двумерный дискретный распределение случайный
Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х 1 - температура, Х 2 - давление, Х 3 - влажность воздуха, Х 4 - скорость ветра.
В этом случае говорят о многомерной случайной величине или о системе случайных величин.
Рассмотрим двумерную случайную величину, возможные значения которой есть пары чисел. Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости.
Если составляющие Х и Y - дискретные случайные величины, то - дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y - непрерывные, то - непрерывная двумерная случайная величина.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где - вероятность того, что составляющая Х приняла значение x i , а составляющая Y - значение y j .
Таблица 6.1.1.
|
y 1 |
y 2 |
y j |
y m |
|||
|
x 1 |
p 11 |
p 12 |
p 1j |
p 1m |
||
|
x 2 |
p 21 |
p 22 |
p 2j |
p 2m |
||
|
x i |
p i1 |
p i2 |
p ij |
p im |
||
|
x n |
p n1 |
p n2 |
p nj |
p nm |
Так как события, составляют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т.е.
Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих Х и Y .
Пример 6.1.1 . Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 6.1.2.
Таблица 6.1.2.
Если зафиксировать значение одного из аргументов, например, то полученное распределение величины Х называется условным распределением. Аналогично определяется условное распределение Y .
Пример 6.1.2 . По распределению двумерной случайной величины, заданной табл. 6.1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии; б) условный закон распределения Y при условии, что.
Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам
Условный закон распределения Х при условии имеет вид
Контроль: .
Закон распределения двумерной случайной величины можно задать в виде функции распределения , определяющей для каждой пары чисел вероятность того, что Х примет значение, меньшее х , и при этом Y примет значение, меньшее y :
Геометрически функция означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (рис. 6.1.1).
Отметим свойства.
- 1. Область значений функции - , т.е. .
- 2. Функция - неубывающая функция по каждому аргументу.
- 3. Имеют место предельные соотношения:
При функция распределения системы становится равной функции распределения составляющей Х , т.е. .
Аналогично, .
Зная, можно найти вероятность попадания случайной точки в пределы прямоугольника ABCD.
А именно,
Пример 6.1.3 . Двумерная дискретная случайная величина задана таблицей распределения
Найти функцию распределения.
Решение. Значение в случае дискретных составляющих Х и Y находится суммированием всех вероятностей с индексами i и j , для которых, . Тогда, если и, то (события и - невозможны). Аналогично получаем:
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то.
Полученные результаты оформим в виде таблицы (6.1.3) значений:
Для двумерной непрерывной случайной величины вводится понятие плотности вероятности
Геометрическая плотность вероятности представляет собой поверхность распределения в пространстве
Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:
3. Функция распределения может быть выражена через по формуле
4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в область равна
5. В соответствии со свойством (4) функции имеют место формулы:
Пример 6.1.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины
Двумерной называют случайную величину (X , Y ), возможные значения которой есть пары чисел (x, у ). Составляющие X и Y , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку M (Х ; Y ) на плоскости xOy либо как случайный вектор OM .
Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.
Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан: а) в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности; б) аналитически, например в виде функции распределения.
Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию F(x, у) , определяющую для каждой пары чисел (x, у) вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y :
F(x, у) = Р(Х < x, Y < y).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х, у) есть вероятность того, что случайная точка (X, Y ) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x,y) , расположенный левее и ниже этой вершины.
Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».
Функция распределения обладает следующими свойствами:
Свойство 1 . Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству
0 ≤ F (x, у) ≤ 1.
Свойство 2 . Функция распределения есть неубывающая функция по каждому аргументу :
F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y), если x 2 > x 1 ,
F(x, y 2) ≥ F(x, y 1), если y 2 > y 1 .
Свойство 3 . Имеют место предельные соотношения :
1) F(–∞, y) = 0,
3) F(–∞, –∞) = 0,
2) F(x, –∞) = 0,
4) F(∞, ∞) = 1.
Свойство 4 . а) При у =∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X :
F(x, ∞) = F 1 (x).
б) При x = ∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y :
F(∞, y) = F 2 (y).
Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник x 1 < X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :
P(x 1 < X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .
Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называют вторую смешанную производную от функции распределения:
Иногда вместо термина «двумерная плотность вероятности» используют термин «дифференциальная функция системы».
Плотность совместного распределения можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Dx и Dy к площади этого прямоугольника, когда обе его стороны стремятся к нулю; геометрически ее можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения .
Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле
Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D определяется равенством
Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:
Свойство 1 . Двумерная плотность вероятности неотрицательна :
f(x,y) ≥ 0.
Свойство 2 . Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице :
В частности, если все возможные значения (X, У) принадлежат конечной области D, то
226. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
Найти законы распределения составляющих.
228. Задана функция распределения двумерной случайной величины
Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y x = 0, x = p/4, y = p/6, y = p/3.
229. Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y ) в прямоугольник, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 3, y = 5, если известна функция распределения
230. Задана функция распределения двумерной случайной величины
Найти двумерную плотность вероятности системы.
231. В круге x 2 + y 2 ≤ R 2 двумерная плотность вероятности ; вне круга f(x, y)= 0. Найти: а) постоянную C ; б) вероятность попадания случайной точки (X, Y ) в круг радиуса r = 1 с центром в начале координат, если R = 2.
232. В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин F(x, y) = 1 + 2 - x – 2 - y + 2 - x- y . Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) вероятность попадания случайной точки (X, Y ) в треугольник с вершинами A (1; 3), B (3; 3), C (2; 8).
8.2. Условные законы распределения вероятностей составляющих
дискретной двумерной случайной величины
Пусть составляющие X и Y дискретны и имеют соответственно следующие возможные значения: x 1 , x 2 , …, x n ; y 1 , y 2 , …, y m .
Условным распределением составляющей X при Y=y j (j сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях X) называют совокупность условных вероятностей
p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).
Аналогично определяется условное распределение Y.
Условные вероятности составляющих X и Y вычисляют соответственно по формулам
Для контроля вычислений целесообразно убедиться, что сумма вероятностей условного распределения равна единице.
233. Задана дискретная двумерная случайная величина (X, Y ):
Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y =10; б) условный закон распределения Y при условии, что X =6.
8.3. Отыскание плотностей и условных законов распределения
составляющих непрерывной двумерной случайной величины
Плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей:
Здесь предполагается, что возможные значения каждой из составляющих принадлежат всей числовой оси; если же возможные значения принадлежат конечному интервалу, то в качестве пределов интегрирования принимают соответствующие конечные числа.
Условной плотностью распределения составляющей X при заданном значении Y = y называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей Y :
Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y :
Если условные плотности распределения случайных величин X и Y равны их безусловным плотностям, то такие величины независимы.
Равномерным называют распределение двумерной непрерывной случайной величины (X, Y ), если в области, которой принадлежат все возможные значения (x, у ), плотность совместного распределения вероятностей сохраняет постоянное значение.
235. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)
Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности распределения, составляющих.
236. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y )
Найти: а) постоянный множитель C ; б) плотности распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих.
237. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У ) распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2а и 2b, параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.
238. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У ) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами O (0; 0), А (0; 8), В (8;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих.
8.4. Числовые характеристики непрерывной системы
двух случайных величин
Зная плотности распределения составляющих X и Y непрерывной двумерной случайной величины (X, У), можно найти их математические ожидания и дисперсии:
Иногда удобнее использовать формулы, содержащие двумерную плотность вероятности (двойные интегралы берутся по области возможных значений системы):
Начальным, моментом n k, s порядка k+s системы (X, Y ) называют математическое ожидание произведения X k Y s :
n k, s = M.
В частности,
n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Y).
Центральным моментом m k, s порядка k+s системы (X, Y ) называют математическое ожидание произведения отклонений соответственно k -й и s -й степеней:
m k, s = M{ k ∙ s }.
В частности,
m 1,0 =M = 0, m 0,1 = M = 0;
m 2,0 =M 2 = D(X), m 0,2 = M 2 = D(Y);
Корреляционным моментом m xу системы (X, Y ) называют центральный момент m 1,1 порядка 1 + 1:
m xу = M{ ∙ }.
Коэффициентом корреляции величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
r xy = m xy / (s x s y).
Коэффициент корреляции – безразмерная величина, причем |r xy | ≤ 1. Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи между X и Y : чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к единице, тем связь сильнее; чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к нулю, тем связь слабее.
Коррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.
Некоррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент равен нулю.
Две коррелированные величины также и зависимы; если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделать вывод о независимости этих величин (для нормально распределенных величин из некоррелированности этих величин вытекает их независимость).
Для непрерывных величин X и Y корреляционный момент может быть найден по формулам:
239. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):
Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии составляющих X и Y.
240. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):
Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.
241. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y): f(x, y) = 2 cosx cosy в квадрате 0 ≤ x ≤p/4, 0 ≤ y ≤p/4; вне квадрата f(x, y) = 0. Найти математические ожидания составляющих.
242. Доказать, что если двумерную плотность вероятности системы случайных величин (X, Y ) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x , а другая – только от y , то величины X и Y независимы.
243. Доказать, что если X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b , то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице.
Решение . По определению коэффициента корреляции,
r xy = m xy / (s x s y).
m xу = M{ ∙ }. (*)
Найдем математическое ожидание Y :
M(Y) = M = aM(X) + b. (**)
Подставив (**) в (*), после элементарных преобразований получим
m xу = aM 2 = aD(X) = as 2 x .
Учитывая, что
Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,
найдем дисперсию Y :
D(Y) = M 2 = a 2 M 2 = a 2 s 2 x .
Отсюда s y = |a|s x . Следовательно, коэффициент корреляции
Если a > 0, то r xy = 1; если a < 0, то r xy = –1.
Итак, |r xy | = 1, что и требовалось доказать.
Упорядоченная пара (X , Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y. Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины. Дискретная двумерная случайная величина (X , Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
Назначение сервиса . С помощью сервиса по заданному закону распределения можно найти:
- ряды распределения X и Y, математическое ожидание M[X], M[Y], дисперсию D[X], D[Y];
- ковариацию cov(x,y), коэффициент корреляции r x,y , условный ряд распределения X, условное математическое ожидание M;
Инструкция . Укажите размерность матрицы распределения вероятностей (количество строк и столбцов) и ее вид. Полученное решение сохраняется в файле Word .
Пример №1 . Двумерная дискретная случайная величина имеет таблицу распределения:
| Y/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
Решение. Величину q найдем из условия Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91+q = 1. Откуда q = 0.09
Пользуясь формулой ∑P(xi
,yj
) = pi
(j=1..n), находим ряд распределения X.
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
Дисперсия D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Среднее квадратическое отклонение σ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801
Ковариация
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y] = 2·10·0.11 + 3·10·0.12 + 4·10·0.03 + 2·20·0.13 + 3·20·0.09 + 4·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0.11 + 3·30·0.08 + 4·30·0.01 + 1·40·0.03 + 2·40·0.11 + 3·40·0.05 + 4·40·0.09 - 25.2 · 2.59 = -0.068
Коэффициент корреляции
r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736
Пример 2 . Данные статистической обработки сведений относительно двух показателей X и Y отражены в корреляционной таблице. Требуется:
- написать ряды распределения для X и Y и вычислить для них выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения;
- написать условные ряды распределения Y/x и вычислить условные средние Y/x;
- изобразить графически зависимость условных средних Y/x от значений X;
- рассчитать выборочный коэффициент корреляции Y на X;
- написать выборочное уравнение прямой регрессии;
- изобразить геометрически данные корреляционной таблицы и построить прямую регрессии.
Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.
Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2..,m
| X / Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Зависимость случайных величин X и Y .
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi ,yj ) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X. Математическое ожидание M[Y] .
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42.3
Дисперсия D[Y] .
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42.3 2 = 99.71
Среднее квадратическое отклонение σ(y) .
Поскольку, P(X=11,Y=20) = 2≠2·6, то случайные величины X и Y зависимы .
2. Условный закон распределения X .
Условный закон распределения X(Y=20) .
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0.33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0.67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Условное математическое ожидание M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Условная дисперсия D = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=30) .
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Условное математическое ожидание M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Условная дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=40) .
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Условное математическое ожидание M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Условная дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
Условный закон распределения X(Y=50) .
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Условное математическое ожидание M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Условная дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
Условный закон распределения X(Y=60) .
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
Условное математическое ожидание M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Условная дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. Условный закон распределения Y .
Условный закон распределения Y(X=11) .
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Условное математическое ожидание M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Условная дисперсия D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Условный закон распределения Y(X=16) .
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Условное математическое ожидание M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Условная дисперсия D = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Условный закон распределения Y(X=21) .
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Условное математическое ожидание M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Условная дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
Условный закон распределения Y(X=26) .
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
Условное математическое ожидание M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Условная дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
Условный закон распределения Y(X=31) .
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
Условное математическое ожидание M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Условная дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
Условный закон распределения Y(X=36) .
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Условное математическое ожидание M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Условная дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Ковариация .
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 - 25.3 · 42.3 = 38.11
Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае cov(X,Y) ≠ 0.
Коэффициент корреляции .
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:
Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Дисперсии:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3))/100 - 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25.3 2 = 24.01
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σ x = 9.99 и σ y = 4.9
и ковариация:
Cov(x,y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 - 42.3 · 25.3 = 38.11
Определим коэффициент корреляции:
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
и вычисляя, получаем:
y x = 0.38 x + 9.14
Запишем уравнения линий регрессии x(y):
и вычисляя, получаем:
x y = 1.59 y + 2.15
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (42.3; 25.3) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции .
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=100-m-1 = 98 находим t крит:
t крит (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если t набл > t критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t набл > t крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.
Задание
. Количество попаданий пар значений случайных величин X и Y в соответствующие интервалы приведены в таблице. По этим данным найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y .
Решение
Пример
. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей. Найти законы распределения составляющих величин X, Y и коэффициент корреляции p(X, Y).
Скачать решение
Задание . Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения. Найти законы распределения составляющих X и Y, ковариацию и коэффициент корреляции.