocuiți în ultima ecuație și obțineți
7x + 3y - 32 = 0.
Să rezolvăm aceeași problemă într-un mod diferit, folosind pentru aceasta ecuația unui creion de linii drepte
y - y 1 = k(x - x 1).
Panta acestei drepte este 3 x - 7y + 14 = 0
apoi coeficientul unghiular al dreptei perpendiculare pe aceasta,
Înlocuind în ecuația unui creion de linii drepte și în schimb x 1 și y 1 coordonatele acestui punct O(5, -1), găsiți sau 3 y + 3 = -7x+ 35 și în sfârșit 7 x + 3y- 32 = 0, adică la fel ca înainte.
Ecuații curbe în cantitati mariîntâlni citind literatura economică Să indicăm câteva dintre aceste curbe.
Curba de indiferență - o curbă care arată combinații diferite de două produse care au aceeași valoare, sau utilitate, pentru consumator.
Curba bugetului de consum - o curbă care arată diferitele combinații de cantități a două bunuri pe care un consumator le poate cumpăra la un anumit nivel al venitului său monetar.
Curba posibilităților de producție - o curbă care arată combinațiile diferite de două bunuri sau servicii care pot fi produse în condiții de ocupare a forței de muncă deplină și producție deplină într-o economie cu oferte constante de resurse și tehnologie constantă.
Curba cererii de investiții - o curbă care arată dinamica ratei dobânzii și volumul investițiilor la diferite rate ale dobânzii.
curba Phillips- o curbă care arată existența unei relații stabile între rata șomajului și rata inflației.
Curba Laffer- o curbă care arată relația dintre ratele de impozitare și veniturile fiscale, identificând o cotă de impozitare la care venituri fiscale atinge maximul lor.
Deja o simplă listă de termeni arată cât de important este pentru economiști să fie capabili să construiască grafice și să analizeze ecuații ale curbelor, care sunt linii drepte și curbe de ordinul doi - cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă. În plus, la rezolvarea unei clase mari de probleme, este necesar să se selecteze o regiune din plan mărginită de niște curbe ale căror ecuații sunt date Cel mai adesea, aceste probleme sunt formulate astfel: găsiți cel mai bun plan producție cu resurse date. Alocarea resurselor ia de obicei forma unor inegalități, ale căror ecuații sunt date. Prin urmare, trebuie să căutăm cel mai mare sau cea mai mică valoare, luată de o funcție din aria specificată de ecuațiile sistemului de inegalități.
ÎN geometrie analiticălinie pe un avion este definită ca mulțimea de puncte ale căror coordonate satisfac ecuația F(x,y)=0. În acest caz, trebuie impuse restricții asupra funcției F astfel încât, pe de o parte, această ecuație să aibă o mulțime infinită de soluții și, pe de altă parte, pentru ca această mulțime de soluții să nu umple o „piesă a planului”. .” Clasa importanta liniile sunt acelea pentru care functia F(x,y) este un polinom in doua variabile, in acest caz linia definita de ecuatia F(x,y)=0 se numeste algebric. Liniile algebrice definite de o ecuație de gradul I sunt drepte. O ecuație de gradul doi, care are un număr infinit de soluții, definește o elipsă, o hiperbolă, o parabolă sau o linie care se împarte în două drepte.
Fie specificat un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan. O linie dreaptă pe un plan poate fi specificată prin una dintre ecuațiile:
1 0 . Ecuația generală a unei drepte
Ax + By + C = 0. (2.1)
Vector n(A,B) este ortogonală cu linia, numerele A și B nu sunt egale cu zero în același timp.
2 0 . Ecuația unei drepte cu panta
y - y o = k (x - x o), (2.2)
unde k este panta dreptei, adică k = tg a , unde a - mărimea unghiului format de dreapta cu axa Ox, M (x o, y o) - un punct aparținând dreptei.
Ecuația (2.2) ia forma y = kx + b dacă M (0, b) este punctul de intersecție al dreptei cu axa Oy.
3 0 . Ecuația unei drepte în segmente
x/a + y/b = 1, (2.3)
unde a și b sunt valorile segmentelor tăiate de linia dreaptă pe axele de coordonate.
4 0 . Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date este A(x 1, y 1) și B(x 2, y 2):
. (2.4)
5 0 . Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(x 1, y 1) paralel cu un vector dat o(m, n)
. (2.5)
6 0 . Ecuația normală a unei linii
rn o - p = 0, (2,6)
Unde r- raza unui punct arbitrar M(x, y) al acestei drepte, n o este un vector unitar ortogonal pe această linie și direcționat de la origine la linie; p este distanța de la origine la linia dreaptă.
Normalul sub formă de coordonate are forma:
x cos a + y sin a - p = 0,
unde a - mărimea unghiului format de linia dreaptă cu axa Ox.
Ecuația unui creion de linii cu centru în punctul A(x 1, y 1) are forma:
y-y 1 = l (x-x 1),
unde l - parametrul fasciculului. Dacă fasciculul este definit de două drepte care se intersectează A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, atunci ecuația sa are forma:
l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,
unde l și m - parametrii fasciculului care nu se întorc la 0 în același timp.
Unghiul dintre liniile y = kx + b și y = k 1 x + b 1 este dat de formula:
tg j = .
Este necesară egalitatea 1 + k 1 k = 0 și condiție suficientă perpendicularitatea liniilor.
Pentru cele două ecuații
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)
având în vedere aceeași linie dreaptă, este necesar și suficient ca coeficienții lor să fie proporționali:
A 1 /A 2 = B 1 /B 2 = C 1 /C 2.
Ecuațiile (2.7), (2.8) definesc două drepte paralele diferite dacă A 1 /A 2 = B 1 /B 2 și B 1 /B 2¹ C1/C2; liniile se intersectează dacă A 1 /A 2¹B1/B2.
Distanța d de la punctul M o (x o, y o) la linie dreaptă este lungimea perpendicularei trasate de la punctul M o la dreapta. Dacă este dată linia dreaptă ecuația normală, apoi d =ê r O n o - r ê , Unde r o - vector rază al punctului M o sau, sub formă de coordonate, d =ê x o cos a + y o sin a - р ê .
Ecuația generală a unei curbe de ordinul doi are forma
a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.
Se presupune că printre coeficienții ecuației a 11, a 12, a 22 există unii nenuli.
Ecuația unui cerc cu centrul în punctul C(a, b) și raza egală cu R:
(x - a) 2 + (y - b) 2 = R2. (2,9)
Elipsăeste locul geometric al punctelor a căror sumă a distanțelor de la două puncte date F 1 și F 2 (focare) este o valoare constantă egală cu 2a.
Ecuația canonică (cea mai simplă) a unei elipse
x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)
Elipsa dată de ecuația (2.10) este simetrică față de axele de coordonate. Opțiuni oŞi b sunt numite arbori de osie elipsă.
Fie a>b, atunci focarele F 1 și F 2 sunt pe axa Ox la distanță
c= de la origine. Raportul c/a = e < 1 называется excentricitate elipsă. Distanțele de la punctul M(x, y) al elipsei până la focarele acesteia (vectori cu rază focală) sunt determinate de formulele:
r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.
Dacă a< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= ,
e = c/b,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x.
Dacă a = b, atunci elipsa este un cerc centrat la originea razei o.
Hiperbolăeste locul punctelor a căror diferență de distanță față de două puncte date F 1 și F 2 (focale) este egală cu valoare absolută dat numărul 2a.
Ecuația canonică a hiperbolei
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)
Hiperbolă, dat de ecuaţie(2.11), este simetrică față de axele de coordonate. Intersectează axa Ox în punctele A (a,0) și A (-a,0) - vârfurile hiperbolei și nu intersectează axa Oy. Parametru o numit semiaxă reală, b -semiaxă imaginară. Parametrul c= este distanța de la focar la origine. Raportul c/a = e >1 este numit excentricitate hiperbolă. Drepte ale căror ecuații sunt y =± b/a x sunt numite asimptote hiperbolă. Distanțele de la punctul M(x,y) al hiperbolei până la focarele sale (vectori cu rază focală) sunt determinate de formulele:
r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .
O hiperbolă pentru care se numește a = b echilateral, ecuația sa x 2 - y 2 = a 2 și ecuația asimptotelor y =±
x. Hiperbole x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 și
se numesc y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 conjugat.
Parabolăeste locul punctelor la fel de îndepărtate de un punct dat (focalizare) și de o linie dată (directrice).
Ecuația canonică a unei parabole are două forme:
1) y 2 = 2рx - parabola este simetrică față de axa Ox.
2) x 2 = 2рy - parabola este simetrică față de axa Oy.
În ambele cazuri, p>0 și vârful parabolei, adică punctul situat pe axa de simetrie, este situat la origine.
O parabolă a cărei ecuație y 2 = 2рx are un focar F(р/2,0) și o directrice x = - р/2, vectorul rază focală a punctului M(x,y) de pe ea este r = x+ р/ 2.
O parabolă a cărei ecuație x 2 =2рy are focarul F(0, р/2) și directricea y = - р/2; vectorul rază focală a punctului M(x,y) al parabolei este egal cu r = y + p/2.
Ecuația F(x, y) = 0 definește o dreaptă care împarte planul în două sau mai multe părți. În unele dintre aceste părți inegalitatea F(x, y) este valabilă<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Cu alte cuvinte, linia
F(x, y)=0 separă partea planului, unde F(x, y)>0, de partea planului, unde F(x, y)<0.
O dreaptă a cărei ecuație este Ax+By+C = 0 împarte planul în două semiplane. În practică, pentru a afla în ce semiplan avem Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, se utilizează metoda punctului de control. Pentru a face acest lucru, luați un punct de control (desigur, nu situat pe o dreaptă a cărei ecuație este Ax+By+C = 0) și verificați ce semn are expresia Ax+By+C în acest punct. Același semn are expresia indicată pe întregul semiplan în care se află punctul de control. În al doilea semiplan, Ax+By+C are semnul opus.
Inegalitățile neliniare cu două necunoscute sunt rezolvate în același mod.
De exemplu, să rezolvăm inegalitatea x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Poate fi rescrisă ca (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.
Ecuația (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 definește un cerc cu un centru în punctul C(2,-3) și o rază de 5. Cercul împarte planul în două părți - internă și externă. Pentru a afla care dintre ele este valabilă această inegalitate, luați un punct de control în regiunea interioară, de exemplu, centrul C(2,-3) al cercului nostru. Înlocuind coordonatele punctului C în partea stângă a inegalității, obținem număr negativ-25. Aceasta înseamnă că în toate punctele aflate în interiorul cercului inegalitatea
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.
Exemplul 1.5.Scrieți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul A(3,1) și înclinate pe dreapta 2x+3y-1 = 0 la un unghi de 45 o.
Soluţie.Vom căuta sub forma y=kx+b. Deoarece linia trece prin punctul A, coordonatele ei satisfac ecuația dreptei, adică. 1=3k+b,Þ
b=1-3k. Dimensiunea unghiului dintre liniile drepte
y= k 1 x+b 1 şi y= kx+b se determină prin formula tg j = . Deoarece coeficientul unghiular k 1 al dreptei inițiale 2x+3y-1=0 este egal cu - 2/3, iar unghiul j = 45 o, atunci avem o ecuație pentru determinarea k:
(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 sau (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.
Avem două valori ale lui k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Găsind valorile corespunzătoare ale lui b folosind formula b=1-3k, obținem cele două drepte dorite, ale căror ecuații sunt: x - 5y + 2 = 0 și
5x + y - 16 = 0.
Exemplul 1.6. La ce valoare a parametrului t sunt paralele dreptele ale căror ecuații 3tx-8y+1 = 0 și (1+t)x-2ty = 0?
Soluţie.Direct, specificat ecuații generale, sunt paralele dacă coeficienții la xŞi y sunt proporționale, adică 3t/(1+t) = -8/(-2t). Rezolvând ecuația rezultată, găsim t: t 1 = 2, t 2 = -2/3.
Exemplul 1.7. Găsiți ecuația coardei comune a două cercuri:
x 2 +y 2 =10 și x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.
Soluţie.Să găsim punctele de intersecție ale cercurilor pentru a face acest lucru, rezolvăm sistemul de ecuații:
.
Rezolvând prima ecuație, găsim valorile x 1 = 3, x 2 = 1. Din a doua ecuație - valorile corespunzătoare y: y 1 = 1, y 2 = 3. Acum obținem ecuația coardei generale, cunoscând două puncte A(3,1) și B(1,3) aparținând acestei drepte: (y-1)/(3). -1) = (x-3)/(1-3), sau y+ x - 4 = 0.
Exemplul 1.8. Cum sunt situate punctele pe planul ale căror coordonate îndeplinesc condițiile (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?
Soluţie.Prima inegalitate a sistemului determină interiorul cercului, fără a include granița, adică. cerc cu centrul în punctul (3,3) și raza . A doua inegalitate definește un semiplan definit de o dreaptă a cărei ecuație este x = y și, deoarece inegalitatea este strictă, punctele dreptei în sine nu aparțin semiplanului și toate punctele de sub această dreaptă aparțin lui semiplanul. Deoarece căutăm puncte care să satisfacă ambele inegalități, aria pe care o căutăm este interiorul semicercului.
Exemplul 1.9.Calculați lungimea laturii unui pătrat înscris într-o elipsă a cărui ecuație este x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.
Soluţie.Lasă M(s, s)- vârful pătratului situat în primul sfert. Atunci latura pătratului va fi egală cu 2 Cu. Deoarece punct M aparține elipsei, coordonatele acesteia satisfac ecuația elipsei c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, de unde
c = ab/ ; Aceasta înseamnă că latura pătratului este 2ab/.
Exemplul 1.10.Cunoscând ecuația asimptotelor hiperbolei y =± 0,5 x și unul dintre punctele sale M(12, 3), compun ecuația hiperbolei.
Soluţie.Să-l notăm ecuație canonică hiperbole: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Asimptotele hiperbolei sunt date de ecuațiile y =± 0,5 x, ceea ce înseamnă b/a = 1/2, de unde a=2b. Deoarece M este un punct de hiperbolă, atunci coordonatele sale satisfac ecuația hiperbolei, adică. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Considerând că a = 2b, găsim b: b 2 =9Þ b=3 și a=6. Atunci ecuația hiperbolei este x 2 /36 - y 2 /9 = 1.
Exemplul 1.11.Calculați lungimea laturii unui triunghi regulat ABC înscris într-o parabolă cu parametrul r, presupunând că punctul A coincide cu vârful parabolei.
Soluţie.Ecuația canonică a unei parabole cu parametru r are forma y 2 = 2рx, vârful său coincide cu originea, iar parabola este simetrică față de axa absciselor. Deoarece linia dreaptă AB formează un unghi de 30 o cu axa Ox, ecuația dreptei are forma: y = x. un număr mare de diagrame
Prin urmare, putem găsi coordonatele punctului B rezolvând sistemul de ecuații y 2 = 2рx, y = x, din care x = 6р, y = 2р. Aceasta înseamnă că distanța dintre punctele A(0,0) și B(6р,2р) este egală cu 4р.