Pred vami je papier s obrázkom: a) trojuholníka, b) päťcípej hviezdy, c) mnohouholníka v tvare plávajúcej labute. V každom prípade navrhnúť, ako poskladať papier tak, aby sa potom zodpovedajúci tvar dal vystrihnúť jedným súvislým rovným strihom nožnicami.
Nápoveda
Vo všetkých prípadoch riešenie takmer úplne pozostáva z krokov dvoch typov: musíte pridať buď pozdĺž osy niektoré z uhlov spojených s obrázkom (aby sa „zmenšil“ počet segmentov, ktoré nezostávajú na tej istej čiare) , alebo pozdĺž kolmice na jeden zo segmentov (aby sa jeho dĺžka „prispôsobila » požadovanej dĺžke).
Riešenie
Obrázky nižšie znázorňujú, ako poskladať tvary z úlohy, aby ste potom každý z nich vystrihli jedným rezom.
S trojuholníkom je všetko viac-menej jasné: pridávame pozdĺž jednej osi, potom pozdĺž druhej (obr. 1).
S hviezdou sa tiež celkom ľahko zaobchádza. Najprv ju musíte zložiť na polovicu pozdĺž osi symetrie (úplne prirodzená akcia - pretože postavu môžete „rozpoliť“ jedným ťahom). Potom - skombinujte dva lúče hviezdy navzájom a pridajte pozdĺž osy jej „vonkajšieho“ uhla. Potom zostanú z obrysu len tri segmenty, ktoré sa dajú ľahko kombinovať (obr. 2).
Najťažšia vec je labuť. Je to pochopiteľné: postava bez symetrií, s veľkým počtom strán; preto bude potrebný veľký počet záhybov. Schéma skladania je znázornená na obr. 3. Jednoduché bodkované čiary predstavujú záhyby smerom nadol, bodkované čiary predstavujú záhyby smerom nahor. Najprv musíte tieto záhyby označiť samostatne, aby plachta mala tvar strechy domu, a až potom plachtu zložte do plochého tvaru.
Séria fotografií ukazuje celý proces skladania:
O tom, odkiaľ pochádza taký dômyselný systém záhybov, si prečítajte v doslove.
Doslov
Všetky možnosti navrhované v podmienke sú len špeciálnymi prípadmi všeobecnej otázky, ktorá znie takto:
Vzhľadom na mnohouholník na rovnom hárku papiera, je možné tento hárok zložiť tak, aby sa dal mnohouholník vystrihnúť jedným rovným rezom?
Ukazuje sa, že bez ohľadu na tvar mnohouholníka je odpoveď na túto otázku vždy kladná: áno, môžete. (Samozrejme, teraz diskutujeme o tomto probléme z hľadiska matematiky a nedotýkame sa „fyzickej“ stránky veci: nie je možné zložiť list papiera príliš veľakrát. Verí sa, že je nie je možné zložiť ani veľmi tenký papier viac ako 7-8 krát. Je to takmer tak: s trochou úsilia môžete urobiť 12 ohybov, ale je nepravdepodobné, že by ste dokázali viac.)
Navyše, ak je nakreslených niekoľko mnohouholníkov, potom je možné list stále zložiť tak, aby sa dali všetky vystrihnúť jedným rezom (a nič navyše sa nevystrihne). Ide o to, že platí nasledovné veta:
Nech si na papier nakreslíme ľubovoľný graf. Potom sa dá tento list zložiť tak, aby sa tento graf dal vyrezať jedným rezom a nič zbytočné sa nevystrihlo.
Táto veta má algoritmický dôkaz. To znamená, že jeho dôkaz dáva jasný recept na to, ako vytvoriť požadovaný systém záhybov.
Stručne povedané, podstatou je toto. Najprv musíme postaviť rovnú kostru. Ide o množinu čiar – trajektórií vrcholov pôvodného mnohouholníka – po ktorých sa pohybujú pri jeho špeciálnej kompresii. Kompresia funguje takto: strany mnohouholníka posúvame „vnútri“ konštantnou rýchlosťou, takže každá strana sa pohybuje bez zmeny smeru. Ako môžete ľahko vidieť, najprv sa vrcholy budú plaziť pozdĺž osí rohov polygónu. To znamená, že táto podivná konštrukcia na prvý pohľad jednoducho zovšeobecňuje myšlienku navrhovanú v náznaku: že by ste sa mali pokúsiť pridať pozdĺž osi rohov mnohouholníka. Všimnite si, že počas procesu kompresie sa polygón môže „rozpadnúť“ na kúsky, ako sa to stalo na obr. 5.
Po získaní kostry je potrebné z každého z jej vrcholov nakresliť lúče kolmé na tie strany pôvodného obrázku, na ktoré ich možno nakresliť. Ak sa lúč stretne s čiarou z kostry, potom by po prekročení mal pokračovať nie rovno, ale pozdĺž jej zrkadlového obrazu vzhľadom na túto čiaru. Systém skladania pozostáva z nakreslených čiar.
Viac informácií o tom a o tom, ako určiť smer preloženia („hore“ alebo „dole“), nájdete v článku E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Folding and Cutting Paper. Stručnú históriu a iný prístup k riešeniu problému nájdete na stránke Erica Demaina, jedného z autorov dôkazu vety. O tejto vete si môžete prečítať aj trochu populárnejší príbeh (bohužiaľ aj v angličtine). A nakoniec vám odporúčam, aby ste si pozreli karikatúru „Matematické etudy“, v ktorej môžete jasne vidieť, ako zložiť trojuholník a hviezdu a potom ich vystrihnúť jedným rezom.
Na záver poznamenávam, že otázky podobné tým, o ktorých sme hovorili vyššie, boli nastolené už pomerne dlho. Napríklad v japonskej knihe z roku 1721 boli ako jeden z problémov čitatelia požiadaní, aby pomocou jedného rezu vyrezali postavu z troch spojených kosoštvorcov (obr. 6). Neskôr slávny iluzionista Harry Houdini vo svojej knihe vysvetlil spôsob vystrihnutia hviezdy. Mimochodom, podľa legendy, práve preto, že takáto hviezda sa dá rýchlo vystrihnúť z papiera alebo látky, teraz vidíme na vlajke USA päťcípe hviezdy: krajčírka Betsy Ross, ktorá podľa legendy ušila prvú vlajku, dokázal presvedčiť Georgea Washingtona, že sa na vlajku používajú lepšie ako šesťcípe, ktoré chcel Washington pôvodne použiť.
Sargsyan Roman
Výskumnú prácu „Problémy s rezaním“ absolvovali žiaci 8. ročníka
Študentom sa predstavia a preskúmajú techniky rezania figúrok v hrách „Pentamino“, „Tangramy“, hádanky a dôkazy viet.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Náhľad:
Výskumná práca na danú tému
"Problémy s rezaním"
Účinkujú: Roman Sargsyan, Anastasia Shavrova,
žiaci 8. ročníka
MBOU "Severomuyskaya Stredná škola"
Vedúci: učiteľka matematiky Ogarková I.I.
- Úvod
- Historický odkaz
- Hra "Pentamino"
- Hra "Tangram"
- Problém "torta"
- Úloha č. 4 - „Vystrihnite obdĺžnik“
- Úloha č. 5 - „Vystrihnite dva štvorce“
- Úloha č. 6 - "Vystrihnite dva štvorce-2"
- Problém #7 – Kríž
- Úloha č.8 – Kríž -2
- Úloha č. 9 - Štvorec 8*8
- Problém č. 10 Oblasť rovnobežníka
- Problém č. 11 Oblasť lichobežníka
- Úloha č. 12 Oblasť trojuholníka
- Záver
- Literatúra.
Úvod
„Riešenie problémov je praktické umenie
plávanie, lyžovanie alebo hra na klavíri;
môžete sa to naučiť iba napodobňovaním dobra
vzorky a neustále cvičíme"
D. Poya
Vášeň pre matematiku často začína premýšľaním o probléme, ktorý sa vám obzvlášť páči. Bohatým zdrojom takýchto problémov sú rôzne olympiády – školské, mestské, diaľkové, medzinárodné. V rámci prípravy na olympiády sme si pozreli mnoho rôznorodých úloh a identifikovali sme skupinu problémov, ktorých prístup k riešeniu sa nám zdal zaujímavý a originálny. Toto sú strihacie úlohy. Mali sme otázky: aká je zvláštnosť takýchto problémov, existujú špeciálne metódy a techniky na riešenie problémov s rezaním.
Relevancia (snímka 2)
- Matematici objavujú nové súvislosti medzi matematickými objektmi. Výsledkom tejto práce sú všeobecné metódy riešenia rôznych problémov. A tieto problémy dostávajú štandardné metódy riešenia, ktoré sa presúvajú z kategórie kreatívnych do kategórie technických, to znamená, že vyžadujú použitie už známych metód na ich riešenie.
- Strihacie úlohy pomáhajú školákom vytvárať geometrické koncepty čo najskôr pomocou rôznych materiálov. Pri riešení takýchto problémov vzniká pocit krásy, zákona a poriadku v prírode.
Predmet štúdia: strihacie úlohy
Predmet štúdia: množstvo rezných problémov, metód a techník na ich riešenie.
Výskumné metódy: modelovanie, porovnávanie, zovšeobecňovanie, analógie, štúdium literárnych a internetových zdrojov, analýza a klasifikácia informácií.
(Snímka 3) Hlavnáúčel štúdieje rozšírenie vedomostí o rôznych rezných úlohách.
Na dosiahnutie tohto cieľa plánujeme vyriešiť nasledovnéúlohy: (Snímka 4)
- vyberte potrebnú literatúru
- naučiť sa rezať geometrické tvary na časti potrebné na zostavenie jedného alebo druhého geometrického tvaru s využitím ich vlastností a charakteristík;
- naučte sa dokázať, že plochy obrazcov sú rovnaké tak, že ich rozrežete na určité časti a dokážete, že tieto obrazce sú rovnako zložené;
- vykonávať geometrický výskum a navrhovať pri riešení problémov rôzneho typu.
- vybrať materiál na výskum, vybrať hlavné, zaujímavé, zrozumiteľné informácie
- analyzovať a systematizovať prijaté informácie
- nájsť rôzne metódy a techniky na riešenie problémov rezania
- klasifikovať skúmané problémy
- nájsť spôsoby, ako zmeniť tvar: trojuholník na rovnobežník; rovnobežník do rovnostranného trojuholníka; lichobežníka do rovnostranného trojuholníka.
- Vytvorte elektronickú prezentáciu svojej práce
hypotéza: Možno rozmanitosť problémov so strihaním, ich „zábavný“ charakter a nedostatok všeobecných pravidiel a metód na ich riešenie spôsobujú školákom ťažkosti pri ich zvažovaní. Predpokladajme, že pri bližšom skúmaní strihových úloh sa presvedčíme o ich relevantnosti, originalite a užitočnosti.
Pri riešení úloh rezania nepotrebujeme znalosti základov planimetrie, ale budeme potrebovať vynaliezavosť, geometrickú predstavivosť a pomerne jednoduché geometrické informácie, ktoré sú známe každému.
(Snímka 5) Historické pozadie
Problémy s rezaním ako typ hádanky priťahovali pozornosť už od staroveku. Prvé pojednanie, ktoré sa zaoberá problémami rezania, napísal slávny arabský astronóm a matematik z Khorasanu, Abu al-Wefa (940 - 998 po Kr.). Začiatkom 20. storočia vďaka prudkému nárastu periodík vzbudilo pozornosť riešenie problémov rozrezania figúrok na daný počet dielov a ich následného poskladania do novej figúry ako prostriedok na zábavu širokých vrstiev spoločnosti. Teraz geometri brali tieto problémy vážne, najmä preto, že sú založené na starodávnom probléme rovnako veľkých a rovnako zložených postáv, ktorý sa datuje od starovekých geometrov. Známymi špecialistami v tomto odvetví geometrie boli slávni klasici zábavnej geometrie a tvorcovia hlavolamov Henry E. Dudeney a Harry Lindgren.
Encyklopédiou na riešenie rôznych problémov s rezaním je kniha „Cutting Geometry“ od Harryho Lindgrena. V tejto knihe nájdete záznamy pre rezanie polygónov do daných tvarov
Pri zvažovaní riešení problémov s rezaním chápete, že neexistuje žiadny univerzálny algoritmus alebo metóda. Niekedy môže začínajúci geometer svojim riešením výrazne predčiť skúsenejšieho človeka. Táto jednoduchosť a dostupnosť je základom popularity hier založených napríklad na riešení takýchto problémov- (Snímka 6) pentomino"príbuzní" Tetris, tangram.
(Snímka 7) Hra „Pentamino“ Pravidlá hry
Podstatou hry je stavať rôzne siluety objektov na rovine. Hra zahŕňa pridávanie rôznych figúrok z danej sady pentominoes. Sada pentomino obsahuje 12 figúrok, z ktorých každá pozostáva z piatich rovnakých štvorcov a štvorce k sebe „susedia“ iba svojimi stranami.
Hra "Tangram" (snímka 8)
V hre „tangram“ môže byť zo siedmich základných prvkov vytvorený značný počet figúrok.Všetky zostavené figúrky musia mať rovnakú plochu, pretože zostavené z rovnakých prvkov. Z toho vyplýva, že:
- Každá zostavená figúrka musí určite obsahovať všetkých sedem prvkov.
- Pri skladaní figúry by sa prvky nemali navzájom prekrývať, t.j. byť umiestnené iba v jednej rovine.
- Prvky obrázkov musia byť vedľa seba.
Úlohy
V hre tangram existujú 3 hlavné kategórie úloh:
- Nájdenie jedného alebo viacerých spôsobov skonštruovania danej figúry alebo elegantného dôkazu o nemožnosti zostrojiť figúru.
- Hľadanie spôsobu, ako zobraziť siluety zvierat, ľudí a iných rozpoznateľných predmetov s najväčšou expresivitou alebo humorom (alebo oboje dohromady).
- Riešenie rôznych problémov kombinatorickej geometrie vznikajúcich v súvislosti s kompozíciou figúr zo 7 tanov.
Úloha 3 (Snímka 9)
Koláč , zdobený ružami, bol rozdelený na kusy tromi rovnými rezmi tak, aby každý kus obsahoval práve jednu ružu. Aký najväčší počet ruží môže byť na torte?
Komentár. Riešenie problému je založené na aplikácii axiómy:"Priamka rozdeľuje rovinu na dve polroviny."Mali by byť znázornené všetky možné prípady usporiadania troch priamych čiar. Z obrázku je zrejmé, že najväčší počet častí - 7 - sa získa, keď sa čiary pretínajú v pároch. Na torte teda nemohlo byť viac ako 7 ruží.
Úloha 4 (Snímka 10)
Vystrihnite obdĺžnik, ax2a na také časti, aby z nich bolo možné poskladať rovnakú veľkosť:
1) pravouhlý trojuholník;
2) štvorec.
Riešenie problému je zrejmé z obrázkov 2 a 3.
Úloha 5 (Snímka 11)
Vystrihnite dva štvorce1x1 a 3x3 na také časti, aby sa z nich dal vytvoriť štvorec rovnakej veľkosti.
Komentár. Úlohou je pretvoriť postavu pozostávajúcu z dvoch štvorcov na štvorec rovnakej veľkosti. Rozloha nového námestia je 3 2 +1 2 , čo znamená, že strana štvorca rovná súčtu týchto štvorcov je rovná, t.j. je prepona obdĺžnika s nohami 3 a 1. Konštrukcia takéhoto štvorca je zrejmá z obrázku 4
Úloha 6 (snímka 12)
Vystrihnite dva náhodné štvorcedo takých častí, aby sa dali použiť na vytvorenie štvorca rovnakej veľkosti.
Riešenie problému je zrejmé z obrázku 5. Plocha nového štvorca je a 2 + b 2 , čo znamená, že strana štvorca rovná súčtu týchto štvorcov sa rovná
t.j. je to prepona pravouhlého trojuholníka s nohami a a b.
Úloha 7 (snímka 13)
Kríž pozostáva z piatich štvorcov: jeden štvorec je v strede a ďalšie štyri susedia s jeho stranami. Nakrájajte ho na kúsky tak, aby ste z nich vytvorili štvorec rovnakej veľkosti.
Riešenie problému je zrejmé z obrázku 6.
Úloha 8 (Snímka 14)
Kríž pozostáva z piatich štvorcov: jeden štvorec je v strede a ďalšie štyri susedia s jeho stranami. Ako pokryť povrch lyka šiestimi takými krížikmi, z ktorých každá strana má rovnakú veľkosť ako kríž.
Komentár. Kríž je prekrytý na okraji (obr. 7), nie je potrebné orezávať a znovu lepiť „odstávajúce uši“ - presunú sa na susedný okraj a skončia na správnych miestach. Omotaním „vyčnievajúcich uší“ na susedné plochy tak môžete pokryť povrch kocky šiestimi krížikmi (obr. 8).
Úloha 9 (Snímka 15)
Štvorec 8x8 rozrežte na štyri časti, ako je znázornené na obrázku 9. Z výsledných častí sa vytvorí obdĺžnik 13x5. Plocha obdĺžnika je 65 a plocha štvorca 64. Vysvetlite, kde je chyba.
sklo- tento materiál je špeciálny a líši sa od ostatných stavebných materiálov.
Tento stavebný materiál je mimoriadne krehký a z väčšej časti priehľadný.
Preto predtým, ako si kúpite sklo a začnete s ním pracovať, musíte začať nakupovať s nástrojom.
Nemali by ste si však kupovať prvý nástroj, na ktorý narazíte, pretože môže byť nekvalitný a nebude schopný rezať sklo podľa potreby.
Je veľmi dôležité určiť, aký nástroj potrebujete, pretože existuje niekoľko typov fréz na sklo:
- Valček;
- Diamant;
- olejový;
Valček
Valčeková rezačka skla na rezanie skla má zabudovaný špeciálny valček, ktorý je vyrobený z veľmi odolnej zliatiny volfrámu a kobaltu. Bežný priemer valca je 6,6 mm, tento priemer valca umožňuje rezanie skla do hrúbky 4 mm.
diamant
Diamantový rezač skla je vybavený zodpovedajúcim malým diamantom, tento diamant reže sklo. Tvrdosť diamantu je dobre známa, a preto sa už dlho používa na rezanie skla.
V súčasnosti, rovnako ako predtým, je diamantová rezačka skla považovaná za najlepší nástroj na rezanie skla.
Olejový
Nie je to tak dávno, čo do zoznamu rezačov skla pribudla rezačka na olejové sklo.
Ide v podstate o vylepšený valčekový nástroj, ktorý má v rukoväti zabudovaný zásobník na privádzanie maziva do valčeka. Toto mazivo viaže častice, ktoré vznikli pri rezaní skla a zároveň zabezpečuje plynulý pohyb. Táto rezačka skla dokáže rezať sklo až do hrúbky 20 mm.
- Pred zakúpením akéhokoľvek typu rezačky skla je najlepšie požiadať predajcu o kontrolu.
- Ak ste s nástrojom spokojní, môžete si ho kúpiť, ale kúpte si ten, ktorý vám bol ukázaný.
Ako rezať sklo
Tabuľu skla nie je také ľahké rezať, ako sa na prvý pohľad zdá. Na výrobu skleneného rezu je potrebná príprava.
Príprava
- Úplne nové sklo bude potrebné iba dôkladne očistiť od prachu a utrieť dosucha novinami, tkanina nie je na takúto prácu vhodná.
- Ak musíte staré sklo rezať, mali by ste ho najskôr odmastiť, potom sa sklo dobre umyje vodou a čistiacimi prostriedkami.
- Po všetkých vyššie uvedených manipuláciách bude potrebné sklo vysušiť v uzavretej a čistej miestnosti.
Rezané sklo
Súčasťou prípravných prác je aj rezanie skla a príprava nádob na zber odpadu. Mali by tam byť dva kontajnery, teda na zber drobného odpadu a na zber väčších, ktoré sa môžu v budúcnosti na niečo hodiť.
Pri rezaní skla je najlepšie začať s jednoduchým okenným sklom a potom prejsť na zložitejšie možnosti.
Technika rezania skla
Pri použití diamantovej frézy na sklo, musíte ho držať na samom spodku rukoväte a nakresliť hladkú čiaru pozdĺž pravítka, takmer bez toho, aby ste stlačili sklo.
Pri rezaní skla valčekovou rezačkou skla Je potrebný malý tlak a pri pohybe rezačky skla sa na povrchu skla objaví belavý pás, hlbší ako pri použití diamantového nástroja.
Možné chyby
Keď je rieka skla, sú dve chyby:
- Tlak s rezačkou skla môže byť príliš silný;
- Rezačka skla sa vykonáva niekoľkokrát na tom istom mieste.
Pri rezaní skla sa snažte stlačiť nástroj rovnomerne po celej dĺžke rezu.
Ak pri rezaní skla spozorujete triesky, znamená to len, že na nástroj príliš tlačíte. Aby ste tomu zabránili, znížte tlak na rezačku skla.
Nikdy neťahajte dvakrát pozdĺž línie rezu, pretože to môže poškodiť váš nástroj.
Poslednou fázou je rozbíjanie skla
Tenké sklo sa rozbíja ručne. Kus skla, ktorý už bol narezaný, musí byť položený na okraj stola tak, aby rezná línia bola navrchu a mierne vyčnievala za okraj stola a hlavná časť skla by mala ležať na stole.
Jednou rukou musíte stlačiť sklenenú tabuľu a druhou musíte chytiť vyčnievajúcu časť skla a jemne zatlačiť na sklo rukou.
Ak je okraj, ktorý je potrebné odlomiť, malý a nedá sa odlomiť rukou, použite kliešte.
Znalosť teórie rezania ocele umožňuje aplikovať tieto poznatky v praxi. To znamená, že si môžete vziať malý kúsok skla a cvičiť na ňom.
Potom, čo si vyskúšate rezanie skla v praxi, budete si v budúcnosti istejší vo svojich schopnostiach. Dúfame, že tieto informácie budú užitočné. Prajeme vám veľa šťastia a trpezlivosti!
Bod je abstraktný objekt, ktorý nemá žiadne meracie charakteristiky: žiadnu výšku, žiadnu dĺžku, žiadny polomer. V rámci úlohy je dôležité len jej umiestnenie
Bod je označený číslom alebo veľkým (veľkým) latinským písmenom. Niekoľko bodiek - s rôznymi číslami alebo rôznymi písmenami, aby sa dali rozlíšiť
bod A, bod B, bod C
A B Cbod 1, bod 2, bod 3
1 2 3Môžete nakresliť tri bodky „A“ na papier a vyzvať dieťa, aby cez dve bodky „A“ nakreslilo čiaru. Ako však pochopiť prostredníctvom ktorých? A A A
Čiara je množina bodov. Meria sa len dĺžka. Nemá šírku ani hrúbku
Označené malými (malými) latinskými písmenami
čiara a, čiara b, čiara c
a b cČiara môže byť
- uzavretý, ak jeho začiatok a koniec sú v rovnakom bode,
- otvorené, ak jeho začiatok a koniec nie sú spojené
uzavreté linky
otvorené čiary
Odišli ste z bytu, kúpili ste si chlieb v obchode a vrátili ste sa späť do bytu. Aký riadok si dostal? Presne tak, zatvorené. Ste späť vo svojom východiskovom bode. Vyšli ste z bytu, kúpili ste si chlieb v obchode, vošli ste do vchodu a začali ste sa rozprávať so susedom. Aký riadok si dostal? OTVORENÉ. Nevrátili ste sa do východiskového bodu. Odišli ste z bytu a kúpili ste si chlieb v obchode. Aký riadok si dostal? OTVORENÉ. Nevrátili ste sa do východiskového bodu.- sebapretínanie
- bez sebapriesečníkov
samo sa pretínajúce čiary
linky bez sebapriesečníkov
- rovno
- zlomený
- nepoctivý
rovné čiary
prerušované čiary
zakrivené čiary
Priamka je čiara, ktorá nie je zakrivená, nemá začiatok ani koniec, môže pokračovať donekonečna v oboch smeroch
Dokonca aj vtedy, keď je viditeľný malý úsek priamky, predpokladá sa, že pokračuje donekonečna v oboch smeroch
Označené malým (malým) latinským písmenom. Alebo dve veľké (veľké) latinské písmená - body ležiace na priamke
priamka a
apriamka AB
B APriamy môže byť
- pretínajú, ak majú spoločný bod. Dve čiary sa môžu pretínať iba v jednom bode.
- kolmé, ak sa pretínajú v pravom uhle (90°).
- Rovnobežky, ak sa nepretínajú, nemajú spoločný bod.
rovnobežné čiary
pretínajúce sa čiary
kolmé čiary
Lúč je časť priamky, ktorá má začiatok, ale žiadny koniec; môže pokračovať donekonečna len jedným smerom
Lúč svetla na obrázku má svoj východiskový bod ako slnko.
slnko
Bod rozdeľuje priamku na dve časti - dva lúče A A
Nosník je označený malým (malým) latinským písmenom. Alebo dve veľké (veľké) latinské písmená, kde prvé je bod, z ktorého začína lúč, a druhé je bod ležiaci na lúči
lúč a
alúč AB
B ALúče sa zhodujú, ak
- umiestnené na rovnakej priamke
- začať v jednom bode
- nasmerované jedným smerom
lúče AB a AC sa zhodujú
lúče CB a CA sa zhodujú
C B AÚsek je časť úsečky, ktorá je ohraničená dvoma bodmi, to znamená, že má začiatok aj koniec, čo znamená, že je možné zmerať jej dĺžku. Dĺžka segmentu je vzdialenosť medzi jeho počiatočným a koncovým bodom
Prostredníctvom jedného bodu môžete nakresliť ľubovoľný počet čiar, vrátane priamych čiar
Cez dva body - neobmedzený počet kriviek, ale iba jedna priamka
zakrivené čiary prechádzajúce cez dva body
B Apriamka AB
B AKus bol „odrezaný“ z priamky a zostal segment. Z vyššie uvedeného príkladu môžete vidieť, že jeho dĺžka je najkratšia vzdialenosť medzi dvoma bodmi. ✂ B A ✂
Segment je označený dvoma veľkými (veľkými) latinskými písmenami, pričom prvé je bod, v ktorom segment začína, a druhé je bod, v ktorom segment končí.
segment AB
B AProblém: kde je čiara, lúč, segment, krivka?
Prerušovaná čiara je čiara pozostávajúca z po sebe nasledujúcich segmentov, ktoré nie sú v uhle 180°
Dlhý segment bol „rozbitý“ na niekoľko krátkych
Články prerušovanej čiary (podobne ako články reťaze) sú segmenty, ktoré tvoria prerušovanú čiaru. Susedné odkazy sú odkazy, v ktorých je koniec jedného odkazu začiatkom druhého. Susedné články by nemali ležať na rovnakej priamke.
Vrcholy prerušovanej čiary (podobne ako vrcholky hôr) sú bod, od ktorého začína prerušovaná čiara, body, v ktorých sú spojené segmenty, ktoré tvoria prerušovanú čiaru, a bod, v ktorom prerušovaná čiara končí.
Prerušovaná čiara je označená zoznamom všetkých jej vrcholov.
prerušovaná čiara ABCDE
vrchol krivky A, vrchol krivky B, vrchol krivky C, vrchol krivky D, vrchol krivky E
nefunkčný odkaz AB, nefunkčný odkaz BC, nefunkčný odkaz CD, nefunkčný odkaz DE
prepojenie AB a prepojenie BC susedia
link BC a link CD sú vedľa seba
odkaz CD a odkaz DE susedia
A B C D E 64 62 127 52Dĺžka prerušovanej čiary je súčtom dĺžok jej článkov: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305
Úloha: ktorá prerušovaná čiara je dlhšia, A ktorý má viac vrcholov? Prvý riadok má všetky články rovnakej dĺžky, konkrétne 13 cm. Druhý riadok má všetky články rovnakej dĺžky, konkrétne 49 cm. Tretí riadok má všetky články rovnakej dĺžky, konkrétne 41 cm.
Mnohouholník je uzavretá mnohouholníková čiara
Strany mnohouholníka (výrazy vám pomôžu zapamätať si: „choď všetkými štyrmi smermi“, „bež smerom k domu“, „na ktorú stranu stola si sadneš?“) sú spojnice prerušovanej čiary. Susedné strany mnohouholníka sú priľahlé články prerušovanej čiary.
Vrcholy mnohouholníka sú vrcholy prerušovanej čiary. Susedné vrcholy sú koncové body jednej strany mnohouholníka.
Mnohouholník je označený zoznamom všetkých jeho vrcholov.
uzavretá lomená čiara bez vlastného priesečníka, ABCDEF
polygón ABCDEF
vrchol mnohouholníka A, vrchol mnohouholníka B, vrchol mnohouholníka C, vrchol mnohouholníka D, vrchol mnohouholníka E, vrchol mnohouholníka F
vrchol A a vrchol B spolu susedia
vrchol B a vrchol C susedia
vrchol C a vrchol D spolu susedia
vrchol D a vrchol E spolu susedia
vrchol E a vrchol F susedia
vrchol F a vrchol A susedia
polygónová strana AB, polygónová strana BC, polygónová strana CD, polygónová strana DE, polygónová strana EF
strana AB a strana BC susedia
strana BC a strana CD susedia
Strana CD a DE sú vedľa seba
strana DE a strana EF susedia
strana EF a strana FA susedia
A B C D E F 120 60 58 122 98 141Obvod mnohouholníka je dĺžka prerušovanej čiary: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599
Mnohouholník s tromi vrcholmi sa nazýva trojuholník, so štyrmi - štvoruholník, s piatimi - päťuholník atď.
Do pozornosti lektorov matematiky a učiteľov rôznych voliteľných predmetov a krúžkov sa ponúka výber zábavných a vzdelávacích úloh geometrického rezu. Cieľom lektora, ktorý na hodinách používa takéto problémy, je nielen zaujať študenta zaujímavými a efektnými kombináciami buniek a figúrok, ale aj rozvíjať jeho zmysel pre čiary, uhly a tvary. Súbor problémov je zameraný najmä na deti 4. – 6. ročníka, hoci je možné ho použiť aj u stredoškolákov. Cvičenia vyžadujú od študentov vysokú a stabilnú koncentráciu pozornosti a sú ideálne na rozvoj a tréning zrakovej pamäte. Odporúča sa pre lektorov matematiky, ktorí pripravujú študentov na prijímacie skúšky do matematických škôl a tried, ktoré kladú osobitné nároky na úroveň samostatného myslenia a tvorivých schopností dieťaťa. Úroveň úloh zodpovedá úrovni vstupných olympiád na lýceum „druhá škola“ (druhá matematická škola), Malá fakulta mechaniky a matematiky Moskovskej štátnej univerzity, Kurchatovova škola atď.
Poznámka učiteľa matematiky:
V niektorých riešeniach problémov, ktoré môžete zobraziť kliknutím na príslušný ukazovateľ, je uvedený iba jeden z možných príkladov rezania. Plne pripúšťam, že môžete skončiť s nejakou inou správnou kombináciou - toho sa netreba báť. Dôkladne skontrolujte riešenie svojho drobčeka a ak spĺňa podmienky, pokojne sa pustite do ďalšej úlohy.
1) Skúste rozrezať obrázok zobrazený na obrázku na 3 časti rovnakého tvaru:
: Malé tvary sú veľmi podobné písmenu T
2) Teraz rozrežte túto figúrku na 4 časti rovnakého tvaru:
Tip učiteľa matematiky: Je ľahké uhádnuť, že malé figúrky budú pozostávať z 3 buniek, ale nie je veľa figúrok s tromi bunkami. Sú len dva druhy: rohový a obdĺžnik 1×3.
3) Rozstrihnite túto figúrku na 5 rovnakých častí:
Nájdite počet buniek, ktoré tvoria každý takýto obrázok. Tieto čísla vyzerajú ako písmeno G.
4) Teraz musíte rozrezať postavu z desiatich buniek na 4 nerovný obdĺžnik (alebo štvorec) k sebe.
Pokyny doučovateľa matematiky: Vyberte obdĺžnik a potom sa pokúste zmestiť ďalšie tri do zostávajúcich buniek. Ak to nefunguje, zmeňte prvý obdĺžnik a skúste to znova.
5) Úloha sa stáva komplikovanejšou: figúrku musíte rozrezať na 4 odlišného tvaručísla (nie nevyhnutne obdĺžniky).
Tip učiteľa matematiky: najprv samostatne nakreslite všetky typy figúrok rôznych tvarov (budú ich viac ako štyri) a zopakujte spôsob vyčíslenia možností ako v predchádzajúcej úlohe.
:
6) Rozstrihnite túto figúrku na 5 figúrok zo štyroch buniek rôznych tvarov tak, aby v každej z nich bola namaľovaná iba jedna zelená bunka.
Tip učiteľa matematiky: Skúste začať rezať od horného okraja tejto figúry a hneď pochopíte, ako postupovať.
:
7) Na základe predchádzajúcej úlohy. Zistite, koľko figúrok rôznych tvarov obsahuje presne štyri bunky? Figúrky sa dajú krútiť a otáčať, ale nemôžete zdvihnúť stôl (z jeho povrchu), na ktorom leží. To znamená, že dve uvedené čísla sa nebudú považovať za rovnaké, pretože ich nemožno navzájom získať rotáciou.
Tip učiteľa matematiky: Preštudujte si riešenie predchádzajúceho problému a skúste si predstaviť rôzne polohy týchto figúrok pri otáčaní. Nie je ťažké uhádnuť, že odpoveďou na náš problém bude číslo 5 a viac. (V skutočnosti dokonca viac ako šesť). Je popísaných 7 typov figúrok.
8) Štvorec so 16 článkami rozrežte na 4 kusy rovnakého tvaru tak, aby každý zo štyroch kusov obsahoval práve jednu zelenú bunku.
Tip učiteľa matematiky: Vzhľad malých figúrok nie je štvorec alebo obdĺžnik, dokonca ani roh štyroch buniek. Do akých tvarov by ste sa teda mali pokúsiť krájať?
9) Vyobrazenú figúrku rozrežte na dve časti tak, aby sa výsledné časti dali zložiť do štvorca.
Tip učiteľa matematiky: Celkovo je 16 buniek, čo znamená, že štvorec bude mať veľkosť 4x4. A nejako potrebujete vyplniť okno v strede. Ako to spraviť? Môže nastať nejaký posun? Potom, keďže dĺžka obdĺžnika sa rovná nepárnemu počtu buniek, rezanie by sa nemalo robiť vertikálnym rezom, ale pozdĺž prerušovanej čiary. Tak, že horná časť je odrezaná na jednej strane strednej bunky a spodná časť na druhej strane.
10) Rozstrihnite obdĺžnik 4x9 na dva kusy tak, aby sa dali zložiť do štvorca.
Tip učiteľa matematiky: V obdĺžniku je celkovo 36 buniek. Štvorec teda bude mať veľkosť 6x6. Keďže dlhá strana pozostáva z deviatich buniek, tri z nich je potrebné odrezať. Ako bude prebiehať tento rez?
11) Kríž piatich buniek znázornených na obrázku je potrebné rozrezať (môžete rozrezať samotné bunky) na kúsky, z ktorých by sa dal poskladať štvorec.
Tip učiteľa matematiky: Je jasné, že bez ohľadu na to, ako budeme rezať pozdĺž čiar buniek, nedostaneme štvorec, pretože buniek je iba 5. Toto je jediná úloha, pri ktorej je rezanie povolené nie bunkami. Stále by však bolo dobré nechať ich ako sprievodcu. napríklad stojí za zmienku, že nejakým spôsobom potrebujeme odstrániť priehlbiny, ktoré máme - konkrétne vo vnútorných rohoch nášho kríža. Ako na to? Napríklad odrezanie niektorých vyčnievajúcich trojuholníkov z vonkajších rohov kríža...