Cinematica corpului rigid
Spre deosebire de cinematica unui punct, cinematica corpurilor rigide rezolvă două probleme principale:
Specificarea mișcării și determinarea caracteristicilor cinematice ale corpului în ansamblu;
Determinarea caracteristicilor cinematice ale punctelor corpului.
Metodele pentru specificarea și determinarea caracteristicilor cinematice depind de tipurile de mișcare a corpului.
Acest manual discută trei tipuri de mișcare: translație, rotație în jurul unei axe fixe și mișcare plan-paralelă a unui corp rigid
Mișcarea de translație a unui corp rigid
Translația este o mișcare în care o linie dreaptă trasată prin două puncte ale corpului rămâne paralelă cu poziția inițială (Fig. 2.8).
Teorema a fost demonstrată: în timpul mișcării de translație, toate punctele corpului se mișcă pe aceleași traiectorii și în fiecare moment de timp au aceeași magnitudine și direcție de viteză și accelerație (Fig. 2.8).
Concluzie: Mișcarea de translație a unui corp rigid este determinată de mișcarea oricăruia dintre punctele sale și, prin urmare, sarcina și studiul mișcării sale sunt reduse la cinematica punctului.
Orez. 2.8 Fig. 2.9
Mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.
Mișcarea de rotație în jurul unei axe fixe este mișcarea unui corp rigid în care două puncte aparținând corpului rămân nemișcate pe toată durata mișcării.
Poziția corpului este determinată de unghiul de rotație (Fig. 2.9). Unitatea de măsură pentru unghi este radianul. (Un radian este unghiul central al unui cerc a cărui lungime a arcului este egală cu raza; unghiul complet al cercului conține 2 radiani.)
Legea mișcării de rotație a unui corp în jurul unei axe fixe = (t). Determinăm viteza unghiulară și accelerația unghiulară a corpului prin metoda diferențierii
Viteza unghiulara, rad/s; (2,10)
Accelerație unghiulară, rad/s 2 (2,11)
Când un corp se rotește în jurul unei axe fixe, punctele sale care nu se află pe axa de rotație se deplasează în cercuri cu centrul pe axa de rotație.
Dacă disecați corpul cu un plan perpendicular pe axă, selectați un punct pe axa de rotație CUși un punct arbitrar M, apoi punct M va descrie în jurul unui punct CU raza cercului R(Fig. 2.9). Pe parcursul timpului dt o rotație elementară are loc printr-un unghi, iar punctul M se va deplasa de-a lungul traiectoriei pe o distanță Să determinăm modulul de viteză liniară:
Accelerație punctuală M cu o traiectorie cunoscută, este determinată de componentele sale, vezi (2.8)
Înlocuind expresia (2.12) în formulele obținem:
unde: - accelerația tangențială,
Accelerație normală.
Plan - mișcare paralelă a unui corp rigid
Mișcarea plan-paralelă este mișcarea unui corp rigid în care toate punctele sale se mișcă în planuri paralele cu un plan fix (Fig. 2.10). Pentru a studia mișcarea unui corp, este suficient să studiezi mișcarea unei secțiuni S a acestui corp printr-un plan paralel cu planul fix. Mișcarea secțiunii Sîn planul său poate fi considerat ca fiind complex, format din două mişcări elementare: a) de translaţie şi de rotaţie; b) de rotație față de centrul în mișcare (instantaneu).
În prima versiune mișcarea secțiunii poate fi specificată prin ecuațiile de mișcare a unuia dintre punctele (poli) sale și rotația secțiunii în jurul polului (Fig. 2.11). Orice punct de secțiune poate fi luat drept stâlp.
Orez. 2.10 Fig. 2.11
Ecuațiile mișcării se vor scrie sub forma:
X A = X O (t)
Y O =Y O (t) (2.14)
O = O (t)
Caracteristicile cinematice ale polului sunt determinate din ecuațiile mișcării acestuia.
Viteza oricărui punct al unei figuri plate care se mișcă în planul său este compusă din viteza polului (aleasă în mod arbitrar în secțiunea punctului O) și viteza de rotație în jurul polului (rotația punctului ÎNîn jurul punctului O).
Accelerația unui punct al unei figuri plate în mișcare constă în accelerația polului față de un cadru de referință fix și accelerația datorată mișcării de rotație în jurul polului.
În a doua variantă mișcarea secțiunii este considerată rotațională în jurul unui centru în mișcare (instantaneu). P(Fig. 1.12). În acest caz, viteza oricărui punct B al secțiunii va fi determinată de formula pentru mișcarea de rotație
Viteza unghiulară în jurul centrului instantaneu R poate fi determinată dacă viteza oricărui punct de secțiune, de exemplu punctul A, este cunoscută.
Fig.2.12
Poziția centrului instantaneu de rotație poate fi determinată pe baza următoarelor proprietăți:
Vectorul viteză al punctului este perpendicular pe rază;
Viteza absolută a unui punct este proporțională cu distanța de la punct la centrul de rotație ( V= R) ;
Viteza în centrul de rotație este zero.
Să luăm în considerare câteva cazuri de determinare a poziției centrului instantaneu.
1. Se cunosc direcțiile vitezelor a două puncte ale unei figuri plane (Fig. 2.13). Să desenăm linii de rază. Centrul instantaneu de rotație P este situat la intersecția perpendicularelor trasate pe vectorii viteză.
2. Sunt cunoscute vitezele punctelor A și B, iar vectorii și sunt paraleli între ei, iar linia AB perpendicular (Fig. 2. 14). În acest caz, centrul de rotație instantaneu se află pe linie AB. Pentru a-l găsi, trasăm o linie de proporționalitate a vitezelor pe baza dependenței V= R.
3. Un corp se rostogolește fără alunecare pe suprafața staționară a altui corp (Fig. 2.15). Punctul de contact al corpurilor în acest moment are viteză zero, în timp ce vitezele altor puncte ale corpului nu sunt zero. Punctul tangent P va fi centrul instantaneu de rotație.
Orez. 2.13 Fig. 2.14 Fig. 2.15
Pe lângă opțiunile luate în considerare, viteza unui punct de secțiune poate fi determinată pe baza teoremei privind proiecțiile vitezelor a două puncte ale unui corp rigid.
Teorema: proiecțiile vitezelor a două puncte ale unui corp rigid pe o linie dreaptă trasată prin aceste puncte sunt egale între ele și direcționate în mod egal.
Dovada: distanta AB nu se poate schimba, prin urmare
VȘi pentru că nu poate fi mai mult sau mai puțin VÎn cos (Fig. 2.16).
Orez. 2.16
Ieșire: V O cos = V ÎN cos. (2,19)
Mișcare complexă a punctului
În paragrafele precedente am luat în considerare mișcarea unui punct în raport cu un cadru de referință fix, așa-numita mișcare absolută. În practică, există probleme în care este cunoscută mișcarea unui punct în raport cu un sistem de coordonate, care se mișcă în raport cu un sistem fix. În acest caz, este necesar să se determine caracteristicile cinematice ale punctului în raport cu sistemul staționar.
Se numește în mod obișnuit: mișcarea unui punct în raport cu un sistem în mișcare - relativ, mișcarea unui punct împreună cu un sistem în mișcare - portabil, mișcarea unui punct în raport cu un sistem staționar - absolut. Vitezele și accelerațiile sunt numite în consecință:
Relativ - figurativ; -absolut.
Conform teoremei privind adunarea vitezelor, viteza absolută a unui punct este egală cu suma vectorială a vitezelor relative și portabile (Fig.).
Valoarea absolută a vitezei este determinată de teorema cosinusului
Fig.2.17
Se determină accelerația conform regulii paralelogramului numai cu mişcare de translaţie
Cu mișcarea de translație netranslațională, apare o a treia componentă a accelerației, numită rotațional sau Coriolis.
Accelerația Coriolis este numeric egală cu
unde este unghiul dintre vectori și
Direcția vectorului de accelerație Coriolis este determinată în mod convenabil de regula lui N.E. Jukovski: proiectați vectorul pe un plan perpendicular pe axa de rotație portabilă, rotiți proiecția cu 90 de grade în direcția de rotație portabilă. Direcția rezultată va corespunde cu direcția accelerației Coriolis.
Întrebări pentru autocontrol pe secțiune
1. Care sunt principalele sarcini ale cinematicii? Numiți caracteristicile cinematice.
2. Numiți metodele de precizare a mișcării unui punct și de determinare a caracteristicilor cinematice.
3. Dați definiția mișcării de translație, rotație în jurul unei axe fixe, plan-paralel a unui corp.
4. Cum este determinată mișcarea unui corp rigid în timpul translației, rotației în jurul unei axe fixe și mișcării plan-paralele a corpului și cum se determină viteza și accelerația unui punct în timpul acestor mișcări ale corpului?
Aceasta este o mișcare în care toate punctele corpului se mișcă în cercuri, ale căror centre se află pe axa de rotație.
Poziția corpului este specificată de unghiul diedric (unghiul de rotație).
= (t) - ecuația mișcării.
Caracteristicile cinematice ale corpului:
- viteza unghiulara, s -1;
- accelerația unghiulară, s -2.
Mărimile și pot fi reprezentate ca vectori 
, situat pe axa de rotație, direcția vectorului 
astfel încât de la capătul său se vede că rotația corpului are loc în sens invers acelor de ceasornic. Direcţie 
coincide cu 
, Dacă 
> oh.
P 
poziţie puncte ale corpului: M 0 M 1 = S = h.
Viteză puncte 
; în același timp 
.
unde 
;
;
.
Accelerare puncte ale corpului, 
- accelerația de rotație (în cinematica unui punct - tangentă - 
):
- accelerație punct la punct (în cinematica punctului - normal - 
).
Module: 
;
;
.
Rotire uniformă și uniformă
1. Uniformă: = const, 
;
;
- ecuația mișcării.
2. La fel de variabil: = const, 
;
;
;
;
- ecuația mișcării.
2
). Acționarea mecanică este formată din scripete 1, cureaua 2 și roțile trepte 3 și 4. Aflați viteza cremalierei 5, precum și accelerația punctului M la momentul t 1 = 1s. Dacă viteza unghiulară a scripetelui este 1 = 0,2t, s -1; R1 = 15; R3 = 40; r3 = 5; R4 = 20; r 4 = 8 (în centimetri).
Viteza rack
;
;
;
.
Unde 
;
;
, s -1 .
Din (1) și (2) obținem, vezi.
Accelerația punctului M.
, s -2 la t 1 = 1 s; a = 34,84 cm/s 2 .
3.3 Mișcarea plan-paralelă (plană) a unui corp rigid
E 
acea mișcare în care toate punctele corpului se mișcă în planuri paralele cu un plan fix.
Toate punctele corpului de pe orice linie dreaptă perpendiculară pe un plan fix se mișcă în mod egal. Prin urmare, analiza mișcării plane a unui corp se reduce la studiul mișcării unei figuri plane (secțiunea S) în planul său (xy).
Această mișcare poate fi reprezentată ca un set de mișcări de translație împreună cu unele arbitrar punctul selectat a, numit pol, și mișcarea de rotație în jurul polului.
Ecuații de mișcare figură plată
x a = x a (t); y a = y a; j = j(t)
Caracteristici cinematice ki al unei figuri plate:
- viteza si acceleratia stalpului; w, e - viteza unghiulară și accelerația unghiulară (nu depind de alegerea polului).
U 
alinierea mișcării oricărui punct figura plană (B) poate fi obținută prin proiectarea egalității vectoriale 
pe axele x și y
x 1 B , y 1 B - coordonatele punctului din sistemul de coordonate asociat figurii.
Determinarea vitezelor punctuale
1). Metoda analitica.
Cunoscând ecuațiile mișcării x n = x n (t); y n = y n (t), găsim 
;
;
.
2). Teorema distribuției vitezei.
D 
diferențierea egalității 
, primim 
,
- viteza punctului B la rotirea unei figuri plane în jurul polului A; 
;
Formula pentru distribuția vitezelor punctelor unei figuri plane 
.
CU 
viteza punctului M al unei roți care rulează fără alunecare
;
.
3). Teorema proiecției vitezei.
Proiecțiile vitezelor a două puncte ale corpului pe axa care trece prin aceste puncte sunt egale. Proiectarea egalității 
pe axa x, avem
P 
exemplu
Determinați viteza curgerii apei v N pe cârma navei, dacă este cunoscută 
(viteza centrului de greutate al navei), b și b K (unghiuri de derivă).
Soluție: .
4). Centru de viteză instantanee (IVC).
Vitezele punctelor în timpul mișcării plane a unui corp pot fi determinate din formulele mișcării de rotație, folosind conceptul de MCS.
MCS este un punct asociat cu o figură plată, a cărei viteză la un moment dat este zero (v p = 0).
În general, MCS este punctul de intersecție al perpendicularelor pe direcțiile vitezei a două puncte ale figurii.
Luând punctul P ca pol, avem un punct arbitrar
, Atunci 
Unde 
- viteza unghiulara a figurii si 
,aceste. vitezele punctelor unei figuri plate sunt proporționale cu distanțele lor față de MCS.
|
Posibile cazuri de găsire a MCS |
|||
|
Se rostogolește fără să alunece |
|||
|
|
|
|
|
|
|
MCS - la infinit | ||
Cazul b corespunde unei distribuții instantanee a vitezei de translație.
1
). Pentru o poziție dată a mecanismului, găsițiv B, v C, v D, w 1, w 2, w 3, dacă în momentul de față v A = 20 cm/s; BC = CD = 40 cm; OC = 25 cm; R = 20 cm.
Rezolvarea MCS al rolei 1 - punctul P 1:
s-1; 
cm/s.
MCS al legăturii 2 - punctul P 2 al intersecției perpendicularelor pe direcțiile de viteză ale punctelor B și C:
s-1; 
cm/s; 
cm/s; 
s -1 .
2). Sarcina Q este ridicată cu ajutorul unui tambur în trepte 1, a cărui viteză unghiulară este w 1 = 1 s -1 ; R1 = 3r1 = 15 cm; AE || B.D. Aflați viteza v C a axei blocului în mișcare 2.
Aflați vitezele punctelor A și B:
v A = v E = w 1* R 1 = 15 cm/s; v B = v D = w 1* r 1 = 5 cm/s.
MCS blocului 2 - punctul P. Apoi 
, unde 
;
;
cm/s.
Rotirea unui corp rigid în jurul unei axe fixe este o astfel de mișcare în care două puncte ale corpului rămân nemișcate pe toată durata mișcării. În acest caz, toate punctele corpului situate pe o linie dreaptă care trece prin punctele sale fixe rămân, de asemenea, nemișcate. Această linie se numește axa de rotație a corpului .
Fie punctele A și B staționare. Să direcționăm axa de-a lungul axei de rotație. Prin axa de rotație desenăm un plan staționar și unul mobil, atașat unui corp rotativ (la ).
Poziția planului și a corpului însuși este determinată de unghiul diedric dintre planuri și. Să o notăm. Unghiul este numit unghiul de rotație al corpului .
Poziția corpului în raport cu sistemul de referință ales este determinată în mod unic în orice moment dacă este dată ecuația, unde este orice funcție de timp diferențiabilă de două ori. Această ecuație se numește ecuația de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe .
Un corp care se rotește în jurul unei axe fixe are un grad de libertate, deoarece poziția sa este determinată prin specificarea unui singur parametru - unghi.
Un unghi este considerat pozitiv dacă este așezat în sens invers acelor de ceasornic și negativ în direcția opusă. Traiectoriile punctelor unui corp în timpul rotației sale în jurul unei axe fixe sunt cercuri situate în planuri perpendiculare pe axa de rotație.
Pentru a caracteriza mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe, introducem conceptele de viteză unghiulară și accelerație unghiulară.
Viteza unghiulară algebrică a unui corp în orice moment în timp se numește prima derivată în raport cu timpul a unghiului de rotație în acest moment, adică.
Viteza unghiulară este pozitivă când corpul se rotește în sens invers acelor de ceasornic, deoarece unghiul de rotație crește cu timpul, și negativă când corpul se rotește în sensul acelor de ceasornic, deoarece unghiul de rotație scade.
Dimensiunea vitezei unghiulare prin definiție:
În inginerie, viteza unghiulară este viteza de rotație exprimată în rotații pe minut. Într-un minut, corpul se va roti printr-un unghi , unde n este numărul de rotații pe minut. Împărțind acest unghi la numărul de secunde dintr-un minut, obținem
Accelerația unghiulară algebrică a corpului se numește prima derivată în raport cu timpul vitezei unghiulare, adică a doua derivată a unghiului de rotație, adică.
Dimensiunea accelerației unghiulare prin definiție:
Să introducem conceptele de vectori de viteză unghiulară și accelerație unghiulară a unui corp.
Și , unde este vectorul unitar al axei de rotație. Vectori și pot fi reprezentați în orice punct de pe axa de rotație sunt vectori de alunecare.
Viteza unghiulară algebrică este proiecția vectorului viteză unghiulară pe axa de rotație. Accelerația unghiulară algebrică este proiecția vectorului de accelerație unghiulară al vitezei pe axa de rotație.
Dacă la , atunci viteza unghiulară algebrică crește cu timpul și, prin urmare, corpul se rotește accelerat în momentul de față în sens pozitiv. Direcțiile vectorilor și coincid, ambele sunt direcționate în direcția pozitivă a axei de rotație.
Când și corpul se rotește rapid în direcția negativă. Direcțiile vectorilor și coincid, ambele sunt îndreptate spre partea negativă a axei de rotație.
Rotațional ei numesc o astfel de mișcare în care două puncte asociate corpului, prin urmare, linia dreaptă care trece prin aceste puncte, rămân nemișcate în timpul mișcării (Fig. 2.16). Linie dreaptă fixă A B numit axa de rotatie.
Orez. 2,1 V. Spre definirea mișcării de rotație a unui corp
Poziția corpului în timpul mișcării de rotație determină unghiul de rotație φ, rad (vezi Fig. 2.16). La mișcare, unghiul de rotație se modifică în timp, adică. legea mișcării de rotație a unui corp este definită ca legea schimbării în timp a valorii unghiului diedric Ф = Ф(/) între un semiplan fix SĂ (), trecând prin axa de rotație și mobilă n 1 un semiplan legat de corp și care trece tot prin axa de rotație.
Traiectoriile tuturor punctelor corpului în timpul mișcării de rotație sunt cercuri concentrice situate în planuri paralele cu centre pe axa de rotație.
Caracteristicile cinematice ale mișcării de rotație a corpului. În același mod în care au fost introduse caracteristicile cinematice pentru un punct, se introduce un concept cinematic care caracterizează viteza de schimbare a funcției φ(c), care determină poziția corpului în timpul mișcării de rotație, adică. viteza unghiulara co = f = s/f/s//, dimensiunea vitezei unghiulare [co] = rad /Cu.
În calculele tehnice, se folosește adesea expresia vitezei unghiulare cu o dimensiune diferită - în ceea ce privește numărul de rotații pe minut: [i] = rpm și relația dintre n iar co poate fi reprezentat ca: co = 27w/60 = 7w/30.
În general, viteza unghiulară variază în timp. Măsura vitezei de modificare a vitezei unghiulare este accelerația unghiulară e = c/co/c//= co = f, dimensiunea accelerației unghiulare [e] = rad/s 2 .
Caracteristicile cinematice unghiulare introduse sunt complet determinate prin specificarea unei funcții - unghiul de rotație în funcție de timp.
Caracteristicile cinematice ale punctelor corpului în timpul mișcării de rotație. Luați în considerare ideea M corp situat la distanta p de axa de rotatie. Acest punct se deplasează de-a lungul unui cerc cu raza p (Fig. 2.17).
Orez. 2.17.
puncte ale corpului în timpul rotației sale
Lungimea arcului M Q M cerc cu raza p este definit ca s= ptp, unde f este unghiul de rotație, rad. Dacă legea mișcării unui corp este dată ca φ = φ(g), atunci legea mișcării unui punct M de-a lungul traiectoriei este determinată de formula S= рф(7).
Folosind expresiile caracteristicilor cinematice cu metoda naturală de precizare a mișcării unui punct, obținem caracteristici cinematice pentru punctele unui corp în rotație: viteza după formula (2.6)
V= 5 = rf = rso; (2,22)
accelerație tangențială conform expresiei (2.12)
i t = K = sor = er; (2,23)
accelerație normală conform formulei (2.13)
a„ =Și 2 /р = с 2 р 2 /р = ogr; (2,24)
accelerația totală folosind expresia (2.15)
O = -]O + a] = px/e 2 + co 4. (2,25)
Caracteristica direcției de accelerație totală se consideră p - unghiul de abatere al vectorului de accelerație totală față de raza cercului descris de punctul (Fig. 2.18).
Din fig. 2.18 obținem
tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)
Orez. 2.18.
Rețineți că toate caracteristicile cinematice ale punctelor unui corp în rotație sunt proporționale cu distanța față de axa de rotație. Ve-
Identitățile lor sunt determinate prin derivatele aceleiași funcție - unghiul de rotație.
Expresii vectoriale pentru caracteristicile cinematice unghiulare și liniare. Pentru o descriere analitică a caracteristicilor cinematice unghiulare ale unui corp în rotație, împreună cu axa de rotație, conceptul vector unghi de rotație(Fig. 2.19): φ = φ(/)A:, unde La- mananca
vectorul axei de rotație
1; La=sop51 .
Vectorul f este îndreptat de-a lungul acestei axe, astfel încât să poată fi văzut de la „sfârșit”
rotație care are loc în sens invers acelor de ceasornic.
Orez. 2.19.
caracteristici în formă vectorială
Dacă vectorul φ(/) este cunoscut, atunci toate celelalte caracteristici unghiulare ale mișcării de rotație pot fi reprezentate sub formă vectorială:
- vector viteză unghiulară co = f = f La. Direcția vectorului viteză unghiulară determină semnul derivatei unghiului de rotație;
- vector accelerație unghiulară є = сo = f La. Direcția acestui vector determină semnul derivatei vitezei unghiulare.
Vectorii introduși с și є ne permit să obținem expresii vectoriale pentru caracteristicile cinematice ale punctelor (vezi Fig. 2.19).
Rețineți că modulul vectorului viteză al punctului coincide cu modulul produsului vectorial dintre vectorul viteză unghiulară și vectorul rază: |cox G= sogvіpa = gunoi. Ținând cont de direcțiile vectorilor с și r și de regula pentru direcția produsului vectorial, putem scrie o expresie pentru vectorul viteză:
V= co xg.
În mod similar, este ușor să arăți asta
- ? X
- - exBіpa= єр = un tŞi
Sosor = co p = i.
(În plus, vectorii acestor caracteristici cinematice coincid în direcție cu produsele vectoriale corespunzătoare.
Prin urmare, vectorii de accelerație tangențial și normal pot fi reprezentați ca produse vectoriale:
- (2.28)
- (2.29)
a x = g X G
O= co x V.
Mișcarea unui corp rigid se numește rotație dacă, în timpul mișcării, toate punctele corpului situate pe o anumită linie dreaptă, numită axa de rotație, rămân nemișcate.(Fig. 2.15).
Poziția corpului în timpul mișcării de rotație este de obicei determinată unghi de rotatie corp , care se măsoară ca unghi diedru între planul fix și cel în mișcare care trec prin axa de rotație. Mai mult, planul mobil este conectat la un corp rotativ.
Să introducem în considerare sistemele de coordonate mobile și fixe, a căror origine va fi plasată într-un punct arbitrar O pe axa de rotație. Axa Oz, comună sistemelor de coordonate mobile și fixe, va fi direcționată de-a lungul axei de rotație, axa Oh al sistemului de coordonate fix, îl direcționăm perpendicular pe axa Oz, astfel încât să se afle în planul fix, axa Oh 1 Să direcționăm sistemul de coordonate în mișcare perpendicular pe axa Oz, astfel încât să se afle în planul în mișcare (Fig. 2.15).
Dacă luăm în considerare o secțiune a unui corp după un plan perpendicular pe axa de rotație, atunci unghiul de rotație φ poate fi definit ca unghiul dintre axa fixă Ohși axă mobilă Oh 1, asociat invariabil cu un corp rotativ (Fig. 2.16).
Se acceptă direcția de referință pentru unghiul de rotație al corpului φ în sens invers acelor de ceasornic este considerat pozitiv atunci când este privit din direcția pozitivă a axei Oz.
Egalitatea φ = φ(t), descriind schimbarea unghiului φ în timp se numește legea sau ecuația mișcării de rotație a unui corp rigid.
Viteza și direcția schimbării unghiului de rotație al unui corp rigid se caracterizează prin viteza unghiulara. Valoarea absolută a vitezei unghiulare este de obicei indicată printr-o literă din alfabetul grecesc ω (omega). Valoarea algebrică a vitezei unghiulare este de obicei notată cu . Valoarea algebrică a vitezei unghiulare este egală cu prima derivată în raport cu timpul unghiului de rotație:
. (2.33)
Unitățile de viteză unghiulară sunt egale cu unitățile de unghi împărțite la unitatea de timp, de exemplu, deg/min, rad/h. În sistemul SI, unitatea de măsură pentru viteza unghiulară este rad/s, dar mai des numele acestei unități de măsură este scrisă ca 1/s.
Dacă > 0, atunci corpul se rotește în sens invers acelor de ceasornic când este văzut de la capătul axei de coordonate aliniat cu axa de rotație.
Dacă< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.
Viteza și direcția schimbării vitezei unghiulare sunt caracterizate de accelerația unghiulară. Valoarea absolută a accelerației unghiulare este de obicei indicată cu litera alfabetului grecesc e (epsilon). Valoarea algebrică a accelerației unghiulare este de obicei notată cu . Valoarea algebrică a accelerației unghiulare este egală cu prima derivată în raport cu timpul a valorii algebrice a vitezei unghiulare sau a doua derivată a unghiului de rotație:
Unitățile de accelerație unghiulară sunt egale cu unitățile de unghi împărțite la unitatea de timp la pătrat. De exemplu, deg/s 2, rad/h 2. În sistemul SI, unitatea de măsură pentru accelerația unghiulară este rad/s 2, dar mai des numele acestei unități de măsură este scrisă ca 1/s 2.
Dacă valorile algebrice ale vitezei unghiulare și ale accelerației unghiulare au același semn, atunci viteza unghiulară crește în amploare în timp, iar dacă este diferită, scade.
Dacă viteza unghiulară este constantă ( ω = const), atunci se obișnuiește să se spună că rotația corpului este uniformă. În acest caz:
φ = t + φ 0, (2.35)
Unde φ 0 -unghiul initial de rotatie.
Dacă accelerația unghiulară este constantă (e = const), atunci se obișnuiește să se spună că rotația corpului este uniform accelerată (uniform lentă). În acest caz:
Unde 0 - viteza unghiulara initiala.
În alte cazuri, pentru a determina dependența φ din Şi este necesar să se integreze expresiile (2.33), (2.34) în condiții inițiale date.
În desene, direcția de rotație a unui corp este uneori prezentată cu o săgeată curbată (Fig. 2.17).
Adesea, în mecanică, viteza unghiulară și accelerația unghiulară sunt considerate mărimi vectoriale
Şi .
Ambii acești vectori sunt direcționați de-a lungul axei de rotație a corpului. Mai mult, vectorul
direcționat într-o direcție cu vectorul unitar, care determină direcția axei de coordonate care coincide cu axa de rotație, dacă >0,
si invers daca
Direcția vectorului este aleasă în același mod (Fig. 2.18).
În timpul mișcării de rotație a unui corp, fiecare dintre punctele sale (cu excepția punctelor situate pe axa de rotație) se deplasează de-a lungul unei traiectorii, care este un cerc cu o rază egală cu cea mai scurtă distanță de la punct la axa de rotație (Fig. 2.19).
Deoarece tangentei unui cerc în orice punct formează un unghi de 90° cu raza, vectorul viteză al unui punct al unui corp care efectuează mișcare de rotație va fi îndreptat perpendicular pe rază și se va afla în planul cercului, care este traiectoria mișcării punctului. Componenta tangențială a accelerației se va afla pe aceeași linie cu viteza, iar componenta normală va fi îndreptată radial spre centrul cercului. Prin urmare, uneori sunt numite componentele tangenţiale şi normale ale acceleraţiei în timpul mişcării de rotaţie rotațional și centripet (axial) componente (Fig. 2.19)
Valoarea algebrică a vitezei unui punct este determinată de expresia:
, (2.37)
unde R = OM este cea mai scurtă distanță de la punct la axa de rotație.
Valoarea algebrică a componentei tangențiale a accelerației este determinată de expresia:
. (2.38)
Modulul componentei normale a accelerației este determinat de expresia:
. (2.39)
Vectorul de accelerație al unui punct în timpul mișcării de rotație este determinat de regula paralelogramului ca sumă geometrică a componentelor tangente și normale. În consecință, modulul de accelerație poate fi determinat folosind teorema lui Pitagora:
Dacă viteza unghiulară și accelerația unghiulară sunt definite ca mărimi vectoriale , , atunci vectorii viteză, componentele tangenţiale şi normale ale acceleraţiei pot fi determinaţi prin formulele:
unde este vectorul rază trasat la punctul M dintr-un punct arbitrar pe axa de rotație (Fig. 2.20).
Rezolvarea problemelor care implică mișcarea de rotație a unui corp de obicei nu provoacă dificultăți. Folosind formulele (2.33)-(2.40), puteți determina cu ușurință orice parametru necunoscut.
Anumite dificultăți apar la rezolvarea problemelor asociate cu studiul mecanismelor constând din mai multe corpuri interconectate care efectuează atât mișcare de rotație, cât și de translație.
Abordarea generală pentru rezolvarea unor astfel de probleme este că mișcarea de la un corp la altul este transmisă printr-un punct - punctul de contact. Mai mult, corpurile aflate în contact au viteze egale și componente de accelerație tangențială în punctul de contact. Componentele normale ale accelerației pentru corpurile în contact în punctul de contact sunt diferite, ele depind de traiectoria punctelor corpurilor.
La rezolvarea unor probleme de acest tip, este convenabil, în funcție de circumstanțele specifice, să se utilizeze atât formulele prezentate în secțiunea 2.3, cât și formulele de determinare a vitezei și accelerației unui punct atunci când se specifică mișcarea lui ca fiind naturală (2.7), (2.14). ) (2.16) sau coordonate (2.3), (2.4), (2.10), (2.11). Mai mult, dacă mișcarea corpului căruia îi aparține punctul este de rotație, traiectoria punctului va fi un cerc. Dacă mișcarea corpului este translațională rectilinie, atunci traiectoria punctului va fi o linie dreaptă.
Exemplul 2.4. Corpul se rotește în jurul unei axe fixe. Unghiul de rotație al corpului se modifică conform legii φ = π t 3 bucuros. Pentru un punct situat la o distanta OM = R = 0,5 m de axa de rotatie, determinati viteza, tangenta, componentele normale ale acceleratiei si acceleratiei in momentul de timp. t 1= 0,5 s. Arată direcția acestor vectori în desen.
Să considerăm o secțiune a unui corp după un plan care trece prin punctul O perpendicular pe axa de rotație (Fig. 2.21). În această figură, punctul O este punctul de intersecție al axei de rotație și planul de tăiere, punctul M oŞi M 1- respectiv poziţia iniţială şi curentă a punctului M. Prin punctele O şi M o desenați o axă fixă Oh, iar prin punctele O și M 1 - axă mobilă Oh 1. Unghiul dintre aceste axe va fi egal cu
Găsim legea modificării vitezei unghiulare a corpului prin diferențierea legii modificării unghiului de rotație:
În acest moment t 1 viteza unghiulară va fi egală
Găsim legea schimbării în accelerația unghiulară a corpului prin diferențierea legii schimbării vitezei unghiulare:
În acest moment t 1 accelerația unghiulară va fi egală cu:
1/s 2,
Găsim valorile algebrice ale vectorilor viteză, componenta tangențială a accelerației, modulul componentei normale a accelerației și modulul de accelerație folosind formulele (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):
M/s 2 ;
m/s2.
Din moment ce unghiul φ 1>0, apoi îl vom muta de pe axa Ox în sens invers acelor de ceasornic. Și de când > 0, apoi vectori va fi îndreptată perpendicular pe rază OM 1 astfel încât să le vedem rotindu-se în sens invers acelor de ceasornic. Vector vor fi îndreptate de-a lungul razei OM 1 faţă de axa de rotaţie. Vector Să construim conform regulii paralelogramului pe vectori τ Şi .
Exemplul 2.5. Conform ecuației date a mișcării de translație rectilinie a sarcinii 1 x = 0,6t 2 - 0,18 (m) determină viteza, precum și componenta tangențială, normală a accelerației și accelerația punctului M a mecanismului în momentul de timp t 1, când calea parcursă de sarcina 1 este s = 0,2 m La rezolvarea problemei, vom presupune că nu există alunecare în punctul de contact al corpurilor 2 și 3, R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R3 = 0,5 m (Fig. 2.22).
Legea mișcării rectilinie de translație a sarcinii 1 este dată sub formă de coordonate. Să stabilim momentul în timp t 1, pentru care calea parcursă de sarcina 1 va fi egală cu s
s = x(t l)-x(0),
de unde obținem:
0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.
Prin urmare,
După ce am diferențiat ecuația mișcării în funcție de timp, găsim proiecțiile vitezei și accelerației sarcinii 1 pe axa Ox:
Domnișoară 2 ;
În momentul t = t 1 proiecția vitezei sarcinii 1 va fi egală cu:
adică va fi mai mare decât zero, ca și proiecția accelerației sarcinii 1. Prin urmare, sarcina 1 va fi în momentul t 1 se deplasează în jos uniform accelerat, respectiv, corpul 2 se va roti uniform accelerat în sens invers acelor de ceasornic, iar corpul 3 în sensul acelor de ceasornic.
Corpul 2 este antrenat în rotație de către corpul 1 printr-un fir înfășurat pe o capcană. Prin urmare, modulele vitezelor punctelor corpului 1, firului și suprafeței capcanei corpului 2 sunt egale, iar modulele de accelerație ale punctelor corpului 1, firul și componenta tangenţială a acceleraţiei. punctele suprafeței capcanei corpului 2 vor fi de asemenea egale. În consecință, modulul vitezei unghiulare a corpului 2 poate fi definit ca
Modulul de accelerație unghiulară al corpului 2 va fi egal cu:
1/s 2 .
Să determinăm modulele vitezei și componentei tangențiale a accelerației pentru punctul K al corpului 2 - punctul de contact al corpurilor 2 și 3:
Domnișoară, Domnișoară 2
Deoarece corpurile 2 și 3 se rotesc fără alunecare reciprocă, mărimile vitezei și componenta tangențială a accelerației punctului K - punctul de contact pentru aceste corpuri vor fi egale.
să-l direcționăm perpendicular pe rază în sensul de rotație al corpului, deoarece corpul 3 se rotește uniform accelerat