Lasă funcția y = f(x) este definită pe intervalul [ o, b ], o < b. Să efectuăm următoarele operații:
1) să ne despărțim [ o, b] puncte o = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b pe n segmente parțiale [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];
2) în fiecare dintre segmentele parțiale [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, alegeți un punct arbitrar și calculați valoarea funcției în acest punct: f(z i ) ;
3) găsiți lucrările f(z i ) · Δ x i , unde este lungimea segmentului parțial [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;
4) hai sa ne impacam suma integrală funcții y = f(x) pe segmentul [ o, b ]:
CU punct geometric Din punct de vedere vizual, această sumă σ este suma ariilor dreptunghiurilor ale căror baze sunt segmente parțiale [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], iar înălțimile sunt egale f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) în consecință (Fig. 1). Să notăm prin λ lungimea celui mai lung segment parțial:
5) găsiți limita sumei integrale când λ → 0.
Definiţie. Dacă există o limită finită a sumei integrale (1) și aceasta nu depinde de metoda de împărțire a segmentului [ o, b] la segmente parțiale, nici din selecția punctelor z iîn ele, atunci această limită se numește integrală definită din functie y = f(x) pe segmentul [ o, b] și este notat
Astfel,
În acest caz, funcția f(x) se numește integrabil pe [ o, b]. Numerele oŞi b sunt numite, respectiv, mai mici și limite superioare integrare, f(x) – funcția integrand, f(x ) dx– expresie integrantă, x– variabila de integrare; segment [ o, b] se numește interval de integrare.
Teorema 1. Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b], atunci este integrabil pe acest interval.
Integrala definită cu aceleași limite de integrare este egală cu zero:
Dacă o > b, atunci, prin definiție, presupunem
2. Sensul geometric al integralei definite
Lasă pe segmentul [ o, b] este specificată o funcție continuă nenegativă y = f(x ) . Trapez curbiliniu este o figură mărginită mai sus de graficul unei funcții y = f(x), de jos - de-a lungul axei Ox, la stânga și la dreapta - linii drepte x = aŞi x = b(Fig. 2).
Integrală definită a unei funcții nenegative y = f(x) din punct de vedere geometric este egal cu aria unui trapez curbiliniu delimitat mai sus de graficul funcției y = f(x), stânga și dreapta – segmente de linie x = aŞi x = b, de jos - un segment al axei Ox.
3. Proprietăţile de bază ale integralei definite
1. Valoarea integralei definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare:
2. Factorul constant poate fi scos din semnul integralei definite:
3. Integrala definită a sumei algebrice a două funcții este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcții:
4.Dacă funcția y = f(x) este integrabil pe [ o, b] Și o < b < c, Asta
5. (teorema valorii medii). Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b], atunci pe acest segment există un punct astfel încât
4. Formula Newton–Leibniz
Teorema 2. Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b] Și F(x) este oricare dintre antiderivatele sale pe acest segment, atunci următoarea formulă este valabilă:
care se numeste Formula Newton-Leibniz. Diferenţă F(b) - F(o) se scrie de obicei după cum urmează:
unde simbolul se numește wildcard dublu.
Astfel, formula (2) poate fi scrisă astfel:
Exemplul 1. Calculați integrala
Soluţie. Pentru integrand f(x ) = x 2 o antiderivată arbitrară are forma
Deoarece orice antiderivată poate fi utilizată în formula Newton-Leibniz, pentru a calcula integrala luăm antiderivată care are cea mai simplă formă:
5. Schimbarea variabilei într-o integrală definită
Teorema 3. Lasă funcția y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b]. Dacă:
1) funcția x = φ ( t) și derivata sa φ "( t) sunt continue pentru ;
2) un set de valori ale funcției x = φ ( t) pentru este segmentul [ o, b ];
3) φ ( o) = o, φ ( b) = b, atunci formula este valabilă
care se numeste formula pentru schimbarea unei variabile într-o integrală definită .
Spre deosebire de integrală nedefinită, în acest caz nu este nevoie pentru a reveni la variabila de integrare originală - este suficient să găsiți noi limite de integrare α și β (pentru aceasta trebuie să rezolvați variabila t ecuații φ ( t) = oși φ ( t) = b).
În loc de înlocuire x = φ ( t) puteți folosi înlocuirea t = g(x) . În acest caz, găsirea de noi limite de integrare asupra unei variabile t simplifică: α = g(o) , β = g(b) .
Exemplul 2. Calculați integrala
Soluţie. Să introducem o nouă variabilă folosind formula. Punând la pătrat ambele părți ale egalității, obținem 1 + x = t 2 , unde x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Găsim noi limite ale integrării. Pentru a face acest lucru, să înlocuim vechile limite în formulă x = 3 și x = 8. Obtinem: , de unde t= 2 și α = 2; , unde t= 3 și β = 3. Deci,
Exemplul 3. Calcula
Soluţie. Lasă u= jurnal x, Atunci , v = x. Conform formulei (4)
In calculul diferential problema se rezolva: sub această funcție ƒ(x) găsiți derivata ei(sau diferential). Calculul integral rezolvă problema inversă: găsiți funcția F(x), cunoscând derivata ei F "(x)=ƒ(x) (sau diferențială). Funcția căutată F(x) se numește antiderivată a funcției ƒ(x). ).
Se numește funcția F(x). antiderivat funcția ƒ(x) pe intervalul (a; b), dacă pentru orice x є (a; b) egalitatea
F " (x)=ƒ(x) (sau dF(x)=ƒ(x)dx).
De exemplu, antiderivată a funcției y = x 2, x є R, este funcția, deoarece
Evident, orice funcție va fi și antiderivată
unde C este o constantă, deoarece
Teorema 29. 1. Dacă funcția F(x) este o antiderivată a funcției ƒ(x) pe (a;b), atunci mulțimea tuturor antiderivatelor pentru ƒ(x) este dată de formula F(x)+ C, unde C este un număr constant.
▲ Funcția F(x)+C este o antiderivată a lui ƒ(x).
Într-adevăr, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).
Fie Ф(x) altul, diferit de F(x), antiderivată a funcției ƒ(x), adică Ф "(x)=ƒ(х). Atunci pentru orice x є (а;b) avem
Și aceasta înseamnă (vezi Corolarul 25.1) că
unde C este un număr constant. Prin urmare, Ф(x)=F(x)+С.▼
Se numește mulțimea tuturor funcțiilor antiderivate F(x)+С pentru ƒ(x). integrală nedefinită a funcției ƒ(x)și se notează prin simbolul ∫ ƒ(x) dx.
Astfel, prin definiție 
∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.
Aici se numește ƒ(x). funcția integrand, ƒ(x)dx — expresie integrantă, X - variabila de integrare, ∫ -semnul integralei nedefinite.
Operația de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acestei funcții.
Din punct de vedere geometric, integrala nedefinită este o familie de curbe „paralele” y=F(x)+C (fiecare valoare numerică a lui C corespunde unei curbe specifice a familiei) (vezi Fig. 166). Graficul fiecărei antiderivate (curbe) se numește curba integrala.
Fiecare funcție are o integrală nedefinită?
Există o teoremă care spune că „fiecare funcție continuă pe (a;b) are o antiderivată pe acest interval” și, în consecință, o integrală nedefinită.
Să notăm o serie de proprietăți ale integralei nedefinite care decurg din definiția ei.
1. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul, iar derivata integralei nedefinite este egală cu integrandul:
d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).
Într-adevăr, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx
(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).
Datorită acestei proprietăți, corectitudinea integrării este verificată prin diferențiere. De exemplu, egalitatea
∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С
adevărat, deoarece (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.
2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:
∫dF(x)= F(x)+C.
într-adevăr,
3. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
α ≠ 0 este o constantă.
într-adevăr,
(puneți C 1 / a = C.)
4. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții continue este egală cu suma algebrică a integralelor sumelor funcțiilor:
Fie F"(x)=ƒ(x) și G"(x)=g(x). Apoi
unde C1 ±C2 =C.
5. (Invarianța formulei de integrare).
Dacă 
, unde u=φ(x) este o funcție arbitrară cu derivată continuă.
▲ Fie x o variabilă independentă, ƒ(x) o funcție continuă și F(x) antiderivată. Apoi
Să setăm acum u=φ(x), unde φ(x) este o funcție diferențiabilă continuu. Se consideră funcția complexă F(u)=F(φ(x)). Datorită invarianţei formei primei diferenţiale a funcţiei (vezi p. 160), avem
De aici▼
Astfel, formula pentru integrala nedefinită rămâne valabilă indiferent dacă variabila de integrare este variabila independentă sau orice funcție a acesteia care are o derivată continuă.
Deci, din formula 
prin înlocuirea x cu u (u=φ(x)) obținem 
În special,
Exemplul 29.1. Găsiți integrala 
unde C=C1+C2+C3+C4.
Exemplul 29.2. Găsiți soluția integrală:
- 29.3. Tabelul integralelor nedefinite de bază
Profitând de faptul că integrarea este acțiunea inversă a diferențierii, se poate obține un tabel de integrale de bază inversând formulele corespunzătoare de calcul diferențial (tabelul diferențialelor) și folosind proprietățile integralei nedefinite.
De exemplu, pentru că
d(sin u)=cos u . du
Derivarea unui număr de formule din tabel va fi dată în considerarea metodelor de bază de integrare.
Integralele din tabelul de mai jos se numesc tabulare. Ele trebuie cunoscute pe de rost. În calculul integral nu există reguli simple și universale pentru a găsi antiderivate ale functii elementare, ca în calculul diferenţial. Metodele pentru găsirea antiderivatelor (adică integrarea unei funcții) sunt reduse la indicarea tehnicilor care aduc o integrală dată (căută) la una tabelară. Prin urmare, este necesar să cunoașteți integralele tabelului și să le puteți recunoaște.
Rețineți că în tabelul integralelor de bază, variabila de integrare poate desemna atât o variabilă independentă, cât și o funcție a variabilei independente (conform proprietății de invarianță a formulei de integrare).
Valabilitatea formulelor de mai jos poate fi verificată luând diferența din partea dreaptă, care va fi egală cu integrandul din partea stângă a formulei.
Să demonstrăm, de exemplu, validitatea formulei 2. Funcția 1/u este definită și continuă pentru toate valorile de și altele decât zero.
Dacă u > 0, atunci ln|u|=lnu, atunci 
De aceea
Dacă u<0, то ln|u|=ln(-u). Но
Mijloace
Deci, formula 2 este corectă. În mod similar, să verificăm formula 15:
Tabelul integralelor principale
Prieteni! Vă invităm să discutați. Dacă aveți propria părere, scrieți-ne în comentarii.
Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?
Dacă singura utilizare pe care o știi pentru o integrală este să folosești o croșetată în formă de pictogramă integrală pentru a obține ceva util din locurile greu accesibile, atunci bine ai venit! Aflați cum să rezolvați cele mai simple și alte integrale și de ce nu vă puteți descurca fără ea la matematică.
Studiem conceptul « integrală »
Integrarea era cunoscută încă din Egiptul Antic. Desigur, nu în forma sa modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. S-au distins mai ales Newton Şi Leibniz , dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.
Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Avem deja informații despre limite și derivate, necesare înțelegerii integralelor, pe blogul nostru.
Integrală nedefinită
Să avem o funcție f(x) .
Funcție integrală nedefinită f(x) această funcție este numită F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .
Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți articolul nostru despre cum să calculați derivatele.
Un antiderivat există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.
Exemplu simplu:
Pentru a nu calcula în mod constant antiderivate ale funcțiilor elementare, este convenabil să le puneți într-un tabel și să utilizați valori gata făcute.
Tabel complet de integrale pentru elevi
Integrală definită
Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei unei figuri, a masei unui corp neuniform, a distanței parcurse în timpul mișcării inegale și multe altele. Trebuie amintit că o integrală este suma unui număr infinit de termeni infinitezimali.
Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții.
Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de graficul unei funcții? Folosind o integrală! Să împărțim trapezul curbiliniu, limitat de axele de coordonate și de graficul funcției, în segmente infinitezimale. În acest fel figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:
Punctele a și b se numesc limite de integrare.
« Integral »
Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice tip de lucrare
Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechine
Proprietățile integralei nedefinite
Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile atunci când rezolvăm exemple.
- Derivata integralei este egala cu integrandul:
- Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:
- Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Acest lucru este valabil și pentru diferența:
Proprietățile unei integrale definite
- Linearitate:
- Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt schimbate:
- La orice puncte o, bŞi Cu:
Am aflat deja că o integrală definită este limita unei sume. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta există formula Newton-Leibniz:
Exemple de rezolvare a integralelor
Mai jos vom lua în considerare integrala nedefinită și exemple cu soluții. Vă sugerăm să vă dați seama de complexitatea soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.
Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesional pentru studenți și orice integrală triplă sau curbă pe o suprafață închisă va fi în puterea dumneavoastră.
Aceste proprietăți sunt folosite pentru a transforma integrala pentru a o reduce la una dintre integralele elementare și pentru a efectua un calcul suplimentar.
1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:
2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:
3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:
4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
În plus, a ≠ 0
5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:
6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:
Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:
Dacă, atunci
8. Proprietate:
Dacă, atunci
De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.
Să ne uităm la un exemplu:
Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul de antiderivate și am obținut rezultatul.
Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și va găsi cu ușurință o soluție detaliată pentru integrala dvs.
Aceste proprietăți sunt folosite pentru a transforma integrala pentru a o reduce la una dintre integralele elementare și pentru a efectua un calcul suplimentar.
1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:
2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:
3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:
4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
În plus, a ≠ 0
5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:
6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:
Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:
Dacă, atunci
8. Proprietate:
Dacă, atunci
De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.
Să ne uităm la un exemplu:
Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul de antiderivate și am obținut rezultatul.
Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și va găsi cu ușurință o soluție detaliată pentru integrala dvs.