V tomto článku sa budeme podrobne zaoberať rovinou a trojrozmerným priestorom. Začnime s definíciou kolmých čiar, ukážme si zápis a uveďme príklady. Potom uvedieme nevyhnutnú a postačujúcu podmienku pre kolmosť dvoch priamok a podrobne rozoberieme riešenia charakteristických problémov.
Navigácia na stránke.
Kolmé čiary - základné informácie.
Príklad.
V pravouhlom súradnicovom systéme Oxy sú dané tri body. Sú čiary AB a AC kolmé?
Riešenie.
Vektory a sú smerové vektory priamok AB a AC. S odkazom na článok počítame 
. Vektory a sú kolmé, od r 
. Tým je splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka pre kolmosť priamok AB a AC. Preto sú čiary AB a AC kolmé.
odpoveď:
Áno, rovné čiary sú kolmé.
Príklad.
Sú rovné a 
kolmý?
Riešenie.
Smerový vektor je priamka a je smerovací vektor priamky . Vypočítajme skalárny súčin vektorov a: 
. Je nenulový, preto smerové vektory čiar nie sú kolmé. To znamená, že nie je splnená podmienka kolmosti čiar, preto pôvodné čiary nie sú kolmé.
odpoveď:
Nie, čiary nie sú kolmé.
podobne, nevyhnutná a postačujúca podmienka pre kolmosť čiar a a b v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz v trojrozmernom priestore má tvar 
, Kde 
A 
sú smerové vektory priamok a a b.
Príklad.
Sú čiary definované v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz v trojrozmernom priestore kolmom na rovnice 
a ?
Riešenie.
Čísla v menovateloch kanonických rovníc priamky v priestore sú zodpovedajúce súradnice smerového vektora priamky. A súradnice smerového vektora priamky, ktorý je určený parametrickými rovnicami priamky v priestore, sú koeficienty parametra. teda 
a sú smerové vektory daných priamok. Poďme zistiť, či sú kolmé: 
. Keďže skalárny súčin je nula, tieto vektory sú kolmé. To znamená, že podmienka kolmosti daných čiar je splnená.
odpoveď:
Priame čiary sú kolmé.
Na kontrolu kolmosti dvoch priamok v rovine existujú ďalšie potrebné a postačujúce podmienky pre kolmosť.
Veta.
Aby priamky a a b boli kolmé v rovine, je potrebné a postačujúce, aby normálový vektor priamky a bol kolmý na normálový vektor priamky b.
Uvedenú podmienku kolmosti priamok je vhodné použiť, ak pomocou daných rovníc priamok možno ľahko nájsť súradnice normálových vektorov priamok. Toto tvrdenie zodpovedá všeobecnej rovnej priamke formulára 
, rovnica priamky v segmentoch a rovnica priamky s uhlovým koeficientom.
Príklad.
Uistite sa, že je rovný 
a kolmá.
Riešenie.
Vzhľadom na rovnice čiar je ľahké nájsť súradnice normálových vektorov týchto čiar. – vektor normálnej čiary . Prepíšme rovnicu do tvaru 
, odkiaľ sú viditeľné súradnice normálového vektora tejto priamky: .
Vektory a sú kolmé, pretože ich skalárny súčin sa rovná nule: 
. Tým je splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka kolmosti daných čiar, teda sú skutočne kolmé.
Najmä, ak je priamka a na rovine určená rovnicou priamky s uhlovým koeficientom tvaru , a priamka b tvaru , potom normálové vektory týchto priamok majú súradnice a , resp. a podmienka pre kolmosť týchto priamok je redukovaná na nasledujúci vzťah medzi uhlovými koeficientmi.
Rovno prekrížené
Pretínajúce sa priamky
Relatívna poloha čiar
Premietanie rovných čiar
Priame úrovne
Komplexné perokresby
Súradnicové filtre
Ortogonálny priemet bodu do roviny
Konštrukcia zdrojových objektov
Prvou fázou riešenia problému je skonštruovanie počiatočných objektov ako primitív AutoCADu podľa rozmerov prevzatých z výkresu. Objektmi môžu byť body, úsečky, povrchy.
Pôvodný výkres je spravidla uvedený vo forme bez nápravy. Na tomto výkrese je potrebné vyznačiť osi kartézskeho súradnicového systému (referenčného systému), voči ktorým je možné merať súradnice bodov objektu. Smer osí musí byť nastavený v súlade so smerom akceptovaným v AutoCADe. Počiatočný bod na výkrese je možné zvoliť ľubovoľne, pretože neovplyvňuje rozdiely v súradniciach bodov, to znamená, že nemení relatívnu polohu a tvar objektov špecifikovaných na výkrese.
Na obr. Obrázok 14 znázorňuje nákres trojuholníka ABC, ktorý obsahuje jeho horizontálne a čelné projekcie. Súradnicové osi sú vyznačené na kresliacom poli. Súradnice bodov je možné merať pravítkom s presnosťou 1 mm. Súradnice bodu A sú teda (x = 10, y = 50, z = 22).
Zostrojme bod A (pozri obr. 14) ako objekt AutoCADu.
q Prejdite do okna s pohľadom zhora alebo do okna axonometrie; v týchto oknách zodpovedá súradnicový systém systému znázornenému na výkrese.
q bod \ 10, 50, 22.
q výsledok: vo všetkých výrezoch sa objavil obraz bodu v podobe značky – krížika.
Značka, ktorá označuje bod, je definovaná v prototype. Typ a veľkosť značky môžete zmeniť:
q Formát\Štýl bodu.
Zostrojme priamku AC:
q riadok \ 10, 50, 22 \ 50,30,50.
výsledok: segment je postavený. Zobrazuje sa vo všetkých výrezoch, preto sa získajú tri ortogonálne projekcie a jedna axonometrická projekcia (izometria).
Na zostrojenie ortogonálneho priemetu bodu do roviny, keď je uhol priemetu a=90 0 (obr. 15), stačí na túto rovinu osadiť súradnicový systém (UCS), súradnice premietaného bodu určiť v tento súradnicový systém a nastavte súradnicu z rovnú nule. Napríklad, ak je UCS nainštalovaný v rovine D a bod A má súradnice v tomto UCS (50,60,70), potom ortogonálny priemet bodu A na rovinu D je bod A D (50,60,0).
Ortogonálne projekcie sú konštruované pomocou takzvaných súradnicových filtrov - nástroj, ktorý umožňuje zobrať potrebné súradnice z určeného bodu. Ak teda použijete filter .xy, potom sa zoberú iba súradnice bodu X A r a chýbajúce súradnice z systém bude vyžadovať, aby ste špecifikovali dodatočne; Na vytvorenie ortogonálnej projekcie musí byť súradnica z nastavená na nulu. Filtre je možné vyvolať stlačením kombinácie kláves Shift+Psch\Point Filters.
Zostrojme bod A D, ktorý je kolmým priemetom bodu A do roviny D (pozri obr. 15):
q nastaviť značku bodu;
q nastavte UCS do projekčnej roviny D;
q bod\ Shift+PSh \ Filtre \ .xy \ povoliť prichytávanie objektov Shift+PSh \ Node ( Uzol);
q nasmerujte zameriavač na premietaný bod A;
q pri požiadavke „Požaduje sa Z“ zadajte nulu – bod A D je skonštruovaný.
Projekcia segmentu bude tiež segmentom, na skonštruovanie ktorého musíte zobrať body premietaného segmentu použitím súradnicového filtra.xy a prichytenia objektu Endpoint ( Ultimate). Nech je segment; musíte zostrojiť jeho ortogonálny priemet do danej roviny:
q nastavte UCS do projekčnej roviny.
q riadok\ vyberte filter (Shift+PSH \ Filtre \ .xy);
q povoliť prichytávanie objektov (Shift+PSh\ Ultimate) \ uveďte koniec projektovaného segmentu \ pri požiadavke „z požadované“ zadajte nulu;
q zopakujte rovnaké kroky pre druhý koncový bod úsečky \ ПШ – vytvorí sa priemet úsečky.
2.3.2. "Automatická" projekcia
Projekciu je možné „zveriť“ systému pomocou programu project.lsp , ktorý je potrebné najprv stiahnuť.
q Načítajte súbor project.lsp (Tools\Load Application...)
výsledok: načítaný program vytvorí tri nové príkazy: PROJECTION, PR1, PR2.
q Zadajte príkaz PROJECT a prečítajte si informácie o používaní programu.
Príkaz PR1 vykonáva ortogonálne premietanie objektov do roviny UCS. Objektmi môžu byť body, úsečky, kruhové oblúky a lomené čiary. Príkaz PR2 vykonáva šikmú projekciu, podrobnosti nájdete nižšie. Ak chcete vykonať ortografickú projekciu:
q nastavte UCS do projekčnej roviny;
q zadajte príkaz PR1 a zadajte objekty, ktoré sa majú premietnuť \ ПШ.
výsledok: boli získané ortogonálne projekcie vybraných objektov do roviny UCS.
Keďže priamka je definovaná dvoma bodmi, na jej definovanie na výkrese stačia priemety dvoch k nej prislúchajúcich bodov (obr. 16, a, b).
Pri bezosovej metóde obrazu sa vzdialenosť medzi priemetmi berie ľubovoľne, ale treba dodržať rozdiel v súradniciach bodov definujúcich priamku (obr. 16, c).
Priamka môže zaberať rôzne polohy v priestore vzhľadom na projekčné roviny. Nazýva sa priamka, ktorá nie je ani rovnobežná, ani kolmá na žiadnu z premietacích rovín všeobecné postavenie(obr. 16). Zostávajúce čiary sú klasifikované ako čiary určitej polohy, medzi ktorými sú rovinné čiary a vyčnievajúce čiary. Úrovňové priamky sú rovné čiary rovnobežné s jednou z premietacích rovín, premietané priamky sú rovné čiary kolmé na premietacie roviny.
Hladina rovnobežná s horizontálnou premietacou rovinou sa nazýva horizontálne(obr. 17), priamka rovnobežná s čelnou rovinou projekcií – čelný(obr. 18) a nazýva sa priamka rovnobežná s profilovou rovinou výstupkov profil rovný(obr. 19).
 |
Vodorovná čiara je označená písmenom h. Jeho nárys h 2 je vždy kolmý na zvislé komunikačné čiary a horizontálny priemet h 1 odráža polohu čiary v priestore. Úsek /AB/ a uhly sklonu β, γ k premietacím rovinám P 2, P 3 sa premietnu do roviny P 1 bez skreslenia.
Predná strana je označená písmenom f. Vpredu je vodorovný priemet f 1 vždy kolmý na komunikačné čiary a predný priemet f 2 zodpovedá polohe najpriamejšej čiary v priestore. Uhly sklonu α a γ k rovinám P 1 a P 3, ako aj segment /AB/ čela sú premietnuté na P 2 bez skreslenia.
Profilová čiara je označená písmenom p. Jeho čelné projekcie p 2 a horizontálne p 1 sa zhodujú s jednou vertikálnou komunikačnou líniou a profilová projekcia p 3 zobrazuje polohu línie v priestore. Bez skreslenia sa na P 3 premietne segment /AB/ a uhly sklonu α, β profilovej čiary k rovinám P1 a P2.
V závislosti od kolmosti na konkrétnu projekčnú rovinu sa priame čiary nazývajú horizontálne, čelné alebo profilové premietanie.
 |  |
||
Horizontálne vyčnievajúca čiara– rovný, kolmý na P 1 (obr. 20). Horizontálna projekcia tejto čiary (A 1 = B 1) degeneruje do bodu a čelná projekcia (A 2 B 2) sa zhoduje s komunikačnou čiarou. Je zrejmé, že vodorovne vyčnievajúca čiara je súčasne rovnobežná s P 2 a P 3, teda /A 2 B 2 / = /A 3 B 3 / = /AB/.
Spredu vyčnievajúca línia– priamka kolmá na P 2 (obr. 21). Čelná projekcia tejto priamky (A 2 = B 2) degeneruje do bodu a horizontálna projekcia (A 1 B 1) sa zhoduje so spojnicou. Spredu vyčnievajúca čiara je rovnobežná s P 1 a P 3, teda /A 1 B 1 / = /A 3 B 3 / = /AB/.
Premietacia línia profilu– priamka kolmá na P 3 (obr. 22). Priemet profilu takejto priamky (A 3 = B 3) je bod a vodorovné a čelné priemety sú kolmé na komunikačné čiary. Vyčnievajúca čiara profilu je súčasne rovnobežná s P 1 a P 2, preto /A 1 B 1 / = /A 2 B 2 / = /AB/.
Body patriace k premietacej priamke sa nazývajú konkurenčné vzhľadom na rovinu premietania, na ktorú je priamka kolmá. Body A a B na obr. 20 sa nazývajú horizontálne konkurenčné, na obr. 21 a 22 sú čelne a profilovo konkurenčné. Konkurenčné body sa používajú na určenie viditeľnosti priemetov geometrických útvarov.
2.4.3. Príslušnosť k bodu na priamke
Bod môže patriť k priamke alebo byť mimo nej. Ak bod patrí úsečke, potom všetky priemety tohto bodu musia patriť k rovnakým priemetom úsečky (obr. 23).
Napríklad bod C patrí k čiare l, pretože C1 a C2 patria v tomto poradí l 1 A l 2.
Bod nepatrí do priamky, ak aspoň jeden z jeho priemetov nepatrí do toho istého priemetu priamky. Napríklad body A, B, D do priamky nepatria l a bod A sa nachádza nad čiarou a bod B je za čiarou.
Určenie dĺžky priameho segmentu metódou pravouhlého trojuholníka
Pretože priamka vo všeobecnej polohe nie je rovnobežná so žiadnou z projekčných rovín, segment, ktorý k nej patrí, sa do týchto rovín premieta skreslene.
Uvažujme pravouhlý trojuholník ABB 0 (obr. 24, a). Prepona AB trojuholníka je samotná úsečka v priestore, rameno B 0 B sa rovná vodorovnému priemetu úsečky A 1 B 1 a rameno AB 0 je rozdiel vo výškach koncov úsečky Z A - Z B na premietaciu rovinu P 1. Uhol α je uhol sklonu segmentu k P1. Trojuholník rovný tomuto možno zostrojiť na zložitom výkrese (obr. 24, b). Pomocou horizontálneho priemetu segmentu A 1 B 1 ako nohy postavíme druhú nohu rovnajúcu sa výškovému rozdielu Z A – Z B, ktorý je určený z čelného priemetu segmentu A 2 B 2. Prepona B 1 B 0 sa rovná prirodzenej hodnote úsečky /AB/, uhol α je uhol sklonu úsečky k P 1. Dĺžku úsečky možno určiť aj ako dĺžku prepony pravouhlého trojuholníka, ktorého jedna vetva je nárysná A 2 B 2 a druhá je rozdiel súradníc Y B - Y A, ktorý sa určí z horizontálna projekcia segmentu (obr. 24, c). Uhol β sa v tomto prípade bude rovnať uhlu sklonu segmentu k čelnej rovine projekcií P2.
Ak je teda potrebné určiť skutočnú veľkosť úsečky a uhol jej sklonu k rovine P1, zostrojí sa pravouhlý trojuholník pomocou horizontálneho priemetu úsečky. Ak sa vyžaduje skutočná veľkosť a uhol sklonu k P 2, použije sa čelná projekcia.
Dve čiary v priestore môžu byť rovnobežné, pretínajúce sa alebo krížiace sa.
Rovná rovnobežka
Ak rovno A, b sú rovnobežné, potom sú rovnobežné aj ich výbežky (obr. 25, a). Opak je tiež pravdou, ale len pre všeobecné línie.
Na posúdenie rovnobežnosti dvoch priamok vo všeobecnej polohe teda stačí mať dve ľubovoľné ich projekcie. V prípade nivelačných čiar nie je vždy možné určiť ich rovnobežnosť z dvoch priemetov. Napríklad na obr. 25, b nie je vzájomná poloha profilových čiar vôbec určená. Na jednoznačnú špecifikáciu takýchto priamok pomocou rovnakých priemetov je potrebné uviesť priemety bodov A, B, C, D, ktoré k nim patria (obr. 25, c). Na posúdenie rovnobežnosti priamych čiar S A d na obr. 25, veľmi ťažké. Iná vec je, ak existujú projekcie profilových čiar do roviny, s ktorou sú rovnobežné (obr. 25, d). Ako je možné vidieť z obr. 25, d priemety A 3 B 3 a C 3 B 3 nie sú rovnobežné, preto čiary v priestore nie sú rovnobežné.
Aby bolo možné posúdiť rovnobežnosť nivelačných čiar, je potrebné mať ich priemet na rovinu, s ktorou sú rovnobežné.
Ak sa priamky pretínajú v priestore, potom sa pretínajú aj ich priemety a priesečníky priemetov K 1, K 2 patria do tej istej spojnice (obr. 26, a).
Projekcie šikmých čiar m, n sa môžu pretínať (obr. 26, b), ale priesečníky projekcií nepatria do tej istej komunikačnej línie. Priesečník vodorovných priemetov pretínajúcich sa čiar m A n je vodorovný priemet dvoch vodorovne si konkurujúcich bodov 1 a 2. Priesečníkom čelných priemetov týchto priamok je čelný priemet čelných priemetov 3, 4.
Pomocou vodorovne si konkurujúcich bodov sa určí poloha pretínajúcich sa čiar vzhľadom na horizontálnu projekčnú rovinu. Čelná projekcia 1 2 body 1 patriace do m, je vyšší ako 2 2 – bod 2 prislúchajúci n(smer pohľadu je znázornený šípkou). Preto je na tomto mieste priamka m nad hranicou n.
Poloha pretínajúcich sa priamok vzhľadom na čelnú rovinu projekcií je určená z čelne konkurenčných bodov. Vodorovný priemet 4 1 bodu 4 patriaci do m, sa nachádza nižšie ako 3 1 – bod 3 prislúchajúci n(smer pohľadu je znázornený šípkou). Preto rovno m umiestnený pred priamkou n.
Akýkoľvek uhol medzi priamymi čiarami sa zobrazí na rovine premietania bez skreslenia, ak sú priamky rovnobežné s touto rovinou, t.j. sú rovné.
Pravý uhol s ortogonálnym premietaním má špeciálne vlastnosti. Pravý uhol sa premieta bez skreslenia, ak je len jedna z jeho strán rovnobežná s rovinou premietania.
Na dôkaz tohto tvrdenia zvážte obr. 27. Je daný pravý uhol ABC, ktorého strany AB a BC sú rovnobežné s rovinou P 1. Preto podľa vlastností rovnobežného premietania je uhol A 1 B 1 C 1 priemetom uhla ABC, tiež pravého uhla. BC ┴ AB a BB 1 podľa stavu a konštrukcie, teda BC ┴ Σ - rovina vedená cez AB a A 1 B 1 a ┴ P 1. Ako viete zo školského kurzu geometrie, ak je priamka kolmá na rovinu, potom je kolmá na akúkoľvek priamku patriacu do tejto roviny. V dôsledku toho BC ┴ ВD a MN, a teda В 1 С 1 ┴ B 1 D 1 a M 1 N 1.
V zložitom výkrese sú možné nasledujúce prípady určenia pravého uhla: priamka vo všeobecnej polohe A a horizontálne h (obr. 28, a), priamka vo všeobecnej polohe V a čelné f (obr. 28, b), priamka vo všeobecnej polohe S a profilová priamka p (obr. 28, c).
Vo všeobecnosti, keď sú strany pravého uhla všeobecné priame čiary, pravý uhol sa premieta so skreslením do ostrého alebo tupého uhla.
Článok rozoberá problematiku kolmých čiar na rovine a trojrozmerného priestoru. Definíciu kolmých čiar a ich označenie si podrobne rozoberieme na uvedených príkladoch. Uvažujme o podmienkach uplatnenia nevyhnutnej a postačujúcej podmienky pre kolmosť dvoch priamok a uvažujme podrobne na príklade.
Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami v priestore môže byť správny. Potom povedia, že dané čiary sú kolmé. Keď je uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami rovný, potom sú čiary tiež kolmé. Z toho vyplýva, že kolmé čiary na rovine sa pretínajú a kolmé čiary v priestore sa môžu pretínať a krížiť.
To znamená, že pojmy „priamky a a b sú kolmé“ a „priamky b a a sú kolmé“ sa považujú za rovnaké. Odtiaľ pochádza koncept vzájomne kolmých čiar. Po zhrnutí vyššie uvedeného sa pozrime na definíciu.
Definícia 1
Dve čiary sa nazývajú kolmé, ak uhol v ich priesečníku tvorí 90 stupňov.
Kolmosť je označená „⊥“ a označenie má tvar a ⊥ b, čo znamená, že priamka a je kolmá na priamku b.
Napríklad strany štvorca so spoločným vrcholom môžu byť kolmé čiary na rovine. V trojrozmernom priestore sú priamky O x, Oz, Oy kolmé v pároch: O x a Oz, O x a O y, Oy a Oz.
Kolmosť priamok - podmienky kolmosti
Je potrebné poznať vlastnosti kolmosti, pretože väčšina problémov spočíva v jej kontrole pre následné riešenie. Sú prípady, keď sa o kolmosti hovorí v podmienkach úlohy alebo keď je potrebné použiť dôkaz. Na preukázanie kolmosti stačí, aby bol uhol medzi čiarami správny.
Na určenie ich kolmosti so známymi rovnicami pravouhlého súradnicového systému je potrebné uplatniť nevyhnutnú a postačujúcu podmienku kolmosti priamok. Pozrime sa na znenie.
Veta 1
Aby boli priamky a a b kolmé, je potrebné a postačujúce, aby smerový vektor priamky bol kolmý na smerový vektor danej priamky b.
Samotný dôkaz je založený na určení smerového vektora priamky a na určení kolmosti priamok.
Dôkaz 1
Nech je zavedený pravouhlý karteziánsky súradnicový systém O x y s danými rovnicami priamky v rovine, ktoré definujú priamky a a b. Smerové vektory priamok a a b označíme ako a → a b → . Z rovnice priamok a a b je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou kolmosť vektorov a → a b →. To je možné len vtedy, keď sa skalárny súčin vektorov a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) rovná nule a záznam má tvar a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Dostaneme, že nevyhnutná a postačujúca podmienka pre kolmosť priamok a a b, ležiacich v pravouhlom súradnicovom systéme O x y na rovine, je a →, b → = a x · b x + a y · b y = 0, kde a → = (a x, a y) a b → = b x, b y sú smerové vektory priamok a a b.
Podmienka platí vtedy, keď je potrebné nájsť súradnice smerových vektorov alebo pri prítomnosti kanonických alebo parametrických rovníc priamok na rovine daných priamok a a b.
Príklad 1
Tri body A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) sú dané v pravouhlom súradnicovom systéme O x y. Určte, či sú priamky A B a A C kolmé alebo nie.
Riešenie
Priame čiary A B a A C majú smerové vektory A B → a A C →. Najprv vypočítajme A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Z vlastnosti skalárneho súčinu vektorov rovného nule získame, že vektory A B → a A C → sú kolmé.
A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
Je zrejmé, že nevyhnutná a postačujúca podmienka je splnená, čo znamená, že A B a A C sú kolmé.
odpoveď: rovné čiary sú kolmé.
Príklad 2
Určte, či dané priamky x - 1 2 = y - 7 3 a x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ sú alebo nie sú kolmé.
Riešenie
a → = (2, 3) je smerový vektor danej priamky x - 1 2 = y - 7 3,
b → = (1, - 2) je smerový vektor priamky x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ.
Prejdime k výpočtu skalárneho súčinu vektorov a → a b →. Výraz bude napísaný:
a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Výsledok súčinu sa nerovná nule, môžeme konštatovať, že vektory nie sú kolmé, čo znamená, že čiary tiež nie sú kolmé.
odpoveď:čiary nie sú kolmé.
Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre kolmosť priamok a a b platí pre trojrozmerný priestor, zapísaný ako a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , kde a → = (a x , a y , a z) a b → = (b x , b y , b z) sú smerové vektory priamok a a b.
Príklad 3
Skontrolujte kolmosť priamok v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru, danú rovnicami x 2 = y - 1 = z + 1 0 a x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 λ
Riešenie
Za menovatele z kanonických rovníc úsečiek sa považujú súradnice smerového vektora úsečky. Súradnice smerového vektora z parametrickej rovnice sú koeficienty. Z toho vyplýva, že a → = (2, - 1, 0) a b → = (1, 2, 4) sú smerové vektory daných čiar. Aby sme identifikovali ich kolmosť, nájdime skalárny súčin vektorov.
Výraz bude mať tvar a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .
Vektory sú kolmé, pretože súčin je nula. Nevyhnutná a postačujúca podmienka je splnená, to znamená, že čiary sú tiež kolmé.
odpoveď: rovné čiary sú kolmé.
Kontrola kolmosti môže byť vykonaná na základe iných nevyhnutných a dostatočných podmienok kolmosti.
Veta 2
Priamky a a b v rovine sa považujú za kolmé, keď normálový vektor priamky a je kolmý na vektor b, je to nevyhnutná a postačujúca podmienka.
Dôkaz 2
Táto podmienka platí, keď rovnice priamok poskytujú rýchly spôsob, ako nájsť súradnice normálových vektorov daných čiar. To znamená, že ak existuje všeobecná rovnica priamky v tvare A x + B y + C = 0, rovnica priamky v segmentoch tvaru x a + y b = 1, rovnica priamky s uhlovým koeficientom tvaru y = k x + b je možné nájsť súradnice vektorov.
Príklad 4
Zistite, či sú priamky 3 x - y + 2 = 0 a x 3 2 + y 1 2 = 1 kolmé.
Riešenie
Na základe ich rovníc je potrebné nájsť súradnice normálových vektorov priamok. Dostaneme, že n α → = (3, - 1) je normálový vektor pre priamku 3 x - y + 2 = 0.
Zjednodušme rovnicu x 3 2 + y 1 2 = 1 na tvar 2 3 x + 2 y - 1 = 0. Teraz sú jasne viditeľné súradnice normálového vektora, ktoré zapíšeme v tomto tvare n b → = 2 3 , 2 .
Vektory n a → = (3, - 1) a n b → = 2 3, 2 budú kolmé, pretože ich skalárny súčin bude nakoniec dávať hodnotu rovnajúcu sa 0. Dostaneme n a → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .
Nevyhnutná a postačujúca podmienka bola splnená.
odpoveď: rovné čiary sú kolmé.
Keď je priamka a na rovine definovaná pomocou rovnice so sklonom y = k 1 x + b 1 a priamka b - y = k 2 x + b 2, z toho vyplýva, že normálové vektory budú mať súradnice (k 1 , - 1) a (k2, - 1). Samotná podmienka kolmosti sa zníži na k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1.
Príklad 5
Zistite, či sú priamky y = - 3 7 x a y = 7 3 x - 1 2 kolmé.
Riešenie
Priamka y = - 3 7 x má sklon rovný - 3 7 a priamka y = 7 3 x - 1 2 - 7 3.
Súčin uhlových koeficientov dáva hodnotu - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, to znamená, že čiary sú kolmé.
odpoveď: dané čiary sú kolmé.
Na určenie kolmosti čiar na rovine sa používa ešte jedna podmienka.
Veta 3
Aby priamky a a b boli kolmé na rovinu, je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou, aby smerový vektor jednej z priamok bol kolineárny s normálovým vektorom druhej priamky.
Dôkaz 3
Podmienka platí, keď je možné nájsť smerový vektor jednej priamky a súradnice normálového vektora druhej. Inými slovami, jedna priamka je daná kanonickou alebo parametrickou rovnicou a druhá všeobecnou rovnicou priamky, rovnicou v segmentoch alebo rovnicou priamky s uhlovým koeficientom.
Príklad 6
Určte, či sú dané priamky x - y - 1 = 0 a x 0 = y - 4 2 kolmé.
Riešenie
Zistíme, že normálový vektor priamky x - y - 1 = 0 má súradnice n a → = (1, - 1) a b → = (0, 2) je smerový vektor priamky x 0 = y - 42.
To ukazuje, že vektory n a → = (1, - 1) a b → = (0, 2) nie sú kolineárne, pretože nie je splnená podmienka kolinearity. Neexistuje číslo t také, aby platila rovnosť n a → = t · b →. Záver je teda taký, že čiary nie sú kolmé.
odpoveď:čiary nie sú kolmé.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter