Valoarea ariei unei figuri delimitate de linii online. Calculul ariilor figurilor delimitate de drepte date. Formula pentru calcularea ariei unei figuri delimitate de liniile y=f(x) sau x=g(y)

Soluţie.

Primul și cel mai important punct al deciziei este construcția desenului.

Să facem desenul:

Ecuaţie y=0 setează axa „x”;

- x=-2 Şi x=1 - Drept, axe paralele Oh;

- y=x 2 +2 - o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu vârful în punctul (0;2).

Comentariu. Pentru a construi o parabolă, este suficient să găsiți punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate, adică. punând x=0 găsiți intersecția cu axa Oh și hotărând în consecință ecuație pătratică, găsiți intersecția cu axa Oh .

Vârful unei parabole poate fi găsit folosind formulele:

De asemenea, puteți construi linii punct cu punct.

Pe intervalul [-2;1] graficul funcției y=x 2 +2 situat deasupra axei Bou , De aceea:

Răspuns: S =9 unități mp

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Ce trebuie să faceți dacă este localizat trapezul curbat sub ax Oh?

b) Calculați aria unei figuri delimitate de linii y=-e x , x=1 și axele de coordonate.

Soluţie.

Să facem un desen.

Dacă un trapez curbat complet situat sub ax Oh , atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:

Răspuns: S=(e-1) unități mp" 1,72 unități mp

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior.

Cu) Găsiți zonă figură plată, delimitat de linii y=2x-x 2, y=-x.

Soluţie.

Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică.

Rezolvam ecuatia:

Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării a=0 , limita superioara integrare b=3 .

Construim dreptele date: 1. Parabola - vârf în punctul (1;1); intersecția axelor Oh - punctele (0;0) și (0;2). 2. Linie dreaptă - bisectoarea celui de-al 2-lea și al 4-lea unghi de coordonate. Și acum Atenție! Dacă pe segmentul [ a;b] oarecare funcție continuă f(x) mai mare sau egală cu o funcție continuă g(x), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula: .

Și nu contează unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar ceea ce contează este care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JOS. În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Puteți construi linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale).

Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.

Pe segment, conform formulei corespunzătoare:

Răspuns: S =4,5 unități mp

În secțiunea anterioară, dedicată analizei semnificației geometrice a unei integrale definite, am primit o serie de formule pentru calcularea ariei unui trapez curbiliniu:

S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe intervalul [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe intervalul [ a ; b ] .

Aceste formule sunt aplicabile pentru a rezolva sarcini simple. În realitate, de multe ori va trebui să lucrăm cu figuri mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune unei analize a algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor care sunt limitate de funcții în formă explicită, de exemplu. cum ar fi y = f(x) sau x = g(y).

Teorema

Fie definite şi continue funcţiile y = f 1 (x) şi y = f 2 (x) pe intervalul [ a ; b ] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare x din [ a ; b ] . Apoi formula pentru calcularea ariei figurii G, mărginită de liniile x = a, x = b, y = f 1 (x) și y = f 2 (x) va arăta ca S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria unei figuri mărginite de liniile y = c, y = d, x = g 1 (y) și x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dovada

Să ne uităm la trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.

În primul caz, ținând cont de proprietatea de aditivitate a ariei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G 1 este egală cu aria figurii G 2. Aceasta înseamnă că

Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Putem efectua ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.

În al doilea caz, egalitatea este adevărată: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Ilustrația grafică va arăta astfel:

Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrația grafică va arăta astfel:

Să trecem la considerarea cazului general când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x.

Punctele de intersecție notăm ca x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Aceste puncte despart segmentul [a; b ] în n părţi x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Prin urmare,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.

Să ilustrăm cazul general pe grafic.

Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.

Acum să trecem la analizarea exemplelor de calcul al ariei figurilor care sunt limitate de liniile y = f (x) și x = g (y).

Vom începe analiza oricăruia dintre exemple prin construirea unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm figuri complexe ca uniuni ale mai multor figuri simple. Dacă construirea de grafice și figuri pe ele vă provoacă dificultăți, puteți studia secțiunea de bază functii elementare, transformarea geometrică a graficelor de funcții, precum și construcția de grafice în timpul studiului unei funcții.

Exemplul 1

Este necesar să se determine aria figurii, care este limitată de parabola y = - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Soluţie

Să desenăm liniile pe grafic în sistemul de coordonate carteziene.

Pe segmentul [ 1 ; 4 ] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2. În acest sens, pentru a obține răspunsul folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a integralei definite folosind formula Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Răspuns: S(G) = 13

Să ne uităm la un exemplu mai complex.

Exemplul 2

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x + 2, y = x, x = 7.

Soluţie

În acest caz, avem o singură linie dreaptă situată paralelă cu axa x. Acesta este x = 7. Aceasta ne cere să găsim noi înșine a doua limită a integrării.

Să construim un grafic și să trasăm pe el liniile date în enunțul problemei.

Având graficul în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție a graficului dreptei y = x și semi-parabola y = x + 2. Pentru a găsi abscisa folosim egalitățile:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.

Vă atragem atenția asupra faptului că în exemplu generalîn desen, liniile y = x + 2, y = x se intersectează în punctul (2; 2), astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea inutile. Am adus asta aici solutie detaliata doar pentru că în cazuri mai complexe soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că este mai bine să calculați întotdeauna coordonatele intersecției liniilor analitic.

Pe intervalul [ 2 ; 7] graficul funcției y = x este situat deasupra graficului funcției y = x + 2. Să aplicăm formula pentru a calcula suprafața:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Răspuns: S (G) = 59 6

Exemplul 3

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y = 1 x și y = - x 2 + 4 x - 2.

Soluţie

Să trasăm liniile pe grafic.

Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale liniilor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2. Cu condiția ca x să nu fie zero, egalitatea 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul trei - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 cu coeficienți întregi. Pentru a vă reîmprospăta memoria algoritmului pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, ne putem referi la secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.

Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Am găsit intervalul x ∈ 1; 3 + 13 2, în care figura G este cuprinsă deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm aria figurii:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Răspuns: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemplul 4

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y = x 3, y = - log 2 x + 1 și de axa absciselor.

Soluţie

Să trasăm toate liniile pe grafic. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x dacă îl poziționăm simetric față de axa x și îl mutăm cu o unitate în sus. Ecuația axei x este y = 0.

Să marchem punctele de intersecție ale dreptelor.

După cum se poate observa din figură, graficele funcțiilor y = x 3 și y = 0 se intersectează în punctul (0; 0). Acest lucru se întâmplă deoarece x = 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 = 0.

x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0, deci graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2; 0).

x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1 . În acest sens, graficele funcțiilor y = x 3 și y = - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1). Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 = - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y = x 3 este strict crescătoare, iar funcția y = - log 2 x + 1 este strict în scădere.

Soluția ulterioară implică mai multe opțiuni.

Opțiunea #1

Ne putem imagina figura G ca suma a două trapeze curbilinii situate deasupra axei x, primul fiind situat sub linia mediană a segmentului x ∈ 0; 1, iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi egală cu S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opțiunea nr. 2

Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei x și sub linia albastră pe segmentul x ∈ 0; 2, iar al doilea între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona după cum urmează:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

În acest caz, pentru a găsi aria va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează figura pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.

Să rezolvăm ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 în raport cu x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Obținem zona necesară:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemplul 5

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Soluţie

Cu o linie roșie trasăm linia definită de funcția y = x. Desenăm linia y = - 1 2 x + 4 în albastru, iar linia y = 2 3 x - 3 în negru.

Să marchem punctele de intersecție.

Să găsim punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Verificați: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nu Este soluția ecuației x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 este soluția ecuației ⇒ (4; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4

Să găsim punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 este soluția ecuației ⇒ (9 ; 3) punctul a s y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Nu există o soluție a ecuației

Să găsim punctul de intersecție al dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3

Metoda nr. 1

Să ne imaginăm aria figurii dorite ca suma suprafețelor figurilor individuale.

Atunci aria figurii este:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda nr. 2

Aria figurii originale poate fi reprezentată ca suma a altor două figuri.

Apoi rezolvăm ecuația dreptei relativ la x și numai după aceea aplicăm formula de calcul a ariei figurii.

y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Deci zona este:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

După cum puteți vedea, valorile sunt aceleași.

Răspuns: S (G) = 11 3

Rezultate

Pentru a găsi aria unei figuri care este limitată linii date trebuie să construim linii pe plan, să găsim punctele lor de intersecție și să aplicăm formula pentru a găsi aria. În această secțiune, am examinat cele mai comune variante de sarcini.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În această lecție vom învăța să calculăm zonele figurilor plane care sunt numite trapezoizi curbilinii .

Exemple de astfel de cifre sunt în figura de mai jos.

Pe de o parte, găsirea ariei unei figuri plane folosind o integrală definită este extrem de simplă. Vorbim despre aria unei figuri, care este limitată de sus de o anumită curbă, de jos de axa absciselor ( Bou), iar în stânga și în dreapta sunt niște linii drepte. Simplitatea este că integrala definită a funcției căreia îi este dată curba este aria unei astfel de figuri(trapez curbiliniu).

Pentru a calcula aria unei figuri avem nevoie de:

Integrală definită a funcției care definește curba , care limitează de sus trapezul curbat. Și aici apare prima nuanță semnificativă: un trapez curbat poate fi limitat de o curbă nu numai de sus, ci și de jos . Cum se procedează în acest caz? Simplu, dar important de reținut: integrala în acest caz este luată cu semnul minus .
Limitele integrării oŞi b, pe care îl găsim din ecuațiile dreptelor care delimitează figura din stânga și dreapta: x = o , x = b, Unde oŞi b- numere.

Separat, despre mai multe nuanțe.

Curba care delimitează trapezul curbat în partea de sus (sau de jos) trebuie să fie graficul unei funcții continue și nenegative y = f(x) .

Valorile „x” trebuie să aparțină segmentului [o, b] . Adică, nu sunt luate în considerare linii precum tăietura unei ciuperci, a căror tulpină se potrivește bine în acest segment, iar capacul este mult mai lat.

Segmentele laterale pot degenera în puncte . Dacă vedeți o astfel de figură în desen, acest lucru nu ar trebui să vă încurce, deoarece acest punct își are întotdeauna valoarea pe axa „x”. Aceasta înseamnă că totul este în ordine cu limitele integrării.

Acum puteți trece la formule și calcule. Deci zona s trapezul curbat poate fi calculat folosind formula

Dacă f(x) ≤ 0 (graficul funcției este situat sub axă Bou), Asta zona unui trapez curbat poate fi calculat folosind formula

Există, de asemenea, cazuri când atât granițele superioare, cât și cele inferioare ale figurii sunt funcții, respectiv y = f(x) Şi y = φ (x) , atunci aria unei astfel de cifre este calculată prin formula

. (3)

Rezolvarea problemelor împreună

Să începem cu cazurile în care aria unei figuri poate fi calculată folosind formula (1).

Exemplul 1.Bou) și drept x = 1 , x = 3 .

Soluţie. Deoarece y = 1/x> 0 pe segment, atunci aria trapezului curbiliniu este găsită folosind formula (1):

Exemplul 2. Găsiți aria figurii delimitată de graficul funcției, linie x= 1 și axa x ( Bou ).

Soluţie. Rezultatul aplicării formulei (1):

Dacă atunci s= 1/2; dacă atunci s= 1/3 etc.

Exemplul 3. Găsiți aria figurii delimitată de graficul funcției, axa absciselor ( Bou) și drept x = 4 .

Soluţie. Figura corespunzătoare condițiilor problemei este un trapez curbiliniu în care segmentul din stânga a degenerat într-un punct. Limitele de integrare sunt 0 și 4. Deoarece, folosind formula (1) găsim aria trapezului curbiliniu:

Exemplul 4. Găsiți aria figurii delimitată de liniile , , și situată în primul trimestru.

Soluţie. Pentru a folosi formula (1), să ne imaginăm aria figurii dată de condițiile exemplului ca suma ariilor triunghiului OABși trapez curbat ABC. Când se calculează aria unui triunghi OAB limitele integrării sunt abscisele punctelor OŞi O, iar pentru figură ABC- abscisele punctelor OŞi C (O este punctul de intersecție al dreptei O.A.și parabole și C- punctul de intersecție al parabolei cu axa Bou). Rezolvând împreună (ca sistem) ecuațiile unei drepte și ale unei parabole, obținem (abscisa punctului O) și (abscisa altui punct de intersecție a dreptei și a parabolei, care nu este necesară pentru soluție). În mod similar, obținem , (abscise de puncte CŞi D). Acum avem tot ce ne trebuie pentru a găsi aria unei figuri. Găsim:

Exemplul 5. Găsiți aria unui trapez curbat ACDB, dacă ecuația curbei CDși abscisele OŞi B 1 și respectiv 2.

Soluţie. Să exprimăm această ecuație a curbei prin joc: aria trapezului curbiliniu se găsește folosind formula (1):

Să trecem la cazurile în care aria unei figuri poate fi calculată folosind formula (2).

Exemplul 6. Găsiți aria figurii delimitată de parabolă și axa x ( Bou ).

Soluţie. Această cifră este situată sub axa x. Prin urmare, pentru a calcula aria sa, vom folosi formula (2). Limitele de integrare sunt abscisa și punctele de intersecție ale parabolei cu axa Bou. Prin urmare,

Exemplul 7. Găsiți aria cuprinsă între axa absciselor ( Bou) și două unde sinusoidale adiacente.

Soluţie. Zona acestei figuri poate fi găsită folosind formula (2):

Să găsim fiecare termen separat:

În sfârșit găsim zona:

Exemplul 8. Găsiți aria figurii cuprinsă între parabolă și curbă.

Soluţie. Să exprimăm ecuațiile liniilor prin joc:

Aria conform formulei (2) se obtine ca

Unde oŞi b- abscisele punctelor OŞi B. Să le găsim rezolvând împreună ecuațiile:

În sfârșit găsim zona:

Și, în sfârșit, cazurile în care aria unei figuri poate fi calculată folosind formula (3).

Exemplul 9. Găsiți aria figurii cuprinsă între parabole Și .

Aceasta este o problemă școlară, dar, în ciuda faptului, aproape 100% din ea se va găsi în cursul tău matematică superioară. De aceea cu toată seriozitatea haideți să ne uităm la TOATE exemplele și primul lucru de făcut este să vă familiarizați Aplicație Grafice de funcții pentru a vă reîmprospăta memoria despre tehnicile de construcție grafice elementare. …Mânca? Mare! O declarație tipică de atribuire sună astfel:

Exemplul 10
.

ŞI primul etapa cea mai importantă solutii constă tocmai în construirea unui desen. Cu toate acestea, recomand următoarea comandă: la început e mai bine să construiești totul Drept(dacă există) și numai Apoi – parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții.

În sarcina noastră: Drept definește axa, Drept paralel cu axa şi parabolă este simetric față de axă, găsim câteva puncte de referință pentru aceasta:

Este recomandabil să croșați figura dorită:

Etapa a doua este să compune corectŞi calcula corect integrală definită. Pe segment se află graficul funcției deasupra axei, deci aria necesară este:

Răspuns:

După ce sarcina este finalizată, este util să priviți desenul
și aflați dacă răspunsul este realist.

Și numărăm „prin ochi” numărul de celule umbrite - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că, dacă am ajuns, să zicem, 20 de unități pătrate, atunci evident că a fost făcută o greșeală undeva - cifra construită clar nu se potrivește cu 20 de celule, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 11
Calculați aria unei figuri delimitate de linii si axa

Să ne încălzim rapid (obligatoriu!) și să luăm în considerare situația „oglindă” - când este localizat trapezul curbat sub axa:

Exemplul 12
Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluţie: să găsim câteva puncte de referință pentru construirea exponențialului:

și completează desenul, obținând o figură cu o suprafață de aproximativ două celule:

Dacă este localizat un trapez curbat nu mai sus axa, atunci aria acesteia poate fi găsită folosind formula: .
În acest caz:

Răspuns: – Ei bine, este foarte, foarte asemănător cu adevărul.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, trecem de la cele mai simple probleme școlare la exemple mai semnificative:

Exemplul 13
Aflați aria unei figuri plane delimitată de liniile , .

Soluţie: mai întâi trebuie să completăm desenul și ne interesează în special punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei, deoarece aici va fi limitele integrării. Există două moduri de a le găsi. Prima metodă este analitică. Să creăm și să rezolvăm ecuația:

Astfel:

Demnitate metoda analitică constă în ea precizie, A defect- V durată(și în acest exemplu am fost chiar norocoși). Prin urmare, în multe probleme este mai profitabil să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”.

Totul este clar cu o linie dreaptă, dar pentru a construi o parabolă este convenabil să-i găsim vârful pentru aceasta luăm derivata și o echivalăm cu zero:
– în acest moment va fi localizat vârful. Și, datorită simetriei parabolei, vom găsi punctele de referință rămase folosind principiul „stânga-dreapta”:

Să facem desenul:

Și acum formula de lucru: dacă pe segment există unele continuu funcţie mai mare sau egal cu continuu funcții, atunci aria figurii limitată de graficele acestor funcții și segmente de linie poate fi găsită folosind formula:

Aici nu mai trebuie să vă gândiți la locul în care se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar, aproximativ vorbind, ceea ce contează este care dintre cele două grafice este MAI MARE.

În exemplul nostru, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să scădem din

Soluția finalizată ar putea arăta astfel:

Pe segment: , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De remarcat că formulele simple discutate la începutul paragrafului sunt cazuri speciale ale formulei . Deoarece axa este dată de ecuație, una dintre funcții va fi zero și, în funcție de dacă trapezul curbiliniu se află deasupra sau dedesubt, obținem formula fie

Și acum un cuplu sarcini tipice Pentru decizie independentă

Exemplul 14
Găsiți aria figurilor delimitate de drepte:

Soluție cu desene și scurte comentarii la sfârșitul cărții

În cursul rezolvării problemei luate în considerare, uneori se întâmplă un incident amuzant. Desenul a fost completat corect, integrala a fost rezolvată corect, dar din nepăsare... a fost găsită zona figurii greșite, exact așa s-a înșelat umilul tău slujitor de mai multe ori. Aici caz real din viata:

Exemplul 15
Calculați aria unei figuri delimitate de linii

Soluţie: hai sa facem un desen simplu,

al cărui truc este că zona necesară este umbrită în verde(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch” în care trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită în gri! Un truc special este că linia dreaptă poate fi sub trasată pe axă, iar apoi nu vom vedea deloc figura dorită.

Acest exemplu este, de asemenea, util deoarece calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Serios:

1) pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;
2) pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.

Este absolut clar că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate:

Răspuns:

Și un exemplu educațional pe care să îl decideți singur:

Exemplul 16
Calculați aria figurii delimitată de liniile , și axele de coordonate.

Deci, să sistematizăm punctele importante ale acestei sarcini:

Pe primul pas Studiem cu ATENȚIE starea - CE funcții ne sunt date? Greșeli se întâmplă chiar și aici, în special, ark co tangenta este adesea confundată cu arctangentă. Acest lucru, apropo, se aplică și altor sarcini în care are loc arc cotangent.

Următorul desenul trebuie completat CORECT. Este mai bine să construiți mai întâi Drept(dacă există), atunci grafice ale altor funcții (dacă există J). Acestea din urmă sunt în multe cazuri mai profitabile de construit punct cu punct– găsiți mai multe puncte de ancorare și conectați-le cu atenție printr-o linie.

Dar aici următoarele dificultăți pot sta în așteptare. În primul rând, nu este întotdeauna clar din desen limitele integrării- acest lucru se întâmplă când sunt fracționați. Pe mathprofi.ru în articol relevant M-am uitat la un exemplu cu o parabolă și o linie dreaptă, unde unul dintre punctele lor de intersecție nu este clar din desen. În astfel de cazuri, ar trebui să utilizați metoda analitică, creăm ecuația:

și găsiți-i rădăcinile:
– limita inferioară de integrare, – limita superioara.

După ce desenul este finalizat, analizăm cifra rezultată - încă o dată ne uităm la funcțiile propuse și verificăm de două ori dacă aceasta este cifra corectă. Apoi îi analizăm forma și amplasarea se întâmplă ca zona să fie destul de complexă și apoi să fie împărțită în două sau chiar trei părți.

Compune o integrală definită sau mai multe integrale conform formulei , am discutat mai sus toate variațiile principale.

Rezolvarea unei integrale definite(s). Cu toate acestea, se poate dovedi a fi destul de complex și apoi folosim un algoritm pas cu pas: 1) găsim antiderivată și o verificăm prin diferențiere, 2) Folosim formula Newton-Leibniz.

Este util să verificați rezultatul prin software / servicii online sau doar „estimați” conform desenului în funcție de celule. Dar ambele nu sunt întotdeauna fezabile, așa că suntem extrem de atenți la fiecare etapă a soluției!

Versiunea completă și cea mai recentă a acestui curs în format pdf,
precum și cursuri pe alte subiecte pot fi găsite.

Poți și tu - simplu, accesibil, distractiv și gratuit!

CU Cele mai bune urări, Alexandru Emelin

Fie funcția nenegativă și continuă pe interval. Apoi, conform sens geometric a unei anumite integrale, aria unui trapez curbiliniu delimitată deasupra de graficul acestei funcții, dedesubt de axă, la stânga și la dreapta prin linii drepte și (vezi Fig. 2) se calculează prin formula

Exemplul 9. Găsiți aria unei figuri delimitate de o dreaptă si axa.

Soluţie. Graficul funcției este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos. Să-l construim (Fig. 3). Pentru a determina limitele de integrare, găsim punctele de intersecție ale dreptei (parabolei) cu axa (dreptei). Pentru a face acest lucru, rezolvăm sistemul de ecuații

Primim: , unde , ; prin urmare, ,.

Orez. 3

Găsim aria figurii folosind formula (5):

Dacă funcția este nepozitivă și continuă pe segmentul , atunci aria trapezului curbiliniu delimitată mai jos de graficul acestei funcții, deasupra de axă, la stânga și la dreapta prin linii drepte și , se calculează de către formula

. (6)

Dacă funcția este continuă pe un segment și își schimbă semnul la un număr finit de puncte, atunci aria figurii umbrite (Fig. 4) este egală cu suma algebrică a integralelor definite corespunzătoare:

Orez. 4

Exemplul 10. Calculați aria figurii mărginite de axa și graficul funcției la .

Orez. 5

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 5). Suprafața necesară este suma suprafețelor și . Să găsim fiecare dintre aceste zone. În primul rând, determinăm limitele integrării prin rezolvarea sistemului Primim ,. Prin urmare:

;

Astfel, aria figurii umbrite este

(unități pătrate).

Orez. 6

În cele din urmă, fie trapezul curbiliniu mărginit deasupra și dedesubt de graficele funcțiilor continue pe segment și ,
iar pe stânga și dreapta - linii drepte și (Fig. 6). Apoi aria sa este calculată prin formula

. (8)

Exemplul 11. Găsiți aria figurii delimitată de linii și.

Soluţie. Această figură este prezentată în Fig. 7. Să calculăm aria sa folosind formula (8). Rezolvând sistemul de ecuații găsim, ; prin urmare, ,. Pe segment avem: . Aceasta înseamnă că în formula (8) luăm ca x, iar ca calitate – . Primim:

(unități pătrate).

Problemele mai complexe de calculare a suprafețelor sunt rezolvate prin împărțirea figurii în părți care nu se suprapun și calcularea ariei întregii figuri ca sumă a ariilor acestor părți.

Orez. 7

Exemplul 12. Aflați aria figurii delimitată de liniile , , .

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 8). Această figură poate fi considerată ca un trapez curbiliniu, mărginit de jos de axă, la stânga și la dreapta - prin linii drepte și, de sus - prin grafice ale funcțiilor și. Deoarece figura este limitată de sus de graficele a două funcții, pentru a-și calcula aria, împărțim această cifră dreaptă în două părți (1 este abscisa punctului de intersecție a dreptelor și ). Aria fiecăreia dintre aceste părți este găsită folosind formula (4):

(unități pătrate); (unități pătrate). Prin urmare:

(unități pătrate).

Orez. 8

X= j( la)

Orez. 9

În concluzie, observăm că, dacă un trapez curbiliniu este limitat de linii drepte și , axă și continuă pe curbă (Fig. 9), atunci aria lui se află prin formula

Volumul unui corp de revoluție

Fie un trapez curbiliniu, mărginit de graficul unei funcții continuă pe un segment, de o axă, de drepte și , să se rotească în jurul axei (Fig. 10). Apoi volumul corpului de rotație rezultat este calculat prin formula

. (9)

Exemplul 13. Calculați volumul unui corp obținut prin rotirea în jurul axei unui trapez curbiliniu delimitat de o hiperbolă, linii drepte și axă.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 11).

Din condiţiile problemei rezultă că , . Din formula (9) obținem

Orez. 10

Orez. 11

Volumul unui corp obtinut prin rotatie in jurul unei axe Oh trapez curbiliniu delimitat de linii drepte y = cŞi y = d, axa Ohşi un grafic al unei funcţii continuă pe un segment (Fig. 12), determinat prin formula

. (10)

X= j( la)

Orez. 12

Exemplul 14. Calculați volumul unui corp obținut prin rotirea în jurul unei axe Oh trapez curbiliniu delimitat de linii X 2 = 4la, y = 4, x = 0 (Fig. 13).

Soluţie. În conformitate cu condiţiile problemei, găsim limitele integrării: , . Folosind formula (10) obtinem:

Orez. 13

Lungimea arcului unei curbe plane

Lasă curba dat de ecuaţie, unde , se află în plan (Fig. 14).

Orez. 14

Definiţie. Lungimea unui arc este înțeleasă ca limita la care tinde lungimea unei linii întrerupte înscrisă în acest arc, când numărul de legături ale liniei întrerupte tinde spre infinit, iar lungimea celei mai mari legături tinde spre zero.

Dacă o funcție și derivata ei sunt continue pe segment, atunci lungimea arcului curbei este calculată prin formula

. (11)

Exemplul 15. Calculați lungimea arcului curbei cuprinse între punctele pentru care .

Soluţie. Din conditiile problema pe care le avem . Folosind formula (11) obținem:

4. Integrale improprii
cu limite infinite de integrare

La introducerea conceptului de integrală definită, s-a presupus că au fost îndeplinite următoarele două condiții:

a) limitele integrării Oși sunt finite;

b) integrandul este mărginit pe interval.

Dacă cel puțin una dintre aceste condiții nu este îndeplinită, atunci se numește integrala nu a ta.

Să considerăm mai întâi integralele improprii cu limite infinite de integrare.

Definiţie. Fie ca funcția să fie definită și continuă pe interval, atuncişi nelimitat în dreapta (Fig. 15).

Dacă integrala improprie converge, atunci această zonă este finită; dacă integrala improprie diverge, atunci această zonă este infinită.

Orez. 15

O integrală improprie cu o limită inferioară infinită de integrare este definită în mod similar:

. (13)

Această integrală converge dacă limita din partea dreaptă a egalității (13) există și este finită; altfel se spune că integrala este divergentă.

O integrală improprie cu două limite infinite de integrare este definită după cum urmează:

, (14)

unde с este orice punct al intervalului. Integrala converge numai dacă ambele integrale din partea dreaptă a egalității (14) converg.

;

G) = [selectați un pătrat complet la numitor: ] = [înlocuire:

] =

Aceasta înseamnă că integrala improprie converge și valoarea ei este egală cu .